www.mustafayagci.com.tr, 01 ebir Notları Mustafa ĞI, yagcimustafa@yahoo.com ekrarlı Permutasyon G eçen dersimizde n kişinin n! kadar değişik şekilde sıralanabileceğini öğrenmiştik. Şimdiyse bu n kişinin içinde ikiz veya üçüzler varsa kaç değişik sıralama yapabileceğimizi öğreneceğiz. Kısacası aralarında yer değiştirseler de fark edilmeyen nesnelerin bulunduğu durumlara göz atacağız. ekrarlı permutasyon. n 1 tanesi birinci türden, n tanesi ikinci türden, n 3 tanesi üçüncü türden,, n r tanesi r ninci türden olmak üzere n 1 + n + n 3 + + n r = n tane elemanın birbirlerinden farklı dizilişlerine birer tekrarlı permutasyon denir. öyle bir diziliş n! n1! n!... nr! farklı şekilde yapılabilir. ağol da kim ne anladı ki? akın şunu demek istiyor: Hani beş kişi bir sıraya 5! kadar değişik sırada dizilirdi ya, şimdi bu beş kişiden ikisinin ikiz olduğunu düşünün. er değiştirseler bile fark edilmiyorlar yani. öyle olunca ne yapıyorduk? 5!/ diyorduk. Eğer bu beş kişi arasında ikiz değil de üçüz olsaydı, 3 kişi kendi arasında 3! kadar yer değiştirebileceğinden cevap 5!/3! olmalıydı. Hala anlamayan varsa, son kozumu oynuyorum: 10 kişi arasından bir başkan, bir yardımcı, bir sekreter, bir de çaycı 10 9 8 7 farklı şekilde seçilebilirdi ama 1 başkan ile 3 yardımcı 10 9 8 7/3! kadardı, ondan dolayı bu bölmeler yani Örnek. MEMİK kelimesinin harfleriyle anlamlı ya da anlamsız 9 harfli kaç değişik kelime yazılabilir? ) 10 ) 360 ) 70 D) 5040 E) 45360 Çözüm: Hepsi farklı harf olsaydı tane değişik kelime yazabilirdik. ma iki tane M, iki tane, iki tane harfinden dolayı!!! 45360 kadar değişik kelime yazılabilir. Doğru cevap: E. Örnek. MEMİK kelimesinin harfleriyle anlamlı ya da anlamsız 9 harfli E harfiyle başlayan kaç değişik kelime yazılabilir? ) 10 ) 360 ) 70 D) 50 E) 5040 Çözüm: Madem ki E harfi mecbur başta olacak, al E yi, başa koy. Kaç harf kaldı? 8 değil mi? ani MMİK kelimesinin harfleriyle kaç değişik kelime yazabilirsen o kadar E harfiyle başlar. u da 5040!!! olarak bulunur. Doğru cevap: E. Örnek. MF kelimesinin harfleri ile anlamlı veya anlamsız kaç değişik 7 harfli kelime yazılabilir? ) 10 ) 360 ) 70 D) 50 E) 5040 Çözüm: MF kelimesinin tüm harfleri farklı olsaydı, bu harflerle tane farklı kelime yazabilirdik ama burada iki tane olduğundan, yani bunlar kendi aralarında yer değiştirseler bile oluşacak yeni kelime eskisiyle aynı olacağından, sayısı! e bölünmelidir. O halde cevabımız 50!. Doğru cevap: D. Örnek. MEMİK kelimesinin harfleriyle anlamlı ya da anlamsız 9 harfli M harfiyle başlayıp K harfiyle biten kaç değişik kelime yazılabilir? ) 10 ) 360 ) 160 D) 50 E) 5040 Çözüm: Şimdi de M yi başa, K yi sona koy. EMİ kelimesinin harfleriyle kaç değişik 7 harfli kelime yazabilirsen cevap odur. O halde cevap!! 160 olur. Doğru cevap:. 144
