BÖLÜM 1: MADDESEL NOKTANIN KİNEMATİĞİ 1.1. Giriş Kinematik, daha öncede vurgulandığı üzere, harekete sebep olan veya hareketin bir sonucu olarak ortaya çıkan kuvvetleri dikkate almadan cisimlerin hareketini tanımlayan dinamiğin koludur. Bu nedenle, kinematik genellikle hareketin geometrisi olarak ifade edilir. Tam bir kinematik bilgisi hareket ve harekete sebep olan veya eşlik eden kuvvetler arasındaki ilişkilerin incelendiği kinetik için ön şarttır. Bir maddesel nokta, en genel halde, doğrusal ya da eğrisel bir yörünge üzerinde hareket edebilir. Bu bölümde, ilk olarak, maddesel nokta hareketi kinematiğine giriş için doğrusal hareket incelenecektir. Hareketin kinematiğini, maddesel noktanın verilen herhangi bir andaki konum, hız ve ivmesinin belirlenmesi olarak tanımlayabiliriz. 1.2. Doğrusal Hareket Şekil 1.1 de bir doğru boyunca hareket eden bir maddesel noktanın hareketini dikkate alalım. Bu maddesel nokta herhangi bir t anında P noktasında bulunsun. O halde bu parçacığın konumu aynı doğru üzerindeki uygun sabit bir O referans noktasından ölçülen s mesafesi ile belirlenebilir. t +Δt anında parçacığın P' noktasına hareket etmekte ve konumu s +Δs olmaktadır. Δt zamanı boyunca parçacığın konumundaki değişim Δs yer değişimi olarak adlandırılır. Maddesel nokta O referans noktasının soluna yani negatif s yönünde hareket ediyor ise yer değiştirme negatif olacaktır. - s t anı t +Δt anı O P P' + s s Δs Şekil 1.1 1
Hız Δt süresi boyunca parçacın ortalama hızı, yer değiştirmenin zaman aralığına bölümüdür yani v ort = Δs / Δt. Δt giderek sıfıra yaklaştığında ( ), cismin ortalama hızı cismin anlık hızına yaklaşır bunu aşağıdaki gibi ifade edebiliriz: Bundan dolayı hız, yer değiştirme koordinatı s nin zamana göre değişme oranıdır (yani zamana göre türevidir). İvme Δt süresi boyunca parçacın ortalama ivmesi, hızın zaman aralığına bölümüdür yani a ort = Δv/Δt. Δt azalıp limit sıfıra yaklaşırken ( ), cismin ortalama ivmesi cismin anlık ivmesine yaklaşır bunu aşağıdaki gibi ifade edebiliriz: İvme, hızın artmasına veya azalmasına bağlı olarak pozitif veya negatif değerler alabilir. Maddesel nokta yavaşlıyor ise ivmesi negatiftir. Ancak, maddesel noktanın azalmakta olan negatif hıza sahip olması durumunda, maddesel noktanın ivmesinin pozitif olacağına dikkat ediniz. Hız ve ivme, bir sonraki konuda ele alacağımız eğrisel harekette göreceğimiz gibi, aslında vektörel büyüklüklerdir. Ancak, doğrusal harekette, hareketin doğrultusun da herhangi bir değişimi söz konusu değildir yalnızca hız ve ivmenin büyüklüğü değişir, bu yüzden vektörel gösterime ihtiyaç yoktur ve yalnızca skaler olarak işlem yapılabilir. Hareket doğrultusunda meydana gelebilecek yön değişimleri eksi ve artı işaretleri ile tanımlanır. 1.1 ve 1.2 denklemleri arasında dt yok edilerek, yer değiştirme, hız ve ivme için diferansiyel bir denklem elde edebiliriz: 2
