4.Konu Elementer matrisler, ters matrisi bulmak, denk matrisler 1. Elementer matrisler 2. Ters matrisi bulmak 3. Denk matrisler 1.Elementer matrisler 1.Tanım: tipinde Tip I., Tip II. veya Tip III. te olan bir elementer matris, sırasıyla Tip I., Tip II. veya Tip III. bir tek elementer satır veya sütun işlemleri uygulanarak ösdeşlik matrisinden elde edilen bir matristir. 1.Ö.: matrisi I tiptendir, matrisi II. tiptendir, ve III. tiptendir. 1.Teorem: tipinde bir matris olsun. A matris üzerinde Tip I., Tip II. veya Tip III. elementer satır (veya sütun) işlemleri uygulanarak elde edilen matrisi de B olarak tanımlayalım. Eğer A matrisi üzerinde yapıldığı gibi aynı elementer satır (veya sütun) işlemleri birim matris üzerinde de yapılarak elde edilen elementer matris E ise, bu takdirde B=EA (B=AE) dır. 2.Ö.: B, A nın 1.satırına, 3.satırın (-2) katı eklenerek elde edilen matris olsun E, nın 1.satırına, 3.satırın (-2) katı eklenerek elde edilen matris olsun B=EA 1
2.Teorem: A ve B mxn tipinde matrisler olsun. A nın B ye satırca (sütunca) denk olması için gerek ve yeter şart ( ) İspat: Eğer A satırca B ye denk ise, B, A dan elementer işlemleri ile elde edilir. Buda olacak şekilde elementer matrislerin varlığını gösterir. Tersine ise, ler elementer matris olmak üzere B, A dan bir dizi elementer işlemleriyle elde edilir. Buda A nın B ye satırca denk olduğunu gösterir. 3.Teorem: E elementer matrisi sinğüler değildir ve tersi aynı tipte bir elementer matristir. Lemma: A, nxn tipinde bir matris ve Ax=O homogen sistemi tek X=O aşıkar çözümüne sahip olsun. O zaman A, matrisine satırca denktir. İspat: B satırca eşelon biçime indirgenmiş bir matris yani, A matrisine satırca denk olsun. O zaman, AX=o ve BX=O homogen sistemler denktir. Böylece BX=O sistemi de, tek aşikar çözüme sahiptir. Eğer B nin sıfırdan farklı satırlarının sayısı r ise; BX=O homogen sistemi, katsayılar matrisi B bin sıfırdan farklı satırlarından oluşan homogen sisteme denktir. Böylece sistemin boyutu rxn olur. Bu sistem sadece aşikar çözüme sahip olduğundan, elde edilir. B, nxn tipinde olduğundan olur. Böylece r=n elde edilir. r=n olduğu B matrisinin sıfır satırlarının olmadığına getirir. O halde olur. 4.Teorem: A matrisinin singüler olmaması için gerek ve yeter şart A nın elementer matrislerin çarpımı olarak yazılmasıdır. İspat: Eğer A matrisi elementer matrislerin çarpımına eşit ise, o zaman herbir elementer matris sinğüler omadığında ve singüler olmayan matrislerin çarpımı da singüler olmayacağı için A singüler değildir. Tersine olarak eğer A singüler değilse ise AX=O iken olur. Buradan ise X=O elde edilir. O halde AX=O tek aşikar çözüme sahiptir. Lemmadan A nın birim matrisine satırca denk olduğu görülür. Bu matrislerin olacak şekilde var olması demektir. O halde elde edilir. Böylece elementer matrislerin tersinin de bir elementer matris olduğu sonucu elde edilir. Sonuç: A nın snğüler olmayan bir matris olması için gere ve yeter şart matrisine satırca denk olmasıdır. birim 5.Teorem: n bilinmeyenli ve n lineer denklemli homogen sistemin aşikar olmayan bir çözüme sahip olması için gerek ve yeter şart A nın singüler olmasıdır. 2
3.Ö.: singüler olmayan bir matris olsun. AX=O sistemi göz önüne alalım. Yani. İlaveli matrisin eşelon forma indirgenmiş hali [ ] olur. O halde bir çözüm biçimindedir. Böylece homogen sistem bir aşikar olmayan çözüme sahiptir. nxn tipindeki bir A matrisi için aşağıdaki ifadeler denktir: 1.A sngüler olmayan bir matristir. 2. AX=O sistemi sadece aşikar çözüme sahiptir. 3. A, birim matrisine satırca denktir. 4. AX=B lineer sistemi nx1 tipinde her B matrisi için tek çözüme sahiptir. 5. A elementer matrislerin çarpımıdır. 2. Ters matrisi bulmak 4.teoreme göre Buradan ( ) olur. Bu bize in bulunması için bir algoritma sağlar. Bunun için birim matrisini elde edene kadar A üzerinde elementer satır işlemlerini uygularız. O zaman, matrislerinin çarpımı matrisini verir. Hesaplamanın uygun bir yöntemi parçalanmış matrisini yazmaktır. Daha sonra elde edilir. Böylece parçalanmış matrisini satırca eşelon biçimine indirgeyerek matrisi elde ederiz. 4.Ö.: singüler olmayan matristir. [ ] A İşlem 1.satırın (-5) katını 3.satıra ekleyelim 2.satırı ( ) ile çarpalım 3.satırı ( ) ile çarpalım 3
