BÖLÜM 6 6. REGRESYON MODELİNİN TEMEL KONTROLÜ

Transkript

1 BÖLÜM 6 6. REGRESYON MODELİNİN TEMEL KONTROLÜ Bu bölüde regresyo odel üzerde gerçekleştrlecek teel kotrol yöteler celeecektr. Bu kısıda açıklaacak ola tekkler sadece doğrusal regresyo ç değl doğrusal olaya regresyo ve varyas aalz odeller ç de geçerldr. Gerçek odel foksyoel yapısı bledğ ve hatalar gözleleeedğ ç evcut odel ve varsayıları kotrolü ç kullaılablecek tek blg uygulaa regresyoda elde edle artıklardır. Model doğru br odel olası duruuda artıkları hataları tahler olduğu kabul edleblr. Bu edele varsayıları kotrolü gerçekleştrlede öce odel uyguluğu celeeldr. Kotrol yöteler k kou başlığıda celeeblr: a)varsayıla odel foksyoel yapısıı uyguluğuu kotrolü, b) EKK varsayılarıı geçerllğ kotrolü. Varsayıları kotrolüde kullaıla k teel yaklaşı se; artıkları grafksel aalzler ve test statstklerdr. Model foksyoel yapısıı kotrolü Kısı 6. de celeecektr. Br odel daha ler aalzde kullaılablecek yöteler se Bölü açıklaacaktır. 6. UYUM YETERSİZLİĞİ VE SAF HATA Regresyo doğrusuu uyuu odel doğru olduğu varsayıı dkkate alıarak yapılır. Belrl durularda odel doğru olup oladığı kotrol edleblr. İlk olarak yalış br odel souçları celeeblr. Hatırlaacağı gb e =Y -Ŷ değer X oktasıdak artık d. Bu ter gerçek gözleş Y değer le uyuu yapılış Ŷ değer arasıdak fark ktarıdır. Daha öce belrtldğ gb e = 0 dır. Hata ter uyuu yapılış odel le bağılı değşke Y dek gözleş değşkelğ açıklaaaya kısıdak tü evcut blgy çerr. X=X oktasıda gerçek odel değer µ =E(Y ) le belrtls. Bua uygu olarak, ( Y Y ˆ ) = ( Y Y ˆ ) E( Y Y ˆ ) + E( Y Y ˆ ) = ( ) μ + μ { Y Y ˆ EY ˆ } EY ( ˆ ) = q + B yazılablr. Bu fade de q ve B, {( ˆ ) μ ( ˆ ) } μ ( ˆ ) q = Y Y E Y, B = E Y şekldedr. B değer X=X oktasıdak sapa hatasıdır. Eğer odel doğru se E(Ŷ )=μ olacağıda sapa sıfır olacaktır. Model yalış se E(Ŷ ) μ olacağıda sıfırda farklı br değer alacaktır ve alacağı bu değer X ve gerçek odele bağılı olacaktır. q değer se br şas değşkedr ve

2 ( ˆ ) ( ˆ ) ( ˆ ) ( ˆ μ μ μ ) E q = E Y Y E( Y) = E Y + E Y = 0 olduğuda beklee değer sıfırdır. Bu duruu gerçekleşes odel doğru ya da yalış başka br deyşle E(Ŷ )=μ olup olaasıa bağlı değldr. E(q )=0 fades her k duruda da geçerldr. Taılaa q değerler lşkl olduğu gösterleblr. Hata varyası V(ε )=V(Y )=σ olarak verldğde ortalaasıı vere, q + q + + q değer beklee değer (-)σ dr. Bua göre artık kareler { } ( Y ˆ Y) ( ) (6.) fades beklee değer, kabul edle odel doğru olduğuda σ, yalış olduğuda se σ B /( ) şeklde olacaktır. Eğer odel doğru se artıklar, lşkl şas sapaları q ler olacaktır ve artık kareler ortalaası, hata varyasıı br tahleycs olarak kullaılablecektr. Buula brlkte odel doğru oladığıda B 0 dır ve artıklar q şasa bağlı ve B ssteatk hata bleşeler çerektedr. Bu bleşeler sırasıyla varyas hatası ve sapa hatası olarak sledrleblr. Bu duruda artık kareler ortalaası büyüe eğl gösterecek ve bu edele gözlelerdek evcut şasa bağlı değşkelğ yeterl br ölçüüü sağlayaayacaktır. Buula brlkte, artık kareler ortalaası br şas değşke olduğu ç, sapa evcut olsa ble büyük br değer alaayableceğ uutulaalıdır. Bast doğrusal odel uygulaasıda sapa hatası verler grafkler celees soucu ortaya çıkarılablr, (bkz. Şekl 6.). Model çok karaşık br yapıda olduğuda ya da çok sayıda değşke kullaıldığıda sapa hatasıı grafkler yardıı le ortaya çıkarılası ükü olaayablr. Eğer σ br ö tah varsa (burada ö tahde, üzerde çalışıla kouda ya da bezer olarak dğer koularda daha öcek tecrübelerde yararlaarak elde edle tah kastedlektedr), artık kareler ortalaasıı bu ö tahde öel ölçüde büyük olup oladığı test edleblr. Öel ölçüde büyük olduğuda se uyu yeterszlğ varlığıda söz edleblr. Bu duruda odel evcut foru yetersz olableceğ ç yede ele alıablecektr. Eğer σ br ö tah evcut değlse, tekrarlı gözleler alıarak (ya ayı X değer ç brde çok Y gözle elde edlerek) bu tekrarlı gözleler σ br tah elde etek aacı le kullaılablr. Elde edle tahe saf hata adı verlr. Çükü ayı X değere set edlş brde çok Y gözle evcuttur. Tekrarlaa gözlelerde yalızca şasa bağlı değşkelğ ortaya çıkacağı açıktır. Bu yötele elde edle σ tah dğer yollarla elde edlelerde daha güvelr olacaktır. Bu edele araştıraları ya da deeyler tekrarlaalı gözleler çerecek şeklde düzeleek daha uygu br yaklaşıdır. Burada belrtle tekrarlı gözleler gerçek tekrarlar olak zorudadır. Başka br deyşle ayı br tekrarlaış gözleler olaalıdır. Öreğ boy le klo arasıdak lşk celedğde,.75 boyudak br kş klosuu tekrar tekrar ölçek değl,.75 boyudak brde çok brey klolarıı ölçüleesdr. Ayı brey tekrarlı gözleler, ölçü hatalarıı ve bu

