Farklı Varyans Var(u X ) = Var(u ) = E(u ) = σ Eşt Varyans Y X Farklı Varyans Hata Var(u X ) = Var(u ) = E(u ) = σ Farklı Varyans Zaman
Farklı Varyans le Karşılaşılan Durumlar Kest Verlernde. Kar dağıtım modellernde. Sektör modellernde. Ücret modellernde. Deneme - Yanılma modellernde. 3 Farklı Varyansı Gözardı Etmenn Sonuçlar Tahmnc Özellklerne etks. Tahmncler sapmasız ve tutarlıdırlar. ancak etkn değldrler. Hpotez testler üzerne etks. Tahmncler mnmum varyanslı olma özellklern kaybettklernden. bunlara bağlı olarak elde edlen t ve F statstklerne ve elde edlen güven aralıklarına güvenlemeyecektr. Öngörümleme üzerne etks. Önceden değerler sapmalı olacaktır. 4
Parametre Tahmnclernn Özellkler. Sapmasızlık Anakütle regresyon model Y = β + β X + ε 0 Sapma neden le ε nn beklenen değer sıfırdan farklı se. Y = β + β X+ ε o 5 β = β + Parametre Tahmnclernn Özellkler. Sapmasızlık ( X X)( ε ε ) ( X X) β = Y β X Y = β0 + βx+ ε 0 ( ) E( β0) = E β0 + βx + ε βx = β + β X+ E( ε) E( β )X 0 ( X X)( ε ε) ( X X) E( β ) β E = + = β = β0 + βx βx 6 =β 0
Parametre Tahmnclernn Özellkler. Etknlk Y = β + β X + ε 0 Modelde sabt varyans varsayımının geçerl olmaması durumunda parametre tahmncler β 0* ve β * olsun. β 0* ve β * ın varyanslarınn doğrusal sapmasız tahmn yöntem le belrlenmes: Doğrusallık şartı gereğ: β n * = ay = 7. Etknlk * β n beklenen değer ve varyansı: * ( β ) ( β 0 + β ) β + β E = E a Y = a X = a a X )Y E(Y ) = ε * ( ) = ( ) =E a [ Y E(Y )] Var β E a Y E a Y 0 )E( ε ) = σ ) E( ε, ε ) = 0 j Var * ( β ) [ ] = E aε =E aε + E aεa jεj < j Var ( β ) = a σ 8 *
3. Tutarlılık $, plmθ$ = θ θ θ nn tutarlı tahmncsdr. β = β + ( X X) ( X X) ε plmβ = β + plm ( X X) ( X X) (, ε ) = Cov( X, ε ) Cov X 0 ( ) ε ( X X)( ) ( X X) ε ε ε = = n n X X ε = 0 9 3. Tutarlılık 0 plmβ = β+ plm = β ( X X ) 0
Farklı Varyansın Tesbt Edlmes Grafk Yöntemle. Sıra Korelasyonu test le. Goldfeld-Quandt test le. Breusch Pagan test le. Glejser Test le. Whte test le. Lagrange çarpanları test le Ramsey Reset test le Park test le. Grafk Yöntem LMAAS 5. 5.0 4.8 4.6 4.4 4. 4.0 3.8 3.6 0 0 0 30 40 50 YIL
Grafk Yöntem E.7.6.5.4.3.. 0.0 -. 0 0 0 30 40 50 3YIL Grafk Yöntem Standardzed Resdual 4 3 0 - - -3-4 0 0 0 30 40 4 50
Sıra Korelasyonu Test.Aşama H 0 : ρ = 0 H : ρ 0.Aşama α =? s.d.=? t r n s hes = = rs Σd r = 6 n(n ) s =? t tab =?? t hes >t tab H 0 hpotez reddedleblr 5 Sıra Korelasyonu Test Y 75 88 95 5 5 7 65 7 83 5 X 80 00 0 40 60 80 00 0 40 60 e X s e s d d 7.0545 4.709-3.6364.08-4.37-7.67 4.988-3.3636-7.709 8.9455 3 4 5 6 7 8 9 0 5 3 7 8 9 4 6 0-4 - -3-3 -3 3 7 3 0 6 9 9 9 9 49 9 0 Σd = 6
