Yöeim, Yıl: 7, Sayı: 55, Ekim 6 DİNAMİK PORFÖY SEÇİMİ ve BİR UYGULAMA Dr. Mehme HORASANLI İsabul Üiversiesi İşleme Fakülesi Sayısal Yöemler Aabilim Dalı Bu çalışmada, Li ve Ng ( arafıda aaliik çözümü üreile opimal porföy sraejisii uygulamada kullaımı üzeride durulmakadır. Ayı zamada, Isabul Mekul Kıymeler Borsası verileri kullaılarak oralamavaryas eki sıırı elde edilmekedir. So olarak Markowiz modeli ile göz öüe alıa modeli risk ve beklee geiri paramerelerie ekisi karşılaşırılarak araşırılmışır. Aahar Sözcükler: Diamik programlama, Diamik Porföy Seçimi, Çok Döemli Oralama-Varyas Porföy Seçimi DYNAMIC PORFOLIO SELECION ad a APPLICAION his paper focuses o he usage of aalyical opimal porfolio policy ad he aalyical expressio of he meavariace efficie froier derived by Li ad Ng ( for he muliperiod mea-variace formulaio. he muliperiod opimal porfolio policy is obaied by usig he Isabul Sock Exchage daa. Fially, he impac of he model o he risk ad reur parameers compared o Markowiz s sigle period model is aalyzed. Key Words: Dyamic Programmig, Dyamic Porfolio Selecio, Muliperiod Mea-Variace Porfolio Selecio 5
GİRİŞ. İLGİLİ ÇALIŞMALAR Porföy seçimi, varlığı belirli yaırım araçları arasıda e uygu biçimde dağıılması olarak adladırılabilir. Porföy seçimi Harry Markowiz i 95 yılıda gelişirdiği oralama-varyas formülasyou (Markowiz,95,s.77-9 ile durağa porföy seçimi problemii çözümü içi emel oluşurmuş ve moder fias eorisii de başlagıcı ve diğer bir çok eorii de dayaak okası olarak kabul edilmişir (Yao,Zhag ve Zhou,,s.79. Markowiz ile birlike risk kavramı, bir varlığı beklee geiri oraıı sadar sapması veya varyası olarak aımlamaya başlamışır (Alay,,s.. Markowiz, bu çalışması ile birlike, yapıla yaırımı beklee geirisi maksimize edilirke, riski çeşiledirme yoluyla düşük uulmasıı sağlamış ve bu sayede uzu yıllar bir çok araşırmacıı ilgisii çekmiş ve bu çalışması ile 99 yılı Nobel ödülüe layık görülmüşür (Pedro,998,s:. Markowiz arafıda emelleri aıla Moder Porföy eorisi ek periyolu bir yaırım sürecii göz öüe almakadır. Markowiz modeli de yaırımcı ilgili periyo içi opimal yaırım sraejisii belirleyerek, döem soua kadar porföy ağırlıklarıda hiçbir değişiklike bulumamakadır. Bu ise modeli e büyük eksikliği olarak belirilebilir. Markowiz i ek döemli modeli ile seçile porföy ağırlıklarıı zama içeriside sabi kalıp kalmayacağı veya çok döemli opimum yaırım kararları ile ek döemli yaırım kararları arasıdaki ilişkii varlığı yaırımcılar arafıda sıklıkla sorgulamışır (Oberuc,,s:9. Markowiz oralama-varyas porföy seçimi, fias eoriside bu kadar öemli bir yere sahip olmasıa rağme, uzu vadeli yaırım hedefleye yaırımcıları aleplerii karşılayamaması ve işlem maliyelerii göz öüde buludurmaması sebebiyle diamik porföy seçimi problemlerie cevap verememekedir. Bu çalışmada, porföy seçimi problemii e şekilde diamik hale döüşürülebileceği İsabul Mekul Kıymeler Borsası verileri kullaılarak göserilmeye çalışılacakır. Bu okada diamik porföy seçimii geirdiği faydaları araşırılması hedeflemekedir. Ele alıa modelleri ürkiye piyasalarıa uyguluğuu irdelemesi amaçlamakadır. Buu yaıda, Markowiz modeli ile de porföy seçimi yapılarak bu sayede ileride gözöüe alıacak modeller ile karşılaşırma imkaı sağlamakadır. Bir soraki adımda, porföy seçimi problemii diamik hale döüşürülmesi ile yaırım kararlarıda meydaa gelecek değişiklikler ve bu değişiklikleri yaırım periyodu souda beklee geiri ve risk paramerelerie ekileri sorgulamakadır. 6 Diamik porföy seçimi üzerie yapıla ilk çalışmalarda, ek periyolu porföy seçimi problemii döem sayısıı arırılarak yaırım ufkuu geişleilmesi üzerie yoğulaşılmışır. Çok döemli porföy seçim problemii aaliik olarak çözümü üzerie yapıla çalışmaları birçoğuda araç olarak diamik programlama kullaılmışır. Durağa porföy seçimi problemii aalizi ile yola çıka Mossi(968, döemsel geiri oraıı emel alarak diamik programlama yaklaşımı ile modeli çok döemli porföy seçimi problemie uyarlamışır. Mossi, çok döemli porföy seçimi problemide modeli doğru bir biçimde kurulabilmesi içi yaırımcıı döemsel oplam varlığıı göz öüde buludurulması gerekliliğii vurgulamışır. Belirli bir varlık mikarıı farklı hisse seelerie yaırılması ile başlaya süreçe ikici döemde geçerli olacak porföy sraejisi gerçekleşe varlık seviyesi göz öüde buludurularak kararlaşırılmakadır. Ayı zamada, her bir porföy sraejisi dizisii bir öceki döemde alıa yaırım kararı ve gelecekeki olasılık