TEZ ONAYI Özgül SUGÜNEŞ arafıda hazırlaa Yazılımda İsasksel Süreç Korolü ve Güverlk Kesrm Modeller adlı ez çalışması 8/04/00 arhde aşağıdak jür arafıd

ANKARA ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ YÜKSEK LİSANS TEZİ YAZILIMDA İSTATİSTİKSEL SÜREÇ KONTROLÜ VE GÜVENİRLİK KESTİRİM MODELLERİ Özgül SUGÜNEŞ İSTATİSTİK ANABİLİM DALI ANKARA 00 Her hakkı saklıdır

TEZ ONAYI Özgül SUGÜNEŞ arafıda hazırlaa Yazılımda İsasksel Süreç Korolü ve Güverlk Kesrm Modeller adlı ez çalışması 8/04/00 arhde aşağıdak jür arafıda oy brlğ le Akara Üverses Fe Blmler Esüsü İsask Aablm Dalı da YÜKSEK LİSANS TEZİ olarak kabul edlmşr. Daışma : Yard. Doç. Dr. Mehme YILMAZ Jür Üyeler: Başka: Prof. Dr. Semra ERBAŞ Gaz Üverses, İsask Bölümü Üye : Doç. Dr. Cemal ATAKAN Akara Üverses, İsask Bölümü Üye : Yard. Doç. Dr. Mehme YILMAZ Akara Üverses, İsask Bölümü Yukarıdak soucu oaylarım. Prof.Dr.Orha ATAKOL Esü Müdürü

ÖZET Yüksek Lsas Tez YAZILIMDA İSTATİSTİKSEL SÜREÇ KONTROLÜ VE GÜVENİRLİK KESTİRİM MODELLERİ Özgül SUGÜNEŞ Akara Üverses Fe Blmler Esüsü İsask Aablm Dalı Daışma: Yard. Doç. Dr. Mehme YILMAZ Bu çalışma kapsamıda, yazılım ssemlerde kale güvece ve kale korolüü öem aımlar ve örekler le açıklamışır. Buula brlke, yazılım ssemde ürüüü ekleyeblecek süreçler sasksel süreç korolü yöem le asıl zlep akp edleceğ alaılarak, sürec yeerl ve korolde olduğu durumlar ve sürec şleyşdek farklılaşmayı azalma yöelk yöemler arışılmışır. İsasksel süreç korolü, sürec akb ç düyada e ek kullaıla yöemlerde brdr acak, sasksel br ahm model değldr. Bu edele, sürec zama sora davraışı ve kes ahm değerler korol şemaları kullaılarak blemez. Sadece, sürec farklılaşması dkkae alıarak belrlemş korol lmlere göre pozf veya egaf eğlm ahm edleblr. Bu edele, çalışma kapsamıda olasılıksal yazılım güverlk modeller edüsr uygulamaları le brlke ayrıca celemşr. Nsa 00, 05 sayfa Aahar Kelmeler: İsasksel Kale Korol, 6 sgma, Yazılım Güvelrlğ, homoje olmaya posso sürec güverlk modeller

ABSTRACT Maser Thess STATISTICAL PROCESS CONTROL AND RELIABILITY PREDICTION MODELS ON SOFTWARE Özgül SUGÜNEŞ Akara Uversy Graduae School of Naural ad Appled Sceces Deparme of Sascs Supervsor: Yard. Doç. Dr. Mehme YILMAZ The scope of hs sudy, s explaed ha why qualy assurace ad qualy corol are mpora for sofware sysems wh gvg defos ad examples. Besdes, sascal process corol mehod s explaed how o rack ad moor processes whch ca affec produc of sofware sysem. Process sably ad capably codos ad mehods o reduce process performace varao are dscussed. Sascal process corol s he mos effecve mehod used world o rack process bu s o a sascal predco model. Therefore, process behavor cao be esmaed mes laer ad exac predced umbers cao be kow wh usg corol chars. Oly, posve or egave red of process ca be esmaed accordg o deermed corol lms wh cosderg process varao. So, as a par of hs sudy, probablsc sofware relably models are examed separaely wh applcaos of dusry. Aprl 00, 05 pages Key Words: Sascal Process Corol, Sx sgma, Sofware relably, NHPP relably models

TEŞEKKÜR Baa araşırma olaağı sağlaya ve çalışmamı her safhasıda yakı lg ve öerler le be yöledre daışma hocam, Akara Üverses Fe Faküles İsask bölümüde görev ala Sayı Yard. Doç. Dr. Mehme Yılmaz a eşekkürlerm suarım. Çalışmamı, bede sevgler hçbr zama esrgemeye lk öğremelerm caım babam ve aem Bekr SUGÜNEŞ, Döe SUGÜNEŞ e ve sevgl ablalarım Fuda, Almula ve Güldae SUGÜNEŞ e adayarak, kedlere sosuz sevglerm suarım. Özgül SUGÜNEŞ Akara, Nsa 00

İÇİNDEKİLER ÖZET... ABSTRACT... TEŞEKKÜR... ŞEKİLLER DİZİNİ... v ÇİZELGELER DİZİNİ... v. GİRİŞ.... KURAMSAL TEMELLER... 3. Kale ve Kale Korolü İle İlgl Temel Kavramlar... 3. Güverlk Ölçümler ve Dağılım Foksyoları..... Güverlk ölçümler..... Bazı güverlk dağılım foksyoları... 7... Bom dağılımı... 7... Posso dağılımı... 8...3 Üsel dağılım... 9...4 Normal dağılım... 9...5 Log Normal dağılım......6 Webull dağılımı... 4...7 Gamma dağılımı... 5...8 Pareo dağılımı... 7...9 Raylegh dağılımı... 7.3 Yazılım Gelşrme Süreçler... 8 3. METERYAL VE YÖNTEM... 3 3. İsasksel Süreç Korolü (İ.S.K)... 3 3.. Algurup sayısı (k) `e eş ola durumlar ç korol şemaları... 34 3.. Ölçüleble özellkler ç korol şemaları... 36 3... X korol şeması... 36 3... R korol şeması... 43 3...3 σ korol şeması... 45 3..3 Ölçülemeye özellkler ç korol şeması... 47 3..3. P korol şeması... 48 3..3. NP korol şeması... 5 3..3.3 C korol şeması... 5 3..3.4 U korol şeması... 53 3. Yazılım Ssemler Güverlk Modeller... 54 3.. Haa kayağı (Error Seedg) modeller... 56 3... Mll` Haa Kayağı Model... 56 3... Ca Model... 57 v

3...3 Hpergeomerk dağılım model... 59 3.. Haalı oraı (Falure Rae) modeller... 6 3... Jelsk-Morada Model... 6 3... Schck-Wolvero Model... 64 3...3 Jelsk-Morada Geomerk Model... 65 3...4 Morada Geomerk Posso Model... 66 3...5 Değşrlmş Schck-Wolvero Model... 67 3...6 Goel-Okumoo Model... 67 3..3 Güverlk gelşrme (Relably Growh) modeller... 68 3..3. Wall ve Ferguso Model... 68 3..4 Homoje olmaya Posso sürec modeller... 69 3..4. Üsel homoje olmaya Posso sürec Goel-Okumoo model..7 3..4. Homoje olmaya S şekll Posso sürec modeller...74 3..4.3 Düzelme sürec amamlamadığı durumlarda homoje olmaya posso süreç modeller..79 3..4. Düzelme sürec amamlamadığı durumlarda homoje olmaya S şekll Posso süreç modeller....8 4. ARAŞTIRMA BULGULARI... 87 5. TARTIŞMA VE SONUÇ... 0 KAYNAKLAR... 03 ÖZGEÇMİŞ... 05 v

ŞEKİLLER DİZİNİ Şekl. Kale çember (Baska 997)... 5 Şekl. Muayee sııfladırılması (Baska 997)... 6 Şekl.3 Kale güveces kavramı (Baska 997)... 7 Şekl.4 Kale korolü şlemedek yer (Baska 997)... 9 Şekl.5 Kapalı br ssem elemaları (Baska 997)... 0 Şekl.6 Kale güvece ssem aa yapısı (Baska 997)... 0 Şekl.7 İsasksel kale korolüü aa elemaları (Baska 997)... Şekl 3. Süreç korol şeması... 34 Şekl 3. Sürec korolde ve yeerl olması durumlarıı şemak göserm... 4 Şekl 4. Ürem fazıda çıka haalar arasıdak zama farkı akb... 89 Şekl 4. D.K.T.D ssemde modeller güverlk foksyou ahm değer red aalz... 93 Şekl 4.3 D.K.T.D ssemde modeller oralama değer foksyou red aalz... 94 Şekl 4.4 D.K.T.D ssemler haa sayısı -mr korol şeması... 95 Şekl 4.5 Moa yazılım şrke vers ç kullaıla modeller güverlk foksyou ahm değer red aalz... 98 Şekl 4.6 Moa yazılım şrke vers ç kullaıla modeller oralama değer foksyou red aalz... 99 Şekl 4.7 Moa yazılım şrke vers kullaılarak elde edle haa sayısı -mr korol şeması... 00 v

