SAKARYA HAVZASI AYLIK YAĞIŞLARININ OTOREGRESİF MODELLEMESİ

PAMUKKALE ÜNİVERSİTESİ MÜHENDİ SLİK FAKÜLTESİ PAMUKKALE UNIVERSITY ENGINEERING COLLEGE MÜHENDİSLİK B İ L İ MLERİ DERGİSİ JOURNAL OF ENGINEERING SCIENCES YIL CİLT SAYI SAYFA : 006 : : : 7-6 SAKARYA HAVZASI AYLIK YAĞIŞLARININ OTOREGRESİF MODELLEMESİ Meral BÜYÜKYILDIZ*, Ali BERKTAY** *Selçu Üniversitesi, Mühendisli-Mimarlı Faültesi, İnşaat Mühendisliği Bölümü, Kampus/Konya **Selçu Üniversitesi, Mühendisli-Mimarlı Faültesi, Çevre Mühendisliği Bölümü, Kampus/Konya Geliş Tarihi : 9..004 ÖZET Bu çalışmada, geleceğe yöneli tahminler yapabilme amacıyla Türiye nin önemli büyü havzalarından biri olan Saarya Havzası na ait aylı yağışların periyodi otoregresif modelleri (PAR) belirlenmiş ve belirlenen model tiplerine ait matematisel ifadeler elde edilmiştir. Optimum modeller Aaie Bilgi Kriteri (AIC) değerlerine göre seçilmiştir. Her ne adar AIC'de parametreler en büyü olabilirli yöntemi ne göre hesaplanıyorsa da, bu çalışmada, momentler yöntemi ullanılmış; anılan her ii parametre tahmin yönteminin vereceği sonuçların arşılaştırılması diğer bir çalışma apsamında düşünülmüştür. Seçilen modellerin uygunlu testleri Port Manteau testi ile artı serilerin bağımsızlığı ontrol edilere yapılmıştır. Her istasyon için seçilen modeller ullanılara tarihi serilerle aynı uzunluğa sahip 50 şer adet senteti seri üretilmiş ve bu senteti serilerle tarihi serilerin istatistisel arateristileri (ortalama, standart sapma, orelasyon) arşılaştırılmıştır. 5 istasyona ait aylı yağışların periyodi otoregresif modellerinin belirlenmesi sonucunda PAR(0), PAR(), PAR() ve PAR(3) olma üzere 4 farlı PAR modeli elde edilmiştir. Anahtar Kelimeler : Saarya havzası, Yağış, Zaman serisi, Otoregresif, Aaie bilgi riteri AUTOREGRESSIVE MODELLING OF MONTHLY RAINFALL IN SAKARYA BASIN ABSTRACT In this study, periodic autoregressive models were established to predict future behaviour of monthly rainfall data of Saarya Basin which is one of the big and important basin in Turey. Mathematical equations of the Periodic Autoregressive Models (PAR) were also determined. Optimum models were selected based on Aaie Information Criterion (AIC). Although the parameters are calculated according to maximum probability method in AIC, moments method was used in this study; the comparison of the results of both mentioned parameter estimation methods was thought to be considered in another study s scope. The Port Manteau lac of fit test for the selected models have indicated that residuals are white noise. By using the selected models for the stations, 50 set of synthetic series which have the same length with the historical series for the monthly average rainfalls have been generated, and statistical characteristics (mean, standard deviation, autocorrelation structure) of these synthetic series have been compared with statistical characteristics of historical series. By determining the stochastic models of monthly average rainfall of 5 stations, 4 different PAR models were obtained, namely as PAR(0), PAR(), PAR() and PAR(3). Key Words : Saarya basin, Rainfall, Time series, Autoregressive, Aaie information criteria 7

. GİRİŞ İlimin zamanla değişiminin belirlenmesi; hızlı nüfus artışı, irlenme ve üresel ısınma tehdidinde bulunan su aynalarının planlanması ve işletilmesi açısından önemlidir. Mevcut veriler genellile sürecin toplumunu tam olara yansıtmadığından, daha güvenilir ararlar alabilme için sürecin modellenmesi geremetedir. Modeller, planlama ve tasarım için veri üretme ya da süreçlerin gelecetei değerlerinin tahmini için ullanılabilir. Zaman serilerini tanımlayaca doğru model seçimiyle, geleceğe yöneli daha gerçeçi ve güvenilir senaryolar üretip, daha doğru arar verme mümün olmatadır (Bacanlı ve Baran, 004). Su aynalarının planlama