3 hataları değşkelğ vereblr. Fakat burada lglele, ayı boya sahp breyler ağırlıklarıdak değşkelk le lgl blg sağlaasıdır. Bu edele ayı boyda brde fazla brey klosu ölçüleerek σ br tah elde edleye çalışılır. Verlerde tekrarlı gözleler evcut olduğuda ayı X değerdek Y gözleler fade edeblecek ek göstere htyaç vardır. X adet farklı değer olduğu kabul edlerek j=,,.., olak üzere X j le belrtleblr. Bu adet X değerde alıa tekrar sayıları da j le belrtlerek, Y, Y,..., Y fades X değerde adet tekrar Y, Y,..., Y fades X değerde adet tekrar alıdığıı belrtr. Topla gözle sayısı j = = j= u= j= ı j şeklde elde edlr. X oktasıda adet gözlede elde edle saf hata kareler toplaları, Y u u ked ortalaası Y etrafıdak çsel kareler toplaı olup, Y Y = Y u Y u= u= ( u ) Yu Y u u= u= = fades le hesaplaır. Tekrarlı Y j gözleler alıdığı oktaları her br ç hesaplaa çsel kareler toplalarıı brleştrles le topla saf hata kareler toplaı elde edlr. j j= u= ( Y ) ju Yj (6.) bu toplaı serbestlk dereces (6.3) = = e j j j= j şekldedr. Bua göre ortalaa karesel saf hata, s e = j ( Y ) ju Yj j= u= j= j (6.4) eştlğ le verleblr. Bu değer odel doğru olsu veya olası σ br tah verr. Gerçekte saf hata kareler toplaı artık kareler toplaıı br parçasıı oluşturur. X j oktasıdak u- ucu gözle ç artık, 3

4 ( ˆ ) Y Yˆ = Y Y Y Y (6.5) ju j ju j j j şeklde verleblr. Gerçekte herhag X j oktasıdak tü tekrarlar kullaılarak Ŷ j kestrlş değer elde edlr. (6.5) eştlğ her k tarafıı kares alıır, daha sorada u ve j üzerde toplaırsa, j ( Y ˆ ) ( ˆ ju Yj = Yju Yj j YJ YJ ) j (6.6) j= u= j= u= j= eştlğ elde edlr. Çapraz çarpa ter her br j ç u üzerde yapıla topla soucu sıfır değer alır. (6.5) eştlğ sol tarafı artık kareler toplaıdır. Sağ taraftak brc ter saf hata kareler toplaıdır. İkc ter se uyu yeterszlğ kareler toplaı olarak sledrlr. Saf hata kareler toplaı Tablo 6. de gösterldğ gb varyas aalz tablosua lave edleblr. Geel prosedür, F = KO( UY ) KO( SH ) oraıı %(-α) lık br F-krtk değer le test etektr. Bu F- değer serbestlk dereceler ( r - e ) le e dr. ) Eğer test soucu öel çıkarsa; başka br deyşle elde edle test statstğ krtk F-değerde büyük çıkarsa; k varyası brbre eşt olduğu hpotez reddedlr. Buda uyu yeterszlğ varyasıı saf hata varyasıda statstksel olarak büyük olduğu alaıa gelr. Souç olarak kullaıla regresyo odel yetersz olduğu söyleeblr. Yeterszlğ erede ve asıl oluştuğuu alaşılası ç hataları celees gerekecektr. ) Eğer test soucu öesz çıkarsa; F-hesap değer teork değerde küçük olası, bu duruda kullaıla odel olayı açıklaakta yeterl olduğu soucua ulaşılır. Başka br deyşle kullaıla odel, gerçek odele yeterl br yaklaşı gösterektedr. Bu edele gerek saf hata kareler ortalaası gerekse uyu yeterszlğ kareler ortalaası σ br tah olarak kullaılablr. s y elde etek ç σ brleştrlş br tah, artık kareler toplaıı oluştura saf hata ve uyu yeterszlğ kareler toplaıı yede brleştrlp artık serbestlk derecese bölües le elde edleblr, s =(artık kareler toplaı) / r, bkz. Alıştıra.5. Daha öce belrtldğ gb, tekrarlı gözleler, gerçek tekrarlarda oluşaktadır. Aks takdrde, KO(SH) olduğuda küçük tahleeblecek ve bu duruda uyu yeterszlğ F-test gerçekte evcut olaya uyu yeterszlğ evcut olarak göstereblecektr. Eldek ver tekrarlı gözleler çeres duruuda zleeblecek adılar aşağıda özetleştr. ) Model uyuu yapılır, bast varyas aalz tablosu hazırlaır. Bu aşaada kapsalı br F-test yapılaz. ) Saf hata kareler toplaı oluşturulur ve artıklar Tablo 6. de verldğ şeklde ayrıştırılır. 3) Uyu yeterszlğ ç F-test uygulaır. Eğer test uyu yeterszlğ öel olduğuu belrtrse 4a ya gt. Test soucu uyu yeterszlğ öesz olduğuu gösterrse, 4b ye gt. 4a) Uyu yeterszlğ öeldr. Bu duruda uyuu yapılış odel aalz durdurulur ve artıklar celeerek odel gelştre yolları araştırılır. Kapsalı regresyo ç F-test 4

