Bu kısıtlar sonra aşağıdaki gibi basitleştirilir:

HEDEF PROGRAMLAMA 8.1 TEK AMAÇLIYA KARŞI ÇOK AMAÇLI PROGRAMLAMA Önceki bölümlerde tanıtılan doğrusal programlama modelleri tek bir amaç fonksiyonunun optimizasyonuyla karakterize edilir. Sistemin çok sayıda (büyük bir olasılıkla çelişen) amaca sahip olabileceği durumlar da söz konusu olabilir. Örneğin, hırslı politikacılar hem iç borcu azaltmayı vaat edip hem de aynı zamanda gelir vergisi oranlarının azaltılması önerisinde bulunabilirler. Böyle durumlarda, çelişen amaçları optimum kılan tek bir çözüm bulmak olanaksız olabilir. Bunun yerine, her amacın önem derecesini temel alan uzlaşık çözümler bulunabilir. Bu bölümde, çok amaçlı modeller için hedef programlama tekniği tanıtılacaktır. Temel düşünce, orijinali çok amaçlı olan problemi tek amaçlı probleme dönüştürmektir. Modelin sonucuna genellikle etkin çözüm adı verilir. Çünkü problemin tüm çelişen amaçlarına uygun çözüm bulunmayabilir. 8.2 HEDEF PROGRAMLAMA FORMÜLASYONU Hedef programlama aşağıda verilen örnekle açıklanmıştır. Örnek 8.2-1 Doğaşehir, 20000 nüfuslu bir ilçe olup ilçe belediyesi topladığı vergilerle ilgili olarak adil bir düzenleme yapma çabası içindedir. Emlak vergisi için yıllık vergi tabanı 550 milyon pb dir. Çevre ve temizlik için yıllık vergi tabanı sırasıyla 35 milyon ve 55 milyon pb dir. Yıllık yerel doğalgaz tüketiminin ise 7,5 milyon varil olacağı tahmin edilmektedir. Belediye Meclisi, dört ana hedefi temel alan bir vergi oranı belirlemek istemektedir: 1. Vergi gelirleri ilçenin finansal gereksinimlerini karşılamak için en az 16 milyon pb olmak zorundadır. 2. Çevre vergisi toplam verginin %10 unu geçemez. 3. Temizlik vergisi toplam verginin %20 sini geçemez. 4. Doğalgazdan alınacak vergi m 3 başına 2 pb yi geçemez. xe, xç ve xt emlak, çevre ve temizlik için vergi oranlarını göstersin, xd de m 3 başına doğalgaz vergisini belirtsin. Belediye Meclisinin hedefleri aşağıdaki gibi tanımlanabilir: 550 xe 35 xç 55 xt 0.075 xd 16 (Vergi geliri) 35 xç 0,1 ( 550 xe 35 xç 55 xt 0.075 xd ) (Çevre vergisi) 55 xt 0,2 (550 xe 35 xç 55 xt 0.075 xd ) (Temizlik vergisi) xd 2 xe, xç, xt, xd 0 Bu kısıtlar sonra aşağıdaki gibi basitleştirilir: (Doğalgaz vergisi)

550 xe 35 xç 55 xt 0,075 xd 16 55 xe - 31,5 xç 5,5 xt 0,0075 xd 0 110 xe 7 xç 44 xt 0,015 xd 0 xe, xç, xt, xd 0 xd 2 Modelin her eşitsizliği, Belediye Meclisinin karşılamayı çok istediği bir hedefi gösterir. Bununla birlikte, bu hedefler çelişebilir ve yapabileceğimiz en iyi şey uzlaşık çözüme ulaşmaya çalışmaktır. Hedef programlamayla uzlaşık bir çözüme ulaşmak için izlenecek yol aşağıda verilmiştir. Önce, her eşitsizlik kısıtı, gerekirse kısıtların ihlal edilebileceği bir esnek hedefe dönüştürülür. Doğaşehir modeline göre esnek hedefler aşağıdaki gibi ifade edilir: 550 xe 35 xç 55 xt 0,075 xd s 1 s 1 = 16 55 xe - 31,5 xç 5,5 xt 0,0075 xd s 2 s 2 = 0 110 xe 7 xç 44 xt 0,015 xd s 3 s 3 = 0 xe, xç, xt, xd 0 s i, s i 0 i = 1,2,3,4 xd s 4 s 4 = 2 Negatif olamayan s i ve s i, i = 1,2,3,4 değişkenleri sapma değişkenleri diye adlandırılır, çünkü bu değişkenler i. kısıtın sağ tarafının üstündeki veya altındaki sapmaları gösterir. Sapma değişkenleri s i ve s i tanıma bağımlıdır ve dolayısıyla aynı anda temel değişken olamazlar. Bu, herhangi bir simpleks yinelemede iki sapma değişkeninden en çok bir tanesi için pozitif