ANKARA ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ YÜKSEK LİSANS TEZİ BULANIK DEĞİŞKENLER VE BULANIK YENİLEME SÜREÇLERİ. Yunus KOCATÜRK

Transkript

1 ANKARA ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ YÜKSEK LİSANS TEZİ BULANIK DEĞİŞKENLER VE BULANIK YENİLEME SÜREÇLERİ Yuus KOCATÜRK İSTATİSTİK ANABİLİMDALI ANKARA 7 Her hakkı saklıdır

2 Yrd. Doç. Dr. Hall AYDOĞDU daışmalığıda, Yuus KOCATÜRK arafıda hazırlaa Bulaık Değşkeler ve Bulaık Yeleme Süreçler adlı ez çalışması arhde aşağıdak jür arafıda oy brlğyle Akara Üverses Fe Blmler Esüsü İsask Aablm Dalı da YÜKSEK LİSANS TEZİ olarak kabul edlmşr. Başka : Doç. Dr. Brdal ŞENOĞLU Üye : Yrd. Doç. Dr. Erdal GÜNER Üye : Yrd. Doç. Dr. Hall AYDOĞDU Yukarıdak soucu oaylarım Prof. Dr. Ülkü MEHMETOĞLU Esü Müdürü

3 ÖZET Yüksek Lsas Tez BULANIK DEĞİŞKENLER VE BULANIK YENİLEME SÜREÇLERİ Yuus KOCATÜRK Akara Üverses Fe Blmler Esüsü İsask Aablm Dalı Daışma: Yrd. Doç. Dr. Hall AYDOĞDU Bu çalışmada bulaık kümeler, bulaık sayılar, bulaık sayılar üzerdek şlemler, bulaık olasılık eors ve bulaık değşkeler verlmşr. Yeleme süreçler üzerde bulaık maık uygulaarak gerdğ ye souçlar celemşr. 7,53 sayfa Aahar Kelmeler: Bulaık küme, bulaık sayı, bulaık değşkeler, yeleme süreçler, bulaık yeleme süreçler.

4 ABSTRACT Maser Thess FUZZY VARIABLES AND FUZZY RENEWAL PROCESSES Yuus KOCATÜRK Akara Uversy Graduae School of Naural ad Appled Sceces Deparme of Sascs Supervsor: Ass. Prof. Dr. Hall AYDOĞDU I hs sudy, he defo of fuzzy ses, fuzzy umbers, operaos o fuzzy umbers, fuzzy possbly heory ad fuzzy varables are gve. New resuls obaed by applyg fuzzy logc o reewal processes are dscussed. 7, 53 pages Key Words: Fuzzy se, fuzzy umber, fuzzy varable, reewal processes, fuzzy reewal processes.

5 TEŞEKKÜR Yeleme Süreçler le lgl yapığım bu çalışmada baa araşırma olaağı sağlaya, çalışmaı her aşamasıda öerleryle be yöledre, her zama lg ve alakasıı gördüğüm değerl daışma hocam Sayı Yrd. Doç. Dr. Hall AYDOĞDU ya e der eşekkürlerm suarım. İsask blm baa sevdre ve öğrememde büyük kakıları ola Akara Üverses İsask Bölümü dek hocalarıma eşekkür ederm. Çalışmamı desekleyerek her zama yaımda olduklarıı gösere aleme verdkler deseke ve göserdkler lgde dolayı, ayrıca kuzem Oza AKARSU ya çalışmama verdğ deseke dolayı sosuz eşekkürlerm suarım. Yuus KOCATÜRK Akara, Ekm 7

6 İÇİNDEKİLER ÖZET... ABSTRACT... TEŞEKKÜR... SİMGELER DİZİNİ...v ŞEKİLLER DİZİNİ...v. GİRİŞ.... BULANIK MANTIK VE BULANIK KÜMELER...3. Bulaık Maığı Taımı...3. Bulaık Küme Bulaık Kümeler Üzerde İşlemler BULANIK SAYI Bulaık Sayıları Taımlaması Üçgesel Bulaık Sayı Yamuk Bulaık Sayı Alfa-Kesmler Bulaık Armeğ Geşleme presb Aralık armeğ Alfa-kesmler yardımıyla bulaık armeğ Bulaık Foksyolar Geşleme presb Alfa-kesmler ve aralık armeğ İk yöem karşılaşırması KESİKLİ BULANIK OLASILIK TEORİSİ Bulaık Olasılık Teorse Br Grş Bulaık Olasılık BULANIK DEĞİŞKENLER Bulaık Değşkeler Taımı YENİLEME SÜREÇLERİ Yeleme Sürec Taımı Yeleme Sürec Oralama Değer Foksyou Yeleme Ödül Sürec BULANIK YENİLEME SÜREÇLERİ Bulaık Yeleme Süreçler Taımı Bulaık Yeleme Ödül Sürec SONUÇ...5 KAYNAKLAR...5 ÖZGEÇMİŞ...53 v

7 SİMGELER DİZİNİ X A Evresel küme Bulaık A kümes µ A bulaık kümese a üyelk foksyou A c A A [ α] C (z) * Z D z P(A) A bulaık kümes ümleye A bulaık kümese a alfa-kesm kümes C bulaık kümesde z değere karşılık gele üyelk foksyou Bulaık foksyo yardımıyla geşleme presb kullaılarak bulua bulaık sayı Z kümes örek uzayı A kümes olasılığı P (A) A kümes bulaık olasılığı α σ [ ] Keskl bulaık olasılık dağılımıı varyası μ [α] Keskl bulaık olasılık dağılımıı beklee değer Pos Nec Cr Y ' α Y '' α Bulaık kümelerdek mümkülük ölçüsü Bulaık kümelerdek gerekllk ölçüsü Bulaık kümelerdek kredble ölçüsü Bulaık br küme köümser değer Bulaık br küme ymser değer E( Υ ) Y bulaık değşke beklee değer N () zamaıa kadar, ya (,] zama aralığıda gerçekleşe yelemeler S sayısı. yeleme yapılıcaya kadar geçe zama süres μ σ C() R Br yeleme aralığıı oralama değer Br yeleme aralığıı varyas değer zamaıa kadar gerçekleşe yelemeler oplam ödülü. gerçekleşe yelemeye karşılık gele ödül v

8 F k * () F dağılım foksyouu kedsyle ola k-kalı kovolüsyou Mmum Maksmum v

9 ŞEKİLLER DİZİNİ Şekl. Su ve şarap karışımıı karakerze ede A (su) ve B (şarap) bulaık kümeler üyelk foksyou Şekl 3. N =(.//.4) üçgesel bulaık sayısıı grafğ..8 Şekl 3. M =(./,.4/.7) yamuk bulaık sayısıı grafğ. 9 Şekl 3.3 P (.//.4) üçgesel şekll bulaık sayısıı grafğ...9 Şekl 3.4 A = (-3/-/-) ve B = (4/ 5/ 6) üçgesel bulaık sayılarıı çarpımlarıı grafğ....4 Şekl 7. Pos{ Şekl 7. Şekl 7.3 N().4} değer ç bulaık smulasyo...48 E[N()] E[C()] ç br bulaık smulasyo...49 ç br bulaık smulasyo...49 v

