MAK 210 SAYISAL ANALİZ

MAK 210 SAYISAL ANALİZ BÖLÜM 5- SONLU FARKLAR VE İNTERPOLASYON TEKNİKLERİ Doç. Dr. Ali Rıza YILDIZ MAK 210 - Sayısal Analiz 1

İNTERPOLASYON Tablo halinde verilen hassas sayısal değerler veya ayrık noktalardan oluşan grafikler için ara değerlerin bulunması işlemi interpolasyon olarak; verilen noktaların dışındaki değerlerin bulunması işlemi de ekstrapolasyon olarak adlandırılır. İnterpolasyon için yaygın olarak kullanılan yöntem, noktalardan geçen polinom kullanmaktır. (n + 1) adet (x i, y i ) noktası tablo veya grafik olarak verilmiş olsun. Bu noktalardan geçen polinom denkleminin bulunması yanında ara noktalardaki x değerlerine karşılık gelen y değerlerinin hesaplanması interpolasyon bölümünün konusudur. Öncelikle, interpolasyon tekniklerinin uygulanmasında kolaylık sağlayan bazı tanımlar ve sonlu fark tabloları verilecek daha sonra interpolasyon teknikleri izah edilecektir. MAK 210 - Sayısal Analiz 2

İleri Sonlu Farklar Bir y = f(x) fonksiyonunun, eşit aralıklı h = x x 0, x 1, x n değerlerine karşılık gelen değerleri (y 0, y 1, y n ) tablo veya grafik halinde verilmiş olsun. Buna göre birinci mertebeden ileri sonlu farklar; y 0 = y 1 y 0 = f x 0 + h f x 0 (0 noktasına ait ileri sonlu fark) y 1 = y 2 y 1 = f x 1 + h f x 1 (1 noktasına ait ileri sonlu fark) y i = y i+1 y i = f x i + h f x i (i noktasına ait ileri sonlu fark) MAK 210 - Sayısal Analiz 3

y y 2 y 1 y i y 0 y i+1 h h h. x 0 x 1 x 2. x i x i+1 x Şekil 5.1 Ayrık noktalar için ileri sonlu farklar İkinci mertebeden ileri sonlu farklar ise, 0 noktası için 2 y 0 = y 0 = y 1 y 0 = y 1 y 0 = y 2 y 1 (y 1 y 0 ) MAK 210 - Sayısal Analiz 4

2 y 0 = y 2 2y 1 + y 0 şeklinde ifade edilecektir. En genel halde i. noktası için ikinci dereceden ileri sonlu fark ifadesi 2 y i = y i+2 2y i+1 + y i olarak yazılabilir. Üçüncü veya daha yüksek mertebeden ileri sonlu farklar benzer şekilde 3 y 0 = 2 y 0 = ( y 0 ) = tanımlanabilir. Bu şekilde tanımlanan ileri sonlu farkların tablo halinde düzenlenmesi kolaylık sağlar. Ardışık farklar alınarak sonlu fark tablosunun MAK 210 - Sayısal Analiz 5

nasıl hazırlanacağı aşağıda örnekte gösterilmiştir. Bu tabloda x 0 ile numaralandırılan satıra temel satır denir. İnterpolasyon polinomları kısmında da görüleceği üzere bu satırın seçimi probleme göre belirlenir. Örnek 5.1: Aşağıdaki değerler verildiğine göre ileri sonlu fark tablosunu oluşturunuz. x = 0 1 2 3 4 5 y = -7-3 6 25 62 129 MAK 210 - Sayısal Analiz 6

Çözüm: Verilen y değerlerinin ardışık olarak farkları alınıp ilgili yerlere yazılarak ileri sonlu fark tablosu aşağıdaki gibi oluşturulabilir. Görüldüğü gibi 6 nokta verildiğinde en fazla 5. mertebeden sonlu fark hesaplanabilmektedir. x y y 2 y 3 y 4 y 5 y x 0 = 0-7 -3-(-7)=4 9-4=5 10-5=5 8-5=3 4-3=1 x 1 = 1-3 6-(-3)=9 19-9=10 18-10=8 12-8=4 x 2 = 2 6 25-6=19 37-19=18 30-18=12 x 3 = 3 25 62-25=37 67-37=30 x 4 = 4 62 129-62=67 x 5 = 5 129 MAK 210 - Sayısal Analiz 7

