EZ ONAYI Göhan Soysal arafından hazırlanan Mulisai Hedef aibi Başarım Analizinde Gözlenen Bilgi Marisi Kullanımı adlı ez çalışması 08/06/01 arihinde a

ANKARA ÜNİVERSİESİ FEN BİLİMLERİ ENSİÜSÜ DOKORA EZİ MULİSAİK HEDEF AKİBİ BAŞARIM ANALİZİNDE GÖZLENEN BİLGİ MARİSİ KULLANIMI Göhan SOYSAL ELEKRONİK MÜHENDİSLİĞİ ANABİLİM DALI ANKARA 01 Her haı salıdır

EZ ONAYI Göhan Soysal arafından hazırlanan Mulisai Hedef aibi Başarım Analizinde Gözlenen Bilgi Marisi Kullanımı adlı ez çalışması 08/06/01 arihinde aşağıdai jüri arafından oy birliği ile Anara Üniversiesi Fen Bilimleri Ensiüsü Eleroni Mühendisliği Anabilim Dalı nda DOKORA EZİ olara abul edilmişir. Danışman: Doç. Dr. Mura EFE Jüri Üyeleri: Başan : Prof. Dr. Orhan Arıan İhsan Doğramacı Bilen Üniversiesi Eleri-Eleroni Mühendisliği Anabilim Dalı Üye : Doç. Dr. Ziya ELAAR Anara Üniversiesi Eleroni Mühendisliği Anabilim Dalı Üye : Doç. Dr. Cağaay Candan Oradoğu eni Üniversiesi Eleri-Eleroni Mühendisliği Anabilim Dalı Üye : Doç. Dr. Mura EFE Anara Üniversiesi Eleroni Mühendisliği Anabilim Dalı Üye : Yrd. Doç. Dr. Cüney BARLAK Anara Üniversiesi Eleroni Mühendisliği Anabilim Dalı Yuarıdai sonucu onaylarım. Prof. Dr. Özer KOLSARICI Ensiü Müdürü

ÖZE Doora ezi MULİSAİK HEDEF AKİBİ BAŞARIM ANALİZİNDE GÖZELENEN BİLGİ MARİSİ KULLANIMI Göhan SOYSAL Anara Üniversiesi Fen Bilimleri Ensiüsü Eleroni Mühendisliği Anabilim Dalı Danışman: Doç. Dr. Mura EFE Son yirmi yılda eleromanyei yayın aynalarının çoğalması ile pasif mulisai radar sisemleri büyü önem azanmışır. Bu ür sisemlerin asarım ve başarımlarının analizinde ullanılabilece ii isaisisel araç, Fisher bilgi marisi ve Gözlenen bilgi marisidir. ez çalışmasında, Fisher bilgi marisinin değişimine bağlı olara, hedef aibinin belirli bir doğrulua gerçeleşirilebileceği mulisai radar ağı geomerisi önerilmişir. Önerilen radar ağında, merezi ve dağıı bilgi birleşirme enileri ullanılara hedef aibi başarımı incelenmiş ve parçacı filre ve ovaryans esişim yönemleri emeline dayanan dağıı hedef aip algoriması önerilmişir. Önerilen yönemin başarımı benzeim yoluyla incelenmiş ve hedef aibinin merezi bilgi birleşirmeyle gerçeleşirildiği durum ile arşılaşırılmışır. Ayrıca, Fisher bilgi marisinin sadece onrollü benzeim oramında elde edilebiliyor olmasından dolayı, gerçe sisemlere de uygulanabilirliği olan sonsal gözlenen bilgi marisi mulisai radar ağında incelenmiş ve sonsal gözlenen bilgi marisinin özyinelemeli hesaplanması için gereli üreim gerçeleşirilmişir. Yapılan çalışmalarda, sonsal gözlenen bilgi marisinin, radar ağında hedef aip başarımının arırılması ve ağ yöneimi için ullanılabileceği göserilmişir. Haziran 01, 168 Sayfa Anahar Kelimeler: Mulisai hedef aibi, gözlenen bilgi marisi, sonsal Cramer Rao al sınırı, doğrusal olmayan filreleme, sensör ağları i

ABSRAC Ph. D. hesis USE OF OBSEREVED INFORMAION MARIX IN MULISAIC ARGE RACKING PERFORMANCE ANALYSIS Göhan SOYSAL Anara Universiy Graduae School of Naural and Applied Sciences Deparmen of Elecronics Engineering Supervisor: Assoc. Prof. Mura EFE In he las wo decades, passive mulisaic radar sysems gained grea imporance and become a prolific research area. he Fisher informaion and he observed informaion marices are he wo saisical ools ha can be exploied o design and analyze hese ind of sysems. In his hesis, a mulisaic radar newor geomery, where arge racing can be carry ou wih paricular accuracy, has been proposed by analyzing he variaion of he Fisher informaion marix. arge racing performance has been analyzed via cenral and disribued daa fusion echniques in he proposed radar newor. A disribued arge racing algorihm based on paricle filering and covariance inersecion mehods has been proposed. Performance of he proposed algorihm has been analyzed via simulaions and he resuls have been compared wih he cases where cenral daa fusion was carried ou. Since he Fisher informaion can only be calculaed in a conrolled simulaion, he poserior observed informaion ha can be calculaed in real ime sysems, has also been analyzed in he mulisaic radar newor and required derivaion for recursive compuaion of he poserior observed informaion marix has been carried ou. I has been shown wih simulaion resuls ha he poserior observed informaion marix can be uilized for boh improving arge racing performance and managing he sensors deployed in he radar newor. June 01, 168 pages Key Words: Mulisaic arge racing, observed informaion marix, poserior Cramer Rao lower bound, nonlinear filering, sensor Newors ii

EŞEKKÜR ez çalışmasının her aşamasında, bilgisi ve ecrübesi ile bana yol göseren, oraya çıan problemlerin aşılmasında yapığı öneriler ile çalışmanın bu noaya gelmesinde büyü payı olan danışmanım Doç Dr. Mura EFE ye (Anara Üniversiesi Eleroni Mühendisliği Bölümü) eşeür ederim. ez çalışması süresince yapılan ez izleme oplanılarına aılan ve fiirleri ile aıda bulunan Sayın Prof. Dr. Orhan ARIKAN (İhsan Doğramacı Bilen Üniversiesi Eleri-Eleroni Mühendisliği Bölümü) ve Sayın Doç. Dr. Ziya ELAAR a (Anara Üniversiesi Eleroni Mühendisliği Bölümü) eşeür ederim. Göhan SOYSAL Anara, Haziran 01 iii

İÇİNDEKİLER ÖZE... i ABSRAC... ii EŞEKKÜR... iii ŞEKİLLER DİZİNİ... vi ÇİZELGELER DİZİNİ... ix 1. GİRİŞ... 1. KURAMSAL EMELLER... 9.1 Sisem Durum Uzay Modeli... 9. Filreleme Problemi ve Bayes Çözümü... 10..1 Sonsal dağılımın özyinelemeli hesaplanması... 11.3 Filreleme Problemi Çözümleri... 13.3.1 Kalman filre... 13.3. Genişleilmiş Kalman filre... 15.3.3 Unscened Kalman filre... 16.3.3.1 UKF algoriması... 18.3.3.1.1 Sigma noalarının hesaplanması... 18.3.3.1. Zaman güncellemesi... 0.3.3.1.3 Ölçüm ile durum güncellemesi... 1.3.4 Parçacı filre... 1.3.4.1 Mone Carlo inegrasyonu....3.4. Önem örneleme yönemi... 3.3.4.3 Ardışı önem örnelemesi yönemi ile durum sonsal dağılımının esirimi... 3.3.4.4 Örneleme, önem yeniden örneleme parçacı filre... 8.3.5 Çolu sensör oramında filreleme... 30.4 Fisher Bilgisi ve Sonsal Cramer-Rao Al Sınırı... 31.4.1 Sonsal Cramer-Rao Al Sınırı... 3.4.1.1 oplanır Gauss gürülüsü varlığında PCRLB... 33.4. Çolu sensör oramında Fisher bilgisi... 35.5 Gözlenen Bilgi Marisi... 36.5.1 Çolu sensör oramında OIM... 38.6 Kovaryans Kesişim Yönemi... 38 iv