değer varsayılabilir demektir. Orijinal i.eşitsizlik tipindeyse ve sapma değeri s i > 0 ise, i.hedef sağlanacaktır; yok,, s i > 0 ise i.hedef sağlanamayacaktır. Aslında s i ve s i tanımları, hedefi dilediğimiz gibi karşılamamıza ya da ihlal etmemize izin verir. Doğal olarak, iyi bir uzlaşık çözüm, her hedefin ihlal edildiği miktarın minimum kılınmasını sağlamaya çalışan bir çözümdür. Doğaşehir modelinde, ilk üç kısıt tipinde, dördüncü kısıt da tipinde verildiğinde, s 1, s 2, s 3 ve s 4 sapma değişkenleri ihlal edilebilecek hedef miktarlarını gösterir. Böylelikle, uzlaşık çözüm aşağıdaki dört amacı mümkün olduğunca sağlamaya çalışacaktır: Min.G 1 = s 1 Min.G 2 = s 2 Min.G 3 = s 3 Min.G 4 = s 4 Bu fonksiyonlar, modelin kısıt denklemlerine göre minimum kılınır.

Olası çelişen hedefleri olan çok amaçlı bir modeli nasıl optimum bir model haline getiririz? Bu amaçla iki yöntem geliştirilmiştir: (1) ağırlıklandırma yöntemi, (2) önceliği koruma yöntemi. Her iki yöntem de çok amacı tek bir amaca dönüştürme esasına dayanır. Bu yöntemlerin ayrıntıları bu bölümün geri kalanında açıklanacaktır. Problem kümesi 8.2a 1. Doğaşehir Belediye Meclisi, doğalgaz vergisi toplam verginin en az %1 ine eşit olmalıdır şeklinde ek bir G 5 hedefi belirlemiş olsun. Bu varsayımla Doğaşehir vergi problemini formüle edin. 2. Dev bir alışveriş merkezi müşteri çekmek için özel etkinlikler düzenlemektedir. Genç, orta yaşlı ve yaşı 60 ın üzerinde olan müşterilere çok cazip gelen iki etkinlik, sergiler ve konserlerdir. Bir serginin ve sevilen bir pop şarkıcısının konserinin maliyeti sırasıyla 1500 pb ve 3000 pb dir. Bu iki etkinliğe ayrılan toplam kesinleşmiş bütçe 15000 pb dir. Alışveriş merkezi yöneticisi etkinlikleri izleyenlerin sayısının aşağıdaki gibi olacağının tahmin etmektedir: Etkinlik başına izleyici sayısı Etkinlik Genç Orta yaşlı 60 yaş üzeri Konser 200 100 0 Sergi 0 400 250 Yönetici minimum izleyici sayısı hedeflerini genç, orta yaşlı ve yaşlılar için sırasıyla 1000, 1200 ve 800 olarak belirlemiştir. Problemi hedef programlama problemi olarak formüle edin. 3. Bir üniversitenin yüksek lisans kayıt komisyonu yeni akademik yıl için (1.sınıf) başvuruları değerlendirmektedir. Başvurular üç grupta toplanmaktadır: Aynı üniversitenin diğer bölümlerinden başvurular, yurt için Deki üniversitelerden başvurular ve yurt dışındaki üniversitelerden başvurular.aynı üniversitenin diğer bölümlerinden başvuranlar ve yurt içindeki üniversitelerden başvurularda erkek-kız öğrenci oranı 1:1 ve 3:2 dir.yurt dışındaki üniversitelerden başvurular için erkek-kız öğrenci oranı 8:1 dir.öğrencilerin LES sınavı puanları yüksek lisansa girişte önemli rol oynamaktadır. Üniversitede tarafından yapılan istatistikler aynı üniversitenin diğer bölümlerinden, yurt içindeki üniversitelerden ve yurt dışındaki üniversitelerden yüksek lisans için başvuruda bulunan öğrencilerin ortalama LES puanlarının 27,26 ve 23 olduğunu göstermektedir. Sınav komisyonu yeni kayıtlar için istenen hedefleri aşağıdaki gibi belirlemiştir: a)toplam öğrenci sayısı en az 1200 dür. b)tüm öğrenciler için ortalama LES puanı en az 25 olmalıdır. c)yurt dışındaki üniversitelerden başvuran öğrencilerin oranı en az %10 olmalıdır. d)kız-erkek öğrenci oranı en az 1:1 olmalıdır. e)yurt içindeki üniversitelerden başvuruda bulunan öğrencilerin oranı en az %20 olmak zorundadır.