1.1, 1.2 ve 1.3 denklemleri maddesel noktanın doğrusal hareketini temsil eden diferansiyel denklemlerdir. Hareket değişkenlerindeki sonlu değişimleri içeren doğrusal hareket problemleri bu temel diferansiyel denklemlerin integrasyonu ile çözülür. Hatırlatma: Doğrusal hareketi temsil eden diferansiyel denklemler Doğrusal hareketi temsil eden diferansiyel denklemleri daha iyi yorumlayabilmek için konum, hız, ivme ve zaman arasındaki ilişkilerin grafik olarak gösteriminin verildiği Şekil 1.2 yi incelemek yaralı olacaktır. Şekil 1.2a da bir doğrusal hareketin konum-zaman (s - t) grafiği verilmiştir. Herhangi bir t anında s - t eğrisine teğet çizerek o andaki hızı elde edebiliriz. Bu şekilde hız, eğrinin bütün noktalarında belirlenebilir ve Şekil 1.2b de gösterildiği gibi zamana göre çizilebilir. Benzer şekilde, v - t eğrisinin herhangi bir anındaki eğimi o andaki a ivmeyi verir ve buna bağlı olarak a - t eğrisi Şekil 1.2c deki gibi çizilebilir. Şekil 1.3b de dt süresince v - t eğrisi altında kalan alanın ds yer değişimine eşit olduğunu gözlemleyebiliriz (Denklem 1.1 den, ). Benzer şekilde, Şekil 1.2c den dt süresince a-t eğrisini altındaki alanın dv ye eşit olduğunu görüyoruz (Denklem 1.1 den, ). 3
Bir diğer gözlemimiz ise, Şekil 1.2d de ds yer değiştirmesi süresince a-s eğrisinin altında kalsan alanın Denklem 1.3 den v dv ye eşit olduğudur. (a) (b) (c) (d) Şekil 1.2 4
1.2.1. Doğrusal Hareket Türleri İvme a; hız v, konum s ve zaman t arasında ilişki aşağıdaki şekillerde verilmiş olabilir: Sabit ivme (a = sabit) verilebilir. İvme zamanın fonksiyonu olarak a = f (t) verilebilir. İvme hızın fonksiyonu olarak a = f (v) verilebilir. İvme konumun fonksiyonu a = f (s) verilebilir. I. Sabit ivme, a = sabit a sabit olduğunda, 1.2 ve 1.3 denklemleri doğrudan integre edilebilir 1 : Denklem 1.4 Denklem 1.1 de yerine yazılıursa: bağıntısı elde edilir. 1 0 alt indisi başlangıç büyüklüğünü ifade etmektedir. 5
II. Zamanın fonksiyonu olarak verilen ivme, a = f (t) İvmenin zamanın fonksiyonu olması durumunda Denklem 1.2, şeklini alır. Zamanın fonksiyonu olarak integre edilen v (t) bağıntısı Denklem 1.1 de yerine yazılırsa s konum koordinatı için, elde edilir. III. Hızın fonksiyonu olarak verilen ivme, a = f (v) İvme hızın bir fonksiyonu olarak verilmiş ise a = f (v) fonksiyonu Denklem 1.3 de yerine yazılırsa s konum koordinatı için, elde edilir. Bu denklemin, t ile belirli bir ilgisi olmadan, v cinsinden s yi verdiğine dikkat ediniz. IV. Konumun fonksiyonu olarak verilen ivme, a = f (s) Bu durumda a = f (s) fonksiyonu Denklem 1.3 de yerine yazılırsa s konum koordinatı için, elde edilir. 6
Örnek 1.1 7
Örnek 1.2 8
Örnek 1.3 s 9
Örnek 1.4 10
1.3. Düzlemde Eğrisel Hareket Bu bölümde, maddesel noktanın, tek bir düzlemde yer alan eğrisel bir yörünge boyunca olan hareketini yani 2-Boyutlu eğrisel hareketi inceleyeceğiz. Mühendislik uygulamalarında karşılaşılan maddesel nokta hareketinin büyük bir çoğunluğu düzlemsel hareket olarak gösterilebilir. Hatırlatma Doğrusal hareket ile ilgili kinematik incelemelerde hareketin doğrultusunda herhangi bir değişim meydana gelmediği için yalnızca skalar büyüklükler kullanılabilir. Ancak, eğrisel harekette hareketin doğrultusunda değişim olduğu için hız ve ivmenin de doğrultusunda değişim meydana