ÖLÜ ZAMANLI SİSTEMLERİN PADÉ AÇILIMLARI KULLANARAK KATSAYI DİYAGRAM YÖNTEMİ (KDY) İLE KONTROLÜ Mert Yardıcı Öür Öcal Atlla Br 3 e-posta: yardc@yahoo.co,3 Kotrol ve Otoasyo Mühedslğ Bölüü Elektrk-Elektrok Fakültes İstabul Tekk Üverstes, 866, Maslak, İstabul Blgsayar Mühedslğ Bölüü Mühedslk Fakültes Kadr Has Üverstes,Cbal-İstabul 3 e-posta: abr@elk.tu.edu.tr e-posta: ocal@khas.edu.tr ABSTRACT Aahtar Keleler: Katsayı Dyagra Yöte (KDY), Ölü Zaalı ssteler, Padé Açılıları Coeffcet dagra ethod (CDM) s a cotroller desg ethod for lear te varat systes ad also ca be used for systes wth dead-te. To apply covetoal desg ethods oe eeds to approxate dead-te trasfer fucto by a ratoal fucto. I ths paper dead-te s approxated wth by a hgh order Padé approxato ad the cotroller s desged by covetoal CDM.. GİRİŞ Edüstr uygulaaları çoğuda ölü zaa çere elealar buluur. Katsayı Dyagra Yöte (KDY) kotrol sstelerde kotrolör tasarlaak ç gelştrlş aaltk br yötedr ve ölü zaalı sstelere de uygulaablr. Katsayı dyagra yöte oluşası uzu yıllar alasıa rağe lk kez Shu Maabe tarafıda etk br şeklde kullaılıştır [4,5]. Maabe tasarlaış olduğu kotrolörle aşısız br sste yaıtı elde edlr. Ayrıca sste stele zaada yerleş, dayaıklı olası ve bozucu etks hızlıca gderlr [,7]. Ölü zaalı sstelerde evcut kotrol tasarı yöteler ortak oktası, ölü zaaı rasyoel pololar bçde yazılası ve ble gele tasarı yöteler uygulaasıdır. Ölü zaaı rasyoel polo bçde yazılasıı e yaygı yöte se Padé yaklaşııdır.. Bu çalışada ölü zaaı farklı ertebelerde Padé açılıı yapılarak katsayı dyagra yöte üzerdek etkler gösterlecektr.. KATSAYI DİYAGRAM YÖNTEMİ (KDY) Brçok uygulaalarıda kotrol edle ssteler kararlı, aşısız, dayaıklı, bozucularda etkleeye ve ögörüle br zaada sste yerleşes ster. Shu Maabe tarafıda gelştrle katsayı dyagra yöte sayesde aaltk olarak tasarlaa ssteler bu özellkler heps taşır. Ayrıca tasarı yöte kolay uygulaables yöte kullaablrlğ artırır.. KDY KONTROL SİSTEM YAPISI Tek grş tek-çıkışlı br sste ç katsayı dyagra yöte stadart blok dyagraı Şekl de gösterlştr.