ÇİZELGELER DİZİNİ Çzelge 3. Korol sıırlarıı hesaplaması ç çarpalar (Baska 997)... 40 Çzelge 3. Ölçüleble ver p ç korol şemaları formül öze (Florac ve Carleo 00).... 47 Çzelge 3.3.Korol ve gözem üs sıırları (P0, 50) (Baska 997)... 49 Çzelge 3.4 Ölçülemeye ver p ç korol şemaları formül öze (Florac ve Carleo 00).... 54 Çzelge 3.5 Homoje olmaya Posso sürec yazılım güverlk modeller öze... 85 Çzelge 4. Dez Kuvveler Takk Ver (D.K.T.D) ssemler yazılım gelşrme haa se... 88 Çzelge 4. Modeller uyum ylğ ve ahm gücüü karşılaşırılması... 9 Çzelge 4.3 D.K.T.D ssemler güverlk foksyou ögörü değerler... 9 Çzelge 4.4 D.K.T.D ssemler oralama değer foksyou değerler... 93 Çzelge 4.5 Moa yazılım şrkee a üremde esp edle haa se... 96 Çzelge 4.6 Modeller uyum ylğ ve ahm gücüü karşılaşırılması... 97 Çzelge 4.7 Moa yazılım şrke vers güverlk foksyou ögörü değerler... 97 Çzelge 4.8 Moa yazılım şrke vers oralama değer foksyou değerler... 98 v

. GİRİŞ Güümüzde heme heme herkes doğruda veya dolaylı olarak blgsayar ssemlerde yararlamakadır. Blgsayar ssemler farklı alalarda mlyolarca saı hayaıı ekleye farklı uygulamalarda kullaılır. Bular, hava rafk korolü, ükleer reakörler, hava araçları, gerçek zamalı algılayıcı ağlar, edüsryel süreç korolü, oomav make, emye korolü ve sağlık hzmeler vb. dr. Hayaımızı bu kadar çok ekleye blgsayar ssemlerde meydaa geleblecek haalar, büyük orada madd zarara ve ca kaybıa yol açablmekedr. Öreğ, 3 Mar 986 yılıda Mexcaa havayolları Boeg 77 uçağı dağda düşmüşür. Bua ede olarak, yazılım ssem dağı pozsyouu doğru değerledrememes göserlmşr. 986 Mar le Hazra ayları arasıda Massve Therac-5 sml radyoerap makası, oomasyodak br yazılım haası ede le Georga, Massachuses ve Texas eyalelerde kaser hasalarıa yüksek dozda radyasyo vermlmese yol açmışır. 6 Hazra 988 yılıda Ar Frace hava yollarıa k gü erke eslm edle ye model A30 p yolcu uçağı, Frasa da Mulhouse yakılarıda alçak uçuş yaparke blgsayar yazılımıdak br haa ede le düşmüş ve üç yolcuu öldüğü bldrlmşr. Amerka Paro (Phased-Array Trackg ad Iercep Of Targe) füze savuma ssem, savaş esasıda düşma brlk arafıda gele füzeler havada eksz hale germes ve hedefe ulaşmasıı egelleme amacı le gelşrle br ürüdür. 99 yılıda meydaa gele. Körfez savaşıda, yazılım haası ede le Irak a gele Scud füzeler hedefe ulaşması Paro füze savuma ssem arafıda egelleememş ve yrmsekz Amerka asker ölmüşür. Ssem arızalama ede olarak, yazılımı ssem saa sık sık sıfırladığı varsayımı le gelşrldğ, acak füze br yerde yüz saae fazla kaldığıda yazılımı arızaladığı ve Paro Irak füzeler z yakalayamadığı açıklamışır.

4 Hazra 996 yılıda, Avrupa Uzay Şubes (ESA) arafıda Arae 5 füzes uzaya fırlaılmış acak fırlaıldıka kırk saye sora parçalamışır. ESA bu başarısızlığı ekk ede olarak, Arae 4 roke çalışma koduu (source code) Arae 5 e yede kulladıklarıı, faka Arae 5 daha hızlı ola mooruu, roke uçuş korol ssem yazılımıda br haaı oraya çıkmasıa yol açıığıı belrmşr. ESA bu başarısızlığı 36 mlyo dolar zararla souçladığıı bldrmşr. Öreklerde de alaıldığı gb; özellkle sa hayaıı lgledre krk yazılımları buluduğu ssemlerde, yazılım gelşrme sürec boyuca esp edle haalarıı zlemes, buları yok edlmes ve güverlkler ahm edlmes oldukça öemldr. Bu çalışma kapsamıda; yazılım gelşrme sürecde çıka haaları zleeblmes ve yazılım ssemdek mevcu haa sayısıı ahm edleblmes ç, sasksel süreç korolü yöem ve güverlk ahm meoları celemşr.

. KURAMSAL TEMELLER Bu bölümde leraürde yaygı olarak kullaıla; kale güvece kavramları, güverlk ölçümler, dağılım foksyoları ve yazılım gelşrme süreçler alaılacakır.. Kale ve Kale Korolü İle İlgl Temel Kavramlar Taım.. Ürem; sa gereksmler doğa arafıda am olarak karşılaamaması soucu oraya çıka br faalyer. Ürem amacı, br ürü veya hzme yaramakır (Baska 997). Taım.. Kale; Kale lace qualas demekr ve asıl oluşuğu alamıa gele quals sözcüğüde gelr. Sözcük alamı le hag ese ç kullaılıyorsa ou gerçeke e olduğuu bell emek amacıı aşır. Bu alamda br ese kales ou doğasıdadır ve o ese başka br ese le değşrlmede kales değşrlemez. Bu edele kale sözcüğüü aımıda öeml derecede karışıklık vardır. Çükü kale zama çde değşe koşullara uygu olarak şekl değşrr. Güümüzde kale ç yapıla aımlar: ) Kale plalamadır. Sorular oraya çıkmada öce çözümler oluşurarak, ürü ve hzmeler yapısıa asarım yoluyla üsülük ve kusursuzluk kaar. ) Kale, müşer amdr. Ürü ve hzmeler e kadar y olduğu kousuda so kararı verdğ memulukur. ) Kale vermllkr. İşler yapablmek ç gerekl eğmde geçe, hyaç duyduğu gerekl araç-gereç ve almalarla deseklee persoelde elde edlr. 3

v) Kale eseklkr. Talepler karşılamak ç değşmey göze almak ve bu kouda sekl olmakır. v) Kale ekl olmakır. İşler çabuk ve her defasıda doğru olarak yapmakır. v) Kale sraejk br araçır. Temel hedef, müşer alepler karşılamak ve faalyeler ş akışlarıı sürekl olarak yleşrerek bu yeeeğ gelşrmekr. v) Kale br yaırımdır. Uzu döemde br ş lk defada doğru olarak yapmak, o haayı sorada düzelmeke dama daha ucuzdur. v) Kale br süreçr. Süregele br değşmey kapsar. x) Kale br programa uymakır. İşler zamaıda yapmakır. bçmdedr. Taımlarda da görüldüğü gb kale mulak alamda e y değldr. E geel alamı se, kale br ürü ya da hzme özellkler, sa opluluklarıı sek poasyel karşılayablme derecesdr deleblr (Baska 997). Taım..3 Kale korol; ürem saı alma ve başka alalarda kale sağlaması, sürdürülmes ve yüksellmes çalışmalarıı plalama ve gelşrme yolu le ürem, ükec açısıda e ekoomk düzeyde ve e yüksek kalede yapılmasıa olaak sağlar. Bu yöem ve faalyeler şekl. dek kale halkasıı farklı aşamalarıda şler/sürec zlemes, haaları belrlemes, geel eğlm zlemes ve uygusuzluk edeler orada kaldırılmasıı amaçlar. 4

Şekl. Kale çember (Baska 997) Şekl. de görüle kale halkası, herhag br ürü veya hzme kales ekleye gereksmler belrlemesde, buları yere gerlp gerlmedğ araşırılmasıa kadar geçe aşamaları kapsaya brbre bağımlı faalyeler çerr. Taım..4 Muayee; asarlaa ve gerçekleşrle kale düzeyler arasıdak farkı belrlemes sağlaya br faalyer (Baska 997). 5

Şekl. de görüldüğü gb muayee k sııfa celer. %00 muayeede ürele ya da belrl br şlemede geçe üm ürüler celemeye alıır. Örekleme yöemde se klede belrl sasksel ölçülere göre belrlee ve rasgele seçle brmlk br öreklem muayee edlr. Muayee, soucuda bas alamda kabul veya red şeklde karar verlmes sağlaya br eleme şlemdr. Muayee %00 Muayee Örekleme muayees İşlemsel açıklama Düzelc ayıklama Kabul öreklemes Korol öreklemes Şekl. Muayee sııfladırılması (Baska 997) Taım..5 Kale güveces; ürü veya hzme kale ç belrlee sekler karşılamak amacıyla yeerl güve sağlaması ç gereke plalı ve ssemak faalyeler büüüdür. Kaleye yöelk faalyeler plalı ve ssemak olarak yürüülmes le gerek frmaı çalışalarıa, gerekse müşerlere güve sağlaır. Kale güveces şrke ç ve şrke dışı olmak üzere kye ayrılır (Baska 997): a) Şrke ç kale güveces; sele kaleye ulaşması ç şrke yöeme güvece sağlamayı amaçlaya faalyelerdr. 6