Geriye Sonlu Farklar n tane eşit h aralıklı nokta (x i, y i ) verilmiş olsun. Birinci mertebeden geriye sonlu farklar; y 0 = y 0 y 1 = f x 0 f x 0 h (0 noktasına ait geriye sonlu fark) y 1 = y 1 y 2 = f x 1 f x 1 h ( 1 noktasına ait geriye sonlu fark) y i = y i y i 1 = f x i f x i h (i noktasına ait geriye sonlu fark) MAK 210 - Sayısal Analiz 8

y y 0 y 1 y 2 y 3 h h h. x 3 x 2 x 1 x 0 x Şekil 5.2 Ayrık noktalar için geriye sonlu farklar şeklinde; ikinci mertebeden geriye sonlu farklar ise, 2 y 0 = y 0 = y 0 y 1 = y 0 y 1 = y 0 y 1 (y 1 y 2 ) MAK 210 - Sayısal Analiz 9

2 y 0 = y 0 2y 1 + y 2 şeklinde ifade edilecektir. En genel halde i. noktası için ikinci dereceden geriye sonlu fark ifadesi 2 y i = y i 2y i 1 + y i 2 olarak yazılabilir. Üçüncü veya daha yüksek mertebeden geriye sonlu farklar benzer şekilde 3 y 0 = 2 y 0 = ( y 0 ) =.. prensibinden hareketle elde edilebilir. MAK 210 - Sayısal Analiz 10

Örnek 5.2: Yukarıdaki örneğe ait geriye doğru sonlu fark tablosunu oluşturunuz. Çözüm: Ardışık farklar alınıp uygun konumlara yazarak aşağıda geriye sonlu farklar tablosu elde edilir. x y y 2 y 3 y 4 y 5 y x 5 = 0-7 x 4 = 1-3 -3-(-7)=4 x 3 = 2 6 6-(-3)=9 5 x 2 = 3 25 25-6=19 10 5 x 1 = 4 62 62-25=37 18 8 3 x 0 = 5 129 129-62=67 30 12 4 1 MAK 210 - Sayısal Analiz 11

Tablodan görüldüğü gibi sonlu fark değerleri ileri sonlu fark değerleriyle aynı olmakla beraber tablodan şekli değişmiş ve beşinci mertebeden sonlu fark en son noktaya karşılık gelmiştir. MAK 210 - Sayısal Analiz 12

Merkezi Sonlu Farklar n tane eşit h aralıklı nokta (x i, y i ) verilmiş olsun. Birinci mertebeden merkezi sonlu farklar ara noktalarda aşağıdaki gibi tanımlanır: δy 1 2 = y 1 y 0 δy 3 2 = y 2 y 1... (1 2 noktasında merkezi fark) (3 2 noktasında merkezi fark) δy i+1 2 = y i+1 y i (i + 1 2 noktasında merkezi fark) İkinci mertebeden merkezi sonlu farklar ise verilen noktalarda MAK 210 - Sayısal Analiz 13

δ 2 y 1 = δ δy 1 = δ y 1+1 2 y 1 2 = δy 3 2 δy 1 2 = y 2 y 1 (y 1 y 0 ) δ 2 y 1 = y 2 2y 1 + y 0 şeklinde bulunur. i. noktası için genel ifade ise y y i y i+1 y 0 y 1 h. x 0 x1 x 1. 2 x i x i+1 x Şekil 5.3 Ayrık noktalar için merkezi sonlu farklar MAK 210 - Sayısal Analiz 14

δ 2 y i = y i+1 2y i + y i 1 olarak yazılabilir. Üçüncü veya daha yüksek mertebeden geriye sonlu farklar benzer şekilde δ 3 y i+1 2 = δ 2 δy i+1 2 = δ(δ δy i+1 2 ) = prensibinden hareketle elde edilebilir. Merkezi farklar da bu formüllerle bulunabileceği gibi daha pratik ve toplu halde olması açısından fark tablosu halinde hazırlanır. Bu tablonun nasıl hazırlanacağı aynı örnek üzerinde açıklanacaktır. MAK 210 - Sayısal Analiz 15

