ÖZEL EGE LĠSESĠ ġeklġndekġ ĠFADELERĠN SADELEġTĠRĠLEMEZ VEYA SADELEġTĠRĠLEBĠLĠR OLMASI ĠÇĠN GEREKEN KOġULLAR HAZIRLAYAN ÖĞRENCĠ: Ersin ĠSTANBULLU DANIġMAN ÖĞRETMEN: Defne TABU ĠZMĠR 2013
ĠÇĠNDEKĠLER 1. PROJENĠN AMACI... 3 2. GĠRĠġ... 3 3. ÖN BĠLGĠLER... 4 3.1 Bölünebilirlik... 4 3.2 Bölünebilme ve Özellikleri... 4 3.3 En Büyük Ortak Bölen... 5 3.4 Öklid Algoritması... 6 4. DÜZENLĠ KESĠRLER... 6 5. DÜZENLĠ OLMAYAN KESĠRLER... 8 6. ÖZEL DURUMLAR... 12 SONUÇ... 13 KAYNAKLAR... 14 TEġEKKÜR... 14 2
1. PROJENĠN AMACI Bu projenin amacı, olimpiyat sorularında sıkça karşılaştığımız şeklindeki ifadelerin sadeleştirilebilir veya sadeleştirilemez olduğunu göstermek için yeni, daha basit ve kullanışlı bir yöntem önermektir. 2. GĠRĠġ Matematik olimpiyatlarında ve olimpiyat kitaplarında aşağıdaki soru tipleriyle ile sıkça karşılaşılmaktadır [2]: SORU 1: Her n tam sayısı için kesrinin sadeleştirilmeyeceğini gösteriniz. SORU 2: Hangi n tam sayı değerleri için ifadesi sadeleştirilebilirdir? Yukarıdaki sorularda yer alan matematiksel ifadeleri genel olarak şeklinde yazabileceğimiz açıktır. Bunu göz önüne alarak yukarıdaki soruları aşağıdaki şekilde genelleştirebiliriz: PROBLEM: a, b, c, d tam sayıları verilsin. Her n tam sayısı için ifadesinin tanımlı olduğu yerlerde sadeleştirilemeyeceğini veya hangi n tam sayıları için ifadesinin sadeleştirilebileceğini gösteriniz. Yukarıdaki sorular Öklid Algoritması nın yardımıyla çözülebilmektedir [5]. Proje altı bölümden oluşmaktadır. Birinci bölümde projenin amacına değinilmiş, ikinci bölümde ise giriş bölümüne yer verilmiştir. Üçüncü bölümde sayılar teorisinden temel bilgiler yer almaktadır. Bölünebilirliğe özellikle değinilmiş ve en büyük ortak bölen ile ilgili temel bilgi ve teoremlere yer verilmiştir. Dördüncü bölümde düzenli kesirler başlığı altında tam sayı değerleri için sadeleşememesini sağlayan kurallar belirlenmiştir. şeklindeki ifadelerin n nin tüm BeĢinci bolümde ise düzenli olmayan kesirler başlığı altında hangi koşullar altında sadeleştirilebileceği belirlenmiştir. şeklindeki ifadelerin Projenin altıncı bölümünde a, b, c, d parametrelerinden herhangi birinin 0 olduğu özel durumlar incelenmiştir. Proje, Sonuç, Kaynaklar ve TeĢekkür bölümleri ile sonlandırılmıştır. 3
3. ÖN BĠLGĠLER Bu bölümde sayılar teorisinden bölünebilirlik ile ilgili temel bilgilere ve matematiksel gösterimlere yer verilmiştir. Sayma sayılarına pozitif tam sayılar denir. Bu kümeyi N 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9,10,11,... ile gösterelim [4]. N0 N 0 = {0, 1, 2, 3,,} ile negatif olmayan tam sayılar kümesini ve Z = { -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, } ile de tam sayılar kümesini gösterelim. Asal Sayılar: Yalnız 1 ve kendisi ile tam olarak (yani kalan bırakmadan) bölünebilen 1 den büyük tam sayılara asal sayılar denir. Örnek olarak 5, 11 ve 23 ü verebiliriz. Bileşik Sayı (Composite Number): 1 den büyük, iki veya daha fazla çarpanı olan pozitif tam sayılara bileşik sayı denir. Bileşik sayılar asal olmayan sayılardır [1]. 