Bu problemi hedef programlama problemi olarak formüle edin. 4. Kaya çiftliğinin günlük yem gereksinimi 3 tondur. Kireç taşı, mısır ve soya fasulyesinin karışımı olan bu yem aşağıdaki besin gereksinimlerini karşılamak zorundadır: Kalsiyum: en az %0.08,en fazla %1.2 Protein: en az %22 Lif: en az %5 Aşağıdaki tablo yemin besin içeriğini vermektedir. İçeriklerin kg başına ağırlıkları(kg) İçerik Kalsiyum Protein Lif Kireçtaşı 0.380 0.00 0.00 Mısır 0.001 0.09 0.02 Soya Unu 0.002 0.5 0.08 Problemi hedef programla modeli olarak formüle edin ve burada hedef programlamanın uygunluğu konusundaki görüşünüzü belirtin. 5.OYOTO firması, son montajı dört tekerlekle iki koltuktan oluşan oyuncak otomobilleri üretmektedir. Fabrika parçaları günde üç vardiya çalışarak üretmektedir. Aşağıdaki tablo üç vardiyada üretilen parça miktarlarını göstermektedir. Parti başına üretilen miktar Vardiya Tekerlek Koltuk 1 500 300 2 600 280 3 640 360 İdeal durumda, üretilen tekerlek sayısı koltuk sayısının tam iki katıdır.(her oyuncağın dört tekerlek ve iki koltuktan oluştuğunu hatırlayın.)bununla birlikte, üretim hızları vardiyadan vardiyaya değiştiğinden üretimin tam olarak dengelenmesi mümkün olmayabilir. OYOTO, her vardiyada parçaların üretimindeki dengesizlikleri minimum kılacak parti miktarlarının belirlenmesiyle ilgilenmektedir. Kapasite limitleri parti miktarlarını 1.vardiya için 4 ve 5;2.vardiya için 10 ve 20; 3.vardiya içinse 3 ve 5 ile kısıtlamaktadır. Bu problemi hedef programlama model olarak formüle edin. 6.Bir imalat firması torna ve pres kullanımı gerektiren dört parça üretmektedir. İki makine günde 10 saat çalışmaktadır. Aşağıdaki tablo her parça için gerekli zamanları dakika cinsinden vermektedir: Parça Torna Pres 1 5 3 2 6 2 3 4 6 4 7 4 İki makinenin kullanımının dengelenmesi istendiğinden, makinelerin toplam çalışma zamanları arasındaki farkın 30 dakikayı geçmemesi koşulu getirilmiştir. Pazardaki talep her parçadan üretilecek miktarı en az 10 birimle sınırlandırmaktadır. Ek olarak,1.parçanın sayısı 2.parçanın sayısını geçemeyebilir. Problemi hedef programlama modeli olarak formüle edin. 7.İki ürün sırayla iki makinede imal edilmektedir. Aşağıdaki tablo iki ürün için birim başına makinelerdeki işlem zamanlarını vermektedir.

Makine 1.ürün 2.ürün 1 5 3 2 6 2 İki ürün için günlük üretim kotası 80 ve 60 birimdir. Her makine bir günde 8 saat çalışmaktadır. İstenmemekle birlikte fazla mesai üretim Kotalarını doldurmak için gerektiğinde kullanılabilir. Problemi hedef programlama modeli olarak formüle edin. 8. Şehir hastanesi, halihazırda boş olan fazla yatakları, kısa süre yatacak hastalara 4 gün öncesinden tahsis etmeyi planlamaktadır. 4 günlük planlama periyodu süresince yaklaşık 35, 25 ve 20 hastanın sırasıyla 1,2 ve 3 gün hastanede kalması gerekecektir. Aynı periyotta yatakların sayısı 20, 20, 24 ve 30 dur. Hedef programlamayı kullanarak, hastanenin kapasitesinin üstünde ve altında hasta kabul etmesi problemine çözüm getirin. 