KEYFİ TİPLİ TENSÖR DEMETLERİN GEOMETRİSİ Muat ALTUNBAŞ Doktoa Tez Matematk Anablm Dalı Geomet Blm Dalı Doç. D. Aydın GEZER 204 He hakkı aklıdı
ATATÜRK ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ DOKTORA TEZİ KEYFİ TİPLİ TENSÖR DEMETLERİN GEOMETRİSİ Muat ALTUNBAŞ MATEMATİK ANABİLİM DALI Geomet Blm Dalı ERZURUM 204 He hakkı aklıdı
T.C. ATATÜRK ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ TEZ ONAY FORMU KEYFİ TİPLİ TENSÖR DEMETLERİN GEOMETRİSİ Doç. D. Aydın GEZER danışmanlığında, Muat ALTUNBAŞ taaından hazılanan bu çalışma 28//204 tahnde aşağıdak ü taaından Matematk Anablm Dalı Geomet Blm Dalı nda Doktoa tez olaak oyblğ le kabul edlmşt. Başkan : Po. D. A SALİMOV İmza : Üye : Po. D. F. Neat EKMEKCİ İmza : Üye : Doç. D. Aydın GEZER İmza : Üye : Doç. D. Enve TATAR İmza : Üye : Doç. D. Öme TARAKCI İmza : Yukaıdak onuç; Enttü Yönetm Kuulu.../.../.. tah ve....../.............. nolu kaaı le onaylanmıştı. Po. D. İhan EFEOĞLU Enttü Müdüü Not: Bu tezde kullanılan özgün ve başka kaynakladan yapılan bldşlen, çzelge, şekl ve otoğalaın kaynak olaak kullanımı, 5846 ayılı Fk ve Sanat Eele Kanunundak hükümlee tabd.
ÖZET Doktoa Tez KEYFİ TİPLİ TENSÖR DEMETLERİN GEOMETRİSİ Muat ALTUNBAŞ Atatük Ünvete Fen Blmle Enttüü Matematk Anablm Dalı Geomet Blm Dalı Danışman: Doç. D. Aydın GEZER Bu tezde, lk olaak Zayatuev (995) n Remann manoldlaındak konomal lşkl metkleden enleneek tanant demette tanımladığı S g yenden kalelendlmş Saak metğ, (,) tpl ve (,) tpl tenö demetlede ele alınmıştı. (,) tpl tenö demette; bu metğn Lev-Cvta konnekyonunun eğlkle heaplanmış, metkle uyumlu b hemen hemen çapım yapı tanımlanmış ve bu çapım yapı vaıtaıyla k konnekyon oluştuulmuştu. Buna ek olaak, metğn Lev-Cvta konnekyonundan aklı b metk konnekyon daha nşa edlmşt. (,) tpl tenö demette e bu metğe göe demetn eodezkle aaştıılmıştı. Daha ona, (,) tpl tenö demette Cheege-Gomoll metğ tanımlanmış ve S g çn yapılan uygulamalaın benzele bu metk çn de yapılmıştı. Son olaak, (0, ) tpl tenö demetn b çapaz ket üzende, baz manoldun b hemen hemen komplek yapıının ve b buulmaız an konnekyonunun tam lt le lgl bazı onuçla velmşt. 204, 04 aya Anahta Kelmele: Tenö demet, Saak metğ, Cheege-Gomoll metğ, hemen hemen çapım yapı, metk konnekyon, hemen hemen komplek yapı, çapaz ket.
ABSTRACT Ph. D. The GEOMETRY OF TENSOR BUNDLES OF ARBITRARY TYPE Muat ALTUNBAŞ Atatuk Unvety Gaduate School o Natual and Appled Scence Depatment o Mathematc Depatment o Geomety Supevo: Aoc. Po. D. Aydın GEZER In th the, the ecaled Saak metc S g, whch wa dened by Zayatuev (995) on tangent bundle nped om conomally elated metc o Remannan manold, condeed on (,) and (,) type teno bundle. On (,) type teno bundle; cuvatue o the Lev-Cvta connecton o th metc ae calculated, an almot poduct tuctue whch compatble wth the metc dened and two connecton ae ceated va th tuctue. Moeove, a metc connecton, whch deent om Lev-Cvta connecton o th metc contucted. On (,) type teno bundle, geodec o teno bundle ae nvetgated wth epect to th metc. Late, on (,) type teno bundle, the Cheege-Gomoll metc dened and mla applcaton have been done to the S g. Fnally, ome eult ae gven elated wth complete lt o an almot complex tuctue and a toon-ee ane connecton o the bae manold on a coecton o (0, ) type teno bundle. 204, 04 page Keywod: Teno bundle, Saakan metc, Cheege-Gomoll metc, almot poduct tuctue, metc connecton, almot complex tuctue, co ecton.
TEŞEKKÜR Doktoa tez olaak unduğum bu çalışma Atatük Ünvete Fen Fakülte Matematk Bölümünde yapılmıştı. Lan öğenclk yıllaımdan be meak ettğm tenö geomet alanında tez yazmama vele olan; adece blmel olaak değl, beşe lşklede de önek aldığım hocam Sayın Doç. D. Aydın GEZER e en çten teşekkülem unaım. Tezn hazılanış üecnde göüş ve önelenden yaalandığım Sayın Po. D. A SALİMOV a, Sayın Doç. D. Enve TATAR a ve Sayın Doç. D. Öme TARAKCI ya onuz teşekkü edem. Doktoa çalışmalaım üence, Ezuum a gdp gelmem huuunda kolaylık göteen Ezncan Ünvete Fen-Edebyat Fakülte Matematk Bölümü ndek hocalaıma ve bugünlee geleblmem çn, tüm madd zoluklaa ağmen hçb edakâlıktan çeknmeyen aleme teşekküü b boç blm. Muat ALTUNBAŞ Kaım, 204
İÇİNDEKİLER ÖZET... ABSTRACT... TEŞEKKÜR... SİMGELER DİZİNİ... v. GİRİŞ... 2. KURAMSAL TEMELLER... 9 2.. Deenyellenebl Manoldla... 9 2.2. Deenyellenebl Fonkyonla... 2 2.3. Tanant Vektöle ve Vektö Alanlaı... 4 2.4. Kotanant Vektöle ve -omla... 7 2.5. Manoldla Aaı B Dönüşümün Deenyel... 8 2.6. Tenö Alanlaı... 20 2.6.. Pü tenöle... 25 2.7. Le Paantez ve Le Tüev... 27 2.8. Deenyellenebl Manoldla Üzende An Konnekyon... 29 2.9. Manold Üzendek B Eğ Boyunca B Tenöün İçel Tüev ve Jeodezk Eğle... 33 2.0. Buulma ve Eğlk Tenöle... 34 2.. Remann Manoldu... 36 2.2. Hemen Hemen Çapım Manoldla... 4 3. MATERYAL ve YÖNTEM... 46 3.. Tenö Demet... 46 3.2. Tenö Alanlaının Tenö Demete Ltle ve Opeatöü... 50 3.3. Baz Manoldun An Konnekyonunun Tenö Demete Yatay ve Tam Ltle... 53 3.4. Tenö Demette Konnekyonuna Adapte Olmuş Çatı... 54 3.5. Tenö Demettek Jeodezklen Bellenme... 56 4. ARAŞTIRMA BULGULARI... 59 4.. (,) -Tpl Tenö Demette Yenden Skalelendlmş Saak Metğ... 59 v
4... (,) -tpl tenö demette yenden kalelendlmş Saak metğnn eğlk özellkle... 59 4..2. (,) -tpl tenö demette yenden kalelendlmş Saak metğ le uyumlu b hemen hemen çapım Remann yapı... 69 4..3. (,) -tpl tenö demette yenden kalelendlmş Saak metğnn buulmalı metk konnekyonlaı... 74 4.2. (,) Tpl Tenö Demette Yenden Skalelendlmş Saak Metğ... 79 4.2.. (,) tpl tenö demette yenden kalelendlmş Saak metğnn eodezkle... 79 4.2.2. (,) tpl tenö demette yenden kalelendlmş Saak metğne göe b metk konnekyon... 82 4.3. (,) -Tpl Tenö Demette Cheege-Gomoll Metğ... 84 4.3.. (,) -tpl tenö demette Cheege-Gomoll metğnn Lev-Cvta konnekyonu... 84 4.3.2. (,) -tpl tenö demette Cheege-Gomoll metğyle uyumlu b hemen hemen çapım yapı... 85 4.3.3. (,) -tpl tenö demette Cheege-Gomoll metğne göe çapım eşlenk konnekyon... 87 4.4. (0, ) Tpl Tenö Demetn B Çapaz Ket Üzende Bazı Sonuçla... 90 4.4.. (0, ) tpl tenö demetn b pü çapaz ket üzende tanımlı hemen hemen komplek yapıla... 90 4.4.2. (0, ) tpl tenö demettek b çapaz kete baz manoldun b metk an konnekyonun tam lt... 95 5. TARTIŞMA ve SONUÇ... 99 KAYNAKLAR... 02 ÖZGEÇMİŞ... 05 v
SİMGELER DİZİNİ TM p : M manoldunun p noktaındak tanant uzayı D I * TM TM : Bm tenöün dagonal lt : M manoldunun kotanant demet : M manoldunun tanant demet T ( M ) : M manoldunun (,) tpl tenö demet C ( M, ) : M şeklnde tanımlı he metebeden üekl tüevlee ahp olan onkyonlaın küme ( M ) : (0, q) tpl tenö demetn taaından bellenen çapaz ket F( M ) [ Y, ] L k C t p t H A V A C A CG g : M üzendek C onkyonlaın ceb : ve Y vektö alanlaının Le çapımlaı : vektö alanı yönünde Le tüev opeatöü : 2. Tü Chtoel embolle (konnekyon katayılaı) : An konnekyon : An konnekyonun demete tam lt : B t tenöünün p noktaındak değe : B eğ boyunca çel (mutlak) tüev : A tenö alanının yatay lt : A tenö alanının dkey lt : A tenö alanının tam lt : Cheege-Gomoll metğ : Doğal zdüşüm onkyonu l R k : Eğlk tenöünün koodnatlaı S g : Reel ayıla küme : Saak metğ v
