KLASİK MEKANİK- BÖLÜM-7 İKİ-CİSİM PROBLEMİ )KÜTLE MERKEZİ VE GÖRELİ KOORDİNATLAR: Konum vektörer r ve r, küteer m ve m oan k parçacığın br brne uyguadığı kuvvet se, bunarın düzgün br g küteçekm aanı çnde hareket denkemer; m r m g, m r m g our. Buradak r ve r yerne bunar cnsnden tanımanan küte merkeznn konumu r r r y kuanmak daha uygun our. Buradan, m m m m R m r m ve göre konum m r m ndrgenmş küte omak üzere, hareket denkemn (d r/ )= şeknde ede ederz. Küte merkeznn momentumu M(dR/) =P=sabt, açısa momentumu se J MR R r r, knetk enerjs se T MR r oarak buunur. Burada M=m +m dr. )KÜTLE MERKEZİ ÇERÇEVESİ: Br sstemn hareketn çoğu kez, referans çerçevesnn orjnn küte merkeznde ve durgun oarak nceemek uygun our. Bu küte merkez çerçevesdr. Küte merkezne at büyüküker göstermek çn, üsterne yıdız kuanacağız. Bu durumda k parçacıkı sstemn küte merkez çerçevesnde momentumu P*=(dr/), açısa momentumu J* r P * ve knetk enerj de T*=(/).(dr/) our. Br gezegen çevresnde doanan br uydunun hareketn nceerken küte merkez çerçevesnden yararanıabr. Buna y br örnek Dünya-Ay ksdr. Bu durumda Dünya-Ay ksnn küte merkez güneş etrafında br eps çzer. )ESNEK ÇARPŞMALAR: İk parçacık arasındak çarpışmada knetk enerj kaybı yoksa, yan knetk enerj korunuyorsa, bu çarpışma esnek çarpışmadır. Esnek çarpışmaar atom ve nükeer fzkte çok önemdr. Pratkte yapıan çoğu deneyerde parçacıkarda br aboratuarda durgundur ( veya hemen hemen durgundur). P = oduğu bu çerçeve aboratuar çerçevesdr. Geen parçacığın aboratuar momentumu P çarpışmadan sonrak momentumarı q ve q e ve saçıma ve ger tepme açıarını da ve e gösterem. Bu durumda q =(m /m )p*+q*, q =p*-q* yazıabr. Burada * küte merkezn bertyor. Lab çerçevesnde p =q +q dr. Ger tepme açısı ve ger tepme momentumu; =(/)(-*), q =p*.sn(*/) e verr. Buna göre hedef parçacığa aktarıan Lab knetk enerjs T =(q /m ) our. Buradan da, aktarıan knetk enerjnn topam knetk enerjye T 4mm oranı, Sn ( * / ) oarak buunur. T M 4)KM VE LAB TESİR-KESİTİ: Böüm-4 de çıkardığımız, özdeş N parçacıkı, f akıı d da parçacıkarın hedeften uzakta, da tesr kest br dedektörün agıama oranı dw Nf dır. d L Burada d/d oranı Lab dferansye tesr kestdr. Şmd zıt yönerden brbrerne yakaşan momentumarı eşt büyükükte k parçacık demet düşünem. Bu KM çerçeves e doğrudan geneceğmz bertr. Demeterden brndek parçacıkarın a, dğerndekern de a yarıçapı sert küreerden ouştuğunu varsayaım. Çarpışma çn b<a=a +a omaıdır. Bu durumda =a our. d b=a.sn=acos(*/), katı açı da d*=sn*d*d ken KM dferansye tesr kest a d 4 our. Küçük br V hacmnden saçıan parçacıkarı kaydetmes çn br dedektör kurduğumuzda,
d da parçacıkarın sayıma oranı dw nn vv oacaktır. Burada n ve n demeterdek brm d * L hacmerdek parçacık sayıarı, v parçacıkarın bağı hızıdır. BÖLÜM-8 ÇOK CİSİMLİ SİSTEMLER )MOMENTUM; KÜTLE MERKEZİ HAREKETİ: Küte merkeznn konumu, M m omak üzere, R M mr denkem e tanımanır. Topam momentum da P mr MR our. Bu, küte merkezne yereştren, M küte br parçacığın momentumuna eşttr. Bu durumda momentumun değşme hızı P MR şeknde sadece dış kuvvetern topamına eşt our. )ROKETLER: Yaıtımış br sstem çn, momentumun korunumunun kuanımasına örnek oarak, br roketn hareketn nceeyem. Roketn kendsne göre u hızı e madde püskürttüğünü varsayaım. Madde püskürtme oranı sabt omayabr. Be br anda roketn kütes M hızı v osun. Küçük br dm kütesnn püskürtüdüğünü veya atıdığını göz önüne aaım. Bu kütenn püskürtümesnden sonra roketn kütes; dm=-dm oacak şekde azaır ve hızı v+dv oacak şekde artar. momentumun korunumu; (M-dm)(v+dv)+dm.