Kale güveces am olarak sağlaablmes ç yöem yapılacak ş ayrıılı aalz, sekler belrlemes, uygu persoel seçm ve eğm, uygu ekpma kullaımıı, yapılacak şe uygu çevre koşullarıı oluşurulmasıı ve ş yapacak kşler sorumluluklarıı belrlemes gb emel kouları kapsaya çalışmalar yapılmalıdır. b) Şrke dışı kale güveces; kale ssem alıcıı belrledğ kale aleplere göre ürü veya hzme sağladığı kousuda alıcıya güve vermey amaçlaya faalyelerdr. Kale güveces kısaca y yöemdr, ssemak yaklaşımdır, lk defada, zamaıda ve doğru üremekr. Kale güvece foksyou şekl.3 de verlmşr. Şekl.3 Kale güveces kavramı (Baska 997) 7

Taım..6 Kale yöem; belrlemş ve üm lgllerce kabul göre br kale polkasıı varlığı, gerekl oramı oluşurulması, olaakları sağlaması, bu polkaı uygulaması ve eklğ gara alıa alıması amacıyla gerekl faalyeler gerçekleşrlmesdr (Baska 997). Taım..7 Kale ssem; kale yöem uygulaması ç gerekl ola araçlardır ve k kısımda oluşur. Bularda lk şrke sorumluluk ve yapılarıdır, dğer se belrlemş ola sorumlulukları ve akveler şrke çersdek breylere ulaşırmak ç oluşurula dokümaasyodur. Öe yada, kale le lgl faalyeler ve souçlarıı plalaa düzelemelere uygu olup olmadığıı, bu düzelemeler ekl olarak uygulaıp uygulamadığıı ve amaca ulaşmak ç uygu olup olmadığıı ssemak ve arafsız olarak celemes se kale celemes olarak aımlaır. Kale celemes kale yleşrmeler ek araçlarıda brdr (Baska 997). Taım..8 Toplam kale; yöem, çalışalar ve ş verc müşer sekler ame odaklamasıdır. Toplam kale programıı ekeler; ) Üs yöem yöledrmes, öderlğ ve kaılımı, ) Gerekl al yapıı hazırlaması, ) Çalışaları kaılımı ve movasyou, v) İş akışlarıı süreçler korol alıda uulması, v) Sürekl yleşrme ve gelşrme lkes bçmde sıralaablr. Geçmşe kale korol olarak açıklaa üm koular arık yer Kale Güvece Ssem olarak değşrmşr. Buu ede Avrupa Topluluğu (A.T) a üye ola ülkeler 3..99 de bare belrl prespler yeerce yere germeye frmalarla çalışmayacağıı açıklamış olmasıdır. ISO 9000 kale sadarıa uyulması 8

zorulu kılımışır. Kale güveces ürü veya hzme kale ç belrlee sekler karşılamak ç gereke plalı ve ssemak faalyeler ümüdür ve kale korol brm bu ssem çde öeml yer uar (Şekl.4). Kale Korol Yöecs amacı, şleme ögörüle amaç ve hedefe ulaşması ç gerekl ssem kurmak ve ssem parçaları arasıdak lşkler sapayarak buları büüleşmes sağlamak ve ssem çalışır umakır. Sözü edle ssem, aralarıda lşk ve bağımlılık bulua elemalarda oluşa br yapı veya orgak büü, brbrler le ola lşk göz öüe alıarak maıksal br plaa göre düzelemş br olaylar, prespler, kurallar, düşüceler, fzksel varlıklar opluluğu olarak aımlaır ve her elema kedsde daha büyük br ssem çde yer alır. Şekl.4 Kale korolü şlemedek yer (Baska 997) İşlemedek kale hedef opmum şeklde gerçekleşrlmes ç, kouu şleme büyesde br ssem dahlde ele alııp yürüülmes gerekr (Şekl.5). Bu amaçla, öce kale plalaması, sora korol alıa alıması ve gelşrlmes aşamalarıda söz edleblr. 9

Şekl.5 Kapalı br ssem elemaları (Baska 997) Şekl.6 Kale güvece ssem aa yapısı (Baska 997) Şekl.6 da görüle kale güvece ssem plalama kısmıı polkalar ve sadar çalışmaları oluşurur ve mamül kales e olacağıı sapamasıa lşk kuralları kapsar. Bu kısım korol yöemler kullaımı ve bleşm ssemlerde oluşmakadır. Kale gelşrme se ssemdek mevcu durumu esas alarak br yada maalyeler düşürücü, dğer yada kale ve ürekelğ arırıcı aleraf kararlar üremek ve buları gelşrlmes sağlamakır. 0

Öze olarak kale güvece çember: ) Kale Korol ) İmala ) Pazarlama v) Ambalaj v) Saış v) Moaj v) Saı alma v) Tekk desek x) AR-GE oluşurur. Görüldüğü gb kale güveces üm servslerde oluşurulablecek br ssemdr. Taım..9 İsasksel Kale Korolü; sasksel yöemler kullaarak kaleye lşk sorulu alaları sapayıp gerekl aalz ve celemeler yaparak kale sorularıa çözüm gerlmese yardımcı ola sseme sasksel kale korol brm der. Kale korol brm görevler yoğulaşığı bu alalar kısaca grş ve çıkış, süreç korolü olarak özeleeblr. Taım..0 Süreç, ürem le lgl grdler, bazı şlemler ve ölçümler soucuda çıkıya döüşmesdr (Baska 997). Ürem brmler hedeflee kalede ürü vereblmeler ç ürüü asarlaması ve ürelmes aşamalarıda dğer brmlere yardımcı ola kalede sorumlu br kale korol brm olması br zorululukur. Kale korol ssem ya da kale güvece ssem çde yer ala bu brmler görevler şekl.7 de görülmekedr.

Şekl.7 İsasksel kale korolüü aa elemaları (Baska 997) İsasksel kale korolde, sürec korol alıda olup olmadığıı belrlemek ç kullaıla e ek araçlar korol şemalarıdır. Bölüm 3. de deaylı olarak alaılacakır.. Güverlk Ölçümler ve Dağılım Foksyoları.. Güverlk ölçümler Güverlk, leraürde uygulamacılar ve araşırmacılar arafıda farklı aımlamakadır. Kabul görmüş geel aım aşağıdak gbdr: Taım... Güverlk (Relably), br başarma olasılığıdır. Başka br fade le ssem belrlee asarım lmlerde beklee şlev gerçekleşrme olasılığıdır (Kumar vd. 006). Güverlk ayı zamada müşer ürüde bekledğ kale karakersklerde brdr.

Maemaksel olarak güverlk, [0-] zama aralığıda ssem başarılı olması, başka br fade le şlev başarılı olarak sürdürmes olasılığıdır. Ya, R() güverlk foksyouu fade emek üzere, R ( ) PT ( > ), 0 dır (Pham 006). Bu eşlke T, ssem haalılık zamaıı (falure me) belre rasgele değşkedr. Taım... Güvelmezlk (Urelably), F(), haalılık ölçümü, zamaıda ssem haalı olması, başka br fade le şlev başarılı olarak sürdürememes olasılığı, F dır. ( ) PT ( ), 0 F() haa dağılım foksyoudur. Eğer T haalılık zamaı rasgele değşke f() yoğuluk foksyoua sahpse R() le f() arasıdak lşk, R ve ( ) f( s) d f d ds ( ) [ R ( )] bçmdedr. Yoğuluk foksyou maemaksel olarak, 3

lmp 0 ( < T + ) R( ) R( + ) bçmde aımlaablr (Pham 006). Bu eşlk; T haalılık zamaıı, le + zama aralığıda meydaa gelme olasılığı olarak yorumlaablr. Tes sürec başarılı olarak amamlamış ye br ssem, 0 operasyo zamaıda başarılı olma olasılığı yüksekr, acak operasyo zama aralığı arıkça başarılı olma olasılığı azalır. Güverllk, görev zamaı (msso me) br foksyoudur. Öreğ kmler br sem 4 saa görev zamaıdak güverllğ 0.995 dyeblr; acak kes zama aralığı blmedğ ç, ssem güverllğ 0.995 r fades alamsızdır. Ssem hag zamalar arasıda güverllğ ölçülmek sedğ e br şeklde aımlamalıdır (Pham 006). Taım...3 Ssem haalılık oralama zamaı (Sysem mea me o falure (MTTF) ); Ssem güverlk foksyou R() olarak verldğde beklee haalılık zamaı ya da ssem haalılık oralama zamaı (MTTF), MTTF 0 f ( ) d bçmde aımlaır. d f d ( ) [ R( ) ] eşlğ yukarıdak MTTF eşlğde yere koulduğuda; MTTF 0 d [ R ( )] 4