Mustafa ĞI www.mustafayagci.com.tr ekrarlı Permutasyon Örnek. MEMİK kelimesinin harfleriyle anlamlı ya da anlamsız 9 harfli, sesli harfle başlayıp sesli harfle biten kaç değişik kelime yazılabilir? ) 3!! D) 7!! ) 5 )! 6!!! E) 11!! Çözüm: Önce kaç tane sesli harfimiz var, ona bakalım.,, E, İ olmak üzere 4 tane. Peki, bunlarla kaç farklı şekilde başlangıç-bitiş yapabiliriz?, E, İ, Eİ, E, İ, İE olmak üzere 7 tane. alnız, iki durumda (başa E, sona İ ve başa İ, sona E harfleri geldiğinde), ortadaki 7 harfli kelime MMK olur, diğer 5 durumda ise ortadaki kelime MMK 1 olur. O halde + 5 = 6!!!!!!! tane değişik kelime yazılabilir. Doğru cevap:. Örnek. MEMİK kelimesinin harfleriyle her M harfinden sonra harfi gelecek şekilde anlamlı ya da anlamsız 9 harfli kaç değişik kelime yazılabilir? ) 10 ) 360 ) 160 D) 50 E) 5040 Çözüm: İki M harfiyle iki harfini M ve M şeklinde eşleyip onları birer iple bağlayalım. Hatta onlara X diyelim. orumuz XEXİK kelimesinin harfleriyle kaç değişik 7 harfli kelime yazılabileceğine döner. O halde cevap!! 160 olur. Doğru cevap:. Örnek. 3 özdeş kırmızı, özdeş sarı ve 4 özdeş mavi boncuk bir sıraya kırmızı boncuklardan sadece tanesi yan yana olmak üzere kaç farklı şekilde dizilebilirler? Örnek. 1113 sayısının rakamlarıyla 6 basamaklı ve birbirinden değişik kaç sayı yazılabilir? ) 60 ) 10 ) 360 D) 70 E) 1040 Çözüm: Hepsi farklı rakam olsaydı değişik sayı yazılabilirdi. Üç tane 1, iki tane olduğundan dolayı = 60 3!! değişik sayı yazılabilir. Doğru cevap:. Örnek. 1113 sayısının rakamlarıyla 6 basamaklı ve birbirinden değişik 3 ile başlayan kaç sayı yazılabilir? ) 10 ) 0 ) 30 D) 40 E) 50 Çözüm: İki farklı yoldan çözeceğiz. irinci yol. Madem 3 ile başlayacak. 3 ü aldık, başa koyduk. Kalan sayının rakamlarıyla kaç değişik sayı yaza-bilirsek, onları getirip 3 ün sağına koyacağız. O halde 5! 111 sayısıyla = 10 sayı yazılabildiğinden cevap 3!! 10 dur. İkinci yol. 3 sayısı 6 harften biri olduğundan, yazılabilecek tüm altı basamaklı sayı adedini 1/6 ile çarpsak da sonucu bulabilirdik. ine 10 1 3!! 6 çıkardı tabii ki. Doğru cevap:. ) 600 ) 630 ) 650 D) 700 E) 730 Çözüm: Kırmızı boncuklar bir beklesin bakalım. Diğer boncukları sıraya dizelim. arılar ve maviler kendi aralarında özdeş olduklarından tekrarlı permutasyon yapacağız. ani MMMM harfleriyle kaç değişik 6 harfli kelime yazılabileceğini bulacağız. unun sayısının! 4! 15 olduğunu biliyoruz. Şimdi bu harflerin arasına 3 kırmızıyı serpiştireceğiz. alnız ikisini bir boşluğa, diğerini başka bir boşluğa yerleştireceğiz. kırmızıyı birden koymak için 7 boşluğumuz, kalan 1 kırmızıyı koymak içinse 6 boşluğumuz var. O halde problemin çözümü 15 7 6 = 630 olmalıdır. Doğru cevap:. Örnek. 1113 sayısının rakamlarıyla 6 basamaklı ve birbirinden değişik 3 ile başlayan kaç çift sayı yazılabilir? ) 4 ) 6 ) 10 D) 1 E) 0 Çözüm: Madem 3 le başlayacak, 3 ü alalım başa koyalım. ayının çift sayı olabilmesi tek durum ile mümkün, sayının son rakamının olmasıyla. Hangi olduğunun önemi yok, lerin birini al, sona koy. Geriye ne kaldı? 111. u rakamlarla 4! = 4 sayı yazılacağından cevabımız 4 tür. 3! Doğru cevap:. 145
