YÜK KANCASININ ELASTO-PLASTİK DAVRANİŞİ Makale Nurettin ARSLAN, Mete Onur KAMAN, Nuray ARSLAN' Fırat Ürm/ersitesi Müh. Fak Makina Müh. Bölümü GIRIŞ ük kancaları; yükün, kren, vinç gibi kaldırma makinalarına asılmasını sağlarlar. Kaldırma ve taşıma makinalarının ana Yparçalarından olan kancalar sanayi sektöründe sürekli olarak kullanılan elemanlardandır. Çünkü belirli bir ağırlıktaki jkikün başka bir noktaya taşınmasında yük ile halatı birbirine en kolay şekilde bağlayan elemanlar kancalardır. İmalatta iş hızının akışı açısından önem kazanan yük kancalarının kullanımı ve bakımı işletme açısından büyük önem taşır. Yük kancaları, basit (tek ağızlı) ve çift ağızlı olmak üzere ikiye ayrılırlar. Bu çalışmada incelenen basit kancalar, kendi etrafında da dönebilecek şekilde tasarlanmıştır. Kanca takımları veya alt kanca blokları aracılığı ile halata veya zincire bağlanırlar. Kancanın, kanca bloğuna oturtuluşu, üst tarafında bulunan dişli sap ve somunu ile olur. Tek ağızlı kancalar, kısa saplı veya uzun saplı olabilirler. Kısa saplı olanlar, genellikle kullanılan normal kanca takımları veya alt bloklar içindir. Uzun saplı olanlar ise, kısa alt bloklar için, yani kanca traversinin aynı zamanda halat makaralarını taşıması haline göredir (Suner, 1980). Çekme yükü etkisindeki kancaların boyudan ve taşıyabileceği yük değerleri belirli normlara göre standardaşnrılmışar (Tablo 1). Kancaya belirlenen bu yük değerlerinin üzerinde bir yükleme yapılması durumunda kanca üzerinde plastik deformasyon başlar. Kanca üzerinde oluşan küçük lokal plastik deformasyonlar kanca mukavemetini arorıcı yönde kullanılabilir. Zienkiewicz, Von-Mises ve Coulomb akma kriterlerini kullanarak farklı mühendislik problemlerinde plastik bölgelerin yayılışını incelemiştir (Zienkiewicz, 1969). Kenarlarında çentikler bulunan çelikalüminyum kompozitinden yapılmış levhaların elasto-plastik sonlu eleman analizi yapılmıştır (Karakuzu, 1997). Arslan, U çentikli izottopik levhaların elasto-plastik sonlu eleman analizini yapmıştır (Arslan, 1996). Dinamik yüklemeye maruz jàik kancalarında elastik gerilme analizi yapılmıştır (Yaşar, 1997). Yarım daire çentikli ve faturalı izotropik levhalarda elasto-plastik gerilme analizi sonlu elemanlar metodu kullanılarak yapılmıştır (Arslan, 2000). Owen, anizottopik plak ve kabukların elasto-plastik sonlu eleman analizini yapmıştır (Owen, 1983). Bu çalışmada kullanılan kanca tipi DİN 687' ye göre Tablo 1' de belirlenmiş olup malzeme olarak Ç1060 çeliği seçilmiştir (Şekil l.a). Kanca üzerinde akmayı başlatan ilk çekme yükü değerinden itibaren yüklemeler düzenli olarak artırılmıştır. Kanca yüzeyinde plastik bölgelerin yayılışı ve buna bağlı olarak kanca kritik kesitinde elastik ve artık gerilmelerin yüke bağlı olarak değişimi araştırılmıştır. Mühendis ve Makina - Cilt: 42 Sayı: 502 23
