SONLU ŞEKİL DEĞİŞTİREBİLEN KISITLI TERMOELASTİK CİSİMLERDE DALGA YAYILMASI VE KAYMA BANDI OLUŞUMU BAHADIR ALYAVUZ

SONLU ŞEKİL DEĞİŞTİREBİLEN KISITLI TERMOELASTİK CİSİMLERDE DALGA YAYILMASI VE KAYMA BANDI OLUŞUMU BAHADIR ALYAVUZ DOKTORA TEZİ İNŞAAT MÜHENDİSLİĞİ ANABİLİM DALI GAZİ ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ EKİM 8 ANKARA

v SONLU ŞEKİL DEĞİŞTİREBİLEN KISITLI TERMOELASTİK CİSİMLERDE DALGA YAYILMASI VE KAYMA BANDI OLUŞUMU (Dotora Tez) Baadır ALYAVUZ GAZİ ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ Kasım 8 ÖZET Kısıtlı termoelast ortamda zayıf şo dalgası yayılma ızları ve ayma badı oluşumu celemştr. Ele alıa ortam bazı deformasyo sıırlamaları bulua sııştırılablr ortamdır. Bu deformasyo sıırlamaları sıcalığa bağlı uzama ve saf mea uzamazlı ısıtıdır. Zayıf şo dalgalarıı areet delem tell yüzeyler teors ullaılara elde edlmştr. Kısıtlı termoelast malzemeler büye delemler ısıtlı ve ısıtsız ısımları toplamı olara yazılmıştır. Zayıf şo dalga eşğ üzerde bazı değşeler sıçrama fadeler bu değşeler Taylor sers açılımı ullaılara yazılmıştır. Termoelast ortamda zayıf şo dalgası yayılma şartı Duamel Neuma formuda br şel değştrme fosyou ullaılara elde edlmştr. Oluşturula özdeğer problem çözümü zayıf şo dalgalarıı yayılma ızlarıı vermetedr. Zayıf şo dalgası yayılma ızları bazı özel deformasyo durumları ç elde edlmştr. Kayma badı oluşumu ve rt uzama oraları te esel esel ve üç esel çeme durumları ç bulumuştur. Blm Kodu : 9..7 Aatar Kelmeler : Zayıf şo dalgası tell yüzey termomea ısıt termoelastste ayma badı Sayfa Aded : 6 Tez Yöetcs : Prof. Dr. Te GÜLTOP

v WAVE PROPAGATION AND SHEAR BAND FORMATION IN FINITE DEFORMABLE CONSTRAINED THERMOELASTIC SOLIDS (P.D. Tess) Baadır ALYAVUZ GAZI UNIVERSITY INSTITUTE OF SCIENCE AND TECHNOLOGY November 8 ABSTRACT Lear wea soc wave propagato ad te exstece of sear bads are examed ftely deformed costraed termoelastc solds. We cosder a compressble sold wt certa type of teral costrats. Te specfc teral costrat cases of temperature depedet extesblty ad te purely mecacal extesblty are cosdered separately. Te equato of moto of wea soc waves s recovered by usg te teory of sgular surfaces. Te costtutve equatos of costraed materals are wrtte as te summato of costraed ad ucostraed couterparts of te relevat quattes. Te umps of certa feld varables across te soc wave frot are obtaed by usg Taylor seres expasos of tem. Te propagato codto of soc waves a termoelastc sold s obtaed by usg te stra-eergy fucto correspodg to Duamel-Neuma expresso. Te soluto of resultg egevalue problem yeld te propagato speeds of wea soc waves. Te propagato speeds of wea soc waves are determed for partcular state of deformatos. Formato of sear bads ad te magtudes of crtcal stretces are obtaed for te deformato states of uaxal baxal exteso ad for uform dlato. Scece Code : 9..7 Key Words : Wea soc waves sgular surfaces termomecacal costrat termoelastcty sear bad Page Number : 6 Advser : Prof. Dr. Te GÜLTOP

v TEŞEKKÜR Dotora çalışmalarım sırasıda verdğ deste ve ıymetl yöledrmeler ç değerl ocam ve tez daışmaım Prof. Dr. Te GÜLTOP a sosuz teşeür ederm. Desteğ ç sevgl eşm Metap AYTAÇ ALYAVUZ a eğtmme gösterdler öem ve verdler destete dolayı aleme teşeürü br borç blrm.

v İÇİNDEKİLER Sayfa ÖZET... v ABSTRACT... v TEŞEKKÜR... v İÇİNDEKİLER... v ÇİZELGELERİN LİSTESİ... x ŞEKİLLERİN LİSTESİ... x SİMGELER VE KISALTMALAR... xv. GİRİŞ.... KISITLI TERMOELASTİK MALZEMELERİN BÜNYE TEORİSİ..... Sürel Ortamlar Kematğ..... Gerlme... 9.3. Koruum Yasaları....3.. Kütle oruumu....3.. Doğrusal mometumu oruumu... 3.3.3. Açısal mometumu oruumu... 3.3.4. Eer oruumu... 3.3.5. Etrop les... 5.4. Kısıtlı Doğrusal Olmaya Termoelast Csmler... 6.5. Kısıtsız Doğrusal Olmaya Termoelast Csmler... 9.6. Gelştrlmş St. Veat Krcoff Malzemeler İç Serbest Eer Fosyou... 3.7. Kısıtlama Fosyoları... 35.7.. Br acm elemaıda değşm ve sıcalığa bağlı sıışma ısıtı... 35.7.. Br çzg elemaıda değşm ve sıcalığa bağlı uzama ısıtı... 37

v Sayfa.7.3. Saf mea ısıtlama fosyoları... 38 3. TEKİLLİK YÜZEYLERİ VE DALGA YAYILMASI... 4 3.. Tell Yüzeyler... 4 3.. Tell Yüzeyler Sııfladırılması... 4 3.3. Tell Yüzeyler İç Uygulu Şartları... 44 3.4. Tell Yüzey İçere Sürel Ortamlarda Temel Dege Delemler... 49 3.4.. Kütle oruumu... 5 3.4.. Mometumu oruumu... 5 3.5. Tell Yüzey Üzerde Eer Sıçraması... 54 4. TERMOELASTİK CİSİMLERDE ZAYIF ŞOK DALGALARININ YAYILMASI... 58 4.. Termomea Kısıtlı Termoelast Csmler... 6 4... Zayıf şo dalgası areet delem elde edlmes... 6 4... Zayıf şo dalgası yayılma şartları... 69 4.. Saf Mea Kısıtlı Termoelast Csmler... 9 4... Zayıf şo dalgası areet delem elde edlmes... 9 4... Zayıf şo dalgası yayılma şartları... 96 4.3. Kısıtsız Termoelast Csmler... 3 4.3.. Zayıf şo dalgası areet delem elde edlmes... 3 4.3.. Zayıf şo dalgası yayılma şartları... 6 5. KAYMA BANDI OLUŞUMU... 5.. Kayma Badları... 5.. Termomea Kısıtlı Csmde Kayma Badı Oluşumu... 3 5... Te esel çeme altıda ısıtlı csm... 3 5... İ esel çeme altıda ısıtlı csm... 5

x Sayfa 5.3. Saf Mea Kısıtlı Csmde Kayma Badı Oluşumu... 6 5.3.. Te esel çeme altıda ısıtlı csm... 6 5.3.. İ esel çeme altıda ısıtlı csm... 7 5.4. Kısıtsız Termoelast Csmde Kayma Badı Oluşumu... 3 5.4.. Te esel çeme altıda ısıtlı csm... 3 5.4.. İ esel çeme altıda ısıtlı csm... 3 5.4.3. Üç esel çeme altıda ısıtlı csm... 33 6. SONUÇ... 36 KAYNAKLAR... 39 EKLER... 4 EK- Bazı matemat eştller çıarılışları... 43 ÖZGEÇMİŞ... 6

x ÇİZELGELERİN LİSTESİ Çzelge Sayfa Çzelge 4.. Çeştl Δ sıcalı artımları ç ( ) fosyouu değerler ve e doğrultusuda uzama oraları... 6

x ŞEKİLLERİN LİSTESİ Şel Sayfa Şel.. Lagrage ve Euler oordat sstemler... Şel.. Yer değştrme Lagrage taımı... 3 Şel.3. Yer değştrme Euler taımı... 4 Şel.4. Sosuz üçü vetör elemaıı deformasyou... 4 Şel.5. Sosuz üçü yüzey (ala) elemaıı deformasyou... 6 Şel.6. Sosuz üçü acm elemaıı deformasyou... 7 Şel.7. Sosuz üçü da alaıda yüzey gerlme uvvet ve yüzey ormal... Şel.8. Sosuz üçü üçge przmaya etye gerlme uvvetler... Şel.9. Gerlme tasörüü bleşeler ve oordat yüzeylere etye gerlme uvvetler... Şel.. Eş..94 de verle acm değşm... 37 Şel.. γ açısıyla yerleştrlmş uzamaz lflerle uvvetledrlmş ortam... 39 Şel 3.. yüzey ormal vetörü u yayılma ızı le sürel ortamı ye ayıra σ (t) tell yüzey... 4 Şel 3.. Sıfırıcı mertebede tell yüzey öreler a) çatla b) brbr üzerde aya yüzeyler... 43 Şel 3.3. Brc mertebe tell yüzey öreğ vortes yüzey [38]... 44 Şel 3.4. σ tell yüzey üzerde taımlamış y eğrsel oordatları ve teğet vetörler ( ve )... 45 Şel 4.. Tell vetörü s ve ortam otasıı ızıda sıçrama v v v... 59 Şel 4.. Zayıf şo dalgası eşğ. ( dalga yayılma doğrultusu açısı ve γ sıcalığa bağlı uzama ısıtıı buluduğu doğrultu açısı)... 7

x Şel Sayfa Şel 4.3. Boyua zayıf şo dalgası yayılma ve şo vetörü doğrultuları... 7 Şel 4.4. Ee zayıf şo dalgası yayılma ve şo vetörü doğrultuları... 74 Şel 4.5. -ese doğrultusuda uzaması yapa termomea ısıtlı csm... 75 Şel 4.6. Boyua şo dalgalarıı sıcalı ve uzama oraıyla değşm lf doğrultu açısı γ a) 3 b) 45 c) 6 d) 75 -γ 3... 78 Şel 4.7. Ee şo dalgalarıı sıcalı ve uzama oraıyla değşm lf doğrultu açısı γ a) 3 b) 45 c) 6 d) 75 - γ 3... 79 Şel 4.8. Boyua şo dalgalarıı sıcalı ve uzama oraıyla değşm lf doğrultu açısı γ a) 3 b) 45 c) 6 d) 75 -γ 45... 8 Şel 4.9. Ee şo dalgalarıı sıcalı ve uzama oraıyla değşm lf doğrultu açısı γ a) 3 b) 45 c) 6 d) 75 -γ 45... 8 Şel 4.. Boyua şo dalgalarıı sıcalı ve uzama oraıyla değşm lf doğrultu açısı γ a) 3 b) 45 c) 6 d) 75 -γ 6... 8 Şel 4.. Ee şo dalgalarıı sıcalı ve uzama oraıyla değşm lf doğrultu açısı γ a) 3 b) 45 c) 6 d) 75 -γ 6... 83 Şel 4.. Boyua şo dalgalarıı sıcalı ve uzama oraıyla değşm lf doğrultu açısı γ a) 3 b) 45 c) 6 d) 75 -γ 9... 84 Şel 4.3. Ee şo dalgalarıı sıcalı ve uzama oraıyla değşm lf doğrultu açısı γ a) 3 b) 45 c) 6 d) 75 -γ 9... 85 Şel 4.4. K ve ( γ π /) e boyua dalga ızı-lf doğrultu açısı grafğ... 86 Şel 4.5. İ esel çeme altıda ısıtlı ortamda yayıla boyua şo dalgasıı uzama oraıyla değşm açısı γ a) 3 b) 45 c) 6 d) 75 ve γ π /6... 89 Şel 4.6. İ esel çeme altıda ısıtlı ortamda yayıla boyua şo dalgasıı uzama oraıyla değşm açısı γ a) 3 b) 45 c) 6 d) 75 ve γ π /4... 9

x Şel Sayfa Şel 4.7. İ esel çeme altıda ısıtlı ortamda yayıla boyua şo dalgasıı uzama oraıyla değşm açısı γ a) 3 b) 45 c) 6 d) 75 ve γ π /3... 9 Şel 4.8. İ esel çeme altıda ısıtlı ortamda yayıla boyua şo dalgasıı uzama oraıyla değşm açısı γ a) 3 b) 45 c) 6 d) 75 ve γ π /... 9 Şel 4.9. Boyua zayıf şo dalgası yayılma ve şo vetörü doğrultuları... 98 Şel 4.. Uzamaz lflerle uvvetledrlmş ola csmde ee zayıf şo dalgası... Şel 4.. e doğrultusuda uzamaz saf mea ısıtlı csm -esede uzaması... Şel 4.. γ π /6 ç boyua zayıf şo dalgası ızıı -esede uzama ve sıcalı artımıyla değşm ( γ π /)... 5 Şel 4.3. γ π /4 ç boyua zayıf şo dalgası ızıı -esede uzama ve sıcalı artımıyla değşm ( γ π /)... 6 Şel 4.4. γ π /3 ç boyua zayıf şo dalgası ızıı -esede uzama ve sıcalı artımıyla değşm ( γ π /)... 6 Şel 4.5. γ 5π / ç boyua zayıf şo dalgası ızıı -esede uzama ve sıcalı artımıyla değşm ( γ π /)... 7 Şel 4.6. e doğrultusuda uzamaz saf mea ısıtlı csm -esede uzaması esede ısalması... 7 Şel 4.7. γ π /6 ç boyua zayıf şo dalgası ızıı -esede uzama ve sıcalı artımıyla değşm ( γ π /)... Şel 4.8. γ π /4 ç boyua zayıf şo dalgası ızıı -esede uzama ve sıcalı artımıyla değşm ( γ π /)... Şel 4.9. γ π /3 ç boyua zayıf şo dalgası ızıı -esede uzama ve sıcalı artımıyla değşm ( γ π /)... Şel 4.3. γ π /6 ç boyua zayıf şo dalgası ızıı -esede uzama ve sıcalı artımıyla değşm ( γ π /) ve K...

xv Şel Sayfa Şel 4.3. γ π /4 ç boyua zayıf şo dalgası ızıı -esede uzama ve sıcalı artımıyla değşm ( γ π /) ve K... Şel 4.3. γ π /3 ç boyua zayıf şo dalgası ızıı -esede uzama ve sıcalı artımıyla değşm ( γ π /) ve K... 3 Şel 4.33. Te esel çeme altıda csmde zayıf şo dalgası yayılma doğrultusu... 7 Şel 4.34. Farlı uzama oraları ç boyua dalga ızı sıcalı grafğ... 8 Şel 4.35. Farlı sıcalı artımları ç boyua dalga ızı uzama grafğ... 8 Şel 4.36. İ esel çeme altıda csmde zayıf şo dalgası yayılma doğrultusu... 9 Şel 5.. Kayma badı düzlem... Şel 5.. e doğrultusuda ısıtlı termoelast malzeme... 4 Şel 5.3. γ π /4 ve K e boyua dalga ızı dalga yayılma doğrultusu grafğ... 4 Şel 5.4. γ π /4 ve K e ee dalga ızı dalga yayılma doğrultusu grafğ... 5 Şel 5.5. İ esel çeme ç rt uzama oraları... 5 Şel 5.6.Boyua dalga ızı uzama oraı değşm... 6 Şel 5.7. Krt uzama oraı sıcalı değşm... 7 Şel 5.8. e doğrultusuda uzamaz lflerle uvvetledrlmş termoelast csm... 8 Şel 5.9. Uzamaz lflerle uvvetledrlmş ola csmde boyua şo dalgası yayılımı... 8 Şel 5.. Boyua zayıf şo dalgası yayılma ızıı uzama le değşm... 9 Şel 5.. Sıfırda büyü özdeğerler uzama le değşm... 9 Şel 5.. Kayma badı oluşturaca rt uzama değerler (γ π /4)... 3

xv Şel Sayfa Şel 5.3. Uzamaz lflerle uvvetledrlmş ola csmde ee şo dalgası yayılımı... 3 Şel 5.4. Eş. 5.4 de verle şartlarda yayıla ee zayıf şo dalgası ç özdeğerler uzama le değşm... 3 Şel 5.5. İ esel çeme altıda csm ç a) boyua dalga ızı grafğ b) rt uzama oraı çember... 33 Şel 5.6. Üç esel çeme ç rt uzama oraı elpsod... 35 Şel 5.7. Krt uzama oraıı sıcalı artımı le değşm... 35

xv SİMGELER VE KISALTMALAR Bu çalışmada ullaılmış bazı smgeler ve ısaltmalar açılamaları le brlte aşağıda suulmuştur. Smgeler Açılama A B c v C e e E E f F I J K N p P Q Q q s t T U N Referas oordatlarıda vme vetörü Sol Caucy Gree deformasyo tasörü Özgül ısı Sağ Caucy Gree deformasyo tasörü Brm ütlede ç eer yoğuluğu Kısıtlama doğrultusuda brm vetör Lagrage brm şel değştrme tasörü Toplam ç eer Kütle uvvet Deformasyo gradya tasörü İç ısı eers ayağı Brm tasör Jacoba Toplam et eer Uzay oordatlarıda yüzey brm ormal vetörü Referas oordatlarıda yüzey brm ormal vetörü Lagrage çarpaı İc Pola Krcoff gerlme tasörü Ortama dışarıda sağlaa ısı eers Aust tasör Isı aısı vetörü Şo tell vetörü Zama Brc Pola Krcoff gerlme tasörü Dalga yayılma ızı

xv Smgeler Açılama U V W W x X e η κ T λ μ σ Σ σ φ ψ Referas oordatlarıda yer değştrme vetörü Referas oordatlarıda ız vetörü Gerlme potasyel fosyou Brm zamada yapıla ş Maddesel otaı uzaysal oum vetörü Maddesel otaı referas oum vetörü Hacmsel ısıl geleşme atsayısı Kroecer deltası e vetörü doğrulutusuda uzama oraı Etrop İzotermal elast acm modülü Lamé sabt Lamé sabt Yoğulu Uzay oordatlarıda tell yüzey Referas oordatlarıda tell yüzey Caucy gerlme tasörü Mutla sıcalı Kısıt fosyou Helmoltz serbest eer fosyou