( M ) ( F ) : Tachbana opeatöü : Tenö demetn b metk konnekyonu : Tenö demette F hemen hemen çapım yapıının belledğ çapım eşlenk konnekyon * ( M ) : (,) tpl pü tenölen F( M ) üzendek modülü ( M ) : (,) tpl tenölen F( M ) üzendek modülü S g : Yenden kalelendlmş Saak metğ T M : (,0) tpl tenö demet v
. GİRİŞ İlk kez Remann ın Manngaltgket adıyla gş yaptığı; Weyl n 923 yılında ayıntılı açıkladığı ve Clod un İnglzce ye manoldne olaak çevdğ manold (çok katlı) kavamı, yüzeyle yükek boyutlaa genelleşteblmek amacıyla otaya çıkmıştı. B manold, yeel olaak Ökld uzayına homeomo olan b Haudo uzayı olaak tanımlanmıştı. Dolayııyla manoldla yeel kompakt topolok uzay olmak zoundadı. Buna ek olaak, Whtney (936), n boyutlu b M manoldunun ayılabl olmaı, yan ayılabl baza ahp olmaı duumunda, M nn en azla 2n çne batıılableceğn (mmeyon) ya da en azla 2n yataklanableceğn (embeddng) götemşt (Şuhub 2008). çne Manoldlaın çoğunun vektö uzayı yapıına ahp olmamaı, manold üzende tüevleme ve vektö alanı yeleştme gb analz şlemlenn blnen anlamda yapılmaına engel teşkl ede. Bunun ütenden geleblmek çn, manold üzende, manoldla Ökld uzayı aaında tanımlanan homeomozmle olan hatala ve bu hatalaın bleşm olan atlalala geçekleştlen b deenyellenebl yapı kuulmalıdı. B manoldun üzende deenyellenebl yapı vaa bu manolda deenyellenebl manold den. Manoldun topolok yapıı le üzendek deenyellenebl yapı aaındak lşk, 20 Abel Ödülü ahb John Mlno taaından ncelenmşt. Uzun üe b deomozm altında manold üzende b tek deenyellenebl yapının tanımlanableceğ nancı hâkm olmuştu. Mlno bu duumun 7 S küende geçel olmadığını götemşt. Daha ona yapılan çalışmalada, 0 boyutlu uzaylada, üzende hçb şeklde deenyellenebl yapı tanımlanamayan manoldlaın valığı götelmşt. Dğe taatan, 4 boyutlu Ökld uzaylaında bden azla; 4 boyut dışındak Ökld uzaylaında e tek deenyellenebl yapının olduğu da patlanmıştı (Şahn 203). Deenyellenebl b manold üzende, adına Remann metk tenöü denlen b tenö tanımlanaak uzunluk ölçülebl. Üzende Remann metk tenöü tanımlı olan
2 manolda Remann manoldu den. Ayıca bu metk tenö le manold üzende tanımlı b tenöün kovayant ve kontavayant bleşenle aaında geçş yapılabl. B deenyellenebl manoldun b p noktaında tanant vektö ve bunlaın oluştuduğu tanant uzay tanımlanaak, Ökld uzaylaındak b doğultu boyunca tüev kavamını manoldlaa genelleştmek ve manoldu yeel olaak b vektö uzayına yaklaştımak amaçlanı (Şuhub 2008). M deenyellenebl manoldunun he noktaındak tanant uzaylaının ayık bleşmne M nn tanant demet den ve TM le götel. Bu duumda M, TM nn baz manoldu adını alı. Tanant vektöle (, 0) tpl tenöle olduğundan tanant demet aynı zamanda (, 0) tpl tenö demett. B ( M, g ) Remann manoldunun TM tanant demetnde tanımlanan G metğ, baz manoldun g metğnden elde edleblyoa bu metğe g doğal metk den. Tanant demetle lk kez Saak (958) taaından çalışılmıştı ve makalende kullandığı metk bugün Saak metğ olaak blnmekted. Tez boyunca bu metk S g le götelecekt. Dombowk (962) nn baz manoldun metğyle S g metğn lt adı velen onkyonla aacılığıyla kaşılaştıan çalışmaının adından, bçok aaştımacı bu ltle kullanaak tanant demetn çeştl geometk özellklen aaştımışladı. Böylece göülmüştü k, Saak metğ b g doğal metk olmaına ağmen onun çoğu geometk özellklen ncelemek ancak baz manoldun lokal lat S olmaıyla mümkündü ve baz manold lokal lat olunca ( TM, g) de lokal lat S olmaktadı. Öneğn baz manold lokal lat olmadıkça; Kowalk (97), ( TM, g) nn S lokal metk olamayacağını, Muo and Tcce (988), ( TM, g) nn abt kale eğlğe ahp olamayacağını götemşt. Bu metğn katılığı matematkçle tanant demet üzende aklı metkle aayışına tmşt. Cheege and Gomoll (972) taaından önelen ve Muo and Tcce (988)
3 taaından Cheege Gomoll metğ olaak adlandıılan CG g metğ buna lk önekt. Bu CG g metğ de b g doğal metkt. Ayıca ( M, g) baz manoldu lokal lat ola CG da ( TM, g) tanant demet lokal lat olmamaktadı. CG g metğnn konnekyon katayılaı, eğlk tenöle, Rcc ve kale eğlkle Sekzawa (99) nın çalışmaında ye almaktadı. Tanant demette Saak ve Cheege-Gomoll metklenn eğlkleyle lgl öneml onuçlaın ye aldığı en kapamlı çalışmaladan b de (Gudmundon and Kappo 2002) du. Zaman çnde tanant demet üzende bu k metkten aklı g doğal metkle de tanımlanmıştı. Buna b önek olaak, Opou (999) nun çalışmaındak, daha ona Opou metğ olaak adlandıılan metk velebl. Tanant demettek g doğal G metkleyle baz manoldun g metğ kaşılaştııldığında şu onuçla elde edl: Eğe ( TM, G) ıaıyla lat, lokal metk, abt ketel eğlkl, abt kale eğlkl, Enten manoldu e; ( M, g) (Abba and Sah 2005). baz manoldu da ıaıyla aynı özellklee ahpt He vektö uzayının cebel dual olduğu gb manoldlaın tanant uzaylaının da cebel dualle vadı k, bunlaa kotanant uzay la den. Manoldun he noktaındak kotanant uzaylaının ayık bleşmne de manoldun kotanant demet den ve * TM le götel. Kotanant uzayı oluştuan kotanant vektöle (kovektöle) (0,) tpl tenöle olduğundan * TM (0,) tpl tenö demett. Tanant ve kotanant uzaylaın duallğ, tanant ve kotanant demetlen benze geometk özellkle taşımaına neden olu. Ancak ltleden kaynaklanan bazı temel
4 akla vadı. Öneğn tanant demette b vektö alanının ve -omun dkey lt yne ıaıyla b vektö alanı ve -om oluken, kotanant demette ıaıyla b onkyon ve b vektö alanı olmaktadı. Ayıca kotanant demet kanonk mplektk yapıya ahpken, tanant demette bu yoktu. Kotanant demette Saak ve Cheege-Gomoll metklenn eğlkle üzene k çalışma, ıaıyla (Salmov and Ağca 20) ve (Ağca and Salmov 204) du. ( M, g ) Remann manoldunun g metğnn pozt tanımlı ( p M çn ( p) 0) b onkyonuyla çapılmaı le manold üzende yen b g metğ tanımlanabl. Bu şeklde elde edlen g ve g metklene konomal lşkl metkle den. Konomal lşkl metklen geomet Well (2009) taaından yapılan doktoa teznde genşçe ele alınmıştı. Zayatuev (995) tanant demette, Remann manoldlaındak konomal lşkl metkleden lham alaak, daha ona Wang and Wang (20) ın yenden kalelendlmş Saak metğ adını vedğ yen b metk tanımlamıştı. Bu metk, Saak metğnn yatay kımının M de tanımlı pozt b onkyonuyla çapılmaı onucu otaya çıkmıştı. Ayıca bu metk, (Abba and Sah 2005) te geçen, tanant demettek g ye kuvvetl-yatay olaak homotetk olan G metğnn b genellemed. Yenden kalelendlmş Saak metkl tanant demet, baz manold lokal lat ola ble, lokal lat olmamaktadı. Bu da metğn, Saak metğnden en dkkat çeken akıdı. Wang and Wang (20) ın çalışmaında yenden kalelendlmş Cheege-Gomoll metğ de tanıtılmıştı. ( M, g ) Remann manoldu üzende 2 J I, J I şatını ağlayan b (,) tpl J tenöü aynı zamanda M nn Y, vektö alanlaı çn gjy (, ) gjy (, ) eştlğn de ağlıyoa J tenöüne M Remann manoldu üzende b hemen hemen çapım yapı, ( M, gj, ) üçlüüne hemen hemen çapım Remann manoldu den. Remann manoldlaı üzendek hemen hemen çapım yapıla hakkındak lk çalışmala Yano (965) taaından yapılmıştı. Navea (983), bu yapılaı kovayant tüevlene göe