(v-u)=M.v eştğnn yazıabmes demektr. İknc mertebeden termer hma ederek; M.dv=u.dm ede edr. Bu bağıntı dm=-dm bağıntısıya dv dm v breştrdğnde our. her k tarafın ntegra aınarak n M sabt buunur. u M u Başangıçta M=M oduğundan ntegra sabt, nm buunur. Buradan da roketn kütesn hıza bağı değşm M v M e u buunur. Bu bağıntı, roketn hızının, madde püskürtme hızına erşe bmes çn kütenn /e kadarı harç, tamamının roketten atımasını göstermektedr. Roketn hızı, küte atıma oranına değ de, püskürtüen maddenn (gazın) hızına ve k kütesnden ne kadar atıdığına bağıdır. hızanmanın çok kısa br sürede oması, ya da daha uzun br zamana yayıarak, daha yumuşak br hızanma sağanması arasında fark yoktur. (hızanma süresnde rokete başka kuvvetern etkmedğ varsayımaktadır. Yerçekm tarafından sürek engeeneceğnden, uzun süren ve yavaş br hızanma ortaya koyan br rokete dünyadan kurtumaya çaışmanın gerekszğ açıktır.) Gezegener arası uçuşarda, roketer normade çok kısa süreere kuanıır. Bu kısa süreer arasında, uzay gems serbest br bögeye hareket eder. Roketn ateşeme süres, roketn konumunda değşkk yapmayacak kadar kısa se, hızın, her sefernde an oarak değştğ kabu edebr. Bu an değşmeer hız mter (mpusar) oarak bnr. Be br yükü taşımak çn tasaranan br roket kütesnn, veren br püskürtme hızından buunması çn gereken anamı büyükük, bu hız mternn topamıdır (buradak topam skaer topamdır). Örnek oarak, dünyadan kurtumak çn gereken hız mt km/s dr. Uzaya yenden dönüştek yavaşama, atmosferk sürtünmeerden ışık roketnn kends tarafından sağanıyorsa, bu km/s our. )AÇSAL MOMENTUM; MERKEZİ İÇ KUVVETLER: Parçacıkar sstemnn topam açısa momentumu J mr r e verr. Bu fadeden J nn değşme hızı se J r j r şeknde ç ve dış kuvvetere bağı oarak buunur. r=r -r ve = =- j
aırsak J nn değşm hızındak k term (ç kuvveter-k bunarın merkez oduğunu varsayıyoruz) sıfır our, J r. Çoğu kez, küte merkeznn ve küte merkezne göre bağı hareketn J ye katkıarını ayırmak * koayık sağar. Parçacıkarın, küte merkezne r* göre konumarı r R r şeknde tanımanır. Küte merkeznn kendne göre konumu sıfır oduğundan, J çn, J MR R J * fades buunur. 4)DÜNYA-AY SİSTEMİ: Açısa momentumun korunumuna gnç mr örnek oarak, dünya ve aydan ouşan sstem göz önüne aaım (dğer gezegenern etksn hma edp, güneşn yern sabt aıyoruz). Sstemn açısa momentumu, J* küte merkezne göre açısa momentum omak üzere, J MR R J * our. Her csmn kend merkez etrafında dönmesnden kaynakanan açısa momentumar J y * ve J A *, yörünge açısa momentum r r se, sstemn küte merkeznn açısa momentumu J * r r J Y * J A* our. Açısa momentum J=.w şeknde eyemszk momentne bağıdır. Düzgün yoğunukta ve r yarıçapı küre çn eyemszk moment mr dr. 5 Asında yern yoğunuğu merkeze doğru arttığından, yakaşık oarak,mr dr. Doayısıya, küte merkezne göre topam açısa momentum, ayın yörünge açısa hızı omak üzere, J*=a +,mr w our. Açısa hızarı, w nın bnen w değer cnsnden fade etmek uygun our. a w m/=8, değern kuanarak, korunum yasasını 7,. 6 şeknde r w w yazabrz.denkemn sağ tarafındak sabt; a/r=6, ve /w =,65 değerer kuanıarak ede edmştr. 