3. MULİSAİK RADAR AĞI MODELLEMESİ... 41 3.1 Bisai Menzil ve Menzil-Hızı Ölçümleri... 41 3. Fisher Bilgisi ve CRLB... 4 3.3 Alıcı Verici Geomerisinin Fisher Bilgisine Göre İncelenmesi... 43 3.4 Sonuç... 55 4. SONSAL OIM nin ÖZYİNEMELİ HESAPLANMASI... 56 4.1 Doğrusal Gauss Durumu... 63 4. Doğrusal Olmayan Sisem ile oplanır Gauss Gürülüsü Durumu... 66 5. DURUM SONSAL DAĞILIMINA GAUSS DAĞILIMI YAKLAŞIMI... 70 5.1 Durum Öngörüm Dağılımının İncelenmesi... 76 5. Olabilirli Fonsiyonunun İncelenmesi... 84 5.3 Sonuç... 99 6. MULİSAİK RADAR AĞINDA HEDEF AKİBİ VE SONSAL OIM... 101 6.1 Benzeim Oramı ve Başarım Ölçüleri... 10 6.1.1 Başarım Ölçüleri... 107 6. Merezi Bilgi Birleşirme: SIR Parçacı Filre ve UKF... 109 6.3 Dağıı Bilgi Birleşirme: SIR Parçacı Filre ve Kovaryans Kesişim Yönemi... 16 6.4 Sonsal OIM nin Ölçüm Seçiminde Kullanımı... 134 7. ARIŞMA VE SONUÇ... 14 KAYNAKLAR... 146 EKLER... 151 EK 1 Fisher Bilgisi Marisinin Elemanlarının Hesaplanması... 15 EK Sonsal OIM in Hesaplanmasında Maris Çarpımları... 157 EK 3 OIM için Olabilirli Fonsiyonunun Logarimasının Hesyanı... 159 ÖZGEÇMİŞ... 167 v

ŞEKİLLER DİZİNİ Şeil 1.1 Bisai radar geomerisi... 3 Şeil.1 Şeil. İi boyulu normal dağılımlı bir rasgele değişenin doğrusal olmayan dönüşümün ardından il ii momenin gerçe değerleri ile EKF ve unscened dönüşüm yalaşımları (Wan ve Van der Merwe 001)... 17 x boyulu ovaryansların eşili (.75) ile farlı çapraz ilini değerleri birleşirilmesi (Julier ve Uhlmann 001)... 39 Şeil.3 Farlı ağırlılar ile x boyuundai ovaryansların birleşirilmesi... 40 Şeil 3.1 XY düzleminde oluşurulan ızgara... 45 Şeil 3. oplam pozisyon belirsizliğinin alıcı sayısına göre değişimi... 47 Şeil 3.3 oplam hız belirsizliğinin alıcı sayısına göre değişimi... 47 Şeil 3.4 Normalize apsama alanının alıcı sayısına göre değişimi... 48 Şeil 3.5 Şeil 3.6 Normalize apsama alanının aran alıcı çemberi yarıçapına göre değişimi... 49 Vericinin merezde, 6 alıcının 30 m yarıçaplı çember üzerinde olduğu durum için durum esirim bölgesi... 50 Şeil 3.7 X esenindei pozisyon belirsizliğinin değişimi... 50 Şeil 3.8 Y esenindei pozisyon belirsizliğinin değişimi... 51 Şeil 3.9 Z esenindei pozisyon belirsizliğinin değişimi... 51 Şeil 3.10 Konfigürasyon : 6 alıcının bulunduğu durum için durum esirimi bölgesi... 5 Şeil 3.11 Konfigürasyon : 10 alıcının bulunduğu durum için durum esirim bölgesi... 53 Şeil 3.1 Konfigürasyon : BP nin alıcı sayısına göre değişimi... 54 Şeil 3.13 Konfigürasyon : VB nin alıcı sayısına göre değişimi... 54 Şeil 5.1 Örne benzeim oramı: a. Alıcı Verici onumları, b. XY düzleminde 3x8 boyuunda örne ızgara... 89 Şeil 5. Alıcı 1 ile yapılan benzeimlerde elde edilen p-değerleri.... 91 Şeil 5.3 Alıcı 1 benzeimlerinde elde edilen p-değerinin Y eseninde alınan esilerdei değişimi: a. Y = 3m, b. Y = 0m, c. Y = 3m... 91 Şeil 5.4 Alıcı ile yapılan benzeimlerde elde edilen p-değerleri... 9 Şeil 5.5 Alıcı benzeimlerinde elde edilen p-değerinin Y eseninde alınan esilerdei değişimi: a. Y = 14m, b. Y = 18m, c. Y = m... 93 Şeil 5.6 Alıcı 3 ile yapılan benzeimlerde elde edilen p-değerleri... 94 Şeil 5.7 Alıcı 3 benzeimlerinde elde edilen p-değerinin Y eseninde alınan esilerdei değişimi: a. Y = 14m, b. Y = 18m, c. Y = m... 94 vi

Şeil 5.8 Alıcı 4 ile yapılan benzeimlerde elde edilen p-değerleri... 95 Şeil 5.9 Alıcı 4 benzeimlerinde elde edilen p-değerinin Y eseninde alınan esilerdei değişimi: a. Y = 3m, b. Y = 0m, c. Y = 3m... 95 Şeil 5.10 Alıcı 5 ile yapılan benzeimlerde elde edilen p-değerleri... 96 Şeil 5.11 Alıcı 5 benzeimlerinde elde edilen p-değerinin Y eseninde alınan esilerdei değişimi: a. Y = 6m, b. Y = 10m, c. Y = 14m... 97 Şeil 5.1 Alıcı 6 ile yapılan benzeimlerde elde edilen p-değerleri... 97 Şeil 5.13 Alıcı 6 benzeimlerinde elde edilen p-değerinin Y eseninde alınan esilerdei değişimi: a. Y = 6m, b. Y = 10m, c. Y = 14m... 98 Şeil 5.14 Bisai menzil-hızı için yapılan benzeimlerde elde edilen p-değerleri değişimi... 99 Şeil 6.1 Radar ağı alıcı-verici onumları... 10 Şeil 6. Radar ağı ve örne hedef gezingesi... 105 Şeil 6.3 SIR Parçacı filre, X esenindei RMS onum haası... 109 Şeil 6.4 Parçacı filre, Y esenindei RMS onum haası... 110 Şeil 6.5 Parçacı filre, Z esenindei RMS onum haası... 111 Şeil 6.6 Parçacı filre, esirim ovaryansının x bileşeninin areöü... 11 Şeil 6.7 Parçacı filre, esirim ovaryansının y bileşeninin areöü... 113 Şeil 6.8 Parçacı filre, esirim ovaryansının z bileşeninin areöü... 113 Şeil 6.9 Parçacı filre, NEES değişimi... 114 Şeil 6.10 Parçacı filre, her bir hedef hareei için oralama NEES... 115 Şeil 6.11 Parçacı filre, sonsal IOIM nin x bileşeninin areöü... 116 Şeil 6.1 Parçacı filre, sonsal IOIM nin y bileşeninin areöü... 117 Şeil 6.13 Parçacı filre, sonsal IOIM nin z bileşeninin areöü... 118 Şeil 6.14 Parçacı filre, her bir hedef hareei için sonsal IOIM ye göre oralama NEES... 119 Şeil 6.15 UKF, X esenindei RMS onum haası... 10 Şeil 6.16 UKF, Y esenindei RMS onum haası... 11 Şeil 6.17 UKF, Z esenindei RMS onum haası... 11 Şeil 6.18 UKF, esirim ovaryansının x bileşeninin areöü... 1 Şeil 6.19 UKF, esirim ovaryansının y bileşeninin areöü... 13 Şeil 6.0 UKF, esirim ovaryansının z bileşeninin areöü... 13 Şeil 6.1 UKF, sonsal IOIM nin x bileşeninin areöü... 14 Şeil 6. UKF, sonsal IOIM nin y bileşeninin areöü... 15 Şeil 6.3 UKF, sonsal IOIM nin z bileşeninin areöü... 15 vii

Şeil 6.4 SIR Parçacı filre KK yönemi, X esenindei RMS onum haası... 18 Şeil 6.5 SIR Parçacı filre KK yönemi, Y esenindei RMS onum haası... 19 Şeil 6.6 SIR Parçacı filre KK, Z esenindei RMS onum haası... 19 Şeil 6.7 SIR Parçacı filre KK, esirim ovaryansının x bileşeninin areöü... 130 Şeil 6.8 SIR Parçacı filre KK, esirim ovaryansının y bileşeninin areöü... 131 Şeil 6.9 SIR Parçacı filre KK, esirim ovaryansının z bileşeninin areöü... 131 Şeil 6.30 SIR Parçacı filre KK, sonsal IOIM nin x bileşeninin areöü... 13 Şeil 6.31 SIR Parçacı filre KK, sonsal IOIM nin y bileşeninin areöü... 133 Şeil 6.3 SIR Parçacı filre KK, sonsal IOIM nin z bileşeninin areöü... 133 Şeil 6.33 B Karezyen uzaydai alıcı verici onumları... 136 Şeil 6.34 Alıcı verici onumları ve hedef hareei... 137 Şeil 6.35 X esenindei RMSE değişimi... 139 Şeil 6.36 Y esenindei RMSE değişimi... 139 Şeil 6.37 Z esenindei RMSE değişimi... 140 viii