Tablo 1. DIN 687 'ye Göre Yük Kancaları Ölçüleri Motorlu İşletme (kg) Faydalı Yük El İşletmesi (kg) Kanca Ağzı İç çap 2a w Sap Çap d Trapez ölçüleri h bl b2 n Ağırlık (kg) 800 1000»2000 3000 5000 1600 2500 4000 6000 10000 50 55 60 70 90 38 42 55 70 30 40 52 60 55 65 75 100 34 40 50 65 80 13 15 20 25 30 28 35 50 70 1.75 3.8 14.6 21.4 *Bu çalışmada kullanılan kanca tipi ELASTO-PLASTİK GERİLME ANALİZİ P yükünün etkisiyle B noktasında çekme, A noktasında ise basınç elastik gerilmeleri ortaya çıkar. Kanca kritik keskindeki A ve B noktalarında (Şekil l.a) meydana gelen elastik gerilmeler analitik olarak aşağıdaki denklemler yardımıyla hesaplanır. B noktasındaki toplam gerilme, (i) A noktasındaki toplam gerilme ise, dir. Buradaki M, kesite etki eden eğilme momenti, F kesit alanı, w ise mukavemet momentidir. Kanca için elasto-plastik gerilme analizi ise başlangıç gerilmesi metoduna göre yapılır (Şekil 2). Bu metoda göre, lineer olarak hesaplanmış olan 0 ( gerilmesinin toplam deformasyonu e,'dir. Gerilme farkı 0 (1] aşağıdaki gibi hesaplanır (Karakuzu,1993). (2) 24 Mühendis ve Makina - Cilt 42 Sayı: 502
Eğer aise elasto-plastik gerilme analizi yapılır. Bu durumda, ifadesine geçilir. Gerilme tek eksenli olmadığından eşlenik cinsten elde edilen başlangıç gerilmesi, (8) Şekil 2. Başlangıç Gerilmesi Metodu O sl değeri o-e değerinden bulunur. Eğrinin K ve n değerleri ise deneysel olarak elde edilir. Bir sonraki basamağa geçilerek, veya genel olarak, yazılır. Bu işleme, akan düğümlerin son iki iterasyonuna ait toplam deplasmanlar farkı yüzdesi belli bir değere (0.001) ulaşılıncaya kadar devam edilir (Arslan, 1996). Yani, ise iterasyona son verilir. Bu durum tek eksenli gerilme (3) (4) (5) (6) şeklinde vektörel yazılabilir. Bu durumda formülasj'on, (9) (10) olur. Bu ifadedeki değeri Ramber Osgood bağıntısından Newton Raphson yöntemi kullanılarak elde edilmiştir (Dowling,1993). (11) Buna bağlı olarak gerilme farkı CJ 0J kadarlık bir kuvvet elde edilir. Bu kuvvet aşağıdaki eşitliğe göre, (12) (13) bulunur (Bathe 1982). Çözüm vektörü ilk iterasyon adımındaki mekanik yüklemede hali içindir. İki eksenli ve ilgili düzenlemeler yapüarak üe hesaplanır. Burada kadarlık kuvvet, dış kuvvet üç eksenli gerilme halinde, Von Mises akma kriterine vektörüne eklenmiştir. Dolayısıyla, gore, hesaplanan eşlenik gerilmeler dikkate alınarak akma kontrolü yapılmaktadır. Burada ve sırasıyla çekme doğrultusunda ve çekme doğrultusuna dik doğrultudaki normal gerilmeler, T ise x-y düzlemindeki kayma gerilmesidir. Bu çalışmada kullanılan ve deneysel olarak ölçülen Çl 060 çeliğine ait akma değerleri ve mukavemet özellikleri Tablo 2' de verilmiştir. (7) için, (141 ^ ' (15) yazılabilir. Bu iterasyon işlemlerine (6) nolu eşitlik sağlanıncaya kadar devam edilir. değiştirme vektörü, yazılabilir. Sonuçta, Bu durumda yer (16) yer değiştirme vektörüne karşılık gelen elasto-plastik bölgedeki gerilme Tablo 2. İzotrapik Malzemenin Akma Değerleri ve Mukavemet Özellikleri Ç1060 Çeliği E G 210.000 MPa 81.000 MPa Sertleşme Parametresi Şekil Değiştirme Sertleşmesi Parametresi Akma Gerilmesi K n <*!, <Jo v 0.25 1080 MPa 0.62 465 MPa 330 MPa Mühendis ve Makina- Cilt 42 Sayı: 502 25