5 uygulaaz ve güve aralıkları oluşturulaz. Çükü bu hesaplaaları üzere kurulu oldukları varsayılar, odelde uyu yeterszlğ evcut olduğu durularda geçerllkler ytrrler. Tablo 6. Artık kareler toplaıı, uyu yeterszlğ ve saf hata kareler toplaı şeklde bölülees Değşkelk Kayağı Regresyoa Bağlı Değşkelk Artığa Bağlı Değşkelk Uyu Kareler Toplaları ( Y ˆ Y) ( Y ˆ ) Y Yeterszlğ ( ˆ ) j Y j j Y = j Saf Serbestlk Dereces r = = u r e Hata j Y j u ju Y = = j e j = Topla Düzeltlş Değşkelk ( Y ) Y = - j Kareler Ortalaası KO R KO e = = KO UY ( Y ˆ ) Y ( Y ˆ ) Y j ( ˆ ) Y Y = = j j j u F-Test KO R F = KO e j Y ju Y j= u= j KO( UY ) = F = KO ( SH ) KO SH 4b) Uyu yeterszlğ öeszdr. Bu duruda artıklar, saf hata ve uyu yeterszlğ olarak brleştrlr ve V(Y)= σ br tah olarak artık kareler ortalaası s kullaılır. Kapsalı br F- test uygulaır, Y gerçek ortalaa değer ç güve aralığı oluşturulur, r değerledrlr. Bu duruda ble artıkları celees faydalı blgler vereblecektr. Model tü bu aşaalarda geçes odel doğru olduğu alaıa gelez. Çükü bu çalışa verler yardıı le yapılaktadır ve verler odel uygusuzluğuu ortaya çıkarablecek yeterllkte olaayablr. Eğer uyu yeterszlğ evcut se farklı br odele htyaç olacaktır. Karşılaşılablecek bazı durular Şekl 6. de verlştr. e 5

6 Şekl 6. Tpk regresyo doğrusu duruları Duru. İlglele odel, Y = β0 + βx + ε, Uyu yeterszlğ yok, Doğrusal regresyo öel Y = b0 + bx odel kulla Duru. İlglele odel, Y = β0 + βx + ε, Uyu yeterszlğ yok, Doğrusal regresyo alasız. Yˆ = Y odel kulla Duru 3. İlglele odel, Y = β0 + βx + ε, Uyu yeterszlğ öel, Y = β + β X + β X + ε odel kulla 0 Duru 4. İlglele odel, Y = β0 + βx + ε, Uyu yeterszlğ öel, Y = β0 + βx + βx + ε odel kulla Uyu yeterszlğde odel yalış belrlees le belrtlek stee bast regresyo ç odele x bağısız değşke kuvvetler alıası ya da çok değşkel regresyo ç x j bağısız değşkeler kuvvetler ya da çapraz çarpalarıı x j x k alıaasıdır. Bast regresyo ç yukarıda celee Duru 4 ele alıdığıda uyu yeterszlğ kareler ortalaasıı beklee değer, E KO UY σ = + βx = şeklde olup, F-test le araştırıla boş hpotez β 0 dır ve boş hpotez doğru olduğu durularda E[KO(UY)]=σ olacaktır. Modeldek bağısız değşke sayısıı brde fazla olası duruuda uyu yeterszlğ test atrs gösterde ele alıır. Çok değşkel duru ç uyu yeterszlğ gerçekte Kısı 4.. de verle Duru 4 ü test edlese bezer fakat aşağıda açıklaacak öel br fark vardır. Kouyu daha y açıklaak ç Kısı 4.4 de taılaa (4.) ve (4.) odeller, varsayıla odel, y = + ve gerçek odel, * X β ε (6.7a) 75

7 y = Xβ+ Xβ+ ε (6.7b) şeklde yede taılası. Burada X boyutu p ve X se boyutu (r-p) ola atrslerdr. Kısı 4.. de farklı olarak X atrs sadece X atrsde taılaa değşkeler kuvvetler ve çapraz çarpalarıı çerr. Souç olarak eğer β 0 se E(ε * ) 0 olduğu görülektedr. Eğer X β hal edlrse yalış belrleş odel ç β EKK tahler b T T = XX Xy ve artık kareler toplaları KT ( e ) = ( ) ( ) y Xβ y Xβ olacaktır. Bu duruda odel (6.7a) ç hata kareler ortalaasıı tah eştlk (4.46c) kullaılarak, s p { y I X( XX) X y } T T T = p ve odel (6.7b) ç E ( y) = Xβ + Xβ olduğuda artık kareler ortalaasıı beklee değer eştlk (4.47a) kullaılarak, { } T T T ( p ) ( y) I X( XX) X ( y ) E s = p E E p σ + { } T T T = ( ) + p [ Xβ + Xβ] I X( XX) X [ X + β Xβ ] E s p p σ { } T T T ( p ) = ( ) + [ Xβ] I X( XX) X [ Xβ ] E s p p σ E s p β σ XX XX XX XX = + β p T T T T T (6.8a) ve artık kareler toplaıı beklee değer, T T T T T E KT e = σ p + β XX XX XX XX β (6.8b) buluur. Saf hata ç kareler toplaıı beklee değer, σ σ E KT SH = = (6.9a) = ve uyu yeterszlğ kareler ortalaasıı beklee değer, E KT( SH) E KT e E KO( UY ) = p E KO UY = E KO UY = + ( p) + T T T T T σ β XX XX XX XX β σ p β XX XX XX XX β p T T T T T (6.9b) elde edlr. Uyu yeterszlğ ç F-test (6.9b) eştlğ kc bleşedek poztf taılı, 76