Mustafa ĞI www.mustafayagci.com.tr ekrarlı Permutasyon Örnek. 01113 sayısının rakamlarıyla 7 basamaklı ve birbirinden değişik kaç sayı yazılabilir? ) 60 ) 10 ) 360 D) 40 E) 480 Çözüm: İki farklı yoldan çözeceğiz. irinci yol. 3 tane 1 ve tane olduğundan 3!! 40 tane 7 basamaklı sayı yazılabilir. alnız bunlardan bazıları 0 ile başlayacağından atılmaları gerekir. Kaç tane 0 ile başlayan 7 basamaklı sayı olduğunu bulalım. 0 ı alıp başa koyalım, 1113 rakamlarıyla kaç tane 6 basamaklı sayı yapabileceğimizi bulalım. unun sayısı 3!! 60 olduğundan cevabımız 40 60 = 360 olmalıdır. İkinci yol. İlk basamağa 0 dışındaki altı rakam gelebilir. u yüzden, sanki içlerinde 0 yokmuş gibi yazılabilecek tüm yedi basamaklı sayıların adedini 6/7 ile çarpsak da 6 olur. ine cevap 360 3!! 7 çıkacaktır. Doğru cevap:. Örnek. 34400 sayısının rakamlarıyla yazılabilecek beş basamaklı farklı sayıların kaç tanesi çifttir? Örnek. 007007 sayısının rakamları yer değiştirilerek kaç farklı 8 basamaklı sayı yazılabilir? ) 10 ) 10 ) 40 D) 640 E) 760 Çözüm: İki farklı yoldan çözeceğiz. irinci yol. Önce sayıda hiç 0 rakamı yokmuş gibi kaç farklı 8 basamaklı sayı yazabileceğimizi tekrarlı permutasyon kullanarak bulalım. 4!!! 40 Şimdi 0 la başlayan kaç 8 basamaklı sayı yazabileceğimizi bulalım. O halde 0 lardan birini alıp başa koyalım. Geriye kalan 07007 sayısının rakamlarının yerini değiştirerek kaç değişik 7 basamaklı sayı yazabileceğimizi bulalım. 3!!! 10 oplam adetten bunları çıkarınca iş bitti, gitti. O halde cevabımız 40 10 = 10 olmalıdır. İkinci yol. ayıyı oluşturan rakamların yarısı 0, diğer yarısı da 0 dan farklı sayıdır. u yüzden, sanki içlerinde 0 yokmuş gibi yazılabilecek tüm 8 basamaklı sayıların adedini 4/8 yani 1/ ile çarpsak da olur. 1 10 4!!! Doğru cevap:. ) 15 ) 18 ) 48 D) 56 E) 60 Çözüm: Çiftleri bulmak bizi epey uğraştırır. iz yazılabilecek tüm 5 basamaklı sayılardan tek olanları çıkartalım. Önce tüm sayıların adedini bulalım. 18 5! 4!!!! 5! 3 de diyebilirsiniz, 18!! 5 de. ek olanlar da mecburen 3 rakamıyla biten ve yine mecburen 4 rakamıyla başlayan sayılardır. unların adedi de 4, 0, 0 rakamlarının dizilişi kadardır, yani 3 tanedir. O halde cevabımız 5! 3 3 15!! 5 olmalıdır. Doğru cevap:. Örnek. adece iki rakamı 0 ve sadece iki rakamı 1 olan beş basamaklı kaç doğal sayı vardır? ) 14 ) 144 ) 160 D) 196 E) 34 Çözüm: 0011X şeklinde kaç sayı yazılabileceğini bulacağız. X değişkeni 8 farklı değer alabileceğinden, bulduğumuz sayıyı 8 le çarpacağız. 5! 3 evabımız 8 144!! 5 olmalıdır. Doğru cevap:. Örnek. Şekildeki çizgiler bir kentin birbirini dik kesen sokaklarını göstermektedir. dan ye en kısa yoldan kaç değişik biçimde gidilebilir? ) 60 ) 10 ) 360 D) 70 E) 1040 Çözüm: olun en kısa olması için, daima sağa veya yukarıya gitmeliyiz. 1 kere bile sola veya aşağıya gidersek, yol uzamış olur. O halde yan şekildeki gibi sağa doğru hareket etmeyi ile, yukarı doğru çıkmayı ile gösterelim. kelimesinin harfleri yer değiştirdikçe dan ye giden yollar da değişir ama hala en kısa yol olur. Demek ki bu harflerle kaç değişik 10 harfli kelime yazabilirsek, o kadar farklı rota belirlemiş oluruz. undan dolayı cevabımız = 10 olmalıdır. 10! 3! Doğru cevap:. 146