. GİRİŞ Sürel ortam çersde br bölgede gerçeleşe dege durumuda sapmaı ortamı oluştura maddesel otalar aracılığıyla lerlemes olayı mea dalga yayılması olara taımlamatadır. Oluşa et eer maddesel otalar aracılığıyla atarılması şelde ve ortam çersde solu br ızla yayılır. Pe ço dalga türü ç dalgaı çde yayılableceğ br madde gereldr. Ses ve basıç dalgaları ç Love ve Rayleg dalgaları gb ssm dalgalar ç eery letebleceler atı veya aışa br ortam gerere düşü freaslı radyo dalgalarıda görüür ışığa X ve gama dalgalarıa adar çeştl eletromayet dalgalar boşlu ortamıda da yayılırlar []. Küçü veya solu deformasyoları oluştuğu dalga areet üzere ço sayıda çalışma yapılmış ve ou çeştl yölerde ele alıara öeml ölçüde aydılatılmıştır. Elast atılarda dalga yayılması üzere yapıla çalışmalar 9. yy. ortalarıa adar abul görmüş br yalaşım ola ve ışığı elast br eter çersde lerleye dalga olduğuu söyleye düşüceyle artmıştır. Bu görüş Caucy ve Posso gb büyü matematçler tarafıda da deste bulmuş ve Elastste Teors gelşme atı sağlamıştır []. 9. yy. solarıda elast atılarda dalga yayılmasıa lg ye dalga tpler lteratüre azadırılmasıyla artmıştır. Bu zama dlmde Rayleg Lamb ve Love u atıları sürel ortamı sıırlarıda veya farlı ortamları ara yüzeylerde oluşa dalgalar le görülmetedr. Rayleg yüzey dalgaları ssm eer % 75 taşıya deprem dalgaları olara blmetedr. Ssmolo alaıda deprem olayıda daa et blg sab olablme ç elast dalga yayılması ousu atf br çalışma alaı olara almıştır. Elast dalga yayılması problem uygulamalı matemat eletromayet ve aust çersde de yer almıştır. Doğrusal dalga teorlerde 9. yy. matematğ aalt teler (değşeler ayrıştırılması Fourer serler Laplace döüşümü gb) ullaıla gelmştr.. yy. ve doğrusal olmaya dalgalara geldğmzde arşımıza şo dalgaları perbol sstemler doğrusal olmaya gaz damğ doğrusal olmaya su dalgaları

myasal ve eletromyasal dalgalar çımatadır. Yüse ızlı çarpışmalar ve patlamalar soucuda oluşa büyü gell dalgalar leer elastste abuller dışıda almata malzeme davraışıı fade ede delemler doğrusal olmata çımatadır. Oluşaca şo dalgaları sürel ortamı basıcıda yoğuluğuda ve maddesel otaları ızlarıda a sıçramalar gerçeleştrece şelde yayılır. Bu sıçramaları ortamda yayılması problem tell yüzeyler teors ullaılara modelleeblr. Bu teorye göre ortamda sürel ola br fosyou değerde sıçramaı olduğu br yüzey buluur. Sürel ortamda solu br ızda lerleye bu yüzey dalga olara adladırılır [3-5]. Tell yüzeyler süresz parametre edsde solu br sıçrama olduğu durumda sıfırıcı mertebede parametre brc ve c zama türevlerde sıçrama olduğu durumlarda se sırasıyla brc ve c mertebede tell yüzeyler olara sııfladırılırlar. Süresz parametre ortamı oluştura maddesel otaları oum vetörü olduğu durumda sıfırıcı mertebe tell yüzeyler çatla yırtılma veya brbr üzerde aya br yüzey gösterr. Koum vetörüü brc zama türevde oluşa br süreszlğ yayılması şo dalgasıa c zama türevde oluşa süreszlğ yayılması se vme dalgasıa arşılı gelr. Hız veya vmede süreszller olduğu durağa tell yüzey ayma badlarıı modellemesde ullaılablr. Bazı yüleme şartları altıda ortamı deformasyo lmtler belrlemesde olduça öeml ola ayma badları süe metallerde tael ortamlarda ve polmer tür malzemelerde yeterl deformasyo altıda oluşablece ço ce alılılı yüzeylerdr. Bu yüzey ortamı ye ayırır. Ortam deformasyou süreldr aca ayma badı üzerde maddesel otaları ız ve vme gb fzsel büyülülerde a sıçramalar gerçeleşr. Kayma badıı oluşumu ortam ç deformasyou üst sıırı olara abul edleblr. Bu durum dış yüler altıda malzeme daa fazla muavemet göstermese egel olur. Bu aşamada dalga yayılması problemlerde tell yüzeyler ullaıldığı çalışmaları ve ayma badı üzere yapıla çalışmaları özet verlecetr. Burada

3 öcelle vme dalgaları ve zayıf şo dalgaları sorasıda ısıtlı ortamlarda dalga yayılması ve so olara ayma badı çalışmaları verlmetedr. 9 ler basda Hadamard [3] ve sorasıda Hll [4] areetl tell yüzey taımıı; ortamı oluştura otalara göre areet ede maddesel otaları ızlarıı sürel olduğu ve bua arşılı vmeler süresz olduğu geometr br yüzey olara yapmıştır. Daa öce yaptığımız sııfladırmaya göre vme dalgası eşğ olara değerledrlece bu yüzey ço üçü br zama dlmde ve olduça ce br yüzey üzerde gerçeleşe süreszllere öre olara verlmetedr. İvme dalgalarıı yayılması üzere yapıla araştırmalar çersde Madel [6] 96 yılıda yaptığı çalışmada yayılma problem elastoplast atılarda üçü deformasyolar ç çözülmetedr. Bu çalışma daa sora solu deformasyo yapa ortamlar ç geşletlmştr [7]. Balaba ve aradaşlarıı [8] 97 yılıda yayılaa çalışmalarıda tell yüzeyler teors ullaılmış ve elastoplast ortamlarda vme dalgası yayılması br özdeğer problem olara çözülmüştür. Yazarlar elast ve plast dalga ızlarıı arşılaştırara yüleme ve boşaltma eşler yayılmasıı celemşlerdr. Ogde [9] yaptığı çalışmada sııştırılmaz elast atılarda vme dalgalarıı büyüme şartlarıı oluşturmuştur. Burada elast ve zotrop atılar ele alıara bazı tür malzemelerde ee dalgaları büyüme veya azalma şartı elast sabtler csde oluşturulmuştur. Gel değşm brm deformasyoa yayılma doğrultusua ve elast sabtler şaretlere e şelde bağlı olduğu celemştr. Mooey-Rvl atı csm model ç ee dalgaları gelğ değşmede er doğrultuda lerleyebldğ bulumuştur. Elde edle souçlar üçücü mertebe sııştırılamaz zotrop elast malzemeler es teors le arşılaştırılmıştır. Reddy ve Gültop [] elastoplast ortamlarda dalga yayılması problem tell yüzeyler teors ve büyü deformasyolar teors ullaara celemşlerdr. Burada eğmde süreszl buluable br ama yüzey teors ullaılmıştır. Bu düzgü

4 olmaya ama yüzey belrl sayıda sürel eğme sap ama yüzeyler esşmes le elde edlmştr. Ayrıca deformasyo gradya tasörüü elast ve plast ısımlarıa ayrıştırmada çarpım matığı ullaılara areet delemler oluşturulmuştur. Dalga geçş sorasıda oluşa deformasyoları plast olduğuu varsaya plast vme dalgaları dalga geçşde plast yüleme olduğu ve dalga lersde elast boşaltma durumuu olduğu yüleme vme dalgaları le dalga gersde boşaltma al oluştuğu ve dalga lersde se ortamı plast deformasyo çersde oluğu vme dalgaları düşüülmüş ve elast dalga ızları le plast dalga ızları arşılaştırılmıştır. Düzgü ve düzgü olmaya ama yüzeyler ç asal dalgaları yayılma şartları le ee ve boyua dalgaları plast davraış le lşs oluşturulmuştur. So olara vo Mses ve Tresca ama şartları ullaılara te esel çeme alde bulua br ortam ç boyua dalgaları yayılma ızları bulumuştur. Jorda [] çalışmasıda br boyutlu yayı etrafıı çevreleye ve söümleyc görev göre br ortamda vme dalgalarıı büyüme ve azalma oşullarıı celemştr. Bu ortamda yay solu gell ee ttreşmler oluşturmata souç olara vme dalgaları yayılmatadır. Yazar areet delem oluşturulduta sora vme dalgalarıı ızları ve geller tell yüzeyler teors ullaara elde etmştr. Uee [] 98 yılıda yayıladığı çalışmasıda vme dalgalarıa matematsel olara bezer ola zayıf şo dalgası yayılmasıı termoelast malzemeler ç celemştr. Isı letm olmadığı durum ç zayıf şo dalgası yayılma ızlarıı bulmuştur. Düzlem şo dalgalarıı ve erag br forma sap şoları gel değşm yöete delemler oluşturulmuştur. Uee [3] dğer br çalışmasıda ısı letm olduğu ortamlar ç zayıf şo dalgası yayılma şartlarıı araştırmıştır. Burada c mertebe br malzeme ç şo büyülüğü le gerlmede sıçrama arasıda lş perbol olara bulumuştur. Currò ve aradaşlarıı [4] yaptıları çalışmada erme sıcalığıa yaı sıcalıta bulua zotrop br atıda zayıf şo dalgası yayılma şartları celemştr. Bu

5 doğrultuda ortamı oluştura atomları termal ttreşmler date ala statstsel br büye teors ullamıştır. Çalışmada alümyum çde br doğrultuda yayıla düzlem zayıf şo dalgası ızları esaplamış ve sıcalıla değşmler verlmştr. Kısıtlı csmlerde dalga yayılması le lgl çalışmalar arasıda Scott [5] br ya da ısıtlama bulua Caucy elast malzemelerde vme dalgası yayılma şartlarıı ve gel değşm celemştr. Üç ya da daa fazla sayıda ısıtlama çere br ortamda vme dalgalarıı yayılamayacağıı bulmuştur. Hperelaststede ullaıla br abul ullaara öeml derecede bastleştrme sağlamıştır. Yapıla çalışmaı bast elast malzemelerde farlı malzemelere geşletlebleceğ vurgulamıştır. Reddy [6] 984 yılıda yaptığı çalışmasıda büyesde gelşgüzel termoemat ısıt bulua termoelast malzemelerde vme dalgalarıı yayılma oşullarıı oluşturmuştur. Kısıtlama fosyoları serbest eer fosyou yardımıyla yazılara mevcut termodam teorler yede fade edlmesyle daa öz souçlara ulaşılmıştır. Homotermal ve ometrop dalgaları yayılma şartlarıı Fresel-Hadamard tp olduğu gösterlmştr. Düzlem omotermal ve ometrop dalgaları geller büyüme fadeler oluşturulmuş ve buları ısıtsız malzemelerde eştllere bezer olduları gösterlmştr. Reddy ve Bleac [7] zotrop termoelast malzemelerde ısıtlamaları vme dalgalarıı yayılma özelllere ets araştırmışlardır. Buu ç ısı letm ola gelş güzel ısıtlamış elast ortamda vme dalgalarıı yayılma şartları celemştr. Prat uygulamalarda arşılaşılablece ısıtlamalar apsamıştır. Asal dalgalar date alımış düzlem sldr ve üresel dalga eşğ şele sap ola dalgalar le gelş güzel şele sap ola dalgaları gel değşm celemştr. Scott [8] deformasyo-sıcalı ve deformasyo-etrop termo-mea ısıtlarıı buluduğu dege durumuda bulua br ortamda üçü dege değşmler davraışıı yöete delemler oluşturmuştur. Deformasyo-sıcalı ısıtıı malzeme stabltesde bozulma oluşturduğu deformasyo-etrop ısıtıı se

6 oluşturmadığı ortaya oulmuştur. Stablte bozulması sabt deformasyo altıda ısı apastes egatf olmasıda ayalamatadır. Ayrıca dalga yayılmasıa ola etler de suulmuştur. Too [9] ısıtlı leer elast malzemelerde vme dalgası yayılma şartlarıı Hoger ve Joso u oluşturduğu doğrusallaştırılmış (leerleştrlmş) solu deformasyolar teors (DSDT) ullaara çalışmıştır. Büyü deformasyolar teorsde ullaıla büye delemler DSDT le deplasma gradya tasörü u / x e göre doğrusallaştırılmıştır. Sııştırılamaz ve uzayamaz elast malzemeler ç vme dalgası yayılma şartları DSDT le bulumuş ve las leer elastste teorsde elde edle souçlar le arşılaştırılmıştır. Homoe deformasyo altıda bulua uzayamaz elast ortam ç düzlem vme dalgalarıı yayılma ızları elde edlmştr. Sıışmazlı veya uzamazlı ısıtı bulua ortamda yayılma ızlarıı deplasma gradya tasörüe bağlı olduğuu bulmuştur. Bu ızlar leer elastste teorsde sabttrler. Gültop [] 3 yılıda yayıladığı çalışmasıda büyü deformasyolar yapable sııştırılamaz elast ortamda vme dalgası yayılma şartlarıı celemştr. Dalga yayılma ızları eo-hooea Moey-Rvl ve St. Veat-Krcoff atıları ç elde edlmştr. Tell yüzeyler teors ullaılmasıyla elde edlece areet delem ardıda gerlme deformasyo eers arasıda lş yazılmıştır. Sııştırılamazlı deformasyo eers fosyouda br ısıt fosyou olara bulumatadır. Sııştırılamaz malzemeler ç oluşturulmuş şel değştrme eerler ullaılmasıyla gerlmeler malzeme sabtlere bağlı olara yazılmıştır. Bulua bu gerlmeler areet delemde ullaılması ve sıışmazlı ısıtlamasıda gele özelller ullaılmasıyla br özdeğer problem elde edlmş ve bu problem çözümüde basedle malzemelerde oluşaca dalga yayılma ızlarıı malzeme sabtler csde bulumuştur. Gültop [] çalışmasıda ısıtlı termoelast malzemede zayıf şo dalgası yayılma ızlarıı celemştr. Tell yüzey üzerde sıçrama fadeler Taylor sers açılımı yapara oluşturmuştur. Kısıtlı ortamlar ç oluşturulmuş büye

7 delemlerde ısıtlı ve ısıtsız ısımları brleşm ullaılmıştır. Brde fazla termomea ısıt çere ve te br ısıta sap ortam ç areet delemler oluşturmuştur. Başlagıçta deformasyosuz ola mea ısıtlı elast br ortam ç zayıf şo dalgası yayılma ızları esaplaara ısıtlı ve ısıtsız ortamlarda yayıla zayıf şo dalgalarıı ızları arşılaştırılmıştır. Rooey ve Bectel [] solu deformasyolar yapa elast ortamlar ç olablece bütü termomea ısıt tpler celemşlerdr. Termomea ısıt le deformasyo gradyaı veya gerlme gb mea br değşe le sıcalı etrop ç eer Helmoltz serbest eers etalp veya Gbbs serbest eers gb ısıl değşeler arasıda fosyoel lş alaşılmatadır. Kullaıla termo-mea ısıtlar; sıcalı-deformasyo ısıtı etrop-gerlme ısıtı etalp-gerlme ısıtı Helmoltz serbest eer-gerlme ısıtı ç eer-gerlme ısıtı Gbbs serbest eerdeformasyo ısıtıdır. Bu tp ısıtları ortam stabltese etlere baılmıştır. Kayma badı le lgl çalışmalar arasıda Needlema [3] ddörtge blo alde csm düzlem gerlme oşulları altıda sıışma problem ele alara dam ayma badı oluşumuu celemştr. Malzeme vo Mses elast-vsoplast atısı olara modellemştr. Dam yüleme oşulları altıda ve yarı stat yüleme şartlarıda oluşaca ayma badlarıı pe ço özelller bezer olduğu söylemetedr. Kayma badı ç sayısal br metot da bulumatadır. Batra [4] bast ayma ets altıda vsoplast malzemede yapılmış zotrop br ortam ele almıştır. Bu termomea problem peleşme parametres şel değştrme ızı parametres ısıl yumuşama atsayısı ve ısıl letelğ adyabat ayma badlarıı oluşumu ve gelşm üzerde etler celeme ç ele alımıştır. Kayma badıı oluşacağı rt şel değştrme değer ve çeştl malzeme parametreler le lşs araştırılmıştır. Gültop [5] ayma badlarıı sıışablr perelast ortamlar ç durağa vme dalgaları olara modellemştr. St Veat Krcoff ve Gree Hadamard perelast malzemeler uform uzama ets altıda celeyere ve ayma badı

8 oluşturaca rt uzama değerler elde etmştr. İc mertebe tell yüzeyler areet delem doğrusal mometumu oruumu ullaılara brc Pola-Krcoff gerlme tasörü csde elde edlmştr. St Veat Krcoff ve Gree Hadamard perelast malzemeler ç gerlme ve deformasyo arasıda lşy vere büye delemler bu malzemeler ç elast şel değştrme eerler ullaılara oluşturulmuş ve areet delem aust tasör csde yazılmıştır. Oluşturula özdeğer problem çözülere rt uzama değerler bulumuştur. Kayma badlarıı geel olara elast-plast malzemelerde görülmese rağme perelast malzemeler de elast sıırlar çersde ayma badı oluşturableceğ ortaya oulmuştur. Gültop ve Alyavuz [6] termoelast csmlerde ayma badı oluşumuu ele alara sıcalı termler de çere değştrlmş St.Veat-Krcoff malzemelerde zayıf şo dalgası areet delem ve aust tasörü taımlamışlardır. Üç esel eşt çeme altıda ortamda ayma badı oluşturaca rt uzama oraları elde edlmştr. Gültop ve Alyavuz [7] yaptıları çalışmalarıda termoelast ısıtlı br csmde ayma badı oluşumuu celemşlerdr. Bu çalışmada ayma badı oluşturaca deformasyo şel ve ayma badıı yerleşm düzlem şel değştrme yapa perelast br csm ç verlmetedr. Osov ve Wu [8] poplast büye delemler le fade edleble malzemeler ç areet delem br özdeğer problem şelde yazara aust tasörü taımlamışlardır. İvme dalgası ızlarıı aust tasörü özdeğerler le elde edleceğ belrtlere ayma badı oluşumuu da sıfır ıza sap vme dalgası olara düşümüşlerdr. Alyavuz ve Gültop [9] [6] da yaptıları çalışmayı geşletere termoelast ortamda zayıf şo dalgası yayılma ızlarıı ve ayma badı oluşumuu bazı özel deformasyo durumları ç celemşlerdr. Te esel esel ve üç esel çeme altıda termoelast ortamda dalga ızları ortaya çıa özdeğer

9 problem çözümü le bulumuştur. Kayma badı oluşturaca rt uzama oraları se durağa zayıf şo dalgası model ullaılara esaplamıştır. Burada suula çalışmaı amacı zayıf şo dalgalarıı yayılma şartlarıı ve ayma badı oluşumuu doğrusal olmaya ve ısıtlı termoelast br csm ç araştırmatır. Sürel ortam sıcalı termler çere St. Veat Krcoff malzeme model le modellemştr. Bu model termomea ve saf mea ısıt fosyouu da çermetedr. Mea dalga problem oluşa br süreszlğ yayılması olara ele alımış bu doğrultuda areetl tell yüzeyler teors ullaılara çözüm yapılmıştır. Öcell olara dalga yayılması öces şel değştrmemş termormea ısıtlı ortamlarda yayıla ee ve boyua dalga ızları bulumuştur. Bu ortam ç te ve esel çeme deformasyou altıdaye zayıf şo dalgası yayılma ızları da esaplaara suulmuştur. Saf mea ısıtlı malzemede deformasyosuz ve deformasyolu durumlarda ee ve boyua zayıf şo dalgası ızları ve ısıtsız termoelast malzemede yayıla zayıf şo dalgası ızları da buluara sürel ortamlar meağ alaıda yapıla çalışmalara atı sağlamatadır. Ayrıca ele aldığımız dalga problem br uzatısı olara ayma badı oluşumu ousu durağa telller çerçevesde ele alımıştır. Kısıtlı ve ısıtsız sürel ortamda ayma badı oluşturaca deformasyo lmtler de suulmatadır. Gerçete pe ço malzeme sııştırılamaz veya uzamaz olara teledrlr. Düşü ağırlı yüse muavemet oraıa sap olable uzamaz malzemelerde yayılaca dalgaları ızlarıı tespt ve deformasyo lmtler belrlemes olduça öeml br oudur. Suula çalışmasıı geel atları şöyle özetleeblr. Sora bölümde ısıtlı termoelast malzemeler büye teors oluşturulacatır. Bölüm 3 de tell yüzeyler teors alatılara uygulu şartları ve sıçrama fadeler oluşturulacatır. Bölüm 4 ve 5 de sırasıyla zayıf şo dalgalarıı yayılma şartları ve ayma badı oluşumu sıcalığa bağlı uzama ve uzamazlı ısıtı altıda termoelast ortam le ısıtsız termoelast ortam ç araştırılacatır.

. KISITLI TERMOELASTİK MALZEMELERİN BÜNYE TEORİSİ Kütle mometumu ve eer oruumu gb temel yasaları geçerllğ ortamı oluştura malzeme csde bağımsızdır. Buula brlte ayı dış etlere maruz almış ayı geometrye sap farlı malzemeler davraışları da farlı olmatadır. Ayrıca csm değş yüleme sevyeler altıda da farlı davraış göstereblmetedr. Belrl br yüleme sevyese adar elast davraış serglere bu yü sevyes aşıldığı durumda plast davraış görüleblr. Yüü uygulama süres de bu davraış üzerde etl olable br parametredr. İşte böyle farlılıları ortaya çıara ortamı ç yapısıdır. Oluşturula modelde bu ç yapıyı date ala br esaplama sürece tyaç vardır. Sürel ortamlar meağde gerlme brm şel değştrme sıcalı ç eer ve etrop gb büye değşeler brbrleryle ola lşler ya büye delemler malzeme ç yapısıı taımlamaya ve ortamı farlı şartlar altıda deformasyouu bulmamız ç gerel br araç olara arşımıza çımatadır. Bu bölümde termoelast malzemeler büye teors özetleecetr. Bu teor doğrusal olmaya ve azotrop termoelast malzemeler ç geçerldr. Daa sora büyesde mea ve sıcalı etlere arşı deformasyo ısıtlamaları bulua malzemeler ele alıara bu malzemeler termomea yüleme altıda davraışıı modellemesde ullaılablece br büye teors alatılacatır. Deformasyo ısıtlamaları ç ısıt veya sadece ısıt olara adladırılacatır. Bular br veya brde fazla ısıtlama delem le büye delemlerde ed göstermetedr. Kısıtlama delemler φ( F ) veya z ( F ) g şelde ola delemlerdr. Deformasyo gradyaıı ve mutla sıcalığı bağımsız değşe olara buluduğu bu delemler deformasyo sıcalı ısıtı olara adladırılır. Buu dışıda etrop deformasyo sıcalı gerlme etrop gerlme eer deformasyo ve eer gerlme gb parametre çftler ullaıldığı ısıtlama formülasyoları da bulumatadır.