= 6 Sıra Korelasyonu Test Σd n(n ) rs =.Aşama H 0 : ρ = 0 H : ρ 0.Aşama α = 0.05 s.d.= 8 t hes 6 0(0 ) = 0.3 t tab =.306 0.3 0 = = 0.9593 (0.3) t hes <t tab H 0 hpotez reddedlemez. 7 Y X s X 3... X k Goldfeld-Quandt Test Y = b + b X + b 3 X 3 +... + b k X k + u I.Alt Örnek n Çıkarılan Gözlemler Y I = b + b X + b 3 X 3 +... + b k X k + u Σe =? n(/6) < c < n(/3) II.Alt Örnek n Y II = b + b X + b 3 X 3 +... + b k X k + u Σe =? 8
.Aşama Goldfeld-Quandt Test H 0 : Eşt Varyans H : Farklı Varyans.Aşama α =? f = f Σe Σe Fhes = = (n c k) = =?? F tab =? F hes >F tab H 0 hpotez reddedleblr 9 Goldfeld-Quandt Test lnmaas = b + b Yıl + b 3 Yıl Dependent Varable: lnmaas Included observatons: Varable Coeffcent Std. Error t-statstc Prob. C 3.809365 0.04338 9.504 0.0000 Yıl 0.043853 0.00489 9.08645 0.0000 Yıl -0.00067 0.000-5.90657 0.0000 R-squared 0.53679 Mean dependent var 4.3540 Adjusted R-squared 0.53943 S.D. dependent var 0.305 S.E. of regresson 0.0696 Akake nfo crteron -0.9940 Sum squared resd 9.380504 Schwarz crteron -0.5358 Log lkelhood 36.045 F-statstc 6.583 Durbn-Watson stat.6898 Prob(F-statstc) 0.000000 0
.alt örnek sonuçları: Goldfeld-Quandt Test Dependent Varable: lnmaas Sample: 75 Included observatons: 75 Varable Coeffcent Std. Errort-Statstc Prob. C 3.95406 0.059538 66.434 0.0000 Yıl -0.0930 0.009 -.043349 0.3003 Yıl 0.004375 0.00600.73399 0.0079 R-squared 0.46565 Mean dependent var 4.03098 Adjusted R-squared 0.45078 S.D. dependent var 0.67536 S.E. of regresson 0.460 Akake nfo crteron -.9538 Sum squared resd.0996 Schwarz crteron -.069 Log lkelhood 5.57443 F-statstc 3.36845 Durbn-Watson stat.807774 Prob(F-statstc) 0.000000 Goldfeld-Quandt Test.Altörnek Sonuçları: Dependent Varable: lnmaas Sample: 48 Included observatons: 75 Varable Coeffcent Std. Error t-statstc Prob. C 4.007507 0.976346 4.04598 0.000 Yıl 0.0998 0.060603 0.3883 0.743 Yıl -0.0000 0.00090-0.0443 0.94 R-squared 0.07865 Mean dependent var 4.5399 Adjusted R-squared 0.05303 S.D. dependent var 0.375 S.E. of regresson 0.496 Akake nfo crteron -0.06594 Sum squared resd 3.64376 Schwarz crteron -0.03895 Log lkelhood 6.99788 F-statstc 3.0707 Durbn-Watson stat.684803 Prob(F-statstc) 0.05446
.Aşama.Aşama Goldfeld-Quandt Test H 0 : Eşt Varyans H : Farklı Varyans α = 0.05 ( 7.3) f = f =.43<F tab <.53 = 7 Σe Σe Fhes = = F hes >F tab? 3.6438 = = 3.830.099 H 0 hpotez reddedleblr 3 Breusch Pagan Test Y = b + b X + b 3 X 3 + + b k X k +u ().Aşama () Nolu denklem EKKY le tahmn edlp. e. e...e n örnek hata termler hesaplanır. Bu e lerden hareketle e n σ = hesaplanır..aşama p e = σ p = a + a Z + a 3 Z 3 + + a m Z m +v () RBD =? 4