3.1 Bölünebilirlik Bölme Algoritması: a, b tam sayılar ve a 0 olmak üzere b ac olacak şekilde c tam sayısı varsa a, b yi böler denir ve a bşeklinde gösterilir. a ya b nin böleni, b ye de a nın tam katı denir. a b ve 1 a b ise a ya b nin has böleni adı verilir. a, b yi bölmezse bu durum a b şeklinde gösterilir. TEOREM 3.1.1 (Bölme Algoritması): a, b herhangi iki tam sayı ve b 0 olsun. Bu takdirde a bq r, 0 r b olacak şekilde tek bir q ve r tam sayı çifti vardır. Teoremin ifadesinde geçen q ya bölüm; r ye de kalan adı verilir [5]. 3.2 Bölünebilme ve Özellikleri TEOREM 3.2.1 Bölünebilmenin aşağıdaki özellikleri vardır [3]: i) a 0 olmak üzere a 0 ve a a dır. ii) 1 b dir. 4
iii) a bise a bc dir. iv) a bve b cise a c dir. v) a bve a cise a bx cy dir. Bu ifade, i 1,2,..., n ve xi Zolmak üzere a bi ise a b1 x1 b2 x2... bnx n şeklinde genelleştirilebilir. vi) a 0 için ab ac ise b c dir. vii) a bve b aise a b viii) a bve b 0 ise ( b a) b dir. ix) Eğer bir p asal sayısı ab yi bölüyorsa, o zaman p a veya p b dir. x) Eğer m a ve n a ise ve m ile n nin 1 den büyük ortak böleni yoksa o zaman mn a dır. 3.3 En Büyük Ortak Bölen Eğer a ve b tam sayıları d tam sayısına bölünüyor ise, o zaman d ye bu sayıların ortak böleni denir. a ve b sayılarını tam bölen en büyük ortak bölene ise en büyük ortak bölen denir. a ve b sayılarının en büyük ortak bölenini (a, b) şeklinde göstereceğiz. TEOREM 3.3.1 a, b keyfi, aynı zamanda sıfıra eşit olmayan sayılar olsun. O zaman öyle u ve v tam sayıları vardır ki, (3.1) olur [4]. SONUÇ (a, b), a ve b sayılarının her bölenine bölünür. TEOREM 3.3.2 ab, c ye bölünsün ve (a, c) =1 olsun. O zaman dir. TEOREM 3.3.3 a, b birer tam sayı, t bir doğal sayı ve (a, t) = 1 olsun. O zaman öyle yalnız ve yalnız r sayısı vardır ki, olur [5]. 5
3.4 Öklid Algoritması En büyük ortak bölen tanımı ebob un bulunması ile ilgili bir metod vermez, verilen a, b tam sayıları için (a,b) ile gösterilen ebob, sistematik olarak Öklid Algoritması ile bulunur [4]. Aşağıda bu metodun nasıl uygulanacağı gösterilecektir. üzere Verilen tam sayılarına bölme algoritması uygulanırsa, bölüm, kalan olmak olur. Eğer ise olur ve dir. Eğer ise çiftine bölme algoritması uygulanarak elde edilir. Eğer ise işlem biter, (a, b) tam sayı çiftinin en büyük ortak bölenini bulma işlemi çiftinin en büyük ortak bölenini bulma işlemine indirgenmiş olur. Eğer ise çiftine bölme algoritması uygulanır ve elde edilir. Yukarıdaki düşünce kalan sıfır oluncaya kadar sürdürülür. şeklinde negatif olmayan tam sayıların azalan bir dizisi elde edilir. Bu dizi sonsuz