3.satırın ( ) katını 2.satıra, 3. satırın (-1) katını 1.satıra ekleyelim 2.satırın (-1) katını 1.satıra ekleyelim olur. olduğunu gösterebiliriz. 6.Teorem: Bir nxn tipindeki A matrisinin singüler olması için gerek ve yeter şart A nın bir satırı sıfır olan bir B matrisine satırca denk olmasıdır. Bu da in bulunması için önceden hesaplamalara karar vermek zorunda olmadığımızı gösterir. Biz sadece in hesabına başlarız. Eğer hesabın herhangi bir noktasında bir satırın her elemanı sıfır olan ve A ya satırca denk olan bir matris bulursak, o zaman yoktur. 5.Ö.: singüler matristir. Bu matris matrisine satırca denktir. 7.Teorem: A ve B, AB= olacak şekilde nxn tipinde matrisler ise, o zaman AB= olur. Böylece, B= olur. 3. Denk matrisler 2.Tanım: A ve B, mxn tipinde matrisler ise olmak üzere, eğer B matrisi sonlu sayıda elementer satır veya sütün işlemleri ile A matrisinden elde ediliyorsa, A matrisi B ye denktir denir. 4
8.Teorem: A sıfırdan farklı herhangi bir mxn tipinde matris ise o zaman A matrisi biçiminde yazılan bir bölünmüş matrise denktir. İspat: A matrisi, satırca indirgenmiş biçimde bir matris olan B matrisine satırca denktir. I.tip sütun işlemleri uygulanarak, B matrisinin biçimindeki bir C matrisine denk olduğu elde edilir. Burada r, B nin sıfır olmayan satırlarının sayıdır. III.tipte elementer sütun işlemlerini kullanarak ta C matrisinin biçimindeki bir D matrisine denk olduğu görülür. A matrisi D ye denktir. 6.Ö.: matrisine denk olan ve sıfır matrislerden yazılan bölünmüş matrisi bulunuz. A matrisine denk matrisler İşlemler 1. satırın (-1) katını 2.satıra ekleyelim 3.satıra ilk satırı ekleyelim İlk satırın (-1) katını 4.satıra ekleyelim 3. satırın (-1) katını 4.satıra ekleyelim 3.satırı ile çarpalım 2. satırın (-1) katını 3.satıra ekleyelim 5
2. satırın (-1) katını 1.satıra ekleyelim 1.sütunun (-3) katını 3.sütuna ekleyelim 1.sütunun 2 katını 4.sütuna ekleyelim 2.sütunu 3.sütuna ekleyelim 2.sütunun (-1) katını 4.sütuna ekleyelim Bu da istenen matristir. 9.Teorem: A ve B gibi mxn tipindeki iki matrisin denk olması için gerek ve yeter şart P ve Q singüler olmayan matrisler olmak üzere B=PAQ olmasıdır. 10.Teorem: nxn tipindeki A matrisinin singüler olmaması için gerek ve yeter şart A nın birim matrisine denk olmasıdır. İspat: Eğer A, birim matrisine denk ise A dan bir dizi elementer satır veya sütun işlemleriyle elde edilir. Böylece, olacak şekilde elementer matrisleri vardır. ve olsun. P ve Q singüler olmamak üzere olur. Buradan olur. singüler olmadığından A singüler değildir. Tersine olarak A singüler değil ise A matrisi matrisine satırca denktir. Böylece, A, e denktir. 6
Ödevler: 4.1. matrisin tersini elementer satır işlemleri kullanarak bulunuz. 4.2. Aşağıdaki matrislerin hangileri singülerdir? Singüler olmayanların tersini bulunuz. (i), (ii) 4.3. Aşağıdaki matrislerin eğer varsa tersini bulunuz. (i), (ii) 4.4. mxn tipindeki A ve B matrislerin satırca denk olması için gerek ve yeter şartın B=PA olacak biçimde singüler olmayan bir P matrisinin varolması olduğunu ispat ediniz. 4.5. nxn tipindeki A ve B matrisleri satırca denk olsun. A nın sigüler olmaması için gerek ve yeter şart B2nin singüler olmaması olduğunu gösteriniz. 4.6. matrisine denk olan ve sıfır matrislerden yazılan bölünmüş matrisi bulunuz. 4.7. matrisine denk olan ve sıfır matrislerden yazılan bölünmüş matrisi bulunuz. 4.8. B matrisi A ya denk ise A matrisinin B ye denk olduğunu gösteriniz. 4.9. C matrisi B ye denk ve B matrisi A ya denk ise C matrisinin de A ya denk olduğunu gösteriniz. 4.10. A ve B mxn tipinde matrisler olsun. A nın B ye denk olması için gerek ve yeter şart nın ye sütunca denk olması olduğunu gösteriniz. 7