tüdes/d üendsl Clt:6, ayı:2, 09-2 Nsan 2007 ını eleanlaının nöton dfüzyonuna uyulanasında Cebysev ızlandıası Öznu ENİN *, Ble ÖZENER İTÜ Enej Ensttüsü, Nülee Enej Poaı, 34469, Ayazağa, İstanbul Özet Bu çalışada, boyutlu up ç nöton dfüzyon denlenn çözüü çn ço uplu sını nteal denlenn sabt ya da doğusal sını eleanlaı ayılaştıası sonucu otaya çıan yetnl özdeğe poblenn sayısal çözüünün ızlandıılası onusu ncelenşt. ını eleanlaı yönte sonucu otaya çıan atsayıla atsle dolu ve set olayan ats yapıya sap olup, alaşı yöntelen (sonlu fa, sonlu eleanla) set ve seye yapıda atsayıla atslenden falılı östeeted. Bu nedenle alaşı yöntelede yetnl özdeğe poblenn sayısal çözüünde ullanılan ızlandıa yöntelenn, sını eleanlaına dayalı b esaplaada etn olup olayacağı aaştıılası eeen b onu olaa otaya çıatadı. ee sonlu fa eese sonlu eleanla yetnl özdeğe poblelenn çözüünde Cebysev polnosal ızlandıasının özellle donans oanının yüse olduğu poblelede etn olduğu blneted. Bu çalışada Cebysev polosal ızlandıasının sını eleanlaına dayalı yetnl özdeğe poblelenn çözüünde etnlğnn delenes onu ednlşt. Yapılan sayısal nceleele sonunda set olayan atsayıla ats yapısına ağen sını eleanlaı yetnl özdeğe poblende tü özdeğelen nonneatf olduğu, dolayısıyla Cebysev ızlandıasına uyun olduğu öülüştü. Bu özlele doğultusunda Cebysev polnosal ızlandıası e sabt e lnee sını eleanlaı yetnl özdeğe poblelene uyulanış, yapılan sayısal nceleelele yönten eel ızlandıayı sağladığı öülüştü. Hızlandıanın belendğ b özellle donans oanının büyü olduğu duulada etl olduğu özlenşt. Cebysev yöntenn etnlğnn sağlanasında önel b unsuun donans oanının yetel doğulula ön tan olduğu saptanıştı. Yetel duyalılıla bu tann yapılası alnde ızlandıa e sabt e de doğusal sını eleanı uyulaalaında daa da etn olableted. Anata Kelele: ını eleanlaı, nöton dfüzyonu, Cebysev ızlandıası. * Yazışalaın yapılacağı yaza: Öznu ENİN. oznu@yldz.edu.t; Tel: (22) 259 70 70 dal: 259. Bu aale, bnc yaza taafından İTÜ Enej Ensttüsü, Nülee Enej Poaı nda taalanış olan ını eleanlaı yöntenn nöton dfüzyon denlene uyulanasında Cebysev polnosal ızlandıası adlı dotoa teznden azılanıştı. Maale etn 9.05.2006 tande deye ulaşış, 03.07.2006 tande bası aaı alınıştı. Maale le ll tatışala 3.2.2007 tane ada deye öndeleld.
Ö. Enn, B. Özene Cebysev acceleaton n te applcaton of te bounday eleents to te neuton dffuson equaton Extended abstact Te Bounday Eleent Metod (BEM) s a nuecal tecnque fo te soluton of bounday value pobles n any aeas of enneen. BEM as been developed dun te last two decades and t deves ts populaty fo ts capacty of confnn te unnowns only to te bounday and tus educn te esultn atx densons teendously. Altou ts popety s a clea advantae of BEM, te nonsyetcal and full coeffcent atces poduced by te etod consttute ts dsadvantae copaed to te syetc and spase atces of te Fnte Eleent and Fnte ffeence Metods (FEM and FM). Te applcaton of te BEM to te neuton dffuson equaton as been nvestated by any eseaces dun te last one and a alf decade. In ctcalty eenvalue pobles, te atx wose eenvalues ae sout s foed by a cobnaton of te oup coeffcent atces and ts caactestcs ae expected to affect te conveence ate of te nuecal soluton of te eenvalue poble. Te ost wdespead nuecal etod fo te detenaton of te