5)ENERJİ VE KORUNUMLU KUVVETLER: Br parçacıkar sstemnn knetk enerjs, küte merkeznn knetk enerjsn de çerecek şekde, T MR m r * oarak yazıabr. Knetk enerjsnn değşme hızı T r j r şeknde yazıabr. Eğer csmmz katı csm se, r sabt oacağından, ç kuvveter ş yapmaz. Bu durumda tüm ç kuvveter korunumudur kabuenmes yapabrz. Ancak k parçacık arasında kuvvetn veren br ç potansye omaıdır. Bu durumda, topam ç kuvvetern ş yapma hızı, V ç n değşme hızının (-) d şaretsne eşt our ve böyece T V ç r. bağıntısı ede edr. d L L 6)LAGRANGE DENKLEMLERİ: Bu denkemer böüm- de çıkardık, ( ) q, q =,,, N. Örnek oarak homojen gravtasyone aan, g den kaynakanan dış kuvvet durumunu ee aaım. buna karşı geen potansye enerj fonksyonu; Vdıı m g. r MgR şekndedr. Lagrange denkem, üç adet R ve r* koordnatarı cnsnden (bunardan N- tanes bağımsızdır) ; L mr Mg. R m. r * V ç buunur. V ç, yanızca r -r j =r *-r j * ın fonksyonu oduğundan, yanız R ve r * ye bağı termere ayrıabr. Gravtasyone aanın homojen oması durumunda; küte merkeznn hareket ve küte merkez etrafındak hareket arasında br çftenm omaz. Özeke enerj çn k farkı korunum yasası vardır. Bunar; T*+V ç =sabt oarak fade eden yasaardır. MR Mg. R sabt ve
BÖLÜM-9 RİJİT CİSİMLER )TEMEL PRENSİPLER: Öncek böümerde kuanıan gösterm, katı csmdek parçacıkar üzernden topamı fade eden y atarak basteştrmek uygun our. Böyece, csmn açısa momentumu J mr r, küte merkeznn momentum hızı P MR, açısa momentum hızı J r, knetk enerjnn değşme hızı T r. (rjt csmde ç kuvveter ş yapmazar) our. Dış kuvvetern korunumu oması hande, T+V dış =E=sabt enerj korunumuna götürür. )SABİT BİR EKSEN ETRANDA DÖNME: Şmd bu teme denkemer, sadece sabt br eksen etrafında serbestçe dönmekte oan br katı csme uyguayaım. Bu eksen z-eksen osun, ayrıca orjnn konumunu öye seçem k küte merkeznn z koordnatı sıfır osun. Bunun çn sndrk kutupsa koordnatarı kuanmak uygundur. Burada her br noktanın z ve koordnatarı sabt, koordnatı w şeknde değşr. Dönme eksen etrafında açısa momentum J z m.. v. w our. Burada =m., z-eksenne göre eyemszk momentdr. sabt oduğundan, açısa momentumun hızı J z. w. our, k buna csmn hareket denkem denr. Csm çn denge şartı se sağ tarafın sıfır omasıdır. Bu durumda csmn knetk enerjs T= (/)..w our. Küte merkez çn P MR momentum denkem dönme eksenndek tek kuvvetnn berenmesne yarar. Eksen üzernde csme etkyen kuvvet Q se, momentum denkem P MR Q our. Küte merkeznn vmes se R w R w ( w R) our. Burada brnc term, yünündek teğetse vme, knc term yönündek radya vmedr. Şmd örnek oarak br beşk sarkacı (duvara asımış br m etrafında serbestçe döneben br meta pu) ee aaım. M z eksen yönünde, sarkaç düzem se xy düzem osun. R vektörünün x eksen e yaptığı açı, z eksenne göre eyemszk moment se, sarkacın hareket denkem MgRsn our. Burada dkkat edrse, bu L=/MR boyunda bast br sarkacın hareket denkemdr. Me etk eden tepk kuvvetnn beşener se; Q z =, Q =-Mgcos-MR, Q =Mgsn+MR our. )AÇSAL MOMENTUMUN DİK BİLEŞENLERİ: Dönen br csmn, kartezyen koordnatarda r noktasının hızı; x w. y, y w. x, z e verr. Buna göre J açısa momentumunun beşener J x = xz w, J y = yz w, J z = zz w our. Burada zz, z eksenne göre eyamszk moment, xz ve yz se knc eyemszk momenterdr. xz =-mxz, yz =- myz, zz =m(x +y ) dr. İk ucuna m küte k csm yapıştırııyor. Çubuk br eksene açısı yapmakta ve küteern konumarı r ve r dr. Bu durumda topam J mr ( w r ) dır. Burada J, r ye dktr ve çubuk xz düzemnde ken küteer y yönünde hareket ederer. Bu durumda açısa momentumun hem z, hem de x beşen our. Böyece, knc momentern; xz w, yz yz w, xz zz sıfır omadığı görüür. Dış kuvveter yoksa w sabt our ve G tam oarak merkezkaç çft dengeer. Çubuk xz düzemnde buunduğunda, sıfır omayan tek beşen, y eksenne göre G y = xz w =-mr w sn.cos moment our. 4)EYLEMSİZLİĞİN ANA EKSENLERİ: Açısa momentum vektörü J, açısa hız vektörü w dan farkı yönde oabr. Bununa brkte bazı öze durumarda xz ve yz knc momenter sıfır our. Bu durumda z eksenne eyemszğn ana eksen denr. Br csm kend küte merkeznden geçen br eksen etrafında serbestçe döndüğü zaman, eksen üzernde ne br beşke kuvvet, ne de br çft vardır. Özeke, xy düzem yansıma smetrs düzem se, z eksen ana eksen our. Bu durumda her hang br (x,y,z) noktasından xz ve yx knc momentere katkı, (x,y,-z) noktasından geen katkı tamamen br brn götürür Smetr eksenne sahp csmerde (küp,