Breusch Pagan Test φ = (RBD) φ χm 5.Aşama H 0 : a = a 3 =..=a m = 0 (Eşt varyans) H : En az br sıfırdan farklıdır. (Farklı varyans) χ > χ H 0 reddedlr. hes tab 5 Breusch Pagan Test Yıllar GSMH IT et Yıllar GSMH IT et 97 6.4000.7000 5.37850 98 69.4600 8.933000 -.50700 97 0.69800.563000 4.5890 98 63.0400 8.843000 0.70 973 6.0800.086000 3.558590 983 59.60700 9.35000.44450 974 35.97600 3.778000.56650 984 58.4000 0.75700 3.99440 975 44.86500 4.739000.0660 985 65.00800.34300.06040 976 5.3300 5.9000-0.374870 986 7.8600.0500-0.34750 977 58.6000 5.796000 -.7900 987 83.75300 4.5800-0.30390 978 64.86500 4.599000-4.64450 988 87.35000 4.33500 -.0760 979 88.8000 5.069000-0.78770 989 03.7470 5.80000-4.8670 980 67.34400 7.909000 -.0990 990 45.380.30000-9.89460 IT: İthalat IT =.995+ 0.65GSMH e =.5 6
Breusch Pagan Test.Aşama e.5 σ = = = 5.5575 n 0.Aşama p e = σ p 0.045 p 0.08977 0.00683 0.064343 0.004446 0.4876 0.000964.9404 0.055765 0.66704.384578 0.85573 0.54064.6343.80939 0.8038 9.764475 0.575 0.94494 0.080743 7 Breusch Pagan Test p = 0.0599 + 0.065GSMH e = 86.9 R = 0.050 RBD = 4.59 φ = (RBD) =.95 χ = m χ =,0.05 3.84 5.Aşama H 0 : a = a 3 =..=a m = 0 (Eşt varyans) H : En az br sıfırdan farklıdır. (Farklı varyans) χ < χ H 0 reddedlemez. hes tab 8
Glejser Farklı Varyans Test.Aşama: Y le X (veya X ler) arasındak lşk tahmn edlerek, lgl örnek hata termler e ler bulunur..aşama: σ le lşkl olduğu düşünülen bağımsız değşken çn aşağıdak modeller denenmektedr. e = a + ax + v e = a + a X + v e = a + ax + v e = a + a + v X e = a + a + v X e = a + a X + v 9 Glejser Farklı Varyans Test : Korelasyon katsayısı ve a ların standat hata değerlerne göre en uyun model seçlp H 0 : a = 0 H : a 0 test edlr. : H 0 kabul edlrse eşt varyans gerçeklemştr sonucuna varılır. 30
.Aşama: Glejser Farklı Varyans Test Yıllar GSMH IT et Yıllar GSMH IT et 97 6.4000.7000 5.37850 98 69.4600 8.933000 -.50700 97 0.69800.563000 4.5890 98 63.0400 8.843000 0.70 973 6.0800.086000 3.558590 983 59.60700 9.35000.44450 974 35.97600 3.778000.56650 984 58.4000 0.75700 3.99440 975 44.86500 4.739000.0660 985 65.00800.34300.06040 976 5.3300 5.9000-0.374870 986 7.8600.0500-0.34750 977 58.6000 5.796000 -.7900 987 83.75300 4.5800-0.30390 978 64.86500 4.599000-4.64450 988 87.35000 4.33500 -.0760 979 88.8000 5.069000-0.78770 989 03.7470 5.80000-4.8670 980 67.34400 7.909000 -.0990 990 45.380.30000-9.89460 IT: İthalat IT =.995+ 0.65GSMH e =.5 3 Glejser Farklı Varyans Test.Aşama: e = 0.5358 + 0.07GSMH t (0.5795) (.35) prob (0.5694) (0.058) : H 0 : a = 0 H : a 0 : Prob = 0.058 > 0.05 H 0 reddedlemez. Eşt varyans gerçekleşmştr. 3