dağılımlarıa bağlı olduğuu alıı çizmekedir. So döeme ulaşılması ile birlike porföy sraejisi, klasik ek döemli oralamavaryas porföy seçim modeli ile elde edilmekedir. Farklı periyolardaki döemsel geiri oralarıı isaisiksel olarak bağımsız olması ve işlem maliyelerii göz ardı edilmesi halide, süreç geriye doğru çalışırılarak ilk döem içi opimum porföy sraejisi elde edilmekedir. Çok döemli oralama-varyas porföy seçimi modelii formülasyou ve çözümü kousuda Samuelso(969, kişileri uzu vadede bekledikleri faydayı maksimize edecek biçimde yaırım ve harcama kararlarıı modellemişir. Samuelso, buluula okada büü bir haya boyu harcama ve yaırım içi verilecek kararları uzu vadede riski arırıcı herhagi bir ekisi bulumadığıı gösermişir. Daha sora bu çalışma Mero(969 arafıda sürekli-zamalı ükeim ve yaırım kararlarıı alıabildiği biçimde gelişirilmişir. Samuelso arafıda gelişirile çok döemli yaklaşımda, ardışık olarak her döem içi yaırım ve ükeim kararlarıı alıabildiği sokasik programlama problemi üreilmişir. Model opimal kararları başlagıç yaırımıı bir foksiyou biçimide elde edilmesie olaak sağlamakadır. Oluşurula model çözülerek her döem içi riskli ve risksiz varlığa e kadar yaırım yapılacağı ve her döem içi opimum ükeim mikarı elde edilebilmekedir. Che, Je ve Zios(97 değişe iç ve dış fakörlere bağlı olarak porföy ağırlıklarıı döemsel olarak yeide gözde geçirildiği bir yaklaşım oraya koymuşlardır. Her bir döem piyasaya yei bilgii
ulaşması ile so bulmakadır. Modeli işlerliği, yei bilgii maliyeii olmaması ve işlem maliyelerii sıfır olması varsayımlarıa dayamakadır. Yazarlara göre porföy ağırlıklarıı değişirilmesie, gözde geçirmei marjial faydası gözde geçirmei marjial maliyeie eşi olucaya dek devam edilebilmekedir. Durağa porföy seçimide olduğu gibi, çok döemli porföy seçimide de işlem maliyelerii opimum porföy sraejisii belirlemeside büyük ekileri olmakadır. Dumas ve Luciao(99 arafıda gerçekleşirile çalışmada işlem maliyelerii opimum çözüme ekileri irdelemişir. Bu çalışmada belirli bir okaya kadar elideki varlığı harcamaya bir yaırımcı göz öüe alımışır. Yaırımcı o okaya ulaşıldığıda elideki üm varlığı yaırım kararlarıa döüşürerek beklee faydayı maksimize emekedir. ükeimi gecikirilerek porföy sraejisie döüşürülmesii erelemeside emel hedef, mümkü olduğuda durağa bir yaırım kararı elde emedir. Ayı zamada çalışmada sürekli- zamalı model içi de çözüm öerisi gelişirilerek her iki durumda meydaa gele yaırım kararları karşılaşırılmakadır. Çok döemli oralama-varyas porföy seçimi kousuda yapıla bir diğer çalışmada Elo ve Gruber(97, çok döemli geiri oralarıı beklee faydasıı gelecekeki çok döemli geiri oralarıı geomerik oralaması ile karşılaşırmışlardır. Yie belirli bir okada yaırımcıı beklee faydasıı maksimize edilmesi hedeflemiş ve geirileri belirli bir dağılıma bağlı olarak değişiği ve değişmediği durumlar içi beklee fayda icelemişir. Opimalliği elde edilebilmesi içi geomerik oralamaı maksimum değeri ile ihai varlığı beklee faydasıı birbirie yakısaması gerekliliği soucua ulaşılmışır. Hakasso(97 ise durağa oralama-varyas porföy seçimii çok döemli oralama-varyas porföy seçimie geişleilmesii, herhagi bir yaırımcıı çok döemli beklee oralama bileşik geiri oraıı maksimize emek isemesi halide bu amaç ile uarlı ek bir vo Neuma-Morgeser fayda foksiyouu buluduğuu ispalayarak geelleşirmişir. Elde edile fayda foksiyou mooo ara olmakla birlike, ek periyolu yaklaşımda oralama-varyas eki bir porföy oluşurmamakadır. Hakasso çalışmasıda riski dağıılmasıı çok döemli opimum souca ulaşmada bir zorululuk olduğuu vurgulamışır. So olarak Li ve Ng( yie diamik programlama yaklaşımıı kullaarak ve döemsel geiri oralarıı isaisiksel olarak bağımsız olduğu varsayımı alıda çok döemli oralama-varyas porföy seçimi problemi içi bir aaliik çözüm elde emiş ve eki sıır elde edilmişir. Li ve Ng, oralama-varyas formulasyouu çözümü daha kolay ola bir yardımcı probleme döüşürerek her bir döem içi opimum porföy sraejisii elde emekedir. Öcelikle riskli varlıklarda oluşa porföy göz öüe alıırke, porföye risksiz varlığı da eklemesi ile birlike problem daha geelleşirilmiş bir hale döüşmekedir. Bu çalışma kapsamıda da Li ve Ng arafıda gelişirile diamik programlama yaklaşımı beimseeceğide modeli ayrııları akip ede bölümlerde açıklaacakır.. MODELİN OLUŞURULMASI Çok döemli porföy seçimide emel amaç yaırımcıı uzu vadede yaırımda beklediği faydayı maksimize edecek yaırım sraejisi