küre, ) br brne dk üç ana eksen buunur ve bu eksener koordnat eksener oarak seçmek avantaj sağar. Böyece, z-eksenn dönme eksen oarak kabu etmek durumunda omayız ve keyf br yöneme sahp oarak aırız. O zaman w ve J üçer beşene sahp our. J nn beşenernn matrs J x xx xy xz wx gösterm; J y yx yy yz. w y our. Burada matrs br tensör oup, eyemszk tensörü J z zx zy zz wz oarak adandırıır. İknc eyemszk momenternn xy = yx..gb, matrsn esas köşegene göre yansımaara değşmez kıar. Bu özeğe sahp tensörüne smetrk tensör denr. şayet üç koordnat eksennn üçü de smetr eksen se, bu durumda tüm knc momenter sıfır our ve köşegen bçmdr. Böyece J nn beşener; J x = xx w x, J y = yy w y, J z = zz w z şeknde basteşr. Veren herhang br smetrk tensör çn, tensörü köşegen yapan dama br eksen takımı buunabr.buunan br brne dk eyemszğn ana eksener boyunca e, e, e brm vektörer tanımamak uygun our. Buna göre, w weˆ ˆ ˆ we we ve J= w e + w e + w e our. Buradak, ve e ana eyemszk momenter denr. T knetk enerj de açısa hız ve eyemszk tensörü cnsnden T J. w ya da T w w w şeknde fade edebr. 5)EYLEMSİZLİK MOMENTİNİN HESAPLANMAS: Maddenn sürek dağıımı hande, (r) yoğunuk omak üzere, ana ve knc eyemszk momenter; xx ( r)( y z ) d r, xy ( r)( xy) d r şekndedr. a)orjn kayması: Küte merkez orjn kabu ederek buunan eyemszk momenter * şaret gösterrsek (r=r+r* kuanarak), keyf br eksene göre buunan ana ve knc eyemszk momenter; xx =M(Y +Z )+ xx *, xy =-MXY+ xy * şeknde our. Buna parae eksen teorem de denmektedr. b)routh kuraı: Burada csmern düzgün yoğunuku ve üç dk smetr düzem odukarı varsayıır. Bu durumda ana eksener koordnat eksener oarak aınır ve böyece eyemszk momenter *=K y +K z, *=K z +K x, *=K x +K y yazıır. Burada K z. z dx. dy. dz, ntegra csmn V hacm üzernden aınır. Csmn kütes se M. dx. dy. dz dr. Smetr eksen uzunukarını a,b,c ve tüm csmern aynı tpte (dyem epsoder), fakat farkı a,b,c değererne sahp odukarı düşünüdüğünde M ve K z nn bu uzunukara bağıığı berenebr. x=a.f, y=b.k, z=c.r aınırsa M nn abc, K z nın da abc e orantıı oduğu görüür. O hade, brmsz sayı omak üzere (orantı sabt), bu tptek tüm csmer çn aynı oan K z = z M.c yazıabr. Buradan Routh kuraı, *=M( y.b + z.c ), oacağını söyer. Bu kura dğer k ana momenter çn de benzer fadeer verr. a=b=c= öze durumu çn sayısı buunabr. örneğn 4 brm yarıçapı br küre çn, K z z dxdydx z ( z ) dz our. M=4/ 5 oduğundan burada z =/5 dr. O hade epsod çn x = y = z =/5 our. Benzer hesapamaara, dkdörtgen parae yüzü çn /, eptk sndr çn (/4,/4,/) buunur. 6)KÜÇÜK BİR KUVVETİN EKSENE ETKİSİ: Buraya kadar, rjt csmn etrafında döndüğü eksenn sabtenmş oduğunu varsaydık. Şmd, eksen üzerndek sadece br noktanın sabt oması hande, csmn nası hareket edeceğn nceeyeceğz. Göreceğmz gb, hızıca dönen csmer, büyük kararıığa sahp ourar k bu durum jreskop mantığının temen ouşturur. Katı csmn, sabtenmş düzgün br m etrafında serbestçe dönebdğn başangıçta ana eksenerden br (varsayaım e ) etrafında serbestçe dönmekte oduğunu varsayaım. Bu durumda açısa hız w wê se, açısa momentum J w our. Dış kuvveter sıfır se, açısa hız sabt our. Ana eksene br r noktasında küçük br kuvvet uyguanırsa, csmn hareket denkem J r our. Bu kuvvet, eksenn yön değştrmesne sebep our ve csm e eksenne dk küçük br açısa hız beşen kazanır. v