8 β XX XX XX XX β T T T T T karesel foruu odele yaptığı katkıyı belrleek ç tasarlaıştır. Görüldüğü gb uyu yeterszlğ test doğruda bu karesel foru değere bağılıdır. Dğer br deyşle X, X atrslere ve β vektörüe bağılıdır. Uyu yeterszlğ saf hataya dayaa test gerçekleştrlebles ç tekrarlı gözlelere gereks vardır. Buula brlkte tekrarlı gözleler evcut oladığı araştıralarda odel yeterszlkler aşağıda açıklaacak yöteler kullaılarak belrleeye çalışılır. 6. ARTIKLARIN ANALİZ NEDENLERİ Regresyo aalzde proble, ε gözleleeedğ gb ayı zaada tahleeeesde kayaklaaktadır. Hatalar eştlk (4.4) le verle odeldek β vektörü bledğ ç gözleleeezler. Buula brlkte e artığı, br alada şas hatası ε y ölçektedr. Bölü de belrtldğ gb artıklar, gözleş değerler le regresyo odelde elde edle uyuu yapılış değerler arasıdak farktır. Taıda da alaşılacağı gb artıklar regresyo odel açıklayaadığı ktardır. Model doğru olduğu durularda artıkları gözleş hatalar olarak değerledrek yalış olaz. Regresyo aalz uygulaasıda hatalar üzere, sıfır ortalaalı, brbrde bağısız, sabt varyaslı ve oral dağıldıklarıı belrte varsayılar yapılıştı. Uyuu yapıla odel doğru olası duruuda artıkları davraışı varsayıları geçerl olduğuu belrtr telkte olalıdır ya da e azıda varsayıları ret edleeyeceğ göstereldr. Artıkları varsayıları ret edleeyeceğ belrtes varsayıları doğru olduğu alaıa gelez sadece kullaıla ver set ve odel ç proble oladığıı açıklar. Uyuu yapıla odel doğru değlse, gözleleeeye hataları ε ve bua bağlı olarak artıkları e dağılıı değşecektr. Artıkları aalzde aaç e değerler celeerek ε le lgl varsayılarda ortaya çıka eksklkler yorulaasıdır. Bazı problelerde, odel yalış kurulası, ε değerler le e değerler arasıda uygu br lşk kurulables egeller. Bu gb durularda artıklarda gözlelee bazı belrtler, odel uygu oladığıı ve/veya varsayıları gerçekleşedğ belrts olablr. Artıkları oluşturdukları şekller düze, büyüklüklerde çok daha fazla blg taşır. Bu edele artıkları grafksel gösterler celees oldukça faydalı olacaktır. Araştıra ç gerekl blg elde edlebles ç geellkle brde fazla farklı grafğ aalz gerekl olableceğ uutulaalıdır. Aşağıdak kısılarda varsayıları ve odel yeterszlkler artıkları grafksel aalz ve test statstkler le asıl kotrol edleceğ açıklaacaktır. Buula brlkte lk varsayı ola hataları sıfır ortalaalı dağılıa sahp oldukları kousu oldukça bast olduğuda burada celeecektr. Daha karaşık grafk tekkler se Bölü de celeecektr. Araştıra ç gerekl blg elde edlebles ç geellkle brde fazla farklı grafğ aalz gerekl olableceğ uutulaalıdır. 77

9 Sabt ter çere br odel ç Bölü ve Bölü 4 de belrtldğ gb lk oral dekle soucu olarak = 0 e elde edlşt. Buu soucu olarak artıkları ortalaası, = ( e ) = 0 e olacaktır. Dğer br deyşle lk varsayıı EKK tahlee yöte garat altıa alaktadır. 6.3 ARTIKLARIN ANALİZLERİ İLE NORMAL DAĞILIMIN KONTROLÜ Hataları brbrde bağısız dağıldıkları varsayılaktadır. Buula brlkte artıklar brbrde bağısız olaazlar. Buu ede evcut adet deklede tahlee öcelğ p adet paraetreye verlesdr. Bu öcelk oral deklelerde artıklar üzerde p adet kısıt oluşturur ve souç olarak artıkları tahleese kala serbestlk dereces -p dr. Fakat tahlees gereke artık sayısı adettr. Souç olarak tü artıkları brbrde bağısız olası ükü değldr. Eğer p değer le kıyasladığıda çok büyük değlse ortaya çıka bu duruu oral dağılıı kotroller üzerdek olusuz etks fazla olayacaktır. Noral dağılıı kotrolüde kullaılablecek teel grafksel yöteler:. Artıkları frekas dağılıı; hstogralar, okta grafkler vb.. Artıkları oral ya da yarı oral plotları. olup aşağıda açıklaışlardır Artıkları Frekas Dağılıı Br boyutlu verler grafksel gösterler (hstogralar, okta grafkler) artıkları, oral br aa kütlede gele örek olup oladığıı belrleek ç kullaıla kolay ve hızlı br araştıra yötedr. Artıkları bast br frekas dağılıı, çarpıklık, brde fazla od, oral dağılıa göre daha kalı uç vb. gb orallk varsayııı geçersz kılablecek duruları ortaya çıkarılasıda oldukça faydalıdır. Buula brlkte orallk varsayııı kotrolü ç bu tp plotları kullaııda souçları güvelr olables ç örek hac büyük olası gerekldr. Gözle sayısıı az olası duruuda okta grafkler kullaılablr. Bu duruda artıklar sıfır ortalaalı br oral dağılıa bezeyecektr. Br regresyo aalzde aşağıda verle artıkları elde edldğ kabul edlerek, e = 5, -, -4, 4, 0, -6, 3, -, -5, -3, -, -, 0, - Şekl 6. de verle okta grafğ elde edleblr. İşaretleeler öesz düzeszlkler gösteres oral dağılıda alıa bu odört adet örekle oral dağılıda farklılık gösterdğ belrtez. Örekle hac az olası duruuda oral ve yarı oral plotları kullaılası daha uygu br yaklaşıdır