Elast malzemelerde ullaıla e yaygı ısıtlama öreğ sıışmazlıtır. Bu tür csmlerde malzeme yoğuluğu ve souç olara toplam acm sabt almatadır. Sııştırılamaz csmlerde deformasyo gradya tasörüü determatıa bağlı saf mea ısıtlama delem mevcuttur. Aca ısıtlama fosyou sadece mea parametreye ya deformasyo gradya tasörüe bağlıdır. Bazı malzemelerde mea sıışmazlı geçerl olsa ble sıcalı ets altıda acm değşm öeml ölçüdedr. Pe ço elastomer malzeme zotermal oşullar altıda eredeyse sıışmaz olara modellere bu malzemelerde sıcalı değşm soucuda gerçeleşece acmsel değşm mea etler ya da üç atı adar olablmetedr [3 3]. Bu edele sıcalı etler de göz öüde buludurablme ç br sıcalı parametres mutla sıcalığı da çere br formülasyo ullaılmalıdır. Malzemede buluablece dğer br ısıtlama da uzamazlı veya sıcalığa bağlı uzamadır. Belrl doğrultularda uzamaz lfler yerleştrlere oluşturulmuş ompozt malzemeler em ve aşap gb doğal malzemeler modellemesde ullaılablece ola ısıtlama delem deformasyo gradya tasörüü mutla sıcalığı ve uzamazlı doğrultusuda brm vetörü br fosyoudur. Bu termomea ısıtlama fosyou sıcalı parametres delemde çıarılmasıyla bütüüyle mea ale getrleblr. Bu aşamada sora termoelast ısıtlı csmler büye teors oluşturma ç ullaıla sürel ortamı areet şel değştrmeler gerlmeler ve oruum yasalarıda basedlecetr. Sorasıda ısıtlı ve ısıtsız termoelast csmler büye delemler verlecetr. So olara yaygı olara ullaıla termomea ısıtlama fosyoları üzerde durulacatır... Sürel Ortamlar Kematğ Sürel ortamlar meağde csm areet özelller bldğ zama ve meâ oumu referas oumu olara adladırılmatadır. Bu oumda bulua sürel ortamda erag br P otasıı sabt artezye oordat sstemde (referas

oordat sstem) yer X oum vetörüyle gösterlr. Bu oum geellle csm areete ve şel değştrmese başladığı zama olara abul edldğde zama ç t t yazılmatadır. Mea termal mayet ütle çem uvvetler vb. dış etler altıda oluşaca deformasyo sorasıda P otasıı ye yer x x( X t) areet delemyle belrlemetedr. Bu ye oum sürel ortamı uzaysal oumudur. Bu oumda oordat sstem se uzaysal oordat sstemdr. Lteratürde referas oordatları Lagrage oordatları uzaysal oordatlar da Euler oordatları olara da ullaılmatadır (Şel.). Problem türüe göre referas oordat sstem ve uzaysal oordat sstem ayrı ayrı seçlebleceğ gb çaışı olara da seçleblmetedr. Bu çalışmada referas oordatlarıda verle saler vetör veya tasör büyülüler büyü arf araterlerle uzaysal oordatlarda verle büyülülerse üçü arf araterlerle belrtlecetr. Saler büyülüler ormal araterler le vetörler ve tasörler se oyu arflerle verlecetr. Bezer şelde ullaılaca alt ve üst dsler de referas oordatlarıda br parametreye atse büyü uzaysal oordatlarda br parametreye atse üçü arf le gösterlecetr. Sürel ortamda erag br otaı referas ve uzay oumuda yer vetörler bleşeler ve brm vetörler le brlte sırasıyla x x e X X K E K ve X 3 Şel değştrme P U(Xt) x 3 Ω p x E 3 X Ω e 3 x Uzaysal oum t (Euler oordatları) X E E Referas oum tt (Lagrage oordatları) e x Şel.. Lagrage ve Euler oordat sstemler

3 olara verlmetedr. Bu fadelerde K ve dsler toplama alaşımıa uygu olara ullaılmıştır. Buda sora bu çalışmada as belrtlmedğ durumlarda brbr ere terar ede dsler Eş.. de belrtle şelde toplama alaşımıyla ullaılacatır. a b ab ab a3b3 (.) Şel. de referas oumuda bulua br P otasıı deformasyo öce ve sora oum vetörler Lagrage taımlarıyla gösterlmetedr. Bu taımlamada yer değştrme ve uzaysal oumda yer vetörü referas oordatlarıı ve zamaı br fosyoudur. Bua göre P otasıı yer değştrmes Eş.. de gb yazılır. Şel.3 de gösterle sstemde oum vetörü ve yer değştrme vetörü uzaysal oordatları ve zamaı br fosyoudur. Bu gösterm areet Euler taımıdır. Bua göre p otasıı yer değştrme vetörü Eş..3 de gb yazılır. U( X t ) x( X t) X (.) u( x t) x X( x t) (.3) X 3 Referas oum P Şel değştrme U(Xt) x 3 Ω p x X Ω x(xt) Uzaysal oum E 3 X E E X x Şel.. Yer değştrme Lagrage taımı

4 X 3 Referas oum P Ω Şel değştrme u(xt) X(xt) X x 3 e 3 Ω x e e p x Uzaysal oum X Şel.3. Yer değştrme Euler taımı x Yer değştrme Euler ve Lagrage taımlarıda farlı parametreler ullaılmış olsa da er s de ayı vetörü gösterdğ açıtır. Sürel ortamlar meağde areet ve deformasyo blgs çere e öeml tasör büyülü deformasyo gradya tasörüdür. Bu aşamada yer değştrme le şel değştrmey brbrde ayırt edeblme ç otaı areet gözler. Şel.4 de referas oumuda bulua A ve B otaları arasıda sosuz üçü dx vetörü deformasyo souda büyülü ve yö değştrere A * ve B * otaları arasıda sosuz üçü dx vetörü oluyorsa bu vetör arasıda lş Eş..4 de gb yazılır. X 3 x 3 A dx B Referas oum X x Şel değştrme dx Uzaysal oum A * B * X x Şel.4. Sosuz üçü vetör elemaıı deformasyou

5 dx F( X t) dx veya d xl FlK dx K (.4) Burada F deformasyo gradya tasörüdür ve zamaı ve referas oordatlarıı br fosyoudur. Matematsel olara vetörel döüşüm yapa deformasyo gradya tasörüü taımı Eş..5 de verlmetedr. x( X t) F Grad x( X t) veya X F K x (.5) X K Eş..5 de görüleceğ gb deformasyo gradya tasörü em referas oordatlarıda em de uzaysal oordatlarda taımlamış br tasördür. Bu c mertebede tasörü douz adet elemaı br are matrs oluşturmatadır (Eş..6). x x x X X X 3 x x x F (.6) X X X 3 x3 x3 x3 X X X 3 {} Sosuz üçü vetör elemaıı değşm bütüüyle deformasyo gradya tasörü le gösterlmetedr. Eş..4 de verle bu değşme e olara Şel.5 de gösterle ve referas oordatlarıda bulua malzemede sosuz üçü da ala elemaıı değşm Eş..7 de gbdr. T da det F F da veya da JFK dak (.7) Bularla brlte Şel.6 da gösterle ve referas oordatlarıda bulua sosuz üçü dv acm elemaıı deformasyo sorasıda değşm Eş..8 de verlmetedr.

6 X 3 x 3 dx () da dx () da dx () dx () X x Referas oum Uzaysal oum X x Şel.5. Sosuz üçü yüzey (ala) elemaıı deformasyou dv det F dv (.8) Eş..8 de görüleceğ üzere acm değşm deformasyo gradya tasörüü determatıa (J Jacoba) bağlıdır. Gerçe deformasyoları oluşablmes ç ya deformasyo sorası egatf br acm olmaması ç Jacoba sıfırda büyü olmalıdır. Matematsel olara sıfırda üçü br determat olası olsa da fzsel olara egatf acm oluşamayacağı ç Jacoba sıfırda büyü olma zorudadır. Bu edele deformasyo gradya tasörüü elema matrs tel olmaya br matrstr. Deformasyo gradya tasörüe e olara areet ve deformasyou belrleye başa tasörler de bulumatadır. Bularda l referas oordatları ullaara taımlamış sağ Caucy Gree şel değştrme tasörüdür (Gree şel değştrme tasörü). Bu c mertebe smetr poztf taımlı tasör le br X otasıda belrl br doğrultuda uzama mtarı esaplaablmetedr. Sağ Caucy Gree şel değştrme tasörü deformasyo gradya tasörü csde Eş..9 da gb yazılablr. T C F F veya C KL FK FL (.9)

7 X 3 x 3 X x dx (3) dx ( ) dv dx () Referas oum dx() dv Uzaysal oum dx () dx (3) X x Şel.6. Sosuz üçü acm elemaıı deformasyou Burada deformasyo gradya tasörü F eştlte e sağ tarafta bulumatadır. Referas oordatlarıda taımlı ola dğer br solu deformasyo tasörü çzg elemaıı uzuluğuu aresde değşm taımlaya Lagrage brm şel değştrme tasörüdür. E ( C I) veya E ( ) KL C KL KL (.) Burada E Lagrage brm şel değştrme tasörü I brm tasör ve Kroecer deltasıdır. C ve I smetr olduğu ç E de smetrtr. Uzaysal oordatlarda taımlı dğer br öeml şel değştrme tasörü sol Caucy- Gree şel değştrme tasörüdür (Fger şel değştrme tasörü). Smetr ve poztf taımlı bu c mertebede tasör deformasyo gradya tasörü csde Eş.. de gb yazılır. T B F F veya B FK F K (.) Eş..4 de bulua döüşüm yardımıyla referas oumuda bulua br brm vetörüü deformasyou bze Eş.. de bulua uzama vetörüü verecetr. λ F veya λ F K (.) K

8 Bu fadede er tarafı areler alıara saler br uzama değer elde edleblmetedr. Bu şlem soucuda referas oordatları ullaara br X otasıda ve brm vetörü doğrultusuda uzama Eş..3 de gb elde edlr. λ C veya FK FL L K λ (.3) Bezer şelde uzaysal oordatlar ullaılara br x otasıda ve doğrultusuda uzama λ B veya λ B (.4) olara yazılablr. Bu aşamada sora şmdye adar taımladığımız bazı parametreler zamaa göre değşmler celeecetr. Bu değşmler malzeme zama türev ullaılara elde edlecetr. Malzeme zama türev erag br saler vetör veya tasör büyülüğü X parametres zamaa göre sabt tutulure alıa zama türevdr. Bu taımlama doğrultusuda Şel. de gösterle P otasıa at yer değştrme malzeme zama türev ya P otasıı sap olduğu ız Eş..5 de gb yazılablr. U( X t) V( X t) t X x( X t) t veya v x (.5) t Eş..5 le verle ız referas oordatlarıı ve zamaı br fosyoudur ve t t zamaıda X otasıda bulua br otaı t aıda ızıı verr. Ayı şelde P otasıı sap olduğu vme Lagrage taımı malzeme zama türev alıara Eş..6 da gb yazılablr.

9 A( X t) U( X t) t X x( X t) t x veya a (.6) t Deformasyo gradya tasörüü malzeme zama türev v F & F x veya F & L v l F (.7) ll olara yazılmatadır. Burada vv(xt) Eş..5 de verle ız vetörüü uzaysal oordatlarda taımıdır... Gerlme Csm şel değştrmese sebep ola dış etler (mea uvvetler ütle çem uvvetler sıcalı etler vb.) csm büyesde oluşa gerlmelerde de sorumludur. Bezer br şelde oluşa gerlmeler de şel değştrmelere yol açtığı söyleeblr. Şel.7 de görüle sosuz üçü alaa etye uvvet t () ve bu yüzey brm ormal vetörü se bu gerlme uvvet csm o otasıda gerlme uvvet bleşeler csde t ( ) t e te t3e3 (.8) olara yazılablr. t t t 3 sırasıyla ve 3 artezye oordat eseler doğrultusuda gerlme uvvet bleşeler fade etmetedr. Şel.7 de verle gerlme durumu sosuz üçü üçge przma elemaıa etye uvvetler deges ale getrleblr (Şel.8). Burada aşağıda dege eştlğ geçerldr. t ( ) da t () da t () da t (3) da 3 veya ( ) da t ( ) da t (.9)

3 t () da Şel.7. Sosuz üçü da alaıda yüzey gerlme uvvet ve yüzey ormal Burada t () t () ve t (3) sırasıyla ve 3 yüzeylere etye gerlme uvvetler göstermetedr. Sırasıyla ve 3 yüzeylere arşılı gele alalar da alaı csde aşağıda gb yazılır. da da da da da 3 da 3 Bu alalar Eş..9 da yerlere yazılara ve gerel sadeleştrmeler yapılara t ( ) t () t () t (3) 3 veya t ( ) t ( ) (.) yazılablr. Ayrıca gerlme durumuu oordat yüzeylere etye gerlmeler csde Şel.9 da gb gösterleblr. Burada oordat yüzeylere etye gerlme uvvetler le gerlme tasörüü bleşeler arasıda aşağıda bağıtılar mevcuttur. 3 -t () da t () da -t () da -t (3) da 3 Şel.8. Sosuz üçü üçge przmaya etye gerlme uvvetler

3 σ 33 t (3) σ 3 σ 3 σ 3 t () σ 3 t () σ σ σ σ Şel.9. Gerlme tasörüü bleşeler ve oordat yüzeylere etye gerlme uvvetler t ( ) σ e σ e σ 3e3 t ( ) σ e σ e σ 3e3 (.) t ( 3) σ 3e σ 3e σ 33e3 veya t ( ) σ e (.) Eş.. de σ Caucy (gerçe) gerlme tasörüü bleşeler göstermetedr. Eş.. Eş.. () de yere yazılara ve gerel ds değştrlmes yapılara t ( ) σ e (.3) elde edlr. Burada σ () t yüzey gerleme vetörüü. bleşeler göstermetedr. Bu bleşeler vetör ve ds otasyouyla aşağıda gb yazılırlar. t σ veya t σ (.4)

Caucy gerlme tasörü uzaysal oumda bulua csmde şel değştrmş ala ve bu ofgürasyoda uvvetler ullaılara buluaca gerlme tasörüdür. Bu gerlme tasörü smetr br tasördür. Caucy gerlme tasörüü dışıda sadece referas oordatlarıda taımlı ve em referas em de uzaysal oordatlarda taımlı gerlme tasörü daa mevcuttur. Bularda l brc Pola Krcoff gerlme tasörü olara adladırılır (omal gerlme). Bu tasör em uzaysal em de referas oordatlarıda taımlıdır. Ya gerlme taımıda ullaıla ala referas oumuda bulua aladır uvvetler se uzaysal oumda yer ala uvvetlerdr. Caucy gerlmes ve deformasyo gradyaı csde brc Pola Krcoff gerlme tasörü T J F σ veya TK JF K σ (.5) olara taımlıdır ve geellle smetr değldr. Sadece referas oordatlarıda taımlı ve smetr ola gerlme tasörü c Pola Krcoff gerlme tasörüdür. Referas oordatlarıda bulua ala ve uvvetler ullaara esaplaır. İc Pola Krcoff gerleme tasörü Caucy gerlmes ve deformasyo gradyaı csde Eş..6 da gb yazılmatadır. P J F σf T veya KL JFK FL P σ (.6).3. Koruum Yasaları.3.. Kütle oruumu Bu leye göre ortamı deformasyou süresce toplam ütle değşmede alır. Bua göre toplam ütle zamaa göre değşm sıfıra eşt olmalıdır. d dt dv (.7) V

3.3.. Doğrusal mometumu oruumu Toplam doğrusal mometumu zamaa göre değşm ortama etye et uvvete eşt olacatır. Bua göre d dt V d vdv F veya v dv F dt (.8) V.3.3. Açısal mometumu oruumu Toplam açısal mometumu zamaa göre değşm ortama etye et momete eşttr. Bua göre d dt V d ( v x) dv M veya lm xlvmdv M dt ε (.9) V.3.4. Eer oruumu Eer oruumu les br sürel ortamı et eers ve ç eerler zamaa göre değşmler ortama etye dış uvvetler brm zamada yaptıları ş ve brm zamada ortama gre veya çıa tüm eerler toplamıa eşt olduğuu fade eder. Bua göre aşağıda eer eştlğ yazılablr. d dt ( K E) W Q (.3) Burada K ortamı toplam et eers E toplam ç eer W yüzey ve ütle uvvetler brm zamada yapıla ş ve Q ortama dışarıda sağlaa ısı eersdr. Burada ortama gre ve çıa tüm eerler ısı eersyle sıırlamıştır ve bu ısı eers yüzeyde geçe eer olableceğ gb ortamı çde ayalarda da sağlaablr. Ortamda sağlaa toplam ısı eers aşağıda yüzey ve acm tegraller toplamı şeldedr.