Whte Test Y = b + b X + b 3 X 3 + u Whte Test çn yardımcı regresyon: u = a + a X + a 3 X 3 + a 4 X + a 5 X 3 + a 6 X X 3 + v R y =? Whte Test Aşamaları:.Aşama H 0 : a = a 3 = a 4 = a 5 = a 6 =0 H : a lern en az br tanes anlamlıdır.aşama α =? s.d.= k- χ tab=? W= n.r y =? W > χ tab H 0 hpotez reddedleblr 33 Whte Test lnmaaş = 3.8094 + 0.0439yıl - 0.0006 yıl Whte Test çn yardımcı regresyon: e = -0.008 + 0.000 Yıl + 0.0007 Yıl - 0.00003 Yıl 3 + 0.0000004Yıl 4 R y = 0.090.Aşama H 0 : a = a 3 = a 4 = a 5 =0 ; H : a lern en az br tanes anlamlıdır.aşama α = 0.05 s.d.=5-=4 χ tab=9.4877 W= n.r y = (0.090)= 0.00 W > χ tab H 0 hpotez reddedleblr 34
Lagrange Çarpanları(LM) Test Y = b + b X + b 3 X 3 + u LM test çn yardımcı regresyon: e = a * + b Ŷ + v LM Test Aşamaları:.Aşama H 0 : b = 0 H : b 0.Aşama α =? s.d.= k- * R y =? χ tab=? LM= n.r y =? LM > χ tab H 0 hpotez reddedleblr 35 Lagrange Çarpanları(LM) Test lnmaaş = 3.8094 + 0.0439yıl - 0.0006 yıl LM Test çn yardımcı regresyon: e = -0.736 + 0.0730 lnmaas-tah R y = 0.0537.Aşama H 0 : b = 0 H : b 0.Aşama α = 0.05 s.d.=-= χ tab=3.8446 LM= n.r y = (0.0537)=.94 LM > χ tab H 0 hpotez reddedleblr 36
Ramsey Reset Test Y = b + b X + b 3 X 3 +..+b k X k + u.aşama: Ramsey Reset test çn yardımcı regresyon: e = a + a Yˆ + a Yˆ + a Y ˆ +... + v 3 4 3 4.Aşama: H 0 : a = 0 (Eşt Varyans) H : a 0 (Farklı Varyans) Hpotezler α hata payı le t tablosundan bulunacak değer le karşılaştırılır. : t hes > t tab H 0 reddedlr. 37.Aşama: Ramsey Reset Test IT =.995+ 0.65GSMH e = 0.7 0.003Yˆ + 0.0003Yˆ 3 t (-0.) (-0.056) (0.663) prob (0.904) (0.955) (0.870).Aşama: H 0 : a = 0 (Eşt Varyans) H : a 0 (Farklı Varyans) 38
Ramsey Reset Test : t tab = t n-k,α = t 0-3, 0.05 =.0 : t hesap = -0.056 < t tab =.0 H o reddedlemez t hesap = 0.663 < t tab =.0 H 0 reddedlemez. 39 σ = σ Xe ( ) β v Park Test ln σ = lnσ + β ln X + v σ blnmedğnden bunun yerne hata kareler toplamı e kullanılır. ( ) ln e = lnσ + β ln X + v lnσ ( ) = α ln e = α + β ln X + v 40
.Aşama: ( ) Park Test ln e = α + β ln X + v.aşama: H 0 : β = 0 (Eşt Varyans) H 0 : β 0 (Farklı Varyans) : t hes > t tab H 0 reddedlr. 4.Aşama: ( ) Park Test ln e = 9.968 +.446ln X t (-.867) (.869) prob (0.00) (0.007).Aşama: H 0 : β = 0 (Eşt Varyans) H 0 : β 0 (Farklı Varyans) : t tab = t 8, 0.0 =.878 t hes < t tab H 0 reddedlemez. 4