Kuvvet çok küçükse, eksene dk oan açısa momentum beşen hma edebr ve denkem J w r our. Br döner top veya oyuncak jreskopta (topaç), Mgkˆ oup R Rê konumundak küte merkezne etkr. Buna göre hareket denkem weˆ Mg Rê kˆ yazıabr. Bu eştk eˆ ˆ e MgR şeknde de yazıabmektedr. Burada k ˆ oup, düşey eksen etrafında sabt açısa hızı w (presesyona açısa hızı) tanımar. 7)BİR ANA EKSEN ETRANDA DÖNME KARARLLĞ: e,e,e ana eksener csme brkte döner. Böyece eğer J çn onun eksenere göre tanımanan beşener cnsnden drekt br fade kuanmak stersek, bu beşenern br dönen çerçeve ouşturduğunu hatıramamız gerekr. Bu durumda J nn mutak değşm hızı dj / r G our. Bağı değşm hızı se, dj J ˆ ˆ ˆ w e w e w e our. İk değşm hızı brbrne J w J e bağıdır. Bu denkem beşener cnsnden w ( ) ww G our ve,, ün darese permütasyonu e k benzer denkem daha ede ederz. 8)EULER AÇLAR: Br katı csmn sabt br nokta veya küte merkezne yönem üç açı e berenmedr. Bu açıar çeşt yoara seçebr. akat en uygun br seçm Euer açıarı oarak bnen br takımdır. Bu açıardan ks eksenerden brn dyem k ê ün yönünü beremek çn gerekdr. Bunar, ve kutupsa açıarıdır. Üçüncüsü, csmn bu eksen etrafında standart br konumdan dönmüş oduğu açıyı berer. başangıçta csmn e,e,e eksenernn sabt,j,k eksenerye çakışık oduğunu kabu edem. İk oarak k eksen etrafında br açısı kadar dönme yapıır. Bu, üç eksen (e, e, k) konumuna getrr. Daha sonra e eksen etrafında br açısı kadar dönme yapıır k bu da eksener (e, e, e ) konumuna getrr. Son oarak ta e eksen etrafında br açısı kadar dönme yapıır. Bu şemde, her üç eksen (e,e,e ) konumuna getrr. Bu üç Euer açısı (,,) üç (e,e,e ) eksennn yönemn beredğnden, bunar katı csmn yönemn tamamen berer. Katı csmn açısa hızı, bu üç açının değşm hızıya w kˆ eˆ' eˆ şeknde hesapanır. Smetrk durumda, kˆ sn.ˆ' e ˆ cos. e, buradan da aşısa hız w sn.ˆ' e ˆ.ˆ' e ( cos ) e oarak buunur. Csmn açısa momentum fades J ˆ sn.ˆ' e.ˆ' e ( cos ) e, knetk enerj fades de ) T sn ( cos oarak buunur. BÖLÜM- LAGRANGE MEKANİĞİ )GENELLEŞTİRİLMİŞ KOORDİNATLAR; HOLOMONİK SİSTEMLER: Çok sayıda N parçacıktan ouşan br katı csm göz önüne aaım. bütün parçacıkarın konumarı, N sayıda koordnata bertebr. Bununa beraber bu N sayıda koordnatın heps bağımsız değşken omayıp sstemn katı csm omasından kaynakanan bağ koşuarına tabdr. Gerçekte her parçacığın konumu, tam oarak atı nceğn berenmesye tespt edebr: Örneğn, küye merkeznn üç X,Y,Z koordnatı ve yön bereyen üç,, Euer açıarı. Bu atı ncek, katı csm çn br geneeştrmş koordnatar takımını ouşturmaktadır. Bu koordnatar daha başka bağ koşuarına da tab oabrer. Söz konusu bağ koşuarı k çeşt oabr: )Csmn br noktasının
konumunun sabtenmes (X=Y=Z=), )Küte merkeznn sabt hıza hareket etmeye veya sabt hızı darese hareket yapmaya zoranması ( X v ). Bağımsız oarak değşeben koordnat sayısına sstemn serbestk dereces sayısı denr. Eğer bağ koşuu denkemer çözmek ve koordnatarın br kısmını yok etmek mümkün oabyorsa-öye k yok eden koordnatarın sayısı serbestk dereces sayısına eşt osun- böye sstemere hoomonk sstemer denr. Eğer bu yok etme, zamanın açık fonksyonarını verrse, sstem zoranmış sstem; dğer taraftan eğer bütün bağ koşuarı tamamen cebrse seer yan t denkemde (r =r (q,q,,t)) açıkça