9. Adapazarı nda oturan Bay ve Bayan Genç, Ankara dan aldıkları iş tekliflerini kabul ederek Ankara ya taşınmaya karar vermişlerdir. Yeni evleri için ideal semti bulmak amacıyla aşağıdaki listeyi yapmışlardır: a) Ev, Bayan Genç in işyerine olabildiğince yakın olmalıdır ( 1 km içerisinde) 4 b) Havaalanı gürültüsünden olabildiğince uzak olmalıdır (en az 10 km) c) Alış veriş merkezlerinden birbirine makul bir uzaklıkta olmalıdır ( 1 km civarında) Problemin çözüm hazırlığında, Bay ve Bayan Genç iş, havaalanı ve alış veriş merkezi x ve y koordinatlarını (1, 1), (20, 15) ve (4, 7) olarak belirlemişlerdir. Problemi hedef programlama olarak formüle edin. (Sonuç koordinatlarının doğrusal olmaları gerekmez. ) 10 Ragresyon analizi: Bir laboratuar deneyinde, y i nin İ. bağımlı gözlem değişkeni, X ij nin de bağımsız gözlem değişkenleri olduğunu varsayın: İ=1, 2,,m; J=1, 2,, n, regrasyon katsayıları olsun. Öyle b j değerleri belirlemek gerekiyor ki, gözlemlenen ve tahmin edilen değerler arasındaki mutlak sapmaların toplamı minimum olsun. Problemi hedef programlama modeli olarak formüle edin. 11 Chebyshev problemi: 10. Problemdeki regrasyon modelinin alternetif hedefi, mutlak sapmaların maksimumunu b j üzerinden minimum kılmaktır. Problemi hedef programlama modeli olarak formüle edin. 8.3 HEDEF PROGRAMLAMA ALGORİTMALARI Burada hedef programlama probleminin çözümü için iki algoritma anlatılacaktır. Her iki yöntemde çok sayıda amaç fonksiyonunun tek bir amaç fonksiyonu gibi temsil edilmesine dayanır. Ağırlıklandırma yönteminde, tek bir amaç fonksiyonu, problemin hedeflerini temsil eden fonksiyonların ağırlıklandırılmış toplamı haline getirilir. Öncelik koruma yöntemi, önem derecelerine göre hedeflerin önceliklendirilmesiyle başlar. Model daha sonra, yüksek öncelikli hedefin optimum değerinin düşük öncelikli hedef tarafından kötüleştirilmesine izin verilmeyecek şekilde, her seferinde bir hedefi optimum kılar.

Önerilen iki yöntem aynı çözümü üretmez, bu bakımdan birbirinden farklıdır. Bununla birlikte, yöntemlerden her biri belirli karar verme tercihlerini karşılamak için tasarlanmış olduğundan, ikisinden herhangi birinin daha üstün olduğu ileri sürülemez. 8.3.1 Ağırlıklandırma Yöntemi n hedefli hedef programlama modelinin i. hedefinin aşağıdaki gibi verildiğini varsayalım: min. G i, İ=1, 2,, n Ağırlıklandırma yönteminde kullanılan birleştirilmiş amaç fonksiyonu Min.z=w 1G 1 w 2G 2 w ng n şeklinde tanımlanır. Burada w i, İ=1, 2,, n, her bir hedefin göreceli önemi ile ilgili kararvericinin tercihlerini yansıtan pozitif ağırlıklardır. Örneğin tüm İ ler için w i=1, bütün hedeflerin eşit ağırlık taşıdığını gösterir. Bu ağırlıkların özgül değerlerinin belirlenmesi öznel bir konudur. Nitekim literatürde geliştirilmiş olan karmaşık görünüşlü analitik prosedürler de (örneğin Cohen, 1978),her zaman özel değerlendirmeleri temel almıştır. Örnek 8.3.1 Reklam evi, 10 çalışanı olan yeni bir reklam ajansıdır. Ajans yeni bir ürünün reklam kampanyasını üstenmiştir. Ajans reklam kampanyasını radyo ve televizyon aracılığı ile yapabilmektedir. Aşağıdaki tablo, her bir reklam türü (Tv ya da radyo reklamı) ile ulaşılacak insan sayısını, ayrıca maliyeti ve işgücü gereksinimlerini göstermektedir. Reklam dakikası başına veri Radyo Tv Ulaşılan kişi sayısı (milyon) 4 8 Maliyet (1000pb) 8 24 Gereken çalışan sayısı 1 2 Reklam evinin firmayla yaptığı sözleşmede radyo reklamını 6 dakikadan uzun olmayacağı şeklinde bir madde bulunmaktadır. Buna ek olarak radyo televizyon reklamının en az 45 milyon kişiye ulaşması istenmektedir. Reklam evi bu kampanya için 100000 pb lik bütçe ayırmıştır. Reklam evi radyo ve televizyonda kaçar dakikalık reklam yapmalıdır? X 1 ve X 2 radyo ve televizyon reklamlarına