Mustafa ĞI www.mustafayagci.com.tr ekrarlı Permutasyon Örnek. dan ye en kısa yoldan ye uğramak kaydıyla kaç farklı şekilde gidilebilir? ) 60 ) 10 ) 360 D) 40 E) 480 Çözüm: dan ye farklı en kısa yol sayısını, den ye farklı en kısa yol sayısıyla çarpacağız, cevap o olacak. dan ye farklı en kısa yol sayısı harfleriyle kaç değişik dört harfli kelime yazılabiliyorsa o kadardır. den ye farklı en kısa yol sayısı da harfleriyle kaç değişik altı harfli kelime yazılabiliyorsa o kadardır. O halde cevabımız Örnek. dan ye en kısa yoldan ye uğramamak kaydıyla kaç farklı şekilde gidilebilir? 4! = 60 olmalıdır. 3! 1! 4!! Doğru cevap:. ) 60 ) 10 ) 360 D) 40 E) 480 Çözüm: ulmuştuk, toplam 10 farklı yol vardı, bunların 60 ının den geçtiğini de demin bulmuştuk, o halde 10 60 = 60 yolun den geçmeyen en kısa yol olduğunu söyleyebiliriz. Doğru cevap:. Örnek. [D] yolunu kullanmak şartsa, dan ye en kısa yoldan kaç farklı şekilde gidilebilir? ) 4 ) 30 ) 3 D) 36 E) 48 Çözüm: dan ye en kısa yol sayısıyla, D den ye en kısa yol sayısını çarpacağız. Üstteki sorularda kullandığımız tekniği kullanalım. ve durumlarını çarpacağız demektir. O halde cevap 4! 4! 46 4 3!!! olmalıdır. Doğru cevap:. D Örnek. adece yukarı ve sağa gitmek kaydıyla çizgiler üzerinden dan ye kaç farklı şekilde gidilebilir? ) 116 ) 10 ) 1 D) 13 E) 16 Çözüm: u soruda tersten gitmek daha avantajlıdır. ani önce dikdörtgen şeklin hiç bozulmamış olduğunu farz ederek dan ye kaç farklı en kısa yol olduğunu bulacağız. Daha sonra da yasak yerlerden geçen kaç farklı en kısa yol varsa onları toplamdan çıkartacağız. oplam en kısa yol sayısı 4! 5! 16 dır. oldaki yasak yolu kullanan tek en kısa yol vardır. Ortadaki yasak yolu kullanan 4!/3! = 4 en kısa yol vardır. ağdaki yasak yolu kullanan da 1 tane en kısa yol vardır. O halde cevabımız 16 1 4 1 = 10 olmalıdır. en avantajlı çözümü değil, tersten gitmeyen, direkt çözümü istiyorum! diyenler için sözü Üstad li Ergin e bırakıyorum: dan ye çizgiler üzerinden gidilecekse, şekilde işaretlenmiş K, L, M noktalarından mutlaka geçilecektir. u noktalara kavşak diyelim. Herhangi bir kavşaktan geçen bir en kısa yol, diğer kavşaklardan kesinlikle geçmeyeceğinden, K den, L den ve M den geçen en kısa yolların sayısını toplarsak sonuca ulaşmış oluruz. 4! 5! 4! 5! 4! 5! 10 1! 3! 1! 4!!!! 3! 1! 3!! 3! K'den geçen L'den geçen M 'den geçen Örnek. anda, 8 birimküpten yapılmış bir küp görmektesiniz. ir karınca bu telleri (çizgileri) kullanarak, en kısa yoldan kaç farklı şekilde dan ye gidebilir? Doğru cevap:. ) 180 ) 90 ) 80 D) 70 E) 60 K L M 147