5 ınılandımış ve 36 aklı ını bulmuştu. Stakova and Gbachev (992) de z ıı olan hemen hemen çapım yapıla çn b ınılandıma gelştmşt. ( M, gj, ) hemen hemen çapım Remann manoldunun J hemen hemen çapım 2k yapıının + ve özdeğelene kaşılık gelen özdemetle aynı boyuta ahp e ( M, gj, ) üçlüü hemen hemen paakomplek manold adını alı. Dolayııyla he 2k hemen hemen paakomplek manold aynı zamanda b hemen hemen çapım manolddu. Bu tezn ea konuu yükek metebeden tenö demetled. Deenyellenebl b M manoldunun he noktaındak (,) tpl tenö uzaylaının ayık bleşm olan T ( M ) kümene M nn (,) tpl tenö demet den. Buada (,) tpl tenö uzaylaının he bne demetn b be den. Yükek metebeden tenö demetlen çalışılmaı Ledge and Yano (967) le başlamıştı. Bu makalede, (,) tpl tenö demete M üzendek b vektö alanının tam ve yatay lt le b (,) tpl tenö alanının dkey ltnn yanı ıa, demet üzende hemen hemen komplek yapıla tanımlanmıştı. Bu yapılıken lk olaak, b Remann metk tenö alanının TM T M şeklnde b be-kouyan deomozme yol açtığı geçeğnden ve b Remann manoldunun TM tanant demetnn he zaman b komplek yapıya ahp olmaından yaalanılaak, çn TMde hemen hemen komplek yapının valığının yapının valığına denk olduğu vugulanmıştı. İknc olaak, M TMde hemen hemen komplek manoldu üzende tanımlı g metğ, metk an konnekyonu ve hçb yede ıı olmayan tenö alanı veldğnde, g ve taaından E TMde üetlen g metğne göe kşe kşe dk olan, H, V ve V E gb üç dağılımın otaya çıkacağı götelmşt. Ayıca, TM de b (,) tpl J tenöü, bu dağılımla üzendek etkyle M ve 0 ( ) T ( ) 0 M çn
6 H V V H V V J( ), J( ), J( T) T E E V V şeklnde tanımlanmıştı. Buada... l ( E ), T T F T F ; F, M E l de hemen hemen komplek yapıdı. Buna ek olaak, J 2 Buadan J nn I olduğu da götelmşt. TM de b hemen hemen komplek yapı olduğu göülmüştü. Üçüncü olaak, M b hemen hemen komplek yapıya ahp olduğunda; TMnn de b hemen hemen komplek yapıya ahp olmaı çn, ya nn tek olmaı ya da nn çt olmaı duumunda M nn hçb yede ıı olmayan b vektö alanına ahp olmaı geektğ onucuna vaılmıştı. Dödüncü olaak bu yapının ntegalleneblme şatlaı, yan komplek yapı olma şatlaı ncelenmşt. Son olaak da Kähle manoldu olacağı aaştıılmıştı. TM nn hang şatla altında Buadan göülüyo k, TM tenö demetnde b hemen hemen komplek yapı nşa etmek, yatay ve dkey dağılımlaın boyutlaının aynı olmamaından dolayı, tanant ve kotanant demettek gb olmamaktadı. Tenö demetle üzendek dğe çalışmalada, Salmov and Mağden (998), (, ) tpl tenö demetn b pü çapaz ket boyunca tenö alanlaın tam ltlen tanımlamışladı. Bunun (,) tpl tenö demete genelleştlme e Geze and Salmov (2008a) taaından yapılmıştı. Mağden et al. (2000), Tachbana opeatöünü kullanaak ano ( (,) tpl tenö) yapılaın (,) tpl tenö demete taşınmaını çalışmışladı. La and Mok (2002), (,) tpl tenö demette adapte olmuş çatıyı tanımlayaak, demet üzende tenö heabın daha kolay yapılmaı çn b yöntem öne ümüşled. Ayıca bu makalede, baz manoldda tanımlı olan b hemen hemen komplek yapının demete yatay ltnn de demette b hemen hemen komplek yapı olduğu götelmşt. Cengz and Salmov (2002), baz manoldun metğnn (, ) tpl tenö demete dagonal ltn tanımlamış ve bu metğn Lev-Cvta konnekyonunu heaplayaak demetn eodezklen aaştımışladı. Aynı yazala 2003 te, dagonal lt metğne göe demetn Kllng vektö alanlaını bellemşled.
7 Mağden et al. (2004), (,) tpl tenö alanlaının (,) tpl tenö demete yatay ltlen tanımlamış ve komplek ve tanant yapılaın özel tplenn yatay ltle le lgl bazı uygulamala unmuşladı. Mağden and Salmov (2004), baz manoldun an konnekyonunun (,) tpl tenö demete tam ltn tanımlanmış ve buna göe demetn eodezklen bulmuşladı. Geze and Salmov (2008b), baz manolddak (,) tpl tenölen (,) tpl tenö demetn b çapaz ketne dagonal ltlen tanımlamıştı. Saak metğ (,) tpl tenö demette Salmov et al. (2009) taaından tanımlanmış ve demetn bu metğe göe eodezkle ncelenmşt. Bu metk (,) tpl tenö demette e Salmov and Geze (20) taaından ele alınmış ve bu çalışmada metğn eğlk özellkleyle beabe metkle uyumlu yapıla tanımlanmıştı. (,) tpl tenö demette Cheege-Gomoll metğnn eğlk özellkle e Peyghan et al. (203) taaından çalışılmıştı. Bu tezde e başlıca üç amaç gözetlmşt: Bunladan lk Zayatuev (995) n tanant demette tanımladığı yenden kalelendlmş Saak metğn, (,) tpl ve (,) tpl tenö demette düşüneek demetlen bu metğe göe geometk özellklen aaştımak; knc (,) tpl tenö demette Cheege-Gomoll metğn tanımlayıp yenden kalelendlmş Saak metğ çn yapılanlaın benzelen bu metk çn de yapmak ve on olaak (0, ) tpl tenö demetn b çapaz ketnn geometn, baz manolddak hemen hemen komplek yapılaın ve baz manoldun b an konnekyonunun kete tam ltn alaak ncelemekt. Bunun çn knc bölümde; deenyellenebl manoldla, deenyellenebl onkyonla, manoldla aaı dönüşümlen deenyelle, tenö alanlaı, Le tüev, an konnekyon, eodezk eğle, Remann manoldlaı ve bu manoldla üzendek hemen hemen çapım yapılala bu yapıla vaıtaıyla oluştuulan çapım eşlenk konnekyonla tanıtılmıştı.
8 Üçüncü bölümde; tenö demet, baz manoldda tanımlı bazı geometk nenelen demete ltle, demetn b an konnekyonuna adapte olmuş çatı ve demet üzendek eodezklen deenyel denklemle hakkında blgle velmşt. Dödüncü bölümde; lk adımda, (,) tpl tenö demette yenden kalelendlmş Saak metğ tanımlanaak bu metğe göe demetn eğlk tenöü, Rcc ve kale eğlkle heaplanmış ve bunlaa lşkn geometk youmla velmşt. Ayıca bu metkle uyumlu hemen hemen çapım yapılala demetn yeel ayıştıılabl Remann manoldu olma şatlaı aaştıılmış ve demet üzende metğn Lev-Cvta konnekyonunun dışında, k bu yapı vaıtaıyla oluştuulan üç aklı konnekyon tanımlanmıştı. İknc adımda, yenden kalelendlmş Saak metğ (,) tpl tenö demette düşünüleek demetn bu metğe göe eodezkle bellenmş ve (,) tpl tenö demette Hayden (932) n metodu kullanılaak oluştuulan metk konnekyon buada da ele alınmıştı. Üçüncü adımda, (,) tpl tenö demette yenden kalelendlmş Saak metğ çn yapılanlaın benzele Cheege-Gomoll metğ çn yapılmıştı. Son adımda e, baz manoldun üzende tanımlı b hemen hemen komplek yapının tam ltnn (0, ) tpl tenö demetn pü çapaz ket üzende yne b hemen hemen komplek yapı olduğu götelmşt. Ayıca baz manoldun b metk an konnekyonunun demete tam lt yadımıyla çapaz ket üzende yen b konnekyon tanımlanmıştı. Beşnc bölümde, tezden elde edlen onuçla özetlenmşt.