ultplcaton eenvalue s te fsson souce teaton no atte wc base dscetzaton tecnque (FEM, FM o BEM) s used. But te pobles wee te onance Rato, R, (te ato of te second laest eenvalue to te laest one) s, te fsson souce teaton suffes fo a slow conveence ate. aous acceleaton etods (Cebysev Polynoal Acceleaton (CPA), coase es ebalance) ave been used fo acceleaton of fsson souce teaton wen te dscetzaton etod s FEM o FM. nce BEM sows dffeent atcal caactestcs, te acceleaton of te fsson souce teaton wt BEM as te base etod, loos le a topc wot nvestaton. In ts wo, te ost popula of te acceleaton etod, naely te CPA, as been appled wen te base dscetzaton etod s BEM. Te BEM dscetzaton s based on te ultoup bounday nteal equatons wose soluton s foally equvalent to te soluton of ultoup dffuson equatons n dffeental fo. In pevous eseac wo, bot constant and lnea bounday eleents ave been used fo ts dscetzaton and tese ave been pleented n te FORTRAN poas BM and BML espectvely. In tese poas, te ctcalty eenvalue poble as been solved by te classcal fsson souce teaton. In ts wo, te CPA s foulated fo te soluton of ctcalty eenvalue poble wt BEM as te base dscetzaton etod. Te foulaton s pleented by odfcaton of te pevously entoned poas. Te CPA-pleented poas ae called BMCH and BMLCH fo te constant and lnea bounday eleents espectvely. Te pleentaton s estcted to two densonal ooeneous systes wt zeo flux vacuu and eflectve bounday condtons. Te developed softwae s valdated by copasons wt te analytcal solutons and te esults of te unacceleated poas, BM and BML. A teoetcal nvestaton of te eenvalue spectu of te esultn atces as been caed out by supplyn te atces coputed by BM and BML as nput to te softwae, MATHEMATICA. Usn a newly developed analyss, MATHEMATICA s eployed to detene all eenvalues and te R of te coputed atx. Ts analyss sowed tat all eenvalues ae nonneatve and tus te sutablty of te CPA wen BEM s te base dscetzaton etod. Te poas BMCH o BMLCH develop an estate fo te R dun te fst few teatons po to te onset of te CPA. Tus n ou nvestaton we ad two values fo te R: te tue R detened by MATHEMATICA and R estate poduced by BM(L)CH. Te dffeence between tese values s found to be szable especally fo constant bounday eleents. Neveteless, te CPA s found to be effectve n acceleatn te soluton of te ctcalty eenvalue poble n bot constant and lnea BEM pleentatons. Te acceleaton s found to be a lttle oe effectve wt lnea BEM. Te eason fo ts as been fute nvestated by supplyn te tue R as nput nto te poas and usn ts as te estate fo CPA. Wen te tue R s used, te pefoance of te CPA becoes uc bette as expected. Also te CPA becoes equally effectve n te constant and lnea BEM n contast to te pevously obseved bette pefoance of CPA wt lnea eleents wen te R estate was ntenally eneated. Tus t s concluded tat ts bette pefoance of BEM wt lnea eleents stes just fo te bette R estate poduced elatve to te constant eleent case. Fute eseac sould peaps be dected to povn te alot fo te R estaton by te poa. Keywods: Bounday eleents, neuton dffuson, Cebysev acceleaton. 0