dizisii belirlemekir. Başka bir deyişle, döemsel olarak her bir hisse seedide elde e kadar buludurulacağıı hesaplamasıdır. Eldeki varlığı döemsel olarak hisse seelerie aamasıda modeli yaklaşımı, yaırımcıı alepleri doğrulusuda, varyası miimize edilmesi, beklee geirii maksimize edilmesi veya beklee geiri oraı ve varyası lieer kombiasyouu maksimize edilmesi olarak üç farklı biçimde ele alıabilmekedir (Li ve Ng,,s.88. Bu bölümde çok döemli oralama-varyas formülasyou açıklaarak modeli ek periyolu durağa Markowiz oralama-varyas porföy seçim modeli ile karşılaşırılması üzeride durulacakır. Bu amaçla (+ riskli hisse seedide oluşa bir sermaye piyasası göz öüe alıarak, her bir hisse seedii döemsel geiri oraıı rassal olduğu varsayılmakadır. Başlagıç varlığı x olarak kabul edilerek (+ riskli hisse seedie aaacakır. Mevcu varlık birbirii akip ede (- döem süresice (+ hisse seedie kararlaşırıla porföy sraejisi uyarıca dağıılacakır. Belirile (+ ade hisse seedii periyodik geiri oraı, i e i.ici hisse seedi içi aıda rassal geiri [ ] oraı olmak üzere e e,e, L, e biçimide aımlamakadır. Döemsel geiri oraı, her bir hisse seedii göz öüe alıa döem içerisideki oralama geirisie karşılık gelmekedir. Hisse seelerii döemsel oralama geirileri birbiride bağımsız olmak E( e E(e,E(e, L,E( e olarak üzere [ ] göserilebilir. Bezer biçimde kovaryas marisi aşağıdaki gibi aımlamakadır. σ, L σ, Cov( e M O M ( σ, L σ, 7
Kovaryas mariside yer ala σ, ifadesi ile aıda ici hisse seedii kedi fiya harekeleride kayaklaa değişimi, başka bir deyişle varyası göserilmekedir. x,.ici döemi başlagıcıda yaırımcıı oplam varlığı olmak üzere, ;i,, L, i.ici hisse seedie.ici u i döemi başlagıcıda yaırıla varlığı mikarıı emsil emekedir. ade hisse seedie ayrıla varlık mikarı böylelikle aımlamış olmakadır. Sıfır ideksi ile aımlaa diğer hisse seedie.ici döem başlagıcıda ayrıla mikar ise, u x u ( i i şeklide aımlaır. Çok döemli oralama-varyas porföy seçimi ile araa, u [ u,u, L,u ] ;,,,, L aımlaa yaırım sraejisidir. Bu yaırım sraejisi iki farklı maemaiksel formda göserilebilir. (i Birici formda, varyas ( Var(x öcede belirlee bir seviyeyi geçmeyecek biçimde ihai varlığı beklee değerii ( E(x maksimize edilmesi söz kousudur. Model aşağıdaki gibi aımlaabilir. { } Problem(σ : max E(x Var( x σ i i i + + i i Pu L x eu x u e ile ex+,,,, ( (ii İkici formda, ihai varlığı beklee değeri ( E(x öcede belirlee belirli bir seviyede daha küçük olmayacak biçimde ihai varlığı varyasıı ( Var(x miimize edilmesi söz kousudur. Model aşağıdaki gibi aımlaabilir. { } Problem( : mi Var( x E( x x eu x u e i i i + + i i ex+ Pu,,, L, ( Her iki durumda da P simgesi ile göserile vekör, risksiz faiz oraıı aşa geiri oraıı emsil emekedir ve aşağıdaki gibi aımlaır. L L P P,P,,P (e e,(e e,,(e e (5 Bu okada, E( ee Cov( e + E( e E( e özelliği dikkae alıarak E( e e marisi hesaplaabilir. Her döem boyuca poziif semi-defiilik koşulu göz öüde buludurulmalıdır. Poziif semi-defiilik aşağıda belirildiği biçimde aımlaabilir. E(( e E( ee L E( ee E( ee E(( e E( ee E( L ee ;,, L, L L L L E( ee E( ee L E(( e (6 (5 ve (6 umaralı eşilikler bir arada düşüülecek olursa (6 eşiliği aşağıdaki gibi düzeleebilir. Bu ise E( P P soucua varmamıza yol açacakır. E((e E(e P E(e P E( PP L L L E( ee ( L,, L, LLLL LLLL L L (7 E( P P marisi ek döemli durağa porföy seçimide yer ala kovaryas marisii çok döemli diamik porföy seçimideki karşılığıdır ve zama içeriside hisse seelerii birbirie bağımlı değişimlerii emsil emekedir. Yie (7 eşiliğii sol arafı dikkae alıarak, başka bir deyişle, burada görüle marisi deermiaı alıarak aşağıda verile souca ulaşmak mümkü olacakır. E(( e E( e P E ( PP E( e P >,, L, (8 Problemi ( veya ( gibi iki farklı formda verilmesii yaırımcı açısıda e öemli faydası, ihai varlığı beklee değerii maksimize edilmek isediği durumlarda yaırımcıı karşılayabileceği varyas seviyesii belirlemesi veya riski miimize edilmek isediği durumlarda yaırımcıı beklediği geiri seviyesii espi edilmesie olaak sağlamasıdır. 8