10 Şekl 6. Nokta grafğ 6.3. Noral Olasılık Plotları Noral olasılık plotu, öreğ oral dağılış göstere aa kütlede gelp geledğ araştırılasıda kullaılak üzere tasarlaıştır. Uygu örek hac ç oral sıra (order) statstklere karşı sıralaış artıkları plotudur. Noral sıra statstkler, ortalaası sıfır varyası br ola oral dağılıda gele dze sokuluş gözleler beklee değerdr. Br sürekl y şas değşke tesl ede y,y,...,y, hacl örek alıış olsu. Bu şas değşke stadart oral değşkee döüştürülerek, adet gözle, z,z,...,z şeklde düzelees örek sıra statstkler verr. Tekrarlı öreklerde her br z ç elde edle ortalaa, örekle yapıla olasılık dağılıı ç -c sıra statstğ verr. Eğer bu olasılık dağılıı sıfır ortalaalı br varyaslı br oral dağlıda örekleş se elde edle sıra statstkler, oral sıra statstkler olacaktır. Öreğ =5 hacl br örek ç oral sıra statstkler.63; ; 0; 0.495;.63 olarak verleblr. Br stadart oral değşke ç =5 olak üzere e küçük gözle beklee değer.63 dür.noral sıra statstkler =0 ye kadar tablolaştırılıştır, Pearso ve Hartley (966). Sıra statstkler ç kolay br yaklaşı, küülatf oral dağılıı ters foksyouu vere herhag br blgsayar prograı le sağlaablr. Bu ters foksyo, z =Φ - (k), şeklde taılaır. k değer artık dz br foksyou şeklde seçlr. k değer seçek ç tavsye edle br kaç forül aşağıda verlştr. 3 8 k = (6.0a) k = (6.0b) + 3 Eştlklerde, artığı dzdek yer belrte sıra sayısı, se örek hac belrtektedr. Eştlk (6.0a), 5 ç çok y br yaklaşı sağlaakta olup Mtab prograıda, eştlk (6.0b) se BMDP prograıda kullaılaktadır. Gözleş ve küçükte büyüğe düzeleş artıkları oral sıra statstklere karşı plot edles oral plotları verr. Eğer artıklar oral dağılıda alıa br öreğ tesl edyorsa oral plotu beklee soucu, orjde geçe ve eğ artıkları stadart sapasıa bağlı ola düz br doğru şeklde olasıdır, (bkz. Şekl 6.3a). Örek sıra statstkler öreklee değşkelğe bağlı olarak düz doğruda rassal bazı sapalar olablecektr. Bu sapaları ktarlarıı değerledre krterlere de htyaç vardır. Dael ve Wood (980) oral dağılııda alıa örekler oral olasılık plotlarıdak değşkelk ktarıı açıklaışlardır. Örekleedek değşkelk edeyle, oral dağılıda farklılık büyük oladıkça, küçük örekler ç oral olasılık plotları fazla blgledrc olayablr. 79

11 Br oral plotta beklee düz doğruda ayrılışlar oral dağılıda faklılığı belrtr. Br çarpık dağılı, oral plotu br eğr şeklde oluşasıa ede olur. Bu eğr yöü çarpıklığı yöüe bağlıdır. S-şekldek br eğr, eğr yöüe bağlı kalı veya ce kuyruklu br dağılıı belrtr, (bkz. Şekl 6.3b). Kalı kuyruklu dağılılar, oral dağılıa göre daha fazla ekstre gözlelere sahptr. İce kuyruklu dağılılar se daha az ekstre gözle çerr. Bu arada dkkat edles gereke br kou da, odelde evcut bazı kusurlarıda oral dağılışta farklılık etkse bezer durular gösterebleceğdr. Öreğ, farklı varyaslılık veya sapa artıklar ce kuyruklu br dağılı görütüsü vereblr. Karşılaşıla br başka soru da y br yaklaşı ç yeterl örek hac e olası gerektğdr. Gerekl örek hac büyüklüğü paraetre sayısıa p ve zdüşü atrse H bağlıdır. Bağısız değşke sayısıa göre alıası gereke örek ktarı le lgl sulasyo çalışaları Whte ve Mac Doald (980) le Perce ve Gray (98) tarafıda gerçekleştrlştr. Artıklar ayı değerde fakat farklı şaretlere sahp se yarı oral plot tekğ kullaılası daha uygudur. Bu duruda sıralaa 970). Artıklar y,, y, y, ç ye z,z,...,z, şeklde yapılır (bkz. Sparks ,0 -,8-0,6 0,6,8 Noral Sıra İstatstğ Şekl 6.3a Noral Dağılıa Uyu Göstere Artıkları Noral Olasılık Plotu 80

12 Artıklar 6,000 5,000 3,000,000, ,000-3,000-4,000-5,000-6, Noral Sıra İstatstğ Şekl 6.3b İce Uçlu Br Dağılıı Tesl Ede Noral Olasılık Plotu. S-Eğrs Verlerdek Farklı Varyaslılıkta Kayaklaaktadır. Br ver set oral dağılıa sahp oladığıı test etek ç kullaıla pek çok test evcuttur ve y blektedrler. Bu edele kou le lgl testler burada taıtılayacaktır. 6.4 ZAMAN ETKİSİ SABİT OLMAYAN VARYANS TRANSFORMASYON GEREKSİNİMİ VE EĞRİSELLİK İÇİN KONTROLLER Zaa etks, sabt olaya varyas, trasforasyo htyacı ya da odel eğrsellğ kotrolü aacıyla kullaılablecek artık grafkler, a) Artıkları uyuu yapılış değerlere karşı grafkler b) Artıkları bağısız değşkee göre grafkler, (regresyodak her br bağısız değşke ç ayrı ayrı) c) Verler zaa sırasıa göre grafkler, (eğer zaa sırası blyor se). Yukarıda belrtle grafkler tüüde artıklar dkey eksede yer alır. Artıkları uyuu yapılış değerlere ya da X atrs elealarıa karşı oluşturula grafkler ta ortogoaldr. Bu grafkler doğrusalsızlığı ve sabt olaya hata varyasıı teşhs etek aacıyla oldukça yaygı olarak kullaılaktadırlar. Bast regresyoda artıkları uyuu yapılış değerlere karşı plotu, odel uyuu le lgl blgy, gözleler zaaa göre ya da küçükte büyüğe sıralaasıa gerek kalada sağlar. Bu grafkler tüüde karşılaşılablecek dört teel grafk yapısı Şekl 6.4 de gösterlş ve özet yoruları Tablo 6. de açıklaıştır. Eğer Bölü de taılaa varsayılar doğru se e=0 doğrusuu çevresde dağıla artıkları yaklaşık olarak e=± sıırlarıı çde olası bekler, (Şekl 6.4a). Sıfır etrafıdak artıkları gderek geşleye br yapı gösteres farklı varyaslılığı belrtsdr. Bu tp br yapı Şekl 6.4b de gösterlştr. Eğer bağılı değşke br posso, bo ya da log-oral dağılış gösteryor se (daha geel olarak varyası ortalaasıı br foksyou σ =f(μ) se) bu tp 8