ve işletme çalışmalarında yaşanan arar verme süreçleri de sentez ve simülasyon gibi matematisel yalaşımlara ihtiyaç doğurmatadır. Küresel ölçete meydana gelen ilimsel değişimlerin bölgesel olara incelenmesinde de yarar vardır. İnsan etinlileri sonucunda gezegenimizdei ilim değişimlerini tahmin etme ve yeni modeller geliştirme amacıyla üresel ve bölgesel ölçete bir ço araştırma yapılmıştır. Nguyen and Rousselle (98), saatli yağışı rasgele bir değişen olara abul etme suretiyle bu dataların olasılı dağılımlarını elde etme için stoasti bir model telif etmiş ve bu metodu 3 yıllı saatli yağış ayıtları üzerinde deneyere ullanılabilir olduğu sonucuna varmışlardır. Salas and Obeyseera (98), genelleştirilmiş ısmi otoorelasyon fonsiyonunu ele alara bu fonsiyon yardımıyla otoregresif hareetli ortalama (ARMA) modellerinin derecesinin belirlenebileceğini göstermişlerdir. Te and Singh (994), otoregresif modellerin parametrelerinin hesabında ullanılma üzere yeni bir otoorelasyon fonsiyonu metodu telif etmiş ve bazı durumlarda Yule-Waler denlemlerinden daha iyi sonuç verdiğini göstermişlerdir. Ayrıca telif edilen modelin ullanımının otoregresif (AR) modeller için daha olay olduğunu savunmuşlardır. Yücel ve Topaloğlu (999), Adana Meteoroloji istasyonuna ilişin uzun yıllı (99-990) günlü minimum, ortalama ve masimum sıcalı değerlerinin zaman serisi analizi içinde gidiş, periyodi ve stoasti bileşenlerini incelemiştir. İçağa (003), Aarçay Havzasına ait aylı ortalama aım ve aylı yağış verilerini ullanara aım modellemesi çalışması yapmıştır. Yüreli ve Öztür (003), Kelit Deresi günlü estrem aımlarının stoasti modellemesini yaptığı çalışmasında, günlü minimum aım ayıtları için orelogram ve ısmi orelogramlardan tüm diagnosti ontroller yapılara dört ARMA modeli belirlenmiştir. Bacanlı ve Baran (004) tarafından yapılan çalışmada, gözlenmiş verinin toplumu olara seçilen AR(3) modeline ve gözlenmiş veri istatistisel özellilerine uygun olara ii farlı veri gurubuyla değerlendirme yapılmıştır. İlinde 600 yıl süreli veri gurubu il 00, 00,, 600 yıl süreli alt veri guruplarına ayrılara veri uzunluğunun uygunlu riterleri üzerindei etisi araştırılmıştır. İincide ise, Saint Lawrence nehrinin aım verileri modellenmiştir. Bu çalışmada Saarya Havzası na ait 5 adet yağış gözlem istasyonunun aylı yağışlarının periyodi otoregresif (PAR) modelleri urulmuştur.. MATERYAL VE METOD Bu çalışmada Saarya Havzası nda DMİ tarafından işletilen 85 istasyondan istatistisel açıdan yeterli sayılabilece gözlem yılına (minimum 30 yıl) sahip 5 istasyonun aylı yağış verileri ullanılmıştır. Metodoloji için Salas et al., (980) nin önerdileri yol izlenere işlem basamaları ayrıntılı bir şeilde açılanmıştır... Periyodi Otoregresif Modeller (PAR) Otoregresif modeller 960 lı yılların başlarından itibaren yıllı ve periyodi zaman serilerinin modellenmesi için hidrolojide ve su aynalarının planlanmasında yaygın olara ullanılmıştır. Periyodi hidroloji seriler mevsimli, aylı ya da günlü olabilirler. Bu çalışmada sabit parametreli AR modelleri ele alınmıştır. Periyodi serilere ait sabit parametreli AR modelleri yıllı serilere benzer şeilde oluşturulur. p. dereceden bir AR modelini ullanara z t serisi aşağıdai şeilde ifade edilebilir. zt = φ z +... + φpz t p + εt () PAR modellerinin metodolojisi a) Ön analiz, b) Parametre tahmini, c) Seçilen modelin uygunlu testi d) Modele ait ilave testler aşamalarından oluşur... Ön Analiz Aşaması Zaman serisinin normalite ontrolü yapılmalıdır. Bu test çarpılı atsayısı ile yapılabileceği gibi normal dağılım olasılı ağıdını ullanara ya da Ki-are (Chi-square) testi ile de yapılabilir. Bu çalışmada çarpılı testi ullanılmıştır. Bu test sonucunda serinin normal dağılmadığı belirlenirse, uygun bir transformasyon ile seri normal dağılmış hale getirilir. Periyodi y v,τ zaman serisinin grafiği çizilir ve seriye ait periyodi araterler gözlenir. y v,τ serisine ait periyodi arateristiler seriden Mühendisli Bilimleri Dergisi 006 () 7-6 8 Journal of Engineering Sciences 006 () 7-6