[ R ( ) ] R( ) 0 0 + d olarak elde edlr (Pham 006). Eşlğ sağ arafıdak lk şlem değer her k lm çde sıfıra eş olduğuda, MTTF 0 R ( ) d bçmde fade edlr (Pham 006). MTTF foksyou, haalılık zamaı dağılım foksyouu aımlı olduğu durumlarda kullaılmalıdır. MTTF değer; ssemde mmum e zama haa çıkacağı blgs vermeyp, ssemde çıkmış ola haaları oralama zamaı olarak aımlaır (Pham 006). Taım...4 Haalılık oraı foksyou (Falure rae fuco); [, ] zama aralığıdak ssem haalılığı, güverllk foksyoua göre, f ( ) d f( ) d f( ) d R ) R( ) ( bçmdedr ve haalılık dağılım foksyoua göre, f ( ) d f( ) d f( ) d F ) F( ) _ ( bçmdedr. 5

[, ] gb belrlemş br zama aralığıda haaı meydaa gelme oraıa haalılık oraı (falure rae) der. Başka br fade le; ssem, belrlemş br zama aralığıda haalı çıkmasıı, zamaıda öce haalı olmamasıa oraıdır. Bu ora, R( ) R( ) ( ) R( ) dır (Pham 006). Haalılık oraı zamaı br foksyoudur. Zama aralığı [, + ] olarak aımladığıda fade, ( ) R ( + ) R ( ) R bçmde değşr. Haalılık foksyou, zama aralığı sıfıra yakısadığıda haalılık oraıı lm olarak aımlaır. Haalılık foksyou a haalılık oraıdır ve h ( ) R lm 0 ( ) R ( + ) R ( ) d ( ) R R d ( ) f R ( ) ( ) olarak fade edlr (Pham 006). 6

Haalılık foksyouu öem, ssem yaşamı boyuca haalılık oraıdak değşm ek eksede haalılık foksyolarıı çzerek göserr. Öreğ, k ssem belrlemş br zama dlmde ayı güverlk değerde olablr acak sorak zamada haalı oraları farklılık gösereblr (Pham 006)... Bazı güverlk dağılım foksyoları Bu bölümde, güverlk aalzlerde yaygı olarak kullaıla dağılımları olasılık yoğuluk, dağılım ve güverlk foksyoları verlmşr (Pham 006).... Bom dağılımı Bom dağılımı kale korolde ve güverlke e yaygı kullaıla keskl dağılımlarda brdr. Bom dağılımıı olasılık yoğuluk foksyou; P x x x ( X x) p ( p) ; x 0,,,..., bçmdedr. Burada, x! x!( x)! : deeme sayısı, x : başarı sayısı, p: başarı olasılığıdır. Güverlk foksyou se ( brmde e az k aes başarılı olduğu durumda); 7

R x k x x ( k) p ( p) dır (Pham 006). x... Posso dağılımı Posso dağılımı; Bom dağılımıı uyguladığı durumlara bezer durumlarda uygulaablr, acak öreklem sayısıı blmedğ olaylarda kullaılır (Pham 006). Posso dağılımı da keskl br rasgele değşke karakerze eder ve olasılık yoğuluk foksyou; P ( X x) ( λ) x λ e x! ; x 0,,,... bçmdedr ve burada, λ: sab haalılık oraı, x : olay sayısıdır. Başka br fade le, P ( X x) zamaıda x ae haalı çıkma olasılığıı verr. Posso dağılımıı güverlk foksyou (k ae haada az çıkması olasılığı); ( ) Rk k ( λ) x e x 0 x! λ bçmdedr (Pham 006). Bu dağılım yedek arık ssemlerde (sadby reduda sysem) hyaç duyula yedek sayısıı esp emek amacıyla kullaılablr. 8

...3 Üsel dağılım Üsel dağılım, güverlk mühedslğde sab br haalılık oraıa sahp olduğuda emel rol oyar. Bu dağılım elekrok, elekrok parçalar ve ssemler yaşam zamalarıı modellemek ç kullaılmakadır. Üsel dağılım yoğuluk foksyou; f θ θ λ ( ) e λe, 0 bçmdedr ve güverlk foksyou; θ λ ( ) e e, 0 R dır. θ ı değer sıfırda büyük ke, MTTF br parameresdr ve λ 0 se haalı oraı sabdr. Üsel foksyou haalılık foksyou veya haalılık oraı, h ( ) ( ) ( ) f R e θ e θ θ λ θ bçmde br sabr. Üsel dağılımı haalılık oraı sab olduğuda yaygı olarak kullaılmakadır. Küve eğrs dedğmz (bahub curve) eğr düz kısmı ç üsel dağılım çok y br modeldr. Çükü ssemler yaşamlarıı büyük kısmıı küve eğrs bu kısmıda geçrrler (Pham 006). 9

...4 Normal dağılım Normal dağılım, Merkez Lm eoremde dolayı klask saske öeml rol oyar. Güverlk mühedslğde ormal dağılım öcelkle ürüü hassasye ölçümlerde kullaılır. Normal dağılım oralama değere göre smerk olup ça eğrs modeldedr. Normal dağılım yoğuluk foksyou; ( ) µ σ f e ; - <<, - <µ<, σ>0 σ π bçmdedr. Burada, µ : oralama değer; σ : sadar sapma dır. Brkml dağılım foksyou ; F ( ) sµ σ e σ π ds dır ve güverlk foksyou; ( ) R sµ σ e σ π ds bçmdedr (Pham 006). Eğer, Z µ T σ 0

döüşümü yapılır se sadar ormal yoğuluk foksyou ; f ( z) e π z, - <z< bçmde elde edlr. Bu dağılım foksyou oralaması 0 ve sadar sapması ola sadar ormal dağılım foksyoudur. Brkml dağılım foksyou ; Φ s e ( ) π ds dır. Φ sadar ormal dağılım foksyoudur. Böylece µ oralamalı ve σ sadar sapmalı ormal dağılımlı rasgele değşke T ç, P µ µ σ σ ( T ) P Z Φ eşlğ yazılablr. Böylece, sadar ormal ablolar kullaılacaksa Φ gerekl lşky sağlamakadır. Normal dağılım ç Haalılık oraı foksyou zamaıda mooo olarak arar. Tüm zamaıda h() 0 olduğu kolaylıkla söyleeblr (Barlow ve Proscha 975)....5 Log Normal dağılım Log ormal dağılım deeysel olarak brçok p haa verse uyumluluk sağlayacak esek br modeldr. Bu dağılım sürdürüleblrlk mühedslğ (maably egeerg) uygulamalarıda yede amr edleble ssemler haa olaslıklarıı modellemesde ve haalılık oraı şüphes modellemesde kullaılır (Pham 006).

Log ormal yoğuluk foksyou; ( ) lµ σ f e ; 0, - <µ<, σ>0 σ π bçmdedr. No: µ ve σ paramereler bu dağılım ç oralama ve sadar sapmayı fade emez. Maemaksel olarak X rasgele değşke X lt döüşümü alıda, ( X) E( T) µ E l V ( X) V( lt) σ µ oralamalı ve σ varyaslı ormal dağılıma sahpr. X T e olduğuda log ormal dağılımı oralaması, ormal dağılım kullaılarak X ( ) Ee ( ) ET xµ x σ e dx σ π ( ) ET σ µ + [ x( µ + σ )] σ e e dx σ π buluablr. Böylece log ormal dağılımı oralaması; E σ µ+ ( T) e dır. Başka br fade le;

X ( ) ( ) ( µ+ σ Ee e ) ET dır (Pham 006). Log ormal dağılımı varyası; V µ + σ σ ( T) e ( e ) dır ve brkml dağılım foksyou ; F ( ) 0 σs lsµ σ e π dır (Pham 006). ds Z sadar ormal döüşümü yapıldığıda, F ( ) PT [ ] P( l T l) P Z dır. Güverlk foksyou; lµ σ R ( ) P Z > lµ σ dır ve haalılık oraı foksyou; h ( ) f R lµ Φ ( ) σ ( ) σr( ) 3

bçmde elde edlr. Φ sadar ormal dağılımı brkml dağılım foksyoudur (Pham 006)....6 Webull dağılımı Webull dağılımı üsel dağılımı geelleşrlmş haldr. Webull dağılımı gaye esek ve değşk pe mühedslk uygulamalarıı gösermde ve değşke haalılık oraı foksyolarıı modellemesde uygudur (Pham 006). Üç paramerel Webull yoğuluk foksyou; f ( ) β ( γ) θ β β e β γ θ ; γ 0 bçmdedr. Burada, θ ve β paramereler ölçek (scale) ve bçm (shape) paramereler, γ se koum (locao) parameres olarak blr. Bu paramereler her zama pozfr. Farklı paramereler kullaarak bu dağılımı üsel dağılım veya ormal dağılıma döüşürmek mümküdür. β γ ( ) θ e ; > γ > 0, β > 0, θ > 0 R γ olduğu durumda güverlk foksyou; ve haalılık oraı foksyou; ( γ) β β h ( ) ; β θ > γ > 0, β> 0, θ> 0 bçmde olup, haalılık oraı foksyou β < ke azalır, β > ke arar, β ke sabr (Pham 006). 4

5...7 Gamma dağılımı Gamma dağılımı çarpık dağılıma sahp öreklemler ç haalılık olasılık foksyou olarak kullaılablr. Gamma dağılımıı yoğuluk foksyou; ( ) ( ) β α α α β e f Γ : 0, α, β>0 bçmdedr. Burada, α bçm parameres, β ölçek parameresdr. Gamma dağılımı güverlk foksyou, ( ) Γ s ds e s R β α α α β ) ( bçmdedr. Burada α am sayı se, güverlk foksyou; 0! ) ( α β β e R bçmde fade edlr ve haalılık oraı foksyou; ( ) ( ) ( ) Γ 0! ) ( ) ( α β β α α β α β e e R f h bçmdedr.