Mustafa ĞI www.mustafayagci.com.tr ekrarlı Permutasyon Çözüm: Küp üzerinde yukarı doğru 3 3 1 yani [D yönünde hareket etmeyi 1 ile, sağa doğru yani [ yönünde gitmeyi ile, içe doğru yani [D yö- D 1 1 1 3 nünde gitmeyi 3 ile gösterelim. Karınca eğer en kısa yoldan hedefine 3 varmak istiyorsa tane 1, tane, tane de 3 yolunu tercih etmelidir. u durumda kaç seçeneğinin olduğunu 1133 harfleriyle kaç değişik sayı yazabileceği problemini çözerek bulabiliriz. u da bildiğimiz üzere!!! 90 değişik şekilde mümkündür. Doğru cevap:. Örnek. ile takımlarının yapmış olduğu futbol karşılaşması 3-3 berabere bitmiştir. u maçı seyretmeyen ama sonucunu bilen birinin atılan golleri doğru sırada garanti bilmesi için en az kaç tahminde bulunması gerekir? ) 1 ) ) 15 D) 0 E) 36 Çözüm: Örneğin ilk üç golü takımı atmış olsun, son üç golü de takımı. u durumu yazarak gösterelim. O halde problem, kelimesinin harfleriyle kaç değişik 6 harfli kelime yazılabileceğini sormaktadır. Örnek. andaki tabloda sadece sağa ve aşağıya doğru hareket ederek kaç değişik PERMON yazısı boyamak mümkündür? P E R M E R M R M M O O N unun da nasıl çözülebileceğini biliyoruz: 3! 3! 0. Doğru cevap: D. ) 5 ) 50 ) 150 D) 10 E) 45 Çözüm: Şekil dikkatlice incelenirse, boyalı P kutusundan boyalı N kutusuna kaç farklı en kısa yol vardır sorusuyla nerdeyse aynı olduğu görülür. O problemlerde çizgi üzerinden gidiyorduk, burada kutudan kutuya geçeceğiz. ağa gitmeyi ile aşağı inmeyi ile gösterirsek harflerini birer kez kullanarak kaç değişik 10 harfli kelime yazabiliyorsak o kadar PERMON yazısı boyanabileceğini rahatlıkla anlarız. unun sayısı 10! 10 da olduğunu biliyoruz. 5! 5! 5 Doğru cevap:. Örnek. avlanın her elinde yenen 1 puan, mars eden puan almakta ve yenilen puan almamaktadır. İki kişi, 5 puana ilk kim erişirse onun oyunu kazanmış sayılacağında anlaşarak tavla oynamaya başlıyorlar. Oyun 5-4 nın galibiyetiyle sonuçlanıyor. ve oyuncuları oyun esnasında birer el birbirlerini mars etmişlerse, bu oyunun her elini, kim yendi veya kim mars etti şeklinde garanti bilmek için en az kaç tahminde bulunmak gerekir? ) 35 ) 10 ) 180 D) 40 E) 40 Örnek. Her defasında sadece 1 veya 3 basamak atlayan bir çocuk, 1 basamaklı bir merdiveni kaç değişik şekilde çıkabilir? ) 60 ) 90 ) 10 D) 180 E) 40 Çözüm: anı isterse tüm basamakları teker teker çıkar. u 1 seçenektir. anı isterse sadece 1 kere 3 basamak atlar, diğerlerini teker teker çıkar. u da 3, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1 sayılarının kaç değişik şekilde dizilebileceği kadardır. Veya kere 3 basamak atlar, diğerlerini yine tek tek çıkar. u da 3, 3, 1, 1, 1, 1, 1, 1 sayılarını kaç değişik şekilde sıraya dizebileceğimiz kadardır. enzer durumda 3, 3, 3, 1, 1, 1 ve 3, 3, 3, 3 durumu vardır. 10! O halde cevap 1 1 60! 3! 3! olmalıdır. Doğru cevap:. Çözüm: Demek ki oyuncusu 3 oyun ve 1 mars yapmış. oyuncusu da oyun ve 1 mars yapmış. nın aldığı oyunları ile, marsı ile gösterelim. nin oyun ve marslarını da sırasıyla ve ile gösterelim. O halde gibi kaç değişik 7 harfli kelime yazabileceğimizi bulacağız. Fakat son oyunu oyuncusu kazandığından kelimenin sonuna veya gelmelidir. Eğer sona gelmişse, gibi /(!!) 180, eğer sona gelmişse, gibi /(3!!) 60 değişik kelime yazılabilir. O halde bu oyun 40 farklı şekilde oynanmış olabilir. Doğru cevap: D. 148
