ÖZEL EGE LİSESİ SİMEDYAN ÜÇGENİ VE NOKTADAŞLIK

ÖZEL EGE LİSESİ SİMEDYAN ÜÇGENİ VE NOKTADAŞLIK HAZIRLAYAN ÖĞRENCİLER: Barış BALKAN Meryem Nilsu ÇETİN DANIŞMAN ÖĞRETMEN: Gizem GÜNEL AÇIKSÖZ İZMİR 2016

İçindekiler Sayfa 1. Giriş... 2 1.1 Projenin Amacı.... 2 1.2 Ön Bilgiler..... 2 2. Yöntem.... 5 3. Bulgular.... 5 4. Sonuçlar ve Tartışma..... 10 5. Öneriler.... 10 Kaynaklar 10 1

1. Giriş Üçgenler eski zamanlardan beri insanlarda merak uyandırmayı başarmış ve birçok araştırmaya konu olmuştur. Üçgende özel noktalar ile ilgili oldukça fazla sayıda çalışma bulunmaktadır. Üçgenlerin Ağırlık Merkezi (G), Diklik Merkezi (H), İç Teğet Çemberinin Merkezi (I) gibi birçok özel nokta üzerine araştırmalar kaydedilmiştir. Biz de bu çalışmamızda üçgenin özel noktalarından biri olup, matematik olimpiyat dünyası için önemli bir konu olan ama diğer özel noktalara göre adına daha az aşina olduğumuz Simedyan Noktası ve Simedyan Doğruları üzerinde çalıştık. Bir ABC üçgeninin bir köşesinden geçen kenarortay doğrusunun o köşeden geçen açıortay doğrusuna göre simetriğine o köşeye ait simedyanı adı verilir ([1]). Bir üçgende simedyanlar tek bir noktada kesişir. Bu nokta üçgenin simedyan noktası olarak adlandırılır ([1]). Simedyan noktası aynı zamanda Grebe Noktası, Lemoine Noktası olarak da isimlendirilir ([2]). Bu isimler ise 1873 de konuyla ilgili çalışma yapan ve bu noktanın varlığını ispatlayan Fransız matematikçi Émile Lemoine ve 1847 de başka bir çalışma yapmış olan Ernst Wilhelm Grebe den gelmektedir. Konuyla ilgili çok fazla ispat ortaya koyamamasına rağmen Simon Antoine Jean L'Huilier da 1809 da simedyanlar üzerinde çalışmıştır ([2]). Yaptığımız araştırmalar sonucu edindiğimiz bilgilere göre simedyanlar üzerine 30 farklı karakterizasyon bulunmaktadır ([3]). Buna göre, üçgenin kenar uzunlukları ile simedyan doğrusunun kenarı ayırdığı parçaların uzunlukları oranı, anti paralel doğrular, iç ve dış açıortaylar gibi üçgenin elemanları cinsinden simedyan doğrularının belirleyen kriterler mevcuttur ([4]). 1.1 Projenin Amacı Bu projenin amacı, bir ABC üçgeninin [AB], [BC] ve [AC] kenarlarına ait simedyanların ABC üçgeninin kenarlarını kestiği noktaları köşe kabul eden, ABC üçgeninin simedyan üçgeni olarak adlandıran üçgen aracılığıyla oluşan ve ABC üçgeninin iç bölgesinde kalan üçgenlere ait özellikleri belirlemektir. 1.2 Ön Bilgiler Teorem 1.2.1 (Ceva Teoremi) Bir ABC üçgeninde AX, BY, CZ doğrularının bir noktada kesişmesi için gerek ve yeter koşul olmasıdır ([5]). sin(acz ). sin(bax ). sin(cby ) sin(zcb ). sin(xac ). sin(yba ) = 1 Tanım 1.2.2 Bir ABC üçgeninin bir köşesinden geçen kenarortay doğrusunun o köşeden geçen açıortay doğrusuna göre simetriğine o köşeye ait simedyanı (kenarortaysı) adı verilir (Şekil 1) ([1]). Bu çalışma boyunca, bir ABC üçgeni için AB = c, BC = a, CA = b olmak üzere, [AB], [BC] ve [AC] kenarlarına ait simedyanlar sırasıyla K c, K a ve K b, K a, K b ve K c simedyanlarının sırasıyla [BC], [AC] ve [AB] kenarlarını kestikleri noktalar ise sırasıyla S a, S b ve S c ile gösterilecektir. 2

Şekil 1: Simedyanlar ve Simedyan Noktası Teorem 1.2.3 Bir ABC üçgeninde K a, K b ve K c simedyanları tek bir noktada kesişir [4]. Bu noktaya, ABC üçgeninin Lemoine noktası veya simedyan noktası adı verilir. Bu çalışma boyunca ABC üçgenine ait simedyan noktası S ile gösterilmiştir. Teorem 1.2.4 Bir ABC üçgeninin BC kenarı üzerinde bir X noktası alınsın. AX doğrusunun BC kenarına ait simedyan olması için gerek ve yeter koşul olmasıdır [4]. Tanım 1.2.5 XB XC = AB 2 AC 2 ABC bir üçgen olsun. Köşeleri S a, S b ve S c noktaları olan üçgene ABC üçgeninin simedyan üçgeni adı verilir [5]. 3