(17) üe hesaplanır Burada [D] elastik sabitler matrisi olup, (R) hesap edilmesi gerekir Çözümde kullanılan doit duğumlu ızoparametrık elemanı 1-2 düğümlen boyunca yayılı yükle yüklenmiş olsun (Şekil 4 a) (18) değerine eşittir [B] ise şekil değiştirme- yer değışnrme transformasyon matrisidir Elasto-plastık bölgede artık geıılmeler, ıterasyonun sonunda, (19) ifadesinden elde edilir Şekil 4.a. Dort Duğumlu Elemanın 1-2 Duğuınleı ı Boyunca Yuk Dağılımı KANCANIN SONLU ELEMAN MODELİ Sınır Şartları Hazırlanan bilgisayar programı yardımıyla yuk kancasının sonlu elemanlara bolumu otomatik olarak yapılmıştır (Şekil 1 b) Çözümde dort duğumlu ızoparametrık sonlu elemanlar kullanılmıştır Kanca üzerinde yapılan analizlerde en uygun duğum sayısının ne olacağı Şekil 3' de verilen grafikle belirlenmiştir Buna gore kanca yüzeyi 2412 eleman ve 2565 duğume bölünmüştür Kancanın sap kısmına mesnetler yerleştirilirken, pratikte halatın tutulduğu kanca iç yayına ise yayılı kuvvet etki ettirilmiştir (Şekil 1 a) Buna gort 2-2 eksenine gore sınır şartları aşağıdaki gibi yazılır (20) Şekil 4.b. Yavılı Yükün Kanca iç Yüzeyine Dağıtılması 1-2 düğümlerinin teşkil ettiği yüzeyde s=+l olup, bu durum için mterpolasyon fonksiyonları, (21) şeklinde yazılabilir. Deplasman mterpolasyon matrisim yazacak olursak, Şekil 3. Sonlu Eleman Modeli Içm Duğum Sayısının Belirlenmesi Yükün Eğri Yüzeylere Dağıtılması Uygulanan yaydı yukun, kanca iç yüzeyindeki düğümlere dağıtılabılmesı için yüzey kuvvet vektörünün şeklindedir. Yüzey kuvvet vektörü bileşenleri ise, 26 Mühendis ve Makına Cilt 42 Sayı 502
SAYISAL SONUÇLAR VE TARTIŞMA (23) ifadesine eşittir. Burada f ' ve f * uygulanan yüzey kuvvetlerinin x ve y bileşenleridir. Bu bileşenler r' nin bir fonksiyonu olarak verilebilir. Yüzey kuvvet vektörü R ise, (24) değerine eşittir. Bu ifadedeki ds ise (r,s) doğal koordinat sistemindeki diferansiyel yüzey alanıdır, t kalınlık olarak tanımlanırsa, ds=t t.dl yazılabilir. Buradaki di diferansiyel uzunluğu ise, şeklindedir, s^+1 için, yazılabilir. Sonuç olarak yüzey kuvvet vektörü, (25) (26) Elasto-plastik gerilme analizi yapılan kanca üzerindeki elastik gerilmeler O",0 veo", arak geriln$ift)r ise RS x, RS. ve RS bileşenleri cinsinden verilmiştir. Artık gerilmeler negatif olarak elde edilmiştir. Yüklemeler ilk akmayı başlatan değer olan P=150 kn değerinden itibaren P=160, 170, 180, 190, 200, 210 ve 220 kn olarak belirlenmiştir. Şekil 5 ile Şekil 8 arasındaki grafiklerde yükün arasına bağlı olarak kanca üzerinde plastik bölge dağılımları için yük olarak P=160, 180, 200 ve 220 kn değerlen seçilmiştir. Grafiklerde x(mm) ve y(mm) değerleri Şekil l.a' da verilen kancanın geomerrik şeklinin koordinatlarını belirtmektedir. Buna göre, P=160 kn' luk yükleme değeri için akan düğümlerin kanca iç bölgesi olan x=275 mm, y=75 mm koordinatı etrafında yoğunlaşağı