10 .GİRİŞ ( ), ( ] aralığıda gerçekleşe olayları sayısı olmak üzere { N ( ), } N, sokask sürece sayma sürec der. { ( ), } N sayma sürecde olaylar (yelemeler) arası geçe zama süreler brbrde bağımsız ve ayı F dağılımlı rasgele değşkeler se { ( ), } yeleme sürec der. N sürece br yeleme sürec ya da alışılmış Zadeh arafıda lk kez 965 e gelşrle bulaık maık güümüzde brçok alada olduğu gb yeleme süreçlerdek problemler çözümüe de ye boyular kazadırmışır. Bu çalışmada bulaık maık ve bulaık kümeler le bulaık kümeler üzerdek bazı şlemler göserlerek, yeleme süreçler de aııldıka sora, bulaık maığı yeleme sürecde yaraığı yelkler ve bu yelkler gerdğ souçlar celeecekr. İkc bölümde bulaık maık ve bulaık küme kavramları aıılmış, bulaık maığı uygulamasıda emel oluşuracak bulaık kümeler üzerdek şlemler alaılmışır. Üçücü bölümde br bulaık küme bulaık sayı olarak aımlaablmes ç sağlaması gereke şarlar verlmşr. Öreklermzde kullaacak olduğumuz üçgesel ve yamuk bulaık sayıları aımları yapılmış ve bulaık sayıları aımlamaya yaraya, bu sayılar üzerde yapacağımız şlemler ç gerekl ola alfa-kesm kümeler aımlamışır. Daha sora uygulamalarda kullaacağımız bulaık armeğ ve bulaık foksyolar le bu şlemler uygulaableceğ yöemler fade edlmş, yöemler arasıdak farklar rdelemş ve öreklerle göserlmşr. Dördücü bölümde br küme elemalarıa karşılık gele olasılıklar ve bu olasılıklarda bazılarıı belrsz olableceğ durumlarda bu olasılıklara karşılık bulaık olasılıkları kullaılması ve problemler bu şeklde çözülmes alaılmışır.

11 Daha sora bulaık armeğ kullaılarak bulaık olasılıkları hesaplaışı br örekledrlerek verlmşr. Beşc bölümde bulaık değşke aımı verlmş, bulaık değşkeler üzerdek ölçüler, gerekrdkler şarlarla brlke aıılmışır. Daha sora bu ölçüler kullaılarak elde edle beklee değer foksyou verlmşr. Alıcı bölümde sasğ brçok alaıda sokask modellemede kullaıla alışılmış alamdak yeleme süreçler üzerde durularak, bu sürec oralama değer foksyou verlmşr. Daha sora bu foksyolar ç ble bazı fadeler ve asmpok souçlar suulur. Yedc bölümde bulaık maığı yeleme süreçlere uygulaması soucu elde edle ye süreç celemş, sürec oluşurduğu ye souçlar fade edlmşr. Bu souçları oluşura emel aım ve eoremler verlmşr. Daha sora bulaık yeleme süreçlere karşılık gele ödül kuramı alaılmışır.

12 . BULANIK MANTIK VE BULANIK KÜMELER Bu bölümde bulaık maık ve bulaık küme kavramları aıılmış, bulaık maığı uygulamasıda emel oluşuracak bulaık kümeler üzerdek şlemler alaılmışır.. Bulaık Maığı Taımı Bulaık maık lk kez 965 de Zadeh arafıda Arso maığıa dayaa Br ese küme ya elemaıdır ya da elemaı değldr şekldek kl maık sseme karşı gelşrlmşr. Bulaık maık, gülük hayaa karşılaşığımız olaylara üyelk dereceler karşılık gererek olayları hag oralarla gerçekleşğ belrlemeye çalışa br maık ssemdr. Bulaık maığa br örek verecek olursak; br şehr değşk bölgelerdek su krllğ ölçümler modelleme problem düşüeblrz. Su ya krldr ya da değldr şekldek br modellemede çok suyu krllk derecese göre model oluşurmak bze daha gerçekç br çözüm gerecekr.. Bulaık Küme X br evresel küme olsu. X br bulaık alkümes A, µ : X [,] üyelk A foksyou yardımıyla açıklaır. Ayı zamada A bulaık kümes {(x, µ (x)):x X } A şeklde de göserleblr. E az br x okasıda µ (x)= üyelk değer ala br A bulaık kümese, ormal A bulaık küme ve λ [,] ç µ A [λ x+(- λ )y] m{ µ A (x), µ A (y)}, şarıı sağlaya br A bulaık kümese, koveks bulaık küme der (Wu 997). 3

13 Örek: İk bulaık küme üyelk foksyolarıı belrleyelm. B(Şarap) A(Su) su\şarap % 5% % 99.99% Şekl. Su ve şarap karışımıı karakerze ede A(su) ve B(şarap) bulaık kümeler üyelk foksyou. Bulaık küme klask fadese göre,% le şarap ve 99,99% le su oraları le su/şarap karışımı şarap bulaık kümesde eledrlmşr. Faka, bz bu karışımı aığımızda şarap karışımı olduğuu alayablr myz? Hayır (Pega 5)..3 Bulaık Kümeler Üzerde İşlemler A veb, X k bulaık al kümes olsu. ) Kapsama x X ç μ A (x) μ B (x) oluyorsa A kümes B kümes arafıda kapsaır der. Bu lşk A B olarak göserlr. ) Eşlk x X ç μ (x) = μ (x) oluyorsa A ve B kümeler eşr der. Bu lşk A = B A B olarak göserlr. 4

14 3) Tümleme x X ç μ (x)=-μ (x) oluyorsa A ve B kümelere brbrler ümleyedr A B c der. Bu lşk B = A ya da A = B şeklde göserlr. Burada kümeler ümleyedr. c c A ve c B, A ve B 4) Kesşm A ve B kümeler kesşm le verlr. A B üyelk foksyou yardımıyla μ x) = m( μ (x), μ (x)) = μ (x) μ (x) (.) ( A B A B A B 5) Brleşm A B şlem A ve B kümes ç kesşm şlem dualdr. le verlr. μ x) = max( μ (x), μ (x)) = μ (x) μ (x) (.) ( A B A B A B 6) Cebrsel Çarpım A ve B kümeler cebrsel çarpımı A. B ye a üyelk foksyou le x X ç le verlr. μ x) = μ (x). μ (x) (.3) ( AB A B 7) Cebrsel Toplam A ve B kümeler cebrsel oplamı A B ye a üyelk foksyou yardımıyla 5

15 μ x) = μ (x) + μ (x) - μ x). μ (x) (.4) ( A B A B ( A B le aımlaır. 8) Çıkarma A ve B kümeler farkı A - B ye a üyelk foksyou yardımıyla, μ x) = m( μ (x), μ (x)) (.5) c ( c A B A B şeklde göserlr. Burada μ c (x) = -μ (x) dr. B B 6

16 3. BULANIK SAYI Bu bölüm bulaık sayılara ayrılmışır. Üçgesel ve yamuk bulaık sayıları aımları yapılmış ve bulaık sayıları aımlamaya yaraya, bu sayılar üzerde yapacağımız şlemler ç gerekl ola alfa-kesm kümeler verlmşr. Daha sora uygulamalarda kullaacağımız bulaık armeğ ve bulaık foksyolar le bu şlemler uygulaableceğ yöemler fade edlmş, yöemler arasıdak farklar rdelemş ve öreklerle göserlmşr. 3. Bulaık Sayıları Taımlaması Br bulaık Akümes, aşağıdak (a) ve (b) koşulları sağladığıda, R üzerde br bulaık sayı olarak adladırılır. a) µ (x) = olacak şeklde e az br x R çerr. A b) Herhag br α [,] ç, A α ={x : µ (x) α} kümes R üzerde br koveks A kümedr.(wu 997) Ek olarak ; c) A, R üzerde br bulaık sayı olsu. Eğer herhag br α [,] ç A α sıırlı br küme se, A, R üzerde sıırlı br bulaık sayıdır der. d) A, R üzerde br bulaık sayı olsu. Herhag br α [,] ç eğer { x } A α, lm x = x olduğuda, x A α se, A, R üzerde br kapalı bulaık sayıdır der. e) A ormal koveks bulaık küme ve μ brebr olduğuda A ya sadar bulaık A sayı der. 3. Üçgesel Bulaık Sayı Üçgesel br N bulaık sayısı a<b<c sayılarıyla fade edlr. Burada üçge abaı [a,c] aralığıda ve epe okası x=b dedr. Üçgesel bulaık sayılar N =(a/b/c) şeklde yazılır. Br üçgesel N =(.//.4) sayısıı grafğ aşağıdadır. 7