uzalaştırılara zv, τ = ( y µ ) σ denlemi v, τ τ τ ile standardize z v,τ serisi ve bu seriye ait otoorelasyon ve ısmi otoorelasyon fonsiyonları elde edilere grafileri çizilir. Otoorelasyon ve ısmi otoorelasyon fonsiyonlarının hangi gecime derecelerinde önemli değerler aldığı incelenere modelin derecesi haında bir ön değerlendirme yapılır. Seriye ait r otoorelasyon atsayılarının hesabı için, N (x t x)(x x) t t r = = () N (x x) t t = formülü ullanılır. %95 olasılı seviyesi için Anderson limitleri ile birlite hesaplanan otoorelasyon değerlerinin ötelemesine göre değişimini gösteren orelogram çizilir. Herhangi bir r değerinin istatistisel olara önemli çıması durumunda, seride birbirleri arasında adar gecime olan terimlerin birbiriyle bağımlı olduları sonucuna varılır. Modelin otoregresif derecesinin belirlenmesinde ullanılan diğer bir metot da, verilen bir modelin ya da serinin zamansal bağımlılığını temsil eden ısmi otoorelasyon fonsiyonu ve bunun ısmi orelogram ile ifade edilmesidir. Otoorelasyon atsayıları, bir zaman serisine ait terimlerin birbirine göre bağımlılığını ifade eder. Otoorelasyon fonsiyonu ise aşağıdai ifade ile elde edilir: ρ = φ ρ + φ ρ +... + φpρ p, > 0 (3) Bu denlem p. dereceden bir AR(p) modeline ait parametrelerin momentler metoduyla tayin edilmesinde yaygın olara ullanılmatadır. ρ terimleri örneğe ait otoorelasyon, φ terimleri ise ısmi otoorelasyon atsayılarıdır. ıncı dereceden bir AR() prosesindei ısmi otoorelasyon atsayısı φ (), ρ j ve ρ j- terimleri arasındai lineer ilişinin bir ölçüsüdür. Bir AR() modeli için aşağıdai farlar denlemini yazma mümündür. ρ j = φ () ρ j +φ () ρ j +... +φ () ρ j, j=,..., (4) (4) denleminden faydalanara, ısmi otoorelasyon fonsiyonuna ait. gecime derecesindei φ () terimini elde etme için, bir lineer denlem taımı oluşturulur ve buradan φ vetörü elde edilere sonuca gidilebilir. φ () değerleri, alternatif olara bu çalışmada da ullanılan Durbin formülleri ile de hesaplanabilir. Sürecin AR(p) modeli olduğu hipotezi ile >p için tahmin edilen (örneten hesaplanan) φ (); sıfır ortalaması ve /N olan varyansı ile asimptoti olara normal dağılıma uyar. Böylece sıfır ısmi otoorelasyon için (-α) güven limitleri (5) denlemi ile hesaplanır (Salas et al., 980): { u / N ; u N } α / α / (5) Burada, N örnetei eleman sayısı, α ise seçilen önem seviyesidir. u -α/ ise -α/ olasılığındai standart normal değişendir. φ () değerlerinin gecime derecesine göre değişimini veren orelogramın çizilmesinden sonra (5) ifadesi ile hesaplanan güven limitleri de aynı grafi üzerinde işaretlenir. Güven limitlerinden daha büyü değerler alan φ () terimlerinin istatistisel açıdan önemli olduğu sonucuna varılır ve hangi gecime derecelerinde estileri diate alınara model derecesi için arar verilir.. 3. Parametre Tahmini Aşaması Öngörülen modele ait ısmi otoorelasyon atsayıları (φ j, j=,,p) hesaplanara ararlılı şartları ontrol edilir. Parametre tahmininde momentler, masimum olabilirli, en üçü areler (Salas et al., 980) ve otoorelasyon fonsiyonu (Te and Sing, 994) metotlarından biri ullanılır. Burada yaygın ve basit bir ullanım alanı olan momentler metodu ullanılmıştır. Seçilen modele ait φ,..., φ p parametrelerinin ararlılı şartları aşağıda verilen arateristi denlemin öleri aracılığı ile ontrol edilir: p p p u φ u φ u... φ p = 0 (6) Eğer, u i < (i=,...,p) ise ararlılı şartları sağlanmış olur. (3) ifadesi ile öngörülen modellere ait otoorelasyon fonsiyonlarını hesaplayara tarihi seriye ait orelogramla muayese yoluna gitme uygun modelin seçimi onusunda faydalı olur. Eğer öngörülen modelden daha iyi bir model söz onusu ise bundan sonrai işlemlere o modele ile devam edilir. Son olara seçilen modele ait artı seri varyansı aşağıdai ifade ile hesaplanır: Nσ p σ ε = ( φ j = j r j ) (7) ( N p) Mühendisli Bilimleri Dergisi 006 () 7-6 9 Journal of Engineering Sciences 006 () 7-6