13 durularla karşılaşılası bekler. Ayrıca hatalar ekleeblr değlse (öreğ çarpısal se), Şekl 6.4b de gösterle durula karşılaşılablr. Sıfır çevresdek artıkları dağılııdak herhag br asetr odelde ya da teel varsayılarda br proble olduğuu belrtr. Öreğ, egatf artıkları değer olarak küçük fakat sayıca fazla, poztf artıkları değer olarak büyük fakat sayıca daha az olası, setrk br dağılış gösteres gereke artıkları poztf yöde çarpık dağılı gösterdkler göstergesdr. Çarpık dağılıı bu tp br grafk le teşhs edles, artıkları oral plotu ya da hstograıa göre daha basttr. Grafğ bazı bölgelerde egatf dğer bölgelerde se poztf artıkları fazla olası verlerdek ssteatk br hatayı ya da odelde öel br değşke hal edldğ ya da evcut değşkelerde brs karesel foruu odele lave edles gerektğ belrtr. Bu duru Şekl 6.4c de gösterlştr. Artıkları büyük br çoğuluğuu çde buluduğu badı dışıda bulua artık (veya artıklar) sapa gözle olarak teledrlr. r Şekl 6.4a Varsayıları karşıladığı Durular İç ŷ ye Karşı e Plotu Şekl 6.4b Farklı Varyaslılığı Mevcut Olduğu Durular İç ŷ ye Karşı e Plotu 8

14 Artıkları grafklerde karşılaşılablecek dğer br duru da Şekl 6.4d de gösterlştr. Artıklar yüksele veya aşağıya e br düz bat şeklde görütü çzeblrler. Bu tp durularla geellkle sabt ter odelde buluaası (uutulası) halde karşılaşılır. 0 - r Şekl 6.4c ŷ e Karşı Plot Edle Artıklar İç Eğrsel (Asetrk ) Br Örek r Y - Şekl 6.4d Sabt Ter Uutula Br Model İç Plot Öreğ Şekl 6.4 le verle plotları celees sezgsel olarak yapılaktadır. Bu grafksel gösterler ç gelştrle statstkler, grafk gösterler sayısal fadelere döüştürektedr. Örek olarak ŷ kestr değere karşılık e artıklarıı grafğ ele alısı. Şekl 6.4 ç gelştrle statstkler geel taıı, p q Tpq = = e yˆ özdeşlğ le verleblr. Şekl 6.4b dek duruu sayısal ölçüü, (6.a) 83

15 T = = e yˆ (6.b) Şekl 6.4c dek duruu sayısal ölçüü, T = = e yˆ (6.c) ve Şekl 6.4d dek duruu sayısal ölçüü, T = = e yˆ (6.d) eştlkler le hesaplaablr. Eştlk (6.d) soucuu sıfır olası bekler, (Draper ve Sth, 98). Tablo 6. Uygusuzluk belrte grafkler ç ükü çözü yöteler Şekl 6.4 Zaa sırası ŷ grafğ x j garfğ (b) Maske yapısı AEKK kulla AEKK kulla ya da (c) Eğrsel bat (d) Arta ya da azala bat Zaaı brc ve kc derecede ter odele ekle Zaaı brc derecede ter odele ekle y ç trasforasyo Modele karesel ya da çapraz çarpa terler ya da ye br değşke al ya da y ç trasforasyo Aalzde hata var ya da β 0 ter odele al AEKK kulla ya da y ç trasforasyo Modele karesel ya da çapraz çarpa terler ya da ye br değşke al ya da y ç trasforasyo Aalzde hata var ya da x j brc derecede ter odele al Artıkları y değerler yere, ŷ değerlere karşı plotlarıı kullaılasıı ede e ve ŷ vektörler ortogoal, başka br değşle aralarıdak kovaryası dolayısı le korelasyou sıfır olasıdır. Oysa e ve y vektörler arasıdak kovaryas ve bua bağlı olarak da korelasyo değer sıfırda faklıdır, bkz Alıştıra 6.. Artıkları uyuu yapılış değerlere karşı grafğ eğ - ola br düz doğruyu taılar bu özellk geellkle açık olaakla brlkte daa evcuttur. Öreğ ayı y=a değere sahp adet okta olsu. Artıkları bu ver set ç grafğ, ˆ ˆ ˆ a y a y a y ŷ ŷ y ˆ okta çftler kullaılarak gerçekleştrlr. Bu adet oktaı heps; (ŷ,e)=(a,0)=(0,a) oktalarıda geçe ve eğ - ola br düz doğru üzerdedr. Eğer ŷ ler ortalaası y se EKK kullaılarak bu doğruu eğ, 84