17 ,5,,5,4,5 3 x Şekl 3. N =(.//.4) üçgesel bulaık sayısıı grafğ Geelde N =(a/b/c) üçgesel bulaık sayısı le lgl üyelk foksyou x a, b a x [a,b] x b μ (x) = +, N b c x [b,c], x [b,c] le aımlaablr. 3.3 Yamuk Bulaık Sayı Yamuk br M bulaık sayısı a<b<c<d sayılarıyla fade edlr. Burada yamuğu abaı [a,d] aralığı üzerdedr. M =(a/b,c/d) şeklde yazılır. Br yamuk M =(./,.4/.7) sayısıı grafğ aşağıdadır.,.4,7 3 x Şekl 3. M =(./,.4/.7) yamuk bulaık sayısıı grafğ 8

18 Geelde M =(a/b,c/d) yamuk bulaık sayısı le lgl üyelk foksyou x a, x [a,b] b a μ (x) =, x [b,c] M le aımlaablr. x d, x [c,d] c d, d.y. Üçgesel şekll bulaık br P sayısı, 3 x Şekl 3.3 P (.//.4) üçgesel şekll bulaık sayısıı grafğ Burada P yalızca.,,.4 sayılarıyla [., ] ve [,.4] aralıkları üzerde doğrusal olmaya çzglerle parçalı olarak özelleşrlmşr. Üçgesel şekll br bulaık sayı olablmes ç, grafğ sürekl ve ) [., ] üzerde mooo ara, ) [,.4] üzerde mooo azala, 9

19 olması gerekldr. Üçgesel şekll br P bulaık sayısı ç P (.//.4) şekldek, P parçalı olarak., ve.4 sayılarıyla oluşuğuu gösere oasyo kullaılır. P (.//.4) sayısıı abaıı [.,.4] aralığı üzerde ve epe (üyelk değer e eş ola) okasıı x= de olduğuu blyoruz. Bezer olarak yamuk şekll bulaık Q (./,.4/.7) sayısıı abaı [.,.7] aralığı üzerde ve e üs sevyes [,.4] aralığı üzerde olacakır. 3.4 Alfa-Kesmler Alfa-kesmler bulaık kümelerde klask (bulaık olmaya) kümeler üree dlmlerdr. A, X herhag br bulaık alkümes se A bulaık kümes α-kesmler A [α] le göserlr ve her α, <α ç A [ α]={x X : A (x) α} (3.) şeklde fade edlr. α = ç A [] ayrı olarak fade edlmeldr. Örek olarak N =(.//.4) bulaık sayısı ç N [] = [.,.4] ür. Herhag br A bulaık kümes ç, A [] a küme abaı veya deseğ der. Br bulaık sayıı çekrdeğ, üyelk değerler e eş olduğu okaları kümesdr. Eğer N =(a/b/c) ya da N (a/b/c) se N ı çekrdeğ b okasıdır. Eğer M =(a/b,c/d) ya da M (a/b,c/d) se M çekrdeğ [b,c] aralığıdır (Buckley ). Herhag br üçgesel ya da yamuk Q bulaık sayısı ç blmeldr k α ç Q[α] kapalı ve sıırlı br aralıkır (Buckley ). Q[α]=[ q (α), q (α)] (3.) şeklde yazılablr. Burada q (α)( q (α)), α ı ara (azala) br foksyoudur. ( q () q ()). Eğer Q üçgesel şekll veya yamuk şekll bulaık sayı se;

20 ) q (α), α [,] sürekl mooo ara br foksyodur. ) q (α), α [,] sürekl mooo azala br foksyodur. 3) q () = q () ( yamuklar ç q ()< q () ) dr. N = (.//.4) ç N [α]=[ (α), (α)] eşlğde, <α ç (α)=.+8α ve (α)=.4-4α dır. Bezer şeklde M = (./,.4/.7) ç M [α]=[ m (α), m (α)] eşlğde, α ç m (α)=.+.8α ve m (α)=.7-.3α dır. Burada x yaay ve y dkey ekseler olmak üzere (α)=.+.8α eşlğ y ç x =.+.8y alamıa gelmekedr. Bu (., ) okasıda (, ) okasıa ola br doğrudur. 3.5 Bulaık Armeğ A ve B gb k bulaık sayı üzerde oplama, çıkarma, çarpma, bölme şlem k yolla yapılablr. ) Geşleme presb ) Αlfa-kesmler ve aralık armeğ 3.5. Geşleme presb A ve B k bulaık sayı olmak üzere; C = A + B se

21 C (z)= sup{a(x) B(y)} x+y=z (3.3) C = A - B se C (z)= sup{a(x) B(y)} x y= z (3.4) C = A. B se C (z)= sup{a(x) B(y)} x.y=z (3.5) C = A / B se C (z)= sup{a(x) B(y)} x / y=z (3.6) Tüm durumlarda C de br bulaık sayıdır. Eğer A ve B üçgesel (yamuk) bulaık sayılar se A + B ve A - B de üçgesel (yamuk) bulaık sayılardır. Faka A. B ve A / B üçgesel (yamuk) şekll bulaık sayılar olacakır Aralık armeğ [ a, b ] ve [ a, b ] R de k kapalı ve sıırlı al aralık olsular. Eğer (*) şlem oplama, çıkarma, çarpma veya bölmeye karşılık gelyorsa [ a, b] *[ a, b ] = [α, β] eşlğde [α,β]={a*b : a a b,a b b } şekldedr. Eğer (*) şlem bölmeye karşılık gelyorsa, [ a, b ] aralığı ı çermez. Bu durumda şlemler şu şeklde gösereblrz. [ a,b ] + [ a,b ] =[ a + a, b + b ] (3.7) [ a,b ]-[ a,b ] =[ a - b, b- a ] (3.8)

22 [ a,b ]/[ a,b ] =[ a, b ].[ b, a ] (3.9) ve [ a,b ].[ a,b ] =[α,β] dır, burada α=m{ a. a, a. b, b. a, b. b } (3.) β=maks{ a. a, a. b, b. a, b. b } (3.) dır Alfa-kesmler yardımıyla bulaık armeğ A ve B k bulaık sayı olsu. Blyoruz k α-kesmler kapalı ve sıırlı aralıklardır ve A [α]=[ a (α), a (α)] ve B [α]=[ b (α), b (α)] dır. O halde C = A + B se α [,] ç C [α]= A [α]+ B [α], (3.) C = A - B se α [,] ç C [α]= A [α]- B [α], (3.3) C = A. B se α [,] ç C [α]= A [α]. B [α], (3.4) ve C = A / B se α (,] ç C [α]= A [α]/ B [α] (3.5) 3

23 dır (Buckley ). Örek : A = (-3/-/-) ve B = (4/ 5/ 6) olsu. A. B y α-kesmler ve aralık armeğ kullaarak bulalım. A [α]=[-3+α, --α] ve B [α]=[4+α, 6-α] şeklde yazılablr. Bu durumda, eğer C = A. B se α ç C [α]=[(α-3)(6-α), (--α)(4+α)] şeklde elde edlr. Aşağıdak şeklde C bulaık sayısı göserlmekedr. C grafğ x Şekl 3.4 A = (-3/-/-) ve B = (4/ 5/ 6) üçgesel bulaık sayılarıı çarpımlarıı şekldedr. 3.6 Bulaık Foksyolar Bulaık foksyolar bulaık sayılarda bulaık sayılara gde foksyolardır. Br ek X değşke yardımıyla br bulaık foksyo H( X )= Z şeklde yazılır. Geellkle X üçgesel (yamuk) bulaık sayı olacağıda Z, üçgesel (yamuk) şekll bulaık sayı olarak buluacakır. Bulaık foksyolar geellkle reel değerl foksyoları geşlemes olacakır. h:[a,b] R x h(x)=z 4