Şekil 2: ABC üçgeninin simedyan üçgeni S a S b S c üçgenidir. Önerme 1.2.6 Bir ABC üçgenin simedyan üçgeni S a S b S c olsun. BC = a, AC = b, AB = c ve S a S b = c, S a S c = b ve S b S c = a olmak üzere dir ([5]). Önerme 1.2.7 a = abc +a4 + a 2 b 2 b 4 + a 2 c 2 + 3b 2 c 2 c 4 (a 2 + b 2 )(a 2 + c 2 ) b = abc a4 + a 2 b 2 + b 4 + 3a 2 c 2 + b 2 c 2 c 4 (a 2 + b 2 )(b 2 + c 2 ) c = abc a4 + 3a 2 b 2 b 4 + a 2 c 2 + b 2 c 2 + c 4 (a 2 + c 2 )(b 2 + c 2 ) Bir ABC üçgenin simedyan üçgeni S a S b S c olsun. BC = a, AC = b, AB = c, S a S b = c, S a S c = b, S b S c = a, A(ABC) ABC üçgeninin alanı ve S ise S a S b S c üçgeninin alanı olmak üzere dir ([5]). S = 2a 2 b 2 c 2 (a 2 + b 2 ) + (a 2 + c 2 ) + (b 2 + c 2 ). A(ABC) 4

2. Yöntem Bu çalışma oluşturulmadan önce simedyan noktasının karakterizasyonları incelenmiş ve daha sonra simedyan üçgeni tanımı üzerine durulmuştur. Bir ABC üçgeninin simedyan üçgeninin oluşturulması ile birlikte üçgenin iç bölgesinde oluşan üçgenlerin simedyan noktaları üzerine odaklanılmıştır. Bulunan önermeler doğrudan ispat yöntemi ile ispatlanmıştır. 3. Bulgular Önerme 3.1 Bir ABC üçgeninin S a S b S c simedyan üçgeni çizilsin. Oluşan BS a S c, AS b S c ve CS a S b üçgenlerinin ağırlık merkezleri sırasıyla G 1, G 2 ve G 3 olsun. Bu durumda, BG 1, AG 2 ve CG 3 doğruları noktadaştır. İspat S a S c, S b S a ve S c S b kenarlarının orta noktaları sırasıyla A 1, B 1 ve C 1, m(c 1 AS b ) = x 1, m(c 1 AS c ) = x 2, m(a 1 BS c ) = y 1, m(a 1 BS a ) = y 2, m(b 1 CS a ) = z 1, m(b 1 CS b ) = z 2 AS c = k, BS c = x, BS a = l, S a C = y, CS b = m ve S b A = z olsun (Şekil 3). Şekil 3: BG 1, AG 2 ve CG 3 doğruları noktadaştır. 5

S Sb AC 1, S Sc AC 1, S Sc BA 1, S Sa BA 1, S Sa CB 1, S Sb CB 1 sırasıyla S b AC 1, S c AC 1, S c BA 1, S a BA 1, S a CB 1 ve S b CB 1 üçgenlerinin alanları olmak üzere olduğundan sinüs teoreminden S Sb AC 1 = S Sc AC 1 S Sc BA 1 = S Sa BA 1 S Sb CB 1 = S Sa CB 1 dir. Buradan elde edilir. O halde 1 2 k AC 1 Sin(x 2 ) = 1 2 z AC 1 Sin(x 1 ) 1 2 x BA 1 Sin(y 1 ) = 1 2 l BA 1 Sin(y 2 ) 1 2 y CB 1 Sin(z 1 ) = 1 2 m CB 1 Sin(z 2 ) k z = Sin(x 1) Sin(x 2 ), l x = Sin(y 1) Sin(y 2 ), m y = Sin(z 1) Sin(z 2 ) k z. l x. m y = Sin(x 1) Sin(x 2 ). Sin(y 1) Sin(y 2 ). Sin(z 1) Sin(z 2 ) olarak bulunur. Diğer taraftan, AS a, BS b ve CS c doğruları ABC üçgeninin simedyan doğruları olduğundan tek bir noktada kesişir. O halde Ceva teoreminden, eşitliği sağlanır. Buradan k. l. m x. y. z = 1 k z. l x. m y = Sin(x 1) Sin(x 2 ). Sin(y 1) Sin(y 2 ). Sin(z 1) Sin(z 2 ) = 1 olduğundan, Ceva Teoremi gereği BG 1, AG 2 ve CG 3 doğruları noktadaştır. Önerme 3.2 Bir ABC üçgeninin S a S b S c simedyan üçgeni çizilsin. Oluşan BS a S c, AS b S c ve CS a S b üçgenlerinin simedyan noktaları sırasıyla K 1, K 2 ve K 3 olsun. Bu durumda, BK 1, AK 2 ve CK 3 doğruları noktadaştır. 6