* γ = (c) γ γ - bçde taılaır. Şekl - KDY kotrol sstee lşk teel blok dyagraı Burada rt () kotrol sste referas grş, y() t çıkışıı, ut () kotrol şaret, qt () sstee etkye bozucu şaret, et () hata şaret ve so olarak t () se ger beslee bozucusuu fade eder. Şekl de görüleceğ gb katsayı dyagra yöteyle oluşturula kotrolörü 3 teel bloğu vardır. A( kotrolör trasfer foksyouu paydasıı, F( referas pay ve B( se ger beslee pay polouu fade etektedr. G( kotrol edles stee sste trasfer foksyoudur ve G ( = () D( şeklde fade edlr. sste trasfer foksyouu pay polou, D( se payda poloudur. Şekl de yola çıkarak kapalı çevr karakterstk dekle, Y( ve U( hesaplaırsa Ps () = AsDs () () BsNs () () = as = ayrıca, A( F( B( Y ( = Q( R( M ( F( D( B( B( D( U ( = R( Q( M ( bçde elde edlr.. HEDEFLENEN KARAKTERİSTİK POLİNOM VE TASARIM PARAMETRELERİ Katsayı dyagra yötee başlaada öce sste dağ ve yerleşe süres etkleye tasarı paraetreler belrlees gerekektedr. Bu paraetreler τ eşdeğer zaa sabt, γ kararlılık deks ve a = a a * γ kararlılık sıır deksdr ve γ = ( ) γ = (a) a γ = τ = (b) a Katsayı dyagra yötede hedeflee karakterstk polou tasarı paraetreler tarafıda taılaır. Böylelkle sste asıl br dak göstereceğ öcede belrleş olur. Bu duruda karakterstk polou tasarı paraetreler csde = a ( bçdedr. τ )( τ s = = γ.3 KATSAYI DİYAGRAMI (KD) (3) Katsayı Dyagraı (KD), Bode bezer br grafktr. Fakat katsayı dyagraıda sste kararlılığı, yerleşe sures ve dayaıklılığı hakkıda blg alıdığıda daha detaylı br grafktr. Dyagraı sol eksede karakterstk polo, A( ve B( kotrolör polo katsayıları ve sağ eksede de sste paraetreler br düzle üzerde gösterlesyle oluşur [4]..4 TASARIM PARAMETRELERİ Kararlılık deks ve kararlılık Kotrolörlü br sste, kapalı çevrl karakterstk polou Hurwtz kararlılığıa sahp olalıdır [3,4,5]. KDY Routh-Hurwtz krtere ek olarak Lpatov- Sokolov krter de büyese dahl etştr [5]. Lpatov-Sokolov krtere göre kararlılık ve kararsızlık ç gerekl koşullar aşağıda gösterlştr [,7].. Kararsızlık ç zorululuk koşulları: Koşul a: Perforas paraetreler csde fade edlrse; γ γ ç =,3... (4a) olarak taılaır. Bu koşul, 3. ertebede kıs pololar csde a a a a ç =,3... (4b) bçde de fade edleblr.
. Kararlılık ç zorululuk koşulları: Koşul a: Kararlılık sıır koşulu dye fade edlr. Perforas paraetreler csde γγ >.55 ç, =,3... - (5a) şeklde taılaır ve 3. ertebede kıs pololar csde aa >.55. a a ç, =,3... - (5b) elde edlr. Koşul b: Perforas paraetreler csde * γ >.36. γ ç, =,3... (6a) şeklde fade edlr. 4.ertebede kıs pololar csde se a a - a >.36. a a - a a - ç, =,3... - (6b) İstee karakterstk polou elde etek ç, kararlılık koşullarıda lk sıır koşulu olarak değerledrleblr. Bu değerler asıl elde edldğ ve Lpatov-Sokolov krter hakkıda daha geş blg [,3,7,8] de evcuttur. Stadart Maabe Bç Shu Maabe tarafıda geelleştrle kararlılık deksler le he sste aşısız br cevap elde edlr he de dğer stadart kararlılık deks bçlerde daha kolay akılda kalablektedr. KDY yöte ç öerle stadart bç γ =.5, γ ~ γ = (7) bçdedr. Tasarı Prosedürü Tasarıa lk öce paraetreler belrleesyle başlaır. Kararlılık deksler stadart aabe bçde seçlesde sora T s yerleşe