Gamma dağılım foksyouu şekl Webull dağılımıa çok yakıdır. α olduğuda gamma dağılımıı haalılık oraı / β ola üsel dağılıma döüşür. Gamma dağılımı ssem c haalılık zamaıı modellemek ç kullaılablr. Buradak haalılık dağılımı üsel olmalıdır. Bu edele, dağılım se dağılımıa sahp olur. T X + X +... + X X değşke θ / β paramerese sahp üsel değşke β ve paramereler le gamma Dğer br yöem le gamma yoğuluk foksyou; f β Γ α α β ( ) e ; > 0 ( α) bçmde de yazılablr. Yoğuluk foksyou α bçm parameres, β ölçek parameres olarak k paramerede oluşur. 0 <α < olduğuda haalılık oraı mooo azalır, α olduğuda haalılık oraı sabr, α > olduğuda haalılık oraı mooo arar. Yoğuluk foksyouu oralama, varyas ve güverlk eşlkler sırasıyla; α Oralama (MTTF), β α Varyas, β Güverlk α β x Γ α ( α) e β x dx bçmdedr (Pham 006). 6

...8 Pareo dağılımı Pareo dağılımı; şehr üfus yoğuluğu, hsse seed fya dalgalamalarıda ve kş gelr dağılımlarıı sağ kuyrukları uzu olduğuda bu p verler modellemek ç gelşrlmşr (Pham 006). Pareo dağılımıı yoğuluk foksyou ; α αk f ( ) α ; k <<,α>0 + olmak üzere, yoğuluk foksyouu oralama, varyas, güverlk ve haalılık oraı eşlkler sırasıyla; k Oralama ( α) αk ; α > Varyas ( ) α ( α ) α k Güverlk ; α > Haalılık oraı foksyou α bçmdedr (Pham 006)....9 Raylegh dağılımı Raylegh yoğuluk foksyou ; f σ σ ( ) e, > 0 7

olmak üzere, yoğuluk foksyouu oralama, varyas, güverlk ve haalılık oraı eşlkler sırasıyla; π Oralama σ, Varyas σ π σ Güverlk e Haalılık oraı foksyou σ bçmdedr (Pham 006).,.3 Yazılım Gelşrme Süreçler Yazılım kelmes sözlük alamıa bakıldığıda; yazılım, br blgsayarda doaıma haya vere ve blg şlemde kullaıla programlar, yordamlar, programlama dller ve belgelemeler ümü olarak fade edlmekedr. Yazılım ayrıca, mevcu br problem çözmek amacıyla değşk chazları brbrleryle haberleşeblmes sağlaya ve görevler ya da kullaılablrlkler gelşrmeye yaraya blgsayar dl kullaılarak oluşurulmuş alamlı fadeler büüü olarak da eledrleblr. Yazılım gelşrme, yazılımı hem ürem hem de kullaım sürec boyuca geçrdğ üm aşamalar olarak aımlaablr. Yazılım gelşrmede beş farklı süreç değerledrmesde söz emek mümküdür. Buular aalz, asarım, kodlama, es ve bakım fazı olmak üzere ele alımakadır (Özlü ve Özblg 00). 8

a) Aalz fazı Br problem çözümü olarak eledğmz yazılımları e yapacağıı ve asıl yapacağıı belrledğmz ya problem aımladığımız aşama aalz aşamasıdır. Yazdığıız kod acak see doğru br bçmde yere geryorsa başarılı br yazılımdır. Bu edele öcelkle yazılımda e sedğ doğru br bçmde aımlaması gerekr. Aalz aşaması persoel, doaım ve ssem gereksmler belrlemes, ssem fzble çalışmasıı yapılması, kullaıcıları gereksmler aalz, ssem e yapıp e yapmayacağıı kısılamalar göz öüe alıarak belrlemes, bu blg kullaıcılar arafıda doğrulaması ve proje plaı oluşurulması adımlarıda oluşur (Özlü ve Özblg 00). b) Tasarım fazı Aalz aşaması soucuda belrlee gereksmlere yaı verecek yazılımı emel yapısıı oluşurulduğu aşamadır. Yazılım asarımı, br bleşe veya ssem asıl gerçekleşrleceğ belrlemek ç kullaıla ekkler, sraejler, gösermler ve deselerle lgldr. Bu aşama yazılım bleşeler arasıdak çsel ara yüzler, mmar asarım, ver asarımı, kullaıcı ara yüzü asarımı, asarım araçları ve asarımı değerledrlmes al süreçler de kapsamakadır. Tasarım aşaması, yazılımı hem kullaıcı ara yüzüü hem de programı omurgasıı oraya koymakadır. Yapılacak asarım, yazılımı şlevsel gereksmlere uygu olmasıı yaı sıra kayaklar, performas ve güvelk gb kavramları da göz öüe alıarak gerçekleşrlmeldr (Özlü ve Özblg 00). c) Kodlama fazı Kodlama aşaması, asarım sürecde oraya koula verler doğrulusuda yazılımı gerçekleşrlmes aşamasıdır. Bu süreç programlama çalışmalarıı yaı sıra yazılımı gelşrlmes ve kullaıcıya ulaşırılması sürecdek büü çalışmaları kapsar. Tasarım 9

soucu ürele süreç ve ver abaıı fzksel yapısıı çere fzksel model blgsayar oramıda çalışa yazılım bçme döüşürülmes çalışması olarak da eledrleblr. Yazılım gelşrme oramı, programlama dl, ver abaı yöem ssem, yazılım gelşrme araçları seçm kodlama aşamasıda gerçekleşrlr (Özlü ve Özblg 00). d) Tes fazı Tes aşaması, yazılım kodlaması sürec ardıda gerçekleşrle sıama ve doğrulama aşamasıdır. Elde edle uygulama yazılımıı hem belrlee gereksmler sağlayıp sağlamadığı hem de gerçekleşrm beklelere uygu olup olmadığıı korol emek ç sak ve damk sıama ekklerde yararlaır. Yazılım üremde lk esler geelde gelşrme sürecde programcı arafıda yapılır. Buula brlke, asıl haa ayıklama ve gerbldrm hzme es ekpler arafıda yapılır. Tesler ve gerbldrm müşer yazılımı kulladığı sürece devam eder. Tes sürecde e faydalı gerbldrmler so kullaıcı es gruplarıda gelr (Özlü ve Özblg 00). e) Bakım fazı Yazılımı eslmde sora haa gderme ve ye ekleler yapma aşamasıdır. Yazılımı kullaıma başlamasıda sora yazılımı deseklemes sürec kapsar. Yazılımı ekskler gderlmes, yleşrlmes gb al aşamaları çere aşamadır (Özlü ve Özblg 00). 30

3.METERYAL VE YÖNTEM 3. İsasksel Süreç Korolü (İ.S.K) Süreç korolü, ürem sırasıda dış ekeler ede olduğu kale sorularıı geckrlmede celep gderlmes böylece doğablecek zararları öleerek vermllğ e üs düzeyde uulmasıı amaçlar. Teork yapısı 96 da W.A Shewhar arafıda oluşurula korol şemaları bu sürec sasksel yöemlerle olmak üzere ekoomk ve güvelr bçmde korol alıda uulmasıda e ekl araçlardır (Baska 997). Doğal olmaya edelerle oraya çıka değşklkler sürec olumsuz olarak ekledğde bu edeler aımlamaları, araşırılmaları ve korol alıda uulmaları gerekr. Br korol şeması süreçe meydaa gele değşklkler doğal veya doğal olmaya edelerde oluşuğuu ayırdemeye yaraya öeml br araçır. İsasksel süreç korolü (İ.S.K) ü amaçları ve İ.S.K da beklee yaralar, ) Ürü kales gelşmes ) Kale farklılıklarıı e aza drgemes ) Kale malyeler düşmes v) Haalı ürü sayısıı azalması v) Muayee ve es masraflarıı azalması v) Ürü güverllğ arması v) Karı arması v) Rekabe gücü ve pazar payıı arması x) Reklam harcamalarıı azalması bçmde sıralaablr (Baska 997). 3