16 yy ˆˆ ( ) ( ˆ ) ( ˆ ) S ˆ ˆ a y ey a y y y = = S y y ve kesş ter, ( ˆ ) a y y = a buluur. Sıırlı sayıda gözle buluduğu ver setlerde bu özellk oldukça açık br şeklde görüleblr. Daha öce belrtldğ gb bu özellk daa evcuttur. Tekrarlı gözleler oladığı durularda her br doğru üzerde sadece br okta buluur. Bu doğruları oluşasıı kurula odel yapısı le br lgs yoktur. Doğrusal, doğrusal olaya ya da geelleştrlş doğrusal odel tahlee yöteler kullaılsa da ortaya çıkar. Daha öce belrtldğ gb hatalarda farklı olarak artıklar arasıda bağılılık evcuttur. Bu bağılılık grafkler etkler fakat pek çok duru ç oları geçersz hale getrez. Ascobe ve Tukey (963) k yölü varyas aalz celerke, korelasyoları ve artıklar üzerde oluşturula kısıtları, artıkları foksyolarıı dağılııı etkledğ fakat grafksel yaklaşılar üzerde bu etk hal edlebleceğ belrtşlerdr. Souç olarak geel regresyo duruları ç de hazırlaa grafkelr üzerde artıkları korelasyouu etks öesz olduğu kabul edleblr. Bu kabul ç stsa br duru (-p)/ değer çok küçük olasıdır Farklı Varyaslılık Farklı varyaslı hatalara sahp odel ç, her br hata ter oral dağıldığı, varyaslarıı se olup sabt oladığı kabul edlr. Matrs gösterde farklı varyaslılık, V(ε)=Vσ le fade edlr. Farklı varyaslılığı evcut olduğu duruda sırada EKK tahlee yöte büyük varyasa sahp gözlelere daha fazla ağırlık verr. Çükü bu yötede hata kareler toplaı ze edlek steektedr. Bu gzl ağırlıkladıra edeyle sırada EKK tahleycler hala sapasız ve tutarlı olakla brlkte, T T T T ( X X) X y = ( X X) X ( Xβ ε) b = + E ( b ) = β + E( ε) = β etk (ya u varyaslı), V T T T T T b = V X X X y = X X X V ( y) X( X X) T T T ( b) = ( X X) X VX( X X) σ V (6.) değldrler. Sırada EKK ç tahleyc, V T ( b) = ( X X) σ d. Görüldüğü gb k tahleyc brbrde farklıdır ve sırada EKK tahleycs sapalıdır. Dğer br deyşle paraetre tahler varyasları, paraetre tahler gerçek varyasıı sapalı br tahleycsdr. Paraetre tahler varyasları sapasız olsa ble etk 85

17 olayacaktır. Bu duruda, EKK le elde edle varyaslar alteratf br doğrusal sapasız tahcye at varyatsa daha büyük olacaktır Farklı Varyaslılık İç Testler Farklı varyaslılık testlerde aaç H 0 : σ σ = = σ = (6.3) şeklde taılaa br boş hpotez test gerçekleştrektr. Alteratf hpotez se, farklı varyaslılığı gderek ç kullaıla tahlee prosedürüe bağılıdır. Farklı varyaslılığı test ç: Goldfeld-Quadt test Breusch-Paga test Whte test Bartlet test kullaılablecek testlerdr. Goldfeld-Quadt Test: Alteratf hpotez 0 : cxj H σ = şeklde olup bağısız değşkelerde br büyüklükler dkkate alarak gözleler sıralar ve k regresyo doğrusu hesaplar. Geellkle ortadak d adet gözle hal eder(burada d yaklaşık / dr.) eğer her br regresyo doğrusua at varyaslar yaklaşık olarak eşt se eşt varyaslılık varsayıı ret edleez. Burada F-test uygulaak ç hataları oral dağıldığı ve otokorelasyou oladığı varsayılır. Gerçekleştrle F-test ç serbestlk dereceler he pay he de payda ç [(-d)/]-p şekldedr. Bu test zayıf oktası, uygulaa her k regresyodak paraetreler le lgl kısıtlaaları yapılaasıdır. Daha kuvvetl (. Tp hatası daha küçük) br test se, her k ver kües ç paraetreler eşt olduğu blgs kullaa sadece hata terler değştğ varsaya br testtr. Bu test bağısız değşke yere sadece y gözleler büyüklük sırasıa dkkat edlerek de gerçekleştrleblr. Breusch-Paga Test: Br bağısız değşke set Z le gerçek hata varyası arasıda br lşk σ =f(zδ) olduğuu varsayarak y=xβ+ε odel ele alır. Burada Z açıklayıcı değşke atrs olup çdek değşkeler X atrsde farklı olablr. Farklı varyaslılığı test etek ç lk olarak geel odel EKK tahler ve e değerler elde edlr. Bu artıklar, e s = değer tahleek ç kullaılır ve daha sora, e a = s buluarak, a= Zδ + v 86

18 odele regresyo uygulaır. Eğer orjal odel hataları oral dağılış ve farklı varyaslılık yok se yukarıdak odel regresyo kareler ortalaası, KT R χ k sabt varyaslılık boş hpotez ç uygu br test statstğ taılar. Burada k, Z atrsdek açıklayıcı değşke sayısıdır. Regresyo kareler toplaı değer artası Z dek değşkelerle hata varyası arasıda yüksek lşk olduğu dğer br deyşle farklı varyaslılığı ortaya çıktığıı belrtr. Eğer Z tek br değşkede oluşuyorsa farklı varyaslılığı düzeltek ç Z dek değşke x olarak kullaılır ve AEKK kullaılır. Buula brlkte z brde fazla açıklayıcı değşke çeryorsa bu geel yapı kullaılarak br düzelte yapılaz. Whıte Test: Breusch-Paga test oral dağılış varsayııa bağılıdır. Whte test, Breusch-Paga test le lşkl olup oral dağılıa bağılı değldr. Artıkları değl artıkları kares odeller. e = z δ + v T Bu odel R değer hesaplaır. Whte test eşt varyaslılık üzere oluşturuluş olup bu duru geçerl se, R χ k serbestlk derecel k-kare dağılır. Burada k, Z atrsdek değşke sayısıdır. k Her k test ç de öel okta, Z atrsdek değşkeler seçlesdr. Whte br z değşke farklı varyaslılığı oluşturduğuda şüpheleles duruuda Z atrsde he z değşke he de eğrsellğ araştırılası ç z buluasıı, z ve z gb k değşkede şüpheleldğde z, z ve z z atrse alıasıı tavsye etştr. 6.5 OTOKORELASYON İÇİN KONTROLLER Zaa sırası dkkatle alıarak belrl peryotlarda alıa gözleler geelde otokorelasyolu artıklara sahp olablrler. Bu tür gözleler artıkları öcek artıkları poloları olarak fade edleblr. Bazı sürekl prosesler zlees le elde edle zaa sers verlere at artıkları (dzsel) korelasyolu oldukları kabul edleblr. Zaa sers odeller ve aalzler bu otokorelasyoları dkkate alaktadır. Otokorelasyo, artıkları brbr takp edecek şeklde sıfır etrafıda ssteatk yapı oluşturasıdır. Br araştıradak verler kayıt edles brkaç gü alablecektr. Buu soucu olarak da bu tp duruları taaıda zaa deeysel gözleler üzerde etkl olablecektr. Zaa etks artıkları Şekl 6.5 de gösterle tpte br eğl gösterese ede olablecektr. Burada zaa kavraı, deeyler uyguladığı, ya da ölçüler alıdığı gözle sıralaasıı taılaaktadır. Şüphesz hataları lşkl olableceğ farklı yapılar evcuttur. Buula brlkte e sık karşılaşıla duru dzsel korelasyodur. Dzsel korelasyoda hatalar arasıda her s adıda ayı davraış yapısı le karşılaşılır. Dzsel korelasyo ç kullaıla göster geellkle ρ s şekldedr. Otokorelasyo EKK tahleycler sapasızlık ve tutarlılığıı etkleez, etklğ (u varyaslılığıı) etkler. Poztf otokorelasyo duruuda bu etklk kaybı, EKK le elde edle 87