ını eleanlaının nöton dfüzyonuna uyulanasında Cebysev ızlandıası ş ını Eleanlaı Metodu (BEM), çeştl üendsl ve fz poblelenn sayısal çözülende ullanılan önel b tent. BEM, bell b sste ac çnde, bell sını şatlaı altında, çözüü aanan b dfeansyel denlen, tanılanan sonsuz ota een fonsyonlaı yadıı le sadece sste yüzeynde blneyenle çeen b sını nteal denlene dönüştüüles pensbne dayanı. Kısî dfeansyel denlelen sını nteal denlelene dönüştüülee, blneyenlen sadece oojen sste sınılaında tanılanasına ân sağlayan BEM, onlu Fala Metodu (FM) ve onlu Eleanla Metoduna (FEM) öe ço daa üçü boyutta lnee sstele üet. FM ve FEM de elde edlen lnee sste set ve bantlı yapıda en, BEM de dolu ve set olayan b yapı oluştuuyo se de lnee sste boyutlaını üçültes baıından dğe sayısal etodlaa öe b avantaj sağlaatadı. Bu avantajın dğe üendsl dallaında olduğu b nöton dfüzyon denlenn sayısal çözüüne de uyulanası tec sebeb oluştu. Nöton dfüzyon denlenn BEM le çözüünde bço aaştıala yapılıştı. Bu aaştıalaa öne olaa nöton dfüzyon denlenn sebest nöton aynağı ve fsyon aynağı ac nteallen çeesnden dolayı ac nteallenn yüzey nteallene çotan aşıtlılı sını eleanı etodu le dönüştüüldüğü çalışala östelebl (Ozene ve Ozene, 994). Ço uplu nöton dfüzyon esaplaında ye alan uptan uba saçıla tele sını nteal denlende ac nteal olaa öülüle. Bu acsel saçıla ntealle de yüzey nteallene dönüştüülebl (Ozene, 998). Reatöün çoğalta atsayısı esabı yan yetnl özdeğe esabı sayısal analzn en büyü özdeğe bulaya yönel üç teasyonu etodu, nöton dfüzyonunda fsyon aynağı teasyonu adını alı. üç teasyonu etodunun yavaş yaınsaasından dolayı, üç teasyonunun ızlandıılası onusunda çeştl çalışala yapılıştı. İ boyutlu ço uplu nöton dfüzyon denlene FM ve FEM uyulaalaında fsyon aynağı teasyonunun Cebysev polnosal ızlandıa tenğ le ızlandıılabldğ saptanıştı (Alp, 976; Özene ve Kabadayı, 996). eye ve set atsayıla atsne sap olan FM ve FEM n asne BEM de atsayıla ats dolu ve set olayan b yapıda olduğundan, alaşı yöntelede etn olan ızlandıa yöntelenn BEM de etn olup olaayacağı sousu aaştıılaya değe b onudu. Bu nedenle, bu çalışada Cebysev polnosal ızlandıa yöntenn sını eleanlaı yetnl özdeğe poblende ullanılası onusu aaştıılış, elştlen blsaya poalaı aacılığıyla yönten etnlğnn sınanası çn sayısal deneyle yapılıştı. Ço uplu sını nteal denlene BEM n uyulanası Hac, yüzey olan bell b oojen nülee sste çn ço uplu nöton dfüzyon denle,2,, up sayısı ola üzee, s ( ) 2 2 Φ ( ) Φ ( ), () şelnde yazılabl. Buada,, s ve Φ sıasıyla up dfüzyon uzunluğunun tes, dfüzyon sabtn, ayna ve aıyı tesl eteted. () denle, v boşlu ve se yansıtıcı sste sınılaını östee üzee aşağıda velen, Φ( ) 0 (2) v Φ 0 (3) sını şatlaı altında çözülecet. () de velen up aynağı, s ( ) q ( ) + ( δ ) Σ ( ) (4) Φ s, şelnde tanılıdı. Eştl (4) de l te, q up fsyon aynağını östeeted. enle (4) de nc te olan up saçıla aynağı yazılıen upla aası yuaı saçıla oladığı vasayıı yapılıştı. up fsyon aynağı;
Ö. Enn, B. Özene χ q f (5) et f ν Σ Φ (6) f, şelnde tanılıdı. onsuz ota up een fonsyonu (up teel çözüü), 2 2 δ ( (7) denlenn çözüüdü. up teel çözüü up dfüzyon uzunluğunun tesne bağlıdı. İ boyutlu sstele çn, ( ) K 0 (8) 2π buada K 0 nc tü sıfııncı etebe odfye Bessel fonsyonudu (Ozene ve Ozene, 200). () denle teel çözü le çapılıp ac üzenden ntee edlp een n nc özdeşlğ uyulanısa, 2 2 ( ) Φ d s Φ (, d (, ( ) d v + Φ d (9) eştlğ elde edl. (9) eştlğnn sol taafı (7) eştlğnden, Φ δ( Φ d + d v (0) s Φ d d şelnde olu. (0) eştlğnn