zaa ç eşdeğer zaa sabt τ = T s (.5 3) bçde seçlektedr. Burada k farklı yerde elde hedeflee karakterstk polo ve kapalı cevrde elde edle karakterstk dekle brbre eştleerek daphote eştlğ oluşturulur. Ps () = AsDs () () BsNs () () = as = - = a ( τ τs = = γ - (8) burada da bu eştlk atrs hale getrlrse olak üzere p ( s ) = l s ve ( s ) = A = l k q B = [ C ] rxr = [ a ] rx rx bçde Slvester bçe döüştürülür. F referas payı se deklede hesaplaablr. s= k s (9) F = () γ kararlılık deks stadart Maabe bç kullaılablr fakat elde edle souçlar steldğ düzeyde değlse bu deks değerleryle oyaa yapılarak sste dağyle oyaablr []. 3. ÖLÜ ZAMAN YAKLAŞIMLARI Br sstede ölü zaa buluası halde trasfer foksyouda e τ s şeklde br üstel foksyo görülür. Bu duruda sstee herhag br kararlılık aalz Routh krterler, kök-yer etodu.. vs yapables ç trasfer foksyoudak üstel foksyo rasyoel pololar bçde fade edlr. Bu yaklaşılar arasıda e çok kullaıla ve ble Padé yaklaşııdır. 3. PADÉ YAKLAŞIMI Herhag br foksyou ( R, ) Padé etodu kullaarak rasyoel br foksyo bçde yazablek ç öce s = da foksyou ve türev sürekl olası gerekektedr R, ( P ( ( = Q () P s p p s p s p s =... () =... (3) Q s q s q s q s Yaklaşık olarak fade edlecek F ( s ) foksyouu Taylor açılıı k F( ao as a s... aks... (4)
şekldedr. F ( R ( dğer br değşle yada, ( Z s F( R, ( = Q (5) F sq s P s = Z s (6) lşks oluşturulur. Burada Z s = c s = s s... c s... = Eştlğ sağ tarafıdak ser açılııı e düşük deks dr. Çükü lk F s ve R ter, s eşt olduğuda sıfırlaacaktır. Eğer serler açılırsa aşağıdak adet leer dekle elde edlr. ve a p = a p = a p = 3 a3 p3 = q a... a p = (7) q a... a = q a 3... a = (8)... q a... a = Yukarıdak dekleler çözek ç öce dekle (9) da q, q,..., q bleyeler daha sora dekle (8) de p, p,..., p bleyeler buluur. So olarak da () uaralı dekle oluşur. 4. ÖLÜ ZAMANLI SİSTEMLER İÇİN KATSAYI DİYAGRAM YÖNTEMİNİN UYGULANMASI Eğer sste ölü zaa çeryorsa, ya sste trasfer foksyou ) s αs Gs () = e (9) Ds () R ( s ) 3 4 5, s s 6s s 6s s 3 6s s s 3 6s s s 3 4 68-84s8s -s s 3 4 6884s8s s s 3 4 5 34-5s336s -4s 3s -s 345s336s 4s 3s s 3 4 5 Tablo s. lk ölü zaaı farklı ertebede Padé yaklaşıları bçdeyse, öcelkle ölü zaa e αs kısı 3 de alatıldığı gb Padé yaklaşıı yapılarak rasyoel pololar bçde yazılır ( ç). e P () s p s p s... p s p αs = Q( qs q s... qs q Yapıla bu yaklaşı yüzüde sste trasfer foksyou değşektedr. Sste ertebes yapıla yaklaşı ertebese göre artaktadır. Fakat tasarı yötede değşklk olayacaktır. Değşe kısı se A(, B( ve ertebeler ertebe kadar artasıdır. Mertebe artası kullaıla kararlılık deks sayısıı artırakta ve ayrıca dekle (9) çözüles zorlaştıraktadır. Ölü zaa çere ssteler ç KDY uygularke eşdeğer zaa sabt seç de öel olaktadır. Yerleşe süres ölü zaaa dkkate alıarak seçleldr. Yerleşe süres ölü zaaa yakı seçldğde kotrol şaret büyük değerler alaktadır. 5. TASARIM ÖRNEKLERİ Bu bölüde ölü zaalı ayrı sste ele alıacaktır. Ölü zaaı farklı Padé açılıları soucuda ortaya çıka sste ç katsayı dyagra yöte kullaılarak kotrolör tasarlaacaktır. Ayrıca kotrolör tasarıı yapıla sstelere sırasıyla basaak bçde bozucu ve susodal bçde bozucu olak üzere farklı bçdek bozucu etks celeecektr. Örek Üçücü derecede kararlı ve saye ölü zaa çere br sste ele alalı. s G() s = e. () ( s )( s )( s 3)