9 2. KURAMSAL TEMELLER Bu bölümde, lede geeknm duyacağımız kavamla olan deenyellenebl manoldla, deenyellenebl onkyonla, manoldla aaı b dönüşümün deenyel, tenö alanlaı, Le tüev, an konnekyon, eodezkle, eğlk ve buulma tenöle, Remann manoldu, hemen hemen çapım yapı ve çapım eşlenk konnekyon konulaı ele alınmıştı. 2.. Deenyellenebl Manoldla Tanım 2..: M b Haudo uzayı olun. Eğe p M çn n dek b açık kümeye homeomo olacak şeklde p noktaının b U açık komşuluğu vaa M ye b topolok manold veya kıaca manold adı vel. n Bu duumda boy( ) n olduğundan, manoldun boyutu n olaak tanımlanı ve n boyutlu manold M n le götel (Şahn 203). n Tanım 2..2: Tanım 2.. de bahedlen homeomozm : U V ( U) e ( U, ) klne b hata den. Bazı kaynakla adece U açık kümen hata olaak adlandıı. M manoldunun bütün noktalaının en az b hatada ye almaı çn bu açık kümelen aaketnn boştan aklı olmaı geek. Tanım 2..3: 2 n n n x ( p) ( x, x,..., x ) olun. :,,2,..., g n üekl onkyonlaı g ( x) x şeklnde eçln. Bu duumda g : U,,..., n eel değel onkyonlaına pm noktaının ( U, ) hataının ( p) x
0 dönüşümünü ağlayan koodnat onkyonlaı, x x x eel ayılaına e p M 2 n (,,..., ) noktaının ( U, ) hataındak koodnatlaı den (Şuhub 2008). Tez boyunca manoldun lokal koodnatlaı denldğnde bu anlaşılacaktı. : ( U) V U te dönüşümü U kümenn b paameteleme adını alı ve 2 n x, x,..., x koodnatlaına U nun paametele den. M üzendek koodnat çzgle, :V U dönüşümü altında göüntüle olan eğled. n dek katezyen koodnat çzglenn Göülüyo k, M manoldu p noktaı cvaında yeel olaak küme gb davanmaktadı. n uzayının b açık alt Tanım 2..4: M n boyutlu b manold olun. Eğe M üzendek hatalaın b ale olan A ( U, ): I kollekyonuna M üzende küme çn aşağıdak şatla ağlanıyoa A k C ınıı b atla den: () U açık kümelenn kollekyonu M manoldunun b açık ötüüdü. () (, ) ve (, ) gb k aklı hatayı göz önüne alalım. U U U U le altındak göüntüle genellkle aklı olan bu küme üzende olun. : ( U U ) ( U U ) : ( U U ) ( U U ) dönüşümle tanımlandığı zaman bu dönüşümlen k. metebeye kada tüevle va ve üekld (Şuhub 2008).
İknc şata (, ) ve (, ) U U hatalaının k C uzlaşmaı şatı den. (, ) ve (, ) hatalaındak koodnatlaı ıaıyla ( x ) ve ( y ) U U le göteek, dönüşümü aynı p M noktaının bb üzene bnen k hata altında n göüntüle olan x ve y ( x) noktalaının koodnatlaı aaında y ( x );,,..., n; x ( U U ) (2.) şeklnde b bağıntıya yol aça. Doğal olaak, dönüşümü bu bağıntının ten otaya çıkaı: x g ( y );,,..., n; y ( U U ). (2.2) (2.) ve (2.2) bağıntılaının manoldun U U açık küme üzende b koodnat dönüşümüne kaşılık geldğ açıktı. (, ) ve (, ) U U hatalaının k C uzlaşı olmaı, onkyonlaının x değşkenlene göe k. metebeye kada tüevlenn va ve üekl olmaı demekt. atlatı. U U k C ınıı b atla tüm hatalaı e bu hatala uzlaşı kabul edl. k C uzlaşı olan b Tanım 2..4: İk k C atla A ve A 2 olun. Eğe A A2 de b deyşle A dek he hata A 2 dek he hata le veya denk atlala adını alı (Şuhub 2008). k C atla e, başka b k C uzlaşı e, bu k atla k C uzlaşı Atlalaın ınılaına ayıı. k C uzlaşmaı b denklk bağıntııdı ve bu, k C atlala kümen denklk
2 Tanım 2..5: M manoldu üzendek den. k C atlalaının b denklk ınıına b k C yapı k C yapıının çndek atlalaın bleşm de bu ınıın çnde kalmak zoundadı. Yan he denklk ınıı b tane en büyük atlaı çe k bu atlaa makmal atla den (Şuhub 2008). Tanım 2..6: M manoldu Tanım 2..5 tek gb b makmal atlaa ahpe bu manolda k C deenyellenebl manold den. Eğe (2.) ve (2.2) eel değşkenl ve eel değel onkyonlaın he metebeden tüev va ve üekl e C atla ve C deenyellenebl manold elde edl. C deenyellenebl manoldlaa kıaca düzgün manoldla adı vel (Şuhub 2008). He atla b tek makmal atla taaından kapandığından, b manoldun C k deenyellenebl manold olduğunu aaştııken yalnızca b tane bulmamız yeteld (Tu 200). k C atla Bundan ona bütün manoldla düzgün kabul edlecekt. 2.2. Deenyellenebl Fonkyonla Tanım 2.2.: M n boyutlu b manold ve : M olun. p nn he b (, ) hataı çn n : ( U ) düzgün e onkyonuna p noktaında b düzgün onkyon den. Eğe : M onkyonu p M noktaında düzgün e düzgün onkyon adını alı. U Tanım 2.2.2: Boyutlaı ıaıyla m ve n olan M le N manoldlaı aaında üekl b : M N dönüşümünü göz önüne alalım. B p M noktaına q ( p) noktaı kaşılık gelecekt. q ( p) noktaının he V komşuluğuna kaşılık gelen p noktaının komşuluğu U ( V) olun ( üekl). g: N le V açık küme
3 üzende tanımlanmış deenyellenebl b onkyonu göteelm. M manoldunda U açık küme üzende b onkyonu da he p M noktaı çn ( p) g( q) g( ( p)) olaak tanımlayalım. Buna göe V üzende tanımlanmış he g onkyonu ( U) N olduğundan U üzende tanımlanmış b : M onkyonunu üet. Aalaındak onkyonel bağıntıyı * g g le göteek bu * g onkyonuna g nn ge çeklmş (pull-back) ya da kaşıt göüntüü den. N üzende deenyellenebl he g onkyonu çn * g onkyonu M üzende deenyellenebl e ye deenyellenebld den (Şuhub 2008). Manoldla aaı b üekl onkyonun deenyellenebllğ aşağıdak gb de tanımlanabl. Tanım 2.2. le Tanım 2.2.2 nn denklğ çn (Şuhub 2008) ye bakılabl. Tanım 2.2.3: Boyutlaı ıaıyla m ve n olan M le N manoldlaı aaında üekl b : M N dönüşümünü göz önüne alalım. B p M noktaına N de kaşılık gelen nokta q ( p) ve bu noktalaın ye aldığı hatala ıaıyla ( U, ) ve ( V, ) olun. Bu hataladak yeel koodnatlaı ıaıyla m x = ( x,..., x ) ve n y = ( y,..., y ) le m n göteelm. Bu duumda x ( p) ve y = ( q) olacaktı. y = ( ( ( x))) aacılığı le b m n : ( U) ( V) onkyonu tanımlanıp y= ( x) ya da m y ( x,..., x ),,..., n yazılabl. onkyonlaının x ( p) noktaında he metebeden tüev va ve üekl e, p noktaında düzgün b onkyon olaak adlandıılı. Bu özellk atlaın he hataı çn geçel e dönüşümü M üzende deenyellenebld den (Şuhub 2008). Tanım 2.2.4: M ve N boyutlaı aynı olan k manold ve : M N dönüşümü deenyellenebl olun. Eğe : N M dönüşümü va ve deenyellenebl e ye b deomozm, M ve N manoldlaına deomo manoldla den.