Şekil 4: BK 1, AK 2 ve CK 3 doğruları noktadaştır. İspat: A 1, B 1 ve C 1 noktaları sırasıyla S a S c, S a S b ve S c S b doğru parçalarının orta noktaları; I 1, I 2 ve I 3 noktaları ise sırasıyla B, A ve C açılarının iç açıortaylarının sırasıyla S a S c, S c S b ve S a S b doğru parçalarını kestikleri noktalar olsun. m(s b CB 1 ) = θ, m(b 1 CI 3 ) = ε, m(s c AC 1 ) = α, m(i 2 AC 1 ) = β, m(s c BA 1 ) = γ ve m(a 1 BI 1 ) = δ olsun. Bu durumda, simedyan doğrusu tanımı gereği dır (Şekil 5). m(s a CK 3 ) = m(s b CB 1 ) = θ m(k 3 CI 3 ) = m(b 1 CI 3 ) = ε m(s c AC 1 ) = m(s b AK 2 ) = α m(c 1 AI 2 ) = m(i 2 AK 2 ) = β m(i 1 BA 1 ) = m(i 1 BK 1 ) = δ m(s c BA 1 ) = m(k 1 BS a ) = γ 7

Şekil 5 Önerme 3.1 e göre BA 1, AC 1 ve CB 1 doğruları noktadaş olduğundan dir. O halde Sin(α + 2β). Sin(γ). Sin(θ + 2ε) Sin(α). Sin(γ + 2δ). Sin(θ) = 1 Sin(α). Sin(γ + 2δ). Sin(θ) Sin(α + 2β). Sin(γ). Sin(θ + 2ε) = 1 elde edilir. Ceva Teoremi nden BK 1, AK 2 ve CK 3 doğruları noktadaştır. Uyarı 3.3 Bir ABC üçgeninin S a S b S c simedyan üçgeni çizilsin. Oluşan BS a S c, AS b S c ve CS a S b üçgenlerinin yükseklik merkezleri sırasıyla H 1, H 2 ve H 3 olsun. Bu durumda, Şekil 6 da görüldüğü gibi BH 1, AH 2 ve CH 3 doğrularının noktadaş olması gerekmez. 8

Önerme 3.4 Şekil 6: BH 1, AH 2 ve CH 3 doğruları noktadaş değildir. Bir ABC üçgeninin S a S b S c simedyan üçgeni çizilsin. Oluşan BS a S c, AS b S c ve CS a S b üçgenlerinin yükseklik merkezleri sırasıyla H 1, H 2 ve H 3 olsun. Bu durumda, AB = AC ise BH 1, AH 2 ve CH 3 doğruları noktadaştır. İspat: Şekil 7: AB = AC ise BH 1, AH 2 ve CH 3 doğruları noktadaştır. AB = AC ve m(s a BH 1 ) = α, m(s c AH 2 ) = β, m(s b CH 3 ) = θ ve m(h 1 BS c ) = x, m(h 2 AS b ) = y, m(h 3 CS a ) = z olsun. ABC üçgeni ikizkenar üçgen olduğundan BS a = CS a, BS c = CS b, AS c = AS b ve m(s a CH 3 ) = α, m(s b AH 2 ) = β, m(s cbh 1 ) = θ dır. O halde sinα. sinβ. sinθ sinα. sinβ. sinθ = 1 elde edilir. Dolayısıyla ABC üçgeni ikizkenar üçgen iken BH 1, AH 2 ve CH 3 doğruları noktadaştır. 9

Şekil 8 4. Sonuçlar ve Tartışma Düzlemde bir ABC üçgenin simedyan üçgeni aracılığıyla oluşturulan ve üçgenin iç bölgesinde kalan üçgenlerin simedyan doğrularının ve kenarortay doğrularının noktadaş olduğu gösterilmiştir. Yükseklik merkezlerinden geçen doğruların noktadaş olması için gerekli koşul ise ABC üçgeninin ikizkenar üçgen olmasıdır. 5. Öneriler Simedyan üçgeni aracılığı ile belirlenen ve üçgenin iç bölgesinde kalan üçgenlerin simedyan doğrularının, kenarortay doğrularının noktadaş olmasından yararlanılarak oluşturulan bu çalışmanın üçgenin özel noktaları üzerine üretilecek yeni çalışmalara kaynaklık edeceği görüşündeyiz. Kaynaklar [1] http://geomania.org/forum/geometri-teorem-ve-ispatlar/kenarortaysi-(simedyan)/. Erişim Tarihi: 12.01.2015. [2] Honsberger, R. (1995). The Symmedian Point. Episodes in Nineteenth and Twentieth Century Euclidean Geometry, The Mathematical Association of America, Washington, D.C. [3] Gonzalez,L. (2015). http://www.artofproblemsolving.com/community/c6t319f6h1142396s1_30_characterizations_ of_the_symmedian_line. Erişim Tarihi: 12.01.2016. [4] Luo, S. ve Pohoata, C. (2013). Let s Talk About Symmedians!. Mathematical Reflections. 4. [5] http://mathworld.wolfram.com/symmedialtriangle.html Erişim Tarihi: 12.01.2016. [6] Şahin, M. (2000). Matematik Olimpiyatlarına Hazırlık Geometri 1, Palme Yayınları, Ankara. 10