gözükmüyorsa, bu durumda da ssteme doğa sstem denr. Gene oarak sstemn hız n r r fonksyonu r q dr. Doğa sstem çn son term sıfırdır. Doğa sstem çn q t fonksyon homojen kuadratk, zoranmış sstem çn neerdr. Smetrk katı csmn knetk enerjs T M ( X Y Z ) ) *( sn ) *( cos our. )LAGRANGE DENKLEMLERİ: Lagrange denkemn.böümde ede etmştk, şmd bunu daha da geneeştreceğz. L=T-V Lagrange fonksyonu çn Lagrange denkem d L L d T T q dr. Knetk enerj çn Lagrange denkem q q our. Kuvveter q potansye enerjden V q d V q şeknde türetp, korunumu kuvveter çn sağdak knc term sıfırdır. )BİR SİMETRİK TOPACN PRESESYONU: Smetrk topaç üç serbestk dercesne sahptr ve Euer açıarı geneeştrmş koordnatar oarak kuanıabr. Bu topacın Lagrange fonksyonu L ( sn ) ( cos ) MgR cos our. Buna göre; çn Lagrange denkem sn.cos ( cos ).sn MgR. sn dr. ve çn d geneeştrmş momentum değşm denkemer; [ sn ( cos)cos ], d [ ( cos)] our. Son denkeme göre, w açısa hızının smetr eksenne göre beşen sabttr, w cos. Kararı presesyon durumunda, topacın eksen, düşey doğrutusu sabt etrafında sabt açısa hızıya presesyon (yapaama) hareket yapar. Bu durumda w ve arasındak bağıntı cos- w +MgR= our. sn# durumunda, w ün çok büyük değerer çn MgR, gravtasyon çekm kuvvetnn hma edebdğ hızı presesyon durumunda se w w dır. w cos ün küçük değerer çn bu yakaşık çözümer yeter değdr, </ eğm çn kararı pereseyonun var oabeceğ ve w =4 MgRCos e veren w çn br mnmum değer vardır. Bu sstemn (topaç, beşk sarkaç) daha gene hareket, Hamtonyen yöntemer kuanıarak da buunabr. 4)BİR EKSEN ETRANDA DÖNMEYE ZORLANAN SARKAÇ: Br ucunda m kütesn taşıyan uzunuğunda haff br çubuktan baret br sarkaç düşünem. Bu sstem, konumu ve e berten, k serbestk dercesne sahptr (= denge konumu). Stemn Lagrange fonksyonu L m ( sn ) mg( cos ) our. G torku tarafından yapıan ş W=G oduğundan, Lagrange denkemer m d m sn cos mg sn ve ( m sn ) G our. G torkunun sstem düşey doğrutu etrafında w sabt açısa hızıya döndürmeye zoradığını varsayarsak, Lagrange fonksyonu L m ( w sn ) mg( cos ) our. Bu Lagrange
fonksyonunu türev (T ) ve türevsz (-V ) oarak k kısma ayırdığımızda (L =T -V ), brnc term saınımı knc term se merkezkaçı gösterr. G torkunun ç yapma hızı Gw oup, d d ( T V ) Gw ( m w sn ) buunur. 5)ELEKTROMANYETİK ALANDA YÜKLÜ PARÇACK: Bu durum korunumu omayan kuvvetn en önem örnekernden brdr. Yükü q oan br parçacığın E eektrk ve B manyetk aanda hareket ederken parçacığa etkyen kuvvet q( E v B) eştğye verr. Bu kuvvetn x beşen x qe xq( yb z zb y ) dr. Kuvvetn dğer k beşen de, benzer oarak x,y,z nn sıraı permütasyonarı e buunur. Eektrk aanı skaer ve vektöre potansyee A E şeknde bağıdır. Burada A se B manyetk aanına B A şeknde bağıdır. t Eektromanyetk aan etksndek br parçacığın hareket denkemer, Lagrange fonksyonunun L mr qr. A( r, t) q( r, t ) e veren bçmn kuanıarak da ede edebr. Buradak geneeştrmş momentum P mr qa şekndedr. Sndrk koordnatarda Lagrangan fonksyonu L m ( z ) q ( A A za ) z q bçmndedr. 6)GERİLMİŞ TEL PROBLEMİ: Bu probem sonsuz sayıda serbestk derecesne sahp br sstem örneker. Te, L uzunuku ve brm uzunuğunun kütes m oan, k ucu bağı ve kuvvet e germş osun. Ten küçük enne saınımarını nceeyem. Ten konum foksyonu y(x,t) ve çok küçük dx eemanının knetk enerjs ( dx) y dr. Ten topam knetk enerjs T ydx, ten uzunuğunun kadar artırımasıya germeye karşı yapıan ş (), yan ten potansye enerjs V. y dx dr. Buradan Lagrange fonksyonu L ( y. y' ) dx our. Burada y =dy/dx ' dr. Bu Lagrangan denkem L L( y, y, y' ) dx