Örnek 5.2: Yukarıdaki örneğe ait merkezi doğru sonlu fark tablosunu oluşturunuz. Çözüm: Yine verilen sayılardan ardışık farklar alıp ara noktalara yazarak merkezi sonlu fark tablosu aşağıdaki gibi elde edilir. Bu tabloda sayısal değerler aynı olup 5. mertebeden sonlu fark merkez bölgede ortaya çıkmıştır. x y y 2 y 3 y 4 y 5 y x 2 = 0-7 x 1 = 1-3 x 0 = 2 6 x 1 = 3 25 x 2 = 4 62 x 3 = 5 129-3-(-7)=4 6-(-3)=9 25-6=19 62-25=37 129-62=67 5 10 18 30 5 8 12 3 4 1 MAK 210 - Sayısal Analiz 16

İNTERPOLASYON POLİNOMLARI Bir y = f(x) sürekli fonksiyonu sonlu n adet (y i, x i ) ayrık noktalarından meydana geldiği kabul edilirse herhangi i, i + 1 noktaları arasındaki bir x değerine karşılık gelen y değeri interpolasyon teknikleriyle yaklaşık olarak bulunabilir. Bu amaçla, verilen noktalardan geçen eğri denklemleri kullanılır. Tablo veya grafik halinde verilen belirli noktalardan geçen eğri denkleminden yararlanarak, ara noktalardaki değerlerin bulunması işleminde genellikle polinomlar kullanılmaktadır. Nasıl ki verilen iki noktadan bir doğru, yani birinci dereceden bir polinom geçer, verilen n + 1 adet noktadan da n. dereceden bir polinom bulunabilir. Bir başka ifadeyle n. dereceden bir polinom bulmak için en az n + 1 tane sayısal değer x 0, y 0, x 1, y 1 (x n, y n ) verilmelidir. Verilen nokta sayısına göre polinomun aldığı form ayrı ayrı elde edilecektir. MAK 210 - Sayısal Analiz 17

Lineer İnterpolasyon Aralarındaki mesafe h olan (x 0, y 0 ) ve (x 1, y 1 ) gibi iki nokta verilmiş olsun. Bu noktalardan geçen doğru denklemi kolayca yazılabilir. y y 0 x x 0 = y 1 y 0 x 1 x 0 y = y 0 + y 1 y 0 x 1 x 0 (x x 0 ) MAK 210 - Sayısal Analiz 18

y y 1 y r y p e y 0 h sh x 0 x x 1 x Şekil 5.4 Lineer İnterpolasyon veya ileri sonlu fark tanımlarıyla y = y 0 + y 0 h (x x 0) MAK 210 - Sayısal Analiz 19

h = x 1 x 0 ve y 0 = y 1 y 0 yazılabilir. Yeni bir parametre tanımıyla bu ifade daha kısa ve kullanışlı bir formda yazılabilir. (x x 0 ) h nın belli bir yüzdesi olarak alınırsa, yani x x 0 = s. h s = x x 0 h y = y p = y 0 + s. y 0 bulunur. Burada p indisi interpolasyon polinomu anlamında kullanılmıştır. Bu ifade kullanılarak x ara noktasına karşılık y p değeri hesaplanabilir. Ancak lineer interpolasyon ile elde edilen bu değer, gerçek fonksiyonun verceği y r değerinden MAK 210 - Sayısal Analiz 20

farklıdır. Aradaki fark oluşan hata (e) dir. Örnek 5.4: Zamana bağlı bir değişken için t = 0.5 1.0 1.5 y = 0.6065 0.3679 0.2231 değerler verildiğine göre t = 1.1 için y değerini bulunuz. Gerçek değer 0.3329 ise mutlak hatayı hesaplayınız. MAK 210 - Sayısal Analiz 21