Yaırımcı açısıda, modeli fayda maksimizasyou yerie bu şekilde kurulması daha kolaydır ve yaırımcıı amacıı daha subjekif olarak karşılamasıı sağlamakadır. Acak bahsedile formlar dışıda çok döemli oralama-varyas porföy seçim modeli yaırımcıı beklediği faydayı maksimize edecek biçimde aşağıda belirile formda da kurulabilir. { } E( w: max E( x wvar( x x e x + Pu,, L, + (9 Her üç modeli de opimum çözümü çok döemli bir porföy sraejisidir ve her döem başıda alıması gereke yaırım kararları dizisii emsil emekedir. Çok döemli porföy sraejisi aşağıdaki gibi aımlaabilir. { μ, μ, μ, L, μ } μ μ μ μ μ μ μ μ,,, L, M M M M μ μ μ μ ( Başka bir deyişle, ici döem başıda mevcu varlığı (x o döem boyuca geçerli olacak porföy kararıa ( karşılık gele yaırım sraejisidir. μ u μ (x u μ (x M M u μ (x ( Herhagi bir çok döemli porföy sraejisii ( eki olabilmesi içi, E(x E(x veya Var(x Var(x koşullarıda e az bir aesii kesi olarak sağlaya bir porföy sraejisi var olmamalıdır. ( ile verile problemde yer ala σ veya ( ile verile problemde yer ala paramereleri içi değişik değerler verilerek eki sıırı elde edilmesi mümkü olacakır. (9 ile verile modeldeki w parameresi riske kaçıma kasayısıı emsil emekedir. Yukarıda bahsedile eki porföy sraejisi (9 ile verile problemi çözdüğü gibi, σ Var(x kısıı alıda ( ile verile problemi ve E(x kısıı alıda ( ile verile problemi çözmekedir. w parameresi ile 9 emsil edile riske kaçıma kasayısı aşağıdaki gibi aımlamakadır. E(x w ( Var(x Riske kaçıma kasayısı, ihai varlığı beklee değerii ihai varlığı varyasıa göre kısmi ürevi alıarak elde edildiğide dolayı, bir alamda yaırımcıı riske karşı duyarlılığıı gösermekedir. Başka bir ifadeyle, yaırımcıı bir birim riske daha kalamak içi beklediği ek geiri oraı olarak da adladırılabilir. Dolayısıyla, yaırımcı hakkıda bu bilgii ediilebildiği durumlarda çok döemli oralama-varyas porföy seçimi problemii opimum çözümü, (9 ile verile problemi çözülmesi eiceside elde edilebilecekir. Bu çalışma kapsamıda problemi opimal çözümüde çok uygulamadaki ekileri göz öüe alıacağıda (9 problemii opimal çözümü EK- de açıklamakadır.. VERİLER ve MODELİN ES EDİLMESİ ümü riskli varlıklarda oluşa porföy seçimie örek olarak kullaıla beklee geiri ve kovaryas marisi verileri, İMKB de işlem göre hisse seeleride Akbak(A, Garai(B, Migros(C ve üpraş(d ı..999-.. arihleri arasıda gülük kapaış fiyalarıda yola çıkılarak elde edilmişir. Başlagıça yaırımcıı bir birim varlığı olduğuu varsayarak öümüzdeki dör gü içeriside oluşacak ( opimum porföyleri elde edilmesi hedeflemekedir. Amaç yaırımcıı ihai varlığıı beklee değerii, porföy riski değerii aşmayacak biçimde maksimize emekir.( σ Her bir hisse seedii bahsedile döem içerisideki oralama geirisi sırasıyla, A B E(e,76, E(e, 566, E(e C,6 ve E(e D,679 olarak hesaplamışır. Belirile döem içi kovaryas marisi aşağıda verilmekedir., 75, 8 6., 7 8, 85,, 86, Cov( e ;,,,, 6,, 78, 997, 7, 86, 997, 699 Öreği yukarıda kovaryas mariside görüle,7 değeri A hisse seedi ile D hisse seedi arasıdaki kovaryas erimii belirmekedir. Başka bir deyişle bu değer, A hisse seedii fiya harekeleride meydaa gele değişimi, D hisse seedii fiya harekeleride kayaklaa kısmı olarak yorumlaabilir. E düşük oralama geiri oraıa sahip ola hisse seedii baz kabul ederek geiri vekörü aşağıdaki gibi oluşurulur. Öreği geiri vekörüü
birici bileşei; A hisse seedii beklee geiriside, baz hisse olarak seçile C hisse seedii beklee geirisii çıkarılması ile elde edilecekir. E( P A C B C D C [ e e ;e e ;e e ] [,6 ;, ;,],,, P vekörü kullaılarak E( P P E( P P marisi elde edilebilir. marisi ek döemli durağa porföy seçimide yer ala kovaryas marisii çok döemli diamik porföy seçimideki karşılığıdır ve zama içeriside hisse seelerii birbirie bağımlı değişimlerii emsil emekedir. e e E( PP E e e e e e e e e A C B C A C B C D C ( D C e e E ee e e A A C A B A C A D A C ( e e e ee ee ee ee C B C C D C C + ( e ee + ( e ee + ( e A B A C B B C B D B C ee ee ( e e e ee ee B C C ( C C D C + + ( e e + ( e ee ee ee ee ( e e e D C C C D C e ( ( C e + e e e + e + ( e, 6, 78, 7, 78, 57, 5 ;,,,, 7, 5, 9 Yukarıda açıklaa hesaplamalar gerçekleşirilirke E( e e Cov( e + E( E( bağıısı göz C A C C B C C D C C E(e P E e e e e e e e e e, 9, 79, 5,,,, A D A C B D B C D D C e e öüde buludurulmalıdır. Bezer biçimde vekörü aşağıdaki gibi elde edilir. ( ( ( [ ] E(e C P Döemsel olarak opimum porföyü ve eki sıırı elde edilebilmesi içi μ, ν, τ ve a, b, c paramerelerii hesaplaması gerekmekedir. Bu amaçla ilk öce B, A, A, B ve B paramereleri elde edilmelidir. ( ve ( deklemleri ile aımlaa A, A paramereleri, ( deklemi ile aımlaa B ile birlike yaırımcıı varlık mikarıda meydaa gele değişimi simgelemekedir. Yukarıda sıralaa paramereler, herbir döem içi yaırımcıı döem sou varlığıı kalaılacak risk seviyesi göz öüe alıarak ilgili döemde varlık mikarıı maksimize edecek biçimde yaırım