4 Q da S q dv veya Q q da dv (.3) V S V Burada brm alaa etye q ısı aısı vetörüü ormal bleşeler tüm yüzey ç toplamı ve ç ısı eer ayağıı acm toplamı toplam ısı eers verr. Dış uvvetler brm zamada yaptıları ş yüzey uvvetler ve ütle uvvetler yaptıları şler toplamıa eşttr. Yüzey ve acm tegraller ullaara W S t ( ) v da f v dv veya W t( ) v da V S f v dv (.3) V fades yazılablr. Burada t sosuz üçü alaa etye uvvet ya yüzey gerlme uvvet f brm acme etye ütle uvvet ve v ızdır. Ortamı toplam et eers K v v dv V veya K vv dv V (.33) ve toplam ç eers E e dv (.34) V olara yazılablr. Burada e brm ütlede ç eer yoğuluğudur. Eş..3 da global formda verle eer oruumu les yerel formda aşağıda gb yazılablr. e& σ l v q (.35) l

5 Burada σ l Caucy gerlme tasörüü bleşeler v ız vetörüü bleşeler q ısı aı vetörüü bleşeler ve ısı ayağıdır. Yerel form term ullaılmasıı sebeb yazıla eştlğ sosuz üçü acm elemaı ç geçerl olmasıdır. Toplam acm ç yazılaca deller global form olara adladırılmatadır. Deformasyo gradya tasörüü zama türev ve Caucy gerlme tasörüü brc Pola Krcoff gerlme tasörü csde taımı ullaılara eer oruumu yerel formda Eş..36 da gb yazılablr. q e& T F & J (.36) x.3.5. Etrop les Bu leye göre ortamı toplam etrops zamaa göre değşm ortamda csm yüzeyde ve ç ayalarda sağlaaca etrop toplamıda az olamaz. Clausus Duem eştszlğ olara da ble leye göre toplam etrop üretm Γ dh dt B V S dadv (.37) Burada H csm toplam etrops B csm çersde eer ayalarıda sağlaa etrop S etrop aı vetörüdür. Csm büyesde buludurableceğ eer ayalarıda oluşa etrop brm ütlede loal etrop ayağı b ullaılara aşağıda gb yazılablr. B b dv (.38) V Csm yüzeyde sağlaa ısı eers soucuda oluşaca etrop aısı

6 q S (.39) ve brm ütlede loal etrop ayağı ısı ayağı ve mutla sıcalı csde b (.4) olara yazılır. Eş..37 de verle etrop üretm eştszlğ yerel formda Eş..4 de gb yazılablr. dvq γ η& (.4).4. Kısıtlı Doğrusal Olmaya Termoelast Csmler Yüleme ve ısı grş sorasıda sıcalı ve şel değştre uygulaa dış etler aldırıldığıda başlagıç durumua ger döe csmler termoelast olara abul edlr. Ortamda bu etler sorasıda oluşaca şel değşm sıırlaya ısıtlar mevcut olablr. Böyle malzemeler ç oluşturula l büye teors Gree Nagd ve Trapp ulladıları teordr [3]. Sorasıda Gurt ve Podo-Gudugl [33] ve bazı değşllerle Reddy [34] bu tp malzemeler ç büye teorler oluşturmuşlardır. Gurt ve Podo-Gudugl oluşturduları teorde büye delemler serbest ve ısıtlı bölümler toplamları olara aşağıda gb yazılmıştır. ( F g) ψ ψ (.4) ( F g) T T T (.43) ( F ) η η η g (.44)

7 Burada ψ Helmoltz serbest eer fosyou T brc Pola - Krcoff gerlme tasörü ve η se ortamı etropsdr. mutla sıcalığı ve g se sıcalı gradyaıı göstermetedr. Sırasıyla T ve T brc Pola Krcoff gerlme tasörüü serbest ve ısıtlı tamamlayıcı bölümler η ve η se etrop serbest ve ısıtlı tamamlayıcı bölümlerdr. Reddy oluşturduğu büye teorsde [3] de öerle ısıtlama fosyouu ayrıştırara aşağıda formda tp ısıtlama fosyou yazmıştır. ( ) φ F L (.45) z ( F ) g Lm (.46) Reddy Eş..45 ve Eş..46 da verle ısıtlama fosyolarıı geçerl olduğu malzemeler ç [33] da verle teorye bezer ısıtsız ve ısıtlı ısımları toplamları oluşa büye delemler aşağıda gb yazmıştır. ( F g) pψ ( ) ψ ψ (.47) F T ( F g) pt ( F ) T (.48) ( F g) pη ( ) η η (.49) F Burada p erag br değer alable saler Lagrage çarpaıdır. Bu teorde ψ ve η ısıtlı parametreler ısıtlama delemleryle lşledrme ç Clausus Duem eştszlğ ullaılmıştır. Bu doğrultuda Helmoltz serbest eer fosyou Eş..4 de yere yazılara aşağıda eştszl elde edlr. T ( & η T F& ) & & & & (.5) ψ p ψ η T F p

8 Burada p Lagrage çarpaıı erag br değer alableceğ özellğ ullaara ve eştszlğ er durumda oruacağıı düşüere Eş..5 ve Eş..5 de souçlara ulaşılablr. ψ (.5) & η T F& (.5) Burada Eş..5 de Helmoltz serbest eer fosyouu ısıtlı ısmıı sıfıra eşt olma durumuda oluğu ortaya çımıştır. Dğer parametrelerde gerlme ve etrop ısıtlı ısımlarıı yazablme ç Eş..45 brc zama türev alara dφ ( F ) dt φ F df φ d dt dt (.53) φ F φ &F & (.54) ve Eş..54 ü er tarafıı p le çarpara aşağıda eştl yazılır. p φ F φ F& p & (.55) Eş..5 ve Eş..55 bezer formda ola eştllerdr. Bu bezerl ullaılara brc Pola Krcoff gerlme tasörü ve etrop ısıtlı ısımlarıı ısıt fosyouyla ola lşs aşağıda gb yazılır. T p φ F (.56) φ η p (.57)

9 Yuarıda elde edle ısıtlı bölüme at eştller ullaılara serbest eer fosyou gerlme tasörü ve etrop toplam aller sırasıyla aşağıda gb olacatır. ψ ψ (.58) T ψ φ p F F (.59) ψ φ η p (.6) Helmoltz serbest eer fosyou ısıtsız bölümü sıfıra eşt olması edeyle ısıt fosyouda bağımsız alde bulumatadır. Kısıt fosyou le lşledrme ç aşağıda serbest eer fosyou öerlmetedr. ( ) p φ ( F ) ψ ψ F (.6) Burada eştlte de ısıtlı ısım sıfıra eşttr ve Eş..58 de verle form bozulmamış olur. Bu aşamada sora serbest eer fosyou le ısıt fosyou aşağıda gb lşledrleblr. ψ φ (.6) p.5. Kısıtsız Doğrusal Olmaya Termoelast Csmler Eş..47 - Eş..49 da ısıtlı ve ısıtsız bölümler toplamı olara yazıla büye delemler malzeme özelller oordat sstem areetlerde bağımsız

3 olduğuu fade ede obetvte lese uygu olara doğrusal olmaya azotrop ısıtsız termoelast malzemede aşağıda gbdr. ( F ) ψ ψ (.63) T T( F ) (.64) ( F ) η η (.65) Oluşturulaca delemler büye teors asyomlarıa uygu olmalıdır. Öre olara uygulu asyomu sağlamalıdır. Bua göre büye delemler mea uygulu şartı ola ütle mometumu ve eer oruumuu sağlamalıdır. Termoelast malzemeler ç deformasyo sorasıda oluşaca süreçte Clausus- Duem eştszlğ sağlaması ve sıfırda büyü sıcalı değer oluşması ( > ) beler. Bu da termodam uyguluğu fade etmetedr. Eğer gerlme ç eer ve etrop br potasyel fosyoda türetleblyorsa termoelast malzeme yuarıda basettğmz termodam uygulu şartıı sağlamış olur. Bu şartı sağlaması düşüülere gerlme Eş..66 da verle şelyle br potasyelde oluşturulablr. Geellle büyü deformasyo yapa csmler buluduğu problemlerde ullaıla brc Pola Krcoff gerlme tasörü T W F veya T R W (.66) F R olara sıcalığı br fosyou ola W gerlme potasyel F deformasyo gradya tasörüe göre türev alıara esaplaır. Csm büyesde bulua ve dış etler soucuda değşm göstere ç eer se W e W (.67)

3 olara yazılır. Bezer şelde ortamı mro boyutlarda rasgele dağılımıı ve düzeszlğ ölçüsü ola etrop de gerlme potasyelde aşağıda gb elde edlr. η W (.68) So olara serbest eer fosyou gerlme potasyelde Eş..69 da gb yazılır. ψ W η (.69) Elast csmler ç gerlme potasyelyle çalışma uygu olsa da mutla sıcalı ve etrop gb sıcalı parametreler de ullaılması geree br malzemede serbest eer fosyouu ullama daa uygu olmatadır [39]. Bu doğrultuda Eş..66 da verle brc Pola Krcoff gerlme tasörü Eş..67 ve Eş..69 u yardımıyla ve etrop le sıcalığı deformasyo gradyaıda bağımsız olduğu düşüülere Eş..7 de gb yazılablr. ψ T veya F T R ψ (.7) F R Ayı şelde ç eer ve etrop de Helmoltz serbest eer fosyou ullaılara sırasıyla aşağıda gb gösterlrler. e ψ η (.7) ψ η (.7)

3.6. Gelştrlmş St. Veat Krcoff Malzemeler İç Serbest Eer Fosyou Serbest eer fosyou Eş..73 de görüldüğü gb deformasyo gradya tasörüü veya şel değştrme tasörler br fosyou olara yazılablr. Bu durumda yazılaca serbest eer fosyoları ayı fosyou fade eder. ( F) ψ ( C) ψ ( E) ψ ψ (.73) Büye delem delem parametres ya F C veya E tasörler değşmezler csde fade edleblr. Bu doğrultuda parametres sağ Caucy Gree şel değştrme tasörü ola serbest eer fosyouu asal değşmezler csde fades ( I ( ) I ( C) I ( C) ) ψ ψ (.74) C 3 olara yazılır. Burada C sağ Caucy Gree şel değştrme tasörüü değşmezler aşağıda gbdr. ( ) C C C 33 I C tr C (.75) tr C det C ( C) ( tr C) tr( C ) I (.76) ( C) det C I (.77) 3 Bua e olara şel değştrme eers fosyou asal uzamalar csde de fade edleblr. ( ) ψ ( λ λ λ ) ψ ψ C (.78) 3

33 Gerlmesz durumda serbest eer fosyou aşağıda gb olacatır. ( ) ψ ψ (.79) Solu deformasyo yapa auçu türü malzemeler ç Ogde model zotrop auçu türü malzemeler modellemesde olduça ullaışlı ola ve Ogde model özel br al ola Mooey Rvl Neo-Hooea ve Varga modeller arbo dolgulu setet auçu türler ç Yeo model statstsel yalaşımla oluşturulmuş polmer ortamı taımlamada zcr modeller ullaa Arruda ve Boyce Model öpü auçu türü malzemeler ç Blatz ve Ko model sılıla ullaıla perelast malzeme modeller arasıda yer almatadırlar. Bulara e olara sııştırılablr perelast ortamları modellemesde fazlaca ullaıla Hadamard Gree malzemeler ve St. Veat Krcoff malzemeler doğrusal olmaya malzeme modeller arasıda yer almatadır. Bu aşamada sııştırılablr perelast malzemeler ç oluşturulmuş doğrusal olmaya br model parçası ola Duamel-Neuma formuda gerlme potasyel fosyou (şel değştrme eers fosyou) yardımıyla Helmoltz serbest eer fosyouu elde edeceğz. Duamel-Neuma formuda gerlme potasyel fosyou W ( E) λ( tre) μ tr( E ) κ T ( )( tre) (.8) olara yazılır. Burada serbest eer fosyouu parametres E(C-I)/ Lagrage brm şel değştrme tasörü λ ve μ Lamé sabtler κ λ μ / 3 zotermal elast acm modülü acmsel ısıl geleşme atsayısı ve referas mutla sıcalı değerdr. Verle gerlme potasyel fosyouda Helmoltz serbest eer fosyouu elde etme ç br dz matematsel şleme gere olacatır. Bua göre l olara gerlme tasörü yede yazılaca ve br taım tegral şlemler uygulaacatır. Bu doğrultuda Eş..6 da verle c Pola- T

34 Krcoff gerlme tasörü Eş..66 ya bezer şelde gerlme potasyel csde aşağıda gb yazılablr. W P E ψ E (.8) Eş..8 de verle gerlme potasyel fosyouu Lagrage brm şel değştrme tasörüe göre türev alara c Pola Krcoff gerlme tasörü aşağıda gb elde edlr. ( tre) I μe κ ( )I λ T (.8) P Bu aşamada sora Helmoltz serbest eer fosyouda gerçeleşece sosuz üçü br artış değer yazılmalıdır. Serbest eer fosyouu E ve parametrelere bağlı olduğu düşüülere aşağıda açılım yazılablr [4]. d W W E d W E d (.83) Eş..83 Eş..68 ve Eş..8 yardımıyla aşağıda formda yede yazılablr. d W P de ηd (.84) Bu artım fades Maxwell eştlğ aşağıda gbdr. P E η E (.85) Eş..8 de verle c Pola Krcoff gerlme tasörüü sabt sıcalı altıda E tasörüe göre türev alara ve Eş..85 ı yardımıyla aşağıda türev fades elde edleblr.

35 η E κ T I (.86) Etrop sabt E altıda sıcalığa göre türev η E cv (.87) olacatır. Eş..86 ve Eş..87 brlte tegraller alıara aşağıda etrop fades elde edlr. κ η ( tre ) ( ) η (.88) T c v Eş..7 ü ve Eş..8 orta olara tegraller alıması le Helmoltz serbest eer fosyou aşağıda gb elde edlr. λ μ κ T c ( E ) ( tre) tr( E ) ( )( tre) v ( ) η (.89) ψ.7. Kısıtlama Fosyoları.7.. Br acm elemaıda değşm ve sıcalığa bağlı sıışma ısıtı Hacm değşm ve deformasyo gradyaı lşs göstere Eş..8 sıcalığa bağlı sıışablrl ısıtlama fosyouu elde etmemz sağlayacatır. Bu fosyola malzeme sıcalığı br fosyou olara acm değştrr. Bua göre acm değşm Eş..9 da gb fade edleblr. dv g( ) dv (.9)

36 Bu durumda deformasyo gradya tasörüü ve mutla sıcalığı br fosyou ola ısıtlama eştlğ aşağıda gb yazılablr. det F g( ) veya φ( ) det F g( ) F (.9) Burada g ( ) sıfırda büyü olaca şelde seçle ve malzemede sıcalı değşmyle brlte acm değşm vere fosyodur. g ( ) fosyou ç sıcalığa bağlı br yoğulu değşmes düşüüleblr. Eğer ( ) se ısıtlama delemmz ( F ) ( ) det F φ (.9) al alır. Böyle br yalaşım [35] de verle çalışmada da arşımıza çımatadır. Burada yoğulu mutla sıcalığı leer br fosyou olara düşüülmüştür. Bua göre (.93) ve ısıt fosyouda yer ala g ( ) fosyou Eş..94 de al almatadır. ( ) g ve φ det F (.94)

37 99999 99998 g( ) dv/dv 99997 99996 99995 99994 99993 9999 4 6 8 Şel.. Eş..94 de verle acm değşm Bu fosyoa göre referas oumuda ( ) mea sıışmaz ola br csm ç ortam sıcalığı arttıça doğrusal azala br yoğulu fosyou ullaılmıştır (Şel.). Dğer br g ( ) fosyou [36] da verlmetedr. Burada sıcalı le arta br yoğulu fosyou ullaılmıştır. Bua göre ( ) ( ) e g ve φ det e ( ) F (.95) olara seçleblmetedr..7.. Br çzg elemaıda değşm ve sıcalığa bağlı uzama ısıtı Br çzg elemaıda e brm vetörü doğrultusuda uzama oraı λ l/l ve uzama vetörü Eş.. ye bezer şelde λ Fe veya λ FK ek (.96)

38 olara yazılablr. Burada e referas oumuda brm vetörü ve ısıtlamaı buluduğu doğrultuyu göstermetedr. Saler br büyülü elde etme ç uzama oraıı edsyle ota çarpımı aşağıda soucu verecetr. λ Fe Fe veya λ FK FReK er (.97) Sıcalığa bağlı sıışma ısıtlama fosyouda olduğu gb sıcalığa bağlı uzamada da oluşturulaca ısıt delem sıcalığı ve deformasyo gradyaı br fosyoudur. Sıcalığa bağlı uzama oraı ( ) λ (.98) ve sıcalığa bağlı uzama ısıtlama fosyou deformasyo gradyaı csde aşağıda gb yazılır. Fe Fe ( ) veya φ( ) Fe Fe ( ) F (.99) Burada ( ) fosyou sıfırda büyü değer ala br fosyodur. Ortam e brm vetörü doğrultusuda sadece sıcalığa bağlı olara uzama yapaca dğer doğrultularda da bu ısıtlamaya bağlı olara şel değştrme yapacatır. Yapıla zayıf şo dalgası ız esaplamalarıda ullaıla öre ( ) fosyou Bölüm 4. de verlmetedr..7.3. Saf mea ısıtlama fosyoları Saf mea ısıtlamalar sıcalığı ets olmadığı sadece mea etler soucuda malzeme uyma zoruda olduğu sıırlamalardır. Yazılaca ısıtlama fosyou yalızca deformasyo gradya tasörüe bağlıdır. Eş..9 de sıcalı etler aldırara sıışmaz br malzeme ç ısıtlama fosyouu aşağıda gb yazablrz.

39 * * e γ Uzamaz lfler Şel.. γ açısıyla yerleştrlmş uzamaz lflerle uvvetledrlmş ortam F veya ( F) det F det φ (.) Ayrıca Şel. de gösterle ve e doğrultusuda uzamaz lflerle oluşturulmuş br malzeme ç Eş..99 da bulua sıcalı parametres aldırılara aşağıda ısıt fosyou yazılablr. Fe Fe veya φ ( F) Fe Fe (.) Eş.. br doğrultuda uzamaz malzeme ç ısıt fosyoudur.

4 3. TEKİLLİK YÜZEYLERİ VE DALGA YAYILMASI 3.. Tell Yüzeyler Tell yüzey ortamda sürel ola br fosyou bu yüzey üzerde solu br sıçrama yaptığı ve sürel ortamı ye ayıra yüzey olara taımlaablr. Bu yüzey referas oordat sstemde Σ (X t) ve uzaysal oordat sstemde σ (xt) eştlleryle gösterleblr. Herag br şele sap olablece bu yüzey sürel ve türev alıablr br fosyo le gösterleblmeldr. Şel 3. de verle σ (t) tell yüzey lersde bulua bölge (V ) ve gersde bulua bölge (V ) çersde sürel br ϕ (xt) fosyou σ (t) yüzey sosuz üçü lersde değer ϕ ve sosuz üçü gersde değer ϕ olara gösterlmetedr. Bu fosyo ç yüzey lersde ve gersde değerler arasıda far ϕ ϕ ϕ (3.) olara fade edlmetedr. Bu değer sıfırda farlı olması durumuda σ (t) yüzey tell yüzey adıı alır. Burada sıçrama fosyou edsde veya türevlerde S V V u σ (t) Şel 3.. yüzey ormal vetörü u yayılma ızı le sürel ortamı ye ayıra σ (t) tell yüzey

4 gerçeleşeblr. Bu doğrultuda sıçramaı mertebese göre br sııfladırma yapma mümü olmatadır. Bu sııfladırmaya göre [ ϕ ] se sıfırıcı mertebede tell yüzey [ ϕ& ] olduğu durumda brc mertebede tell yüzey ve [ ϕ& ] & se c mertebede tell yüzey olmatadır. Yapıla bu sııfladırmaya öre teşl edece şel değştrme durumları Bölüm 3. de verlmetedr. Tell yüzey durağa olmadığı durumda sürel ortamda lerleme ızları Σ (Xt) ve σ (xt) yüzeyler ç sırasıyla U N Σ U N (3.) Grad Σ t u σ u (3.3) Gradσ t fadeleryle elde edleblr. Burada U N ve u referas ve uzay oumlarıda yüzey ormal doğrultusuda yayılma ızlarıdır. Bu yüzey ormaller brm ormal vetörler olara sırasıyla Grad Σ N (3.4) Grad Σ Gradσ (3.5) Gradσ fadeleryle verlmetedr. Referas ve uzay oumuda yüzeyler ayı yüzey olduları ç Eş. 3.6 geçerldr ve bu fade zama türevler alıara Eş. 3.7 aşağıda gb elde edleblr. Σ (X t) σ (x(xt) t) (3.6)

4 Σ t σ σ x t x t (3.7) Σ σ σ x X X x X veya Σ (3.8) K σ x K Burada x / t yüzey üzere rast gele erag br maddesel otaı ızıdır ve v le gösterlr. Eş. 3.7 Eş. 3. de yere yazılara U N Gradσ Grad Σ ( u v ) (3.9) elde edleblr. Burada v v yuarıda basedle maddesel otaı ızıı ormal bleşedr. Yerel yayılma ızı U u v (3.) olara taımlıdır. Durağa tell yüzey olmaması durumuda ya U N veya U ızı sıfırda farlı br değere sap olması alde yüzey dalga adıı almatadır. 3.. Tell Yüzeyler Sııfladırılması Tell yüzeyler teors çersde dalga yayılma problem ele alıdığıda yüzey areet oluşturduğu süreszlğe göre sııfladırma yapılmatadır. Burada ( Xt) ϕ x olara abul edere devam edlece olursa dalga eşğ ya lerleye tell yüzey geçtğ otada ortamda br et oluşturur. Oluşablece etlerde l ortam otalarıı oum vetörlerde ya x ( Xt) fosyouu edsde oluşablece br sıçramadır. Sıfırıcı mertebede tell yüzeye arşılı gele bu durumda deformasyolar süreszdr. Şel 3. de gösterle ve başlagıçta X oum vetörü le gösterle br ota t aıda tell yüzey üzerde x ve x - olara

43 X x Şel değştrme X x Şel değştrme X x x - X X - x (a) X x (b) X x Şel 3.. Sıfırıcı mertebede tell yüzey öreler a) çatla b) brbr üzerde aya yüzeyler ayrı yer şgal eder. Öre olara; çatla brbr üzerde aya yüzeyler aya ve yırtılma verleblr. x (çatla) (3.) Sürel ortam çersde lerleye tell yüzey ortamda yaratableceğ dğer br et olara ortam otasıı ızıda gerçeleşe br sıçrama düşüüleblr. Bu durum se brc mertebe tell yüzeye arşılı gelmetedr. Bu yüzeyler tell yüzey üzere rast gele ortam otalarıı deformasyouu brc zama türev süresz olduğu yüzeylerdr. Vortes yüzeyler ve şo dalgaları bu grup telllerdedr. Şel 3.3 de gösterle vortes yüzey ç tell yüzey üzerde ızı ormal bleşe sürel aca teğetsel doğrultuda bleşede solu br sıçramaı oluşmatadır. Şo dalgalarıda se ızı er bleşe de süreszdr. x [ x& ] [ x& ] (vortes yüzey üzerde) (3.) Erge ve Şuub [39] şo dalgalarıı ve vortes yüzeyler brbrlerde ayırmada ele almışlardır. Bu öre brc mertebe telller olara şo dalgaları adı altıda toplamıştır. x [ x& ] (şo dalgası eşğde) (3.3)