ÇİZELGELER DİZİNİ Çizelge 5.1 Alıcı ve verici onumları... 89 Çizelge 6.1 Alıcı verici onumları.... 136 ix

1. GİRİŞ Radarlar, nesneleri espi ve onumlarını belirleme amacıyla ullanılan sisemlerdir. Radarlar, belirli bir dalga şelinin gönderilmesi ve geri dönen dalga şelinin analiz edilere yansııcının, yani hedefin, espii, onumlandırılması ve bazen de anımlanması prensibi ile çalışır (Kulpa 005). Radarlar alıcı ve verici anenlerinin onumlandırılma şeillerine göre ii sınıfa oplanırlar: i) Monosai Radarlar; alıcı ve verici anenleri ölçülmeye çalışılan mesafelere oranla birbirlerine yaın onumlandırılır, ii) Bisai Radarlar; alıcı ve verici anenleri ölçülmeye çalışılan mesafeye ıyasla bir birinden yeerince uzaa onumlandırılırlar. Radarlar il olara yirminci yüzyılın il yarısında gelişirilmeye başlanmışır. Dönemin enoloji durumu gereği, alıcı ve verici anen arasında, radarı alma ya da ileme moduna geçiren anaharlama yapılamadığından il radarlar bisai yapılı olara asarlanmışır. Bu radarlar, o dönemin önemli güvenli sorunlarından olan, ilgilenilen bir bölgede hareeli bir hedefin olup olmadığını belirleme amacıyla asarlanmışır (Solni 1990). İl Duplexer ın 1936 da gelişirilmesi; ayını aneni ullanara orama ışıma yapma ve oramdan geri dönüşleri dinleme abiliyeinin azanılmasını ve monosai yapılı radarların gelişirilmesi çalışmalarının hızlanmasını sağlamışır. Yine de bisai radarlar üzerine çalışmalar 1950 lere adar devam emiş ve sonrasında radar çalışmaları monosai yapılı radarlar üzerine yoğunlaşmışır. Rerodireif arışırma ve aniradyasyon füzeleriyle (Aniradiaion Missile - ARM) mücadele eme için bisai radarlar 1970 ve 1980 lerde yeniden incelenmeye başlamışır. Alıcı ve verici anenlerin farlı bölgelerde onumlandırılmasından faydalanılara, arışırma durumunda alıcı anenin, ARM durumunda ise verici anenin savaş açısından sraeji önemi daha düşü bölgelere yerleşirilmesi ile hedef espii gerçeleşirilebilmişir. Bu dönemde, gözelenen bölgenin birden fazla bisai yapılı alıcı verici anen gurubuyla apsanması emeline dayanan mulisai radar sisemleri gelişirilmişir. Mulisai radar sisemleri, bisai radarların avanajlarını bünyesinde oplaren birden fazla alıcı verici ullanılması sebebiyle hedef espi olasılığının armasını ve sisemin hayaa alma süresinin uzamasını sağlamışır. Bisai radarlar üzerine yapılan araşırmalar, oramda bulunan eleromanyei yayın aynalarının dinlenmesi ve bu aynalardan gelen sinyallerin 1

analizi ile hedef espii ve aibinin gerçeleşirilmesi yönünde de ilerleyere pasif radar avramının yeniden araşırma onusu olmasını sağlamışır. Pasif radar, en basi haliyle, bir ya da daha fazla pasif alıcıya sahip olan, faa endisine ai aif bir verici (aydınlaıcı) içermeyen radar sisemi olara anımlanabilir. Sisemdei aydınlaıcı(lar) ise, hâlihazırda oramda bulunan, çeşili özellileri bilinen faa işbirliçi olmayan vericilerdir. Bu vericilere örne olara elevizyon, radyo, mobil elefon şebeesi, haberleşme/yöngüdüm uydusu, haa düşman radar sisemi vericileri göserilebilir. Lieraürde bu yayın aynaları, fırsa aydınlaıcısı olara adlandırılmaadır (Griffihs 003). Pasif radar avramı 1935 yılında Arnold Wilins arafından bulunduğu yerden 1 m uzaa bir Heyford bombacısını espi eiği Davenry Deneyi olara adlandırılan çalışmayı yürüüren bulunmuşur. O zamanlarda, menzil doppler ilini fonsiyonunun gerçe zamanlı hesaplanması mümün olmadığından pasif radar enolojisi ço fazla ilgi uyandırmamış, gidebildiği noalar savunma sanayi açısından yeerli bulunmamışır (Davenpor 004). Sayısal alıcı ve işlemci enolojilerinde meydana gelen ilerlemeler, sayısal sinyal işleme enilerinin çeşili yayın sinyallerine uygulanabilmesini ve bu sinyallerden hedef espii ve aibinin yapılabilmesini olanalı ılmışır. Pasif radar ullanara hedef espii lieraürde, Pasif Uyumlu Konumlama (PUK) olara adlandırılmaadır. Bu sisemler bisai radarların bir çeşidi olup, bisai radarlardan, siseme özel yayın aynağı asarımının olmayışı yönüyle ayrılmaadır. PUK sisemlerinin emel özellileri ve başarımları Griffihs ve aradaşlarının yapığı çalışmalarda göserilmişir. Griffihs ve Baer (005) arafından analog FM radyo, hücresel elefon baz isasyonları ve sayısal ses yayını (Digia Audio Broadcas DAB) vericilerini yayın aynağı olara ullanan PUK sisemleri incelenere, bu sisemlerdei espi menzili ahminleri yapılmış ve bu sisemler ullanılara hedef espii yapılabilece menziller belirlenmişir. PUK siseminde dalga biçimi özellilerinin menzil ve doppler çözünürlüğü ve belirsizliği üzerindei eisi de incelenmişir (Griffihs and Baer 005). Howland vd. (005), deneysel bir bisai radar sisemini gerçeleyre, FM verici yayınlarının dinlenmesi yoluyla 150m mesafeden hedef espi ve aibinin yapılabildiğini gösermişir.

ez çalışmasında sinyal bazında bisai radar ve PUK sisemi incelenmediğinden bu noadan sonra bisai radar ve PUK sisemi birbirinin yerine ullanılara devam edilmişir. Bisai radarlarda hedef espii monosai radarlardaine benzer bir şeilde gerçeleşirilmeedir. Anca, bisai radar sisemlerinin espi eileri hedeflerin onumlarıyla ilgili yapıları ölçümler monosai radarlardan farlıdır. Şeil 1.1 de bir alıcı ve bir vericiden oluşan bisai radarın hedef ile olan geomerisi, ii boyulu Karezyen uzayda verilmişir. Burada alıcı ve verici arasındai mesafe L olup, alıcı, verici ve hedefin oluşurduğu yapıya bisai üçgen denilmeedir. Şeil 1.1 de verilen bisai üçgende r1, r, β ve θ R sırasıyla verici ile hedef arasındai mesafe, alıcı ile hedef arasındai mesafe, bisai açı ve alıcıya göre hedefin yanca açısıdır. Bisai radarlar ölçüm yapabilme abiliyelerine göre; r1 + r oplamından oluşan bisai menzil, bu menzilin zamana bağlı değişiminin ölçüsü olan bisai doppler (bisai menzil-hızı), hedefin alıcıya göre yanca açısı olan θ R ve hedefin alıcıya göre yüseliş açısı olan, üç boyulu Karezyen uzayda XY düzlemi ile hedef alıcı arasındai doğru parçasının yapığı açıyı ölçebilirler (Willis 005). Şeil 1.1 Bisai radar geomerisi Doğrusal olmayan bisai radar ölçümleri ullanılara ilgilenilen hedefin durumu haında bilgi çıarma problemi doğrusal olmayan hedef aibi ya da hedef durum esirimi olara anımlanmaadır. Doğrusal olmayan ölçüm ya da durum dinamileri varlığında hedef aibi problemine bir çözüm olara (Bar-Shalom vd. 001) de 3