4 Tanım 2.2.5: M n boyutlu b manold ve I, nn b açık aalığı olun. : I M şeklnde tanımlı olan deenyellenebl onkyona M üzende b deenyellenebl eğ den. Bu tezdek tüm eğle deenyellenebld. 2.3. Tanant Vektöle ve Vektö Alanlaı M n boyutlu b manold, p M b nokta, p noktaındak düzgün onkyonlaın küme C ( M, ) ve C ( M, ) olun. p noktaındak b hata ( U, ) e n n ( p) ( x,..., x ) den p x x n (,..., ) olu ve buadan y p x x g x x n n ( ) ( (,..., )) (,..., ) yazılı. Buada g olaak tanımlanmıştı. Aşağıdak gb yazılan x g : p x ( p) götem kabul edelm. Bazen x ayılaını göz önüne alalım ve p yene ( ) x p de yazılı. n tane olan p ( ), C ( M, ) x p bçmnde tanımlanan : C ( M, ) lnee onkyonunu ele alalım. Bu onkyonu p
5 p x p bçmnde ve bu şekldek tüm onkyonlaın kümen de TM p le göteelm. TM p küme üzende toplama ve kalele çapma şlemlen ıaıyla ( )( ) ( ) ( ), p 2p p 2p ( a )( ) a ( ) p p şeklnde tanımlanıa TM p küme bu şlemlele beabe cm üzende b vektö uzayı olu. Tanım 2.3.: M manoldu ve p M noktaı veln. Yukaıda anlatılan TM p vektö uzayına M nn p noktaındak tanant uzayı, bu uzayın elemanlaına e M nn p noktaındak tanant vektöle den (Salmov ve Mağden 2008). Teoem 2.3.2: : M n boyutlu b manold, TM p onun p noktaındak tanant uzayı ve p nn ( U, ) hataında koodnatlaı n ( x,..., x ) olun. Bu duumda TM p vektö uzayının b bazı {( ),...,( ) } p n p x x dı. Tanım 2.3.3: Teoem 2.3.2 de geçen {( ),...,( ) } p n p bazına M nn p x x noktaındak doğal çatıı den. Çoğu zaman bu baz, kaışma tehlke olmadığı duumlada nokta vuguu yapılmakızın, götel. x yazılımı le {,..., n } şeklnde Sonuç 2.3.4: M manoldunun boyutu le TM p nn boyutu eştt.
6 Tanım 2.3.5: M n boyutlu b manold ve TM p onun p noktaındak tanant uzayı olun. Bu duumda he p M noktaına TM p uzayında b tanant vektö kaşılık geten C ınıından b onkyona b vektö alanı den (Şahn 203). Böylece M manoldu üzende b vektö alanı M T M : p pm şeklnde tanımlı b C dönüşümdü. Buada vektö alanının C ınıından olmaı he C ( M, ) çn : M, ( p) ( ) p le tanımlı onkyonun he metebeden deenyellenebl olmaıdı. Vektö alanlaının küme şmdlk ( M ) le götelecekt. B lokal koodnat temnde b vektö alanı x Y, ( M) veldğnde, key p M ve C ( M, ) çn le ade edlebl. gh, C ( M, ) ve ( g hy ) g( p) h( p) Y p p p şeklnde tanımlanıa Y, M üzende yen b vektö alanı olu. Bu şeklde tanımlanan toplama ve çapma şlemle le blkte ( M ), C ( M, ) b modüldü. halkaı üzende
7 2.4. Kotanant Vektöle ve -omla Tanant uzay b vektö uzayı olduğu çn bu uzayın cebel dualnden bahedlebl. Tanım 2.4.: M n boyutlu b manold C ( M, ) olun. onkyonunun pm noktaındak deenyel d x p dx bçmnde tanımlanı. Eğe, gc ( M, ) e d dg ade gc ( M, ) onkyonunun deenyel ve a olmak üzee ad ade de a C ( M, ) onkyonunun deenyel olu. Buna göe, C ( M, ) onkyonlaın p noktaındak deenyelle üzende TMuzayını oluştuu. x C ( M, ) çn * p dx T M * p olacağı açıktı. olduğundan, x p d T M deenyel * p dx deenyellenn lnee bleşm olu. dx le bağımız olan,,..., x n değşkenlenn deenyelle olduğundan, lnee bağımız olacaktı. Böylece aşağıdak teoem elde edl: Teoem 2.4.2: M n boyutlu b manold ve p M olun. 2 bazı { dx, dx,..., dx n } ve dolayııyla * boytp M n d. * TM p vektö uzayının b TM uzayının key d elemanı d ( ) ( ), TpM lnee dönüşümünü tayn * p k k k ede. Bu eştlkte x, alınıa dx ( ) x x { } x bazlaı dual bazladı. Buna göe bulunu. Yan, { dx k } ve * TM p uzayı TM p uzayının dual olu.
8 Tanım 2.4.3: M b manold ve TM p onun p noktaındak tanant uzayı olun. TM p nn dual uzayı olan * TM p uzayına M nn p noktaındak kotanant uzayı, elemanlaına kotanant vektö (kovektö) den (Salmov ve Mağden 2008). * TM p nn 2 Tanım 2.4.4: Teoem 2.4.2 de geçen { dx, dx,..., dx n } bazına M manoldunun b p noktaındak koçatıı den. Tanım 2.4.5: M manoldunun he noktaına b kotanant vektö kaşılık geten b C onkyona -om den. 2.5. Manoldla Aaı B Dönüşümün Deenyel M ve N ıaıyla m ve n boyutlu k manold ve : M N deenyellenebl b onkyon olun. B gc ( N, ) düzgün onkyonuna * g C M (, ) düzgün onkyonunun kaşılık geleceğ Tanım 2.2.2 de anlatılmıştı. Şmd onkyonu aacılığı le p M noktaındak b tanant vektöü, q( p) N noktaındak b tanant vektöüne dönüştüen b * dönüşümü tanımlanacaktı. Tanım 2.5.: M ve N ıaıyla m ve n boyutlu k manold ve : M N deenyellenebl b onkyon olun. V TpM vektöü eçln. B * ( p) V T N vektöü e he gc ( N, ) onkyonu çn V g V g V g * * ( ) ( ) ( ) eştlğ ağlanacak şeklde bellenn. Bu bağıntı he gc ( N, ) çn V V, : T M T N ve ( V)( g) V( g) * * * * p ( p) *
9 şeklnde ade edlebl. Bazen de d olaak götelen bu * dönüşümüne nn p noktaındak deenyel adı vel (Şuhub 2008). Lemma 2.5.2: M, M 2, M 3 üç deenyellenebl manold ve : M M 2, 2 : M 2 M 3 k deenyellenebl dönüşüm olun. 2 :M M 3 dönüşümü göz önüne alının. Bu duumda ( 2 )* ( 2 )* ( )* ya da d( 2) d( 2) d( ) dı. (Buna znc kualı den. Bu bağıntının b pm noktaı çn d( )( p) d ( ( p)) d ( p) anlamına geldğne dkkat edlmeld.). (Şuhub 2008). 2 2 İpat: He hc ( M3, ) ve V TpM çn ( ) V( h) V( h ) V(( h ) ) ( ) V( h ) [( ) (( ) V)]( h) 2 * 2 2 * 2 2 * * (( ) ( ) ) V( h) 2 * * olduğundan ( 2 )* ( 2 )* ( )* elde edl. : M M özdeşlk dönüşümü, yan he p M çn ( p) p olun. Buna göe M d : T M T M olu. He C ( M, ) çn M p p M d ( V ( )) V ( ) V ( ) M M olacağından d V V, dolayııyla da M d M I olu. TpM I TpM opeatöü TM p vektö uzayı üzende özdeşlk dönüşümüdü. Lemma 2.5.3: M ve N aynı boyutlu k manold ve : M N b deomozm olun. Bu duumda d ( d) dı (Şuhub 2008).
20 İpat: : M N b deomozm olduğundan : N M vadı ve deenyellenebld. Bu duumda ve M N olu ve d( ) d d I, d( ) d d I TpM TpN olduğundan d ( d) onucuna vaılı. 2.6. Tenö Alanlaı Tanım 2.6.: M n boyutlu b manold ve TM p onun p noktaındak tanant uzayı olun. tp : TpM TpM... TpM tane şeklnde tanımlı he b bleşene göe lnee olan, yan t ( v,..., v, au bv, v,..., v ) at ( v,... v, u, v,..., v ) bt ( v,..., v, v, v,..., v ) p p p eştlğn ağlayan t p onkyonuna p noktaında lnee onkyon den. TMTM... TM den ye tanımlı bütün lnee onkyonlaın küme p p p üzende toplama ve kalele çapma şlemle ıaıyla ( v,..., v) TM p TM p... TM p ve çn ( t u )( v,..., v ) t ( v,..., v ) u ( v,..., v ), p p p p ( t )( v,..., v ) t ( v,..., v ) p p
2 şeklnde tanımlanıa bu küme cm üzende b vektö uzayı olu. Tanım 2.6.2: Yukaıda tanımlanan vektö uzayına * Tp M dual uzaylaının tenöel çapımı den ve T 0 * * * * ( )( ) p M Tp M Tp M Tp M... Tp M tane le götel. Bu kümenn he b elemanına. deeceden kovayant tenö veya (0, ) tpl tenö den. Kovayant tenö çn yapılan tanımda, TM p yene TM alınaak ve * p * * ( TM p ) le TM p nn zomo olmaından yaalanılaak aşağıdak tanım yapılabl: Tanım 2.6.3: M n boyutlu b manold ve TM p onun p noktaındak tanant uzayı olun. T0( p) ( M) TM p TM p TM p... TM p tane vektö uzayına TM p tanant uzayının tenöel çapımı, bu kümenn he b elemanına. deeceden kontavayant tenö veya (,0) tpl tenö den. Tanım 2.6.4: M n boyutlu b manold ve TM p le noktaındak tanant ve kotanant uzayı olun. TM * p ıaıyla M nn p * * tp : TpM... TpM TpM... TpM tane tane şeklnde tanımlı he b bleşene göe lnee olan t p onkyonuna ( ) lnee onkyon den.