l te sste yüzeynde süel b tanjanta sap olası şatıyla, δ ( Φ ( ) d c( Φ ( () bçn alı. θ elean aasında açı ola üzee,, c( θ, 2π (2), tanıına sapt. () ve (2) de velen tanıladan dolayı (0) eştlğnden, c( Φ ( + Φ d Φ s d d v (3) sını nteal denle elde edl. (3) denlenn sağ taafında son te, (4) de nc te olan saçıla ac nteallen, I ( ( ) (4) I I s, Σ s, ( ) ) Φ ( d (5) ) çeeted. Yapılan b çalışada Ozene (998) yuaıda saçıla nteallenn yüzey nteallene dönüştüülebleceğ östelşt. Buna öe (3): c( ( d Φ + Φ Φ (, () d d c( Φ ( v (6) Φ + (, Φ() d (, () d v + z () (, d 2
ını eleanlaının nöton dfüzyonuna uyulanasında Cebysev ızlandıası şelnde yazılableted. d atsayılaı b başa çalışada Ozene (998) velşt. ( ) q z ( ) d ϕ ( ) Φ ( ( δ q ( ) ) d Φ ( (7) (8) Φ Φ ' ϕ ( ) ( ) ( δ ) d ( ) (9) tanılaı le (6), c( ϕ ) ( + ϕ ) d d z d v ' (, ϕ ) ( ) (, ( ) bçne dönüştüülebl. Eştl (5) ten (7), z (20) w ( ) f ( ) (2) χ et w χ d (22) şelnde yazılabl. (2) ve (22) eştlle (20) eştlğnde ullanılısa, c( ϕ ( + v w ' ϕ d ϕ d et (23) f d şelnde saçıla ac nteallenn yüzey nteallene dönüştüüldüğü sını nteal denle elde edl. Buada, ϕ ( ) Φ ( ) ( δ (24) ) d Φ ( ) şelnde tanılı olup ve daa önce up aılaının lnee obnasyonu şelnded. ını elean ayılaştıası İ boyutlu oojen bölenn sınıı, e b eleanın eez b nod ola üzee I adet sabt sını eleanına, sste ç de N adet sonlu eleandan oluşan K nodlu sonlu elean ızaasına ayılsın. (23) denle sste yüzeynde nc sını eleanının onu vetölü eez notası çn yazılısa, c( ) ϕ ( ) + v w ' ) ϕ d ) ϕ d et (25) ) f d şeln alı. abt sını eleanı yalaşıında, ϕ ϕ ϕ (26), ϕ ϕ ' ϕ, (27) ϕ, ve ' ϕ, e b sını eleanı çnde sabtt. (25) denlenn sağ taafında ayna fonsyonu, f ( ) K ( ) f (28) şelnde yazılabl, buada ( ) ıncı sonlu elean noduna at baz fonsyonlaıdı. (26), (27) ve (28) de velen yalaşıla (25) te yene yeleştlse, c( ) ϕ ( ) ) d ϕ ( ) j j I + j j j I v j j ϕ d ( j) w K N d f et n n fades elde edl. (29) 3
Ö. Enn, B. Özene, j p, j, N j n ) d j n c δ + ) d ( ) ) d j, j,2,..., I,2,, K (30) da velen tanıla le (29) denle, (30) w ϕ ' + H ϕ P f (3) et şelnde yazılabl. ve H, (IxI) boyutunda ae, P se (IxK) boyutunda ddöten ' atsled. Buada ϕ ve ϕ blneyen ve- töle b u vetöü, ve H blnen atsle de b A ats altında toplanı; (2) ve (3) sını oşullaından blneyenlen yaısı düşüülüse (3) eştlğ atsyel bçnde, A u w P f (32) et şelnde yazılabl. Fsyon aynağı teasyonu sıasında f ve et önöüsü b önce teasyondan blndğ çn (32) eştlğ Cout ayışıı le çözülüp u bulunabl. Öte yandan ç aı esabı çn (23) denle ean b (,2,,K) oodnatlı ç nod çn yazılaa: w ϕ + T ϕ + ' ϕ et R f (33) denle elde edl. (33) eştlğnde l te ç aıyı tesl eteted. Buada, s, j ) d,2,, K j,2,, I j t, j (, ) d n j (34) şelnde tanılıdı. (33) denlenn sağ taafında ayna te yetnl özdeğe poblelende (28) tanıından, ) ( ) d,,2, K (35),, şelnde yazılabl. (33) eştlğnde, vet, (KxI) boyutunda ddöten, R se (KxK) boyutunda ae atsled. Buada (32) eştlğn- de u vetöü, ve T blnen atsle de b T ats altında toplanısa, w ϕ T u + R f (36) et elde edl. (32) çözüldüten sona (36) ve (24) aacılığı le ç aıla esaplanıp yen f ve et önöüsü bulunu. üç teasyonunun Cebysev polnosal etodu le ızlandıılası (6) eştlğnde velen up fsyon aynağı (32) ve (36) eştllende yene yeleştlse, A u w et P ' ν Σ ϕ (37) ' ' f, ' w ϕ T u + R ν Σ ' f, ' ϕ (38) ' et alne el. (37) ve (38) denlelenn sağ taaflaı,2,3,, çn, P ν ' Σ f, ' w P ve R ν ' ' Σ f, ' w R ' ' tanılaalaı le (37) ve (38) eştlle, A u et ' P ' et ' ϕ (39) ' ϕ T u + R ϕ (40) ' ' 4