genişleilmiş Kalman Filre (Exended Kalman Filer - EKF) verilmişir. EKF, doğrusal olmayan sisem fonsiyonlarının aylor serisi açılımı ile doğrusal hale geirilmesi yalaşımı ile Kalman filrenin (Kalman 1960) uygulanmasıdır. EKF ye bir alernaif Julier ve Uhlman (1997) de Unscened Kalman Filre (UKF) verilmişir. UKF; dağılım fonsiyonlarının doğrusal olmayan dönüşümleri yerine, o dağılımları emsil eden örnelemlerin doğrusal olmayan dönüşümlerinin daha olay yapılabileceği gerçeğinden yola çıılara oraya onmuşur. UKF ile durum esirimi doğrusal olmayan pasif ölçümler varlığında Zhan ve Wan (007) arafından verilmişir. Çalışmada, pasif dinleme ile doppler, yanca ve yanca hızı ölçümlerini yapma abiliyeine sahip bir sisem için hızlı ve yüse doğrulua çalışan UKF abanlı hedef aip yönemi önerilmişir. Önerilen aip algorimasında, yinelemeli EKF algorimasından esinlenilere UKF yinelemeli hale geirilmişir. Doğrusal olmayan sisem dinamileri varlığında durum esirimi yapabilmeyi sağlayan bir başa örnelem abanlı yönem ise Parçacı filresidir. Parçacı filresinde, hedef durum sonsal dağılımına parçacılar üründen ayrı bir yalaşım yapılmaadır (Gordon vd. 1993). Durum sonsal dağılımına yapılan yalaşım, ardışı Mone Carlo inegrali yönemi emeline dayanmaadır. obias ve Lanerman (005), B Karezyen uzayda haree eden bir hedefin bisai menzil ve menzil-hızı ölçümleri varlığında durum esiriminin Parçacı filresi aracılığı ile uygulanan PHD (Mahler 004) filre ile gerçeleşirilmişir. Üç ade verici anenin bir alıcıyla dinlenildiği durumda, hedef başlama, ölçüm hedef ilişiilendirme, hedef aip eme ve hedef sonlandırma işlemleri PDH filre ile gerçeleşirilere filrenin başarımı göserilmişir. Hedef aip yönemlerinin başarımlarının ölçüsü,aip oramından elde edilebilece bilgi ile sınırlıdır. Fisher bilgisi (Özür vd. 006), durum esiriminde ölçümlerden çıarılabilce masimum isaisisel bilgi olara, hedef aibinde sılıla ullanılmaadır. Bu bilginin ersi yansız durum esiricilerinin iinci dereceden esirim haaları için bir al sınır anımlamaadır ve lieraürde Cramer-Rao Al Sınıırı 4

(Cramer- Rao Lower Bound - CRLB) (Risic vd. 004) olara geçmeedir. CRLB nin soasi durum esirimi problemlerinde özyinelemeli hesaplanması için ichavsy vd. (1998) de prai bir yönem sunulmuş ve CLRB sonsal CRLB (Posrior CRLB - PCRLB) olara isimledirilmişir. PCRLB praie hesaplanması zor bir niceli olmasına arşın, PCRLB nin gerçe hedef durumu yerine, durum esirimi erafında hesaplanması yoluyla PCRLB ye yalaşım yapılmaadır. Bu yalaşıma dayalı hesaplanan PCRLB nin sensör yöneimi probleminde opimize edilece maliye fonsiyonun oluşurulmasında ullanıldığı birço çalışma vardır. Hernandez vd. (004) e yüse doğrulua hedef durum esirimi yapabilme için, ölçüm sürecinin, ısılı sensör aynalarının ullanımı ile opimizasyonunda, PCRLB yi durum esiriminin doğruluğunun onrol edilmesi amacıyla ullanılmışır. Ayrıca, ölçüm belirsizliği varlığında, bu belirsizliğin PCRLB ye olan eisi çevrimdışı hesaplanabilir bir çarpan ile ifade edilmişir. Bu çalışmada yapılan sensör onumlarının am olara bilindiği varsayımı Punihaumar vd. (006) da gevşeilere, problem sensör onumlarının belirsiz ve zaman içerisinde yer değişirebildiği duruma genişleilip çözülmüşür. harmarasa vd. (007), ço sensörlü oramlar için PCRLB nin izine bağlı olara bir maliye fonsiyonu anımlamış ve maliye fonsiyonunu minimum yapan sensör ya da sensör gruplarının aif edilmesi emeline dayanan sensör yönemi meodu önermişir. Yazarların aynı yıl yayınlanan bir başa çalışmasında da, PCRLB yi belirli bir değerin alında uaren, yeni hedef espi olasılığını masimize eden sensör yöneim yapısı incelenmişir (harmarasa vd. 007). PCRLB nin sensör yöneiminde ullanılması için bir başa çalışma ise harmarasa vd. (007) de verilmişir. Burada veri birleşirme merezi ile ileişimde olaca sensör gruplarının belirlenmesi için harmarasa vd. (007) de anımlanan maliye fonsiyonu yeniden düzenlenmişir. Maliye fonsiyonunun minimize edilmesiyle, hedef aip doğruluğunu arırıren harcanan gücü azalan sensör grupları ve onların ileişim freansları belirlenmişir. Fisher bilgi marisinin hesaplanamadığı durumlarda, bilginin alernaifi olara Gözlenen Bilgi Marisi (Observed Informaion Marix - OIM) prai uygulamalarda sılıla ullanılmaadır (Srei 010). OIM nin ersi de esirim ovaryansı ile ilişilidir ve bazı uygulamalarda esirim ovaryansının yerine ullanılan bir isaisiir (Efron ve Hinley 1978). Soasi durum esirimi problemlerinde OIM, sonsal OIM 5

olara (Srei 007) de anımlanmış ve Srei (007) Gauss gürülüsü varsayımı alında sonsal OIM nin özyinelemeli olara hesaplanması için bir yönem önermişir. Bu ez çalışmasında bisai menzil ve mezil-hızı ölçme abiliyeine sahip mulisai radar siseminde, radar ağı geomerisi, hedef aibi ve radar ağında bilgi analizi üzerine araşırmalar geçeleşirilmişir. Radar ağının, alıcı ve verici onumları açısından nasıl asarlanması gereiği, Fisher bilgisi hesaplanara incelenmiş ve hedef aibinin belirli doğrulularda yapılabilmesi için mulisai radar ağı geomerisi önerilmişir (Soysal vd. 009). Doğrusal olmayan bisai ölçümler varlığında hedef durum esirimi, merezi ve dağıı bilgi birleşirme enileri ile ayrı ayrı yapılmışır. UKF ve Parçacı filre algorimaları, merezi bilgi birileşirme eniği alında denenere filrelerin başarımları oraya onulmuşur. Dağıı bilgi birleşirme için Parçacı filre ve ovaryans esişim yönemi birleşirilmesinden oluşan bir algorima önerilmiş ve önerilen algorimanın hedef aip başarımı incelenmişir (Soysal ve Efe 011). Soasi durum esirimi problemlerinde sonsal OIM nin özyinelemeli olara hesaplanması için gereli üreim yapılara mulisai radar ağında sonsal OIM hesaplanmışır. Yapılan incelemelerde sonsal OIM nin ersinin iinci dereceden esirim haası (ovaryans/oralama are haa) ile ilişili olduğu ve hem merezi hem de dağıı bilgi birleşirmede hedef aibi sırasında bilginin bir ölçüsü olara ullanılabileceği göserilmişir. Bu ezin lieraüre aıları ve özgün değeri aşağıdai gibi özelenebilir: Mulisai radar ağı asarımı: Mulisai radar ağında bulunan alıcı ve vericilerin Fisher bilgisini en ço yapaca şeilde onumlandırıldığı ağ geomerisi önerilmişir. Gözlenen Bilgi analizi: Sonsal OIM nin özyinelemeli olara hesaplanması için genel bir çıarım yapılmışır. ez çalışmasında incelenen radar ağında OIM nin bilginin ölçüsü olara ullanılabileceği göserilmişir. Sonsal durum dağılımı analizi: Mulsiai radar ağında doğrusal olmayan ölçümler varlığında, sonsal durum dağılımına Gauss dağılımı yalaşımı yapılabilmesi için gereli oşullar oraya onmuşur. 6