ayrılan dakikalar olsun. Bu problem için hedef programlama modeli aşağıdaki gibi verilir: Min.G 1=S 1 (Ulaşılan kişi hedefini karşılama) Min.G 2=S 2 - (Bütçe hedefi karşılama) 4x 1 8x 2 S 1 - S 1- =45 (Ulaşılan kişi hedefi) 8x 1 24x 2 S 2 - S 2- =100 (Bütçe hedefi) x 1 2x 2 10 (Çalışan kısıtı) x 1 6 (Radyo kısıtı) x 1, x 2, - S 1, S 1-, S 2,S 2 0 Reklam evi yöneticileri, ulaşılan kişi sayısı hedefinin bütçe hedefinden iki kat önemli olduğunu düşünmektedir. Böylece, birleştirilmiş amaç fonksiyonu

Min.Z=2G 1 G 2=2S 1 S 2 - haline gelir. TORA yla bulunan çözüm, Z=10 x 1=5dk, x 2=2.5dk, S 1 =5 milyon kişi şeklindedir. Kalan bütün değerleri sıfırdır. Z nin optimum değerinin sıfır olmaması, en azından bir hedefin karşılanmaması anlamına gelir. Bu problem S 1 =5 şeklindeki çözüm, ulaşılan kişi sayısı hedefinin (en az 45 milyon kişi) 5 milyon kişiyle tutturulamaması demektir. Ama bütçe hedefi (100000 pb nin aşılamaması) ihlal edilmemiştir, çünkü S 2- =0 dir. Hedef programlama probleme sadece etkin çözümler bulur, bunların mutlaka optimum çözümler olması gerekmez. Örneğin, x 1=6 dakika, x 2=2 dakika olduğunda ulaşılan kişi sayısı (4*68*2=40 milyon kişi); fakat maliyet daha düşüktür (8*624*2=96000 pb). Temelinde doğrulayacak bir çözüm bulmaktır. Optimum çözüme ulaşmadaki bu yetersizliği, hedef programlamanın bir optimizasyon tekniği olarak uygulanabilirliği konusunda sorular uyandırmaktadır. (Daha ayrıntılı bir tartışma için bkz. Örnek8.3-3). Problem kümesi 8.3a 1. Problem 8.2a-1 deki Doğaşehir vergi durumunu ele alın. Problemi bütün hedeflerin aynı ağırlığa sahip varsayarak çözün. Tüm hedeflere ulaşıp ulaşamadığını söyleyin. 2. Problem 8.2a-2 de orta yaşlıları alışveriş merkezlerine çekme hedefinin diğer iki hedef kitleninkinden( genç ve yaşlılar) iki kat daha önemli olduğunu varsayın. Bu duruma uygun çözümü bularak tüm hedeflere ulaşıp ulaşamadığını söyleyin. 3. Problem 8.2a-3 teki üniversitede yüksek lisansa kayıt kabulü için toplam öğrenci sayısı kısıtının mutlaka sağlanması gerektiğini, fakat bunun dışındaki diğer gereksinimlerin esnek hedefler gibi düşünülebileceğini varsayın. Dahası, LES puanı hedefini ağırlığının diğer tüm hedeflerden iki kat fazla olduğunu varsayın. (a) Problemi çözün ve tüm hedeflere ulaşılıp ulaşılmadığını söyleyin. (b) Ek olarak, toplam öğrenci sayısı kısıtının esnek hedef gibi düşünüldüğünü ve LES puanı kısıtı gibi ağırlığının iki katı fazla olduğunu dikkate alarak bu değişikliğin çözümü nasıl etkilendiğini söyleyin. 4. Problem 8.2a-4 teki Demirkaya Çiftliğinde tüm besi gereksinimlerini karşılamak olası mıdır? 5. Problem 8.2a-5 teki çözümü bulun ve tekerleklerle dengelenip dengelenmeyeceğini söyleyin. 6. Problem 8.2a-6 da Pazar talebi hedefinin iki makinenin dengelenmesinden iki kat daha önemli olduğunu ve fazla mesaiye izin verilmediğini varsayın. Problemi çözün ve hedeflere ulaşılıp ulaşılmadığını belirleyin. 7. Problem 8.2a-7 de, iki ürün için üretim kotasının gereğinden fazla mesai yapılarak mutlaka karşılanması gereğini varsayın. Probleme bir çözüm bulun ve üretim kotasını karşılamak için gereken tabi gerekiyorsa fazla mesai miktarını belirleyin. 8. Problem 8.2a-8 deki hastane probleminde, sadece yatak limitlerinin esnek olarak ele alınabileceğini ve tüm hedeflerin eşit ağırlıklara sahip olduğunu varsayın. Bütün hedeflere ulaşılabilir mi, söyleyin.