44 v - v Şel 3.3. Brc mertebe tell yüzey öreğ vortes yüzey [38] Burada öreleece so et se deformasyo ve ızı sürel olduğu aca ortamı oluştura otaları vmelerde sıçramaları buluduğu tell yüzeylerdr. İc mertebe tell yüzeyler olara smledrle bu tell yüzeylere deformasyoları c zama türevde solu br sıçrama oluşmatadır. İc mertebede areetl tell yüzeyler aust telllerdr ve ses dalgaları veya vme dalgaları olara da adladırılır. Ayrıca bu tür telller zayıf telllerdr ve uvvetl şo dalgalarıı zayıflamasıyla da oluşmatadır. x [ x& ] [ & x& ] (vme dalgası eşğde) (3.4) 3.3. Tell Yüzeyler İç Uygulu Şartları Tell yüzeyler teors oluşturulmasıda öeml br başlagıç otası Hadamard öermesdr. Bua göre σ yüzey le ayrıla V ve V bölgeler er brde sürel olara taımlaa br ϕ ϕ(x) fosyouu yüzey eme lersde ve gersde sırasıyla ϕ ( ϕ x) ve ϕ ( x) olduğuu düşüelm. Bu yüzey üzerde bulua ve x( s) ϕ lmtler var x fosyou le taımlı br eğr üzerde ϕ ve ϕ fosyolarıı s parametrese göre türev alıablr olduğu abulüyle fosyou lmt değerler ç aşağıda türevler zcr uralı ullaılara yazılablr. dϕ ds ϕ x dx ds (3.5)

45 y σ y e e 3 e Şel 3.4. σ tell yüzey üzerde taımlamış y eğrsel oordatları ve teğet vetörler ( ve ) dϕ ds ϕ x dx ds (3.6) Eş. 3.6 da Eş. 3.5 çıarılara aşağıda sıçrama eştlğ elde edleblr. d ds dx [ ϕ ] ds ϕ (3.7) Tell yüzey üzerde bulua br eğrsel oordat sstem Şel 3.4 de gösterle y ve y oordat ese taımı le taımlaablr. Bu oordat ssteme at ola teğet vetörlermz ve vetörler yüzey ormal vetörüe d olacatır. Bu vetörler brm vetör olma ve brbre d olma durumuda değldr. Eş. 3.7 de verle sıçrama eştlğde bulua ve tell yüzey üzerde er ag br eğrye at ola s parametres eğrsel oordat ese parametres ola y le değştrere aşağıda eştl yazılablr. [ ϕ ] [ ϕ ] (3.8)

46 Burada dx Şel 3.4 de gösterle y ve y eğrsel oordatları üzerde yer dy ala ( ) teğet vetörüü. artezye bleşedr (3). ϕ ϕ (x) saler fosyouu gradyaıı ormal ve teğetsel bleşeler toplamı csde fades vere geometr uygulu şartı aşağıda gb yazılablr. [ ϕ ] [ ϕ ] [ ϕ] (3.9) [ ϕ ] [ Gradϕ ] [ ϕ ] Grad (3.) y Burada ϕ ϕ (x) fosyouu tell yüzey üzerde sürel olması alde Maxwell deleme ulaşılmatadır. [ ϕ ] [ ] [ ] ϕ ϕ (3.) İc mertebe geometr uygulu şartı se aşağıda gb yazılablr. Bu eştlğ çıarılışı ç Eler bölümüe baılablr. [ Grad ( Gradϕ ) ] [ Grad ( Gradϕ ) ] [ Gradϕ ] [ Gradϕ ] [ Gradϕ ] γ γ ( ) y (3.) ϕ saler fosyou yere v vetörü ullaara Eş. 3.9 ve Eş. 3. aşağıda gb yazılablr. [ v ] [ v ] v (3.3) [ v ] [ (Gradv) ] [ ϕ ] Grad (3.4)

47 Bezer şelde Eş. 3. v vetörü ç aşağıda al alır. [ Grad ( Grad v) ] [ Grad ( Grad v)( ) ] [ ( Gradv) ] [ ( Gradv) ] (3.5) y γ [ ( Gradv) ] γ Bu aşamaya adar elde edle eştller areet geometrs ve tell yüzey üzerde sıçramaları vere eştllerdr. Buda sora zamala değşm ve sıçrama eştller elde edlecetr. Saler vetör veya tasör taımlı br fosyou tell yüzey üzerde zama türevde sıçrama fades oluşturma ç tell yüzey üzerde areet ede br gözlemc fosyou zama türev asıl ölçtüğüe bama gerer [3]. Gözlemc tell yüzey ızıyla ayı ızda areet ettğ durumda ızı u olacatır ve aşağıda zama değşm ölçecetr. ϕ ϕ t t u ϕ x (3.6) Burada t delta türev veya yer değştrme türev olara adladırılır [3] ve yüzey ormal ızıda areet ede br gözlemcye göre ölçüle zama türev verr. Eş. 3.6 ı tell yüzey üzerde sıçrama eştlğ se aşağıda gb yazılablr. t [ ϕ ] [ ϕ ] u [ Gradϕ ] & (3.7) ϕ saler fosyou yere v vetörü yazara t [ v ] [ v& ] u [ Gradv] (3.8)

48 elde edleblr. Eş. 3.8 emat uygulu şartı olara adladırılır. ϕ saler fosyou tell yüzey üzerde sürel br fosyosa zamala değşm ç aşağıda eştl yazılablr. [ ϕ ] u [ Gradϕ ] & (3.9) Bezer şelde v vetör fosyouu tell yüzey üzerde sürel olması durumuda Eş. 3.8 yardımıyla [ v ] [ Gradv] & u (3.3) elde edlr. Böylece u ormal ızıyla yayıla br yüzey üzerde fosyou zama türevde sıçrama ız gradya ve brm ormal vetör csde elde edlmş olmatadır. Eş. 3.7 ve Eş. 3.8 de ϕ ve v fosyou yere sırasıyla ϕ& ve v& yazaca olursa terarlı emat uygulu şartıı elde ederz. t [ & ϕ ] [ && ϕ ] u [ Grad & ϕ ] (3.3) t [ v & ] [ && v ] u [ Grad v& ] (3.3) ϕ& ve v& σ tell yüzey üzerde sürel olması alde sırasıyla aşağıda sıçrama fadelere ulaşılır. [ & ϕ ] [ Grad & ϕ ] u (3.33) [ & v ] [ Grad v& ] u (3.34)

49 Bezer şelde Eş. 3.7 de ϕ yere ϕ& yazaca olursa [ & ϕ ] [ & ϕ ] [ ϕ] & (3.35) veya [ Gradϕ ] [ ( Grad & ϕ ) ] [ & ϕ ] & (3.36) y elde edleblr. Eş. 3.35 ve Eş. 3.36 da terarlı emat uygulu şartlarıdır. Eş. 3.3 e alteratf olara aşağıda fade yazılablr. [ ϕ& ] [ Gradϕ ] u & u u [ Grad( Gradϕ) ] [ Gradϕ ] (3.37) t t Bu fade Tomas terarlı emat uygulu şartıdır. Tell yüzeyler teorsde ullaılaca dğer br eştl de sürel br ϕ saler fosyou ç Eş. 3.7 yardımıyla aşağıda gb elde edleblr. (3.38) [ Gradϕ ] [ & ϕ ] u 3.4. Tell Yüzey İçere Sürel Ortamlarda Temel Dege Delemler Dege delemler teşlde aşağıda verle tegral teoremler sılıla ullaılmatadır. Hacm V ola ve büyesde u ızıyla lerleye σ (t) tell yüzey bulua br ortamda erag br φ alaı ç acm tegral zama türev [4] d dt V -σ φ dv V σ φ dv t ( φ v ) dv [ φ( v u) ] da σ (3.39)

5 fadesyle esaplaablr. Ayı ortam ç Gauss İtegral Teorem d dt [ τ ] da τ da τ dv (3.4) S-σ V σ σ Bu tegral teorem ullaara yerel dege delemler oluşturulacatır. 3.4.. Kütle oruumu Eş..7 de verle ütle oruumu delem büyesde süreszl yüzey bulua br ortamda aşağıda gb yazılablr d dt V -σ dv (3.4) Eş. 3.39 da verle tegral teorem ullaılara ütle oruumu yerel formda aşağıda gb yazılır. d dt V -σ dv V σ dv t ( v) [ ( ) ] dv v u σ da (3.4) Sürel ortamlar meağde tüm dege delemler ortamı oluştura er otada ve süreszl yüzey üzerde geçerldr. Eş. 3.4 de yazıla yerel formda ütle oruumu fadesde tell yüzey üzerde geçerl ola ve ortamı dğer bölges ç ayrı ayrı aşağıda eştller yazılablr. dv t ( v) ( V σ acmde) (3.43) [ ( v u) ] (σ yüzeyde üzerde) (3.44)

5 Eş. 3.43 ve Eş. 3.44 süreszl yüzey çere br ortam ç ütle oruumu ve yüzey üzerde sıçrama şartıı vere eştllerdr. 3.4.. Mometumu oruumu Toplam mometumu zamala değşm ortama et ede et uvvete eşt olacatır. Buu tell yüzey çere br ortam ç yazaca olursa d dt V -σ v dv t S σ da V σ fdv (3.45) Burada t vetörü ortamı dış yüzeye etye yüzey gerlme uvvet ve f ortamda bulua ütle uvvetler temsl etmetedr. Eş. 3.4 da verle Gauss tegral teorem ullaara ( S σ ) yüzey tegral acm ve (σ ) yüzey tegrallere ayrıştıraca olursa d dt [ t ] da t da t dv (3.46) S-σ V σ σ d dt ( t f ) dv [ t ] da v dv V -σ V σ σ (3.47) Eş. 3.39 da verle tegral teorem ullaara Eş. 3.47 sol tarafıda zama türev aşağıda gb oluşturulablr. d dt V-σ ( v) dv Vσ ( v) t dv ( v v) [ ( )( ) ] dv v v u σ da (3.48) ( v) dv( v v) d [ ( )] t V v v u Vσ da ( t f ) dv [ t ] da σ Vσ σ

5 ( ) ( ) ( ) ( ) da d u v d v t σ σ σ σ t f t v v v V da V V V ( ) ( ) ( ) da V V u v d v t σ σ t v f t v v (3.49) ( ) ( ) f t v v v t ( σ V acmde) (3.5) ( ) u v t v (σ yüzey üzerde) (3.5) Eş. 3.5 ve Eş. 3.5 süreszl yüzey çere ortam ç mometumu oruumu fades ve tell yüzey üzerde sıçrama şartıı vere fadelerdr. Eş. 3.5 de verle termler daa açı olara yazara f t v v v x v x t x v v x t v v v & v x t x u v x t f t v & veya ) ( v f t & ( σ V acmde) (3.5)

53 elde edlr. Eş. 3.5 ortamı (Vσ) acmde geçerl ola yerel mometumu oruumu fadesdr ve Caucy brc yasası olara da adladırılır. Açısal mometumu deges gerlme tasörüü smetr olması le sağlamatadır. Bölüm.3 de verle dege delemler büyesde br süreszl yüzey buludura ortamı uzaysal oumu ç terar yazılmıştır. Üzerde çalışıla probleme göre Eş. 3.44 ve Eş. 3.5 ortamı referas oumuda oluşturulması çözüme olay ulaşma ç daa uygu olablr. Eş. 3.44 de verle ve ütle oruumu yasasıda bulua σ (t) tell yüzey üzerde sıçrama şartıı Σ (t) tell yüzey üzerde ya referas oumuda aşağıda gb yazılablr. [ J ( ) ] v u JX N da da eştlğ ullaara K K / [ ( v u ) X ] N da / da K K [ ( v u ) X ] N (Σ (t) yüzey üzerde) (3.53) K K Eş. 3.5 de verle ve yerel formda mometum oruumu delğde elde edle sıçrama eştlğ Σ (t) yüzey üzerde oluşturaca olursa [ J v( v u ) J x T ] K K JX N da da eştlğ ullaara K K / [ J v( v u ) J X J x T J X ] N K R R K K

54 ve gerel sadeleştrmeler yapılara [ v( v u ) X T ] N (Σ (t) yüzey üzerde) (3.54) K K K elde edlr. 3.5. Tell Yüzey Üzerde Eer Sıçraması Büyesde süreszl yüzey buludura br ortam ç Eş..34 de verle toplam ç eer aşağıda gb yazılablr. E e dv (3.55) Vσ Toplam ç eer zama türev Eş. 3.39 ullaılara E & d dt Vσ e dv Vσ e e v t t dv σ e [ v u ] da t v ullaılara d &E e dv e& dv e[ v u ] da (3.56) dt Vσ Vσ σ yazılablr. σ (t) tell yüzey üzerde ç eer sıçraması Eş. 3.56 ı e sağıda tegral fadesdr. e[ v u ] σ E & da (3.57)

55 Ayı şelde süreszl yüzey bulua br ortam ç et eerde değşm aşağıda şelde oluşturulablr. dk dt Vσ ( v v ) t ( v v ) v d [ ( v v )( v u ) ] l l V σ da dk dt Vσ ( v v ) v v v d [ ( v v )( v u ) ] l l V t t σ da dk dt ( v v ) dv t Vσ [ ( v v )( v u ) ] σ da dκ dt ( v a a v ) d [ ( v v )( v u ) ] V Vσ σ da dk Κ & v a d [ ( v v )( v u ) ] V da (3.58) dt Vσ σ σ (t) tell yüzey üzerde gerçeleşe et eerde sıçrama ( v v )( v u ) [ ] Κ & da (3.59) σ olara yazılır. Brm zamada yapıla ş ç tell yüzey üzerde sıçrama [ t v ] l l W da (3.6) σ ve tell yüzey üzerde ısı eersde sıçrama [ q ] Q da (3.6) σ

56 olara yazılır. Eş..3 da verle eer oruumu delğ sıçrama fadesde [ Κ ] [ Ε& ] [ W ] & Q (3.6) yazılablr. Eş. 3.57 ve Eş. 3.59-Eş. 3.6 Eş. 3.6 de yerlere yazılara [ ( ( vlvl ) ε )( v u ) tlvl q ] ( σ (t) yüzey üzerde) (3.63) olara σ (t) tell yüzey üzerde geçerl eer sıçrama şartı elde edlr. Bu sıçrama şartı referas oumu ç [ ( ( ( vv ) ε )( v u ) x KTKlvl x KQK ) X K ] N K [ ( ( ( vv ) ε )( v u ) X K x K X K TKlvl x K X K QK ) ] N K [ ( ( ( vlvl ) ε )( vl vl ) X K l TKlvl QK ) ] N K ( Σ(t) üzerde) (3.64) yazılır. Şmdye adar elde ettğmz sıçrama şartlarıı brlte yazarsa Uzay oumuda; [ ( v u ) ] (3.65) [ v ( v u ) t ] l (3.66) l [ ( ( vv ) ε )( v u ) tlvl q ] (3.67)

57 Referas oumuda; [ ( v u ) X ] N (3.68) K K [ v( v u ) X T ] N (3.69) K K K [ ( ( ( vv ) ε )( v u ) X K TKlvl QK ) ] N K (3.7) Yuarıda yazıla sıçrama eştller Eş. 3.8-Eş. 3. ullaılara aşağıda gb terar yazılablrler. Σ(t) yüzey üzerde (3.7) U N [ v ] [ T ] N Σ(t) yüzey üzerde (3.7) U N K K [ ( U N ( vv ) ε ) ] [ TKv ] N K Σ(t) yüzey üzerde (3.73) [ η ] U Σ(t) yüzey üzerde (3.74) N Burada verle delemler dam uygulu şartları olara adladırılmatadır.

58 4. TERMOELASTİK CİSİMLERDE ZAYIF ŞOK DALGALARININ YAYILMASI Şo dalgası yüzey üzerde ortam deformasyou süreldr ve oluşa areet ters de er zama mevcuttur. Aca Şel 4. de σ (t) fosyou le gösterle tell yüzey üzerde bulua ortam otaları ızlarıda solu sıçramalar bulumatadır. Ayrıca deformasyo gradyaı da sürel değldr ve aşağıda sıçrama fadeler geçerldr. x [ x& ] [ F ] σ (t) yüzey üzerde (4.) K Deformasyo gradyaı ve ızda sıçramalar bazı geometr uygulu şartlarıı sağlayaca şeldedr. Bu uygulu şartları [ x K ] s N K (4.) [ ] U N s v (4.3) olara verlmetedr. Burada s [ x K ] N K şo tell vetörüdür ve malzeme ızıda sıçramayla ayı doğrultudadır. Eş. 4.3 ü er tarafıı N K le çarpara ve Eş. 4. burada yere yazılara aşağıda delem elde edlr. U [ x ] v N (4.4) K N K Eş. 4.4 tell yüzey üzerde ortamı oluştura otaı ızıda sıçrama le deformasyo gradyaıda sıçramayı brbrleryle lşledre br delemdr. Şo dalgalarıda olduğu gb tell yüzey üzerde ortamı oluştura otaları ızlarıda sıçrama oluyorsa yerel yayılma ızıda da sıçrama olacatır. Bu durumda

59 S N U N v - u -U N s X x v σ(t) Σ(t) Şel 4.. Tell vetörü s ve ortam otasıı ızıda sıçrama [ v ] v v U σ (t) tell yüzey üzerde süreszdr. Yerel yayılma ızıda sıçrama aşağıda gb elde edleblr. U v u (4.5) U v u (4.6) [ v ] U v (4.7) Aca şo dalgalarıı terse vortes yüzeylerde yerel yayılma ızı tell yüzey üzerde süreldr. Şo dalgası eşğ üzerde geçerl ola ve malzeme şo dalgasıa verdğ tepy belrlemeye yardımcı ola Hugoot fades br termoelast malzeme ç aşağıda gb yazılır []. ( [ T ]) [ F ] [ e ] [ ψ η ] T (4.8) Eş. 4.8 aşağıda verle özellğ ullaılmasıyla ye br alde yazılır. [ AB ] A [ B ] [ A ] B [ A] ][ [ B ] (4.9)

6 ( [ T ]) [ F ] [ ψ ] η [ ] [ η ] [ η] ][ [ ] ( ) T (4.) 4.. Termomea Kısıtlı Termoelast Csmler Bu bölümde br doğrultuda sıcalığa bağlı uzama yapa lfler le uvvetledrlmş csm çde yayıla zayıf şo dalgası ızları verlecetr. Aca lfler sadece sıcalı değşm soucu uzayacağı abulü yapılmatadır. Termomea ısıt öreğ olara ( )ξ( ) fosyou ullaılmıştır. Bu fosyoa ve öre olara seçle ξ3 parametrese bağlı olara esaplaa e doğrultusuda uzama değerler Çzelge 4. de gösterlmetedr. 4... Zayıf şo dalgası areet delem elde edlmes Zayıf telller ousu ele alıdığı durumda tell yüzey üzerde oluşa sıçramaları üçü olduğu düşüülür. Bu durumda ullaıla matematsel fadelerde c ve daa yüse mertebede sıçrama fadeler mal edleblece adar üçü değerler alır. Eş. 4. da verle Hugoot eştlğ zayıf şo dalgaları ç sadeleştrlmş alde aşağıda gb yazılablr. ([ ψ ] η [ ] [ η ] ) T [ T ] ( ) [ F] (4.) Zayıf şo dalgaları ç serbest eer fosyou bu fosyou deformasyo gradyaıa ve sıcalığa göre türevler ve ısıtlama fosyou gb ala değşelerde oluşa sıçramaları matematsel fadeler Taylor sers açılımı yapılara yazılablr [ 39 4]. Bu açılımlar ala değşe tell yüzey eme gersde değer tell yüzey eme lersde değer etrafıda açılmasıyla elde edlr. Helmoltz serbest eer fosyou ç Taylor sers açılımı Eş. 4. de gb yazılablr.