Çözüm: Verilen değerlere göre ileri sonlu fark tablosu aşağıdaki gibi hazırlanabilir. t y y 2 y 0.5 0.6065-0.2386 0.0938 1.0 0.3679-0.1448 1.5 0.2231 Temel satır olarak t 0 = 1.0 alınırsa, h = t = 0.5 ile s = t t 0 h = 1.1 1 0.5 = 0.2 ve aranan değer lineer interpolasyon ile MAK 210 - Sayısal Analiz 22

y 1.1 = 0.3679 + 0.1448. (0.2) y 1.1 = 0.33894 olarak bulunur. Buna göre mutlak hata e = 0.3329 0.33894 = 6.04x10 3 olur. Eğer temel satır olarak t 0 = 0.5 alınırsa s = t t 0 h = ile istenen değerler 1.1 0.5 0.5 = 1.2 y 1.1 = 0.60654 + 0.2386. 1.2 = 0.32018 e = 0.3329 0.32018 = 12.7x10 3 MAK 210 - Sayısal Analiz 23

İkinci dereceden (Quadratik) İnterpolasyon Eşit aralıklı x 0, y 0, x 1, y 1 ve (x 2, y 2 ) noktalarından geçen ikinci dereceden bir polinom, veya y p = Ax 2 + B. x + C y p = b 0 + b 1 x x 0 + b 2 (x x 0 )(x x 1 ) formunda yazılabilir. Birinci denklemdeki A,B ve C katsayılarının bulunması için verilen noktalar kullanılırsa MAK 210 - Sayısal Analiz 24

y y 2 y = f(x) e y 0 y 1 y = y p h h x 0 x x 1 x 2 x Şekil 5.5 Quadratik İnterpolasyon x 0, y 0 için y 0 = A. x 0 2 + B. x 0 + C x 1, y 1 için y 1 = A. x 1 2 + B. x 1 + C MAK 210 - Sayısal Analiz 25

x 2, y 2 için y 2 = A. x 2 2 + B. x 2 + C denklemleri elde edilir. Bu üç lineer denklem çözülerek A,B,C katsayıları bulunur ve polinomda yerine yazılırsa y p = 1 + s. (s 3) 2 y 0 + s 2 s. y 1 + s(s 1) 2 y 2 bulunur. Burada, s = x x 0 h dır. İleri sonlu fark kullanılırsa denklem MAK 210 - Sayısal Analiz 26

y p = y 0 + s. y 0 + s(s 1) 2 2 y 0 (5.19) şeklinde de yazılabilir. Burada A,B,C katsayılarının bulunması amacıyla lineer denklem sisteminin çözülmesi uzun işlemleri gerektirmiştir. Aynı sonuca yukarıda verilen ikinci tip polinomun kullanılması ile ulaşmak daha kolaydır. İkinci tip polinomdaki b 0, b 1, b 2 katsayıları için yine verilen noktalar kullanılırsa x 0, y 0 için b 0 = y 0 x 1, y 1 için b 1 = (y 1 y 0 ) h = y 0 h x 2, y 2 için b 2 = y 2 y 1 y 1 y 0 h h = 2 y 0 x 2 x 0 2h 2 MAK 210 - Sayısal Analiz 27

ifadeleri elde edilir. Bu katsayıların yerlerine konması ile elde edilecek interpolasyon polinomu Eşt.(5.19) ile aynı olacaktır. Örnek 5.5: Yukarıdaki soruyu quadratik interpolasyonla çözünüz. Çözüm: Burada 2 y 0 terimini içeren birinci satır temel satır olarak seçilmelidir. Buna göre aynı sonlu fark tablosu kullanılırsa y p 1.1 = 0.6065 + 1.2 0.2386 + 1.2 1.2 1 2 x 0.0938 = 0.331436 değeri ve hata MAK 210 - Sayısal Analiz 28

e = 0.3329 0.331436 = 1.435x10 3 olarak hesaplanır. Görüldüğü gibi ikinci dereceden interpolasyonda hata daha da azalmıştır. MAK 210 - Sayısal Analiz 29