Merezi bilgi birleşirme ile hedef aibi: Parçacı filre ve UKF nin ço sensörlü oramda bisai menzil ve menzil-hızı ölçümleri ile durum esirimi başarımları oraya onmuşur. Dağıı bilgi birleşirme ile hedef aibi: Radar ağında bilginin dağıı olara birleşirilmesi durumu ele alınara, Parçacı filresi abanlı durum esiricisi ullanılara elde edilen ilinili bilgilerin ovaryans esişim yönemi ile birleşirilebileceği ve dağıı noalarda bulunan durum esiricilerde hedef aibinin sürdürülebileceği göserilmişir. Mulisai radar ağında hedef aibi başarımının arırılmasında sonsal OIM nin ullanılabileceği göserilmişir. Hedef aibinde ullanılaca ölçümlerin belirlenmesi probleminde, hedef durumu haında en ço bilgiyi içeren ölçüm grubunun Sonsal OIM ye bağlı olara oluşurulabilceği göserilere, hedef aip başrımındai arış oraya onmuşur. ez, yedi bölümden oluşmaadır. Birinci bölümde, ez çalışmasının amacı ve apsamı belirilere, onu ile ilgili daha öncei çalışmalar özelenmişir. İinci bölümde, ez çalışmasında incelenen problemin ve önerilen çözüm yollarının anlaşılması için gereli uramsal emeller anlaılmışır. Öncelile, çalışmalarda incelenen sisem durum uzay modeli anımlanmış ve bu uzayda bayes sonuç çıarım yönemi verilmişir. Daha sonra, doğrusal olmayan soasi durum uzayında durum esirimi için emel yönemler sunulmuşur. Bölümde son olara, isaisisel bilginin birbirine yaın ii ölçüsü olan Fisher bilgisi ve Gözlenen bilgi arif edilmişir. Üçüncü bölümde, Fisher bilgisinin mulisai radar ağında alcı ve vericilerin onumlarının belirlenmesinde nasıl ullanılacağı anlaılmışır. Öncelile, bisai menzil ve menzil hızlarından sai paramere esirimi yapılıren Fisher bilgisinin nasıl hesaplanacağı göserilmiş, daha sonra bilgiye bağlı alcı verici onumlarının belirlenmesi için yapılan çalışmalar ve oraya onan alcı verici geomerisi sunulmuşur. Dördüncü bölümde, soasi durum esiriminde sonsal OIM nin özyinelemeli hesaplanması için yapılan üreim ve elde edilen özyinelemeli hesaplama yönemi verilmişir. 7

Beşinci bölümde, bisai menzil ve menzil-hızı ölçümleri varlığında elde edilen durum sonsal dağılımına Gauss dağılımı yalaşımı yapılması üzerine yapılan çalışmalar ve sonuçları sunulmuşur. Alıncı bölümde, mulisai radar ağında hedef aibi ve bilgi analizi ile ilgili benzeim çalışmaları ve sonuçları anlaılmışır. Öncelile, benzeim oramı deaylı olara verilmiş ve çalışmalarda ullanılan başarım ölçüleri anımlanmışır. Daha sonra merezi bilgi birleşirme ile hedef aibi ve sonsal OIM benzeimlerinin sonuçları sunulara yorumlanmışır. Bir sonrai al bölümde, dağıı bilgi birleşirme için önerilen hedef aip yönemi verilere, yönemin başarımının incelenmesi amacıyla yapılan benzeimlerin sonuçları sunulmuşur. Son olara, sonsal OIM nin hedef aip başarımının arırılmasında nasıl ullanılabilceği göserilere bir uygulama örneği verilimişir. Son bölümde, yapılan çalışmaların genel bir değerlendirilmesi yapılara, ileride yapılabilece çalışmalar ile ilgili öneriler sunulmuşur. 8

. KURAMSAL EMELLER Bu bölümde, ezin büününde ullanılan yönemlerin anlaşılmasını sağlama için uramsal bilgilere yer verilmişir. Bu bölüm alı al bölümden oluşmaadır. Birinci al bölümde, ez çalışmasında incelenen sisem için genel durum uzay modeli anımlanmışır. İinci al bölümde, filreleme problemi ve problemin avramsal çözümü verilmişir. Üçüncü al bölümde, sisem durum uzay modeli için yapılaca bazı varsayımlar alında filreleme problemini özyinelemeli olara çözme yönemleri verilmişir. Dördüncü al bölümde, filreleme probleminde eori olara erişilebilece haa başarımının ölçüsü olara sonsal Cramer-Rao al sınırı (Poserior Cramer-Rao Lower Bound CRLB) ve Fisher bilgisi anlaılmışır. Beşinci al bölümde, Gözlenen Bilgi Marisi (Observed Informaion Marix) onusu ele alınmışır. Son al bölümde ise, özellile farlı aynalardan gelen ilinili bilgilerin birleşirilmesinde ullanılan ovaryans esişimi (Covariance Inersecion CI) yönemi incelenmişir..1 Sisem Durum Uzay Modeli n x x sisemin zamanla değişen hedef durum veörü olsun. Burada, gerçe sayılar ümesi, n x hedef durum veörünün boyuu ve doğal sayılar ümesi olma üzere, esili zaman indisi olara anımlanmaadır. Hedef durum veörü eşili (.1) de verilen soasi durum denlemine göre zaman içerisinde durum değişirmeedir. x = f ( x, v ) (.1) 1 1 1 Burada f 1 ()., x 1 ve v 1 nin doğrusal ya da doğrusal olmayan bilenen fonsiyonudur. v 1, hedef hareeindei haalı modellemeler ve öngörülemeyen bozucu eenleri modelleyen süreç gürülüsü dizisidir. Durum veörü ile ilişili ölçümler n z z olara anımlanmaadır. Burada n z ölçüm veörünün boyuudur. Ölçüm veörü zaman içinde eşili (.) de verilen ölçüm denlemine göre değişmeedir. 9

(, ) z = h x w (.) Burada h ()., x ve w nın doğrusal ya da doğrusal olmayan bilinen fonsiyonudur. w, ölçüm siseminden aynalanan haaları modelleyen gürülü dizisidir. =0 anındai sisemin başlangıç durumu 0 x, bilinen ( ) p x dağılımına sahip rasgele değişendir. Eşililer (.1), (.) ve başlangıç durumu hedef durum uzay modelinin en genel halini anımlamaadır. Bu bölümde verilen durum uzay modelinin, durum, ölçüm fonsiyonları ve durum başlangıç değeri ile gürülü süreçleri haında yapılan varsayımlarla elde edilen özel halleri ez çalışması apsamında incelenmişir. 0. Filreleme Problemi ve Bayes Çözümü Eşililer (.1), (.) ve başlangıç durumu ile arif edilen durum uzay modelinin parameresi olan durum veörü haında ölçümler ullanılara çıarım yapılması, filreleme problemi olara anımlanmaadır (Risic vd. 004). Bir başa deyişle, durum veörü ile ilişili ölçümler ullanılara durum veörünün esirilmesi, filreleme problemidir. Bu bölümde durum veörünün esirimi için Bayes çözümü incelenmişir. Bayes yalaşımı ile filreleme probleminin çözümünde amaç, anına adar elde edilmiş olan ölçümler ve başlangıç durumundan gelen önsel bilgi ile durum sonsal dağılımını oluşurmaır (Fearnhead 1998). anına adar olan büün ölçümlerin ümesi Z, { } Z z L z (.3) 1 ve =0 anı için anımlanmış olan başlangıç durumunun dağılımı (önsel bilgi), ( ) ( ) p x p x Z, Z (.4) 0 0 0 0 olma üzere, bu bilgiler varlığında hesaplanaca ( ) p x Z durum sonsal dağılımı hedef durumunun isenilen opimalie rierine göre esirilmesi için yeerlidir. Hedef durum esiriminin en üçü oralama are haa (Minimum Mean Square Error - 10

MMSE) ısasına göre yapılma iseniyorsa sonsal dağılıma bağlı olara anımlanan oşullu belenen değer esiricisi [ ] ( ) MMSE xˆ = E x Z = x p x Z dx (.5) bu oşulu sağmaadır (Van rees 001). Sonsal dağılıma bağlı olara anımlanan bir başa esirici ise en büyü sonsal (Maximum a Poseriori MAP) esiricidir (Van rees 001) ve eşili (.6) da verildiği gibi anımlanmaadır. { ( )} MAP x xˆ = arg max p x Z (.6)..1 Sonsal dağılımın özyinelemeli hesaplanması Eşililer (.5) ve (.6) ile ifade edilen esirimlerin yapılabilmesi için öncelile p( x Z ) nın bulunması geremeedir. Bu bölümde ( ) p x Z nın özyinelemeli olara hesaplanışı formülleşirilmişir. Özyinelemeli yönem sayesinde, sonsal dağılımın her bir yeni ölçüm ile güncellemesinin yerel olara yapılması sağlanaca, böylece her adımda üm ölçümlerin erar erar ullanıldığı oplu (bach) işleme gere duyulmayacaır. Sonsal dağılımın özyinelemeli olara hesaplanabilmesi için sisem durum uzay modeli için aşağıda verilen varsayımlar yapılmışır. Süreç ve ölçüm gürülüleri bilinen dağılıma sahip birbirinden bağımsız beyaz gürülü dizileridir. Başlangıç hedef durumu bilinen p( x 0) dağılımına sahipir ve süreç ve ölçüm gürülülerinden bağımsızdır. Durum denlemi birinci dereceden Marov sürecidir. -1 anındai sonsal dağılım p( x 1 Z 1) bilinmeedir. Sonsal dağılımın oşullu olduğu ölçüm ümesi adar olan ölçümlerin birleşimi ( z, ) 1 Z, anındai ölçüm ve -1 anında Z şelinde yazılıp Bayes uralı uygulandığında 11