. 4. Uygunlu Testi Aşaması Aşağıda verilen (8) denlemi yardımıyla ε t artı serileri hesaplanır: ε = z φ z φ z... φ z (8) t t t t p t p ε t artı serilerinin bağımsızlı ontrolü Port Manteau metodu ile yapılır. Bunun için aşağıdai denlem ullanılara Q istatistiği hesaplanır: L Q = N r = ( ε ) (9) Bu denlemde N örneğin eleman sayısı, r (ε) ise artı serilerin otoorelasyon atsayılarıdır. L ise göz önüne alınan en büyü gecime değeridir ve L = 0.05N alınabilir. Hesaplanan Q değeri (L-p) serbestli derecesindei ve istenilen olasılıtai χ (Ki-are) değeri ile ıyaslanır. Olasılı seviyesi olara -α = 0.95 alma yeterli olur. Q değerinin χ değerinden üçü olması durumunda artı serilerin bağımsız olduğu sonucuna varılır ve bir sonrai adıma geçilir. Asi halde modelin derecesi p = p + alınara geriye dönülür. Alternatif olara artı serilere ait otoorelasyon fonsiyonunun grafiğinden de faydalanılabilir. Bunun için hesaplanan otoorolesyon atsayılarına ait % 95 olasılı seviyesindei limitler aşağıdai formül ile hesaplanır: r ±.96 N (% 95) = (0) N Otoorelasyon atsayıları ile limit değerler aynı grafi üzerinde gösterilere otoorelasyon atsayılarının limit değerleri hangi sılıta estiği ontrol edilir. Eğer otoorelasyon atsayıları limit değerlere ait çizgiyi önemli ölçüde esmiyorsa artı seriler bağımsız demetir. Asi tadirde artı serilerin önemli bir içsel bağımlılığı vardır ve modelin değiştirilmesi gereir. ε t artı serilerinin normalite ontrolü de yapılmalıdır. Faat bu notada inisiyatif ullanma mümündür (Salas et al., 980). Seçilen modelin derecesinin uygunluğunu araştırma için bu modelin bir üst ve bir alt modeli arasında Aaie tarafından telif edilen Aaie Bilgi Kriteri (Aaie Information Criterion; AIC) ullanılır. Bunun için eğer seçilen model AR(p) modeli ise AR(p-), AR(p) ve AR(p+) modelleri arasında () denlemi ullanılara AIC değerlerine göre bir ıyaslama yapılır. AIC(p) = N ln(σ ε ) + p () Minimum AIC değerini veren model en uygun model olara abul edilir. Seçilen modele ait ρ (z) orelogramı hesaplanır. Daha önce hesaplanan r (y) değerleri ile seçilen modele ait ρ (z) değerleri aynı grafi üzerinde çizilere bunlar arasındai uyum izlenir. İi orelogramın uyumlu olması, seçilen modelin uygunluğunu gösterir.. 5. Modele Ait İlave Testler Aşaması Bu bölümde, senteti seriler üretilir ve üretilen serilerle tarihi serinin istatistisel arateristileri ıyaslanır. Bunun için urulan AR(p) modeli ullanılara tarihi seri ile aynı N uzunluğuna sahip mesela 00 adet seri üretilir. Her bir serinin istatistisel arateristileri olan ortalama µ(i), standart sapma σ(i), çarpılı atsayısı γ(i) ve orelogram r (i) hesaplanır (i =,...,00). Senteti serilere ait bu istatistisel arateristiler ile tarihi seriye ait istatistii arateristiler ıyaslanır. Burada örne olara orelogramların ıyaslanması verilecetir. Her bir öteleme değeri () için r ların örne ortalaması ve r değerlerinin örne standart sapması hesaplanır. Böylece r için güven aralığı [ r c s( r ), r + c s( r )] ifadesi ile bulunur. c atsayısı testin önem derecesine bağlı olup bu çalışmada % 5 önem seviyesine arşılı gelen.96 değeri seçilmiştir. Bu metot diğer istatistisel arateristilerin muayesesi için de ullanılabilir. Bu ontrollerin sonucunda eğer bir ya da daha fazla tarihi arateristiğin model tarafından muhafaza edilmediği ortaya çıarsa, modeli abul ya da reddetme araştırıcının sonuçları ne derece önemli bulduğuna bağlıdır. 3. ARAŞTIRMA SONUÇLARI VE DEĞERLENDİRME 3.. Ön Analiz Aylı yağış serilerinin normal dağılıp dağılmadığını belirleme için yapılan çarpılı testine göre bazı istasyonlarda verilerin normal dağılmadığı belirlenmiştir. Bu istasyonlara ait yağış serilerinin çarpılılarını azaltma amacıyla y v, τ = log( xv, τ + 0) dönüşümü uygulanmış ve sonuç olara bütün istasyonlara ait yağış serileri normal dağılıma uygun hale getirilmiştir (Tablo ). Tablo de (*) ile belirtilen çarpılı atsayısı (γ) değerleri orijinal yağış verilerine ait, diğerleri ise transforme edilmiş yağışlara ait değerleri göstermetedir. Mühendisli Bilimleri Dergisi 006 () 7-6 0 Journal of Engineering Sciences 006 () 7-6