24 Burada z br reel sayıdır. h:[a,b] R foksyouu H( X )= Z ye geşlelmes k yolla yapılmakadır Geşleme presb Herhag br h:[a,b] R foksyou H( X )= Z foksyoua aşağıdak gb geşleleblr. Z (z)= sup { X (x) : h(x)=z, a x b} (3.6) x Burada eşlk, [a,b] dek herhag br X bulaık sayısı ç Z ye a üyelk değer aımlamakadır. h sürekl olduğuda Z α-kesmler aşağıdak gb buluablr. α ç Z [α]=[ z (α), z (α)] olmak üzere, z (α) = m{h(x) : x X [α]}, (3.7) z (α) = maks{h(x) : x X [α]}, (3.8) Z=h(x,y), x (a, b) ve y (a, b ) se h sürekl olduğu varsayımı alıda, α ç z (α)=m{h(x,y) : x X [α], y Y[α] }, (3.9) z (α)=maks{h(x,y) : x X [α], y Y[α] }, (3.) le verlr (Buckley ). Böylece herhag br h(x) foksyou yardımıyla br veya brde çok bulaık sayı kullaılarak ye br bulaık sayıya ulaşablrz. 5

25 3.6. Alfa-kesmler ve aralık armeğ Reel değerl foksyolar α-kesmler ve aralık armeğ kullaılarak bulaık foksyolara geşleleblr. h:[a,b] R br foksyo olsu. [a,b] dek X bulaık sayısı ç H( X )= Z geşlemes, aralık armeğ kullaılarak, α [,] ç, h( X [α])= Z [α] şeklde buluablr. Daha fazla değşke ç yapıla geşleme şu şeklde göserleblr. Örek olarak; AX + B Z =H( X )= CX + D (3.) foksyouu ele alalım. Burada A, B, C, D üçgesel sayılar ve X bulaık sayısı [,] aralığıda br üçgesel bulaık sayı olsu. ( C X + D > olduğu kabul edlmekedr.) O halde bu geşleme x x + x h (x, x, x 3, x 4, x) = (3.) x 3x + x 4 foksyouu geşlemes olacakır. A [α] aralığıı x yere, B [α] yı x, C [α] yı x 3, ve D [α] yı x 4 yere kulladığımızda, aralık armeğ uygulaarak Z ç Z [α] aralığı elde edlr. Aleraf olarak, bulaık foksyou, X + Z =H( X )= 3X + 4 h(x)= x + 3x + 4 (3.3) (3.4) foksyouu geşlemes olacakır. 6

26 3.6.3 İk yöem karşılaşırılması Bu kou ç, geşleme presb yoluyla bulua bulaık sayıyı * Z =H( X ) ve α- kesmler ve aralık armeğ yoluyla bulua bulaık sayıyı se Z =H( X ) le göserelm. Aşağıda vereceğmz öreke x [,] ç h(x) = x(-x) foksyou yardımıyla, bazı X [,] sayılarıda * Z Z soucuu elde edldğ göreceğz. Bulaık foksyoları elde ederke α-kesmler ve aralık armeğ kullamamızda br yalışlık yokur, ama blmeldr k α-kesmler ve aralık armeğ kulladığımızda, geşleme presbe göre daha farklı br souç elde edleblr. Ayı souç br veya brde fazla değşke çere foksyolar ç geçerldr. Örek : [,] dek X bulaık sayısı ç aımlası. Z =(- X ) X (3.5) X [α] = [ x (α), x (α)] olmak üzere, aralık armeğ kullaılarak Z [α] = [ z (α), z (α)] eşlğde, α [,] ç z ( α) = ( - x (α))x(α), (3.6) z ( α) = ( - x (α))x (α), (3.7) elde edlr. Geşleme presb kullaılarak se z=(-x)x foksyou alıda, olarak buluur. * Z (z) = sup{x(x) : (-x)x=z, x } (3.8) x * Z [α]=[ z(α), * * z (α)] olmak üzere, büü α ç 7

27 * z(α) = m{(-x)x : x X [α]}, (3.9) * z (α) = maks{(-x)x : x X [α]}, (3.3) olacakır. Şmd X =(/,5/,5) alalım. Bu durumda x (α)=,5α ve x (α)=,5-,5α olur. (3.6) ve (3.7) eşszlkler Z [,5] = [5/64,/64] soucuu verrke (3.9) ve (3.3) eşszlkler * Z [,5] = [7/64,5/64] soucuu vermekedr. Böylece * Z Z olduğu görülür. Blyoruz k her br bulaık sayı, bulaık fade çde yalızca br kere kullaılıyorsa, k yöem de ayı soucu vermekedr. Faka br bulaık sayı, bulaık fade çde brde fazla kullaılıyorsa k yöem farklı souçlar vereblr. 8

28 4. KESİKLİ BULANIK OLASILIK TEORİSİ Bu bölümde br küme elemalarıa karşılık gele olasılıklar ve bu olasılıklarda bazılarıı belrsz olableceğ durumlarda bu olasılıklara karşılık bulaık olasılıkları kullaılması ve problemler bu şeklde çözülmes alaılmışır. Daha sora bulaık armeğ kullaılarak bulaık olasılıkları hesaplaışı ç br örek verlmşr. 4. Bulaık Olasılık Teorse Br Grş X={ x, x,..., x } solu elemalı br küme ve P, X üm al kümeler üzerde, her ç P({ x })= a,, < a < ve = a = şarlarıyla brlke br olasılık foksyou olarak aımlası. P br keskl olasılık dağılımı oluşurur. Prake a değerler kes olarak blmyor olablr. Çoğu zama bu değerler ahm edlr ya da blr kşler arafıda belrler. Şmd a değerlerde bazılarıı belrsz olduğuu kabul ederek, bu belrszlğ bulaık sayılar yardımıyla çözümlemes üzerde duralım. a lerdek belrszlğe bağlı olarak her a ç a bulaık sayıları kullaılır(her ç < a < dr). Eğer bazı a ler kes olarak blyorsa a = a dr. Faka ye de a, a olarak yazılır. Böylelkle X üzerde a değerler le brlke keskl bulaık olasılık dağılımı oluşurulur. P yere P kullaılır ve P ({ x })= a,, < a < dr. Burada a ler a [α] da a = olacak şeklde seçlr ve souça keskl br olasılık = dağılımı oluşurur (Buckley ). 9

29 4. Bulaık Olasılık A ve B, X klask(bulaık olmaya) al kümeler olsular. P(A) ve P(B) olasılıklarıı asıl hesaplaacağı blmekedr. Öyleyse şmd sıırlı br bulaık armeğ kullaarak P (A) ve P (B) hesaplaması üzerde duralım. X={ x, x,..., x } olmak üzere A={ x, x,..., xk }, k< olsu. S = {( a,a,..., a ): a a [α], ve = olasılığıı α-kesm kümes S kümes koşulu alıda a =} dyelm. α ç A kümes bulaık le aımlaır (Buckley ). k = P(A)[ α ] = { a (4.) S } (4.) eşlğde br olasılığı belrlemede öce lk olarak α-kesmlerde br keskl olasılık dağılımı seçlr. P (A)[α] ı aralık armeğe göre a [α], k aralıklarıı oplamı değldr. Şmd gerçeke P (A)[α] ları P (A) bulaık sayısıı α-kesmler olduğuu göserelm. İlk olarak bazı aımları verelm. α ç S ' ={( x, x,..., x ) : x her ç x =} (4.) = Dom[α]= ( a [ α]) S ' dür. (4.3) = Burada aralıkları karezye çarpımıı göserr. Şmd Dom[α] da reel sayılara gde br f foksyou a,...,a ) Dom[α] ç, (

30 f( a,a,..., a )= k a, (4.4) =. le aımlası. Burada f sürekldr, Dom[α] rbalı, kapalı ve sıırlıdır. Böylece f değşm aralığı reel sayılar kümesde kapalı ve sıırlı br aralıkır. α ç f görüü kümes, Γ [α] = f (Dom[α]) (4.5) olur. (4.) eşlğde görülür k her α ç P (A)[α] = Γ [α] (4.6) dır. Bu durumda P (A) br bulaık sayıdır. P bulaık olasılığı aşağıdak özellklere sahpr (Buckley ). ) A B = Ø se P (A) + P(B) P(A B) dr. ) =, ve α ç P (A) [α] = [ p a ( α ), p a (α)] ve P (B) [α]=[ p b ( α ), p b ( α )] olduğuda p ( α ) p ( α) se A B dr. a b 3) P (Ø)=, P ( X ) = ve her A ç P(A) dr. 4) A, A ı ümleye olmak üzere P (A) + P(A ) dr. 5) A B Ø ke, P(A B) P (A) + P(B) - P (A B) dr. A ve B ayrık ke P (A) + P (B) = P (A B) olduğu durumlar da vardır. Aşağıdak örek bua lşkdr.