6 ψ ψ ψ ( F F ) ( ) ( p p )... ψ ψ F p (4.) Eş..6 de görüldüğü gb serbest eer fosyouu Lagrage çarpaıa göre türev ısıt fosyouu vermetedr. Bu durumda Eş. 4. e sağıda yer ala toplam fades sıfıra eşt olacatır. Serbest eer fosyouda sıçrama gerel düzelemeler yapılara deformasyo gradyaıda ve sıcalıta sıçramaya bağlı olara aşağıda gb elde edlr. ψ F ψ [ ψ ] [ F ] [ ] (4.3) Serbest eer fosyouu deformasyo gradya tasörüe göre türev ç Taylor sers açılımı aşağıda gbdr. ψ F ψ F ψ FF ψ Fp ψ ( F F ) ( ) ( p p )... F (4.4) Bezer şelde gerel matematsel düzelemeler yapara sırçama fades aşağıda gb elde edlr. ψ FF ψ F [ ψ F ] [ F ] [ ] (4.5) Çzelge 4.. Çeştl Δ sıcalı artımları ç ( ) fosyouu değerler ve e doğrultusuda uzama oraları ( ) Δ K Δ K Δ 3 K Δ 4 K Δ 5 K Fe Fe 3 6 9 5 Fe Fe 4 6 38 48 58 e

6 Helmoltz serbest eer fosyouu mutla sıcalığa göre türev ç yazılaca ola Taylor sers açılımı ( ) ( ) ( )... p p p ψ ψ ψ ψ ψ F F F (4.6) olara yazılır. Sıçrama fades elde etme ç yapılaca düzelemede sora aşağıda sıçrama eştlğ elde edlr. p p ψ ψ ψ ψ F F (4.7) ( ) φ F ısıt fosyouu tell yüzey eme gersde değer ( φ ) eme lersde değer ( φ ) etrafıda Taylor sers açılımı ( ) ( )... φ φ φ φ F F F (4.8) olara yazılır. Burada da yapılaca düzelemede sora aşağıda sıçrama eştlğ elde edlr. [] φ φ φ F F (4.9) Eş..59 da verle. Pola-Krcoff gerlme tasörüü sıçrama fades zayıf şo dalgası eşğ üzerde p φ ψ F F T (4.)

63 olara yazılablr. Eş. 4.5 Eş. 4. de yere yazılara T ψ ψ φ F F F (4.) [ F ] [ ] [ p ] veya A [ F ] B[ ] C [ p ] T (4.) elde edlr. Burada dördücü mertebede elastste tasörü A ψ A (4.3) FF c mertebede sıcalı-deformasyo tasörü B ψ B (4.4) F ve c mertebede tasör C C ψ Fp φ F (4.5) olara yazılır. Etropde sıçramayı elde etme ç Eş..6 da verle etrop eştlğ er tarafıı sıçrama fades yazılır. φ η (4.6) [ ψ ] [ [ p ]

64 [ η ] [ ψ ] (4.7) Eş. 4.7 Eş. 4.7 de yere yazılaca olursa ψ F ψ [ η ] [ F ] [ ] [ p ] ψ p (4.8) veya B (4.9) [ η ] [ F ] χ [ ] ω [ p ] ψ Burada χ ve ω ψ p φ olara taımlıdır. Eş. 4.3 Eş. 4. ve Eş. 4.9 Eş. 4. de yere yazılara ve zayıf şo dalgası ç yaptığımız veya daa ço sıçrama parametres çarpımlarıı mal edleceğ abulüü ullaara (4.3) η elde edlr. Bu souç zayıf şo dalgalarıı zetrop olduğuu dalga geçş sorasıda ortamı etropsde br sıçrama olmadığıı göstermetedr. Sıcalıta sıçramayı elde etme ç Eş. 4.9 da yer ala ısıt fosyouda sıçramaı sıfıra eşt olduğu gerçeğ ullaılacatır. Bu durumda Eş. 4.9 aşağıda al alacatır. C [ F ] ω [ ] (4.3)

65 Bu eştlte er tarafı le çarpara ve deformasyo gradya tasörüde sıçrama ç yazıla Eş. 4. yuarıda yere yazılara sıcalıta sıçrama aşağıda gb elde edlr. [ ] c s K (4.3) ω Burada c vetörü c C N (4.33) L L olara taımlıdır ve Eş. 4.3 er br değer ç geçerldr. Bu durumda brc ve soucu değerler ç aşağıda eştl yazılablr. [ ] c s c s (4.34) ω ω Burada yapılaca düzelemede sora aşağıda ısıt fosyou elde edlr. m s (4.35) Burada m c c K olara verlmetedr. ω ω Eş. 4.8 de verle etropde sıçrama eştlğ ullaılara Lagrage çarpaıda sıçrama elde edleblr. Bu doğrultuda Eş. 4. Eş. 4.9 da yere yazılara aşağıda eştlğe ulaşılablr. b s χ[ ] ω [ p ] (4.36)

66 Burada b vetörü b B N (4.37) L L olara taımlıdır. Eş. 4.34 Eş. 4.36 da yere yazılaca olursa Lagrage çarpaıda sıçrama elde edlmş olur. ω b s c s [ p ] χ [ p ] ω ω (4.38) Referas oordatlarıı ullaara yazıla dam uygulu şartı ola Eş. 3.7 ve şo dalgası geçş sorasıda ortamı oluştura maddesel otaı ızıda sıçrama fades ola Eş. 4.3 ü ullaılmasıyla şo dalgası ç areet delem aşağıda gb yazılır. [ T ] N U s (4.39) N Eş. 4. de verle gerlme tasörüde sıçrama yuarıda fadede yere yazılara ve deformasyo gradyaıda sıçrama fades ola Eş. 4. de yardımıyla aşağıda areet delem oluşturulur. [ ] c [ p ] U s Qs b N (4.4) Burada Q c mertebe elast aust tasördür ve bleşeler Q A N N (4.4) l KlL K L olara A elastste tasörü ve N brm ormal vetörü csde yazılır. Eş. 4.38 de verle Lagrage çarpaıda sıçrama fadesde eştlğ er tarafı çarpılara Eş. 4.4 çde yere yazılırsa aşağıda fadeye ulaşılablr. c ω le

67 ( ) ( ) s c c s c c s b c b Qs N U p ω ω ω ω χ ω (4.4) Eş. 4.34 de bulua sıcalı parametresde sıçrama yuarıda yere yazılırsa ( ) ( ) ( ) s c c s c c s b c s b c Qs N U p ω ω ω ω χ ω (4.43) fades elde edlr. Burada yer ala saler çarpımı çere fadeler dyad çarpımlarıyla yer değştrlere aşağıda areet delem buluur. ( ) ( ) s m s c c b s c c b Qs N U p ω ω χ ω (4.44) Yuarıda fadede elast aust tasörü de çere ye br aust tasör taımı yapara Eş. 4.44 yede aşağıda gb yazılablr. s m Q s N U p ω (4.45) Burada Q termoelast aust tasördür ve taımı aşağıda gbdr. ( ) ( ) c c b c c b Q Q ω χ ω (4.46) γ γ l m (Kroecer deltası) eştlğ sağlayaca br γ l vetörü taımlaara ve bu vetör Eş. 4.45 de verle areet deleme saler çarpa olara yazılırsa aşağıda eştl buluur.

68 Q γ γ s l m l ω N γ U s l p (4.47) m ve l γ vetörleryle lgl olara aşağıda çarpım fadeler yazılablr. γ γ γ γ m l m l l s (4.48) γ γ γ m l m l (4.49) γ olması durumuda Eş. 4.47 aşağıda gb olacatır. Q s ω γ l ωγ γ p Q s l p (4.5) Eş. 4.5 de sağ tarafta bulua fade Eş. 4.45 de yere yazılırsa ( Q s l ) U s Q s m N (4.5) veya ( m l ) Q s U s I N (4.5) burada Q Eş. 4.46 da taımlaa termoelast aust tasördür. Bu eştl brde fazla termomea ısıt çere termoelast malzeme ç zayıf şo dalgalarıı yayılma delemdr. Sürel ortamda br adet termomea ısıt fosyouu olması durumda Eş. 4.45 de verle areet delem aşağıda forma döüşür. χ Qs [ c b b c] s ( c c) s U s N (4.53) ω ω

69 Bu delem yazılmasıda Eş. 4.35 de verle m term ç sıfıra eşt olacağı uutulmamalıdır. Delemde yer ala c vetörü Eş. 4.5 ve Eş. 4.33 yardımıyla ( ç) aşağıda gb esaplaır. c ( F e e) N ( e N) F e (4.54) Eş. 4.4 ve Eş. 4.37 ullaılara b vetörü se b κ T ( FN) (4.55) olara buluur. 4... Zayıf şo dalgası yayılma şartları Eş. 4.53 de verle ve br adet termomea ısıt fosyouu buluduğu termoelast ortam ç oluşturulmuş areet delemde Eş..89 da verle serbest eer fosyou ullaılara doğrusal olmaya St.Veat - Krcoff malzemelerde zayıf şo dalgası yayılma ızları bu bölümde oluşturulacatır. Bu doğrultuda Eş. 4.4 de verle Q aust tasörü Eş..89 ve Eş. 4.3 yardımıyla aşağıda gb yazılablr. Q T ( λ μ)( FN FN) { λ tre μ( EN N) κ ( )} I μff T (4.56) Eş. 4.53 le verle areet delemde yer ala adet saler çarpım Eş. 4.33 ve Eş. 4.37 ullaılara aşağıda gb oluşturulur. c s ( e N) [( Fe) s] (4.57) ( FN) s b s κ T (4.58)

7 Eş. 4.56 s vetörü le çarpılara Eş. 4.57 ve Eş. 4.58 le brlte areet delemde yere yazılarsa T ( λ μ)( FN FN) s λ tr( E) s μ( EN N) s μ( FF ) κ T 4χ ( ) κ T s ω ( e N) (( Fe) s) ( Fe) U s ω ( e N) [(( Fe) s) FN (( FN) s)( Fe) ] N s (4.59) olara St.Veat - Krcoff malzemeler ç zayıf şo dalgası areet delem elde edlmş olur. Başlagıçta şel değştrmemş ortam ç yayılma ızları Şel 4. de gösterle öre ortam dalga geçş öces erag br dış yüleme altıda bulumamatadır. Deformasyosuz ortam ç deformasyo gradya tasörü F I (4.6) ve bua bağlı olara Eş.. le verle Lagrage brm şel değştrme tasörü sıfıra eşt olacatır. Eş. 4.59 da verle areet delem deformasyo gradya tasörüü ve Lagrage brm şel değştrme tasörüü yere yazılmasıyla κ T Cos Ω ( λ μ) N μ s κ ( ) s [ s N e] 4χ Cos ω 3 T Ω s e U N s ω (4.6) al alır. Burada Ω γ olara alımıştır. Bu fade er tarafıı s vetörü le çarpara

7 Şel 4.. Zayıf şo dalgası eşğ. ( dalga yayılma doğrultusu açısı ve γ sıcalığa bağlı uzama ısıtıı buluduğu doğrultu açısı) ( )( ) ( ) ( )( ) ( )( )( ) ( ) ( ) ( ) s s s e N e s N s e N e s s s s s N 4 4 N T T U ω χ ω κ κ μ μ λ (4.6) ve ν s s fades yere yazara ( )( ) ( ) ( )( )( ) ( ) ( ) 4 4 N T T U ω χ ω κ κ μ μ λ ν e N e ν N ν e N e ν N (4.63) elde edlr. Burada ν s doğrultusuda brm vetörü fade etmetedr. a. Boyua zayıf şo dalgası yayılma ızı Şel 4.3 de verle boyua şo dalgası ç dalga yayılma doğrultusuda brm vetör le şo tell vetörü s doğrultusuda brm vetör ν arasıda aşağıda lş mevcuttur. ν ν N N (4.64) N γ e Dalga eşğ

7 Şel 4.3. Boyua zayıf şo dalgası yayılma ve şo vetörü doğrultuları Sıcalığa bağlı uzama doğrultusuda brm vetör le dalga yayılma doğrultusu arasıda bağıtı ( ) γ Cos ν e N e (4.65) olara yazılara boyua zayıf şo dalgası yayılma ızı aşağıda gb elde edlr. ( ) 4 ) ( 4 ) ( 4 N T T U Cos Cos ω γ χ ω γ κ κ μ λ (4.66) ( ) 4 ) ( 4 ) ( 4 ω γ χ ω γ κ κ μ λ Cos Cos U T T N (4.67) Sıcalığa bağlı uzama doğrultusuda yayıla boyua zayıf şo dalgası ızı ( ) 4 4 ω χ ω κ κ μ λ T T N U (4.68) ve sıcalığa bağlı uzama doğrultusua d doğrultuda yayıla boyua zayıf şo dalgası ızı N Referas oumu γ e s Dalga eşğ

73 λ μ κ ( ) T U N (4.69) olara yazılablr. b. Ee zayıf şo dalgası yayılma ızı Ee zayıf şo dalgası ç dalga yayılma doğrultusu N ve şo tell vetörü s arasıda N s ve N s (4.7) fades yazılablr. Ayrıca şo yayılma doğrultusu le uzamazlı doğrultusu e arasıda Şel 4.4 de verle doğrultu açıları ullaılara π e N Cos( γ ) ve e ν Cos ( γ ) (4.7) yazılablr. Eş. 4.7 de verleler yardımıyla Eş. 4.63 de π 4χCos ( γ ) Cos ( γ ) μ κ T ( ) U N (4.7) ω ve π 4χCos ( γ ) Cos ( γ ) μ κ T U N (4.73) ( ) ω olara ee zayıf şo dalgası yayılma ızı buluur. Sıcalığa bağlı uzama doğrultusuda yayıla ee zayıf şo dalgası ızı

74 s e N γ Dalga eşğ Referas oumu Şel 4.4. Ee zayıf şo dalgası yayılma ve şo vetörü doğrultuları μ κ ( ) T U N (4.74) ve sıcalığa bağlı uzama doğrultusua d doğrultuda yayıla ee zayıf şo dalgası ızı μ κ ( ) T U N (4.75) olara buluur. Te esel çeme altıda ortam ç yayılma ızları Bu bölümde yapıla sayısal esaplamalarda öre auçu türü csm ç elastste modülü MPa olara alımıştır [4]. Malzeme sııştırılablr olup Posso oraı 485 dr. Lamé sabtler λ E ν [( ν )( ν )] ve μ [ ( ν )] E eştlleryle esaplaacatır. Elast acm modülü se κ λ μ 3 eştlğ le belrldr. Hacmsel ısıl geleşme atsayısı / 3 K özgül ısı c v 73 J/(g K) ve yoğulu g/m 3 olara alımıştır. Sıcalığa bağlı uzaya lfler doğrultusuda brm vetör e ve dalga brm ormal vetörü N aşağıda gb seçlmştr.

75 deformasyo B Uzay oumu A e L γ A * Fe B * L L 3 Fe Fe ( ) Referas oumu L Şel 4.5. -ese doğrultusuda uzaması yapa termomea ısıtlı csm Cosγ e Sγ Cos N S (4.76) Dalga yayılması öces te esel çeme altıda termomea ısıtlı ortamı deformasyo durumu Şel 4.5 de görüldüğü gb olacatır. Burada -ese doğrultusuda adar uzaya csm - ve 3-ese doğrultularıda uzamada almatadır. Csm e doğrultusuda se ( ) e adar uzama yapacatır. e doğrultusuda sıcalığa bağlı uzama ısıtı bulua ortam ç te esel çeme alde -ese doğrultusuda çemeye e olara br ayma deformasyou gerçeleşecetr. Bu tp şel değştrmeye at deformasyo gradya tasörü aşağıda gb olacatır. F ta ta T F T F ta (4.77) Sıcalığa bağlı uzamazlı ısıtı yuarıda verle deformasyo gradya tasörü ve e vetörü yardımıyla

76 ( ta Cosγ Sγ ) ( ) γ φ Cos (4.78) olara yazılır. Kısıt fosyouu sıcalığa göre türev ola ω term aşağıda gbdr. ( ) φ ω (4.79) Eş. 4.78 de blmeye olara arşımıza çıa olara aşağıda gb esaplaır. ta ( ) fosyoua bağlı ta ( ) cos γ taγ (4.8) -ese doğrultusuda gerçeleşe uzama oraı ç lmt durum se Eş. 4.8 de cosγ olara buluur. Hareet delemde gerel ola vetör ve tasör çarpımları aşağıda gb esaplaablr. cos FN ta cos s cosγ Fe ta cosγ s γ (4.8) cos cos ( ta cos s ) ( ta cos s ) ( ta cos s ) FN FN cos (4.8) cos γ cosγ ( ta cosγ s γ ) ( ta cosγ s γ ) ( ta cosγ s γ ) Fe Fe cosγ (4.83)

77 Sol Caucy-Gree deformasyo tasörü ta T B FF ta ta (4.84) Sağ Caucy-Gree deformasyo tasörü C F T ta F ta ta (4.85) şel değştrme tasörü ta ta E ( C I) ta (4.86) şel değştrme tasörüü z ( ta ) tr E (4.87) EN N cos s ta cos s ta cos ( ta ) (4.88) Eş. 4.8-Eş. 4.88 arasıda verle saler ve tasörel çarpımları yardımıyla Eş. 4.53 le verle özdeğer problem çözülere te esel çeme altıda termomea ısıtlı termoelast csm ç zayıf şo dalgası yayılma ızları elde edlmştr. Seçle farlı e vetörü doğrultu açıları ve farlı dalga yayılma doğrultu açıları ç

78 elde edle ızları -ese doğrultusuda uzama ve sıcalı artımıa göre değşm göstere grafler se Şel 4.6-Şel 4.3 arasıda verlmetedr. ( m s) U N / ( m s) U N / (a) (b) ( m s) U N / ( m s) U N / (c) (d) Şel 4.6. Boyua şo dalgalarıı sıcalı ve uzama oraıyla değşm lf doğrultu açısı γ a) 3 b) 45 c) 6 d) 75 -γ 3

79 ( m s) U N / ( m s) U N / (a) (b) ( m s) U N / ( m s) U N / (c) (d) Şel 4.7. Ee şo dalgalarıı sıcalı ve uzama oraıyla değşm lf doğrultu açısı γ a) 3 b) 45 c) 6 d) 75 - γ 3

8 ( m s) U N / ( m s) U N / (a) (b) ( m s) U N / ( m s) U N / (c) (d) Şel 4.8. Boyua şo dalgalarıı sıcalı ve uzama oraıyla değşm lf doğrultu açısı γ a) 3 b) 45 c) 6 d) 75 -γ 45

8 ( m s) U N / ( m s) U N / (a) (b) U N ( m / s) U N ( m / s) (c) (d) Şel 4.9. Ee şo dalgalarıı sıcalı ve uzama oraıyla değşm lf doğrultu açısı γ a) 3 b) 45 c) 6 d) 75 -γ 45

8 ( m s) U N / ( m s) U N / (a) (b) ( m s) U N / ( m s) U N / (c) (d) Şel 4.. Boyua şo dalgalarıı sıcalı ve uzama oraıyla değşm lf doğrultu açısı γ a) 3 b) 45 c) 6 d) 75 -γ 6

83 ( m s) U N / ( m s) U N / (a) (b) U N ( m / s) U N ( m / s) (c) (d) Şel 4.. Ee şo dalgalarıı sıcalı ve uzama oraıyla değşm lf doğrultu açısı γ a) 3 b) 45 c) 6 d) 75 -γ 6

84 U N ( m / s) U N ( m / s) (a) (b) ( m s) U N / ( m s) U N / (c) (d) Şel 4.. Boyua şo dalgalarıı sıcalı ve uzama oraıyla değşm lf doğrultu açısı γ a) 3 b) 45 c) 6 d) 75 -γ 9

85 ( m s) U N / ( m s) U N / (a) (b) ( m s) U N / ( m s) U N / (c) (d) Şel 4.3. Ee şo dalgalarıı sıcalı ve uzama oraıyla değşm lf doğrultu açısı γ a) 3 b) 45 c) 6 d) 75 -γ 9

86 ( m s) U N / π 4 π..5.5.5..75.75 γ (rad) Şel 4.4. K ve ( γ π /) e boyua dalga ızı-lf doğrultu açısı grafğ İ esel çeme altıda ortam ç yayılma ızları Te esel çeme altıda bulua ortam ç abul ettğmz malzeme sabtler bu bölümde de ullaılacatır. Eş. 4.76 le verle uzamazlı doğrultusuda brm vetör ve yüzey brm ormal vetörü burada da geçerldr. İ esel çeme altıda ortam ç deformasyo gradya tasörü ters ve evrğ aşağıda gbdr. F ta ta T F T F ta (4.89) Sıcalığa bağlı uzamazlı ısıtıda elde edle eştl yardımıyla esel çeme ç yazıla deformasyo gradya tasörü ve e brm vetörü ullaılara aşağıda delem elde edlr. ( ta Cosγ Sγ ) ( ) γ Cos (4.9) - ve -eseler doğrultusuda gerçeleşe ve uzamaları brbrlerde bağımsızdır.