ını eleanlaının nöton dfüzyonuna uyulanasında Cebysev ızlandıası şelnde yazılabl. (39) eştlğnde u yalnız bıaılıp (40) eştlğnde yene yeleştlp eel düzenleele yapılaa, ϕ B ϕ (4) et ' ' ' fades elde edl. Buada, B T A P + R ' ' ' şelnde tanılanıştı. (4) denle, ' B ' ϕ ϕ,2,3,. (42) ' et şelnde fade edlebl. (42) denlele tü upla çn b aaya etlse, B (43) et las özdeğe-özvetö poble elde edl. Eştl (43) te B atsnn teel özdeğe ve özvetöü üç teasyonu etodundan bulunabl. Bu las özdeğe-özvetö poble (0) l önöüsü le las üç teasyonu alotasıyla; B ( ) ( T ) ( T ) ( ) (44) (45) özdeğe alt-lt ve üst-lt önöüleyle, ( ) 2 ε (48) yaınsaa te eçeleşene ada südüülebl. ve teasyon önöüle ( + ) ( + )...... l l (49) bağıntısını sağlala (aa, 962). Klas üç teasyonu alotasında (44-46), yen özvetö önöüsü çn sadece son esaplanan özvetö ullanılatadı. üç teasyonunun yaınsaa ızının atıılası çn, yen özvetö önöüsünü a p atsayılaı le daa önce esaplanış özvetö önöülenn ( p) ( p 0,,2,, ) b lnee obnasyonu, Θ p 0 a p ( p) (50) şelnde yazılaa, a p atsayılaının yen önöünün eçe özvetöe daa y b yalaşı olasını sağlayaca şelde seçles uyun olacatı. (46) fades yene, (50) fadesnn ullanılası Cebysev polnosal ızlandıa ( p) tenlenn çıış notasıdı. (50) de özvetö önöüle (44) ve (46) denlelenden, şelnde çözülebl. Bu teasyon, n ax ( ) ( ) (46) (47) ( p) p 0 B p (0) (5) eştlğ elde edl. Özdeğe önöülenn aanılan et değene yetence yaın olduğu vasayılısa, ( p) B p (0) (52) 5
Ö. Enn, B. Özene eştlğ elde edl, elde edlen son fade (50) de yene yeleştlse, Θ ap p 0 B p (0) (53) elde edl. ğe taaftan (43) eştlğnde özvetölenn N boyutlu vetö uzayında b baz oluştuduğu vasayılısa ean b vetö baz vetöle cnsnden, (0) N c (0), (53) te yene yeleş- şelnde yazılabl. tlse, (54) (57) de velen donans oanının daa üçü olası alnde, üç teasyonunun yaınsaası daa ızlı olacatı. Bu duuda ata te çn en y nzasyonun, P () ve P (x) değelenn de [0, ] aalığında nu olaca şelde seçles le yapılası üündü (Alp, 976). En y nzasyonun, Cebysev polnolaı cnsnden, 2x T P ( x) (58) 2 T şelnde seçles alnde eçeleşebleceğ östelebl (Haeann, 963). >0 ola üzee nc deece Cebysev polnolaı: Cos( cos x) x T ( x) (59) Cos( cos x) x Θ c P N ( ) + cp (55) 2 İl s T 0 (x) ve T (x)x olan Cebysev polnolaı aasında alne el. Buada, > ve < P (x) le se, p 0, p le özvetö, p P ( x) a x (56) şelnde tanılı nc deece b polnodu. (55) eştlğnn sağ taafında nc te ne ada üçü olusa eçe özvetöe o ada y b yalaşı yapılış olunacatı. Faat c eyf sabtle ve B atsnn özdeğele blnedğnden eçe b nzasyon yapılası üün değld. Bununla blte ata te çn pat b optzasyon yapılabl. ax (57) T x) 2xT ( x) T ( x) (60) + ( şelnde b üç tel eüsf (tealaa) bağıntısı vadı (Mason ve Handscob, 2003). T (x) tanıı (58) ve (60) ta ullanılaa, Cos( σ ) 2x P+ ( x) 2 P( x) + Cos P ( x), Cos Cos[ ( ) σ] [( ) σ ] [( + ) σ ] (6) üç tel b eüsf bağıntısı yazılabl (Haeann, 963). İl polno, 2x 2 P 0( x), P ( x), σ Cos ( ) (62) 2 fadele le beltlşt. Cebysev polnosal ızlandıası çn (6) eüsf bağıntısı ullanılaa, (46) da vetöle yene (53) te () () velen Θ vetöle cnsnden fade edlebl 6