9. Bir banka, gelir, yaş, eğitim( üniversite lisans, yüksek lisans, doktora gibi derecelerin alınması için geçen zaman) ve deneyim arasındaki ilişkiyi incelemek üzere, beş müşterinin dosyasından aşağıdaki tabloyu derlemiştir. Yaş Eğitim (Yıl) Deneyim (Yıl) Yıllık Gelir (pb) 30 4 5 40000 39 5 10 48000 44 2 14 38000 48 0 18 36000 37 3 9 41000 Problem 8.2a-10 daki hedef programlama formülasyonunu kullanarak verileri y =b 0b 1x 1b 2x 2b 3x 3 doğrusal denklemine uygun hale getirin. 10. 9. problemi, Problem 8.2a-11 de önerilen Chebyshev yöntemiyle çözün. ÖNCELİĞİ KORUMA YÖNTEMİ Önceliği koruma yönteminde, problemin n sayıda hedefi, karar vericinin değerlendirmesine göre önem sırasına sokulur ve bu, ming 1=p 1 (en yüksek öncelik) ming n=p n (en düşük öncelik) - şeklinde ifade edilir. P i değişkeni i. Hedefi tanımlayan s i veya s i sapma değişkenlerinin bir bileşenidir. - Örneğin; Reklam evi modelinde p 1 = s i ve p 2 = s i dir. Çözüm prosedürü, en yüksek öncelikli G 1 hedefiyle başlayıp en düşük öncelikli G n hedefiyle bitirerek her seferde tek hedefli bir problemi çözer. Süreç öyle gerçekleştirilir ki, düşük öncelikli bir hedefle elde edilen çözüm, yüksek öncelikli hedefler için daha önce bulunmuş çözümleri kötüleştirmez. Bunun anlamı şudur: Tüm i>=1 ler için z(g i) verilen G i hedefinin optimum amaç değeriyse, düşük hadeflerin G j (j>i) optimizasyonu z(g i) değerini kötüleştirecek bir değer üretemez. Hedef programlama literatürü, yüksek öncelikli çözümleri kötüleştirmeyi sağlayan özel bir simpleks yöntem sunmaktadır. Bu yöntem, sütun eleme kuralı denen ve G k1 hedefi optimum kılınmadan önce G k nin optimum tablosundan z j c j =değildir 0 olan x j temeldışı değişkenini elemeyi gerektiren bir kural kullanır. Bu kural, izleyen hedeflerin optimizasyonunda sıfır düzeyinin üzerine çıkıldığında yüksek öncelikli hedefin kalitesini kötüleştirebilecek (ama hiçbir zaman geliştirmeyecek) bazı temel dışı değişkenler saptar. Prosedür, simpleks tablonun modeldeki tüm hedeflere ait amaç fonksiyonlarını taşıyacak şekilde değiştirilmesini gerektirir. Ne yazık ki, önerilen simpleks yöntem değişikliği hedef programlamayı gerçekte olduğundan daha da karmaşık hale getirir. Burada biz daha basit bir şekilde aynı sonuçların alınabileceğini göstereceğiz. 0. Adım Modelin hedeflerini tanımla ve öncelik sırasına göre sırala: G 1 = p 1 > G 2=p 2>.>G n=p n.i =1 olarak belirle. 1. Adım G i yi minimum kılacak i. Doğrusal programlama modelini çöz ve p i sapma değişkeninin optimum değerini p i = p i * olarak belirle. İ = n ise dur; n. Doğrusal programlama modeli, n hedefli programı çözer. Aksi halde, p i nin ileride kötüleştirilmemesini garantilemek için p i = p i * kısıtını G i probleminin kısıtlarına ekle i =i1 olarak belirle. Ve i. Adımı tekrar et. Arka arkaya p i = p i * özel kısıtlarının eklenmesi, kuramsal bakımdan sütun eleme kuralı kadar zarif olmayabilir. Ama tam tamına aynı sonucu verir. Daha önemlisi, anlaşılması daha kolaydır.