87 Kısıtlı deformasyo sırasıda oluşa ayma deformasyou bleşe Eş. 4.9 yardımıyla aşağıda gb esap edlr. ( ) / ta taγ cos γ (4.9) -ese doğrultusuda uzamaı sıırı cosγ olara belrldr. İ esel çeme altıda ortam ç geçerl ola areet delemde ullaılaca vetörel ve tasörel çarpımlar aşağıda vermştr. cos FN ta cos s cosγ Fe ta cosγ s γ (4.9) cos cos ( ta cos s ) ( ta cos s ) ( ta cos s ) FN FN cos (4.93) cos γ cosγ ( ta cosγ s γ ) ( ta cosγ s γ ) ( ta cosγ s γ ) Fe Fe cosγ (4.94) Sol Caucy-Gree deformasyo tasörü ta T B FF ta ta (4.95)

88 Sağ Caucy-Gree deformasyo tasörü C F T ta F ta ta (4.96) şel değştrme tasörü ta ta E ( C I) ta (4.97) Eş. 4.53 de oluşturduğumuz br adet termomea ısıt çere termoelast ortam ç areet delemde ız ç yapılaca çözümleme le elde edle souçları farlı e vetörü doğrultu açıları ve farlı dalga yayılma doğrultu açıları ç - ve - ese doğrultusuda uzama oralarıa göre değşm göstere grafler Şel 4.5 - Şel 4.8 de verlmetedr.

89 ( m s) U N / 6 5 4 3 ( m s) U N / 6 5 4 3 ( m s) U N / (a) 6 5 4 3 ( m s) U N / (b) 6 5 4 3 (c) (d) Şel 4.5. İ esel çeme altıda ısıtlı ortamda yayıla boyua şo dalgasıı uzama oraıyla değşm açısı γ a) 3 b) 45 c) 6 d) 75 ve γ π /6

9 ( m s) U N / ( m s) U N / 6 6 5 5 4 4 3 3 (a) (b) ( m s) U N / 6 5 4 3 ( m s) U N / 6 5 4 3 (c) (d) Şel 4.6. İ esel çeme altıda ısıtlı ortamda yayıla boyua şo dalgasıı uzama oraıyla değşm açısı γ a) 3 b) 45 c) 6 d) 75 ve γ π /4

9 ( m s) U N / 6 5 4 ( m s) U N / 6 5 4 3 3 (a) (b) ( m s) U N / 6 5 4 3 ( m s) U N / 6 5 4 3 (c) (d) Şel 4.7. İ esel çeme altıda ısıtlı ortamda yayıla boyua şo dalgasıı uzama oraıyla değşm açısı γ a) 3 b) 45 c) 6 d) 75 ve γ π /3

9 ( m s) U N / ( m s) U N / 6 6 5 5 4 3 3 4 ( m s) U N / (a) 6 5 4 3 ( m s) U N / (b) 6 5 4 3 (c) (d) Şel 4.8. İ esel çeme altıda ısıtlı ortamda yayıla boyua şo dalgasıı uzama oraıyla değşm açısı γ a) 3 b) 45 c) 6 d) 75 ve γ π / 4.. Saf Mea Kısıtlı Termoelast Csmler 4... Zayıf şo dalgası areet delem elde edlmes Böl.4.. de termomea ısıtlı csmler ç oluşturula zayıf şo dalgası areet delem ısıtlama fosyouu sıcalıta bağımsız olduğu özel br durum ç bu bölümde celeecetr. Eş. 4.5 veya Eş. 4.53 çersde ω term çermetedr. Saf mea ısıtlı ortamlar ç bu term ω φ olacatır ve areet delemde taımsız fadelere yol açacatır. Bu edele saf mea

93 ısıtlı ortam ç areet delem yede oluşturulma zorudadır. Saf mea ısıtlama fosyou sadece mea bağımsız değşee ya deformasyo gradyaıa bağlıdır. Eş.. de verle saf mea ısıt fosyoua baılaca olursa fade mutla sıcalığa göre değşm sıfır olacatır ve bu doğrultuda aşağıda eştl geçerldr. ψ ω p φ (4.98) Eş. 4.9 da verle etropde sıçrama fadesde Eş. 4.98 yere yazılara [ η ] b s χ [ ] (4.99) elde edlr. Zayıf şo dalgalarıı zetrop olduğu ya etropde sıçramaı sıfıra eşt olduğu düşüülece olursa sıcalıta sıçrama saf mea ısıtlı csmler ç aşağıda gb elde edlecetr. χ [ ] b s (4.) Eş. 4. ve Eş. 4.98 yardımıyla Eş. 4.3 aşağıda şelde yazılablr. C ( s N) c s K (4.) Lagrage çarpaıda sıçramayı saf mea ısıtlı ortamlar ç elde etme ç aşağıda eştlğ sağlayaca br d vetörü taımlaır. c d (4.)

94 ve ı alacağı değerlere göre ve Eş. 4. göz öüde buludurulara aşağıda vetörel özelller yazılablr. γ c d c // d d s (4.3) γ c d c d (4.4) Eş. 4.4 de verle areet delem er tarafı ve Eş. 4. yardımıyla d vetörü le saler çarpılara [ p ] Qs d ( b d )( b s) (4.5) χ olara Lagrage çarpaıda sıçrama elde edlr. Eş. 4.4 da verle areet delemde sıcalıta sıçrama ve Lagrage çarpaıda sıçrama yerlere yazılara saf mea ısıtlı ortam ç zayıf şo dalgası areet delem aşağıda gb elde edlr. Qs χ ( b b) s ( c d ) Qs ( c d )( b b) s U N s χ (4.6) veya I ( c d ) Qs U s ) N (4.7) ) χ Burada Q Q ( b b) dr.

95 Eş. 4.7 brde fazla mea ısıt çere termoelast malzeme ç zayıf şo dalgalarıı yayılma delemdr. Sürel ortamda br adet saf mea ısıt fosyouu buluduğu durumda areet delem ) ( I c d) Qs U s N (4.8) al alır. Burada Eş. 4. y sağlayaca d vetörü c d (4.9) c olara buluur. Bu durumda aşağıda dyad çarpım yazılablr. c d c φ φ N N (4.) F F Burada saf mea ısıtlı csmler ç geçerl φ ısıt fosyouu deformasyo gradya tasörüe göre türev alıaca olursa φ F ( Fe e) (4.) elde edlr. Bulua türev eştlğ Eş. 4. de yere yazaca olursa c d Fe Fe (4.) elde edlr. Eş. 4.7 çde aust tasörde b vetörler dyad çarpımı St.Veat-Krcoff malzemeler ç ullaıla serbest eer fosyouu deformasyo gradya tasörüe ve sıcalığa göre türevler alıara aşağıda gb elde edleblr.

96 ( ) FN FN b b κ T (4.3) Eş. 4. ve Eş. 4.3 de elde edle çarpımları Eş. 4.8 de yere yazara br doğrultuda uzamaz St.Veat-Krcoff malzemeler ç areet delem aşağıda gb elde edlr. ( I Fe Fe) ( κ ) T o Q FN FN s U N s χ (4.4) Termoelast ortam ç oluşturulmuş doğrusal olmaya St.Veat-Krcoff malzemeler ç Q aust tasörü Eş. 4.56 le ayı olacatır. Eş. 4. le verle saler çarpım Eş. 4. yardımıyla ( e N)( Fe ) c s s (4.5) al alır. 4... Zayıf şo dalgası yayılma şartları Dalga eşğ lersde F I Dalga eşğ öüde deformasyo olmadığı durum ç deformasyo gradya tasörü ve tell yüzey ormaller aşağıda gb olacatır. F I ve N (4.6) Eş. 4.4 çersde yuarıda özell ullaılara dalga geçş öces deformasyosuz ola ortam ç areet delem aşağıda gb yazılır.

97 ( I e e) ( κ ) T Q s U N s χ (4.7) Q aust tasörü se aşağıda al alır. ( N N) μ( N N) μi κ ( )I Q λ T (4.8) Eş. 4.5 le verle çarpım dalga geçş öces deformasyosuz ortam ç ( )( e s) e (4.9) olacatır. a. Boyua zayıf şo dalgası yayılma ızı Eş. 4.64 ullaılara Eş. 4.9 e ve e s (4.) al alır. Burada br doğrultuda uzamaz csm çde boyua zayıf şo dalgasıı uzamazlı doğrultusua d doğrultuda yayılma durumuda olduğu ortaya çımatadır. e ve s vetörler brbrlere d olacağı ç ( e) s e (4.) eştlğ yazılablr. Bu durumda Eş. 4.7 le verle areet delem ( κ ) T Q s U N s χ (4.)

98 Şel 4.9. Boyua zayıf şo dalgası yayılma ve şo vetörü doğrultuları ( ) ( ) s s Qs N T U χ κ (4.3) Eş. 4.8 ve Eş. 4.6 yardımıyla ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) s s s s s s N T T U χ κ κ μ μ λ elde edlr. Burada yer ala dyad çarpımlarda urtulara aşağıda fade buluablr. ( ) ( ) ( ) s s s s N T T U κ μ χ κ μ λ (4.4) Şo tell vetörü s le er taraf ç ota çarpımı yapılaca olursa ( ) ( ) s U s s s N T T κ μ χ κ μ λ (4.5) ve gerel sadeleştrmeler yapılara Referas oumu γ e N s Dalga eşğ

99 ( κ ) ( ) U N (4.6) λ T μ μ κ T χ Uzamaz doğrultuya d yayıla boyua zayıf şo dalgası ızı λ μ ( κ ) μ κ ( ) T T U N χ (4.7) olara elde edlr. b. Ee zayıf şo dalgası yayılma ızı Ee zayıf şo dalgası yayılma problem ç Eş. 4.9 le çıarılablece durum buluur. Bularda brcs ( ) e ve s e (4.8) ola ve uzamaz lflere d doğrultuda yayıla ee zayıf şo dalgasıdır. e doğrultusuda deformasyo olmayacağı ç bu tp ee zayıf şo dalgası oluşmayacatır. İc durum se uzamaz doğrultuya paralel yayıla ee zayıf şo dalgasıdır ve ( s) e ve e s e s (4.9) fadeler Eş. 4.9 u sağlar. Bu durumda şo tell vetörü s uzamaz doğrultuya d oluşacatır ve zayıf şo dalgası uzamaz doğrultuya paralel doğrultuda yayılma zorudadır. Eş. 4.7 le verle areet delem ( κ T ) ( s) U s Qs N (4.3) χ

s e N γ Dalga eşğ Şel 4.. Uzamaz lflerle uvvetledrlmş ola csmde ee zayıf şo dalgası ve ee şo dalgası yayılma doğrultusuu şo tell vetörüe d olması durumu ullaılara areet delem aşağıda gb yazılablr. N Qs U s (4.3) Eş. 4.8 le verle aust tasör yuarıda fadede yere yazılara ( ) s μ( ) s μ s κ ( ) s U s λ (4.3) T N ( ) s U s μ s κ (4.33) T N ve br doğrultuda uzamaz csm çde yayıla ee zayıf şo dalgası ızı μ κ ( ) T U (4.34) N olara elde edlr. Dalga eşğ lersde F I Eş. 4.5 le verle eştl dalga yayılma doğrultusu üzerde bazı ısıtlamalar getrmetedr. Bua göre e brm vetörü doğrultusuda uzamaya csm ç

a.referas oumuda uzamaz doğrultuya d yayıla dalga e N b.uzaysal oumda uzamaz doğrultuya d şo tell vetörüe sap dalga ( ) s Fe durumları düşüülmeldr. (a) maddesde verle ve N yayılma açısı: γ π / ola boyua zayıf şo dalgası ç e N e s N s s (4.35) ve ee zayıf şo dalgası ç e N e s s N s (4.36) çarpımları geçerldr. Ee zayıf şo dalgasıda ız sıçraması yöüde oluşa s vetörü uzamaz yöde gerçeleşr. Uzamazlı ısıtlaması bu doğrultuda br ız sıçramasıa z vermemetedr. Bu edele uzamaz doğrultuya d olara yayıla ee zayıf şo dalgası oluşmayacatır. (b) maddesde verle ( ) s Fe eştlğ sağlayaca dalga tpler (a) maddesde dalga durumuu dışıda uzamazlı doğrultusua paralel yayıla ee dalgadır. Bu dalga tp ç N e Fe s (4.37) çarpımları geçerldr.

Te esel çeme altıda ortam ç yayılma ızları a. -ese doğrultusuda uzama -ese doğrultusuda uzamaı olmadığı durum Şel 4. de verle ve te esel çeme altıda br doğrultuda uzamaz csm ç şel değştrme durumu Eş. 4.38 de verle deformasyo gradya tasörü le taımlıdır. Br doğrultuda uzamazlı ısıtıı buluması çeme altıda csmde ayma deformasyou meydaa getrmetedr. Ortam ve yüleme durumu ç geçerl deformasyo gradya tasörüü ters ve evrğ aşağıda verlmetedr. F ta ta T F T F ta (4.38) Şel 4. de gösterle yatay ese leγ açısı yapa uzamazlı doğrultusuda brm vetör e ve bua bağlı olara (a) maddesde yayılableceğ belrttğmz boyua zayıf şo dalgası ç N brm ormal vetörü aşağıda gb yazılablr. deformasyo Uzay oumu γ e Fe L Referas oumu L L L Şel 4.. e doğrultusuda uzamaz saf mea ısıtlı csm -esede uzaması.

3 Cosγ e Sγ Cos N S (4.39) Burada π γ dr. e doğrultusuda uzamazlı ısıtlaması le ( ta Cosγ S ) Fe Cos γ γ Fe (4.4) eştlğ elde edlr. Bu eştl yardımıyla farlı uzamalarıa arşılı gele ta değer esaplaaca ve deformasyo gradya tasörü oluşturulacatır. Ayrıca e doğrultusuda uzamazlı ısıtlaması edeyle ortamda oluşablece - esede e büyü uzama değer (4.4) cosγ eştlğ le belrldr. Eş. 4.4 le verle areet delem aşağıda gb terar yazılablr. N Ps U s (4.4) Burada P matrs ( κ ) ( κ ) ( ) ( ) ( )( ) T T P Q FN FN Fe Fe Q Fe Fe FN FN χ χ (4.43) olara taımlıdır ve Q aust tasörü Eş. 4.56 le verlmetedr. Hareet delemde ve aust tasörde yer ala matrs ve dyad çarpımları se aşağıda gb elde edlr.

4 s cos ta cos FN s cos ta cos γ γ γ Fe (4.44) ( ) ( ) ( ) s cos ta s cos ta cos s cos ta cos cos FN FN (4.45) ( ) ( ) ( ) s cos ta s cos ta cos s cos ta cos cos γ γ γ γ γ γ γ γ γ Fe Fe (4.46) Sol Caucy-Gree deformasyo tasörü ta ta ta T FF B (4.47) Sağ Caucy-Gree deformasyo tasörü ta ta ta F F C T (4.48) şel değştrme tasörü ( ) ta ta ta I C E (4.49)

5 ( ta ) tr E (4.5) EN N cos s ta cos s ta cos ( ta ) (4.5) Burada elde edle vetör ve tasör büyülüler ullaılara farlı γ açıları ç N Ps U s özdeğer problem çözümü ve soucuda esaplaa boyua zayıf şo dalgası ızları aşağıda gb olmatadır. U N (m/s) Şel 4.. γ π /6 ç boyua zayıf şo dalgası ızıı -esede uzama ve sıcalı artımıyla değşm ( γ π /)

6 U N (m/s) Şel 4.3. γ π /4 ç boyua zayıf şo dalgası ızıı -esede uzama ve sıcalı artımıyla değşm ( γ π /) U N (m/s) Şel 4.4. γ π /3 ç boyua zayıf şo dalgası ızıı -esede uzama ve sıcalı artımıyla değşm ( γ π /)

7 U N (m/s) Şel 4.5. γ 5π / ç boyua zayıf şo dalgası ızıı -esede uzama ve sıcalı artımıyla değşm ( γ π /) b. -ese doğrultusuda uzama -ese doğrultusuda ısalma durumu Şel 4.6 da gösterle ve - ve -eselerde sırasıyla ve uzaması yapa ısıtlı ortam ç deformasyo gradya tasörü ters ve evrğ aşağıda görüldüğü gb olacatır. F T F T F (4.5) deformasyo H γ e L Referas oumu L L H H H Fe L Uzay oumu Şel 4.6. e doğrultusuda uzamaz saf mea ısıtlı csm -esede uzaması esede ısalması.

8 Uzamazlı doğrultusu e ve dalga yayılma doğrultusu N Eş. 4.39 da verlmetedr. π Uzamazlı doğrultusua d yayılaca dalga ç γ dr. Uzamazlı ısıtı edeyle - ve -esede uzamalar arasıda aşağıda bağıtı buluur. Fe Fe Cos γ S γ (4.53) ve Cos γ (4.54) S γ Eş. 4.4 le verle özdeğer problem Eş. 4.5 le verle deformasyo durumu ullaılara çözülecetr. Bu doğrultuda aust tasörü oluştura matrs ve dyad çarpımları aşağıda gb elde edlr. cos FN s cosγ Fe s γ (4.55) cos cos s FN FN cos s s (4.56) cos γ cosγ s γ Fe Fe cosγ s γ s γ (4.57) Sol Caucy-Gree deformasyo tasörü

9 T FF B (4.58) Sağ Caucy-Gree deformasyo tasörü F F C T (4.59) Şel değştrme tasörü ( ) I C E (4.6) ( ) E tr (4.6) ( ) ( ) s cos N EN (4.6) Öre malzeme parametreler ullaılara özdeğer problem çözümü soucuda zayıf şo dalgası ızları farlı uzamazlı doğrultuları ve sıcalı artımları ç aşağıda gb elde edlmetedr.