( ) = (, 1) p x Z p x z Z = = (, 1) ( 1) p( z Z 1) p z x Z p x Z ( ) ( 1) p( z Z 1) p z x p x Z (.7) eşiili (.7) de verilen özyinelemeli sonsal dağılım hesaplama formülü elde edilir. Burada ( 1) p x Z, anındai durumun dinami önsel bilgisi (öngörüm/ahmin dağılımı), ( ) p z x olabilirli fonsiyonu ve ( 1) p z Z ise sandarlaşırma asayısı olara adlandırılmaadır. Eşili (.1) de verilen durum denlemi ve Chapman Kolmogorov eşiliği (Papoulis vd. 00) ullanılara öngörüm dağılımı -1 anındai sonsal dağılıma ve geçiş dağılımı p( x ) x e bağlı olara yazılabilir. 1 p x Z = p x x p x Z dx (.8) ( ) ( ) ( ) 1 1 1 1 1 Risic vd. (004), eşili (.7) ve (.8) sırasyla, güncelleme ve öngörüm denlemleri olara adlandırmaadır. Eşili (.8), anında z ölçümü geldiğinde dinami önsel bilginin bayes uralı ullanılara sonsal dağılıma nasıl dönüşürüleceğini arif emeedir. Sonsal dağılım elde ediliren sandarlaşırmayı sağlayan paydadai erim, olabilirli fonsiyonun ve ölçüm gürülüsünün bir fonsiyonudur ve eşili (.9) da verilen inegral ile hesaplanmaadır. p z Z = p z x p x Z dx (.9) ( ) ( 1 ) ( 1) Eşililer (.7) ve (.8) ile arif edilen sonsal dağılımın özyinelemeli hesaplanması genellile avramsal çözüme sahipir. Kısılı sayıdai durum dışında eşililerin analii çözümü your. 1

.3 Filreleme Problemi Çözümleri Bu bölümde durum sonsal dağılımı ullanılara hedef durumunun esirilmesi problemine lieraürde önerilen başlıca yönemler incelenmişir. Bölüm.1 de anımlanan sisem durum uzay modelinde varsayımlar yapılara, opimal esirici ve opimal olmayan çözüm yönemleri verilmişir..3.1 Kalman filre Eşililer (.7) ve (.8) ile ifade edilen filreleme denlemlerinin apalı form çözümü, sisem durum uzay modelinde aşağıdai varsayımlar yapılara elde edilebilir. Durum denlemi sıfır oralamalı bilenen ovaryanslı oplanır beyaz Gauss gürülüsü ile bozulmuş birinci derece Marov yapılı soasi doğrusal fonsiyondur. x = F x + v (.10) 1 1 1 Ölçüm denlemi sıfır oralamalı bilenen ovaryanslı oplanır beyaz Gauss gürülüsü ile bozulmuş soasi doğrusal fonsiyondur. z = H x + w (.11) Başlangıç durumu 0 dağılımını gösermeedir. v ve sahipir. x 0, v ve x ın dağılımı p( x ) N( µ, P ) şeildedir ve N Gauss 0 0 0 w gürülü süreçleri sırasıyla N( Q ) ve ( ) w birbirinden bağımsızdır. 0, 1, = j E vv j = Qδ j, δ j = 0, j 1, = j E w wj = Rδ j, δ j = 0, j N 0, R dağılımlarına 13

Bar-Shalom vd. (001), yuarıda verilen varsayımları doğrusal Gauss varsayımları (durumu) olara anımlamaadır. Bu varsayımlar için sonsal dağılımın çözümü Kalman filresi (Kalman 1960) olara bilinmeedir. Kalman filresi sonsal dağılımın her güncelleme sonunda Gauss dağılımına sahip olduğunu varsayar. Böylelile Gauss dağılımın büün özellilerini belirleyen oralama ve ovaryans paramereleri sonsal dağılımın arif edilmesi için yeerli olmaadır. Kalman filresinin üreimi Bar-Shalom vd. (001) de deaylı olara verilmişir. Burada, oralama ve ovaryans paramerelerinin esiriminin nasıl yapıldığının anlaşılması için filre algorimasını oluşuran sonuç denlemleri verilmişir. Kalman filresi ile hesaplanan öngörüm dağılımının ve sonsal dağılımın oralama ve ovaryansı eşililer (.1) (.15) e verilmişir. xˆ = F xˆ (.1) 1 1 1 1 1 1 1 1 1 P = F P F + Q (.13) ( ) xˆ = xˆ + K z H xˆ (.14) 1 1 1 P = P K S K (.15) Burada, maris ranspozunu ve -1 ile göserilen zaman indisleri bir sonrai an için durum ahminini gösermeedir. Eşililer (.14) ve (.15) e verilen S ve K sırsıyla inovasyon ovaryansı ve Kalman azancıdır. Bu değerler eşililer (.16) ve (.17) de verildiği gibi hesaplanmaadır. 1 S = H P H + R (.16) 1 = 1 K P H S (.17) Kalman filresinin ve bu filre ile yapılan esirimlerin bazı özellileri aşağıda verilmişir. 14

Kalman filresinin bazı özellileri: Durum ve gözlem denlemleri doğrusal ve gürülüler normal dağılımlıysa MMSE ve MAP opimal ve yansız esirim üreilir. Durum ve gözlem denlemleri doğrusal, faa gürülüler normal dağılımlı değilse, esirim MMSE opimal faa MAP opimal değildir. Bu durumda esirim aynı zamanda yanlıdır (Bar-Shalom 001). Durum ve gözlem denlemleri doğrusal ve gürülüler normal dağılımlıysa ein (efficien) esirim yapılır. (ovaryans, sonsal Cramer-Rao al sınırına eşi) (Bar- Shalom 001). Filre gürülü haında varsayımlar yapığından gürbüz değildir. Modelleme haalarına arşı olduça hassasır. Sisem haında bilinen e bilgilerin (durum ısıları vb.) filrelemeye ilave edilmesi oluça zordur..3. Genişleilmiş Kalman filre Sisem durum uzay modelini arif eden eşililer (.1) ve (.) de ve/veya fonsiyonlarının doğrusal olmaması anca, süreç ve ölçüm gürülülerinin oplamsal, bir birinden bağımsız 0 oralamalı Gauss gürülü süreçleri olması durumunda, durum esiricisi olara Kalman filresini gerçeleme mümün olmamaadır. Bu durumda yaygın olara ullanılan ve opimal olmayan durum esiricisi Genişleilmiş Kalman filredir (Bar-Shalom, vd. 001, Blacman ve Popoli 1999) (Exended Kalman Filer - EKF). EKF, opimal olmayan bir esiricidir ve bu yönemde doğrusal olmayan durum veya gözlem fonsiyonları aylor serisi açılımı ile doğrusallaşırılara Kalman filre yapısı içerisinde ullanılır. aylor açılımında sılıla birinci dereceden açılım ile yeinilere doğrusal olmayan fonsiyonların doğrusal yalaşımları elde edilir. Daha üs derecede aylor açılımı ullanımı mümün olmasına rağmen üs düzey ürevlerin 15