19 stadart hataları tahler gerçek stadart hata değerde küçük olaları edeyle askeleecektr İşaret Test Otokorelasyou belrlees ç e çok kullaıla yötelerde br şaret (ru) testdr. Bu test brbr takp ede poztf ve egatf artıklardak dz sayısıı dkkate alaktadır. Daha sora bu dz sayısı, artıkları brbrde bağısız olduğu sıfır hpotez altıda ortaya çıkası beklee dz sayısı le karşılaştırılır. Şekl 6.5 de verle r değerler zaaa göre sıraladığıda poztf ve egatf artıklar, , şeklde sıralaacaktır. Topla 6 gözlede =7 adet poztf =9 adet egatf artık evcut olup dz sayısı u=5 tr. Draper ve Sth (98), + 0 ç (, ) örek hacdek dz sayısıı küülatf olasılığıı verştr. Bu örekte (, )=(7,9) ç u 5 ola olasılığı 0,035 olarak verlştr. Dz sayısıı beş ve beşte küçük ola olasılığıı bu kadar küçük olası, artıkları brbrde bağısız oldukları varsayııı statstksel olarak öel ölçüde geçersz bırakaktadır. Daha az dz sayısı poztf otokorelasyoda ler geleblrke artıklardak çok sayıdak dz sayısı egatf otokorelasyou br gösterges olablr. Eğer ve gözle sayıları 0 da fazla se dz dağılıı ç oral dağılışa yaklaşı kullaılablr. Dağılı ortalaası, varyası, + μ = (6.4a) σ = ( ) ( + ) ( + ) ve stadart oral sapası, ( u μ + ) (6.4b) z = (6.4c) σ eştlkler le elde edleblr. Eştlk (6.4c) dek (/) değer sürekllk ç düzelte faktörü olarak kullaılaktadır. Verle örekte ve değerler 0 da küçüktür. Bua rağe oral dağılı yaklaşıı kullaıldığıda μ=8.875 elde edlr. Buu soucuda z=-.78 buluur. z.78 de küçük ola olasılığı 0,0375 dr. Bu değer Draper ve Sth (98) verdğ 0,035 değere çok yakıdır. 88

20 r Yıl - - Şekl 6.5 r ler zaaa karşı plotu 6.5. Artıkları Br Geckel Plotu Zaa sers verlerdek otokorelasyo, her br artığı kedde br öcek artığa karşı plotu oluşturarak daha açık br şeklde ortaya çıkablr. Verlerdek br poztf otokorelasyo, Şekl 6.6 da olduğu gb poztf eğl br oktalar set oluşturur. + e e - - Şekl 6.6 Ardışık artıklar arasıdak poztf otokorelasyou göstere, e - e karşı e plotu Karşılaşılablecek dğer durular ola egatf korelasyo ve sıfır korelasyo Şekl.6 da gösterlştr Durb-Watso Test Artıklarda evcut ola otokrelasyo Durb-Watso test le de belrleeblr. Durb-Watso test statstğ, d ( e e ) = = e = (6.5) 89

21 eştlğ le verlr. Test statstğ d küçüldükçe poztf otokorelasyo ρ artacaktır. Tek taraflı Durb- Watso test artıkları brbrde bağısız olduğuu belrte boş hpotez ve alteratf hpotez; H 0 :ρ=0 H :ρ>0 k krtk değer d v ve d L kullaır. Bu değerler, p ve α ı seçe bağlıdır. Durb-Watso test statstğ ç krtk değerler Draper ve Sth (98) de verlştr. Eğer d<d L se test prosedürüe göre sıfır hpotez reddedlecektr. Bua karşı d>d v olası duruuda sıfır hpotez reddedleyecektr. Eğer test statstğ k krtk değer arasıda d L <d<d v se herhag br karar verlez, bu bölge kararsızlık bölgesdr. Negatf otokorelasyo ç tek taraflı test alteratf hpotez H a =ρ<0 şeklde olup, karar ç ye ayı krtk değerler d v ve d L kullaılır. Fakat karar bölgeler 4-d v ve 4-d L olarak oluşturularak, kararlar poztf otokorelasyodake bezer şeklde verlr. Durb- Watso test kullaılırke alalı br souç elde edles ç verler zaaa göre düzelees (eğer zaa sers vers değlse) gerekldr. Zaa sers verler se zaaa göre düzeleeldr. Durb-Watso test alteratf hpotez, ε + z (6.6) = ρε İlşks taılar. Burada z ~N(0;σ ) olup ε lerde bağısızdır. Ayrıca ε ler N[0;σ /(-ρ )] şeklde sabt ortalaa ve varyasa sahptrler. Eğer H 0 doğru se ε ~N(0;σ ) olacaktır. Artıkları ve odel daha ler aalz tekkler Bölü de açıklaacaktır. 90