22 Bu şekldek ( ) lnee onkyonlaın küme, üzende tanımlanan toplama ve çapma şlemlene göe cm üzende vektö uzayı olu. Bu vektö uzayı T ( ) M le göteleek aşağıdak tanım yazılı: p Tanım 2.6.5: M n boyutlu b manold ve TM p le noktaındak tanant ve kotanant uzayı olun. TM * p ıaıyla M nn p * * T ( p) ( M) TM p... TM p TM p... TM p tane tane vektö uzayına TM ve p * TM p uzaylaının tenöel çapımı; bu vektö uzayının he b elemanına. deeceden kovayant,. deeceden kontavayant tenö veya kıaca (,) tpl tenö den. İk tenöün toplanablme çn bu tenölen aynı tpl olmaı geek. t ve t 2 (,) tpl k tenö olun. Bu tenölen toplamı ( t t )(,...,, x,..., x ) t (,...,, x,..., x ) t (,...,, x,..., x ) 2 2 şeklnde tanımlanı. İk tenöün çapılablme çn bu tenölen aynı tpl olmaı geekmez. t ve t 2 ıaıyla (, ) ve ( 2, 2) tpl k tenö olun. Bu k tenöün çapımı (, ) tpl b tenödü ve bu çapım 2 2 2 ( t t )(,...,,,...,, x,..., x, x,..., x ) 2 2 2 t (,...,, x,..., x ) t (,...,, x,..., x ) 2 2
23 bçmnded. Tenö çapımı değşmel değld. Tenöle üzende yapılan şlemleden b de kontakyondu. T ( p) M tenö uzayı üzende C : T ( M) T ( M) ( p) ( p) AC ( A)(,...,,,..., ) C{ A(.,,...,,.,,..., )} ve C A A m ( ) (,,...,, m,,..., ) m şeklnde tanımlanan opeatöe kontakyon opeatöü den. Böylece b kontakyon opeatöü (,) tpl b tenöü (, ) tpl b tenöe taşı, yan kovayantlık ve kontavayantlık deecelen düşüü (Şahn 203). T ( p) M tenö uzayının b bazı (... dx... dx ) x x,...,,,...,,..., n p p p p dı. Buada x x x x k k (... dx... dx )( dx,..., dx,,..., ) l l p p p p...... k k l l dı. B t p tenöü, bu baz cnnden yazılmak tene
24... t p A...... dx... dx x p x ade elde edl. Buada A p p p......, t nn p... bu baza göe koodnatlaı, yan A... t (,...,,,..., ) p dx dx dı (Kühnel 2005). x x Tanım 2.6.6: M manoldunun he noktaına b (,) tpl tenö kaşılık geten C ınıından A dönüşümüne (,) tpl b tenö alanı den (Bhop and Goldbeg 968). Bundan ona, b M manoldu üzendek b (,) tpl b t tenö alanı t le götelecekt. M manoldu üzende C ınıından (,) tpl tenö alanlaının, C ınıından onkyonlaın ceb olan F( M ) küme üzendek modülü e ( M ) le şaetlenecekt. Bu küme aynı zamanda üzende b vektö uzayıdı. ( M ) ( M ) bçmnde götele, ( M ) üzende b ceb olu., 0, 0 olmaı duumunda vektö alanlaı; 0, olmaı duumunda -omla; 0 olmaı duumunda e eel değel onkyonla elde edl. (,) tpl b tenöün C lnee olmaı, tenöün yalnızca lnee değl, aynı zamanda ( M, ) lnee olmaını da kapa. Tanım 2.6.7: t,. metebeden b kovayant tenö olun. v, v 2,..., v TpM ve pemütayonu çn tv ( (), v (2),..., v ( ) ) tv (, v2,..., v ) e t tenöüne kovayant metk tenö; tv ( (), v (2),..., v ( ) ) (gn ) tv (, v2,..., v ) e t tenöüne kovayant ant-metk tenö den (Şahn 203). Smetk ve ant-metk kontavayant tenöle de benze şeklde tanımlanabl.
25 Tanım 2.6.8: (,) tpl b tenö hem kovayant metk hem kontavayant metk e metk tenö adını alı (Bhop and Goldbeg 968). (0,0), (, 0) ve (0,) tpl tenöle metk kabul edl. Tanım 2.6.9: p M noktaında A tenöü metk e A tenö alanına M p manoldu üzende metk tenö alanı, A tenöü ant-metk e A tenö alanına p M manoldu üzende ant-metk tenö alanı den. 2.6.. Pü tenöle Tanım 2.6.0: M manoldu üzende ( M ) tenö alanı veln. Eğe t ( M) tenö alanı 2 0 2 0,,..., ( M) ve,,..., ( M) çn 2 2 ' ' (,,...,,, 2,..., ) (,...,,, 2,..., )... t t 2 ' (,,...,,, 2,..., ) t 2 t(,,...,, 2 2 2,,..., ) t(,,...,,,,..., ) 2 t(,,...,,,,..., ) 2 şatı ağlanıyoa t ye ye göe püdü den. Buada nn ' ek opeatöü ( )( ) ( ) ( )( ), ( M), ( M) ' 0 0 şeklnded.
26 M manoldu üzedek tüm ye göe pü olan (,) tpl tenölen modülü * le götel.,..., x bleşenlene göe ade x ve dx,..., dx alınıa pü tenö alanlaının t t... t t t... t... m... m... m m2... m... 2... m m2... m... 2... m 2... m 2... m 2... m olaak bulunu. Vektöle, kovektöle ve kale onkyonla pü tenöle olaak kabul edl (Salmov 20). Pü tenöle çn aşağıdakle geçeld:. Pü tenölen toplamı ve kalele çapımı yne pü tenödü. 2. Pü tenölee metkleştme, alteneleştme ve kontakyon şlemle uygulanıa yne pü tenöle elde edl. 3. bm tenöü key yapıya göe püdü. 4. (0,0) tpl tenöle, yan kale onkyonla, pü kabul edl. Dğe taatan k pü tenöün tenö çapımı genellkle pü tenö değld. Eğe bu çapımda kontakyon vaa onuç pü tenö olu. Öneğn, (0,2) tpl g ve (2,0) tpl t k tenölen ele alalım. Kontakyon onucu k k k k ( gt ) ( gt ) ( gt ) ( gt ) k k k k bulunu yan bu çapımın onucu pü tenödü.
27 2.7. Le Paantez ve Le Tüev Tanım 2.7.: Aşağıdak şatlaı ağlayan D: ( M) ( M) dönüşümüne ( M ) cebnn tenö deenyellenme şlem den:. D abt katayılaa göe lneed, yan ab, çn Dat ( b) adtbd d. 2. D tp kou, yan T le DT aynı tpl tenödü. 3. Dt ( ) Dtt D. 4. D şlem tenölen kontakyon şlem le ye değştebl (Salmov ve Mağden 2008). Tanım 2.7.2: M manoldunun U açık küme üzende tanımlı vektö alanlaı ve Y le C ( M, ) onkyonu veln. [, Y]( ) Y( ) Y( ) eştlğyle bell [,Y] vektö alanına ve Y vektö alanlaının Le paantez (Le çapımı) den. [,Y] vektö alanının doğal çatıı cnnden ade [ Y, ] YY( Y Y ) (2.3) bçmnded. Özel olaak, Y alınıa (2.3) adenden [, ] 0 olduğu göülü. Le paanteznn aşağıdak özellkle vadı:. [, Y Z] [, Y] [, Z] (Lneelk) 2. [, Y] ( ) Y [, Y] (Lebnz şatı)
28 3. [, Y] [ Y, ] (Antmetklk) 4. [,[ Y, Z]] [ Y,[ Z, ]] [ Z,[, Y]] 0 (Jacob özdeşlğ) Tanım 2.7.3: Aşağıdak k şatı ağlayan D L, ( M) tenö deenyelleme şlemne vektö alanı yönündek Le deenyelleme den: 0 0. L, ( M), 0 2. L Y [, Y],, Y ( M). 0 (2.3) omülüne göe, LYnn lokal koodnatladak ade L Y Y Y k k k k bçmnded. Le deenyelleme onucunda bulunan değee Le tüev den. Key t ( M) tenö alanı çn Le tüev omülü aşağıdak gbd:... k... k...... k......... ( )...... ( ) k k k... Lt t t t (Salmov ve Mağden 2008). Tanım 2.7.4: ( M ) tenöü veln. Eğe * : ( M ) ( M ) dönüşümü aşağıdak şatlaı ağlaa a) abt katayılaa göe lneed. ye Tachbana opeatöü den: 0 b) * * M : ( ) ( M ) dı.