sraejisii belirlemeside kullaılmakadır. Dolayısıyla her bir döem içi ilgili opimum yaırım sraejisii elde edilmesi, ardışık olarak ( veya ( deklem akımı ile aımlaa problemi diamik programlama aracılığıyla çözümlemesi ile mümkü olmakadır. Diamik programlama ile her döem souda elde edile opimum yaırım sraejisi eiceside yaırımcıı elde edeceği ihai varlık, bir soraki döemde yei yaırım sraejisii belirlemede kullaılmakadır. B E( P E ( P P E( P [, 6,, ] 598, 78 67, 7 6, 6, 6 67, 7, 8 8, 7,, 689 6, 6 8, 7 79, 86, A E(e E( P E ( PP E(e P C C, 6 [ 775,, 77, 9, 6 ], 79, 5, 8 A E( e E( e P E ( PP E( e P C C C, 7, 7, 6 A A Hesaplaa ve paramereleri büü döemler B B içi birbirie eşiir. Acak ayı durum ve içi geçerli değildir. Dolayısıyla, bu paramereleri her bir döem içi ayrı ayrı hesaplaması gerekmekedir. ( k+ ( k+ k k, içi B B A / A,, B (,8 (,689 (,6 içi,869 (,8 B (,689,895 (,6 (,8 içi B (,689, 8 (,6
içi B (,689(,5, 85 B Bezer biçimde parameresi de aşağıdaki gibi elde edilebilecekir. İfadeleri zamaa bağlı olması, her bir döem souda elde edile aki akımlarıı bugüe idirgemesi olarak yorumlaabilir. ( ( B B A / A,, k+ k k+ k, içi (,8 B (,689 (,6 içi (,8 B (,689 (,6 içi (,8 B (,689 (,6 içi B (,689 (,5,,5,7, ν + Ak B Ak B Ak B k+ k k + + Ak B Ak B k k 8 869 8 895 (, (, + (, (, + (, 8 (, 8 + (, 85, 6 ν,6 a ν (,6 μν (,(,6 b a (,67,5 c τ μ ab, (, (, (,, 85,67 67 5 Verile problem içi oralama-varyas eki sıır aşağıdaki biçimde elde edilebilecekir. Ek olarak döem sayısıı arırılması ile birlike eki sıırda meydaa gele değişimleri icelemesi de mümküdür. Var(x ( a / ν [ E(x ( μ + bνx ] E(x ( μ + bν x ( 67 ( 6 Var( x, /, + cx ( 5 6 E(x, + (, (, +, 85 ( 5 6 E( x, + (, (, A A B B B,,, ve paramerelerii elde edilmesi ile birlike μ, ν, τ ve a, b, c paramereleri aşağıdaki biçimde hesaplaabilir. Yukarıda sıralaa paramereler sırasıyla (6 ve (7 deklemleri ışığıda, yaırımcı sraejisi soucu elde edilecek beklee geiri ve kalaılacak risk paramerelerii hesaplamasıda kullaılır. Dikka edilecek olursa her iki deklem de yaırımcıı riske karşı uumuu simgeleye w parameresii içermekedir. Gerekli sadeleşirmeler gerçekleşirildiği akdirde eki sıır elde edilmiş olur. Böylece yaırımcı, belirli bir risk seviyeside elde edebileceği e yüksek geiri oraıı veya belirli bir geiri seviyeside elde edebileceği e düşük riski hesaplayabilecekir. Var(x 7,66 E(x [ E(x,7],7 +,85 μ A A A A A (,8, Şimdi eki sıırı grafik üzeride gösermeye çalışalım. Grafike y-eksei ihai varlığı beklee değerii emsil ederke x-eksei varyası emsil emekedir. τ A A A A A (,6,
Geir Eki Sıır.9.8.7.6.5.........5.6.7.8.9 Risk Şekil : Riskli Varlıklar Oralama-Varyas Eki sıır ( Eki sıırı elde edilmesi ile birlike sadece her bir döem içi opimal porföy sraejisii belirlemesi kalmakadır. Opimal porföy sraejisii belirlemesi ile birlike, döemsel olarak her bir varlıka hagi mikarda elde buludurulacağı belirlemiş olur. u K x + v, 99 C K E ( PP E(e P, 97,,,,, 689 ν A k v (bx + E ( PP E( P,,,, wa k+ Ak Hesaplaa K vekörü büü döemler içi sabiir. Acak ayı durum v vekörü içi geçerli değildir. Dolayısıyla her bir döem içi ayrı ayrı hesaplaması gerekmekedir. Her bir döem içi ayrı ayrı hesaplaa opimal porföy sraejisi aşağıda verilmekedir., 5, v, 98, v, 959, 7, 78 7, 75, 679, 58 v, 9677, v, 985 7, 77 7, 797 Yukarıda verile vekörler her bir döem içi sırasıyla Akbak, Garai ve üpraş hisse seelerie yaırıla varlık mikarlarıdır. üpraş içi verile mikarı egaif olması açığa saışı varolduğuu gösermekedir. Açığa saış eiceside elde edile varlık, diğer hisse seelerii fiase emede kullaılmakadır. Açığa saış mikarı içi herhagi bir kısılama bulumamakadır. Başlagıça baz hisse olarak seçile Migros içi ayrıla varlık mikarı ise yie her bir döem içi ( i x u bağıısı kullaılarak elde edilebilecekir. Bu bağıı, Migros hisse seedi içi yapılacak yaırımı başlagıç varlığı ile açığa saış eiceside elde edile oplam varlıka diğer seelere yapıla yaırımı çıkarılması ile elde edilebileceğii söylemekedir. Buu yaıda çok döemli porföy sraejisii uygulaması eiceside karşılaşıla beklee geiri ve varyas değeri aşağıdaki biçimde hesaplamakadır. ν E( x ( μ + b ν x + wa (, + (, 5 (, 6, 6 +, ( (, 67 ν Var( x + cx aw (, 6 +, 85 (, 67 (, 9 Zae haırlaacak olursa problem formulasyouda amaç yaırımcıı ihai varlığıı beklee değerii, risk değerii aşmayacak biçimde maksimize emeki. Yukarıda elde edile Var(x değeri bir alamda yapıla işlemleri ve elde edile paramereleri doğrulamakadır.