Tablo. Orijinal ve Transforme Edilmiş Yağışlara Ait Ortalama Çarpılı Katsayıları Gözlem Çarpılı Gözlem Çarpılı İstasyon İstasyon İstasyon süresi atsayısı γ no α (N) süresi atsayısı γ no α (N) no (N, yıl) (γ) (N, yıl) (γ) Gözlem süresi (N, yıl) Çarpılı atsayısı (γ) 7069 4 0.84 * 0.86 79 4 0.853 * 0.86 349 39-0.3 0.88 7664 4-0.76 0.86 730 4-0.09 0.86 906 38 0.835 * 0.89 7706 4-0.68 0.86 766 4-0.77 0.86 690 38 0.37 * 0.89 775 4-0.308 0.86 7680 4-0.080 0.86 90 38 0.567 * 0.89 776 4-0.0 0.86 770 4-0.74 0.86 980 36 0.85 * 0.9 778 4-0.068 0.86 775 4-0.33 0.86 9643 34-0.4 0.936 7798 4-0.48 0.86 7679 4 0.55 0.86 409 3-0.039 0.96 7 4-0.43 0.86 973 4-0.577 0.86 78 4-0.3 0.86 93 4-0.389 0.86 γ α (N) Daha sonra bütün istasyonlara ait tarihi y v,τ serilerinin grafileri çizilmiş ve periyodilileri gözlenmiştir. Periyodi y v,τ serilerine ait periyodi ortalamalar (µ τ ) ve periyodi standart sapmalar (σ τ ) hesaplanmıştır. Bütün istasyonlara ait y v,τ serileri zv, τ = y µ σ standardizasyonu ile v, τ τ τ boyutsuz hale getirilere periyodili ortadan aldırılmıştır. z v,τ serileri z t (t =,, 3,..., N) şelinde yıllı bir seri gibi düşünme suretiyle otoorelasyon ve ısmi otoorelasyonlar % 95 güven limitleri ile birlite hesaplanmıştır. Korelogram ve ısmi orelogramların incelenmesi sonucunda her istasyon için muhtemel model dereceleri belirlenmiştir. 3.. Parametre tahmini Model dereceleri haında arar verebilme için seçilen model dereceleri ile, bir alt ve bir üst model derecelerine ait otoorelasyon fonsiyonları elde edilmiş ve tarihi serinin z t orelogramı ile arşılaştırılmıştır. Burada orelogramların arşılaştırmalı grafilerine yer verilmeyip seçilen model ile, bir alt ve bir üst model derecelerine ait otoorelasyon fonsiyonlarının sayısal sonuçları Tablo de verilmiştir. Tablo. Muhtemel PAR Modeli ile, Bir Alt ve Bir Üst Model Derecelerine Ait Otoorelasyon Fonsiyonları İstasyon No PAR() PAR() PAR(3) (Seçilen Model) φ φ φ φ φ φ 3 7069 (0) -0.03 7664 (0) 0.086 7706 () 0.9 0.3-0.03 775 (0) 0.054 776 () 0.05 0.06-0.06 778 (0) 0.075 7798 () 0.70 0.70-0.00 7 (0) 0.00 78 (0) 0.0 79 () 0.46 0.40 0.039 730 (0) 0.034 766 (0) -0.036 7680 () 0.088 0.090-0.06 770 (0) 0.037 775 (0) 0.077 7679 () 0.5 0.44 0.046 973 () 0.60 0.35 0.54 0.4 0.44 0.07 93 () 0.99 0.93 0.09 349 () 0.94 0.88 0.030 906 () 0.55 0.47 0.048 690 () 0.46 0.34 0.08 90 () 0.66 0.46 0.7 0.4 0. 0.036 980 (0) 0.06 9643 () 0. 0.4-0.09 409 () 0.48 0.380 0.089 Otoorelasyon fonsiyonları yardımıyla ararlılı şartları ontrol edilmiş ve seçilen modellere ait parametrelerin ararlılı şartlarını sağladıları görülmüştür. Örne olara, model derecesi PAR() olan 7706 numaralı istasyon için < = φ 0.9<, model derecesi PAR() olan 973 numaralı istasyonda ise Mühendisli Bilimleri Dergisi 006 () 7-6 Journal of Engineering Sciences 006 () 7-6