ını eleanlaının nöton dfüzyonuna uyulanasında Cebysev ızlandıası (aa, 96). Cebysev polnolaı le ızlandıılış üç teasyonu: ( ) B Θ (63) T (64) T ( ) Θ ( ) ( ) Θ Θ + α Θ + β Θ Θ ( ) ( 2) ( ) (65) Cebysev polno etodu le ızlandıanın etn olables çn donans oanının yetel doğuluta tan edlesne ve b önöüsüne tyaç vadı. (65) eştlğnde α ve β atsayılaı, üç teasyonunun ızlandıılasında ullanılan Cebysev polnosal ızlandıası etodunun uyulanabllğnn saptanası çn, yetnl özdeğe aaası poble teo olaa ele alınıp MATHEMATICA poaı yadııyla sste özdeğele esaplanıştı. BM(L) çeştl poblele çn oştuuluş, buadan elde edlen velele (43) denlende özdeğe poblende tü özdeğelen saptanası çn MATHEMATICA poaı ullanılıştı. Bu şelde sını eleanlaı etodunda otaya çıan özdeğe spetuuna baılaa, Cebysev ızlandıasının uyulanabllğ anlaşıla stenşt. Eştl (43) te elde edlen las özdeğeözvetö poblenn çözüü ve ele alınan sayısal önele çn Şel de östeldğ b ae b ssten setsnden faydalanılaa, ssten sadece sezde b ele alınıştı. 2 α + β α, α, β 0 (66) 2 2 ve 2 çn, [( ) σ ] 4 Cos α Cos( σ ) [( 2) σ ] Cos β Cos( σ ) şelnde tanılanıştı. (67) 0 y Φ 0 Φ 0 x Φ y 0 ayısal önele BM(L) poaı, yetnl özdeğe poblen las fsyon aynağı teasyonu ullanaa çöze. Bu çalışa çeçevesnde elştlen BMCH ve BMLCH poalaı, sabt ve lnee sını eleanı ullanaa foüle edlen yetnl özdeğe poblenn çözüünü Cebysev polnosal ızlandıası etodu ullanaa eçeleşteted. Poala FORTRAN dlnde yazılış olup, WINOW şlet sste altında oştuuluştu. Şel. Nöton dfüzyon yetnl özdeğe poblele çn çözülenen /8 l eoet ste ena uzunluğu 00 c olan te up dfüzyon poble ena başına 5 sabt sını eleanı ullanılaa foüle edlş ve otaya çıan (43) denlende tanılanan özdeğe poblenn tü özdeğele MATHEMATICA yazılıı le esaplanıştı. Tablo de te uplu özdeğe poble çn nülee sabtle velşt. 7
Ö. Enn, B. Özene Tablo. Te uplu dfüzyon yetnl özdeğe poble çn nülee sabtle (c).77764 Σ f ( c ) 0.004869 ν Σ ( c ) 0.026273 f Σ a ( c ) 0.043676 ω f (J ) 3.2042 0 - P ( Wc ) 4000 Tablo de vele ullanılaa analt çözü sonucu et.46657782 olan bu poblen yuaıda beltlen ızaa le özdeğele MATHEMATICA poaından: Özdeğele: {.45624, 0.725562, 0.479504, 0.34095, 0.242842, 0.7008, 0.5204, 0.25302, 0.0979662, 0.0779552, 0.069879, 0.0500436, 0.04823, 0.08374, 0.023523, 0.009485, 4.00932 0-7, 0., 0., 0., 0.} olaa esaplanıştı. öüldüğü b, set olayan ats yapısına ağen sını eleanlaı foülasyonu sonucu oluşan özdeğe poblende tü özdeğele nonneatft. Bu da Cebysev polnosal ızlandıasının uyulanabllğnn b östeesd. Ayıca bu sonuçlala eştl (57) den nc büyü özdeğe, en büyü özdeğee bölünee donans oanı, 2 0.725562.45624 0.498244 olaa saptanabl. Ayıca MATHEMATICA poaı e özdeğee aşılı elen özvetöü de üetebleted. En büyü özdeğe olan.45624 e aşılı elen özvetö aşağıda velşt. {0.46488, 0.3966, 0.336763, 0.2449, 0.28056, 0.0327058, 0.377873, 0.323277, 0.234453, 0.2334, 0., 0.277602, 0.20709, 0.06066, 0., 0.5408, 0.0790456, 0., 0.054954, 0., 0.0055262} Belendğ b en büyü özdeğee aşılı elen özvetö nonneatft. Yuaıda ele alınan önete ena başına 5 sını eleanı ullanılıştı. Bu önete ena başına sını eleanı sayısı 5 dışında 0, 20, ve 40 alınaa Cebysev ızlandıasız BM ve Cebysev ızlandıalı BMCH poalaı le çözü üetlşt. BMCH poaı Cebysev ızlandıası sıasında donans oanı,, tann