SONUÇ ve YORUMLAR Bu çalışma kapsamıda, porföy seçimi problemii e şekilde diamik hale döüşürülebileceği İsabul Mekul Kıymeler Borsası verileri kullaılarak göserilmeye çalışılmışır. Yukarıda, v vekörü ile aımlaa döemsel opimal porföy sraejisi gülük kapaış fiyalarıda yola çıkılarak hesapladığıda, ilgili işlem güüü akip ede dör gü içi alıacak opimal yaırım sraejisii belirmekedir. v vekörü ile verile poziif değerler ilgili yaırım aracıa belirile mikar kadar varlığı yaırıldığıı göserirke, egaif değerler ilgili yaırım aracıda belirile mikar kadar açığa saış olduğua işare emekedir. Açığa saış eiceside elde edile varlık, başlagıç varlığı ola bir para birimie ekleerek da görüle porföy sraejisi oluşurulmakadır. Öreği, v vekörüde yer ala,5 değeri başlagıç aşamasıda Akbak hisse seedie yaırılması gereke mikarı emsil ederke,,98 değeri Garai hisse seedie yaırılması gereke varlık mikarıı gösermekedir. Acak dikka edilecek olursa, yaırımcıı başlagıça elide bir birim varlık bulumakadır. Dolayısıyla, ilgili hisse seelerie yapılacak yaırım diğer hisse seelerii açığa saışıda elde edilecekir. üpraş hisse seedi içi hesaplaa değeri -7.78 olması, bu mikarda açığa saışı olacağıı belirmekedir. Buu yaıda v vekörüde baz hisse olarak seçile Migros a ayrılacak varlık mikarı ile ilgili herhagi bir bilgi bulumamakadır. Acak bu mikar, başlagıç yaırımıa açığa saış eiceside elde edile varlık ekleip, diğer hisse seelerie yapıla oplam yaırım çıkarılarak hesaplaabilir. Bu durumda Migros hisse seedi içi -7,56 değeri elde edilir. Bu ise Migros hisse seedide de ilgili mikarda varlığı açığa saışıı gerçekleşirileceğii belirmekedir. Dikka edilecek olursa meo, beklee geirisi düşük hisse seelerii açığa saışıda elde eiği varlığı, geirisi daha yüksek ola diğer hisse seelerie yaırmaka, böylelikle de daha yüksek beklee geiri elde edilmekedir. Bilidiği gibi İsabul Mekul Kıymeler Borsası da açığa saış işlemie izi verilmemekedir. Bu durumda modeli içerisie risksiz varlık da ekleerek, hisse seedi açığa saışı yerie, bakada borçlaarak fiasma yolua gidilebilecekir. So olarak ele alıa modeli risk ve geiri paramereleri, Markowiz modeli ile hesaplaa souçlar ile karşılaşırılabilir. Çok döemli opimal porföy sraejisii beklee geirisi, olarak hesaplaırke, porföy riski olarak elde edilmekedir. Dolayısıyla yaırımcıı başlagıça elide bulua birim varlık, yaırım döemi souda, değerie çıkmakadır. Markowiz modeli ile ayı risk seviyeside gerçekleşirile hesaplama içi,75 soucu elde edilmekedir. İşlem maliyelerii çıkarılması ile birlike çok döemli opimal sraejisi soucu elde edile mikarda azalma olacağı açıkır. Acak yie de Markowiz modelide daha yüksek bir geiri elde edilmekedir. EK-: Modeli Aaliik Çözümüü Elde Edilmesi Problemi opimum çözümü içi başvurulacak yöem, çözümü kolaylaşırmak adıa bir yardımcı problem işa emekir. Yardımcı problem diamik programlama alamıda ayrılabilir olmalıdır. Primal problem E(w ile yardımcı problemi çözüm kümeleri arasıdaki ilişkiler kullaılarak, yardımcı problemi opimum çözümü araşırılacak ve yardımcı problemi opimum çözümü kullaılarak E(w i opimum çözümü elde edilecekir. Riske kaçıma kasayısı w i bir foksiyou olarak elde edile fayda foksiyouu maksimizasyou problemii(e(w opimum çözümleride oluşa çözüm kümesii E ( w ile göserelim. Ayrılabilir formdaki yardımcı problem aşağıdaki gibi aımlamakadır. ~ U(E(x, E(x E(x wvar(x E(x w{ E(x E (x } { E (x E(x } + + w E(x w ( U ~ foksiyouu E(x ve E(x i koveks bir foksiyou olduğu açıkır. (9 bağıısı ile verile, beklee faydaı maksimizasyou içi oluşurula yardımcı problem aşağıdaki biçimde aımlamakadır. { + λ } (A( λ,w: max E wx x x e x + Pu,,, L, + ( Bezer biçimde, ( A( λ, w problemii opimum çözümleride oluşa çözüm kümesi A ( λ, w ile göserilebilir. Yardımcı problemi opimum çözümüü elde edilmeside kullaılmak üzere fayda foksiyouu ihai varlığı beklee değerie göre kısmi ürevii d(, λ olarak aımlayalım. ~ U(E(x,E(x d(, λ E(x (5 + we(x eorem : (9 ile verile primal problemi opimum çözümü, ayı zamada ( ile verile