oup, ntegra çndek L fonksyonuna L Lagrangan yoğunuğu denr. Buradan Hamton prensb kuanıarak, Lagrangan çn, y L L y, y' denkemer ede edr. Buradan da te çn Lagrange denkem y ( ) y' ' dy y' ede edr. Bu denkem br boyutu daga denkemdr. Bu denkemn çözümü y=f[x+(/) / t]+ g[x- (/) / t] şekndedr. BÖLÜM- KÜÇÜK SALNMLAR VE NORMAL KİPLER )ORTOGONAL KOORDİNATLAR: Burada tartışmaarımızı, knetk enerjnn q q q,,... n ern homojen kuadratk fonksyonu oduğu doğa sstemere sınırandıracağız. Örneğn; n= çn knetk enerj fades T aq a q q q a oacaktır. Buradak a katsayıarı q ern fonksyonarı oacak, q ern yeternce küçük değerer çn bu bağımıık hma edebr ve a ar sabt aınabr. Eğrse koordnatarda berenen br parçacık çn, koordnat eğrer her zaman dk açıara kesşyorarsa, ortogona koordnatar adını aırar. Bu durumda knetk enerj kare termer çerr. Koordnatar her zaman ortogona seçebrer ve bu seçm önem basteştrmeere
yo açar (örneğn q =q +(a /a )q ). Buna göre knetk enerjy her zaman T n q oarak standart şeke ndrgenebr. Buna br örnek oarak br çfte sarkaçı ee aabrz. Çfte sarkaç, L uzunuğunda M küte sarkaç e, ona asıı uzunuğunda ve m küte knc br sarkaçtan ouşur. Her hang br anda brnc sarkacın düşeye yaptığı açı, knc sarkacın se dr. Sstemn sadece düşey düzemdek hareket çn knetk enerj de cos( ) ML m L L T our. ve nn küçük değerer çn cos(-)= aınabr. Küçük açıar çn, asında, sarkaçarın yer değştrmeer x=l ve y=l+ şeknde ortogona çftdr. Buradan da knetk enerj T y Mx m şekne grer. )KÜÇÜK SALNMLARN HAREKET DENKLEMİ: Potansye enerjs V, knetk V enerjs T oan parçacıkar sstem çn hareket denkem q our. Denge şartı, denge q konumunda V nn n tane kısm türevnn tümünün sıfır omasıdır. Koordnatarın küçük değerer çn V serye açıabr. n= çn denge durumunda potansye enerj yakaşık oarak V=(/) k q +k q q +(/)k q şeknde our. Buradan da hareket denkemeer, q k q kq ve q k q k oarak buunurar. Burada smetrden doayı k =k dr. Buna göre çok daha q gene durumda hareket denkemer q k q veya matrs yazıışıya q k k.. kn q q k k.. k n q. ourar. Örneğn çfte sarkaç durumunda, küçük açıar çn hareket............ q n kn kn.. knn qn mg mg x M m x ML g M M denkemer,. g g oarak buunur. y y )NORMAL KİPLER:.dereceden n tane dferansye denkem çftnn gene çözümü, başangıç durumarıya tayn eden, n tane keyf sabt çermedr. Saınım hareketernde bu gene çözümü bumak çn, genede, bütün koordnatarın aynı w frekansı e saındığı kabu edr. Buna wt göre A ar kompek sabter omak üzere koordnatar q A e aınır. Böye çözümere sstemn saınımının norma kper (modarı) denr. n tane A genker çn, n tane neer denkem takımı k k A A ede edr. n= durumu çn bu denkemer. w oarak yazıabr. Bu öz k k A A değer denkem oarak bnr. Sıfırdan farkı çözümer çn buunan w değererne, k eemanı x matrsnn öz değerer adı verr. A ardan ouşan sütun vektörü, matrsn br öz vektörüdür. k w k A Buna göre matrs denkem. şeknde yazıabr. Bunun çözümü çn k k w A.matrsn determnantının sıfır oması gerekr. ( k w )( k w ) k buna sstemn karakterstk denkem adı verr. Bu denkemn dskrmnantı poztftr, bu nedene k gerçek kökü vardır. Kararıık çn her k kökte poztf omaıdır. - gb br negatf kök q =A e t +B e -t şeknde br çözüm verr. Burada A ve B, - öz değerne karşıık geen, x matrsn öz vektörern kuran katsayıardır. İk vektörün br brne eşt oduğu dejenerek dışında, A ve B katsayıarı brbrerye orantııdır. Norma kp çözümünün fazını ve gene genğn tayn etmek çn kuanıan A ve A br ortak, keyf karmaşık çarpanı vardır. Böyece her norma kp çözümü k keyf gerçek sabt çerr. Hareket denkemer neer oduğundan, çözümern neer topamarı da br çözümdür. Bu durumda gene çözüm, bastçe, k norma kp çözümün üst üste gemesdr. n