gelecektir. Bu yüzden eğrisel hareket ile ilgili yapılacak kinematik incelemelerde vektörel büyüklüklerin kullanılması zaruridir. A noktasında yer alan bir maddesel noktanın, yol fonksiyonu (veya yörüngesi) s ile tanımlanan düzlemsel eğri boyunca hareketini göz önüne alalım (Şekil 1.3a). O sabit noktasından ölçülen maddesel noktanın konumu, konum vektörü r = r ( t ) ile belirtilir. Maddesel noktanın konum vektörü, eğri üzerinde hareket ettikçe büyüklüğü ve yönü değiştiği için zamanın bir fonksiyonudur. Küçük bir Δt zaman aralığında maddesel noktanın eğri üzerinde Δs yolunu alarak konumu r' = r + Δr ile tanımlanan A' noktasına geldiğini varsayalım. Δr yer değiştirmesi, maddesl noktanın konumundaki değişimi gösterir ve vektör farkı ile belirlenir, yani Δr = r' - r dir. (a) (b) (c) Şekil 1.3 11
Hatırlatma Maddesel nokta yörünge boyunca, A konumundan A' konumuna hareket ederken kat ettiği gerçek mesafe, yörünge boyunca ölçülen skaler Δs uzunluğudur. Bu nedenle, Δr yer değiştirme vektörü ile skaler Δs mesafesi birbirinden farklıdır. Hız Maddesel noktanın A ve A' noktaları arasındaki ortalama hızı v ort = Δr / Δt olarak tanımlanır. Maddesel noktanın anlık hızı, Δt sıfıra yaklaşırken ortamla hızın limit değeri olarak tanımlanır. (1.11) Hatırlatma Bir vektörün türevi, hem şiddeti hemde doğrultusu olan yine bir vektördür. Şekil 1.3a da, Δt sıfıra yaklaşırken, Δr nin doğrultusunun yörüngenin A noktasındaki teğetine yaklaştığını kolaylıkla gözlemleyebiliriz. Bu nedenle (hızın doğrultusu, yer değişimi ile aynı olacağı için) hız her zaman yörüngeye teğettir. Hızın şiddeti olarak tanımlanan v nin büyüklüğü ( v = v ), Δr yer değiştirmesinin büyüklüğünün ( Δr = Δr ) A ile A' birleştiren doğru parçasının uzunluğu olduğuna dikkat ederek, elde edilebilir. Şekil 1.3a da, Δr uzunluğu Δt 0 iken Δs yay uzunluğuna yaklaştığını görüyoruz. O halde, sürat olarak adlandırılan hızın büyüklüğü için; (1.12) elde edilir. Böylece, hızın şiddeti (sürat), s yol fonksiyonu zaman göre elde edildiğini görüyoruz. 12
Hatırlatma Hız ( v ) Vektörel büyüklük Sürat ( v ) Skaler büyüklük Şekil 1.3b ve c incelediğimzde açık bir şekilde, Δt süresince hızda vektörel bir değişim bulunduğunu görebiliriz. A noktasındaki v hızı ile Δv değişiminin vektörel toplamı, A' noktasındaki hıza eşittir. Yine, Şekil 1.3c bize, Δv nin, v nin hem büyüklüğündeki hem de doğrultusundaki değişime bağlı olduğunu açıkça göstermektedir. İvme Maddesel nokta, t zamanında v hızına ve t + Δt zamanıda ise v' = v + Δv hızına sahip ise maddesel noktanın ortalama ivmesi a ort = Δv / Δt olarak tanımlanır. Maddesel noktanın anlık ivmesi ise, zaman aralığı sıfıra yaklaşırken ortamla ivmenin limit değeri olarak tanımlanmaktadır. (1.13) Δt aralığı çok küçülüp sıfıra yaklaşırken, Δv değişiminin doğrultusu dv diferansiyel değişiminin dolayısıyla da a nın doğrultusuna yaklaşır. Bu nedenle, a ivmesi v hızının hem büyüklüğündeki hem de doğrultusundaki değişim etkilerini içermektedir. Hatırlatma a ivme vektörü v hız vektörünün hem büyüklüğündeki hem de doğrultusundaki değişim etkilerini içerir. 13