29 c) * C C C K, L ( M) çn ( K L) ( K) L( L) K dı. d), Y ( M) çn L Y,Y ye göe Le tüev olmak üzee Y ( L ) d. 0 Y e) ( ı ) ( d( ı ))( ) ( d( ı ( )))( ) (( L ) ) Y Y Y Y ( )( ı ) ( ı ) (( L ) ) Y Y Y ( Y) (( L ) ) Y 0 d. Buada ( M);, Y ( M); ı ( Y) Y dı ve C le kontakyonlu 0 Y çapım ade edlmekted. Ayıca ( Y) ( ı ) ( ı ) adece b C Y Y götemd çünkü 0 dı, dolayııyla Tachbana opeatöü değld. Tanım 2.7.4 ün d şıkkından Y [, Y ] [, Y ] bulunu (Salmov 200). 2.8. Deenyellenebl Manoldla Üzende An Konnekyon Tanım 2.8.: M b manold olun. T( M ) cebnn D : T( M) T( M), ( M) 0 deenyelleme şlem, g C ( M, ),, Y ( M), t T( M) çn 0 () t t g t, gy Y () ( t) [ ] t t şatlaını ağlıyoa e vektö alanı yönünde kovayant tüev den. : ( M ) ( M) ( M) şeklnde tanımlanan dönüşüme an konnekyon, 0 0 0 ( M, ) çtne an konnekyonlu uzay den (Salmov ve Mağden 2008).
30 Eğe t ( M) e t ( M) olu. Ayıca t ( ) M d ve bu ( t)(,,...,,,..., ) ( t)(,...,,,..., ) omülü le vel. Tanım 2.8.2: M manoldu üzende b an konnekyon ve ( U, ) M nn x x x lokal koodnatlaına ahp b hataı olun. x 2 {,,..., n } götem le şeklnde tanımlanan k k 3 k n tane : konnekyonunun katayılaı veya 2. tü Chtoel embolle den. U C onkyonlaına Şmd bazı özel tenölen kovayant tüevlen koodnatlala yazalım. İlk olaak nn lokal koodnatlala aden bulalım. Y Y ve olun. Bu Y k k duumda Y Y ( Y Y ) bulunu. Eğe alınıa Y k k ( Y ) ( Y Y ) olu. Y nn koodnatlaı ( Y) ( Y) Y k şeklnde götele Y Y Y (2.4) k elde edl k bu, (,) tpl tenö alanı olan Y nn doğal çatıdak koodnatlaıdı. 0 İknc olaak ( M ) -omunun kovayant tüevnn doğal çatıdak 0 0 koodnatlaını bulalım. ( M ) ve ( ) ( M) olduğu açıktı. Buna göe 2 0 ( ) n Y vektö alanı yönünde kovayant tüev alınıa ( ( )) ( )( ) ( ) Y Y Y
3 bulunu. Buadan da ( )( Y, ) ( )( ) ( ( )) ( ) Y Y Y Y( ( )) ( ) Y (2.5) yazılı. (2.5) denklemnde ve Y alınaak k ( ) ( ) ( ) k k k ( ) k k (2.6) elde edl. Buada, anlamındadı. Böylece kovayant tüevnn koodnatlala ade olaak bulunu. (2.5) denklemnde k k k, Y ve dx alınıa k k k ( dx )( ) ( dx ( )) dx ( ) k dx ( ) k k bulunu. Buadan da dx dx elde edl. k k Son olaak da key t ( M) tenö alanı çn kovayant tüev omülünü bulalım ve onun doğal çatıdak koodnatlaını elde edelm. 2 t(,,...,,,..., ) ( M) olduğu 0 0 açıktı. Y ( M) olmak üzee 0 Y bu onkyona uygulanıa 2 2 ( t(,,...,,,..., )) ( t)(,,...,,,..., ) Y Y t(,...,,...,,,..., ) 2 t(,,..., Y,,...,,..., ) Y
32 bulunu. Buadan da 2 2 ( t)(,,...,,,..., ) Y( t(,,...,,,... )) Y t(,...,,...,,,..., ) 2 t(,,...,, Y,...,,..., ) Y (2.7) elde edl. Kovayant tüevn (2.7) şeklnde aden doğal çatıda yazmak çn Y,,,..., ve dx,,..., bçmnde alalım. Böylece k t ( t) ( t)......... k... k... k......... m... m... kt... kmt... kt... m... şeklnde (,) tpl tenö alanının kovayant tüev omülünün doğal çatıdak ade elde edlmş olu (Salmov ve Mağden 2008). Kovayant tüev b tenö deenyelleme olduğundan aşağıdak özellkle ağla: ( t u ) t u............. k...... k... k... ( t ) ( ) t t, b C onkyon.......... 2. k... k... k... ( t u ) t u t u... k... k... k... k... k... k 3. k... l... l k... l... l... k l... l 4. Tenölen metkleştme, alteneleştme ve kontakyon şlemle le kovayant tüevleme şlemle ye değştebl.
33 2.9. Manold Üzendek B Eğ Boyunca B Tenöün İçel Tüev ve Jeodezk Eğle Tanım 2.9.: M n boyutlu b manold olun. M üzende lokal götem... x x ( t);,..., n olan b () t eğ ve bu eğ boyunca tanımlı A tenöü göz önüne alının. Bu duumda... A... k...... dx ka... t dt şeklnde tanımlanan ye çel tüev opeatöü den (Span 2003). t (Lchneowcz 969) ve (Synge and Schld 978) gb bazı kaynaklada bu opeatö mutlak tüev olaak adlandıılmıştı. B tenöün çel tüevnn kendyle aynı tp b tenö olduğu açıktı. Yükek metebeden çel tüevle de kolayca tanımlanabl. Öneğn (,) tpl A tenöü çn; 2 k l A A dx dx ( ) ( ) 2 l ka t t t dt dt d. Genel olaak çel tüev değşmel değld. (2.4) ve (2.6) denklemlenden k k A da k dx A (2.8) t dt dt
34 Ak da dx t dt dt k k A (2.9) elde edl. dx dt de b kontavayant vektö olduğundan, (2.8) denklemne göe 2 k dx d x dx dx ( ) 2 k (2.0) t dt dt dt dt bulunu. İçel tüevn tanımından, bu opeatöün kovayant tüevn tüm özellklen ağladığı öylenebl. Ayıca çel tüevn anlamlı olablme çn tenöün mutlaka b eğ boyunca tanımlı olmaı geek. Eğe tenö, uzayın hehang b bölgende tanımlıya kovayant tüev kullanılı (Synge and Schld 978). Tanım 2.9.2: (2.8) denklemn ıı yapan vektö alanı den. k A vektöüne () t eğ boyunca paalel Tanım 2.9.3: (2.0) denklemn ıı yapan () t eğne M manoldu üzende b eodezk eğ den. 2.0. Buulma ve Eğlk Tenöle Süekl b onkyonunun tam deenyeln alaak b -om elde edlebleceğ 2.4. alt başlıktan blnmekted. d dx olduğundan d ye koodnatlaı olan b kovektö kaşılık gel. üekl olduğundan çn knc tüevle ıaya bağlı değld, yan d. nn kovektö olmaından dolayı bu özellğn kovayant tüevle çn de geçel olup olmadığı ogulanabl. (2.6) eştlğnden
35 k k k k k ( ) T (2.) k k k k bulunu. Tanım 2.0.: (2.) denklemnde otaya çıkan ve kovayant ndlee göe antmetk olan (, 2) tpl T T tenöüne konnekyonunun buulma tenöü k k k k den. Buadan açıkça göülmekted k, eştlğ ancak T k tenöünün ıı olmaıyla, yan k k olmaıyla mümkündü. Bu da konnekyonunun metk olmaı demekt. Buulma tenöü ıı olan uzaylaa buulmaız uzayla den. Buulma tenöünün nvayant yazılımı, Y ( M) 0 çn aşağıdak gbd: T(, Y) Y [, Y],, Y ( M). (2.2) Y 0 Skale b onkyon çn yapılan yukaıdak şlemle b V V vektöü çn yapılıa ( V ) ( V ) V V n n k k kn k n ( V V ) ( V V ) V l n n l n k l kn l k n V ( V ) V V V (2.3) 2 n l l l l k k l kn l k l l k kl olduğundan (2.4) 2 ( ) ( n ) l l l l kv kv kl n kl V k lv kl V l kv
36 bulunu. (2.3) eştlğnden (2.4) eştlğnn çıkaılmaıyla ( V ) ( V ) ( n n ) V l T l V (2.5) k k k l kl kn l n kl k l eştlğ elde edl. Böylece (2.5) eştlğ ( V ) ( V ) R V l T l V (2.6) k k kl k l şeklnde yazılıa Rkl le götelen b (, 3) tpl tenö elde edl. Tanım 2.0.2: (2.6) denklemnde otaya çıkan R kl tenöüne konnekyonunun eğlk tenöü den. Eğlk tenöünün nvayant yazılımı, Y, Z ( M) 0 çn aşağıdak gbd: R(, Y, Z) Z Z Z. Y Y [, Y] Eğlk tenöü lk k nde göe antmetkt, yan R kl R d. kl Buulmaız uzaylada, ıaıyla,.banch ve Banch-Padov özdeşlğ adı velen aşağıdak k eştlk geçeld: Rkl Rlk Rlk 0. 2.. Remann Manoldu R R R R 0. [ m k] l m kl k ml mkl
37 Tanım 2..: M manoldu üzende tanımlı g : ( M) ( M) C ( M, ) 0 0 blnee omu çn aşağıdak şatla ağlanıyoa g ye Remann metğ veya metk tenö, ( M, g) klne Remann manoldu den:. g(, Y) g( Y, ) (metklk) 2. g(, ) 0 ve g(, ) 0 0 (pozt tanımlılık). Yukaıdak tanımda pozt tanımlılık şatı, ondan daha zayı olan Y çn g(, Y) 0 olmaı 0 olmaını geekt şatı le değştle ( M, g ) klne peudo- Remann (yaı-remann) manoldu den. Bu şata metğn yozlaşmama (non-deenee olma) şatı adı vel (Kühnel 2005). Metk tenö lokal koodnatlada ade edlmek tene, U u, V v olmak üzee guv (, ) guv yazablz. Buada g g(, ) d. { dx },{ } nn dual bazı olduğundan metk tenö olaak da ade edlebl. g gdx dx Teoem 2..2: B paakompakt manold üzende he zaman b Remann metğ bulunabl (Gallot et al. 2004). Bu tezde ele alınan tüm manoldla paakompakttı. Tanım 2..3: ( M, g ) an konnekyonuna ahp olan b manold olun. Eğe g 0 e an konnekyonuna, g ye göe metk konnekyon den. Teoem 2..4: ( M, g ) Remann manoldu üzende buulmaız b tek metk konnekyon vadı.
