i MÜHENDİSLİK MEKANİĞİ DİNAMİK Prof. Dr. Mehmet BAKİOĞLU İstanbul Teknik Üniversitesi (Emekli) Prof. Dr. Ünal ALDEMİR İstanbul Teknik Üniversitesi 2012
ii Yayın No : 2730 Teknik Dizini : 154 1. Baskı Ağustos 2012 İSTANBUL ISBN 978-605 - 377-755 - 7 Cop yright Bu ki ta bın bu ba sı sı nın Tür ki ye de ki ya yın hak la rı BE TA Ba sım Yayım Da ğı tım A.Ş. ye ait tir. Her hak kı sak lı dır. Hiç bir bö lü mü ve pa rag ra fı kısmen ve ya ta ma men ya da özet ha lin de, fo to ko pi, fak si mi le ve ya baş ka her han gi bir şe kil de ço ğal tı la maz, da ğı tı la maz. Nor mal öl çü yü aşan ik ti bas lar ya pı la maz. Nor mal ve ka nu nî ik ti bas lar da kay nak gös te ril me si zo run lu dur. Dizgi : Beta Basım A.Ş. Baskı - Cilt : Pasifik Ofset Cihangir Mah. Güvercin Cad. No: 3 Baha İş Merkezi A Blok Avcılar / İSTANBUL Tel: (0212) 412 17 77 (Sertifika No. 12027) Kapak Tasarım : Gökhan Ayrancı Beta Basım Yayım Dağıtım A.Ş. Narlıbahçe Sokak Damga Binası No: 11 Cağaloğlu - İSTANBUL Tel : (0-212) 511 54 32-519 01 77 Fax: (0-212) 511 36 50 www.betayayincilik.com
iii Prof. Dr. Vural Cinemre nin Anısına
v ÖNSÖZ Temel mühendislik derslerinden biri olan dinamik dersinin gayesi, öğrenciye uygulamada karşılaşacağı konu ile problemlerin temel prensiplerini öğretmektir. Ders, dinamik ile ilgili temel kavramlarının tekniği uygulanışının öğrettiği gibi öğrencileri ilgili meslek derslerine hazır hale getirir. Statik ve dinamik dersi mühendislik mekaniğinin bütünü teşkil eder. Bu iki ders teknik mekanik veya mühendislik mekaniği gibi isimler altında da okutulur. Birçok mühendislik dallarında okutulan mühendislik mekaniği; inşaat, makine, gemi, uçak gibi fakültelerde ayrı bir önem taşır. Dinamik dersinin önemi, makine, gemi, uçak mühendisleri için tartışılmaz. Buna karşın inşaat mühendisliği öğrencileri, zaman zaman ileride sadece statik hesaplar yapacağını düşünüp dinamik dersinin gereksizliği kanısına kapılabilirler. Bu kanının ne kadar yanlış olduğu; son zamanlarda Türkiye de önemsenen depremlerin yanında yapı tasarımındaki gelişmelerden de görülebilir. Kitapta bazı konular geniş anlatıldı, standart dinamik kitaplarında bulunmayan bazı konular da ekledi. Titreşim ve titreşim izolasyonu birçok mühendislik dallarında önemli olması nedeniyle geniş yazıldı. Standart dinamik kitabında bulunmayan iki konu kitaba eklendi: Bu konulardan biri diferansiyel denklemlerin çözümüdür. Bazı üniversite programlarında dinamik dersinin verildiği yarıyılda öğrenciler diferansiyel denklemleri okumamış veya aynı yarıyılda okuyacak olmasıdır. Bu gibi durumlar için, gerekli diferansiyel denklemler bilgileri en az seviyede özet olarak anlatılmıştır. Diferansiyel denklemleri okumuş öğrenciler için ise bu bölüm bir hatırlatma niteliğindedir. Kitaba konan ikinci bölüm ise sayısal yöntemler bölümüdür. ABET kurallarından biri derslerde bilgisayar kullanılmasının teşvik edilmesini istemektedir. Bu nedenle sayısal yöntemler kitaba konuldu. Bilgisayarların yaygınlaşması sonunda; sayısal yöntemler, elemanter dinamik konuları içine artan bir hızla girmeye başlamıştır. Sayısal yöntemlerin kolay uygulanabilir hale gelmesi bazı problemleri zor olmaktan çıkartıp kolay problem haline getirmiştir. Örneğin; dirençli ortamda hareket eden cisim
vi probleminde, zorluk problemin modellenmesinden gelmeyip elde edilen diferansiyel denklemin çözülmesinden gelmektedir. Aslında elemanter problemlerin tamamına yakınında, bilhassa maddesel nokta dinamiğinde, zorluk, elde edilen diferansiyel denklemin çözümünden gelmektedir. Bu nedenlerle, sayısal yöntemler birçok problemin çözümünü kolay hale getirmiştir. Buna karşın her problemin sayısal yöntemler ile kolayca çözülebileceğini söylemek mümkün değildir. Ayrıca sayısal yöntemlerin de kendine özgü zorlukları bulunmaktadır. Dinamik dersi diğer mekanik derslerine göre konuların anlatılması kısa buna karşın konuların iyi anlaşılabilmesi için fazla örnek çözülmesi gerektiren bir derstir. Bu nedenle