1. 52 iskambil kağıdı ile oynanan bir kağıt oyununda çekilen kart vale ya da kız ise 3$, papaz ya da as ise 5$ kazanılmaktadır. Başka herhangi bir kartın çekilmesi durumunda oyun kaybedilmektedir. Oyunun adil olup olmadığını anlamak için ne kadar ödeme yapılmalıdır? c= oyun oynamak için gerekli miktar y= kazanılan miktar y 5 - c 3 - c - c f(y) 2/13 2/13 9/13 E(Y)=(5-c)(2/13)+(3-c)(2/13)+(-c)(9/13)=0 13c=16 c=1.23$ 2. Rassal değer X için verilen olasılık dağılımı şu şekildedir: x -3 6 9 f(x) 1/6 1/2 1/3 için x -3 6 9 f(x) 1/6 1/2 1/3 g(x) 25 169 361
3. X ve Y nin ortak olasılık fonksiyonu şu şekildedir: x f(x,y) 2 4 1 0.10 0.15 y 3 0.20 0.30 5 0.10 0.15 a-) nin beklenen değeri nedir? b-) a-) b-) 4. X ve Y nin ortak olasılık fonksiyonu şu şekildedir: nin beklenen değeri nedir?
5. X ve Y rassal değişkenleri için verilen ortak yoğunluk fonksiyonuna göre X ve Y nin covaryans ını hesaplayınız.
6. X ve Y rassal değişkenleri için verilen ortak yoğunluk fonksiyonu şu şekildedir: a-) X ve Y nin bağımsız olup olmadığına karar veriniz. b-) E(X+Y)=? E(XY)=? c-) Var(X)=? Var(Y)=? Cov(X,Y)=? d-) Var(X+Y)=? a-) olduğundan X ve Y bağımsız değildir. b-) c-) d-)
7. Bir kişinin kendi gelir vergisi beyannamesini hazırlarken ortalama 1000 sayısal hata yaptığı farzedilmektedir. Buna göre rasgele seçilen 10000 beyanname içinde 6, 7 veya 8 hatalı beyanname bulunma olasılığı nedir? 8. Bir füze sisteminin başarılı olarak çalışabilmesi için iki elektronik bileşene ihtiyacı bulunmaktadır. X ve Y bu iki bileşenin saat bazındaki çalışma süreleridir. X ve Y nin ortak yoğunluk fonksiyonu şu şekildedir: a-) Her iki bileşenin marjinal yoğunluk fonksiyonları nedir? b-) Her iki bileşenin 2 saatten fazla çalışması olasılığı nedir? a-) b-)
9. Bilimsel sistemlerin ölçümü sırasında oluşabilecek ölçüm hataları için bir yoğunluk fonksiyonu tanımlanmıştır. Fonksiyon şu şekildedir; a-) Fonksiyonun geçerli bir yoğunluk fonksiyonu olabilmesi için k ne olmalıdır? b-) Olası bir ölçüm hatasının 1/2 den daha az olma olasılığı nedir? c-) Özel bir ölçüm için tanımlanan durumu için eğer ölçülen hata 0.8 i aşıyorsa bu durum istenmeyen durum olarak nitelendirilmektedir. Böyle bir durumun meydana gelme olasılığını bulunuz. 10. Bir kalp ameliyatından kurtulma olasılığı 0.8 dir. a-) Ameliyat olacak bir sonraki 3 hastadan kesin olarak 2 sinin kurtulma olasılığı nedir? b-) Ameliyat olacak bir sonraki 3 hastanın hepsinin kurtulma olasılığı nedir? R kurtulan hastayı temsil etmektedir. P(R) = 0.8 dir. a. P(R1 R2 R 3) + P(R1 R 2 R3) P(R 1 R2 R3) = P(R1)P(R2)P(R 3) + P(R1)P(R 2)P(R3) + P(R 1)P(R2)P(R3) = (3)(0.8)(0.8)(0.2) = 0.384. b. P(R1 R2 R3) = P(R1)P(R2)P(R3) = (0.8)3 = 0.512.
11. Deneysel bir uçakta her arka lastiğin santimetrekare başına 40 kiloluk bir basınçla dolu olması gerekmektedir. X sağ lastik için, Y sol lastik için gerçek hava basıncını ifade etmektedir. X ve Y ortak yoğunluk fonksiyonunda rassal değişkenlerdir ve fonksiyon aşağıdaki gibidir; a-) k =? b-) Her iki lastiğin de yetersiz basınçta olma olasılığı nedir? 12. Aşağıdaki olaylar ABD deki nehir kirliliği için söylenmektedir. A={ Nehir kirlidir} B={İncelenen su örneğinde kirlilik tespit edilmiştir} C={Balıkçılık yapılabilir} P(A) = 0.3 P(B A) = 0.75 P(B A') = 0.20 P(C A B) = 0.20, P(C A' B) = 0.15 P(C A B') =0.80 P(C A' B') = 0.90 ise a. P(A B C)=? b. P(B' C)=? c. P(C)=? d. Avcılığa izin verilen ve incelenen su örneğine göre kirlilik tespit edilmemiş nehirin kirli olma olasılığı nedir?