31 Örek : =5 olmak üzere A={ x, x } ve B={ x 4, x 5 }, 5 ç a =. olsu. a 3 harcdek büü olasılıklar belrsz ve a = a = (.9/./.), a 3 =. ve a 4 = a 5 = (.9/./.) alısı. Bu durumda P (A) []=[.38,.4] dr. Ayrıca P (B) []=[.38,.4] dır. Öyleyse α= ç P (A) []+ P (B) []=[.76,.84] ür. Dğer arafa P (A B) []=[.8,.8] dr. Böylece A ve B ayrık olduğuda P (A B) [α], P (A) [α]+ P (B) [α] ı al kümes olarak elde edlr. =6, A={ x, x, x3 } ve B={ x 3, x 4, x 5 } olmak üzere üm olasılıkları belrsz olduğu kabul edls. 5 ç a =(.5/./.5) ve a 6 =(.5/.5/.75) alısı. Kolayca buluablr k P (A B) []=[.5,.75], P (A) []= P (B) []=[.5,.45] ve P (A B) []=[.5, 5] r. Aralık armeğde görülür k; [.5,.75] [.5,.45]+[.5,.45] - [.5,.5] dr..burada eşlğ sağ arafı [.5,.85] çıkmakadır. Bu durumda P (A B) [α], P (A) [α]+ P (B) [α] - P (A B) [α] ı al kümes olablr. Şmd A le B ayrık ke P (A) + P (B) = P (A B) olableceğ br örekle göserelm. X={ x, x, x 3 }, A={ x }, B={ x 3 }, a =(,3/,33/,36), a (,8/,34/,4) ve a 3 = a olsu. Bu durumda P (A) = a, P (B) = a 3 olur. P (A) + P (B) P (A B) α -kesmler P (A B) [α] = { a + a 3 S} şekldedr. =(,6/,66/,7) dır. a [α] = [ (α),a (α) ], =,,3 olsu. O halde yukarıdak eşlğ α-kesmler uç a okalarıı kullaarak bulablrz. Çükü;

32 ) Herhag br α ç a (α) + a + a 3(α) = olacak şeklde br a a [α] vardır. ) Her α ç a a [α] olacak br a vardır. Böylece a (α) + a + a 3 (α) = dr. Burada; P (A B) [α] = [ a (α) + a 3(α),a (α) + a 3 (α) ] (4.7) olur, böylece P (A B) =(,6/,66/,7) dır. Keskl bulaık olasılık dağılımıı oralaması α-kesmler le μ[ α] = { x a S (4.8) = } şeklde aımlaır.varyas a ayı şeklde α-kesmler le α { = = σ [ ] = (x ) μ a S, μ = x a } (4.9) şeklde aımlaır (Buckley ). α α ç μ [α] ve σ [ ] kapalı ve sıırlı aralıklar olduğuda, oralama μ ve varyas σ bulaık sayılar olacakır. 3

33 5. BULANIK DEĞİŞKENLER Bu bölümde bulaık maığı emel ölçüsü ola mümkülük ölçüsü aıılarak, bu ölçü yardımıyla verle bulaık değşke kavramı üzerde durulur. Ayrıca bulaık değşke beklee değer suulur. 5. Bulaık Değşkeler Taımı X br evresel küme olmak üzere X kuvve kümes X üzerde aımlaa aşağıdak özellkler sağlaya Pos foksyoua br mümkülük ölçüsü der (Lu ad Lu 5). ) Pos(Ø)=, Pos ( X) =, ) Pos(U I A )= Pos( A ) sup dr. I (X, X, Pos ) üçlüsü br mümkülük uzayı olarak adladırılır. X üzerde, ) Nec(Ø)=, Nec ( X ) = ) Nec(I I A ) = f Nec(A ) I özellkler sağlaya Nec foksyoua gerekllk ölçüsü adı verlr. A X ç Cr (A) = (Pos(A) + Nec(A)) (5.) le aımlaa foksyoa kredble ölçüsü der. Cr foksyou aşağıdak özellkler sağlar. 4

34 ) Cr(Ø)=, Cr ( X ) = ) Her A B ç Cr(A) Cr(B) ı 3) Her A ç Cr(A)+Cr (A ) = Taım 5.: (X, X, Pos ) mümkülük uzayıda R reel sayılar kümese gde br foksyoa bulaık değşke der. Teorem 5.: Y br bulaık değşke olsu. Pos Y : R R B Pos Y (B)=Pos(Y (B)) (5.) le aımlaa Pos Y foksyou R üzerde br mümkülük ölçüsüdür. İspa: Pos Y (Ø)= Pos(Y ( Ø)), = Pos(Ø) = ve Pos Y (R)= Pos(Y ( R)), = Pos(X) = Pos Y (U B I ) = Pos(Y ( U = Pos(UY I B I (B )), = sup I Pos Y (B ) )), 5

35 olduğuda spa amamlamış olur. Taım 5.: Y br bulaık değşke olmak üzere (R, R, Pos Y ) üçlüsüe Y doğurduğu mümkülük uzayı ve Pos Y ölçüsüe Y mümkülük dağılımı der. (X, X, Pos ) Y Pos Y (B)=Pos(Y (B)), B R (R, R, Pos Y ) Y br μ üyelk foksyoua sahp br bulaık değşke olsu. Burada μ (r) = Pos (Y = r) = Pos Y ({r}),r R dr. Gerçeke bu μ üyelğ Y mümkülük dağılımı olarak da adladırılablr. r R ç Pos(Y r) = Pos Y ( [r, ) ) = Pos Y (U{} ) r = sup Pos Y ({}) r = sup μ () (5.3) r yazılablr. Bezer olarak, r R ç ve Nec(Y r) = -sup μ () (5.4) < r Cr (Y r) = [ sup μ () + -sup μ ()] (5.5) r < r olur. 6

36 Taım 5.3: Y, (X, X, Pos ) mümkülük uzayı üzerde br bulaık değşke ve α (,] olsu. ve Y ' α = f {r Pos(Y r) α } (5.6) Y '' α = sup {r Pos(Y r) α } (5.7) le aımlaa Y ' α ve Y '' α sayılarıa sırasıyla Y α- köümser değer ve α-ymser değer der (Zhao e al. 4). Y ve K k bulaık değşke olsu.. Herhag br α (,] ç, (Y+K) ' α =Y ' α +K ' α. Herhag br α (,] ç, (Y+K) '' =Y '' +K '' α α α dır. Eğer Y ve K egaf olmaya (Pos {Y<}= ve Pos{K<}=) se, 3. Herhag br α (,] ç, (Y.K) ' α =Y '.K ' α α 4. Herhag br α (,] ç, (Y.K) '' α =Y '' α.k '' α dır. Υ br bulaık değşke olsu. Aşağıdak egrallerde e az brs solu olmak üzere Y beklee değer, E( Υ ) = Cr { Υ r} dr - Cr{ Υ r} dr (5.8) 7