görülmüştür (Şekil 5). Yükün artışına bağlı olarak bu bölgedeki akan düğüm sayısının arttığı ve plastik bölgenin hem kanca iç kenarında x ekseni doğrultusunda, hem de A-B hata (Şekil l.a) boyunca genişlediği görülmüştür. Bu nedenle A-B hatanın kritik kesit olarak seçilmiştir. P=220 MPa değerinde plastik bölge B noktasından itibaren uzunluk boyunca (x ekseni doğrultusunda) ~ mm, A noktasına doğru, ~17 mm kadar yayılmışar (Şekil 8). (27) olarak elde edilir. Kanca iç yüzeyindeki her bir düğüme gelecek olan kuvvet değeri elastisite teorisinden, (28) yazılabilir (Tameroğlu, 1991). Buradaki p, her bir düğüme gelen kuvvet, P, toplam yayılı kuvvet, R, kanca iç yüzey v.ırıcapı, 6 ise, daire jtizeyi boyunca her düğüm arasındaki merkez açısıdır (Şekil 4.b). Buna göre kanca iç yüzeyinde her bir düğüme gelen yüzey kuvvet vektörü bileşenleri, Şekil S. Plastik Bölge Dağılımı (P=160 kn) şeklinde yazılabilir. (29) Şekil 9' da ise kademeli olarak artırılan yükleme miktarına bağlı olarak plastik bölgelerin yayılışı bir arada verilmiştir. Genişletilmiş olarak verilen grafikte, her büyük değeri kendisinden önceki plastik bölgeyi kapsadığı görülmüştür. Yükün artışıyla beraber plastik bölgelerin genişlemesi, akan düğümlerin komşu düğümlere olan Mühendis ve Makina - Cilt: 42 Sayı: 502 27
etkisi ve dolayısıyla akan düğümlerin sayısının artması ile açıklanabilir. Kanca üzerinde gerilme analizi yapılarak, gerilmelerin A-B hato civarında yoğunlaşügı görülmüştür. Bu nedenle bu hat üzerindeki kritik kesitte ortaya çıkan artık gerilmeler grafiklerde verilmiştir. Şekil 10' da P=190 kn' luk sabit bir yükleme için A-B kesitinde elastik ve artık gerilmelerin değişimi incelenmiştir. Grafikte yükleme tipine bağlı olarak S ve RS gerilme değerleri ön plana çıkmış olup, diğer gerilmeler daha küçük değerlerde kalmıştır. S elastik gerilme değerleri, eğilmenin etkisiyle A noktasında -180 MPa değerinden başlayarak y=32 mm değerinde sıfır olup B noktasında 580 MPa değerine ulaşıncaya kadar araş göstermiştir. Buna bağlı olarak RS^. arak gerilmeleri ise A noktasında yaklaşık olarak sıfırdan başlayıp y=s8 mm değerinden itibaren negatif bir araş göstererek B noktasında 220 MPa değerine ulaşmıştır. Plastik bölgenin B noktası civarında olması bunun bir sonucudur. RS ^ RS gerilme değerleri ve buna bağlı olarak S. ve S gerilme değerleri Şekil 6. Plastik Bölge Dağılımı (P=180 kn) Şekil 9. Plastik Bölgelerin Yüke Göre Yayılışı Şekil 7. Plastik Bölge Dağılımı (P-200 kn) Şekil S. Plastik Bölge Dağılımı (P=220 kn) 28 Şekil 10. Elastik (S^ S. S v ) ve Artık Gerilme (RS^ AS t, RSJ Bileşenlerinin A-B Kritik Kesitindeki Değişimi. Mühendis ve Makina - Cilt: 42 Sayı: 502