Newton-Gregory İlerleme Polinomu Yukarıdaki yol izlenerek n + 1 noktadan geçen n. dereceden bir interpolasyon polinomu elde edilebilir. n. dereceden polinom y p = b 0 + b 1 x x 0 + b 2 x x 0 x x 1 + + b n x x 0 x x 1 (x x n 1 ) şeklinde yazılarak b 0, b 1, b 2,, b n katsayıları bulunabilir. Bu katsayıların bulunup yerine konmasıyla oldukça uzun bir ifade elde edilir. Bu ifade, aralıkların eşit ve h olması halinde daha basit bir hale gelir. Bu basit ifadeye aşağıdaki yol izlenerek te ulaşılabilir. Eşit aralıklı (x i, y i ) noktaları (i = 0,1,2,, n) verilmiş olsun. İleri sonlu farklardan yararlanarak y 1, y 2, değerleri MAK 210 - Sayısal Analiz 30

y 0 = y 1 y 0 y 1 = y 0 + y 0 = 1 +. y 0 2 y 0 = y 2 2. y 1 + y 0 y 2 = 2 y 0 + 2. y 1 y 0 veya denkleme y 0 ekleyip çıkarırsak, y 2 = 2 y 0 + 2. y 1 y 0 + y 0 = 2 + 2 + 1. y 0 y 2 = (1 + ) 2. y 0 bulunur. Yapılan işlemler benzer şekilde tekrarlanarak, y 3 = (1 + ) 3. y 0 MAK 210 - Sayısal Analiz 31

y 4 = (1 + ) 4. y 0 ve herhangi bir x değerine karşılık gelen interpolasyon değeri y p = (1 + ) s. y 0 şeklinde yazılabilir. Bu son ifade Binom serisine açılarak, y p = y 0 + s y 0 + s(s 1) 2! 2 y 0 + s(s 1)(s 2) 3! 3 y 0 + MAK 210 - Sayısal Analiz 32

+ s s 1 s 2 s (n 1) n! n y 0 Newton-Gregory ilerleme polinomu diye de adlandırılan bu ifade C n s = s n = s. s 1. s 2 [s n 1 ] n! tanımı ile, y p = y 0 + s 1 y 0 + s 2 2 y 0 + + s n n y 0 şeklinde de yazılabilir. Taylor serisinin hatasına benzer olarak bu polinomun hata MAK 210 - Sayısal Analiz 33

terimi de e p = s n + 1 hn+1 y n+1 (x s ) olacaktır. Burada x s incelenen aralıkta (x 0 x n aralığı) herhangi bir x değeri olup y fonksiyonu bilinmediği durumlarda n + 1. türevin de tam olarak hesaplanamayacağı açıktır. Çoğu zaman olduğu gibi fonksiyonun bilinmediği durumlarda türevin yaklaşık tahmini için ileride de verileceği gibi sonlu fark formüllerinden yararlanmak mümkündür. Fonksiyonunun n + 1. türevi için sonlu fark ifadesi y n+1 n+1 y h n+1 MAK 210 - Sayısal Analiz 34

olduğu ileride gösterilecektir. Buradan da şu söylenebilir ki verilen noktalardan geçen n + 1. dereceden polinomla n. dereceden polinom arasındaki fark yaklaşık hata terimi olacaktır. Zira polinoma ilave edilen her terim, yakınsak seri olması halinde gittikçe küçülecektir. Newton-Gregory Gerileme Polinomu Yukarıdaki gibi işlemlere başvurarak, geri sonlu farkları içeren ve (n + 1) tane eşit aralıklı (x i, y i ) noktalarından geçen n. dereceden bir polinom y p = y 0 + s y 0 + s(s + 1) 2! 2 y 0 + s(s + 1)(s + 2) 3! 3 y 0 + MAK 210 - Sayısal Analiz 35

+ s s + 1 s + 2 [s + n 1 ] n! n y 0 olarak elde edilebilir. Bu polinom Newton-Gregory gerileme polinomu diye de adlandırılır. Merkezi Fark İnterpolasyon Polinomları Merkezi farkları kullanan interpolasyon polinomları benzer işlemlerle elde edilebilir. Eşit aralıklı (n + 1) noktadan geçen n. dereceden merkezi fark polinomları referans alınan noktaya göre farklı şekillerde ortaya çıkar. Daha karmaşık olan bu polinomların çıkarılışına girmeden sonuç denklemleri verilecektir. MAK 210 - Sayısal Analiz 36