37 le aımlaır. Eğer Υ egaf olmaya br bulaık değşke se, olduğu açıkır. E( Υ ) = Cr{ Υ r} dr (5.9) E( Υ ) beklee değer Y ' α ve Y '' α yardımıyla aşağıdak gb fade edleblr. E(Y)= [ Y ' + Y '' α α ] dα (5.) dır (Zhao e al. 4). Örek : Y=(/3/4) br üçgesel bulaık değşke olsu. (5.8) de verle beklee değer fadesde, E(Y)= Cr { Y r} dr Cr{ Y r} dr 3 = Cr Y r} dr + Cr{ Y { r} dr = + (4 = 5 ( r )dr r)dr olur. Ayı şeklde (5.) da, 8

38 E(Y)= = [ Y ' + Y '' α α ] dα [3α+(4-α)] dα = 5 elde edlr (Zhao ad Tag 6). 9

39 6. YENİLEME SÜREÇLERİ. Bu bölümde güvelrlk, rsk, evaer, kuyruk eors, gara aalz ve uygulamalı sasğ daha brçok alaıda sokask modellemede kullaıla alışılmış alamda yeleme sürec üzerde durularak, bu sürec oralama değer foksyou verlr. Bu foksyolar ç ble bazı fadeler ve asmpok souçlar suulur. 6. Yeleme Sürec Taımı ( ), ( ] aralığıda gerçekleşe olayları sayısı olmak üzere { N ( ), } N, sokask sürece sayma sürec der. { N ( ), }, sayma sürec se ( ) N ( ), ( ) N () amsayı değerl rasgele değşkedr, ( ) Eğer s < se N( s) N( ) dr, (v ) s < ç N ( ) N( s), ( s, ] aralığıda gerçekleşe olay sayısıdır. { ( ), } N sayma sürecde olaylar (yelemeler) arası geçe zama süreler brbrde bağımsız ve ayı F dağılımlı rasgele değşkeler se { N ( ), } sürece br yeleme sürec ya da alışılmış yeleme sürec der. { ( ), } N br yeleme sürec olsu. X rasgele değşke (-). ve. yelemeler arasıda geçe zama süres gösermek üzere S =, S = X + X + L + X, =,, L (6.) 3

40 dyelm. S rasgele değşke. yeleme yapılıcaya kadar geçe zama süres ya da. yeleme yapıldığı aı göserr. Her sab ç { S } N( ) = maks : (6.) ve P( N ( ) ) = P( S ) (6.3) dır. Yeleme rasgele değşke olarak adladırıla () N zamaıa kadar, ya (,] zama aralığıda gerçekleşe yelemeler sayısıı fade eder (Ross 983). Her sab ç N () rasgele değşke olasılık dağılımı P ( N( ) = ) = P( N( ) ) P( N( ) + ), =,, L = + P( S ) P( S ) * ( )* = F ( ) F + ( ) (6.4) olarak buluur. Burada kovolüsyoudur. * F, F dağılım foksyouu kedsyle ola -kalı Seljes Teorem 6.: N () yeleme rasgele değşke her merebede solu momelere sahpr, ya her k, k ç E( N ( )) < dır.. Teorem 6.: μ ve σ br yeleme aralığıı beklee değer ve varyasıı gösers. 3

41 N() ( ) μ > olmak üzere P lm = =, μ ve ( ) σ solu olmak üzere lm P N( ) μ < x = σ 3 μ π x e y dy, x R dır (Ross 983). Yukarıdak eoremde, uzu süre çalışmaka ola br yeleme sürecde brm zamada yapıla yelemeler sayısı yaklaşık ve N () rasgele değşke oralama ve μ μ σ 3 μ varyas le asmpok ormal dağılıma sahpr. Br yeleme sürec le lgl uygulamalarda geellkle karşımıza çıka foksyo sürec oralama değer foksyoudur. 6. Yeleme Sürec Oralama Değer Foksyou { N( ), } br yeleme sürec olmak üzere [ N( ) ] M ( ) = E, le verle M foksyou yeleme sürec oralama değer foksyou veya yeleme foksyou olarak adladırılır. () M, (,] zama aralığıda yapıla yelemeler oralama sayısıdır. Teorem 6. de her ç M () solu olduğu açıkır. 3

42 I k, =, S S k k > olsu. = N ( ) k = I k olup E [ N( ) ] = E ( ) I k k = = = k E ( I k ) = k = P ( S k ) = = k F k* ( ) elde edlr. O halde = k* M ( ) F ( ), (6.5) k = dır. ( 6.5) fades kullaılmasıyla M sağda sürekl ve azalmaya br foksyo olduğu göserleblr. Buula brlke lm M ( ) = lm k = F k* ( ) = k = lm F k* ( ) = k = = 33

43 olmak üzere M yeleme foksyou ç bre yakısıyor olmaması dışıda dağılım foksyou özellklere sahpr. Brc yeleme yapılıcaya kadar geçe zama süres ola X rasgele değşke le koşulladırma yapıldığıda [ N( ) ] M ( ) = E [ E(N() X ) ] = E = E( N() X = x )df(x) olur. E [ N ) X = x ] ( = E [ + N( x) ],, x x > olduğuda M ( ) = F( ) + M ( x ) df( x) (6.6) = F ( ) + F * M ( ), buluur. Burada * şlem Seljes Kovolüsyo şlem göserr. (6.6) deklem M ( ) = F( ) + F( x ) dm ( x), (6.7) 34

44 olarak yazılablr. Çükü M * F = F * M dr. egaf değerler ç N ( ) = olduğuda < ç M ( ) = dır. = ç (6.7) egral deklemde F() M () = buluur. X rasgele değşke pozf olduğuda F ( ) = F() olacağıda ç M ( ) = olur. Teorem 6.3: ( Elemaer yeleme eorem ) { ( ), } N br yeleme sürec olsu μ < olmak üzere M ( ) lm = μ (6.8) dır. Bu eoremde, uzu süre çalışmaka ola br yeleme sürecde brm zamada yapıla yelemeler beklee sayısı olduğu söyleeblr. μ ve M ( ) ye göre yaklaşık olarak leer Teorem 6.4: Herhag br { ( ), } N yeleme sürecde ardışık yelemeler arası geçe zama süreler armek olmaya br F dağılım foksyoua ve solu μ oralamasıa sahp se herhag br h > ç h lm [ M ( ) M ( h) ] = (6.9) μ dr. 35

45 6.3 Yeleme Ödül Sürec { ( ), } N yelemeler arası geçe zama süreler dağılım foksyou F ola br yeleme sürec olsu.yeleme olduğu her br zamada br ödül verldğ kabul edelm.. yeleme zamaıda kazaıla ödül R rasgele değşke le göserls. R,,K rasgele değşkeler bağımsız ve ayı dağılımlı olmak üzere. yeleme R aralığıı uzuluğu ola X le R bağımlı olablr. X, R ), K,( X, R ) k boyulu ( rasgele değşkeler bağımsız ve ayı dağılımlı olarak göz öüe alısı. R ( ) = N ( ) = R, le aımlaa { ( ), } R brkml sürece yeleme ödül sürec der. R (), zamaıa kadar kazaıla oplam ödülü fade eder. () R ve [ R() ] E ç aşağıdak eorem le asmpok br fade verleblr. Bu eorem leraürde yeleme ödül eorem olarak blr. Teorem 6.3. ( Yeleme ödül eorem ) ( R) E( ) E = ve μ solu olmak üzere R R( ) E( R) (), olasılık le μ () E [ R ) ] ( E( R) μ dır (Ross 983). Yukarıdak eorem ayı zamada ödül yeleme aralığı boyuca kazaılsa da geçerldr 36