end üeteted. Tablo 2 de bu oşulada elde edlen sonuçla özet alnde velşt. Tablo 2. Te uplu dfüzyon yetnl teos özdeğe poblenn sabt sını eleanlaı le sayısal çözü sonuçlaı Poa adı-ızaa et % ata BM-5 0.705 8 33.33 s sy % ata BMCH-5 0.7050 2 0.63 23.05 BM-0 0.902 20 30.00 BMCH-0 0.90 4 0.7047 28.988 BM-20 0.0552 2 28.57 BMCH-20 0.055 5 0.7640 37.55 BM-40 0.094 2 9.05 BMCH-40 0.093 7 0.800 s: İteasyon ayısı sy: İteasyon ayısı Kazanç Yüzdes [{BM(teasyon sayısı)-bmch(teasyon sayısı)} BM(teasyon sayısı)]x00 % ata (( ) / )x00 : MAT PRO MAT Tablo 2 den ızaa nceldçe elde edlen et değelenn analt özdeğee yaınsadığı öületed. Aynı tablo Cebysev polnosal ızlandıası etodunun teasyon sayısını en aba ızaada %33, en nce ızaada %9 azalttığını östeeted. Yan Cebysev etodu ızlandıa sağlaatadı. Aynı tabloda BMCH donans oanlaı tanlenn en 8
ını eleanlaının nöton dfüzyonuna uyulanasında Cebysev ızlandıası aba ızaada %23, en nce ızaada %37 ata çedğ öületed. Büyü olasılıla donans oanı tannde ızaa nceltlesne bağlı ata yüseles nce ızaalada Cebysev etodunun aba ızaalada ada etn olasını önleeted. Bunun doğu olup oladığının sınanası çn BMCH poaının end donans oanı tann üetes enellenş, bunun yene MATHEMATICA taafından esaplanış eçe donans oanlaı dışaıdan dlenee BMCH nın bu değelele çalışası sağlanıştı. Elde edlen sonuçla Tablo 3 te sunuluştu. Tablo 3. eçe donans oanının BMCH poaına dışaıdan dlenes Izaa BMCH-5 BMCH-0 BMCH-20 s 2 2 sy 38.89 40.00 42.86 MAT 0.4982 0.5464 0.557 MAT : MATHEMATICA sonuçlaı Buada öüldüğü b doğu donans oanı le ızaa nceldçe Cebysev ızlandıasının sağladığı azanç azalaata atta atatadı. Şel 3 te ena başına 5 elean öneğ çn BMCH poaından elde edlen öşeen aı dağılılaı le analt aı değelenn aşılaştıılası velşt. 2.5 2.5 0.5 0 Φx0-3 (c -2 sn - ) Analt sonuç BM sonucu BMCH sonucu x,y (c) 0 0 20 30 40 50 Şel 3. Kena başına 5 elean öneğ çn BM-BMCH poaından elde edlen öşeen aı dağılılaının analt aı dağılılaı le aşılaştıılası Şel 3 te öüldüğü b sayısal sonuçla le analt sonuç een een çaışatadı. Şel 4 te BMCH poaından ena başına 5 elean öneğ çn elde edlen aı dağılılaının yüzde atalaının 2 ve 3 boyutlu afle velşt. Şel 2 de ızlandıasız BM ve Cebysev ızlandıalı BMCH poalaından elde edlen ena başına elean sayılaına öe sayısal et değele le analt et değenn aşılaştıılası velşt. et.47.465.46.455.45 Analt çözü BM çözü BMCH çözü 5 0 20 40 ızaa Φ (c -2 sn - ) % ata Şel 2. Tablo 2 de velen sayısal et değele le analt et değenn aşılaştıılası Şel 2 de öüldüğü b BM ve BMCH poalaından elde edlen et değele ızaa nceldçe analt et değene yalaşatadı. Şel 4. Kena başına 5 elean öneğ çn BMCH poaından elde edlen aı dağılılaının yüzde atalaının 2-3 boyutlu öste 9
Ö. Enn, B. Özene Şel 4 ncelense, boşlu sını şatının uyulandığı enada aı dağılılaının yüzde atalaının dee büyüdüğü öületed. Aynı poblen sabt yene lnee sını eleanlaı le çözüüne dlş, yne ena başına elean sayısı 5, 0, 20 ve 40 alınaa çözüle üetlşt. Tablo 2 de sabt eleanla çn velen sonuçlaın tüünün lnee seçles alnde duuu Tablo 4 te sunulatadı. Tablo 4. Te uplu dfüzyon yetnl teos özdeğe poblenn lnee sını eleanlaı le sayısal çözü sonuçlaı Poa adı-ızaa et % ata s sy % ata BML-5.8369 9 36.84 BMLCH-5.8368 2 0.5220 0.672 BML-0 0.520 20 40.00 BMLCH-0 0.59 2 0.655 2.33 BML-20 