W.A Shewhar, korol şemalarıı lk olarak şlemec ürem ç br sadarı ya amacı belrlemeye, kc olarak br amaca ulaşmak ç br araç olarak kullaılmaya, üçücü olarak se amaca ulaşıp ulaşmadığıı ölçmeye hzme eğ belrr. Ye Shewhar a göre herhag br süreç korolüde doğal değşkelere lşk lmler belrlemek olaaklıdır. Bu lmler arasıdak değşmler rasgele değşke yapısıdak değşmlerde meydaa gelmeke ve bu lmler dışıda kala durumlar se üremdek dğer öeml değşklkler soucu meydaa gelmekedr. Geel olarak, kale ürem herhag br aşamasıda hammaddede ürüe kadar ölçüleble ya da ölçülemeye br karakersk olduğu blr ve kale karakerskler k gruba ayrılır. a) Ölçüleble özellkler Bu özellkler br sııfak öğrecler ağırlığı, br elekrk ampulüü ömrü, br make ömrü, lf uzuluğu, ba umarası, kumaş mukaveme, gram, wa, mlmere vb. gb özellklerdr (Baska 997). b) Ölçülemeye özellkler Haalı, haasız bçmde sııfladırmaı yapıldığı özellklerde olup k ür özellke söz edleblr. Nelk gösere rek, eksk parça, çalak dokuma haaları gb gerçeke ölçüme uygu olmaya sadece gözle vaya başka br araçla muayee edleble eseler kale karakersklerdr. 3

Ölçülemeye acak sayılable bu özellkler, ölçülmes olaaklı ola acak zama ve maalye asarrufu amacıyla ölçülemeye kale karakersklerdr. Öreğ brm uzulukak plk haaları, dokuma haaları bu ür özellklerdr. Gülük yaşamda karşılaşıla pek çok değşke gb ürem oramı celedğde öreğ makalar, hammaddeler, yabacı malzemeler, şçler see koşullar vb. değşkelere lşk verler ormal dağılıma uygu frekas dağılımıa sahp oldukları gözlemşr. Sürekl br rasgele değşke değerler ola ölçüm değerler geellkle ormal dağılıma uygu olduğu blr (Baska 997). Öe yada haa oraı, haa sayısı gb ölçülemeye değşkeler dağılımlarıı se Bom, Posso ya da Hpergeomerk dağılım gb keskl dağılımlarıda bre uydukları söyleeblr. Br ürem sürec, ürü veya herhag br çıkıya a ölçüleble ya da ölçülemeye kale özellkler büü çeşlere uygulaablr. Br çok korol şeması vardır acak süreç ç e uygu kale özellğ ve bu özellğe e uygu korol şemaları seçlmeldr. Şekl 3. de hag durumda hag p korol şemasıı seçleceğ br akış olarak verlmşr. 33

Şekl 3. Süreç korol şeması 3.. Algurup sayısı (k) e eş ola durumlar ç korol şemaları Ölçümler zamaa geşçe yayıldığı, her ölçümü sürec korolüde ve değerledrlmesde kullaıldığı durumlardır. Algruplar kolaylıkla rasgele olmaya gözlemler çde barıdırablrler, rasgele olmaya gözlemler sadar sapma hesaplamasıda eks azalmak ç algrup sayısı olabldğce azalılır. E küçük algrup sayısı dr. Sadar sapma k gözlem arasıdak açıklık hesaplaarak elde edlr (Florac ve Carleo 00). Sıralı k ae gözlem -r ae harekel açıklık (movg rage) değer olur. 34

. harekel açıklık; mr X + X, - bçmde aımlaır. Breysel (Idvdual) korol şemaları ç oralama harekel açıklık değer, merkez çzgs ve korol sıırları sırasıyla; mr r r mr, Merkez Çzgs (M.Ç); X X, Üs Korol Sıırı (Ü.K.S); 3mR X + X +. 66mR d ve Al Korol Sıırı (A.K.S); 3mR X X. 66mR d dır. Harekel açıklık (movg rage) korol şeması ç Merkez Çzgs (M.Ç) ve korol sıırı; mr ve 35

Üs Korol Sıırı (Ü.K.S); mr D 4 dır. Burada, d ve D 4 sırasıyla ora çzg ve korol lm çarpalarıdır ve algrup gözlem sayısıa göre belrlemş değerler çzelge 3. de aımlamışır. 3.. Ölçüleble özellkler ç korol şemaları Bu korol şemaları br sürece lşk ola bell sayıdak gözlem oralamasıda ve yayılmasıda meydaa gele değşmler göreblme aracıdır ve sürec sasksel olarak korol alıda olduğuu deeler. 3... X korol şeması X korol şeması süreçe şlem göre veya çıka parçaları merkez eğlmler celemes amacıyla ya da dğer br deyşle geçmş ve gelecekek ürem korolü ç kullaılır. Ürem doğru br görüüşüü elde edeblmek ç üremde geellkle 4 veya 5 brmde oluşa e az 0 geellkle 5 al grup öreklem olarak seçlr (Baska 997). Korol şemasıı çzleblmes ç kle µ (oralama) ve σ (varyas) paramereler blp blmedğ durumlarıa göre k farklı yol zlemeldr. Bular: a) µ ve σ bldğ durumda X korol şemaları Gelecekek ürem korolü amacıyla oluşurula bu şemalarda, geçmşek ürem korol dışıda oluşmasıı ekler araşırılıp gderldke ve buları gelecekek üreme ekde bulumalarıı öüe geçldke sora, lerdek ürem bu gb 36

eklerde koruablmes ç sadar korol şemaları oluşurulur. Korol şemalarıda merkez çzgs ve korol sıırları sırasıyla, Merkez Çzgs (M.Ç); µ, Üs Korol Sıırı (Ü.K.S); 3σ µ + veya µ + Aσ, Al Korol Sıırı (A.K.S); 3σ µ veya µ Aσ bçmdedr ve burada A 3 dır (Baska 997). b) µ ve σ paramereler blmedğ durumda X korol şemaları Bu durum özellkle ye br malzeme hzmee grşde, ye hammadde kullaıldığıda veya ye br ürü yapımıda oraya çıkar. Blmeye kle paramereler ahm edcs µ u yasız ahm edcs X, X X ;,, 3,, k k bçmdedr, burada k değer al grup sayısıı fade eder. Korol şeması seçmde öeml ola br dğer fakör de al grupları öreklem sayısıdır. Bu durumda; 37

) Al gurupları gözlem sayısı se, X R korol şeması kullaılmalıdır. Bu durumda R, gözlemlk k ae al grubu açıklığı olmak üzere, R R ;,, 3,, k k bçmde aımlaır. Burada σ ı yasız ahm edcs, R d σ bçmdedr (Baska 997). Korol şemasıı merkez çzgs ve korol sıırları sırasıyla, Merkez Çzgs (M.Ç); X, Üs Korol Sıırı (Ü.K.S); X 3R + veya X+ AR d ve Al Korol Sıırı (A.K.S); X 3R veya X AR d dır (Florac ve Carleo 00). ) Algurupları gözlem sayısı > se herbr al öreklem grubuu sadar sapması s, X S korol şeması kullaılmalıdır. Burada 38

s j ( x x ) j,,,,..., k dır. Bu durumda gözlemlk k ae al grubu oralama sadar sapma se, k s s ;,, 3,, k le hesaplaır. Bu durumda σ ı yasız ahm edcs, k s c σ bçmdedr (Baska 997). X S korol şemasıı korol sıırları, Üs Korol Sıırı (Ü.K.S); X 3 + s veya c A 3 se X + As c ve Al Korol Sıırı (A.K.S); X 3 s veya c A 3 se X As c bçmde aımlaır (Florac ve Carleo 00). X -R ve X -S korol şemaları ç yukarıda verlmş ola formüllerdek, A ve A sab çarpa değerler çzelge 3. de, öze formüller se çzelge 3. de verlmşr. 39

Çzelge 3. Korol sıırlarıı hesaplaması ç çarpalar (Baska 997) Ölçüleble ver (Varables Ver) p Korol Şemaları Algrup gözlem sayısı X Oralama ve R Şemaları Oralama Şemaları Korol Lmler Çarpaları Açıklık (R) Şemaları Ora Çzg Çarpaları Korol Lmler Çarpaları X Oralama ve S Şemaları Oralama Şemaları Korol Lmler Çarpaları Sadar Sapma (S) Şemaları Ora Çzg Çarpala rı Korol Lmler Çarpaları A d D 3 D 4 A c B 3 B 4.88.8-3.67.659 0.7979-3.67 3.03.693 -.574.954 0.886 -.568 4 0.79.059 -.8.68 0.93 -.66 5 0.577.36 -.4.47 0.94 -.089 6 0.483.534 -.004.87 0.955 0.03.97 7 0.49.704 0.076.94.8 0.9594 0.8.88 8 0.373.847 0.36.864.099 0.965 0.85.85 9 0.337.97 0.84.86.03 0.9693 0.39.76 0 0.308 3.078 0.3.777 0.975 0.9653 0.84.76 5 0.3 3.47 0.347.653 0.789 0.977 0.48.57 5 0.53 3.93 0.459.54 0.606 0.9896 0.565.435 İsasksel süreç korolü, sürec korolüde ve belrlemş spesfkasyolar arasıda devamıı belrr. Korolde devam ede süreçler oomak olarak yeerl olduğu kabul edlemez. Herhag br süreçe şekl 3. de aımlaa 4 değşk durum söz kousu olablr (Baska 997); a) Süreç koroldedr ve ayı zamada yeerldr. b) Süreç koroldedr ama yeerl değldr. c) Süreç korolde değldr ama yeerldr. 40

d) Süreç hem korolde değldr hem de yeerl değldr. Şekl 3. Sürec korolde ve yeerl olması durumlarıı şemak göserm (Baska 997) 4