46 7. BULANIK YENİLEME SÜREÇLERİ Bu bölümde yeleme süreçlerde bulaık değşkeler kullaılması soucu elde edle bulaık yeleme sürec celer ve bu süreçe klask yeleme sürec bazı ble souçlarıı karşılıkları fade edlr. 7. Bulaık Yeleme Süreçler Taımı Υ, Υ, bulaık değşkeler olmak üzere =,, ç arası geçe zamaları gösers, Υ, (-). ve. yelemeler S =, S = Υ + Υ + Υ Υ, (7.) olarak aımlası. Burada, N() = maks { : < S < } (7.) olarak aımlaa {N(), } sürece bulaık yeleme sürec der. Her sab ç N(), zamaıa kadar gerçekleşe yelemeler sayısı olup N() br bulaık değşke olduğu açıkır. Her sab ç N() ye bulaık yeleme değşke der. Her {,, } ç Pos{N() = } = Pos{ S < S + } (7.3) Pos{N()< } = Pos{ = {N() = }} = Pos{ S > } (7.4) Pos{N() } = Pos{ {N() = }} = Pos{S } (7.5) = dr (Zhao ad Lu 3). Burada yelemeler arası geçe zama süreler ola (=, ) bulaık değşkeler ç Υ 37

47 ) Pos{ Υ }= (Pozflk), ) Pos{ Υ = r}, r sürekl br foksyoudur (sürekllk), ) ayı üyelk foksyoua sahprler. olduğu fade edlr. Teorem 7..: Υ, Υ, Υ 3 ayı üyelk foksyoua sahp yelemeler arası geçe zama süreler ç bulaık değşkeler olsular. Bu durumda herhag br > ç, Pos{S } = Pos { Υ } (7.6) dr (Zhao ad Lu 3). Eşszlk sembolü, < veya > olduğuda da sağlaır. İspa: { Υ } bulaık değşkeler sers olmak üzere, Pos{S } = = x x sup Pos{ Υ x, =,,,} x + x +... sup x + x +... Λ Pos{ Υ x } = = Λ Pos{ Υ } = Pos{ Υ } (7.7) dr. Dğer arafa herhag verle ε > ç, x + x + + x y sağlaya öyle gerçek x,x,,x reel sayıları vardır k her, ç 38

48 Pos{S }-ε Pos{ Υ x, Υ x,, Υ x } Pos{ Υ x } (7.8) dr. x + x + + x olduğuda geelde uzaklaşmaksızı x edelm. Buu soucuda ε ke olduğuu dda Pos{S } Pos{ Υ x } Pos{ Υ } (7.9) dr. Bu durumda (7.7) ve (7.9) fadelerde, Pos{S } = Pos{ Υ } buluur. Bu spalar eoremdek sembolü, < veya > olduğuda da yapılablr Bulaık yeleme eors ç başka öeml br kavram da E[N()] dr. Verle br ç, E[N()] (5.8) fadesde E[N()] = = w (7.) olarak elde edlr, burada w = ( μ +... max μ j - j w = ( max μ j - j max μ j ) < j max μ j + j< max μ j - j max μ j ), (7.) < j 39

49 ve =,, ç μ = Pos{N() = } (7.) dr. Teorem 7..: Υ, Υ, ayı üyelk foksyoua sahp pozf ve sürekl bulaık geçe zama değşkeler olmak üzere N() bular üzere kurulu bulaık yeleme değşke olsu. Herhag br > ve r reel sayısı ç Pos{ N ( ) r} Pos{ Υ r } (7.3) ve Nec{ Cr{ N ( ) N ( ) r} Nec{ r} Cr{ Υ Υ r } (7.4) r } (7.5) dr. Ayrıca herhag br r reel sayısı ç, N ( ) lm Pos{ N ( ) lm Nec{ r} = Pos{ r} = Nec{ Υ Υ r } (7.6) r } (7.7) N ( ) lm Cr{ r} = Cr{ Υ r } (7.8) dr (Zhao ad Lu 3). Yeleme eorsde elemaer yeleme eorem olarak ble Teorem 6.3 ü bulaık yeleme süreçlerdek karşılığı aşağıdak eorem le verlr. 4

50 Teorem 7..3 (Bulaık Elemaer Yeleme Teorem): {N(), } br bulaık yeleme sürec ve bu süreçe Υ, Υ, ler yelemeler arası geçe zama süreler emsl ede ayı üyelkl, pozf ve sürekl bulaık değşkeler olsular. Bu durumda E[/ Υ ] solu se, lm E [ N( )] = E[ Υ ] (7.9) dr (Zhao ad Lu 3). İspa : Υ ve N() egaf olmaya bulaık değşkeler olduğuda bulaık beklee değer aımıda E[/ Υ ] = Cr{/ Y r} dr, ve E[N()] = Cr {N() / r} dr olur.teorem 7.. de herhag br r reel sayısı ç Cr{N()/ r} Cr{/ Υ r} ve lm Cr{N()/ r}= Cr{/ Υ r} buluur. E[/ Υ ] = Cr{/ Y r eoremde } dr solu olduğuda Lebesgue baskı yakısaklık lm E[N()] fadese ulaşılır. = E[/ Υ ] 4

51 7. Bulaık Yeleme Ödül Sürec ( Υ,R ), ( Υ,R ) bulaık değşke çfler br dzs olsu.. yeleme süres le lgl ödül(ya da zarar) R le göserls. R, =,, bulaık değşkeler ayı üyelk foksyoua sahp, pozf ve sürekl olduğuu kabul edelm. Υ C(), zamaıa kadar gerçekleşe yelemeler oplam ödülüü gösers. Bu durumda olur. Burada N(), N ( ) C() = R, (7.) = Υ bulaık değşkeler üzere kurulu bulaık yeleme değşkedr. Bu şeklde oluşurula {C(), } brkml sürece bulaık yeleme ödül sürec der (Zhao ad Lu 3). Teorem 7.. : {C(), } br bulaık yeleme ödül sürec olsu. Bu durumda E[C()] = E[N()R ] dr. İspa : N() pozf olduğu ç, N ( ) Pos [ R r] = = sup Pos {N()=} Λ Pos { R = r} = sup Pos {N()=} Λ Pos {R r/} = Pos {N() R r} dr. Bezer olarak, 4

52 N ( ) Nec{ R r} = Nec{N() R r} = dr. O halde, N ( ) Cr{ R r} = ( Pos { R r} + Nec{ R r}) = N ( ) = N ( ) = = ( Pos {N() R r} + Nec{N() R r}) = Cr{N() R r} dr. Bu durumda N ( ) E[C()] = E[ R ] = Cr{ R r} dr = N() = = Cr{N() R r}dr = E[N()R ] elde edlr. Teorem 7.. : {C(), } br bulaık yeleme ödül sürec olsu. Herhag br > ve r reel sayısı ç C() R Pos{ r} Pos{ r} Y C() Nec{ R r} Nec{ r} Y 43

53 C() Cr{ R r} Cr{ r} Y dr. Ayrıca br r reel sayısı ç, C() lm Pos{ r} = Pos{ C() lm Nec{ r} = Nec{ R r} Y R r} Y C() lm Cr{ r} = Cr{ R Y r}. C() İspa : Pos{ N ( ) r} = Pos { R r} = = Pos {N() R r} = Pos{N() r } R = = = sup Pos{N() a> a> r a } Λ Pos{R =a} sup Pos{N() k } Λ Pos{R =a} sup Pos{S(k) } Λ Pos{R =a} a> = sup Pos{Y } Λ Pos{R =a} k a> r burada k, k olacak şekldek e küçük amsayıdır. a Ayrıca, C() Pos{ r} = sup Pos{ Y a> a sup Pos{ a> Y r / a } Λ Pos{R =a} r } Λ Pos{R =a} 44

54 dr. Dğer arafa, R = Pos{ Y r }, C() Pos{ r} sup a> Pos{ Y } Λ Pos{R =a} r / a + = a sup Pos{ a> Y a r + } Λ Pos{R =a} = Pos{ Y R r + } R R Pos{ r Y } ( ) olur. Böylece, C() Nec{ C () r} = - Pos{ < r} N ( ) = - Pos { R < r} = = -sup Pos{N()=} Λ Pos { R = < r} r = -sup Pos{N()=} Λ Pos {R } = -Pos{N()R < r} = -Pos{N() < r } R = -Pos{N()< k } Λ Pos{R =a} = -sup Pos{S k > } Λ Pos{R =a} a> = -sup Pos{Y > /k} Λ Pos{R =a} a> r burada k, k ola e küçük amsayıdır. a 45