38 Tanım 2..5: Teoem 2..4 te velen konnekyona Lev-Cvta veya Remann konnekyonu den. Teoem 2..6: ( M, g) Remann manoldunun Lev-Cvta konnekyonu olun., Y, Z ( M) 0 çn Kozul omülü olaak blnen aşağıdak eştlk geçeld: 2 g( Y, Z) ( g( Y, Z)) Y( g( Z, )) Z( g(, Y)) g(,[ Y, Z]) g( Y,[ Z, ]) g( Z,[, Y]). (2.7) (2.7) denklemnde, Y, Z alınıa k 2 g(, ) ( g(, )) ( g(, )) ( g(, )) k k k k g(,[, k]) g(,[ k, ]) g( k,[, ]) h 2 g(, ) g g g h k k k k h 2 g g g g hk k k k 0 0 0 h hk g ( g k gk k g ) (2.8) 2 bulunu k bu h onkyonlaına, Lev-Cvta konnekyonunun katayılaı den. Tanım 2..7: ( M, g) Remann manoldunun Lev-Cvta konnekyonu olun., Y, Z ( M) 0 çn R(, Y, Z) YZ YZ [, Y] Z denklemyle bell (, 3) tpl R tenöüne konnekyonunun Remann (veya Remann-Chtoel) eğlk tenöü den.
39 Tanım 2..8: B ( M, g) Remann manoldunun R eğlk tenöü özdeş olaak ıı e M ye lat (düz) manold den. Lev-Cvta konnekyonu buulmaız an konnekyon olduğundan, buulmaız an konnekyonun eğlğ çn geçel olan tüm özellkle Remann eğlk tenöü çn de geçel olacaktı. Hehang b an konnekyonun eğlk tenöünün akne, Remann eğlk tenöünün kontavayant nd ndlek kovayant eğlk tenöü elde edlebl. Yan: l ml. Rk g Rk m eştlğ geçeld. Benze şeklde eğlk tenöünün kovayant ndle de yükeltleek kontavayant eğlk tenöü de elde edlebl. Kovayant eğlk tenöünün aşağıdak özellkle vadı: R R, R R, R R, kl kl kl lk kl kl R R R 0. kl kl kl İlk bakışta l Rk Remann eğlk tenöüne üç şeklde kontakyon uygulanableceğ l göülmekted. İlk olaak R 0 dı, çünkü (2.5) tek eğlk tenöünün lokal l l l l l m l m yazılımından R ( ) adende k yene l alınıa k k k m k m k R ( ) l l l l m l m l l l m l m l bulunu. Son temde m ve l toplam ndle değştle R olu. l l l l l l l l ade (2.8) den heaplanıa
40 l lk lk g l g ( glk l g k k gl ) g glk ln( g) 2 2 2 g x x bulunu. Böylece R l ln g ln g 0 olu. l Eğlk tenöü lk k nde göe ant-metk olduğundan R l lk R l lk eştlğ yazılabl. Dolayııyla kontakyon çn alında adece b duum vadı, o da aşağıdak tanımı ve: Tanım 2..9: Eğlk tenöü yadımıyla tanımlanan (0,2) tpl Rcc eğlk tenöü den. R k R tenöüne l lk Rcc eğlk tenöü metkt. Geçekten R R g R g R g R R R l ml ml ml m k lk lkm kml mkl mk k dı. Tanım 2..0: Rcc eğlk tenöünün tam kontakyonuna kale eğlk den ve le götel. Yan k g R k dı. Tanım 2..: ( M, g) n boyutlu Remann manoldu, TM p onun p noktaındak tanant uzayı ve TM p nn 2 boyutlu alt uzayı P olun. P düzlemn geen bm vektöle ve Y olmak üzee ( P) (, Y) gryy ( (, ), ) g(, ) g( Y, Y) g(, Y) 2
4 değene M manoldunun P düzlemne göe ket eğlğ den. Teoem 2..2 (Schu Teoem): n boyutlu ( n 2) M Remann manoldunun ( P) ketel eğlğ he P düzlem çn aynı e manoldun he noktaında abtt. Tanım 2..3: Teoem 2..2 dek manoldlaa abt eğlkl manoldla den. 2.2. Hemen Hemen Çapım Manoldla Tanım 2.2.: M manoldu üzende 2 F I, F I şatını ağlayan b (,) tpl F tenö alanı vaa F ye hemen hemen çapım yapı, ( M, F ) klne hemen hemen çapım manold den. Tanım 2.2.2: M manoldu üzende tanımlı F hemen hemen çapım yapıı ve an konnekyonu veln. Eğe F 0 e ya M nn b hemen hemen çapım konnekyonu den (Leon and Rodgue 989). Teoem 2.2.3: He hemen hemen çapım manold üzende b hemen hemen çapım konnekyon vadı (Leon and Rodgue 989). İpat:, M nn b an konnekyonu olun. M üzendek (, 2) tpl S tenöü, Y ( M) çn 0 S(, Y) {( FY F) F(( Y F) ) F(( F) Y)} (2.9) 2 olaak veln. Bu duumda ( P ) Y Y S(, Y) (2.20)
42 şeklnde tanımlanan konnekyondu. ( P ) konnekyonu M üzende b hemen hemen çapım Tanım 2.2.4: M manoldu üzende F hemen hemen çapım yapıı ve an konnekyonu veln., Y ( M) 0 olmak üzee ( F ) Y F( FY) şeklnde tanımlanan ( F ) konnekyonuna F yapıının belledğ çapım eşlenk konnekyon adı vel (Blaga and Camaeanu 203). Öneme 2.2.5: ( F ) konnekyon olma şatlaını ağla. İpat: Tanım 2.4. dek şatlaın ağlandığını göteeceğz. ( F ) () gy Z F( gy FZ) F( FZ FZ) gy F( FZ g FZ) F( FZ) gf( FZ) Z g Z, ( F) ( F) ( F ) () Y F( F( Y )) F( FY) F( [ ] FY FY) F( [ ] FY) F( FY) ( F) ( F) ( ) Y Y. Y Y Y le ( F ) konnekyonlaının R, Y, Z ( M) çn 0 ve R ( F ) eğlkle aaındak lşk, he
43 R( F ) (, Y, Z) F( R (, Y, FZ)) (2.2) eştlğ le bellen (Blaga and Camaeanu 203). Tanım 2.2.6: B ( M, g ) Remann manoldu, aşağıdak şatlaı ağlayan b (,) tpl F tenöüne ahpe bu manolda hemen hemen çapım Remann manoldu den: F I F I 2, ; gfy (, ) gfy (, ) Buada, Y ( M) 0 ade ettğ açıktı (Yano and Kon 984). d. Ayıca knc şatın, g metğnn F ye göe pü olmaını Tanım 2.2.4 tek çapım eşlenk konnekyonunu yenden göz önüne alalım. Eğe ( M, F, g) b hemen hemen çapım Remann manoldu e ( F ( ) g)( FY, FZ) ( g )( Y, Z ( ) ) d. Buadan anlaşılıyo k; F nn g ye göe metk konnekyon olmaı çn geek ve yete şat nın g ye göe metk konnekyon olmaıdı. Bu da nın, g nn Lev-Cvta konnekyonu olmaı duumunda, ( F ) nn metk konnekyon olacağı onucunu ve. Tanım 2.2.7: B ( M, F, g) hemen hemen çapım Remann manoldunda F 0 e ( M, F, g) üçlüü yeel ayıştıılabl Remann manoldu adını alı. Buada, g nn Lev-Cvta konnekyonudu. Teoem 2.2.8: B ( M, F, g) hemen hemen çapım Remann manoldunda F 0 olmaı 0 olmaına denkt (Salmov vd 20). F g