Bu durumlar deaylı olarak celedğde; a) 6σ > (Ü.T.S-A.T.S) Şekl 3. madde b ve d de belrle sürec yeersz olduğu durumdur. Sürec yeersz olması şrkeler araıda semez. Çükü bazı parçaları ölçümler al veya üs oleras sıırları dışıda olduğuda haalı parça ürelmş olur. Süreç ya da şlem korol alıda olsa dah haalı ürem kaçıılmazdır. Böyle durumlarda çözüm yolları aşağıdak gb sıralaablr (Baska 997): ) Olaaklı se oleras sıırlarıı geşlemek, ) Süreç sadar sapmasıı azalacak ölemler almak, ) Süreç oralamasıı üm parçaları üs oleras sıırı dışıa aşacak şeklde yukarı mek (Bu durumda haalı parçaları hurdaya ayırma yere kurarma şleme ab umuş olurlar), v) Buları hçbrs olaaklı değlse, haalı parça ürem kabullep %00 muayee yapmak. b) 6σ (Ü.T.S-A.T.S) Bu krk br durumdur. Süreç dağılımıı uç okaları oleras sıırları le çakışığıda ve süreç korol alıda olduğuda soru yok deleblr. Bua karşılık süreç oralamasıda ya da değşmde olablecek br arış soru yaraablr. Bu durumda süreç ya da şlem korol alıda umak gerekr. Bu ek olarak asarımda br değşklk yaparak olerası arırmak, daha elkl şç, malzeme ya da ezgah kullaarak sürec dağılım varyasıı azalılması yolua gdleblr (Baska 997). c) 6σ < (Ü.T.S-A.T.S) Şekl 3. madde a ve c de belrle e deal ola durumdur. Korol sıırları, oleras sıırlarıda az olduğu ç süreç oralamasıda küçük kaymalar olsa ble bu durum haalı üreme ede olmayacakır. 4

Süreç korol alıda olduğuda br okaı korol sıırlarıı dışıa düşmes olasılığı. p haa yapma olasılığıdır. Bezer şeklde süreç korolde çıkarke br okaı korol sıırları çe düşme olasılığı sıfırda büyükür. Bu. p haa olasılığı olarak blr. Bu k haa brbrler le lşkl olduğuda brdek br azalma dğerde arma le souçlaır (Baska 997). 3... R korol şeması Açıklık (R) ç korol şeması, kle dağılımıda zama çde br değşklk olup olmadığıı belrlemek amacıyla kullaılır. Öreğ, ml yaağı aşıması, br ale parçalarıda brde gevşeme, operaörü lgs azalması gb öreklem brmler farklılaşma ölçüsüü belrlemes amacıyla kullaılır. R korol şemasıı merkez çzgs R, korol sıırları se 3 σr geel formülü le belrler. Bua göre, ) sadarlar bell ke korol sıırları: Üs Korol Sıırı (Ü.K.S); R + 3σ R ve Al Korol Sıırı (A.K.S); R 3σ R dır. Gelecek ürem korolü ç ya da sadarlar bell ke korol sıırları aşağıdak gb elde edlr. Merkez çzg, ( ) σ O halde korol sıırları: E R d dır. R sadar sapması se σr d 3σ dır. d σ 3σ R m veya σ( d m ) 3d 3 43

olarak yazılablr. Acak D d + 3d 3, D d 3d 3 kasayıları çzelge 3. dek öreklem ölçümüe göre belrledğde korol sıırları; Merkez Çzgs (M.Ç); d σ, Üs Korol Sıırı (Ü.K.S); D σ ve Al Korol Sıırı (A.K.S); D σ olur (Baska 997). ) Sadarlar bell olmadığıda, geçmş ürem korolü ç korol sıırları σ R ahm edcs R /d de elde edlr (Baska 997). Böylece R korol şemasıı korol sıırları, Merkez Çzgs (M.Ç); R, Üs Korol Sıırı (Ü.K.S); D 4 ve R Al Korol Sıırı (A.K.S); R D 3 dır. Burada D 3 ve D 4 kasayıları, 3d D 4 + d 3 44

ve 3d D3 d 3 bçmdedr (Florac ve Carleo 00). 3...3 σ korol şeması R-korol şeması ç merkez çzg ve korol sıırlarıı oluşurulmasıa bezer şeklde S korol şemasıı merkez çzgs s ve korol sıırları se le belrler. 3 σσ geel formülü ) Sadarlar bell ke σ ı beklee değer c dr (Baska 997). Sadar sapması se; [ ( ) c ] σ σ dır. O halde korol sıırları σ c σ m 3σ σ ya da; [ ( ) c ] 3 σ c m bçmde yazılablr. Korol sıırları ç kasayılar, B ve B [ ( ) c ] 3 c + 3 [ ( ) c ] c 45

dr. Böylece, Üs Korol Sıırı (Ü.K.S); B σ ve Al Korol Sıırı (A.K.S); B σ olur (Baska 997). ) σ blmedğde se s /c de ahm edleblr (Baska 997). Böylece ahm edlmş korol sıırları, [ ( ) ] 3 s m c olarak yazılablr. c Kasayılar, B ve B [ ( ) ] 3 c c 4 + [ ( ) ] 3 c c 3 dr. Böylece, Üs Korol Sıırı (Ü.K.S); s B 4 ve Al Korol Sıırı (A.K.S); 46

s B 3 olur (Florac ve Carleo 00). Çzelge 3. Ölçüleble ver p ç korol şemaları formül öze (Florac ve Carleo 00) Merkez Çzgs Korol Lmler σ x X Oralama ve R Karları M. Ç X Ü. K. S X + AR. K. S X A R A M. Ç R. K. S D R. K. S D R Ü 4 A 3 R d X Oralama ve S Karları M. Ç X. K. S X + A s. K. S X A s Ü M. Ç s. K. S B s. KS. B s Ü 4 A A 3 s c 3..3 Ölçülemeye özellkler ç korol şeması Bazı kale özellkler sadece elkler açısıda celeeblr. Ya her gözlee parça k sııfa gerekl kale koşullarıa uyma ve uymama olarak ayrılablr. Öreğ br sldrde döküm sırasıda olablecek br haada dolayı meydaa gele çalak sldr haalı olarak ayrılmasıa yol açar. Nel özellkler korolüde breyler sadece haalı veya haasız olarak sııfladırıldığıda; a) Her br ürü üzerde sapaa haalar ürüü elğ belrlyor se haalı sayısı (p) veya haalı oraı (p) korol şeması, b) Ürüü haa olması sayılıyor se c veya u korol şeması kullaılır. 47

Br ürü ya da parçaı aşıdığı br ya da daha fazla sayıda haa edeyle haalı olarak eledrlr. Haalı (defcecy) dye eledrle ürüler daha öce belrlmş ola kale spesfkasyolarıa br kaç kouda uymayablr. Haa (defec) se kale spesfkasyoua aykırılıkır. 3..3. P korol şeması P korol şemaları el olarak celee kale özellklere ve geçer geçmez ölçüsü le celee boyulara uygulaır. Korol şemasıı oluşurulmasıda k durum sözkousudur. a) P oraı bldğde Süreç korol alıda olduğuda, süreçek haalı oraı br P 0 değere eşr. Bu değer daha öcek gözlemlerde elde edle deeym le elde edleblr. Daha sora değşmez ölçümdek her öreklem ç oralama br p 0 sayısı buluur. Korol şemasıı sıırları ardışık öreklemlerde gözlee haalı sayısı (h) le lşkldr. ) 50 olduğuda P korol şeması, Bom dağılımıa yakısar ve çzelge 3.3 e hazırlamış ola değerler kullaılır. Bu durumda üs sıır değer, L k h 0 p h ( p ) 0. 999 h 0 0 bçmde aımlaır (Baska 997). 48