0.362 2 33.33 BMLCH-20 0.36 4 0.7034 26.32 BML-40 0.0354 2 28.57 BMLCH-40 0.0353 5 0.7596 Tablo 4 ncelense lnee sını eleanlaının tıpı sabt sını eleanlaı b et de analt değee yaınsadığı öületed. Anca lnee eleanla le elde edlen % atala baz fazladı. Bu duu daa önce yapılan b çalışada da özlelenşt Ozene (998) ve şaşıtıcı değld. Bu duu büyü olasılıla lnee eleanlada öşe nodlada aı tüevnden aynalanatadı (Bebba, 989). Bu soun öşe nodlada çft nod tanıı yönte le aşılableted, anca bz çalışaızda buna ye veleşt. Tablo 4, Tablo 2 le aşılaştıılısa, teasyon sayısı azanç oanlaının, lnee eleanlada sabt eleanlaa öe daa yüse olduğu öületed. Bunun neden se lnee eleanlada poa taafından üetlen donans oanı tanlenn sabt sını eleanladane öe daa az ata çeesd. Anca lnee eleanlada da ızaa nceldçe donans oanı tan ötüleşeted. abt sını eleanladane benze şelde lnee eleanlada da MATHEMATICA nın üettğ eçe donans oanlaı dışadan dlenee oşula yapılıştı. Bu oşulaın sonuçlaı Tablo 5 te sunulatadı. Tablo 5. eçe donans oanının BMLCH poaına dışaıdan dlenes Izaa BMLCH-5 BMLCH-0 BMLCH-20 s 2 2 sy 42. 40.00 42.86 MAT 0.585 0.5480 0.5569 Tablo 5 te öüldüğü b eçe donans oanlaının les alnde teasyon sayılaı düşete ve Cebysev ızlandıası ço etn olatadı. Tablo 3 le Tablo 5 b aada ncelendğ tadde doğu donans oanının dlenlenes alnde Cebysev ızlandıasının sabt ve lnee eleanlada een een aynı deecede etn olduğu öületed. onuç Bu çalışada, sını eleanlaının nöton dfüzyon denlene uyulanasında otaya çıan özdeğe poblenn çözüünün Cebysev polnosal yönteyle ızlandıılası foüle edlee ncelenş ve ızlandıanın eçeleştğ saptanıştı. Ayıca Cebysev polnosal yöntenn ızlandıada etnlğnn eçeğe yaın b donans oanı tan yapılasına bağlı olduğu özlelenşt. Bundan sona aaştıalada daa y donans oanı tanne yönel alota elştles onusuna ağılı veles yende olacatı. Kaynala Alp, C., (976). aa tatası bçnde yen b avuz tp aaştıa eatöünün nöton fz dzayn esaplaı, otoa Tez, İ.T.Ü. Nülee Enej Ensttüsü, İstanbul. Bebba, C.A., (989). Bounday eleents:an ntoductoy Couse, Coputatonal Mecancs Publcatons, Avon. Haeann, L.A., (963). Nuecal etods and tecnques used n two-densonal neuton dffuson poa, PQ-5, (Betts Atoc Powe Laboatoy epot WAP-TM-364, 963). 20
ını eleanlaının nöton dfüzyonuna uyulanasında Cebysev ızlandıası Mason, J.C., Handscob,.C., (2003). Cebysev polynoals, Capan&Hall/CRC, Boca Raton, Fla. Ozene, B. ve Ozene, H.A., (994). Te applcaton of te ultple ecpocty etod to te bounday eleent foulaton of te neuton dffuson equaton, Annals of Nuclea Eney, 2,, 7-723. Ozene, B., (998). A bounday nteal equaton fo bounday eleent applcatons n ultoup neuton dffuson teoy, Annals of Nuclea Eney, 25, 6, 347-357. Özene B., Kabadayı, Y., (996). füzyon teos yetnl özdeğe poblenn sonlu eleanla yönteyle çözüünde Cebysev polnosal ızlandıası, II. Ulusal Nülee Blle ve Tenolojle Kones, İTÜ, Nülee Enej Ensttüsü, -6 Eylül. Ozene B. and Ozene, H.A., (200). A ulteon bounday eleent etod fo ultoup neuton dffuson calculatons, Annals of Nuclea Eney, 28, 6, 585-66. aa, R.., (96). Nuecal etods fo solvn ultoup dffuson equatons. Poceedns of yposa n Appled Mateatcs, Nuclea Reacto Teoy,, 64-89. Aecan Mateatcal ocety, Povdence, Rode Islands. aa, R.., (962). Matx teatve analyss, Pentce-Hall, Enlewood Clffs, N.J. 2