φ +φ = 0.35 + 0.54 = 0.89 < φ φ = 0.54 0.35 = 0.09 < < φ = 0.35 < ve - < φ = 0.54 < () olduğu için ararlılı şartları sağlanmatadır. Kurulan modellere ait artı seri varyansları belirlenmiş ve sonuçlar Tablo 3 de verilmiştir. Tablo 3. Her Bir İstasyon İçin Belirlenen PAR Modellerine Ait Artı Seri Varyansları İstasyon Artı Seri Varyansı İstasyon Artı Seri Varyansı İstasyon Artı Seri Varyansı İstasyon Artı Seri Varyansı İstasyon Artı Seri Varyansı No No No No No ( σ ε ) ( σ ε ) ( σ ε ) ( σ ε ) ( σ ε ) 7069 0.978 778 0.978 730 0.978 7679 0.957 690 0.957 7764 0.978 7798.076 766 0.978 973 0.934 90 0.940 7706 0.963 7 0.954 7680 0.97 93 0.94 980 0.904 775 0.978 78 0.978 770 0.978 349 0.94 9643 0.96 776 0.969 79 0.959 775 0.978 906 0.955 409 0.804 3. 3. Seçilen Modelin Uygunlu Testi Bu aşamadai işlemler (8) ve (9) ifadeleri ullanılara yapılmış ve sonuçlar Tablo 4 de verilmiştir. Tablo 4 e göre 5 istasyonun tanesinde bulunan Port Manteau (Q) değeri 0.95 olasılıtai (L-p) serbestli derecesine arşılı gelen χ değerinden üçütür. Dolayısıyla bu istasyonlar için hesaplanan artı seriler bağımsızdır. Diğer 3 istasyonun Q değerleri ise ilgili χ değerlerinden büyü olduğu için bu istasyonlarda ait artı seriler bağımlıdır. Tablo 4. PAR Modelleri İçin Port Manteau (Q) ve Normalite Testi Sonuçları İstasyon No Q L-p χ 0.95 Sonuç γ ε γ 7069 4.89 5-0=5 37.60 Bağımsız 0.8 0.430 7664.34 5-0=5 37.60 Bağımsız -0.67 0.430 7706 34.08 5-=4 36.36 Bağımsız -0.37 0.430 775 5. 5-0=5 37.60 Bağımsız -0.98 0.430 776 6.0 5-=4 36.36 Bağımsız -0.99 0.430 778 9.36 5-0=5 37.60 Bağımsız -0.065 0.430 7798 8.98 5-=4 36.36 Bağımsız -0.465 0.430 7 3.89 5-0=5 37.60 Bağımsız -0.39 0.430 78.80 5-0=5 37.60 Bağımsız -0.6 0.430 79 33.3 5-=4 36.36 Bağımsız 0.874 0.430 730 8.5 5-0=5 37.60 Bağımsız -0.088 0.430 766 3.78 5-0=5 37.60 Bağımsız -0.345 0.430 7680 9.6 5-=4 36.36 Bağımsız -0.070 0.430 770 5.7 5-0=5 37.60 Bağımsız -0.68 0.430 775 5.56 5-0=5 37.60 Bağımsız -0.8 0.430 7679 77.4 5-=4 36.36 Bağımlı 0.60 0.430 973 5.6 5-=3 35. Bağımsız -0.458 0.430 93 6. 5-=4 36.36 Bağımsız -0.3 0.430 349 0.8 4-=3 35. Bağımsız -0.5 0.430 906 53.5 3-= 33.88 Bağımlı 0.83 0.430 690 3.7 3-= 33.88 Bağımsız 0.405 0.430 90 8.0 3-= 3.64 Bağımsız 0.57 0.430 980 6.0-0= 33.88 Bağımsız 0.695 0.430 9643 6.93 -=0 3.40 Bağımsız -0.33 0.430 409 4.9 0-=9 30.0 Bağımlı 0.8 0.430 Bu nedenle bu istasyonlar için başlangıçta tespit edilen model dereceleri bir artırılara yeni model dereceleri için işlemler terarlanmıştır. 7679, 906 ve 409 numaralı istasyonlarda yeni model için yapılan uygunlu testleri sonucunda da Port Manteau testi ile belirlenen Q değerleri ilgili χ değerlerinden büyü olduğu için bu istasyonlarda model derecesi bir defa daha arttırılmıştır. Sonuç olara bu üç istasyon için en son belirlenen model Mühendisli Bilimleri Dergisi 006 () 7-6 Journal of Engineering Sciences 006 () 7-6

dereceleri PAR(3) olara tespit edilmiştir. Belirlenen yeni model dereceleri ile bir alt ve bir üst model dereceleri için otoregresif parametreler hesaplanmış ve sonuçlar Tablo 5 de gösterilmiştir. Belirlenen yeni modellere göre otoregresif parametrelere ait ararlılı şartları daha öncei gibi hesaplanmış ve sonuç olara ararlılı şartları sağlanmıştır. Modellerin artı seri varyansları elde edilmiş ve bu artı serilerin bağımlı olup olmadığı Port Manteau testi ile incelenmiş sonuçları Tablo 6 da verilmiştir. Tablo 5. Seçilen PAR(p) Modelleri İle, Bir Alt ve Bir Üst Model Derecelerine Ait Otoorelasyon Fonsiyonları İstasyon No PAR() PAR() PAR(3) PAR(4) (Seçilen Model) φ φ φ φ φ φ 3 φ φ φ 3 φ 4 7679 (3) 0.44 0.046 0.40 0.03 0.00 0.33 0.09 0.09 0.067 906 (3) 0.47 0.048 0.4 0.09 0.34 0.4 0.09 0.35-0.006 409 (3) 0.380 0.089 0.369 0.040 0.30 0.360 0.037 0.04 0.070 Tablo 6. Artı Seri Varyansları, Port Manteau (Q) Test Sonuçları ve L-p Serbestli Derecesindei χ Değerleri İstasyon no Artı seri varyansı (σ ε) Q L-p χ 0.95 Sonuç 7679 0.950 3.5 5-3= 33.88 Bağımsız 906 0.939. 