Sütun ekleme kuralının hesaplama avantajları olduğunu ileri sürenler çıkabilir. Aslında, sütun eleme kuralı değişkenleri çıkararak problemi gitgide küçültür.buna karşılık bizim önerdiğimiz prosedür, yeni kısıtlar ekleyerek problemi büyütür. Bununla birlikte, ek kısıtların (p i = p i* ) yapısını göz önüne alarak simpleks algoritmada değişiklik yapabilir ve p i değişkenini doğrudan yerine koyarak ek kısıtı örtük biçimde uygulayabiliriz. Bu değişiklik sadece p i değişkeninin bulunduğu kısıtı etkiler ve aslında biz bir * * hedeften diğerine ilerledikçe değişkenlerin sayısı azalır. (p i = p i eşitliğini p i < p i ile değiştirerek sınırlandırılmış simpleks yöntemi de kullanabiliriz.) Böyle bakıldığında, sütun eleme kuralının, kuramsal çekiciliği dışında hesaplama açısından özel bir avantajı yok gibi görünüyor. Bununla birlikte, bütünlük sağlamak için sütun eleme kuralının nasıl uygulandığını örneklerle göstereceğiz. 2.doğrusal programlamanın optimizasyonu gerekli değildir, çünkü G 1 probleminin optimum çözümü - s 2 =0 olur. Bu yüzden 1.doğrusal programlamanın çözümü kendiliğinden 2.doğrusal programlamanın optimumu olur. (Bu cevabı 2.doğrusal programlamayı TORA yla çözerek doğru olduğunu gösterin!) Çözüm s 2- =0, G 2 nin karşılandığını göstermektedir. Ek kısıt s 1 =5, ilk kısıtta s 1 nın yerine konmasıyla hesaba katılabilir. Sonuç, ulaşılan kişi sayısı hedefinin sağ tarafına 45 ten 50 ye değişmesidir. Bu da 2,doğrusal programlamayı şu şekle getirir: Min G 2=s - 2-4x 1 8x 2 s 1 = 40 (Ulaşılan kişi sayısı hedefi) 8x 1 24x 2 s 2 = 100 (Bütçe hedefi) X 1 2x 2 10 (Çalışan kısıtı) X 1 6 (Radyo kısıtı) X 1,x 2,s - 1-,s 2,s 2 >=0 Yeni formülasyon 1.doğrusal programlamadakinden bir değişken daha azdır ve bu düşünce sütun eleme kuralında ifade edilenle aynıdır. Bundan sonraki örneğimiz, önceliği koruma yönteminin hedeflere ulaşmak yerine amaçları optimum kılmak için kullanılması durumunda Örnek 8.3-1 ve 8.3-2 deki problemlere daha iyi bir çözüm bulunabileceğini gösterecektir. Örnek ayrıca, hedef programlama modelinin çözümü için sütun eleme kuralını açıklamamıza da yardımcı olacaktır. Örnek 8.3-3. Örnek 8.3-1 in hedefleri yeniden oluşturulursa, 1.öncelik : Ulaşılan kişi sayısını maksimum kıl (P 1) 2.öncelik : Maliyeti minimum kıl(p 2) elde edilir. Matematik olarak iki amaç maks. P 1=4x 1 8x 2 (Ulaşılan kişi sayısı) min. P 2=8x 1 24x 2 (Maliyet) şeklinde gösterilir. Örnek 8.3-1 ve 8.3-2 deki ulaşılan kişi sayısı ve maliyet için belirgin hedef limitleri (45 ve 100) modelden çıkarılır, çünkü bu limitleri optimum olarak belirlemek için simpleks yöntem kullanılacaktır. Böylece yeni problem aşağıdaki gibi oluşturulur: Maks. P 1=4x 1 8x 2 Min.P 2=8x 1 24x 2 x 1 2x 2 <=10

x 1 <=6 x 1, x 2>=0 Önce Örnek 8.3-2 de açıklanan prosedürü kullanarak problemi çözeriz. 1.adım 1.doğrusal programlama modelini çöz. Maks. P 1=4x 1 8x 2 x 1 2x 2 <=10 x 1 <=6 x 1, x 2>=0 TORA yla bulunan optimum çözüm x 1=0, x 2=5 ve P 1=40 olup, ulaşılan maksimum kişi sayısını 40 milyon olarak alabileceğimizi gösterir. 