13. Ulusal bir ajans olasılıkları sırasıyla 0.40, 0.35, 0.25 (A,B,C) olan üç danışmanlık şirketiyle çalışmaktadır. Geçmiş deneyimlere dayanarak her üç firma için maliyet aşımı olasılıkları ise sırasıyla 0.05, 0.03 ve0.15 şeklindedir. Ajansın maliyet aşımı yaşadığı varsayılarak; a-) C şirketinin maliyet aşımına neden olma olasılığı nedir? b-) A şirketinin maliyet aşımına neden olma olasılığı nedir? O: maliyet aşımı a-) b-)
14. İlaç ile dolu iki kutudan birinde 2 şişe aspirin ve 3 şişe troid ilacı, diğerinde 3 şişe aspirin, 2 şişe troid ilacı ve 1 şişe de mide ilacı bulunmaktadır. Her iki kutudan bir şişe rassal olarak seçildiğine göre; a. İkisinin de troid ilacı olma olasılığı nedir? b. İkisinin de troid ilacı olmama olasılığı nedir? c. İki şişenin birbirinden farklı ilaç içerme olasılığı nedir? A 1 = 1. Torbadaki aspirinler A 2 = 2. Torbadaki aspirinler L 2 = 2. Torbadaki mide ilacı T 1 = 1. Torbadaki troid ilacı T 2 = 2. Torbadaki troid ilacı a-) b-) c-) 15. X ve Y nin ortak olasılık dağılımı şu şekilde verilmektedir: a) b) c) d)
(X,Y) nin ortak olasılık dağılımı şu şekildedir: x f(x,y) 0 1 2 3 0 0 1/30 2/30 3/30 y 1 1/30 2/30 3/30 4/30 2 2/30 3/30 4/30 5/30 a) b) c) d) 16. 3 portakal, 2 elma ve 3 muzun bulunduğu meyve kasasından rassal olarak 4 meyve seçiliyor. X portakal sayısını ve Y elma sayısını temsil ettiğine göre; a) X ve Y nin ortak olasılık dağılımını bulunuz. b), A bölgesi şu şekilde veriliyor: a) b)
17. x ve y değişkenlerinin ortak olasılık yoğunluk fonksiyonu şu şekilde tanımlanmıştır; Buna göre; 18. IQ test skorlarına ait dağılım ortalamasının 100 ve standart sapmasının 16 olduğu biliniyor. Rassal olarak seçilmiş bir bireyin IQ sunun 52 nin altında veya 148 in üstünde olması olasılığının en çok 1/9 olduğunu gösteriniz. x = IQ testi skor değerleri
19. x in olasılık yoğunluk fonksiyonu şu şekildedir; a. olarak tanımlanan y nin olasılık yoğunluk fonksiyonunu bulunuz. b. ve olasılıklarını bulunuz. c. ve yi hesaplayınız. a. b.
c. 20. Bir hava üssünde tehlike olduğu zaman alarm sisteminin çalışması olasılığı 0.99, tehlike olmadığında alarm vermemesi olasılığı 0.98 ve herhangi bir anda tehlike olması olasılığı ise 0.003 tür. a-) Hava üssündeki alarm çalıştığına göre, tehlike nedeniyle çalmış olması olasılığı nedir? b-) Tehlike olması ve alarm sisteminin çalışmaması olasılığı nedir? A: Alarm sisteminin çalışması B: Tehlike olması
21. Bir şekerleme şirketinin sattığı çikolata kutularındaki çikolatalar krema, kakao ve likör karışımından olmaktadır. Her bir kutunun ağırlığı 1 kilogramdır. Ancak krema, kakao ve likörün bireysel ağırlıkları kutudan kutuya farklılık göstermektedir. X krema, Y kakao ağırlığını temsil etmek üzere rasgele seçilen bir kutu için ortak olasılık fonksiyonu şöyle tanımlanmıştır; a-) Seçilen bir kutudaki likör ağırlığının kutu ağırlığının yarısından fazla olması olasılığı nedir? b-) Krema ağırlığı için kullanılacak fonksiyon nedir? c-) Kremanın kutu ağırlığının 3 / 4 ünü oluşturduğu biliniyorsa seçilen bir kutudaki kakao miktarının 1 / 8 den daha az olması olasılığını bulunuz. a. b. c.
22. Rasgele seçilen bir günde X ve Y sırasıyla restorana arabayla ve yürüyerek gelen müşterileri temsil etmektedir. Ortak yoğunluk fonksiyonu şu şekildedir; Restorana arabayla gelen bir müşterinin yarım saatten daha az servis beklemesi olasılığı nedir? 23. Hileli bir paranın Yazı gelme olasılığı Tura gelme olasılığının 3 katıdır. İçinde Kırmızı ve Beyaz tavla pullarının olduğu iki torba vardır. Bu torbalardan birincisinde 4 Beyaz, 5 Kırmızı; ikincisinde ise 3 Beyaz, 6 Kırmızı pul vardır. Hileli para atılacak ve eğer Tura gelirse birinci torbadan bir pul, Yazı gelirse ikinci torbadan bir pul seçilecektir. Bu kurala uygun olarak seçilen pulun renginin Kırmızı olduğu biliniyorsa, atılan paranın Tura gelmiş olma olasılığı nedir?
24. Ortak olasılık yoğunluk fonksiyonu x, y, z değişkenleri için şu şekilde tanımlanmaktadır; a-) y ve z değişkenleri için marjinal yoğunluk fonksiyonlarını bulunuz. b-) y değişkeni için marjinal yoğunluk fonksiyonunu bulunuz. c-) d-) a. b. c. d.
25. x, belirli bir uyarana saniye olarak reaksiyon zamanını, y ise belirli bir reaksiyonun gerçekleşmesi için başlangıç sıcaklığını ( F) ifade etmektedir. Bu ifadeler için ortak yoğunluk fonksiyonu şu şekilde verilmiştir; a-) b-) a. b. 26. Pilotluk lisansı için yapılan sınavdan bir öğrencinin başarılı olma olasılığı 0.7 dir. Öğrencinin sınavdan geçme olasılığını şu şartlara göre bulunuz. a-) Üçüncü denemede başarılı olma olasılığı b-) Dördüncü denemeden önce başarılı olma olasılığı nedir? Geometrik dağılım kullanılarak; a-) b-)