bütün konularda fazla örnek çözüldü. Kitapta 280 çözülmüş örnek problem, 125 sonuçları verilip çözümü öğrenciye bırakılan problem bulunmaktadır. Sonuç olarak kitapta 405 problem bulunmaktadır. Aslında problem sayısı 405 den fazla olmasına karşın kitap hacmini fazla büyütmemek için mümkün olan problemler birleştirilip bir problemin şıkları olarak çözülmüş veya problemin farklı yoldan çözümü verilmiştir. Bu nedenle bazı problemlerin çözümü uzundur. Bugün bilgisayar programları, genel problemler için bu konuda ihtisaslaşmış kişiler tarafından yapılmakta ve kullanıcı bu hazır paket programları kullanmaktadır. Buna karşın elektronik tablo programları (Excel gibi), mühendisin birçok ihtiyaçlarına cevap verecek şekilde çok ileri bir hesap makinesi gibi gelişmiştir. Bu tablolarda programlamaya gerek kalmadan lineer denklem takımı çözülmekte, çokterimlilerin kökleri bulunmakta, bulunan sonuçlardan anında grafikler elde edilmektedir. Bunların yanında en önemlisi bu işlemler içine formüller yazılabilen tablolar halinde yapılmakta olup verilerden biri değiştiğinde formüllere göre tablodaki sonuçlar ve grafikler anında değişmektedir. Yukarıda açıklanan nedenler ile bu kitapta problemlerin sayısal çözümünde elektronik tablo kullanılmıştır. Yazarlar İstanbul, Ağustos 2012
vii SEMBOL LİSTESİ a a n a t a a B a C a T a x,a y,a z, a r,a θ,a z, a r,a φ,a θ, A b c kr e e r, e θ, e z e r, e φ, e θ f g G H I I x, I y, I z I xy, I yz, I zx I k m M : İvmenin şiddeti : İvmenin normal doğrultudaki bileşeni : İvmenin teğet doğrultudaki bileşeni : İvme vektörü : Bağıl ivme : Coriolis ivmesi : Sürüklenme ivmesi : İvmenin kartezyen koordinatlarda bileşenleri : İvmenin silindirik koordinatlarda bileşenleri : İvmenin küresel koordinatlarda bileşenleri : Alan hızı : Binormal vector : Kritik sönüm katsayısı : Çarpışma katsayısı, dış merkezlik : Silindirik koordinatlarda birim vektörler : Küresel koordinatlarda birim vektörler : Frekans : Yer çekimi ivmesi : Momentum : Açısal momentum : Eylemsizlik momenti, İntegral : x,y ve z eksenlerine gore eylemsizlik momentleri : Çarpım eylemsizlik momentleri : İmpuls : Yay katsayısı : Kütle : Kütle
viii n r R s t t T v v v x, v y, v z, v r,v θ,v z, v r,v φ,v θ, V u,v,w W α α β δ st κ μ ρ τ ω ω ω x, ω y, ω z, ψ,φ,θ : Normal birim vektör : Yer vektörü : Direnç kuvveti : Yol : Zaman : Teğet birim vektör : Kinetik enerji, periyot : Hızın şiddeti : Hız vektörü : Hızın kartezyen koordinatlarad bileşenleri : Hızın silindirik koordinatlarda bileşenleri : Hızın küresel koordinatlarda bileşenleri : Hız, limit hız, potansiyel enerji, hız : Dönmüş eksen takımının koordinatları : Ağırlık, iş : Açısal ivmenin şiddeti : Açısal ivme vektörü : Büyütme Çarpanı : Statik Uzama : Evrensel çekim sabiti : Sürtünme katsayısı : Eğrilik yarıçapı : Eğrinin burulması : Açısal hız : Açısal hız vektörü : Açısal hız vektörünün bileşenleri : Euler Açıları
ix İÇİNDEKİLER ÖNSÖZ...v SEMBOL LİSTESİ... vi BÖLÜM 1 MADDESEL NOKTANIN KİNEMATİĞİ... 1 BÖLÜM 2 BAĞIL HAREKETİN KİNEMATİĞİ... 61 BÖLÜM 3 MADDESEL BİR NOKTANIN KİNETİĞİ VE SABİT KUVVET ETKİSİ ALTINDA DOĞRUSAL HAREKETİ... 81 BÖLÜM 4 KUVVETİN DEĞİŞKEN OLMASI HALİNDE DOĞRUSAL HAREKET... 101 BÖLÜM 5 TİTREŞİMLER... 129 BÖLÜM 6 MADDESEL NOKTANIN EĞRİSEL HAREKETİ... 175 BÖLÜM 7 ENERJİ İLKESİ... 187 BÖLÜM 8 İMPULS MOMENTUM ve AÇISAL MOMENTUM İLKESİ... 209
x BÖLÜM 9 İMPULS MOMENTUM İLKESİNİN UYGULAMALARI: ÇARPIŞMA, DEĞİŞKEN KÜTLELİ HAREKET ve SÜREKLİ KÜTLE AKIMI... 229 BÖLÜM 10 KEPLER YASALARI ve MERKEZSEL HAREKET... 257 BÖLÜM 11 BAĞIL HAREKETİN KİNETİĞİ... 273 BÖLÜM 12 RİJİT CİSMİN KİNEMATİĞİ... 287 BÖLÜM 13 RİJİT CİSMİN DİNAMİĞİ, ÖTELENMESİ ve DÖNMESİ... 321 BÖLÜM 14 RİJİT CİSMİN DÜZLEMSEL HAREKETİ... 353 BÖLÜM 15 RİJİT CİSİMLERDE ENERJİ ve MOMENTUM İLKESİ... 375 EK A BAZI DİFERANSİYEL DENKLEMLERİ ÇÖZÜMÜ... 395 EK B CİSİMLERİN EYLEMSİZLİK MOMENTLERİ... 407 EK C SAYISAL YÖNTEMLER... 427 EK D INTEGRAL TABLOSU... 449 KAYNAKÇA... 451 KONU DİZİNİ... 453