Çözümer, w ve w nn kökernn q wt w' t Ae A' e ve q wt Ae ' 4 M m g g M m g oarak yazıabr. Çfte sarkacın karakterstk denkem w M L A e w' t M gerçek kısımarı w our. Bu denkemn köker, k norma kpn frekansarı our. M>>m se, ve L nn brbrne çok yakın omaması kaydı e, yakaşık oarak, w =g/, A x /A y =(m/m)(l/-l) ve w =g/, A x /A y =(L-)/L gbdr. Brnc kpte üsttek sarkaç hemen hemen hareketsz ken, attak doğa frekansı e saınmaktadır. İknc kpte frekans, üsttek sarkacın doğa frekansı e aynı, genker se brbrne yakındır. M<<m oması durumunda norma kper, yakaşık oarak, w =g/(l+), A x /A y =L/(L+) ve w =(m/m) (g/l+g/), A x /A y =-(m/m)(l+)/l gbdr. Brnc kpte, sarkaçar L+ uzunuğunda tek br sarkaç gb saınırar. İknc kpte üsttek sarkaç çok hızı saınırken, attak hemen hemen hareketsz kaır. 4)ÇİTLANİMLİ SALNCLAR: Yakaşık oarak brbrnden bağımsız, fakat ks arasında br tür odukça zayıf br çftenm oan k veya daha faza harmonk saınıcıar, çftenm saınıcıar oarak düşünüebr. İk sarkaç ve bunarı bağayan br yaydan ouşan sstem, buna y br örnek ouşturur. Her brnn kütes m oan böye br sarkaç sstemnden,.sarkacın düşeyden açıma mktarı (yer değştrmes) x, kncnnk y se, knetk ve potansye enerjer yakaşık oarak; T m( x y ) ve ( y V mw x ) şeknde our. Burada w g / çftenm omadığı durumda serbest saınım frekansıdır. Şmd yayın potansye enerjsn de hesaba kattığımızda, yayın br ucu sabt ken dğer ucundak m kütesnn açısa frekansı w s k / m ken, Potansye enerj V m( w w )( x y ) mw xy our. Bu durumda norma kp denkem s s w Ax A ws ws x. w dr. Karakterstk denkemn çözümer A ws w ws Ay A x /A y = çn w =w y ve A x /A y =- çn w =w +w s our. Sarkaçar brnc kpte aynı genke aynı yönde, kncsnde aynı genke zıt yönde saınırar. Gene çözüm, bu k norma kpn üst üste gemesdr ve w =w +w s w t w' t w t w' t omak üzere, x Ae A' e ve y Ae A' e ern gerçek kısmı oarak verr. Buradak A vea sabter başangıç koşuarına göre tayn edr. 5)İP ÜZERİNDEKİ PARÇACKLARN SALNMLAR: (n+)l uzunuğunda, haff, kuvvet e germş ve üzerne eşt L araıkarı e dzmş n tane m küte parçacık buunan p ee aaım. Parçacıkarın enne saınımarını nceeyem. Bunun çn geneeştrmş koordnatar y,y,..y n yer değştrmeer şeknde osun. Bu durumda, koordnatar ortogona oduğundan, knetk enerj T m( y y... ) dr. y =y n+ = aındığında, p germes omak üzere, y n pn potansye enerjs V L [ y ( y y)... ( y n y n ) yn ] our. Bu durumda y ( y y ), y ( y y y ),.., y n ( yn yn ) şeknde Lagrange hareket ml ml ml denkemer ede edr. W =/ml aınıp, y j =A j e wt norma kp çözümü yerne konuduğunda, w w.. A A w w w.. A A........... w denkemer ede edr. n= çn.............. An A n w w w w =w omak üzere tek br norma kp vardır. n= çn karakterstk denkem (w -w ) -w 4 = gbdr ve w =w, A /A ve w =w, A /A =- oarak k norma kp ede edr. n= çn de w ( ) w, A :A :A =:() / :, w =w, A :A :A =::-, w ( ) w, A :A :A =:- () / : şeknde üç norma kp ede edr. Benzer oarak n=4 çn dört norma kp ede edr. Mehmet TAŞKAN L
KAYNAK: ) ÇOLAKOĞLU,Kema, Çevr eörü., KBBLE,T.W.and BERKSHRE,.H, KLASİK MEKANİK, Dördüncü baskıdan çevr, Pame yayıncıık, Ankara, 999. ) KİTTEL, Chares., KNGHT,D.Water., RUDERMAN, A.Mavn., Çevr:NASUOĞLU, Rauf., MEKANİK, Berkeey zk Programı, Ct-,.baskı, Güven Yayıncıık. ) CRAWORD,rank.S, Berkeey, Caforna Ünv., Çevr Eörü: NASUHOĞLU,Rauf., TİTREŞİMLER VE DALGALAR, Berkeey zk Dzs-, Güven Yayıncıık.