yardımcı problemi de opimum çözümüdür (Li ve Ng,,s:9. ( w (d(, w, w E İspa: Çelişki yaramak amacıyla A ( d(, w, w olduğuu varsayalım. Bu durumda aşağıdaki bağııyı sağlayacak bir çözümü buluabilir. E( x E( x w,d(,w > w,d(,w (6 E( x E( x Yukarıda belirile vekörel çarpımı (5 eşiliği ile birarada düşüülmesi eiceside riske kaçıma kasayısı aşağıdaki gibi elde edilir. ~ U(E(x,E(x w (7 E(x U ~ foksiyouu E(x ve E(x i koveks bir foksiyou olduğuda aşağıda verile özellik sağlaır. U(E( % x,e( x U(E(x %,E( x E( x E( x + w,d(,w E( x E( x (6 ve (8 bağıılarıı birleşirilmesi eiceside başlagıç varsayımı E ( w ile çelişki yaraa aşağıdaki souç elde edilir. ~ ~ U E(x, E(x > U E(x, E(x (9 ( ( ڤ Böylelikle çözülmesi güç beklee fayda maksimizasyou problemi, çözülebilir A( λ, w problemie döüşürülmüş olacakır. Yardımcı problemi çözüme ulaşırılabilmesi içi A( λ, w problemii çözümüü hagi koşullar alıda E(w içi opimal çok döemli porföy sraejisi oluşurduğuu belirlemesi gerekmekedir (Li ve Ng,,s:9. eorem :, yardımcı problemi bir opimum çözümü olsu ( A ( λ, w. Bu problemi ayı zamada primal problemi de opimum çözümü olabilmesi içi gerek koşul, λ ı aşağıda verile formda olmasıdır. λ + w E(x İspa: Verile herhagi bir riske kaçıma kasayısı(w içi A( λ, w problemi λ ı bir foksiyou olarak elde edilebilir. Diğer bir deyişle, A (8 A ( λ, w içerisideki her oka { E( x ( λ, w, E( x ( λ, w } biçimide λ ı bir foksiyou olarak yazılabilir. (9 problemii opimum çözüm kümesi ola E ( w, (9 problemii opimum çözüm kümesi ola A ( λ, w i al kümesi ( E ( w A ( λ, w olduğuda, (9 ile verile beklee faydaı maksimizasyou problemi aşağıda verile basi forma idirgeebilir. Max U(E % ( x( λ,w,e ( x ( λ, w λ Max E ( x ( λ,w wvar ( x( λ,w λ Max E( x( λ,w we x( λ,w E ( x( λ,w λ we ( x ( λ,w { we ( x ( λ,w E x ( λ, w } { ( } Max λ ( + + ( Opimal λ ı elde edilmesi amacıyla, λ ya göre kısmi ürevi alıması ile birlike birici derece opimallik koşulu elde edilmiş olur. E( x ( λ,w E( x( λ,w w we(x λ + + λ ( Diğer yada (5 eşiliği göz öüde buludurulması ile birlike ifadei so haliaşağıdaki gibi elde edilir.(reid ve Ciro,97,s:-8 E(x ( λ, w E(x ( λ, w w + λ λ λ ( Böylelikle, λ + we(x soucu elde edilmiş olur. ڤ Yukarıda ispalaa eoremler ışığıda opimal çok döemli oralama-varyas porföy sraejisii elde edilebilmesi içi ( ile verile yardımcı problemi çözümlemesi gerekmekedir. - ici döemde başlaya diamik programlama algoriması, x - içi aşağıdaki gibi aımlamakadır (Li ve Ng, 998, s:585-6. Max J ( u x Max wx + λx { } ( + Pu λ ( P e x + e x + u { we ( e x ( } + λe e x Max E w Max { } + λe( P wx E( e P u wu E( P P u ( problemi içi opimum porföy sraejisii buluabilmesi acak - ici döem içi porföy (
sraejisie göre (u - ürevii sıfıra eşileerek çözülmesi ile mümkü olacakır. dj (u du x ( ürev alma işlemii gerçekleşirilmesi ve deklemi u - değişkeii ifade edecek biçimde düzelemesi ile birlike - ici döem içi opimal porföy sraejisi aşağıdaki gibi elde edilir. ( λ ( u E P P E( P E e P x w (5 (5 ile elde edile opimum porföy sraejisii ( ile verile yaırımcıı beklee faydasıı aımladığı J - (x - foksiyouda yerie koulması ile birlike beklee faydaı maksimum değeri J -(x - aşağıdaki biçimde elde edilebilecekir. ( ( P ( P P ( P J (x w E e E e E E e x ( P ( P P ( P ( P ( P P ( P + λ E e E( E E e x + ( λ / we E E (6 Beklee fayda foksiyouu daha sade bir biçimde ifade edebilmek amacıyla çeşili aımlamaları yapılması mümküdür. ( ( ( w w E(e E e P E P P E e P (7 λ ( ( ( λ E e E( P E P P E e P (8 α λ / w (9 Bu aımlamalar ile birlike (6 bağıısı kullaılarak hesaplaa yaırımcıı beklee faydasıı