U N (m/s) Şel 4.7. γ π /6 ç boyua zayıf şo dalgası ızıı -esede uzama ve sıcalı artımıyla değşm ( γ π /) U N (m/s) Şel 4.8. γ π /4 ç boyua zayıf şo dalgası ızıı -esede uzama ve sıcalı artımıyla değşm ( γ π /)

U N (m/s) Şel 4.9. γ π /3 ç boyua zayıf şo dalgası ızıı -esede uzama ve sıcalı artımıyla değşm ( γ π /) İ esel çeme altıda ortam ç yayılma ızları İ esel çeme altıda e doğrultusuda uzamaz csm ç ullaılaca deformasyo gradya tasörüü bleşeler ters ve evrğ aşağıda gbdr. F ta ta T F T F ta (4.63) e doğrultusuda uzamazlı ısıtı ullaılara deformasyo gradya tasörüü blmeye bleşe ta aşağıda gb elde edlr. ta ta γ Cos γ (4.64)

U N (m/s) 9 8 Şel 4.3. γ π /6 ç boyua zayıf şo dalgası ızıı -esede uzama ve sıcalı artımıyla değşm ( γ π /) ve K U N (m/s) 4 8 Şel 4.3. γ π /4 ç boyua zayıf şo dalgası ızıı -esede uzama ve sıcalı artımıyla değşm ( γ π /) ve K

3 U N (m/s) 6 4 8 Şel 4.3. γ π /3 ç boyua zayıf şo dalgası ızıı -esede uzama ve sıcalı artımıyla değşm ( γ π /) ve K 4.3. Kısıtsız Termoelast Csmler Bu bölümde büyesde ısıtlama olmaya termoelast br csm ç zayıf şo dalgası yayılma şartları celeecetr. Kısıtlı termoelast csmler ç zlee yol tap edlere tell yüzey üzerde süreszl göstere parametreler ç Taylor ser açılımı yardımıyla sıçrama fadeler belrleecetr. 4.3.. Zayıf şo dalgası areet delem elde edlmes Eş..63 le apalı formda verle Helmoltz serbest eer fosyouu dalga eşğ gersde değer dalga eşğ lersde değer etrafıda Taylor sers açılımı ψ ψ ψ F ψ ( F F ) ( ) L (4.65) olara yazılablr. Serbest eer fosyouu deformasyo gradya tasörüe göre türev ç Taylor sers açılımı se

4 ( ) ( )... ψ ψ ψ ψ F F F F F F F (4.66) olara yazılır. Serbest eer fosyouu sıcalığa göre türev Taylor sers açılımı ( ) ( )... ψ ψ ψ ψ F F F (4.67) olacatır. Eş. 4.65 Eş. 4.67 düzeleere bu parametreler dalga eşğ üzerde sıçrama fadeler aşağıda esaplaablr. ψ ψ ψ F F (4.68) ψ ψ ψ F F F F F (4.69) ψ ψ ψ F F (4.7) Eş..7 de verle. Pola Krcoff gerlme tasörüde sıçrama se B F A T (4.7) olara yazılır. Burada dördücü mertebede elastste tasörü A F F A ψ (4.7)

5 İc mertebede sıcalı-deformasyo tasörü B ψ B (4.73) F olara taımlıdır. Eş..68 de verle etrop eştlğ sıçrama formu se aşağıda gb elde edlr. [ η ] B [ F ] χ[ ] (4.74) ψ Burada χ olara taımlıdır. Serbest eer fosyou gerlme ve etropde sıçrama fadeler Eş. 4. de yere yazara aşağıda souca ulaşılablr. η (4.75) Sıcalı parametresde sıçrama se Eş. 4.75 Eş. 4.74 de yere yazılmasıyla (4.76) χ B ( s N) olara esaplaır. 4. mertebede elastste tasörü A ve c mertebede sıcalı - deformasyo tasörü B serbest eer fosyouu deformasyo gradyaıa ve sıcalığa göre türevler esaplamasıı ardıda aşağıda gb yazılablr. A mnrm λf rm F mn μf ml λe F rl KK NM mr κ NM T μ mr E MN ( ) mr NM μf mm F rn (4.77) BL κ T F (4.78) L

6 Yuarıda belrlee sıcalı parametresde sıçramaı ve A ve B tasörler Eş. 4.7 de yere yazılmasıyla aşağıda gerlme fades esaplaablr. [ TL ] λ( FmN N N ) smfl λ( tre) s N L μs ELN N N μ( FN N N ) F ( ) ( κ T ) μfrfmr sm N L κ T s N L ( F R N R s ) F L χ ml s m (4.79) So olara brc Pola Krcoff gerlmesde gerçeleşe sıçramaı Eş. 4.39 da yere yazılmasıyla termoelast ortam ç zayıf şo dalgası areet delem aşağıda gb oluşturulablr. N Qs U s (4.8) Burada c mertebede Q aust tasörü ( κ ) Q T λ μ χ T μff κ ( )I T ( FN FN) λ( tre) I μ( EN ) N I (4.8) olara yazılır. 4.3.. Zayıf şo dalgası yayılma şartları Te esel çeme altıda ortam ç yayılma ızları Te esel çeme altıda ısıtsız termoelast malzeme ç deformasyo gradya tasörü [ F ] (4.8)

7 y Dalga eşğ N x Şel 4.33. Te esel çeme altıda csmde zayıf şo dalgası yayılma doğrultusu olara yazılablr. Burada -ese boyuca uzama oraı dr. Ortamda lerleyece zayıf şo dalgası yüzey ç brm ormal vetör se aşağıda gb seçlmştr. T [ ] N (4.83) Bu deformasyo durumu ç zayıf şo dalgası ızları boyua ve ee zayıf şo dalgaları ç sırasıyla ( ) () λ ( 3 ) ( κ ) κ ( ) T T U μ (4.84) χ ( ) λ λ κ ( ) T U μ (4.85) olara elde edlr.

8 73E3 68E3 UN / (ms - ) 63E3 58E3 53E3 48E3 43E3 38E3 73 93 33 333 353 373 393 43 ( o K ) Şel 4.34. Farlı uzama oraları ç boyua dalga ızı sıcalı grafğ.... 3 ( 73K ) 75 7 65 UN / 6 55 5 45 5 5 5 3 35 4 Şel 4.35. Farlı sıcalı artımları ç boyua dalga ızı uzama grafğ K 4 K 6 K 73K ( )

9 İ esel çeme altıda ortam ç yayılma ızları Eş. 4.88 de verle deformasyo gradya tasörüde ve γ değerler ullaılara oluşturulaca deformasyo gradya tasörü le zayıf şo dalgası ızları Eş. 4.8 de verle özdeğer problem çözülmes soucuda aşağıda gb elde edlr. () 3λ ( κ ) λ ( λ μ κ ( )) T T U 3μ χ (4.86) ( ) ( ) λ ( ) λ μ κ ( ) μ T U (4.87) Burada Eş. 4.86 boyua zayıf şo dalgası ızı Eş. 4.87 se ee zayıf şo dalgası ızıdır. Üç esel çeme altıda ortam ç yayılma ızları Bu bölümde - - ve 3-eseler doğrultusuda farlı uzama altıda termoelast csm çersde yayıla zayıf şo dalgası ç yayılma ızları belrleecetr. Ele alıa deformasyo durumu ç deformasyo gradya tasörü y Dalga eşğ N x Şel 4.36. İ esel çeme altıda csmde zayıf şo dalgası yayılma doğrultusu

γ F (4.88) olara verlmetedr. Burada ve γ sırasıyla - - ve 3-eseler doğrultusuda asal uzamaları göstermetedr. Eş. 4.83 ve Eş. 4.88 Eş. 4.8 de yere yazılmasıyla aşağıda aust tasör bleşeler elde edlr. 33 Q Q Q Q (4.89) Burada ( ) ( ) ( ) ( ) 3 κ μ μ γ λ χ κ μ λ T T Q (4.9) ( ) ( ) ( ) 3 κ μ μ γ λ T Q (4.9) ( ) ( ) ( ) 33 3 κ μγ μ γ λ T Q (4.9) olara yazılablr.

Eş. 4.8 de verle özdeğer problem çözülmesyle boyua zayıf şo dalgası yayılma ızı () ( ) ( ) ( ) 3 3 κ μ γ λ χ κ μ λ T T U (4.93) ve ee zayıf şo dalgası yayılma ızı ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 3 3 κ μ μ γ λ T U U (4.94) olara buluur. - - ve 3-eseler doğrultusuda eşt uzama oraları ullaara oluşturulaca deformasyo durumu ç deformasyo gradya tasörüe γ yazara boyua ve ee zayıf şo dalgası ızları esaplaablr. () ( ) ( ) ( ) 3 3 κ μ λ χ κ μ λ T T U (4.95) ( ) ( ) ( ) 3 κ μ μ λ T U (4.96)

5. KAYMA BANDI OLUŞUMU 5.. Kayma Badları Kayma badları alümyum ve baır gb süe metaller ve alaşımlarda um ve aya gb tael ortamlarda polmer tür malzemelerde yeterl deformasyo altıda oluşablece ce alılılı yüzeylerdr. Bu yüzey ortamı ye ayırır. Oluşa yüzey üzerde ortamı deformasyou başa otalara göre farlılı gösterr. Deformasyo süreldr aca ortamı oluştura maddesel otalarda ayma badı üzerde olaları ız ve vme gb fzsel büyülülerde a sıçrama gerçeleşr. Kayma badıı oluşumu ortam ç deformasyou üst sıırı olara abul edlr. A çarpışma ve yülemelerde merm vb. csmler ortama grşlerde metaller şelledrme süreçlerde bu tür badlar deformasyo yoğulaşması olara arşımıza çımatadır. Kayma deformasyouu yoğulaşıp br bad oluşturması dış yüler altıda malzeme daa fazla muavemet göstermes arşısıda stemeye br durumdur. Bazı yüleme şartları altıda ayma badı yüzey öüde ve arasıda ala bölgeler ayma areet yapara yer değştrrler. Tell yüzeyler le bezerl göstere ayma badı yüzey celemesde zayıf şo dalgası yayılma şartları ullaılara durağa zayıf şo dalgası le modelleme yapılacatır. y v v Kayma badı düzlem x Büyü deformasyo Şel 5.. Kayma badı düzlem

3 Bu aşamada zayıf şo dalgası yayılma ızı ve aust tasör ç aşağıda fade geçerl olacatır. U veya Det Q (5.) N Yapıla sayısal esaplamalarda öce bölümlerde ullaıldığı gb malzeme elastste modülü MPa olara ullaılmıştır. Malzeme sııştırılablr olup Posso 3 oraı 485 dr. Hacmsel ısıl geleşme atsayısı / K özgül ısı c v 73 J/(g K) ve yoğulu g/m 3 olara alımıştır. 5.. Termomea Kısıtlı Csmde Kayma Badı Oluşumu Bu bölümde yapıla ayma badı aalzde Bölüm 4. de verle sıcalığa bağlı ısıt fosyou ullaılmıştır. Bua göre ( ) Fe Fe ξ (5.) Burada ξ3 ve 73 K olara alımıştır. Sıcalığa bağlı uzaya lfler doğrultusuda brm vetör e ve dalga brm ormal vetörü N Eş. 4.76 da verlmetedr. 5... Te esel çeme altıda ısıtlı csm Şel 5. de gösterle te esel çeme altıda termomea ısıtlı csm ç ayma badı oluşumu -ese doğrultusuda sııştırma deformasyo durumuda gerçeleşmetedr. Eş. 4.77 le verle bu deformasyo durumu ullaılara oluşturulaca aust tasör ve areet delem br özdeğer problem olara çözümü soucuda dalga yayılma ızları buluablmetedr. Bu ortam ç

4 N γ e Şel 5.. e doğrultusuda ısıtlı termoelast malzeme esaplaa boyua ve ee dalga ızlarıı dalga yayılma doğrultusu açısı le değşm Şel 5.3 ve Şel 5.4 de görülmetedr. Burada fber doğrultu açısı γ π / 4 ve sıcalı artımı K olara seçlmştr. Kayma badı oluşumuu fade ede ve Eş. 5. de verle dalga yayılma ızıı sıfıra yalaştığı durum dalga yayılma doğrultusuu fber doğrulusua d olduğu durumda 9537 ve 59 uzama oraı değerlerde elde edlmetedr. Kayma badı gerçeleştğ ada fber doğrultu açıları γ 53 74 ve γ 7 5 olara esaplamatadır. ( m s) U N / 9 8 7 6 5 ( ) Şel 5.3. γ π /4 ve K e boyua dalga ızı dalga yayılma doğrultusu grafğ

5 ( m s) U N / 99 98 97 96 95 ( ) Şel 5.4. γ π /4 ve K e ee dalga ızı dalga yayılma doğrultusu grafğ 5... İ esel çeme altıda ısıtlı csm Bölüm 4.. de yayılma şartları celee esel çeme altıda termomea ısıtlı csm ç deformasyo durumu Eş. 4.89 le taımlamıştır. Bu deformasyo durumuda -ese ve -ese doğrultusuda uzama oraları brbrde 65 Ee dalga ç ö 67 Boyua dalga ç ö 85 Şel 5.5. İ esel çeme ç rt uzama oraları

6 bağımsızdır. Ortamda bulua ısıt edeyle çeme ets altıda csm ayrıca ayma deformasyou yapacatır. Lf doğrultu açısı γ π / 4 ve sıcalı artımı K e esaplaa ayma badı oluşturaca rt uzama değerler Şel 5.5 de gösterlmetedr. -ese doğrultusuda uzama oraı 85 e -ese doğrultusuda uzama oraları 65 ve 67 olara esaplamıştır. 5.3. Saf Mea Kısıtlı Csmde Kayma Badı Oluşumu 5.3.. Te esel çeme altıda ısıtlı csm e brm vetörü doğrultusuda uzamaz ola csmde te esel basıç ets altıda ayma badı oluşmatadır. Eş. 4.38 le verle deformasyo durumua göre - esede uzama ets altıda csm e doğrultuda uzamazlı ısıtı edeyle ayma deformasyou da yapacatır. Bu deformasyo gradya tasörü le e ve N brm vetörler areet delemde yere yazılmasıda elde edle özdeğer ( m s) U N / K K K 3 K 4 K Şel 5.6. Boyua dalga ızı uzama oraı değşm

7 problem çözümü soucuda ızlar ve durağa zayıf şo dalgası oluşturaca uzama değerler elde edleblr. Şel 5.6 da fber doğrultu açısı γ π / 4 e farlı sıcalı artımları ç fber doğrultusua d doğrultuda yayıla boyua zayıf şo dalga ızıı uzama oraıyla değşm gösterlmetedr. Şel 5.7 de se rt uzama oraları gösterlmetedr. 5.3.. İ esel çeme altıda ısıtlı csm -ese le γ açısı yapaca şelde yerleştrlmş uzamaz lfler le e doğrultusuda uzamazlı ısıtıa sap ola termoelast ortam Şel 5.8 de gösterlmetedr. Bu ortam ç deformasyo durumu Eş. 4.5 de uzamazlı doğrultusu e ve dalga yayılma doğrultusu N se Eş. 4.39 da verldğ gbdr. -ese doğrultusuda çemeyle adar uzatıla uzamaz lflere sap termoelast malzeme -ese doğrultusuda bu uzama değere bağlı olara ısalacatır. cr γ 75 γ 6 γ 45 γ 3 ( K ) Şel 5.7. Krt uzama oraı sıcalı değşm

8 Uzamaz lfler deformasyo e γ Fe Referas oumu Malzeme oumu Şel 5.8. e doğrultusuda uzamaz lflerle uvvetledrlmş termoelast csm Br doğrultuda uzamaz termoelast malzeme ç geçerl ola Eş. 4.5 de verle ısıt fosyoua göre aca tp dalga yayılma durumu oluşablr. Bularda brcs e N e N ve Fe s Fe s (5.3) durumudur. Bu zayıf şo dalgası uzamaz lflere d doğrultuda lerleye boyua zayıf şo dalgasıdır (Şel 5.9). Ayı doğrultuda lerleye ee şo dalgası uzamaz lfler varlığı edeyle oluşmayacatır. -ese le γ π/4 derece açı yapa lf ales bulua termoelast ortamda yayılaca boyua zayıf şo dalgası ızlarıı - ese doğrultusuda uzama oraıyla değşm farlı sıcalı değerler ç Şel 5. da gösterlmetedr. Uzamaz lfler deformasyo s N e γ s Dalga eşğ Fe Dalga eşğ Referas oumu Malzeme oumu Şel 5.9. Uzamaz lflerle uvvetledrlmş ola csmde boyua şo dalgası yayılımı

9 935K Yayılma ızı (m/s) 8 6 4 335K 335K 4 6 8 4 6 doğrultusuda uzama Şel 5.. Boyua zayıf şo dalgası yayılma ızıı uzama le değşm Boyua zayıf şo dalgası ızıda -ese doğrultusuda uzamaı artmasıyla br azalma görülmetedr. Masmum ız deformasyou olmadığı durum ç elde edlmetedr. Şel 5. da gösterle grafte boyua zayıf şo dalgası ç esaplaa aust tasörü poztf özdeğerler -ese doğrultusuda uzama le değşm farlı sıcalılar ç görülmetedr. Kayma badı oluşturaca rt 5E7 Aust tasör özdeğer ( UN^) E7 5E7 E7 5E6 935K 335K 335K 335K E 3 4 5 doğrultusuda uzama Şel 5.. Sıfırda büyü özdeğerler uzama le değşm

3 Krt uzama 48 46 44 4 4 398 47 @ 935K 435 @ 935K 39984 @ 935K 396 394 9 95 3 35 3 35 3 35 Sıcalı (ºK) Şel 5.. Kayma badı oluşturaca rt uzama değerler (γ π /4) 3963 @ 935K uzama değerler ve buları sıcalı le değşm Şel 5. de gösterlmetedr. Eş. 4.5 de verle ısıt fosyouu sağlaya c durumda se e N e // N ve Fe s Fe s (5.4) geçerldr. Burada oluşaca dalga türü se uzamaz lfler doğrultusuda yayıla ee zayıf şo dalgasıdır. Ayı doğrultuda yayıla boyua şo dalgası uzamaz lfler varlığıda dolayı oluşamayacatır. Ee zayıf şo dalgası tp ç e yapıla esaplama soucu bulua aust tasörü özdeğerler Şel 5.4 de gösterlmştr. Bu öre malzemede özdeğerlerde taes sıfırda üçü ve br taes de sıfıra eşttr. deformasyo s e N γ s Fe Dalga eşğ Referas oumu Dalga eşğ Malzeme oumu Şel 5.3. Uzamaz lflerle uvvetledrlmş ola csmde ee şo dalgası yayılımı

3 Aust tasör özdeğer ( UN^) E5 E -E5-4E5-6E5-8E5 3.özdeğer λ 3.özdeğer λ -6656.özdeğer λ < -E6 7 7 doğrultusuda uzama Şel 5.4. Eş. 5.4 de verle şartlarda yayıla ee zayıf şo dalgası ç özdeğerler uzama le değşm ( - ) 5.4. Kısıtsız Termoelast Csmde Kayma Badı Oluşumu Asal eseler doğrultusuda uzama yapa ısıtsız termoelast csm ç Eş. 4.8 le verle aust tasör Eş. 4.89 da gb öşege matrs oluşturmatadır. Bu durumda aust tasörü determatı detq Q Q Q (5.5) 33 olara yazılablr. Herag br deformasyo durumuda ayma badı oluşumu aıda geçerl ola Eş. 5. yuarıda fade yardımıyla esaplaacatır. 5.4.. Te esel çeme altıda ısıtlı csm Eş. 4.8 le verle deformasyo durumu ç esaplaa rt uzama oraları λ c μ μ λ c μ μ (5.6)

3 3 μ λ μ μ λ c (5.7) olara yazılablr. Burada ( ) χμ κ μ λ μ T c ve ( ) μ κ μ T c dr. 5.4.. İ esel çeme altıda ısıtlı csm - ve -eselerde çeme oralarıı ve le gösterldğ 3-esede uzamaı e eşt olduğu deformasyo durumu ç Eş. 5. çözümü soucuda aşağıda delem elde edlr. ( ) ( ) μ κ μ λ μ λ T (5.8) Bu eştl rt uzamaları üzerde buluduğu br çember eştlğdr. ve uzama oralarıı brbrlere eşt olduğu durum ç ayma badı oluşturaca rt uzama oraları aşağıda gb buluur. μ μ λ μ μ λ c c (5.9) μ λ μ μ λ c (5.)

33 (a) (b) Şel 5.5. İ esel çeme altıda csm ç a) boyua dalga ızı grafğ b) rt uzama oraı çember 3 λ c μ μ λ μ (5.) 5.4.3. Üç esel çeme altıda ısıtlı csm Eş. 4.88 de verle deformasyo gradya tasörü ve Eş. 4.83 de verle dalga yayılma doğrultusu le oluşturulaca aust tasörü Eş. 5.5 de yere yazılmasıyla esaplaaca determatı sıfıra eşt olduğu durumda uzama oraları ç üç adet eştl elde edlr. Bular a b γ c 3 (5.) le gösterleblr. Burada yer ala sabtler

34 ( ) ( ) 3 3 3 χ κ μ λ κ μ λ T T a (5.3) ( ) λ κ μ λ 3 T c b (5.4) ( ) μ λ κ μ λ 3 T b a (5.5) ( ) λ κ μ λ 3 T c (5.6) olara yazılablr. Eş. 5. uzama oraı uzayıda br elpsod taımlar ve bu elpsod üzerde sıfırda büyü değerler rt uzama oralarıa arşılı gelmetedr. Üç asal esede de eşt uzama yapa br csm ç esaplaaca rt uzama oraları se Eş. 5.7 ve Eş. 5.8 de gbdr. 3 3 μ μ λ μ μ λ c c (5.7)

35 Şel 5.6. Üç esel çeme ç rt uzama oraı elpsod 3 3 λ c μ μ 3 λ μ (5.8) 5 5 5 4 6 8 Şel 5.7. Krt uzama oraıı sıcalı artımı le değşm te esel çeme esel eşt çeme üç esel eşt çeme