hesaplanmasının zorluğu, açılım sonucunda oraya çıaca armaşı ifadelerin hesaplanmasında gereece işlem gücü ve yapılaca işlemlerin nümeri ararlılığı açısından iinci derecenin üzerinde açılımlar genellile ullanılmaz. Birinci derece aylor açılımı ullanan EKF için doğrusallaşırılmış durum f () ve ölçüm h (). fonsiyonları aşağıdai gibi hesaplanır. 1. F 1 = f ( x ) 1 1 x (.18) 1 x 1= xˆ 1 1 H ( x ) h = x (.19) x= xˆ 1 Burada aylor serisi açılımı durum fonsiyonu için durumun o ani esirilen değeri erafında yapılıren, ölçüm fonsiyonu için seri açılımı durum esiriminin öngörüm değeri erafında gerçeleşirilir. EKF ile durum ve durum ovaryansı esirimi eşililer (.18) ve (.19) ile hesaplanan doğrusal olmayan fonsiyon yalaşımlarının eşililer (.1) (.17) arasında verilen Kalman filre denlemlerinde yerine onulması ile gerçeleşirilmeedir. EKF ile ilgili en büyü problem, doğrusallaşırmanın doğasından aynalanan haalar sebebiyle filrenin ırasama ihimalinin bulunmasıdır. Özellile düşü dereceden aylor serisi açılımı ile yeerli doğrulua yalaşım yapılamayan doğrusal olmayan fonsiyonlar varlığında, EKF durum esirimini abul edilebilir haalar ile gerçeleşirememeedir..3.3 Unscened Kalman filre Filreleme probleminde durum veya gözlem denlemleri yüse doğrusal olmayan yapıda ise EKF algorimasının esirim başarımının düşmesinden dolayı filre ırasaması problemi oraya çımaadır. Filre ırasaması gerçeleşmese dahi, filrenin yapmış olduğu esirim ile gerçe paramerenin isaisilerinin birbirlerini umaması ihimali ile arşılaşılmaadır (Julier ve Uhlman 1997). Bu duruma bir örne Şeil.1 de göserilmeedir. Şeilde doğrusal olmayan bir dönüşümün ardından EKF nin yapmış olduğu esirim ve esirim ovaryansın gerçe paramere isaisilerinden 16

uzaa olduğu gözlenmeedir. Bu soruna çözüm olara Julier and Ulhman (1997) unscened dönüşüm (Unscened ransformaion U) adında, örnelem abanlı, Mone Carlo yönemlerine benzer bir yönem önermişir. U meodu Mone Carlo yönemleri gibi, olasılı dağılımlarının parçacı (örnelem) bazlı yalaşımlarını ullanır. U yöneminde, Mone Carlo meolarından farlı olara örnelem ümesi rasgele oluşurulmaz. Bu yönemde yalaşımı yapılan olasılı dağılımının oralaması erafında deerminisi olara seçilen minimal sayıda parçacı ullanılır. Seçilen örnelerin oralama ve ovaryanslarının gerçe dağılımın oralama ve ovaryansına eşi olması amaçlanır. Bunun yanında, U ile yalnızca il ii momenin değil, daha üs düzey momenlerin orunması da mümündür. U örnelemleri daha sonra doğrusal olmayan dönüşüme soulur ve bunun ardından örnelemlerden yeni olasılı dağılımının il ii momeni oluşurulabilir. Şeil.1 de U ile parçacı bazlı olasılı dağılım yalaşımının gerçe dağılım isaisilerini EKF den ço daha iyi oruduğu görülmeedir. Şeil.1 İi boyulu normal dağılımlı bir rasgele değişenin doğrusal olmayan dönüşümün ardından il ii momenin gerçe değerleri ile EKF ve unscened dönüşüm yalaşımları (Wan ve Van der Merwe 001) 17

Julier ve Jeffrey (1997), U ullanan Kalman filresi abanlı bir esirim algoriması önermişir. Bu algorima Kalman filresi gibi ahmin ve gözlem güncellemesi ısımlarından oluşmaadır..3.3.1 UKF algoriması Eşililer (.1) ve (.) ile anımlanan durum uzay modelinde süreç ve ölçüm gürülülerinin sıfır oralamalı Q ve R ovaryanslı ve birbirinden bağımsız oplanır gürülü olduğu varsayımı yapılara, durum uzay modeli eşililer (.0), (.1) ve x (.) de verildiği gibi yeniden yazılabilir. -1 anındai hedef durum esirimi ˆ 1 1 ve durum ovaryansı esirimi P 1 1 olsun. x = f ( x ) + v 1 1 (.0) z = h( x ) + w (.1) x ( ) ~ p x 0 0 (.) anındai durum sonsal dağılımına bağlı olara en üçü oralama are haa rierine göre hedef durum ve durum ovaryansı esirimi UKF yönemi ile sigma noalarının hesaplanması, zaman güncellemesi ve ölçüm varlığında durum güncellemesi adımları ile gerçeleşirilmeedir..3.3.1.1 Sigma noalarının hesaplanması -1 anındai durum sonsal dağılımının doğrusal olmayan dönüşüm yolu ile bir sonrai ana aşıyabilme için hesaplanan, dağılımı emsil eden ve hedef durum uzayındai yeri deerminisi olara belirlenen parçacılar, sigma noaları olara adlandırılmaadır. Bu noalar -1 anındai hedef durum esirimi erafında hedef durum ovaryansına bağlı olara dağıılmaadır. χi, 1 1, -1 anında oluşurulan i. sigma noası olma üzere, L+1 ane noa eşililer (.3), (.4) ve (.5) e verildiği gibi hesaplanmaadır. Burada L durum veörünün boyuunu gösermeedir. 18

χ0, 1 1= x 1 1 ˆ (.3) χ χ ( L γ ) = x ˆ + ( + ) P, i 1, K, L (.4) i, 1 1 1 1 1 1 = i ( ( γ ) = ˆ + ) i L K L (.5) i, 1 1 x 1 1 L P 1 1, = + 1,, i L Burada γ, üreilen sigma noasının onumunu ölçelendiren paramere olup sigma noasının xˆ 1 1 den ne adar uzaa olacağına arar verilmesini sağlamaadır ve eşili (.6) da verildiği gibi hesaplanmaadır. ( κ) γ = α L + L (.6) α, sigma noalarının xˆ 1 erafındai yayılımını belirleyen poziif bir değer (1e- 4 1), genellile değeri 0 seçilen, iinci bir ölçelendirme parameresidir. Eşililer (.5) ve (.6) da yer alan ( ( L γ ) P 1 1) + ise, areöü alınan ovaryansın i. olonunu gösermeedir. Sigma noalarının her biri için eşililer (.7), (.8) ve (.9) ullanılara bir ağırlı hesaplanmaadır. i ( ) w m 0 γ = L + γ (.7) w ( α β) γ = + + L+ γ ( c) 0 1 (.8) ( m) ( c) 1 i i w = w =, i= 1,,, L ( L+ γ) (.9) β durum önsel dağılımını hesaba ama için ullanılan parameredir. Önsel dağılımın Gauss dağılımı olduğu durum için β = değeri opimal değerdir (Julier ve Ulhman 1997). 19

.3.3.1. Zaman güncellemesi Sigma noaları doğrusal olmayan durum fonsiyonunda yerine onara noaların öngörüm değerleri elde edilmeedir. Daha sonra bu değerlerden durum öngörümü ve ovaryansı eşililer (.31) ve (.3) ile hesaplanmaadır. χ ( χi ) = f (.30) i, 1 1, 1 1 L ( m ˆ ) x = w χ (.31) 1 i i, 1 i= 0 L ( c ) 1 = i ( χi, 1 1 )( χi, 1 1) + i= 0 P w x x Q (.3) Sigma noalarının öngörüm değerleri h (). fonsiyonuna uygulanara ölçüm sigma noaları elde edilmeedir. ( χi ) zi, 1 = h, 1, i= 1, K L (.33) Eşililer (.7) ve (.9) da verilen ağırlılar ullanılara ölçüm öngörüm değeri aşağıdai gibi hesaplanmaadır. L ( m) z = w z (.34) 1 i i, 1 i= 0 Ölçüm öngörümü ve ölçüm sigma noaları ullanılara ölçüm ovaryansı eşili (.35) e verildiği gibi hesaplanmaadır. L ( c ) zz, = i ( i, 1 1 )( i, 1 1) + i= 0 P w z z z z R (.35) 0