maksimum değeri ( J (x, aşağıdaki gibi daha sade bir formda yazılabilir. J (x w x+ λ x + α E P E P P E P ( ( ( ( ( PP ( E( e k E( Pk E ( PkPk E( e kpk λ k+ P E E( w E(e E(e P E P P E(e ( k k k ( k k kpk k+ E ( PP E(e P x ( k ( bağıısı verile yardımcı problemi çözümü olmakla birlike, (, ( ve (9 problemleri içi de aaliik bir çözüm oluşurmakadır. Böylelikle, uygu aımlamaları yapılması ile birlike çok döemli oralama-varyas porföy seçimi gerçekleşirilebilir.problemi çözümü içi yapıla aımlamalar aşağıdadır. ( ( P PP P L ( B E(P E ( PP E( P,, L, A E(e E( P E ( PP E(e P,, L, A E(e E(e E ( E(e,,, ( k+ ( k+ ( ( k+ k+ B B A / k A k,, L, (5 L B B A / k A k,,, μ ν (6 A ( 7 k + A A k B (8 τ (9 ν a ν ( μν b a ( c τ μ ab ( Bu aımlamalar ışığıda ( bağıısı ile verile döemsel opimal porföy sraejisi aşağıdaki gibi aımlaacakır. ( eşiliği ihai döeme gelidiğide alıa porföy sraejisii opimum değerii emsil emekedir. Acak, geriye döük işlemler gerçekleşirilerek aralığıdaki her döem içi bezer biçimde opimum porföy sraejisi elde edilebilir. E geel halde aralığıdaki her döem içi opimal porföy sraejisi aşağıdaki biçimdedir. λ + u (x E ( P P E( P E(e P x w+ 5 u E ( PP E(e P x u ν A k + (bx + E ( PP E( P,,, L wa k+ Ak E ( P P + (bx E(e P ν + w a x E ( P P ( E( P (
So olarak verile problem içi oralama-varyas eki sıır verile aımlamalar ile birlike aşağıda verile biçimde elde edilir. a Var (x + [ E(x ( μ+ bνx ] cx ν (5 E(x ( μ+ bν x Eki sıır, verile herhagi bir risk seviyesi içi beklee geirii veya am ersie herhagi bir geiri seviyesie karşılık gele riski hesaplamasıda kullaılabilmekedir. Acak çok döemli opimal porföy sraejisii ihai beklee değeri ve varyası aşağıdaki gibi hesaplamakadır. ν E(x ( w ( μ + bνx + (6 wa Var (x ( w ( ν / aw + cx (7 ( ile verile bağııı öemli bir özeliği, bağııı yaırımcıı riske karşı uumu ve mevcu varlığı gibi iki farklı erimde oluşmasıdır.bu öemli özelliği vurgulamak adıa ( ile verile çözüm riske karşı uum ve mevcu varlığı oplamı biçimide de ayrı ayrı ifade edilebilmekedir. u (x; γ Kx + v( γ,,, L (8 γ λ / w (9 K E ( P P E(e P (5 γ A k PP P ( γ E ( k E( + Ak,, L, (5 v ( γ ( γ / E ( P P E( P (5 KAYNAKÇA ALAY Erdiç,, Sermaye Piyasasıda Varlık Fiyalama eorileri, Deri Yayıları:, İsabul CHEN A., JEN F., ZIONS S., 97, he Opimal Porfolio Revisio Policy, Joural of Busiess, Vol: No., s. 5-6 DUMAS B., LUCIANO E., 99, A Exac Soluio o Dyamic Porfolio Choice uder rasacio Coss, Joural of Fiace, Vol:6 No., s.577-595 ELON E. J., GRUBER M. J., 97, O he Opimaliy of Some Muliperiod Porfolio Selecio Crieria, Joural of Busiess, Vol:7 No., s.- HAKANSSON N.H.,97, Muliperiod Mea- Variace Aalysis: oward a Geeral heory of Porfolio Choice, Joural of Fiace, Vol:6 No., s.857-88 LI Dua, NG Wa-Lug,, Opimal Dyamic Porfolio Selecio: Muliperiod Mea- Variace Porfolio Selecio, Mahemaical Fiace, Vol: No., s.87-6 LI Dua,CHAN.F., NG W.L., 998, Safey-firs dyamic porfolio selecio, Dyamics of Coiuous, Discree ad Impulsive Sysems, Vol:, s.585-6 MARKOWIZ Harry, 95, Porfolio Selecio, Joural of Fiace, Vol.7., s.77-9 MERON Rober C., 969, Lifeime Porfolio Selecio Uder Uceraiy: he Coiuous- ime Case, Reviews of Ecoomical Saisisics, Vol:5, s.7-57 MOSSIN J., 968, Opimal Muliperiod Porfolio Policies, Joural of Busiess, Vol: No., s.5-9 OBERUC Richard,, Dyamic Porfolio heory ad Maageme, Mc Graw Hill, USA PEDRON Nieves Hicks,998, Model-Based Asse Liabiliy Maageme: A Comparaive Sudy, Cambridge Üiversiesi, Dokora ezi REID R.W.,CIRON S.J.,97, O Noiferior Performace Idex Vecor, Joural of Opimizaio heory ad Applicaios, Vol:7, s. -8 SAMUELSON P.A.,969, Lifeime Porfolio Selecio by Dyamic Sochasic Programmig, he Review of Ecoomics ad Saisics, Vol: No., s. 9-6 YAO David, ZHANG Hagi, ZHOU Xu Yu,, Sochasic Modellig ad Opimizaio, Spriger-Verlag New York Ic., USA 6