Lagrange İnterpolasyon Polinomu Buraya kadar verilen yüksek dereceden interpolasyon polinomları eşit aralıklı noktalar halinde kullanılabilir. Ancak aralıklar her zaman eşit olmayabilir. Aralıklar eşit değilse ya yukarıda verilen polinomlar yeni duruma uyarlanır veya Lagrange interpolasyon polinomu kullanılır. En basit haliyle iki nokta kullanan lineer interpolasyon denklemini (Eşt. 5.13) tekrar ele alıp yeniden düzenlersek y = y 0 + y 1 y 0 x 1 x 0 (x x 0 ) y = y 0 + x x 0 x 1 x 0 y 1 x x 0 x 1 x 0 y 0 MAK 210 - Sayısal Analiz 37

y = 1 x x 0 x 1 x 0 y 0 + x x 0 x 1 x 0 y 1 y = x x 1 x 0 x 1 y 0 + x x 0 x 1 x 0 y 1 elde edilir. Bu ifadeyi n nokta için genelleştirmek mümkündür. Eşit aralıklı olmayan n adet (x i, y i ) noktalarından (i = 1,2,, n) geçen n + 1. dereceden Lagrange interpolasyon polinomu, y p = x x 2. x x 3 x x n x 1 x 2. x 1 x 3 x 1 x n y 1 + MAK 210 - Sayısal Analiz 38

x x 1. x x 3 x x n y x 2 x 1. x 2 x 3 x 2 x 2 + n + x x 1. x x 2 x x n 1 x n x 1. x n x 2 x n x n 1 y 2 formundadır. Bu genel ifade daha kısa olarak y p x = L i x. y i şeklinde yazılabilir. Burada n i=1 L i x = x x 1 x x 2 x x i 1 x x i+1 (x x n ) x i x 1 x i x 2 (x i x i 1 )(x i x i+1 )(x i x n ) MAK 210 - Sayısal Analiz 39

L i x = n j=1 j i x x j x i x j çarpım terimini göstermektedir. Örnek 5.6: 1.1,10.6, 1.7,15.2 ve (3.0,20.3) noktalarından geçen bir polinom bulunuz ve x = 2.3 değerine karşılık gelen y değerini hesaplayınız. MAK 210 - Sayısal Analiz 40

Çözüm: x aralıkları eşit olmadığından Lagrange polinomu kullanabiliriz. x y x 1 1.1 10.6 x 2 1.7 15.2 x 3 3.0 20.3 y p x = (x 1.7)(x 3.0) (x 1.1)(x 3.0) 10.6 + (1.1 1.7)(1.1 3.0) (1.7 1.1)(1.7 3.0) 15.2 (x 1.1)(x 1.7) + (3 1.1)(3 1.7) 20.3 = 1.97x 2 + 13.18x 1.518 ve x = 2.3 için y p (2.3) = 18.38 elde edilir. MAK 210 - Sayısal Analiz 41

Ters İnterpolasyon Bu ana kadar verilen bir bağımsız değişkenin değerine karşılık fonksiyonun alacağı y değerinin nasıl bulunacağı üzerinde durulmuştur. Bazı durumlarda ise, verilen y değerine karşılık bağımsız değişken x in bulunması problemi ile karşılaşılır. Ters interpolasyon diye adlandırılan bu işlem iki şekilde yapılabilir. Bunlardan birincisi verilen noktalardan y p (x) polinomu geçirilerek verilen x değerine karşılık polinomdan y değerinin hesaplanması işlemine geçmektir. Ancak polinom üç veya daha yüksek dereceden ise y değerini bulmak için nonlineer denklem çözüm yöntemlerinden birinin kullanılması gerekir. İkinci yol ise, verilen tablo değerlerinin yer değiştirilerek, yani x değerlerini y, y değerlerinin de x sütunu olarak alınıp sonlu fark tablosunun hazırlanması ve interpolasyonun yapılmasıdır. MAK 210 - Sayısal Analiz 42