Sste 3 kökü de s-yarı düzle sol yarısıda kalaktadır. Buda dolayı da kararlıdır. Sste 6 sayede oturasıı ve aşı yapaasıı stes. Bezet sırasıda sstee ayrıca t= s. de qt () = bçde basaak bozucusu uygulası. Şekld. Şeklc de bulua kotrol şaret kes Şekla. Tablo de görüle ölü zaaı 4. ertebeye kadar açarak yapıla yaklaşı soucu örek ç yapıla kotrolör tasarıı y(t) kapalı çevr sste yaıtı Belrtle başlagıç koşullarıa lşk öcelkle karalılık deksler dekle (8) dek gb stadart Maabe bçde alalı. İkc olarak sste 6 sayede oturası stedğ ç ve sstede sayelk ölü zaa buluduğu ç eşdeğer zaa sabt τ = olacaktır. Yapıla bezet souçları Şekl de görülektedr. Örek Üçücü derecede kararlı ve saye ölü zaa çere br sste ele alalı. G() s = e ( ( s )( s ) s. () Sste 6 sayede oturasıı ve aşı yapaasıı stes. Bezet sırasıda sstee ayrıca t= s. de qt () = s() t bçde süsodal bozucu uygulası. Şeklb. Şekl a da bulua kapalı çevr sste yaıtıı kes Şeklc. u(t) kotrol şaret Şekl3a. Tablo de görüle ölü zaaı 4. ertebeye kadar açarak yapıla yaklaşı soucu örek ç yapıla kotrolör tasarıı y(t) kapalı çevr sste yaıtı
aşı se kısa süre çersde gderlr ve sste ye kararlı br hale gelr. Kotrol şaret ve kapalı çevr sste yaıtı değerledrldğde, ölü zaaı yüksek ertebede Padé yaklaşıı yapıldığıda KDY le tasarlaa kotrolörler bozucu etks çabuk etkszleştğ ve buula brlkte kotrol şaretdek a sıçraaları da azaldığı görülür. KAYNAKLAR Şekl3b. Şekl 3a da bulua kapalı çevr sste yaıtıı kes [] Haacı, S. E.,. Katsayı Dyagra Methodu u Özel Durulara ve ÇGÇÇ Sstelere Uygulaası, Doktora Tez, Fırat Üverstes, Fe Bller Esttüsü, Elazığ. [] Kessler, C., 96, E betrag zur theore ehrschlefger regeluge, Regelugstechk, 8, 8, 6-66 [3] Lpatov, A.V., (976), Soe ecessary ad suffcet codtos that polyoals be of Hurwtz type, Dfferets, Uray,, 69-7. Şekl 3c. u(t) kotrol şaret [4] Maabe, S., 994a, Coeffcet Dagra Method as appled to the atttude cotrol of cotrolled-bas-oetu satellte, 3th IFAC Syposu o Autoatc Cotrol Aerospace, -6 Sept., Palo Alto, CA, 3-37. [5] Maabe, S., 998. Coeffcet Dagra Method, 4th IFAC Syosu o Autoatc Cotrol Aerospace,Aug. 4-8, Seoul, Korea, 99-. [6] Maabe, S., 998c, Coeffcet Dagra Method, 4th IFAC Syp. o Autoatc Cotrol Aerospace, Aug. 4-8, Seoul, Korea, 99-. Şekl 3d. Şekl3c de bulua kotrol şaret yakılaştırılış kes Süs bozucusu etkledğ ç başlagıç koşullarıda değşe olacaktır[7]. Bu koşullar altıda katsayı dyagra yöteyle tasarlaa kotrolörü br basaak sste yaıtı ve kotrolör şaret şekl 3 de görülektedr. [7] Öcal, Ö. (4), Katsayı Dyagra Yöte (KDY) kurasal altyapısı ve değşk sstelere uygulaası, Yüksek Lsas Tez, Kotrol ve Otoasyo Mühedslğ, Fe Bller Esttü, ITU [8] Sokolov, N. I. ve Lpatov, A. V., 97, O ecassary codtos for stablty of lear systes, Tr. Mosk. Avats. Ist., 4, 6-3 6. SONUÇLAR Uygulaa souçlarıda da görüldüğü gb, katsayı dyagraı yöteyle oluşturula kotrolörler sayesde sste ögörüle zaada yerleştğ ve kapalı çevr sste yaıtıı aşısız olduğu görülür. Ayrıca bozucuu etksde dolayı oluşa