UYGULAMA: 3 alenn yıllık gıda harcamaları (Y) ve aylık ortalama gelrler (X) aşağıda verlmştr. Ale Sayısı Y X u Ale Sayısı Y X u..8-0.75464 7.5 -.54 3 3.5-0.30 8 5.8 7..7447 3 4. 3.5 -.53666 9 8. 8..403 4 3.5 8. -0.8088 0 4.3 6. 0.4933 5 4. 5.9 0.46833 9.4 6. 3.64 6 6.3 5.3 0.6 5. 5. -3.46933 7 4.6 9.7-0.0847 3.4 8. -.9088 8 8.8 6.4-0.070 4 8. 3.4.4884 9 7.3 8. 0.4856 5 4.9 5.6.435 0 4.4 6.7 0.4678 6 3 4. -0.30556 6.7.3.6478 7 4.6 8.8 0.44 3.5 4.7 0.069 8.9 3.5 -.30 3 6.8 6.3 -.04505 9.6.4 -.76094 4 7..3-0.6443 30 3.9 4.3 0.56938 5 3. 6. -0.688 3 7.9.5373 6.4 3. -0.6549 3. 6.5.3048 43 UYGULAMA: Y = β 0 + β X + ε model çn sabt varyans varsayımının geçerl olup olmadığını Grafk Yöntemle. Sıra Korelasyonu test le. Goldfeld-Quandt test le. Breusch Pagan test le. Glejser Test le. Whte test le. Lagrange çarpanları test le Ramsey Reset test le Park test le. 44
Grafk Yöntem 45 Sıra Korelasyonu Test.Aşama H 0 : ρ = 0 H : ρ 0.Aşama α = 0.05 s.d.=? t r n s hes = = rs Σd r = 6 n(n ) s =?? t tab =? t hes >t tab H 0 hpotez reddedleblr 46
= 6 Sıra Korelasyonu Test Σd n(n ) r 6 s 3630 = 3(3 ).Aşama H 0 : ρ = 0 H : ρ 0.Aşama α = 0.05 s.d.= 30 t tab =.04 t hes 0.3347 3 = (0.3347) =.9454 t hes <t tab H 0 hpotez reddedlemez. 47 Goldfeld-Quandt Test c = 3 / 5 = 6.4 6 gözlem atılacak. (4.-9. gözlemler) 3 gözlemden oluşan k grup çn modeller.-3. gözlemler çn Y = 0.5096 + 0.6078X e = 3.60 0.-3. gözlemler çn Y = 3.853 + 0.73X e = 49.963 48
.Aşama Goldfeld-Quandt Test H 0 : Eşt Varyans H : Farklı Varyans.Aşama α = 0.05 Σe 49.963 F = = = 3.806 e 3.60 hes Σ (3 6 * ) f = f = = F tab =.8 F hes >F tab H 0 hpotez reddedleblr 49 Breusch Pagan Test Y =.58 + 0.507X e = 69.5490.Aşama.Aşama e 69.5490 σ = = =.734 n 3 p e = σ 50
Breusch Pagan Test RBD = 3. p = 0.046+ 0.0850X e = 46.66 R = 0.96 φ = (RBD) = 6.56 χ = m χ =,0.05 3.84 5.Aşama H 0 : a = a 3 =..=a m = 0 (Eşt varyans) H : En az br sıfırdan farklıdır. (Farklı varyans) χ > χ H 0 reddedleblr. hes tab 5 Glejser Farklı Varyans Test.Aşama: e = 0.5669 + 0.057X t (.0565) (.599).Aşama: H 0 : a = 0 H : a 0 : α = 0.05 n k = 3 =30 t tab =.04 : t hes > t tab H 0 reddedleblr. Eşt varyans gerçekleşmemştr. 5
Y =.58 + 0.507X Whte Test Whte Test çn yardımcı regresyon: e = -0.6909 + 0.3498X 0.0058X R y = 0.96.Aşama H 0 : a = a 3 = 0 ; H : a lern en az br tanes anlamlıdır.aşama α = 0.05 s.d.=3-= χ tab=5.99 W= n.r y = 3(0.96) = 7.347 W > χ tab H 0 hpotez reddedleblr 53 Lagrange Çarpanları(LM) Test Y =.58 + 0.507X LM Test çn yardımcı regresyon: e = 0.47 + 0.060 Y R y = 0.0.Aşama H 0 : b = 0 H : b 0.Aşama α = 0.05 s.d.=-= χ tab=3.8446 LM= n.r y = 3(0.0) = 6.43 LM > χ tab H 0 hpotez reddedleblr 54