olamaz, bir k.cı adımdan sonra olur. şeklinde bir denklem grubu elde ederiz. Sıfırdan farklı son kalan olan, verilen a, b tam sayılarının en büyük ortak bölenidir. Gerçekten; son denklemden olduğu, sondan ikinci denklemden olduğu, böylece devam edilerek ikinci ve birinci denklemlerden de sırası ile, olduğu görülür. Yine ise yukarıdaki denklemler topluluğundaki birinci denklemden olduğu görülür, yani dır. 4. DÜZENLĠ KESĠRLER a, b, c, d sabit tam sayılar (parametreler) ve n herhangi bir tam sayı olmak üzere şeklindeki ifadelere bakalım. 6 (4.1)
n herhangi bir tam sayı olmak üzere (4.1) ifadesinin sadeleşememesi için a, b, c, d parametreleri arasındaki bağıntının nasıl olması gerektiğini belirleyelim. b ve d sayılarının aralarında asal olması gerektiği açıktır. Aksi halde, olduğunda (4.1) ifadesi sadeleştirilebilir olacaktır. Yani, ve (4.2) olmasını öneriyoruz. Ayrıca a, b, c ve d sayılarının her birinin 0 dan farklı olması gerektiğini kabul edelim. LEMMA 4.1 Eğer (4.1) ifadesinin pay ve paydası m ye bölünüyorsa, o zaman n ve m sayıları, aynı zamanda ve m sayıları da aralarında asaldır. ĠSPAT ve olsun. O zaman, olduğundan olur. Diğer taraftan, olduğundan elde edilir. Benzer şekilde, olduğundan dir. Buradan ise olduğundan dir. Böylece, elde edilir. Yani s = 1 dir. Buna benzer olarak, olmak üzere ise ve olduğundan dır. olduğundan elde ederiz. Buradan olur. Aynı şekilde olduğu görülebilir. Ama olduğu için dir. TEOREM 4.1 Bazı zaman değerleri için (4.1) ifadesinin pay ve paydası m doğal sayısına bölünsün. O (4.3) olmak üzere m sayısı tam sayısının bir bölenidir. ĠSPAT olsun. O zaman, ve olacak şekilde ve tam sayıları vardır. Eğer (4.1) ifadesinin pay ve paydası m ye bölünüyorsa, (4.4) 7
olduğu açıktır. Ama olduğu için, (4.4) ifadesini şeklinde yazabiliriz. O halde, (4.5) olduğundan elde edilir. Şimdi, nun hangi değerleri için (4.1) ifadesinin sadeleşmeyeceğine bakalım: TEOREM 4.2 Eğer (4.6) ise (4.1) ifadesi sadeleştirilemezdir. ĠSPAT (4.6) şartına göre, olması gerekir. O zaman, Teorem 4.1 den, her için (4.1) ifadesinin pay ve paydasının m ortak böleni 1 e eşittir (öyle ki, ). TANIM Eğer (4.1) ifadesinin parametreleri (4.6) koşulunu sağlıyorsa, o zaman (4.1) ifadesine düzenli kesir denir. ÖRNEK 4.1 ifadesine bakalım.. olduğundan Teorem 4.2 ye göre bu ifade düzenli kesirdir, yani sadeleştirilemezdir. 5. DÜZENLĠ OLMAYAN KESĠRLER Şimdi ise (4.1) ifadesinin düzenli olmadığı duruma bakalım. Bu (4.3) eşitliliği ile belirlenen değerinin 1 den farklı olduğu anlamına gelir. 8