) P 0 %0 olması durumuda se Posso dağılımıa göre hazırlamış çzelgeler kullaılır. Bu çzelgeler P 0 ı değl p 0 ı foksyou olarak L k ve L g değerler verr. Çzelge 3.3 dek L k üs korol sıırı değer se, L k h 0 e p 0 ( p ) h! 0 h 0.999 lşks le aımlaır (Baska 997). Çzelge 3.3 Korol ve gözem üs sıırları (P 0, 50) (Baska 997) Haalı sayısı 0 5 0 30 40 50 L K vaya L G L K ç %p 0 L G ç %p 0 L K ç %p 0 L G ç %p 0 L K ç %p 0 L G ç %p 0 L K ç %p 0 L G ç %p 0 L K ç %p 0 L G ç %p 0 L K ç %p 0 L G ç %p 0 0 0.0 0.5 0.0 0.7-0.3-0.09-0.06-0.05 0.5.5 0.3.9 0.3.3 0.5 0.8 0. 0.6 0.09 0.5. 6.7.4 4.3 3. 0.66. 0.5.7 0.4.4 3 4.9. 3. 7.8. 5.7.5 3.7..7 0.9. 4 8.8 8.7 5.5.8 4 8.7.5 5.6.9 4..3 3.3 5 4. 6. 8.5 6.3 6..9 3.9 7.7.9 5.6. 4.5 6 0.4 34.8..3 8.6 5.4 5.4 9.9 4 7.3 3. 5.8 7 8. 44.4 6. 6.6.3 9. 7..3 5. 9 4. 7. 8 37.6 55.5 0.6 3.3 4.4 3. 9 4.8 6.5 0.8 5. 8.5 9 50. 69. 5.7 38.4 7.7 7. 7.3 8.7 6. 0 0 - - 3.3 44.9.3 3.5 3. 9.9 9.5 4.6 7.4.5 - - 37.5 5.9 5. 36. 5.3.6. 6.5 8.6 3. - - 44.6 59.5 9.3 40.8 7.7 5.4.7 8.5 0 4.6 3 - - 5.8 68. 33.7 45.7 0. 8.3 4.4 0.6.3 6. 4 - - 63 78. 38.4 50.9.7 3.3 6..7.6 7.8 5 - - - - 43.5 56.3 5.4 34.3 8. 4.8 4 9.5 6 - - - - 49. 6. 8. 37.4 0 7 5.5. 49

) p 0 5 olduğu durumda, Normal dağılım yaklaşımı kullaılır. N ölçümlü br öreklemde haalı sayısı ç üs korol sıırları yaklaşık olarak; Ü. K. S( Lk ) p 0 + 3p 0 (p 0 ) ve Ü. GS. ( LG ) p 0 + p 0 (p 0 ) dır (Baska 997). b) P oraı blmedğde Geçmş ürem haalı oraı korol şeması düzelerke yapılacak lk ş celee öreklem sayısıı ve bulua haalı sayısıı belrlemekr. Buda sora yapılacak şlem se oralama haalı oraıı bulmakır. Buu ç her al grubu p değer hesaplaır. Sora oralama haalı oraı (p ) buluur. Buu ç ardışık k öreklemdek oplam haalı sayısı, bu k öreklemdek oplam brm sayısıa bölüür. Böylece, r p olmak üzere, p r ;,,, k dır. Burada, p değer korol şemasıı merkez çzgsdr. Korol sıırları se; Üs Korol Sıırı (Ü.K.S); ( p) p + 3 p / ve Al Korol Sıırı (A.K.S); ( p) p 3 p / dır (Baska 997). 50

3..3. NP korol şeması Ölçülemeye kale özellkler korolü ç kullaıla br dğer korol aracı da haalı sayısı korol şemasıdır. Bu şema şlemedek persoel ç daha kolay alaşılablr olması edeyle çoğu kez dğere yeğler. Çükü korol sıırları belrledke sora başka br şleme gerek duyulmaksızı br par muayeesde ögörüle haalı parça sayısı şemaya doğruda şleeblr. Burada, Merkez Çzgs (M.Ç); p, Üs Korol Sıırı (Ü.K.S); p ve + 3 p ( p) Al Korol Sıırı (A.K.S); p 3 p ( p) dır (Baska 997). Eğer süreç veya kle oralaması haalı oraı (P 0 ) öcede blyorsa bu değer hesaplamalarda kullaılır. Blmedğde se haalı oraı korol şemalarıda olduğu gb öreklem verlerde yararlaılarak ahm edlr. 3..3.3 C korol şeması Bu korol şeması brmdek haalar ç br korol kurmak amacıyla düzeler. Brm ek br parça ürü, parçalar grubu, parçaı br kısmı v.b sayılablr. Burada öeml ola öreklem ölçümüü ayı olmasıdır. Br haaı oraya çıkması olasılığı küçük se C- korol şeması Posso dağılımı üzere kurulur. Haa sayısı (c), Posso dağılımıa uyduğuda br parçada h ae haaı buluması olasılığı; P ( c, λ) λ c e λ ; c,, c! 5

dr. ) λ bldğde, brmdek haaları oralama değer λ ve sadar sapması λ dır. O halde C korol şeması ç korol sıırları, Üs Korol Sıırı (Ü.K.S); λ + 3 λ ve Al Korol Sıırı (A.K.S); λ 3 λ bçmde aımlaablr. Öe yada, öreklem ölçümü büyük ve haa olma olasılığıı küçük olduğu durumlarda, haa sayılarıı dağılımı Normal dağılıma yakısar. ) λ blmedğde se gözlee verlerde λ ı ahm edcs c c bçmde elde edlr. Böylece korol sıırları, Merkez Çzgs (M.Ç); c, Üs Korol Sıırı (Ü.K.S); c+ 3 c ve Al Korol Sıırı (A.K.S); c 3 c dır (Baska 997). 5

3..3.4 U korol şeması Haa sayısıı korol amacıyla kullaa C korol şeması ç her al grubu ek brmde oluşması (kumaş opu, şşe, uçak kaadı v.b) gerekr. Acak bazı durumlarda al gruplar brde fazla ve farklı sayılarda brmlerde oluşablrler. Bu durumda U Korol şemaları kullaılır. U korol şemalarıı uygulamaları ç brm başıa gerçek haa sayısı U 0 bldğde bu değer korol sıırlarıı hesaplamada kullaılır. Blmedğde se üm algruplarda gözlee haa sayısı al grupları oluşura brm sayısıa bölüerek brm başıa oralama haa sayısı U ( c) hesaplaır. Bu durumda, oralama değer ve korol sıırları sırasıyla, u c, Üs Korol Sıırı (Ü.K.S); u u+ 3 veya ve c+ 3 c Al Korol Sıırı (A.K.S); u u 3 veya c 3 c formüller kullaılır. Öe yada al grup büyüklükler brbrde farklı olduğua göre buluacak korol sıırlarıı değşe değere göre değşeceğ haırlamalıdır (Baska 997). 53

Çzelge 3.4 Ölçülemeye ver p ç korol şemaları formül öze (Florac ve Carleo 00) p Korol Karı p Korol Karı Merkez Çzgs M. Ç p Korol Lmler Öreklem gözlem sayısıı sab olmadığı durumlarda ÜÇS.. p+ 3 ( p) Öreklem gözlem sayısı sab se () p AÇ.. S p 3 p ( p) p( p) p( p).. p+ 3 AÇS.. p 3 ÜÇS M. Ç p ÜÇ. S p + 3 p( p). A. Ç. S p 3 p( p) c Korol Karı M. Ç c Ü. ÇS. c+ 3 c A. Ç. S c 3 c Öreklem gözlem sayısıı sab olmadığı durumlarda u Ü. ÇS. u+ 3 M. Ç u A. ÇS. u 3 u u Korol Karı Öreklem gözlem sayılarıı oralaması kullaıldığıda Ü. ÇS. u+ 3 u Öreklem gözlem sayısı sab se () A. ÇS. u 3 u Ü. Ç. S u + 3 u A. Ç. S u 3 u 3. Yazılım Ssemler Güverlk Modeller Özellkle karmaşık yapılı yazılım ssemlerde, yazılımı %00 haasız çalışmasıı sağlamak ç gerçekleşrle yazılım es faalyeler oldukça maalyeldr. Bu edele şrkeler belrlemş zama aralıklarıda kod gözde geçrme ve foksyoel es faalyeler opmum sevyede gerçekleşrerek, eslm edecekler yazılım ssem üm gereksmler karşıladığıda ve büyük (majör) haalı ürü eslm emedklerde 54

em olmak serler. Bu edele müşerye eslm edlmede öce yazılım ssem güverlğ ve haa sayısı, yapıla ç gözde geçrme ve es faalyelerde çıka haalar grd olarak değerledrlerek ahm edlmeke ve çıka rsk durumlarıa göre şrke arafıda öleyc şlem alımakadır. Yazılım ssemler güverlk aalz çalışmaları 30 yılı aşkı süredr devam emekedr. Bu süre çersde yazılımı güverlğ ve kala haa sayısıı ahm ede modeller gelşrlmşr. Temel olarak k çeş Yazılım Güverlk model vardır. Bular, deermsk ve olasılıksal olarak kye ayrılmakadır. Deermsk modeller programdak şleme (operaor) ve şlemc (operads) ler kullaır. Deermsk pe performas ölçümler programı yazılış yapısı aalz edlerek elde edlr, bu edele rasgele olayları çermezler. Deermsk modellerde e y ble k aes: Halsead s yazılım merğ ve McCabe s cyclomac karmaşıklık merğdr. Halsead s yazılım merğ programda haa sayısıı ahm emek ç kullaılırke McCabe s cyclomac karmaşıklık merğ, yazılımdak kala haa sayısıı ahm emek ç model üs sıırıı belrler. Bu çalışma kapsamıda olasılıksal yazılım güverlk modeller deaylı olarak celeecekr. Olasılıksal yazılım güverlk modeller farklı gruplar halde sııfladırılır: ) Haa kayağı (Error Seedg) modeller, 55