Ancak bu durumda y değerleri arasındaki fark eşit olmadığından ancak Lagrange interpolasyonu kullanılabilir. Çok Değişkenli İnterpolasyon Bağımsız değişken sayısı birden fazla ise çok değişkenli interpolasyon gerekir. Tek değişkenli interpolasyon teknikleri çok değişkenli durumlara genişletilebilir. Ancak bağımsız değişken sayısı arttıkça ifadeler uzayıp karmaşıklaşır. Dolayısıyla fazla detaya girmeden mühendislikte de daha fazla karşılaşılan iki değişkenli durumlar ele alınacaktır. Bağımsız değişkenleri x ve y olan bir u(x, y) fonksiyonu için belli sayıda (x i, y i, u i ) noktası verilmiş olsun. Herhangi x ve y ara değerlerine karşılık fonksiyonun alacağı değeri bulmak için başvurulacak yollardan biri, tek değişkenli MAK 210 - Sayısal Analiz 43

yöntemlerden birini iki yönde, mesela önce x, sonra da y yönünde ardışık uygulanarak sonuca ulaşmaktır. İkinci yolda ise verilen noktalardan geçen bir yüzey denklemi oluşturup interpolasyon yapmaktır. Verilen noktalardan geçen 2. dereceden bir eğrisel yüzey denklemi, genel olarak, u p = a 0 + a 1 x + a 2 y + a 3 x 2 + a 4 y 2 + a 5 xy şeklinde yazılabilir. Bu ifadede katsayıların bulunması problemin en önemli kısmıdır. Dolayısıyla, işlemi daha basit hale getirmek için genelde iki yaklaşık yöntem kullanılır. Üçgen Yöntemi: İnterpolasyon kullanılacak noktalar bir üçgen oluşturuyor ve sorulan nokta (x, y) bu üçgenin içinde kalıyorsa MAK 210 - Sayısal Analiz 44

u p = a 0 + a 1 x + a 2 y şeklinde bir düzlem denklemi kullanılabilir. Dikdörtgen Yöntemi: İnterpolasyonda kullanılacak dört nokta varsa ve bunlar bir dikdörtgen oluşturuyorsa u p = a 0 + a 1 x + a 2 y + a 3 xy ifadesine göre interpolasyon yapılabilir. Burada katsayıların bulunmasını kolaylaştırma için bu ifade u p = a 0 + b x x 0 + c y y 0 + d(x x 0 )(y y 0 ) şeklinde de yazılabilir (Şekil 5.5). Dikdörtgenin köşe noktalarındaki u fonksiyon MAK 210 - Sayısal Analiz 45

değerlerini kullanarak katsayılar (x 0, y 1 ) (x 1, y 1 ) (x, y) y x (x 0, y 0 ) (x 1, y 0 ) Şekil 5.7 Dört nokta kullanan iki değişkenli interpolasyon a = u(x 0, y 0 ) b = u x 1, y 0 u(x 0, y 0 ) x MAK 210 - Sayısal Analiz 46

c = u x 0, y 1 u(x 0, y 0 ) y d = u x 1, y 1 + u x 0, y 0 u x 0, y 1 u(x 1, y 0 ) x y olarak kolayca elde edilir. MAK 210 - Sayısal Analiz 47

Örnek 5.7: Bir sıvının viskozitesi (v) farklı (T) sıcaklıklarında ölçülerek tablo halinde verilmiştir. T( ) -5 5 15 25 35 45 55 v(cst) 5.53 2.78 1.47 0.81 0.46 0.27 0.18 a) Viskozitenin sıcaklıkla değişimini gösteren 3. dereceden uygun bir polinom bulunuz. b) Sıfır derecede viskoziteyi hesaplayınız. c) Viskozitenin 0.6 olduğu T sıcaklığını bulunuz. MAK 210 - Sayısal Analiz 48