-Makale A-B hattı boyunca RS^ ve S gerilme değerlerine göre çok küçüktür. Şekil 11 ile Şekil 13 arasındaki grafiklerde A-B hattı boyunca, yük artışına bağlı olarak arak gerilme değişimi incelenmiştir. RS^ arak gerilme bileşeni her yükleme değerinde A noktasında yaklaşık sıfır değerinde olup, x=57.5 mm değerinde bütün yükleme basamaklarında en büyük pozitif değere ulaşmışar. Daha sonra ise x=60 mm değerinden itibaren büyük negatif değerlere ulaşmıştır. Yükün arasına bağlı olarak araş gösteren arak gerilme değerleri B noktasında maksimum değere A-B mesafesi boyunca değişimi Şekil 13' de verilmiştir. A noktasından itibaren x=40 mm değerine kadar her yükleme değerinde sıfır olan gerilmeler bu noktadan itibaren pozitif değerler almış olup, daha sonra P=150 kn hariç, negatif değerlere ulaşmışar. B noktasında ise, P=160, 170 ve 180 kn' luk yüklemelerde -3.5 ile -5 Şekil 13. RS Artık Gerilmesimn Artan Yükleme Miktarına Göre A-B Haltı Boyunca Değişimi Şekil 11. RS Arlık Gerilmesinin Artan Yükleme Miktarına Gore A-B Hattı Boyunca Değişimi ulaşmışar (Şekil 11). Örnek olarak A-B hata boyunca P=220 kn için x=57.5 mm ve x=65 mm değerinde RS^ büyüklükleri sırası ile +50 ve 300 MPa olmuştur. Şekil 12' de RS arak gerilme bileşenleri yükleme tipine bağlı olarak benzer dağılım göstermiştir. Ancak RS n ' göre daha küçük değerlerde kalmışar. P= 220 kn' luk yük alanda B noktasında RS n. değeri -22.5 MPa olarak bulunmuştur. arasında olan artık gerilmeler, P=190, 200, 210 ve 220 kn' da sıfıra yakın değerlerde elde edilmiştir. RS sv arak gerilme bileşeni, RS. ve RS bileşenine göre daha küçük değerlerde kalmıştır. Verilen grafiklere göre, kanca üzerinde gerilmelerin maksimum değere ulaştığı B noktası kritik nokta olarak önem kazanmıştır. Bu noktadaki arak gerilmelerin jâike göre değişimleri Şekil 14 ve Şekil 15' de verilmiştir. Grafiklerde düşey kenar gerilmeleri ve yatay kenadar ise kancaya uygulanan yükü göstermektedir. Arak gerilmelerin verildiği Şekil 14' te, yükleme tipine bağlı olarak RS xx gerilmeleri, RS ve RS ' ye göre daha büyük değerlerde Şekil 12. KS Artık Gerilmesimn Artan Yükleme Miktarına Göre A-B Hattı Boyunca Değişimi RS kayma arak gerilme bileşeninin yüke bağlı olarak Şekil I4.B Noktasındaki Artık Gerilmelerin Değişimi Mühendis ve Makina - Cilt 42 Sayı: 502 29
olup ilk akmayı başlatan P=150 kn' da yaklaşık sıfir iken P=220 kn' da 300 MPa değerine kadar artış göstermiştir. RS. ise, yükün arasına bağlı olarak P=150 kn' da sıfırdan başlayarak, P=220 kn' da 22.5 MPa değerine ulaşmıştır. RS artık gerilme değerleri ise Şekil 13' de de görüldüğü üzere her yükleme değerinde yaklaşık sıfırdır. Genel olarak arak gerilme bileşeni, yükleme miktarına bağlı olarak yaklaşık doğrusal bir arüş göstermektedir. B noktasındaki elastik gerilme değişiminin incelendiği Şekil 15' de ise S x> gerilmesi P=150 kn için 8 MPa değerinden itibaren lineer olarak artarak P=220 kn' da 680 MPa değerine kadar ulaşmıştır. Benzer karakterde olan S ıt ise P=150 kn' da 40 MPa iken, P=220 kn' da Elastik ve arak gerilmelerin en büyük değerleri A-B hattı boyunca elde edilmiştir. Yükleme tipine bağlı olarak s ve RS elastik ve arak gerilme bileşenleri diğer bileşenlerden çok büyük çıkmışür. Bu durumun artan yükleme miktarı