55 C() Nec{ r} -sup Pos{ Y a> = -sup Pos{ Y a> r / a } Λ Pos{R =a} a } Λ Pos{R =a} r ve dr. C() Nec{ R = -Pos{ < r} Y R = Nec{ Y r }, r} -sup Pos{ Y } Λ Pos{R =a} a> r / a + = -sup Pos{ a> a Y R -Pos{ < r} ( ) Y R = Nec{ r} Y a < r + } Λ Pos{R =a} C() Cr{ C() r} = ( Pos { C() r} + Nec{ r}) R ( Pos { R r} + Nec{ Y Y r}) ve R = Cr{ r} Y C() lm Cr{ r} = C() C() lm ( Pos { r} + Nec{ r}) R = ( Pos { R r} + Nec{ Y Y r}) R = Cr{ r} Y olduğuda spa amamlamış olur. 46

56 Klask yeleme eorsde yeleme ödül eorem olarak ble Teorem 6.3. bulaık yeleme süreçlerdek karşılığı aşağıdak eorem le fade edlr. Teorem 7..3 : {C(), } br bulaık yeleme ödül sürec olsu. R Eğer E[ ] solu se; Y lm E[C()] R = E[ ] Y dr (Zhao ad Lu 3). İspa : R, Y, N() ve C() egaf olmaya bulaık değşkeler olduğuda beklee değer aımda, R E[ ] = Y Cr R / Y r} dr, { E[C()] = Cr{C() / r} dr Bu durumda Teorem 7.. de, ve C() lm Cr{ r} = Cr{ R r} Y C() Cr{ R r} Cr{ r} Y R dır. E[ ] solu olduğuda Lebesgue baskı yakısaklık eorem gereğce, Y lm E[C()] R = E[ ] Y olur. Böylelkle spa amamlaır. 47

57 Örek : Υ, Υ bulaık değşkeler dzs ve Υ = Υ = =(/5/9) olsu. N(), zamaıa N() kadar gerçekleşe olaylarım sayısıı gösers. Öcelkle, Pos{.4} değer ahm emek (yaklaşık olarak belrlemek) ç bulaık smülasyo kullaalım. N() lm Pos{.4 } = Pos{.4} =.375 olduğuu blyoruz. Y Şekl de deeme soucu elde edle bulaık smülasyo soucu, düz çzg Pos{ Y r} =.375 ve eğr çzg de smülasyoda değşk zamalardak sapaa mümkülükler gösermekedr. Burada görülüyor k büyük olmaya değerlerde ble yaklaşım ydr. Pos{ N().4} Şekl 7. Pos{ N().4} değer ç bulaık smulasyo 48

58 E[N()] Şmd bulaık smülasyou y ahm emek(yaklaşık olarak belrlemek) ç kullaalım.şekl 7. de deeme soucu elde edle bulaık smülasyoda düz çzg E[ E[N()] ] =.746 değer ve eğr çzg de değşk zamalardak Y değerler gösers. Teorem 7..3 e lm E[N()] = E[ ] =.746 Y olduğuu blyoruz. Şekl 7. de küçük değerler ç ble yaklaşımı y olduğu görülmekedr. Şmd R =(/4/6) olsu. deeme soucu elde edle smülasyo Şekl 7.3 e R görülmekedr. Düz çzg E[ ] =.4 değer ve eğr çzg se değşk zamalardak Y E[C()] değer göserr. Teorem 7..3 de lm E[C()] =.4 dür. Bu öreke, Şekl 7.3 e yaklaşımı y olmadığı görülmekedr. E[N()] Şekl 7. E[N()] ç br bulaık smulasyo 49

59 E[C()] x 4 3x 4 4x 4 Şekl 7.3 E[C()] ç br bulaık smulasyo 5

60 8. SONUÇ Bu çalışmada lk olarak bulaık maık ve bulaık kümeler aıılmış, bulaık kümeler üzerdek şlemler alaılmışır. Daha sora bulaık sayılar aımlaarak bulaık sayıları kullaılmasıyla oluşa bulaık armeğ ve bulaık foksyolar alaılmış ve bulaık değşke aımı verlmşr. Tezmz kousu doğrulusuda bulaık yeleme süreçler le karşılaşırma yapılablmes ç yeleme süreçler, yeleme süreçlerde beklee değer, elemaer yeleme eorem ve yeleme ödül eorem rdelemşr. Souç olarak bu çalışmaı amacı doğrulusuda, yeleme süreçlerde bulaık değşkeler kullaılmasıyla oluşa bulaık yeleme süreçlerde, beklee değer, elemaer bulaık yeleme süreçler ve bulaık yeleme ödül eorem verlmşr. Verle bazı asmpok fadeler kullaılablrlğ br smülasyo çalışması le celemşr. Çalışmamızda yeleme süreçlerde, yelemeler arası geçe zama süreler bulaık değşkeler olduğuu kabul ederek oraya çıka ye souçları rdeledk. Bu yelemeler arası geçe zama süreler bulaık rasgele değşkeler olduğu durumda oraya çıka ye süreç Bulaık Rasgele Yeleme Süreçler de br sorak adım olarak rdeleeblr. Daha da ler göürülerek k boyulu yeleme süreçlerde bulaık değşkeler kullaılarak oraya çıka ye souçlar lg çekc olablr. İrdelee ye souçları öreklerle pekşrlmes kouya ola hakmyemz arıracakır. So öreke kulladığımız bulaık smulasyo yöem uygulama bakımıda bze büyük kolaylıklar sağlayacak ve oraya çıka souçları daha y kavramasıı sağlayacakır. Tüm bu çalışmalar bulaık maığı yeleme süreçleryle büüleşmes ve buu soucuda oraya çıkacak ye souçları celeme mkaıı suacakır. 5

61 KAYNAKLAR Buckley, J. J.. Fuzzy Probables : New Approach ad Applcaos. Hedelberg; New York : Physca-Verlag, 64, USA Lu, Y.K. ad Lu B. 5. Fuzzy Radom Programmg wh Equlbrum Chace Cosras. Iformao Sceces. 7(5) Pega, A. 5. A New Defo of he Fuzzy Se. I. J. Appl. Mah. Compu. Sc. 5,Vol.5, No., 5-4 Ross, S.M Sochasc Processes. Joh Wley & Sos, Ic.,New York. Wu, H.C Fuzzy-valued Iegrals of Fuzzy-valued Measurable Fucos wh Respec o Fuzzy-valued Measures Based o Closed Iervals. Fuzzy Ses ad Sysems, 87(997)65-78 Zhao, R. ad Tag W. 6. Some Properes of Fuzzy Radom Reewal Processes. IEEE Trasacos o Fuzzy Sysems, Vol.4, No., Aprl 6 Zhao, R., Tag W. ad Yu H. 4. Fuzzy Reewal Reward Process ad Ther Applcaos. 5-9 July, 4-Budapes,Hugary Zhao, R. ad Lu B. 3. Reewal Process wh Fuzzy Ierarrval Tmes ad Rewards. World Scefc, Vol., No.5 (3)

62 ÖZGEÇMİŞ Adı Soyadı : Yuus KOCATÜRK Doğum Yer : Salhl Doğum Tarh :.3.98 Mede Hal : Bekar Yabacı Dl : İglzce Eğm Durumu (Kurum ve Yıl) Lse : Seke Evre Aadolu Lses (993-) Lsas : Akara Üverses Fe Faküles İsask Bölümü (-4) Yüksek Lsas : Akara Üverses Fe Blmler Esüsü İsask Aablm Dalı (4-7) Çalışığı Kurum/Kurumlar ve Yıl T.C. Başbakalık Türkye İsask Kurumu (6- ) 53