3-3=0 3.40 Bağımsız 409 0.788.90 0-3=7 7.60 Bağımsız Modellerin derecesinin uygunluğunu araştırma için, PAR(p-), PAR(p) ve PAR(p+) modelleri arasında () denlemi ullanılara AIC değerlerine göre bir ıyaslama yapılmıştır ve sonuçlar Tablo 7 de verilmiştir. Tablo 7 de her istasyon için başlangıçta seçilen PAR(p) modeli ile PAR(p-) ve PAR(p+) modelleri için belirlenen AIC değerleri arasında minimum AIC değerini veren model optimum model olara abul edilmiştir. Tablo 7. PAR(p) Modellerine Ait AIC(p) Değerleri İstasyon No AIC(0) AIC() AIC() AIC(3) AIC(4) Uygun Model 7069 -.48-8.68 PAR(0) 7664 -.48 -.776 PAR() 7706 -.48-6.448-3.709 PAR() 775 -.48-9.573 PAR(0) 776 -.48-3.566-0.68 PAR() 778 -.48-0.95 PAR(0) 7798 49.496 38.37 4.39 PAR() 7-3.330-0.56 PAR(0) 78 -.48-8.356 PAR(0) 79 -.48-8.76-6.444 PAR() 730 -.48-8.730 PAR(0) 766 -.48-8.79 PAR(0) 7680 -.48 -.944-9.7 PAR() 770 -.48-8.803 PAR(0) 775 -.48 -.00 PAR(0) 7679-7.55-9.463-8.699 PAR(3) 973-0.848-9.67-9.69 PAR() 93 -.48-8.030-5.434 PAR() 349 -.56-6.058-3.47 PAR() 906-7.69 -.489-9.498 PAR(3) 690 -.60-7.94-7.94 PAR() 90-0.89-4.6-0.940 PAR() 980-43.580-40.686 PAR(0) 9643 -.79-4.60 -.405 PAR() 409-8.785-8.75-85.37 PAR(3) Not : İtali olara yazılmış olan min (AIC) değerleri, en uygun PAR(p) modellerini göstermetedir. Mühendisli Bilimleri Dergisi 006 () 7-6 3 Journal of Engineering Sciences 006 () 7-6

3. 4. Modele Ait İlave Testler Her istasyon için 50 şer adet senteti seri üretilmiştir. Daha sonra y v, τ = zv, τ σ τ + µ τ dönüşümü ile y v,τ değerleri elde edilmiştir. Transformasyona tabi tutulan veriler için yv, τ x v, τ = 0 0 ters dönüşümü uygulanma suretiyle senteti yağış değerleri elde edilmiştir. Tarihi x v,τ serilerine ait otoorelasyon atsayıları ( r ( x v, )), ortalamalar (µ τ ) ve standart sapmalar (σ τ ) hesaplanmıştır. Her bir senteti seri için aynı arateristiler hesaplanara % 95 önem seviyesinde güven aralıları belirlenmiştir. Tarihi orelogramlar, ortalamalar ve standart sapmaların ontrollerinin sonucunda her istasyon için belirlenen modelin o istasyona ait tarihi serinin istatistisel arateristilerini muhafaza ettiği görülmüştür. Aylı ortalama yağışların otoregresif modellemesinde 5 istasyon için 4 farlı PAR modeli [PAR(0), PAR(), PAR() ve PAR(3)] belirlenmiştir. Fazla yer tutmaması için sadece 7664 nolu istasyona ait arşılaştırmaya yer verilmiştir. 3. 5. Korelogramın Kontrolü PAR() modelinin belirlendiği 7664 numaralı istasyonun tarihi orelogramına ait % 95 güven aralığı Şeil de verilmiştir. Şeilde, ve 4. gecime değerlerinde % 95 güven aralığı sınırları aşılmatadır. Anca bu durum abul edilebilir sınırlar içerisinde almatadır (0.05 50 3). Ortalamalar 60 40 0 00 80 60 40 0 7664 alt limit üst limit tarihi ortalamalar 0 0 3 4 5 6 7 8 9 0 Aylar Şeil. PAR() modeli için 7664 numaralı istasyona ait tarihi ortalamalar ve %95 güven aralığı 3. 7. Standart Sapmaların Kontrolü 7664 numaralı istasyona ait tarihi periyodi standart sapmalar ve % 95 güven sınırları Şeil 3 de verilmiştir. Şeilde dördüncü aya ait (Oca) tarihi standart sapma değerinin güven sınırlarını aştığı görülmele birlite bu abul edilebilir sınırlar içerisinde almatadır (0.05 ). Standart sapmalar 80 70 60 50 40 30 0 0 7664 alt limit üst limit tarihi standart sapmalar 0 0 3 4 5 6 7 8 9 0 Aylar Şeil 3. PAR() modeli için 7664 numaralı istasyona ait tarihi standart sapmalar ve %95 güven aralığı otoorelasyon 0.70 0.50 0.30 0.0-0.0 7664 %95 güven sınırı alt limiti %95 güven sınırı üst limiti tarihi orelogram Bu ontroller sonucunda 7664 numaralı istasyon için urulan PAR() modelinin geçerli olduğu görülmetedir. Yapılan bütün ontroller sonucunda 5 istasyona ait aylı ortalama yağış değerlerini temsil eden periyodi otoregresif modellerin (PAR) matematisel ifadeleri Tablo 8 de verilmiştir. -0.30-0.50 0 0 0 30 40 50 Gecime, Şeil. PAR() modeli için 7664 numaralı istasyona ait tarihi orelogram ve % 95 güven aralığı 3. 6. Ortalamaların Kontrolü 7664 numaralı istasyona ait tarihi periyodi ortalamalar ve % 95 güven aralıları Şeil de verilmiştir. Şeilde tarihi ortalamaların bütün aylarda güven sınırları içerisinde aldığı görülmetedir. 4. SONUÇLAR Bu çalışmada Saarya Havzasına ait 5 yağış gözlem istasyonunun aylı yağış verilerinin periyodi otoregresif (PAR) modelleri urulmuştur. Gereli tüm ontroller yapılara yağış serilerini temsil eden modellere arar verilditen sonra senteti seriler üretilmiş ve urulan modellerin, tarihi seriye ait istatistisel arateristileri muhafaza ettiği gösterilmiştir. Her ne adar AIC'de parametreler en büyü olabilirli yöntemi ne göre hesaplanıyorsa da, bu çalışmada, 'momentler Mühendisli Bilimleri Dergisi 006 () 7-6 4 Journal of Engineering Sciences 006 () 7-6