(a) Şekil 1.4 (b) İvme ile hız arasındaki Denklem 1.13 ile ilişkiyi daha iyi anlayabilmek için, Şekil 1.4 de inceleyelim. Şekil 1.4a da maddesel noktanın yörüngesi üzerinde üç keyfi konuma karşılık gelen vektörleri ve her konum vektörüne karşılık gelen yörüngeye teğet hız vektörleri gösterilmiştir. Bu hız vektörlerini yönü ve doğrultusu değiştirilmeden herhangi bir C noktasına taşıyalım (Şekil 1.4b). Başlangıç noktası C olan bu hız vektörlerinin uçlarını kesen bir eğri çizelim. Hız vektörlerinin uçlarının geometrik yeri olarak tanımlayacağımız bu eğriye hodograf adı verilir ve hız vektörlerinin türevleri (yani ivme vektörleri) bu eğriye teğet olacaktır. Ayrıca, Şekil 1.4 den, hızın konum vektörü ile ivenin ise hız ile ilgili olduğunu da görmekteyiz. Hatırlatma Hız vektörü ( İvme vektörü ( ) her zaman yörüngeye teğettir. ) her zaman hodografa teğettir. 1.3.1. Kartezyen (Dik) Koordinatlar ( x y ) Bu koordinat sistemi, özellikle ivmenin x ve y bileşenlerinin birbirinden bağımsız olduğu atış (ya da mermi) hareketi gibi problemlerin tanımlanmasında oldukça kullanışlıdır. Ortaya çıkan eğrisel hareket, konum, hız ve ivme vektörlerinin x ve y bileşenlerinin vektörel toplamları ile elde edilir. 14
Şekil 1.5 Şekil 1.5 de, Maddesel Noktanın, r konum, v hız ve a ivme vektörleri x ve y bileşenleri cinsinden gösterilmiştir. i ve j birim vektörler olmak üzere konum, hız ve ivmeyi x ve y bileşenleri cinsinden (1.14a) (1.14b) (1.14c) şeklinde yazılabilir. Hatırlatma Üzeri noktalı ( gibi) ifadeler zamana göre türevi göstermek için kullanılır. Hatırlatma Kartezyen koordinatlarda, birim vektörlerin (i ve j) şiddetlerinin yanında yönleri de sabit kaldığı, değişmediği için, zamana göreve türevleri sıfırdır. Daha öncede vurgulandığı gibi, hızı doğrultusu yörüngeye daima teğettir ve Şekil 1.5 den de açıkça görüldüğü gibi, 15
olmaktadır. Atış (Mermi) Hareketi Düzlemsel ( 2 - Boyutlu ) eğrisel hareketin en önemli uygulamalarından bir tanesi artış hareketidir. Atış hareketinde, ivme daima düşey doğrultuda olduğu için çoğunlukla dik bileşenler cinsinden yani kartezyen koordinatlarda inceleme yapılır. Kinematik analizde yer alan kavramları açıklamak için, yerçekimi ivmesinin sabit kabul edildiği, hava direncinin ihmal edildiği bir ortamda, bir merminin hareketini göz önüne alalım (Şekil 1.6). Hava direnci ihmal edildiğinde, mermiye etki eden tek kuvvet, merminin yaklaşık g = 9.81 m/s 2 lik aşağı yönlü sabit bir ivme kazanmasına neden olan ağırlığıdır. Buna göre ivme bileşenleri aşağıdaki gibidir; (1.15a) (1.15b) Şekil 1.6 16
Daha öncede belittiğimiz gibi, mermi hareketinin x ve y bileşenleri birbirinden bağımsız ve doğrusaldır. Bu nedenle, 1.4-1.6 numaralı sabit ivme denklemleri uygulanabilir. Yatay Hareket (a x = 0) ( +) (1.16a) (1.16b) DüşeyHareket (a y = -g) ( +) (1.17a) (1.17b) (1.17c) v x ve v y bileşenleri elde edildikten sonra, yörüngeye daima teğet olan v bileşke hızı, v x ve v y hızlarının vektörel toplamına eşittir. 17
Örnek 1.5 18
Örnek 1.6 19
Örnek 1.7 20
Örnek 1.8 21
1.3.2. Normal ve Teğetsel Koordinatlar ( n - t ) 22