ile değişmediği görülmüştür. İlk akmayı doğuran değerden itibaren kademeli olarak artırılan yüklemeler ile elastik ve artık gerilme bileşenlerinin yaklaşık doğrusal olarak arttıkları görülmüştür. (12) bağınasma göre arak gerilmelerden elde edilen kuvvet, dış kuvvet vektörüne eklendiğinden kanca mukavemeti, bu kuvvet miktarı kadar arürılmış olur. KAYNAKÇA 1. Arslan, N., Turgut, A., "Elasto-Plastic Finite Element Analysis of Isotropic Plates Whit. U-Notches", The 1996 Asme International Mechanical Engineering Congress and Exposition, Atlanta, Georgia, v92, p-58, (1996), 2. Arslan, N-, Kaman, M,, O., "Yanm Daire Çentikli ve Faturalı İzotropik Levhalarda Elasto-Plastik Gerilme Analizi", 3. GAP Mühendislik Kongresi 24-26 Mayıs,I17-124, Şanlıurfa (2000). 3. Bathe, K.J., Finite Element Procedures in Eng. Analysis. Prentice-Hall Inc., U.S.A., (1982). 4. Demİrsoy, M., Kaldırma Makinalan Cilt III. Birsen Yayınevi, İzmir, (1985). 5. Dowling, N.E.. Mechanical Behaviour of Materials. Prentice- Şekil 15. B Noktasındaki Gerilmelerin Değişimi yaklaşık 55 MPa' dır S arak gerilmeleri ise hemen hemen her yük değerinde sıfırdır. Bu sonuç RS ö artık gerilmelerine de yansımışür (Şekil 14). SONUÇLAR Yük kancasının elasto-plasrik sonlu eleman gerilme analizi çözümünde şu sonuçlar elde edilmiştir. Boyudan seçilen izotropik levhada ilk akmayı başlatan çekme yükü 150 kn olarak elde edilmiştir. İlk akmayı başlatan yük değerinden itibaren kademeli olarak artırılan yük değerine karşılık lokal akma sonucu plastik bölgenin de A-B hata başlangıcı olan B noktası etrafında artarak yayıldığı gözlenmiştir. Elastik gerilme analizi sonucu A noktasında negatif, B noktasında pozitif gerilmeler elde edilmiştir. Bu durum elementer mukavemetten elde edilen (1) ve (2) numaralı denklemlerle de doğrulanmışar. Hall Inc., Englewood Cliffs, Ne\vjersey,(1993). 6. Karakıızu, R., Akbulut, H., Sayman, O., "Eksene! Yüklü Ankastre Plaklarda Elasto-Plastik Gerilme Analizi", 8. Ulusal Mekanik Kongresi BJC, sy. 361-370, Antalya, (1993). 7. Karakıızu, R., Özel, A., Sayman, O., "Elasto-Plastic Finite Element Analysis of Metal Matrix Plates Whit Edge Notches", Computers & Structures. v63, n3, p551-558 (1997). 8. Owen, D. R. J., "Anisotropic Elasto-Plastic Finite Element Analysis of Thick and Thin Plates and Shells", Int. Journal for Numerical Methods in Eng. vi9, p541-566 (1983). 9. Suner, F,, Kaldırma ve İletme Makinaları 2. Cilt. 2. Baskı İstanbul, (1980). 10. Yaşar^H., M., Dinamik Yüklere Maruz Kancalarda Gerilme Analizi. F.Ü. Fen Bil. Enstitüsü Yük. Lisans Tezi, (1997). 11. Tameroğlu, S,, Elastisite Teorisi-Çözüm Yöntemleri ve Bazı Matematiksel Teknikler, İ.T.Ü. Kütüphanesi, sayı: 1434, İstanbul, (1991). 12. Zienldewicz, O. C, Vaüiapan, S-, King, I. P., "Elasto-Plastîc Solutions of Engineering Problems 'Initial Stress' Finite Element Approach", Int. Journal for Numerical Methods in Eng. vi, p75-100 (1969). 30 Mühendis ve Makina - Cilt: 42 Sayı: 502