TEOREM 5.1 olduğunda, (4.1) ifadesi yalnız ve yalnız veya olmak üzere, değerleri için sadeleştirilemezdir. ISPAT Eğer ise o zaman, dir. Benzer olarak, ve dir. Diğer taraftan, olduğundan ve Teorem 3.3.2 den ve, yani, olacak şekilde ve tam sayıları vardır. O zaman,, dir. Bu şekilde incelediğimiz durum, olmak üzere dir. Benzer olarak, olduğunda, (4.1) ifadesi yalnız ve yalnız veya, (eğer ) değerleri için sadeleştirilemezdir. ÖRNEK 5.1 ifadesinin hangi tam sayı değerleri için sadeleştirilemeyeceğini inceleyelim. Bu ifade için, dır. İfadeyi düzenlersek, elde ederiz. Burada, olduğundan olur. O halde, ve değerleri için sadeleştirilemezdir. ÖRNEK 5.2 ifadesinin hangi tam sayı değerleri için sadeleştirilemeyeceğini inceleyelim. Bu ifade için, dır. İfadeyi düzenlersek elde ederiz. Burada, olduğundan olur. iken, tam sayı olmadığı için, ifade sadece iken sadeleştirilemezdir. 9
Şimdi ise yani, olsun. TEOREM 5.2 Eğer iken sayısı ya da olacak şekilde bir m>1 tam sayı bölenine sahip ise bazı değerleri için (4.1) ifadesinin pay ve paydası m ile bölünür. ĠSPAT sayısı vardır ki ve olsun. O zaman Teorem 3.3.3 den öyle bir tam dir. (4.5) e dayanarak, elde ederiz. Buradan, olduğundan, ve olduğu bulunur. olduğundan Teorem 3.3.2 den ve dir. Dolayısıyla, n = r alındığında (4.1) ifadesinin pay ve paydası m ye bölünür, yani (4.1) ifadesi her n tam sayısı için sadeleştirilemez değildir. Benzer şekilde, ve iken de (4.1) in bazı n değerleri için m ile bölündüğü gösterilebilir. Şimdi olduğu durumlar için örneklere bakalım. ÖRNEK 5.3 ifadesine bakalım. Bu ifade için, dir. sayısı 2 ve 3 ile bölünür. Üstelik ve dir. O halde Teorem 5.2 den ifadenin pay ve paydası n nin bazı değeri için 2 (veya 3) ile bölünür. Şimdi ise n değerlerini bulalım: ve olmalıdır. Her n tam sayı değeri için, olduğundan durumuna bakmak yeterlidir. veya ve olmalıdır. Her n tam sayı değeri için, olduğundan durumuna bakmak yeterlidir.,, 10
Gerçekten ve, iken 2 ile, için ise 3 ile bölünür. ÖRNEK 5.4 ifadesine bakalım. Bu ifade için dür. sayısı 2 ve 4 ile bölünür. Ama ve değerlerinden hiçbiri aralarında asal değildir. O halde Teorem 5.2 den ifadenin pay ve paydası n nin hiç bir tam sayı değeri için sadeleştirilemez. SONUÇ Genel durumda, eğer b sayısı sayısına veya d sayısı sayısına bölünmüyor ise herhangi bir n tam sayısı için an + b ve cn + d ifadelerinin m sayısına bölünmesi mümkün değildir. ÖRNEK 5.5 ifadesinin hangi n değerleri için sadeleştirilebileceğini hem Öklid Algoritması hem de bizim önerdiğimiz yöntemle bulalım. 1. Yol (Öklid Algoritması Kullanılarak) veya veya değerleri için, yani olmak üzere veya veya değerleri için sadeleştirilebilirdir. 2. Yol (Önerdiğimiz Yeni Yöntem ile Çözüm) ifadesi için, dür. sayısı 61,11 ve 3 ile bölünür. Üstelik, ve dir. O halde Teorem 5.2 den ifadenin pay ve paydası n nin bazı değeri için 61, 11 veya 3 ile bölünür. 11