yöntemi ullanılmış; anılan her ii parametre tahmin yönteminin vereceği sonuçların arşılaştırılması diğer bir çalışma apsamında düşünülmüştür. Yapılan analizler sonucunda 5 istasyona ait aylı yağışların PAR modelleri incelendiğinde, 0 istasyonda PAR(0), 0 istasyonda PAR(), istasyonda PAR() ve 3 istasyonda da PAR(3) modeli olma üzere 4 farlı PAR modeli uygun modeller olara belirlenmiştir. Elde edilen bu modeller Saarya Havzası ndai ilgili istasyonların aylı yağış tahminlerinde ullanılabilir. Bu tip medelleme çalışmaları, planlama ve tasarım için veri üretme ya da süreçlerin gelecetei değerlerinin tahmini için ullanılabilir. Bu modeller ülemizde de geliştirilmeli ve geliştirilen modeller yardımıyla uzun süreli atmosfer tahminleri yapılmalı ve su bütçesi tahmin edilere geleceğe dönü planlar hazırlanmalıdır. Tablo 8. Her istasyon İçin PAR(p) Model İfadeleri İstasyon No Seçilen Model PAR(p) Model İfadeleri 7069 PAR(0) z t = 0.978ξ 7664 PAR() z t = 0.086 z + 0.978ξ 7706 PAR() z t = 0.9 z + 0.963ξ 775 PAR(0) z t = 0.978ξ 776 PAR() z t = 0.05 z + 0.969ξ 778 PAR(0) z t = 0.978ξ 7798 PAR() z t = 0.70 z +.076ξ 7 PAR(0) z t = 0.954ξ 78 PAR(0) z t = 0.978ξ 79 PAR() z t = 0.46 z + 0.959ξ 730 PAR(0) z t = 0.978ξ 766 PAR(0) z t = 0.978ξ 7680 PAR() z t = 0.088 z + 0.97ξ 770 PAR(0) z t = 0.978ξ 775 PAR(0) z t = 0.978ξ 7679 PAR(3) z t = 0.40 z + 0.03 z t + 0.00 z t 3 + 0.950ξ 973 PAR() z t = 0.35 z + 0.54 z t + 0.934ξ 93 PAR() z t = 0.99 z + 0.94ξ 349 PAR() z t = 0.94 z + 0.94ξ 906 PAR(3) z t = 0.4 z + 0.09 z t + 0.34 z t 3 + 0.939ξ 690 PAR() z t = 0.46 z + 0.957ξ 90 PAR() z t = 0.46 z + 0.7 z t + 0.940ξ 980 PAR(0) z t = 0.904ξ 9643 PAR() z t = 0. z + 0.96ξ 409 PAR(3) z t = 0.369 z + 0.040 z t + 0.30 z t 3 + 0.788ξ Mühendisli Bilimleri Dergisi 006 () 7-6 5 Journal of Engineering Sciences 006 () 7-6

5. KAYNAKLAR Bacanlı, Ü, G., Baran, T. 004. Stoasti Modellerde Yıllı Aım Verilerinde Uygunlu Kriterlerinin Değerlendirilmesi, IV Ulusal Hidroloji Kongresi, 3-5 Haziran, İstanbul, Türiye, 5-5. İçağa, Y. 003. Aarçay Havzası Yağış-Aış İlişilerinin Modellenmesi, I. Ulusal Su Mühendisliği Sempozyumu, -6 Eylül, İzmir, Türiye, 03-4. Karabör, Ç. ve Kahya, E. 998. Gösu Nehrinin Yıllı ve Aylı Aımlarının Stoasti Modellemesi, S. Ü. Müh.-Mim. Fa. Dergisi 3 (), Konya. Nguyen, V.T.V. and Rouselle, J. 98. A Stochastic Model For the Time Distibution of Hourly Rainfall Depth, Water Resources Research 7:399-409. Salas, J.D., Delleur, J.W., Yevjevich, V., Lane, W.L. 980. Applied Modeling of Hydrologic Time Series, Water Resources Publications, Littleton, Co, 484. Salas, J.D., Obeyseera, J.T.B. 98. Arma Model Identification of Hydrologic Time Series, Water Resources Research 8: 0-0. Te, W. G., Singh, V.P. 994. An Autocorrelation Function Method For Estimation Parameters of Autoregressive Models, Water Resources Management 3: 33-56. Yücel, A., Topaloğlu, F. 999. Adana İli Uzun Yıllı (99-990) Günlü Minimum, Ortalama ve Masimum Sıcalı Verilerinin Zaman Serisi Analizi İle İncelenmesi, Turish Journal of Agriculture And Forestry 3 (4): 863-868. Yüreli, K. and Öztür, F. 003. Stochastic Modeling of Annual Maximum and MinimumStreamflow of Kelit Stream, Water International 8 (4): 433 44. Mühendisli Bilimleri Dergisi 006 () 7-6 6 Journal of Engineering Sciences 006 () 7-6