Mustafa ĞI www.mustafayagci.com.tr ekrarlı Permutasyon EVPLI E 1 1. GEOMERİ kelimesinin harfleriyle anlamlı ya da anlamsız 8 harfli kaç değişik kelime yazılabilir? ) 8 3! ) ) 10!! D) 3 E) 10 3! 6. 134134 sayısının rakamlarıyla kaç değişik 8 basamaklı çift sayı yazılabilir? ) 8 ) 4 ) D) 4 E). MM kelimesinin harfleriyle harfiyle başlayıp harfiyle biten kaç farklı 8 harfli kelime yazılabilir? 7. MF kelimesinin harfleriyle yazılabilecek tüm yedi harfli kelimeler alfabetik sıraya dizilirse, baştan 5 inci kelime ne olur? )!! D) 3! )!! E)!!! )!!! ) MF ) FM ) FM D) MF E) MF 3. 5 aynı matematik kitabı, 4 aynı fizik kitabı bir rafa kaç değişik şekilde dizilebilir? 8. MF kelimesinin harfleriyle yazılabilecek tüm yedi harfli kelimeler alfabetik sıraya dizilirse, sondan üçüncü kelime ne olur? ) 5! ) 5! 4! ) 5! 4! D) 5! 4! E) ) MF ) MF ) MF D) FM E) FM 4. Üstteki soruda matematik kitabı ile başlayan fizik kitabı ile biten bir sıralama kaç değişik şekilde yapılabilir? 9. MF kelimesinin harfleriyle yazılabilecek harfleri farklı tüm 7 harfli kelimeler alfabetik sıraya dizilirse, MF baştan hangi sırada olur? ) 4! ) 4! 3! ) 5! 4! D)! 4! E) 3! 4! ) 50 ) 147 ) 11 D) 70 E) 648 5. 134134 sayısının rakamlarıyla kaç değişik 8 basamaklı sayı yazılabilir? ) ) ) D) E) 10. MF kelimesinin harfleriyle anlamlı ya da anlamsız, en çok 3 harfli kelime kaç değişik biçimde yazılabilir? ) 7 ) 144 ) 17 D) 188 E) 1 1.. 3. 4.E 5. 6. 7.D 8. 9. 10. 149
Mustafa ĞI www.mustafayagci.com.tr ekrarlı Permutasyon EVPLI E 1. MF kelimesinin harfleriyle yazılabilecek tüm 7 harfli kelimelerin kaç tanesi harfiyle başlar ama harfiyle bitmez? 6. eşinci soruda dan geçmek yasak olduğuna göre kaç farklı yol vardır? ) 56 ) 40 ) 3 D) 4 E) 16 ) 70 ) 600 ) 480 D) 40 E) 10. MF kelimesinin harfleriyle sesli harflerin alfabetik sırada olduğu yedi harfli anlamlı ya da anlamsız kaç değişik kelime yazmak mümkündür? ) /! ) / 3! ) /!.3! D) / 5! E) 7. Şekildeki noktasından noktasına karelerin kenarlarını kullanarak en kısa yoldan kaç farklı şekilde gidilebilir? ) 7 ) 8 ) 9 D) 3 E) 33 3. MF kelimesinin harfleriyle sessiz harflerin alfabetik sırada olduğu yedi harfli anlamlı ya da anlamsız kaç değişik kelime yazmak mümkündür? ) ) / 3! ) / 4! D) / 3! 4! E) /! 4! 8. ay X, birbirini dik kesen sokakların bulunduğu bir mahallede oturmaktadır. adece güneye ve doğuya doğru gidebilen bay X, noktasından noktasına kaç değişik yolla gidebilir? ) 35 ) 7 ) 6 D) 4 E) 3 4. noktasından noktasına, çizgiler üzerinden gitmek şartıyla en kısa yoldan kaç farklı şekilde gidilebilir? ) ) /! ) / 3! D) / 5! E) / 3! 5! 9. Her defasında 1 veya 4 basamak atlayan bir çocuk, 1 basamaklı bir merdiveni kaç değişik şekilde çıkabilir? ) 1 ) 16 ) 0 D) 4 E) 6 5. noktasından noktasına, çizgilerin dışına çıkmadan ve ya uğramak kaydıyla en kısa yoldan kaç değişik şekilde gidilebilir? ) 16 ) 4 ) 3 D) 36 E) 40 10. Rakamları çarpımı 300 den büyük 3 basamaklı rakamları farklı kaç doğal sayı vardır? ) 96 ) 90 ) 75 D) 7 E) 64 1.. 3. E 4. E 5. 6. 7. E 8. E 9. E 10. 150