.Aşama: Ramsey Reset Test Y =.58 + 0.507X e =.3647 + 0.533Yˆ 0.064Yˆ 3 t (-.396) (.6) (-.654) prob (0.73) (0.7) (0.08).Aşama: H 0 : a = 0 (Eşt Varyans) H : a 0 (Farklı Varyans) 55 Ramsey Reset Test : t tab = t n-k,α = t 3-3, 0.05 =.045 : t hesap =.6 < t tab =.045 t hesap = -.654 < t tab =.045 H 0 reddedlemez. 56
.Aşama: ( ) Park Test ln e =.9+ 0.705ln X t (-.765) (.33) prob (0.088) (0.997).Aşama: H 0 : β = 0 (Eşt Varyans) H 0 : β 0 (Farklı Varyans) : t tab = t 3-=30, 0.05 =.04 t hes < t tab H 0 reddedlemez. 57 X σ blnmemes durumu Y = b + b X + u σ = σ X Y X u = b + b + X X X X * Y = b + b + u * * Y = b + b X + u σ = σ X Y X u = b + b X + * * * * Y = b + bx + u X X
UYGULAMA: 3 alenn yıllık gıda harcamaları (Y) ve aylık ortalama gelrler (X) aşağıda verlmştr. Ale Sayısı Y X u Ale Sayısı Y X u..8-0.75464 7.5 -.54 3 3.5-0.30 8 5.8 7..7447 3 4. 3.5 -.53666 9 8. 8..403 4 3.5 8. -0.8088 0 4.3 6. 0.4933 5 4. 5.9 0.46833 9.4 6. 3.64 6 6.3 5.3 0.6 5. 5. -3.46933 7 4.6 9.7-0.0847 3.4 8. -.9088 8 8.8 6.4-0.070 4 8. 3.4.4884 9 7.3 8. 0.4856 5 4.9 5.6.435 0 4.4 6.7 0.4678 6 3 4. -0.30556 6.7.3.6478 7 4.6 8.8 0.44 3.5 4.7 0.069 8.9 3.5 -.30 3 6.8 6.3 -.04505 9.6.4 -.76094 4 7..3-0.6443 30 3.9 4.3 0.56938 5 3. 6. -0.688 3 7.9.5373 6.4 3. -0.6549 3. 6.5.3048 59.HAL: LOGARİTMİK DÖNÜŞÜMLER ( ) ln Y = 0.546 + 0.574ln X t (.569) (8.077) prob (0.7) (0.0000) ( ) R = 0.6866 ln e = 0.047 + 0.03ln Y R = 0.078.Aşama H 0 : b = 0 H : b 0.Aşama α = 0.05 s.d.=-= χ tab =3.8446 LM= n.r y = 3(0.078) = 0.5696 LM < χ tab H 0 hpotez reddedlemez.
.HAL: E( u ) = σ = σ X ( ) Y X =.77 X + 0.365 t (5.5) (8.09) prob (0.000) (0.000) e = 0.08+ 0.097Y R = 0.4694 R = 0.0509.Aşama H 0 : b = 0 H : b 0.Aşama α = 0.05 s.d.=-= χ tab =3.8446 LM= n.r y = 3(0.0509) =.688 LM < χ tab H 0 hpotez reddedlemez. 3.HAL: E( u ) = σ = σ X ( ) Y X =.46 X + 8.344 X t (-4.686) (5.337) prob (0.00) (0.000) R = 0.7938 e =.748 + 0.0749Y.Aşama H 0 : b = 0 H : b 0 R = 0.365.Aşama α = 0.05 s.d.=-= χ tab =3.8446 LM= n.r y = 3(0.365) = 7.568 LM > χ tab H 0 hpotez reddedleblr.
E u = σ = σ E Y 5.HAL: ( ) ( ) Y E( Y) =.839 + 0.9 E Y X E Y ( ) ( ( ) ) t (5.630) (7.467) prob (0.0000) (0.0000) R = 0.044 e = 0.0439 + 0.8Y R = 0.090.Aşama H 0 : b = 0 H : b 0.Aşama α = 0.05 s.d.=-= χ tab =3.8446 LM= n.r y = 3(0.090) = 0.98 LM < χ tab H 0 hpotez reddedlemez.