Çözüm: a) 3. dereceden polinom 4 nokta kullanır. Verilen nokta sayısı ise 7 olduğundan verilen datanın 4 tanesi uygun bir şekilde seçilmelidir. İlk 4 veya son 4 noktanın alınması yerine belli aralıklarda tüm aralığı kapsayacak şekilde 4 noktanın seçilmesi daha uygun olacaktır. Birer atlayarak 4 noktayı seçip yeni bir sonlu fark tablosu hazırlayalım. İleri sonlu fark polinomu kullanmak istersek tablo aşağıdaki gibi olacaktır. T v v 2 v 3 v -5 5.53-4.06 3.05-2.32 15 1.47-1.01 0.73 35 0.46-0.28 55 0.18 MAK 210 - Sayısal Analiz 49

3. Dereceden ileri fark interpolasyon polinomu y p = v = v 0 + s v 0 + s(s 1) 2! 2 v 0 + s(s 1)(s 2) 3! 3 v 0 T 0 = 5, v 0 = 5.33 ve s = T T 0 20 alınırsa v = 4.102 0.254T + 5.987x10 3 T 2 4.833x10 5 T 3 elde edilir. b) Bulunan polinomu kullanarak T = 0 için v = 4.102 cst bulunur. Veya tüm noktaları kullanarak interpolasyon yapılabilir. Örneğin tüm noktaları kullanarak ve ilerleme polinomunu 6. terime kadar alarak, s = (T T 0 ) 20 = (T + 5) 10 ile viskozite değeri v 0 = 3.898 cst elde edilir. MAK 210 - Sayısal Analiz 50

c) Bu soru için ters interpolasyon yapmak gerekir. Bunun için tabloda viskozite ve sıcaklık sütunlarını yer değiştirip Lagrange interpolasyonu yapılabilir. Veya bulduğumuz 3. dereceden interpolasyon polinomu kullanabiliriz: 4.102 0.254T + 5.987x10 3 T 2 4.833x10 5 T 3 = 0.6 Bu nonlineer denklem uygun bir yöntemle çözülerek 25 ile 35 arasında beklenen kök değeri T = 28.356 olarak elde edilir. MAK 210 - Sayısal Analiz 51

5.6: Bir y = f(x) fonksiyonuna ait ölçüm değerleri aşağıdaki tabloda verilmiştir. x 0.5 1 1.5 2 y -0.65 1.2 6.65 17.5 a) Verilen noktalardan geçen interpolasyon polinomunun derecesi en fazla kaç olabilir? b) Bu polinomu bulunuz. c) x=0.8 için y nedir? d) y=5 için x ne olabilir? MAK 210 - Sayısal Analiz 52

Çözüm 5.6: a) Verilen nokta sayısı 4 olduğu için en fazla 3. Dereceden bir polinom elde edebiliriz. b) x y y 2 y 3 y 0.5-0.65 1.85 3.6-13.95 1 1.2 5.45-10.35 1.5 6.65-4.9 2 17.5 c) 3. dereceden ileri fark interpolasyon polinomu s(s 1) y p = y = y 0 + s y 0 + 2 y 2! 0 + s(s 1)(s 2) 3 y 3! 0 x 0 = 0.5 y 0 = 0.65 s = (x x 0 ) 0.5 MAK 210 - Sayısal Analiz 53

İleri sonlu fark tablosundaki terimler ve diğer ifadeler Newton- Gregory ilerleme polinomunda yerine yazılırsa 3. dereceden polinom aşağıdaki gibi elde edilir: c) x = 0.8 için y = 1.072 y = 0.65 + 3.7 x 0.5 + 7.2 x 0.5 x 1 111.6(x 0.5)(x 1)(x 1.5) MAK 210 - Sayısal Analiz 54

Lagrange interpolasyon denklemini kullanarak y=5 için x değerini bulabiliriz. y p = x 1.2 x 6.65 x 17.5 0.65 1.2 0.65 6.65 0.65 17.5. 0.5 x + 0.65 x 6.65 x 17.5 + 1.2 + 0.65 1.2 6.65 1.2 17.5. 1 x + 0.65 x 1.2 x 17.5 + 6.65 + 0.65 6.65 1.2 6.65 17.5. 1.5 x + 0.65 x 1.2 x 17.5 + (17.5 + 0.65) 17.5 1.2 17.5 6.65. 2 y 5 = x = 1.3876 MAK 210 - Sayısal Analiz 55