Şimdi ise n değerlerini bulalım: olduğundan ve olmalıdır. Her n tam sayı değeri için, durumuna bakmak yeterlidir. veya ve olmalıdır. O zaman,, olur. veya ve olmalıdır. O zaman,, olur., Gerçekten ve, bir tam sayı olmak üzere, iken 61 ile, iken 3 ile ve iken ise 11 ile bölünür. 6. ÖZEL DURUMLAR Şimdi ise a, b, c, d değerlerinden herhangi birinin 0 olduğu durumu inceleyelim. Durum 1: b = 0 olduğu duruma bakalım: n = d iken ifadesinin her durumda sadeleşebilir olacağı açıktır. Durum 2: a = 0 olduğu duruma bakalım: m, ifadesinin pay ve paydasını bölen bir sayı olsun. p yi, b sayısının asal çarpanlarından biri olarak kabul edersek, olur. 12
Aşağıdaki dört alt durumu inceleyelim: a) ve ise; ifadesini sadeleştirebilecek bir n tam sayısı bulunur. b) ve ise; ifadesini sadeleştirecek bir n tam sayısı bulunamaz. c) ve ise; ifadesini sadeleştirecek bir n tam sayısı bulunur. d) ve ise ifadesini sadeleştirecek bir n tam sayısı bulunabileceğini Teorem 3.3.3 e dayanarak söyleyebiliriz. c ve d nin sıfır olduğu durumlar aynı şekilde incelenebilir. SONUÇ Bu projede, ifadesi için a, b, c, d parametrelerine bağlı formülü geliştirilmiştir. nun alacağı değerlere göre ifadenin sadeleştirilebileceği veya sadeleştirilemeyeceği belirlenmiştir. Önerdiğimiz yöntem ile Öklid Algoritması kullanılarak yapılan yöntemi karşılaştırdığımızda, bulduğumuz yöntemle ifadenin sadeleşip sadeleşemediği tek basamakta görülmektedir, Öklid algoritmasında ise çok fazla bölme işlemi kullanılmakta bu da işlem hatası yapma riskini arttırmaktadır. gösterilmiştir. Bu bilgilerin ışığında aşağıdaki sonuçlara ulaşılmıştır: 1. değeri, 1 iken (yani düzenli kesir ise) ifadesinin sadeleştirilemez olduğu 2. değeri 0 iken ifadesinin yalnız n nin 0 veya (eğer, ) değerleri için sadeleştirilemez olacağı gösterilmiştir. 3. iken sayısı, ya da olmak şartıyla m>1 bölenine sahip ise o zaman bazı değerleri için ifadesinin sadeleştirilebileceği gösterilmiştir. 13
KAYNAKLAR [1] Aliyev Ġ., Özdemir M., ġıhaliyeva D.,(2006), Ulusal Antalya Matematik Olimpiyatları Sorular ve Çözümler 1996-2005, TUBİTAK Yayınları, Ankara, - 205 s. [2] Alizade, R., Ufuktepe, Ü., (2006), Sonlu Matematik. Olimpiyat Soruları ve Çözümleri, TÜBİTAK Yayınları, Ankara, - 273 s. [3] Cangül Ġ.N., Çelik B.,(2002), Sayılar Teorisi Problemleri, Paradigma Akademi, İstanbul, - 376 s. [4] Jung H. W. E, (1962),Çeviren: ĠÇEN O. ġ., Sayılar Teorisine Giriş, Türk Matematik Derneği, İstanbul, - 176 s. [5] KarakaĢ H.Ġ., Aliyev Ġ.,(2001), Sayılar Teorisinde İlginç Olimpiyat Problemleri ve Çözümler, TUBİTAK Yayınları, - 243 s. TEġEKKÜR Proje süresince, çalışmalarımda katkılarını esirgemeyen proje danışmanım Defne TABU ya, Bilim Kurulu Eş Başkanı (Matematik) Dr. Gizem GÜNEL e, matematik eğitimimde katkıları bulunan tüm öğretmenlerime ve benden desteğini esirgemeyen aileme teşekkürü bir borç bilirim. Ayrıca araştırmalarım için gereken her türlü kolaylığı sağlayan okul müdürümüz Sayın Aylin MUSLUOĞLU na, müdür yardımcımız Sayın F. Necla ATIL a teşekkür ederim. Ersin İSTANBULLU 14