Durum için hesaplanan öngörüm sigma noaları ile ölçüm öngörüm sigma noaları ullanılara durum ile ölçüm arasındai çapraz ovaryans eşili (.36) a verildiği gibi hesaplanmaadır. L ( c ) xz, = i ( χi, 1 1 )( i, 1 1) i= 0 P w x z z (.36).3.3.1.3 Ölçüm ile durum güncellemesi Durum güncellemesi, hedef aynalı ölçüm varlığında Kalman filresindei gibi yapılmaadır. Öncelile Kalman azancı 1 xz, zz, K = P P (.37) olara hesaplanmaadır. Durum ve durum ovaryansı için hesaplanan öngörüm değerleri Kalman güncellemesinde olduğu gibi güncellenmeedir. ( ) xˆ = xˆ + K z z (.38) 1 1 1 zz, P = P K P K (.39).3.4 Parçacı filre Hedef durumunun ve ovaryansının durum sonsal dağılımı ile esirimi olara anımlanan filreleme probleminde, durum ve ölçüm fonsiyonlarının doğrusal olmadığı ve sisem gürülüsünün Gauss dağılımlı olmaması durumlarında parçacı filre, filreleme probleminin çözümü için önerilen bir yönemdir. Parçacı filre yönemi (Sanjeev vd. 007, Pi ve Shephard 1999, Gordon, vd. 1993), Ardışı Mone Carlo esirim yönemine dayanara durum sonsal dağılımının noa üleler (parçacılar) aracılığı ile belirlemeedir. Parçacı filre yönemini anlama için öncelile Mone Carlo İnegrasyonu yönemini inceleme geremeedir. 1

.3.4.1 Mone Carlo inegrasyonu Ardışı Mone Carlo yönemlerinin dolayısıyla parçacı filrenin emelini Mone Carlo inegrasyonu oluşurmaadır (Risic vd. 004). Mone Carlo inegrasyonu ço boyulu inegrallerin nümeri olara hesaplanabilmesi için gelişirilmiş bir yönemdir. Yönemi anlama için eşili (.40) a anımlanan inegral örneği ele alınsın. I = g( x) dx (.40) Burada x n R x olara anımlanan x n boyulu veördür. Mone Carlo inegrasyonunda, π ( x) bir olasılı yoğunlu fonsiyonu olma üzere g( x) = f ( x) π ( x) çarpımı şelinde ifade edilir. Eşili (.40) a verilen I inegral sonucu π ( x) dağılımından üreilece ( x,..., x ) N >> 1 ane örneğe bağlı olara aşağıdai gibi hesaplanmaadır. 1 n I N N 1 i = f ( x ) (.41) N i = 1 Eğer i x örneleri bağımsız ise eşili (.41) de verilen I N eşili (.40) a anımlanan inegralin yansız bir esirimi olacaır (Özür ve Özbe 004). Mone Carlo inegrasyonu Bayes esirimi apsamında düşünüldüğünde π ( x) dağılımı esirilmeye çalışılan sonsal dağılımın endisi olmaadır. Durum sonsal dağılımından örneleme yapma çoğunlula mümün olmamaadır. Bu problemin çözümü için, örneleme işleminin π ( x) fonsiyonuyla aynı dese ümesine sahip ve örneleme yapmanın daha olay olduğu q( x ) gibi bir fonsiyondan yapılması emeline dayanan yönemler lieraürde bulunmaadır. Bu yönemlerden başlıcalar Kabul Re yönemi (Özür ve Özbe 004), Mone Carlo Marov Zinciri yönemi (aşçıoğlu 011) ve Önem Örneleme yönemidir (Risic vd. 004). ez çalışmasında sonsal dağılımın Mone Carlo inegrasyonu yoluyla elde edilmesinde önem örneleme yönemi

ullanılmışır. Bu nedenle, bir sonrai bölümde önem örneleme yönemi daha deaylı olara verilmişir..3.4. Önem örneleme yönemi Mone Carlo (MC) inegrali hesaplanıren π ( x) dağılımından örnelem elde edilememesi durumunda, aşağıda verilen oşulu sağlayan ve π ( x) dağılımına benzeyen bir q( x ) dağılımı ullanılara MC inegrali hesaplanabilir. π ( x) > 0 q( x) > 0 (.4) Eşili (.4) de verilen oşulu sağlayan q( x ) olasılı yoğunlu fonsiyonuna önem ya da öneri dağılımı adı verilir ve bu dağılım varlığında eşili (.40) a anımlanan inegral aşağıdai gibi yazılabilir. π( x) I = g( x) dx= f ( x) π( x) dx= f ( x) q( x) dx q( x) (.43) MC inegrali q( x ) dağılımdan üreilece N ane ( x1,..., x n) örnelemin ağırlılı oralaması olara hesaplanır. I N N 1 i i = f ( x ) w% ( x ) (.44) N i = 1 i π ( x ) w% ( x ) = i q( x ) i (.45).3.4.3 Ardışı önem örnelemesi yönemi ile durum sonsal dağılımının esirimi Önem örnelemesi, MC inegralinin hesaplanabilmesini sağlayan önemli bir yönemdir. Bu yönemi ullanara, doğrusal olmayan filreleme problemlerinde durum sonsal dağılımının görgül dağılım fonsiyonu (emprical disribuion funcion) üründen 3

yalaşımının yapılması, parçacı filrelerin de emelini oluşuran Ardışı Önem Örnelemesi (AÖÖ) algoriması ile gerçeleşirilmeedir. AÖÖ algoriması Mone Carlo benzeimi yoluyla özyinelemeli Bayes filrelemenin yapılabilmesini sağlayan bir yönemdir. Bu algorimanın emeli, isenen sonsal dağılımın belirli ağılılarla ilişilendirilmiş rasgele örneler ümesi ile emsili ve MC inegrasyonu yönemi ile dağılımın parameresinin esirimidir. Bu noada esirimi yapılma isenen sonsal dağılımın bir hedefin durumuna ai olduğu varsayılırsa; X = { x, j= 0,..., } anına adari hedef durum dizisi olma j üzere anındai birleşi sonsal dağılım p( X Z ) ve marjinal dağılım p( x Z ) i i olara ifade edilsin. { X, w } birleşi sonsal dağılım p( X Z ) yı belirleyen rasgele bir ölçü olma üzere, birleşi sonsal dağılım aşağıda verilen yalaşım ile ifade edilebilir. N i i δ i= 1 p( X Z ) w ( X X ) (.46) Burada i w ler oplamları 1 olaca şeilde sandarlaşırılmışır. Eşili (.46) da verilen dağılım, gerçe sonsal dağılımın ağırlılandırılmış ayrı bir yalaşımıdır (görgül dağılım fonsiyonu). Sandarlaşırılmış ağırlılar ise önem örnelemesi yönemi ile belirlenmeedir. Bu durumda i X örneleri q( X Z ) dağılımından elde edilmiş ise i w ağırlığı aşağıdai gibi olmaadır. w i i i p( X Z ) q( X Z ) (.46) AÖÖ algoriması için şu ana adar verilen ifadeler anına adar büün örne noaların ve bu noalar ile ilişili ağırlıların elde olması ve bunların e bir seferde hesaplanması durumunu gösermeedir. Algorimanın özyinelemeli halinin elde edilmesi için -1 anında p( X 1 Z 1) in görgül dağılım fonsiyonun bilindiği 4

varsayılsın. anındai ölçüm z nın gelmesi ile yeni örneler ullanılara p( X Z ) yalaşımı hesaplanma isensin. Eğer önem dağılımı aşağıda verildiği gibi çarpım halinde seçilirse, q( X Z ) ~ q( x X 1, Z ) q( X 1 Z 1) (.47) i i in oplam örne ümesi X ~ p( X Z ), -1 anına ai örneler X 1 ~ p( X 1 Z 1) i yeni x 1 ~ p( x X 1, Z ) ler ile genişleilmesi ile elde edilebilir. Ağırlıları elde eme için sonsal dağılım p( X Z ), p( X 1 Z 1) edilirse; ve 1 p( x X ) üründen ifade p( X Z ) = = = p( z X, Z 1) p( X Z 1) p( z Z 1) p( z X, Z 1) p( x X 1, Z 1) p( X 1 Z 1) p( z Z 1) p( z x ) p( x x 1) p( X 1 Z 1) p( z Z ) 1 (.48) p( X Z ) p( z x ) p( x x ) p( X Z ) 1 1 1 (.49) Eşililer (.47) ve (.49), eşili (.46) da yerine onduğunda ağırlılar, w i i i i i p z x p x x 1 p X 1 Z 1 i i i q( x X 1, Z ) q( X 1 Z 1) i i i i p( z x ) p( x x 1) = w 1 i i q( x X 1, Z ) ( ) ( ) ( ) (.50) olara elde edilir. Eğer q( x X 1, Z ) = q( x x 1, z ) şelinde ifade edilebiliyor ise, önem dağılımı sadece -1 anındai durum x 1 ve anındai ölçüm z ya bağlı olara ifade edilebilir. Bu durum ço ullanışlı bir sonuç olan, her anında sadece hedef durum esiriminin sonsal dağılımı p( x Z ) nin bilinmesinin yeerli olduğu özyinelemeli algorimanın elde edilmesinin sağlamaadır. Böylelile durum esirim 5