2.adım G 1 hedefinin kötüleştirilmemesini sağlamak için 4x 1 8x 2 >=40 kısıtını modele ekle. Böylece 2.doğrusal programlama şu şekli alır: Min. P 2= 8x 1 24x 2 x 1 2x 2 <=10 x 1 <=6 4x 1 8x 2 >=40 (Ek kısıt) x 1, x 2>=0 2.doğrusal programlamanın TORA yla bulunan optimum çözümü P 2=96000 pb, x 1=6 dakika ve x 2=2dakikadır. Bu yöntemle aynı sayıda kişiye (P 1=40milyon) daha düşük maliyetle ulaşılır. Hedeflerin optimum kılınmasıyla bulunan bu çözüm, sadece hedeflere ulaşmaya çalışan Örnek 8.3-2 deki çözüme göre çok daha iyidir. Biz aynı problemi sütun eleme kuralıyla çözebiliriz. Kural, aşağıda görüleceği gibi simpleks tablodaki tüm hedeflere ait amaç satırlarını ister. 1.doğrusal programlama (ulaşılan kişi sayısının maksimum kılınması): 1.doğrusal programlamanın simpleks tablosu her iki amaç satırını, hem P 1 i hem P 2 yi gösterir. Optimumluk durumu sadece P 1 amaç satırına uygulanır.p 2 satırı 1.doğrusal programlamada pasif bir rol oynar. Fakat 2.doğrusal programlamanın optimizasyonu için hazırlanan simpleks tablonun geri kalanı güncelleştirilmelidir. 1.doğrusal programlama iki yinelemede aşağıdaki gibi çözülür: Temel X1 X2 S1 S2 Çözüm P1-4 -8 0 0 0 P2-8 -24 0 0 0 S1 1 2 1 0 10 S2 1 0 0 1 6 P1 0 0 4 0 40 P2 4 0 12 0 120 X1 1\2 1 1\2 0 5 X2 1 0 0 1 6 Son tablo,x1=0, X2=5, ve P1=40 optimum çözümünü verir. Sütun eleme kuralı, doğrusal programlama optimum kılınmadan önce, doğrusal programlamanın optimum tablosundan zj-c j=0 olan X j temel dışı değişkenini elemek ister. Bunu yapmasının nedeni, bu değişkenlerin, kontrol edilememeleri durumunda düşük öncelikli optimizasyon

problemlerinde pozitif olabilmeleri, böylelikle de yüksek öncelikli çözümlerin kalitesini düşürmeleridir. 2. doğrusal programlama (maliyetin minimum kılınması):sütun eleme kuralı S1 i(zj-cj=4) elimine eder. P2 satırındaki görüleceği gibi, S1,elenmediği taktirde P2 yinelemelerinin başlangıcında giren değişken olacak ve x1=x2=0optimum çözümünü vererekp1probleminin optimum amaç değerini P1=40 tan P1=0 a kötüleştirecektir.(deneyin) P2 problemi minimizasyon problemidir. S1 in elenmesi üzerine, zj-cj=4(>0)olan X1 değişkeni P2 yi iyileştirir. Aşağıdaki tablo2. Doğrusal programlama yinelemesini göstermektedir.p1 satırı, 2. Dogrusal programlamanın amacına artık hizmet etmediği için silinmiştir. Yineleme Temel X1 X2 S1 S2 Çözüm P1 40 1 P2 4 0 0 120 X2 1\2 1 0 5 S2 1 0 1 6 P1 40 2 P2 0 0-4 96 X2 0 0-1 /2 2 X1 1 0 1 6 Optimum çözüm, ulaşılan toplam kişi sayısının P1=40, toplam maliyeti P2=96 olarak veren X1=6, X2=2 değerleridir. Bu değerler daha önce bulunan değerlerin aynıdır. Problem kümesi8-3.b 1. Örnek 8-3.2 deki bütçe hedefinin 110000 pb ye çıkarıldığını varsayın. Ulaşılan kişi sayısı hedefi 45milyon olarak kalır. Önceliği koruma yöntemiyle nasıl çözüme ulaşıldığını gösterin. 2. Problem 8.2a-1 i (Doğaşehir vergi modeli ) hedefler için aşağıdaki öncelik sırasını kullanarak çözün:g1-g2-g3-g4 3. Dev bir alışveriş merkezinde konser ve segiler gibi etkinliklerin düzenlenmesiyle ilgili Problem 8.2a-2 yi ele alarak gençler orta yaşlılar ve 60 yaş üzerindekiler için hedeflerin sırasıyla G1,G2,G3diye gösterildiğini varsayın. Problemleri aşağıdaki öncelik sıraları için ayrı ayrı çözün. a-g1-g2-g3. b-g3-g2-g1 Hedeflere ulaşmanın (veya ulaşamamanın)öncelik sırasının bir fonksiyonu olduğunu gösterin. 4. Önceliği koruma yöntemini kullanarak ve hedeflerin problemdeki aynı öncelik sırasına sahip olduğunu varsayarak üniversite modelini (Problem 8.2a-3)çözün KAYNAK Taha, H.A. Yöneylem araştırması (Baray Ş.A. ve Esnaf Ş. 6.Basımdan çeviri) 2005 Literatür Yayıncılık, İstanbul