RİJİT CİSİMLERİN DÜZLEMSEL KİNEMATİĞİ

RİJİT CİSİMLERİN DÜZLEMSEL KİNEMATİĞİ MUTLAK GENEL DÜZLEMSEL HAREKET: Genel düzlemsel hareket yapan bir karı cisim öteleme ve dönme hareketini eşzamanlı yapar. Eğer cisim ince bir levha olarak gösterilirse, levha bir düzlemde öteleme hareketi yaparken dönme hareketi levha düzlemine dik olan eksen etrafında gerçekleşir. Böyle bir hareket, cisim içerisine sabitlenmiş bir çizginin açısal dönmesi ve cisim içerisinde bulunan bir noktanın doğrusal ötelemesi beraberce bilinirse analiz edilebilir. Bu tür hareketler, cisim içerisinde alınan noktanın yörüngesi üzerindeki hareketini gösteren x koordinatı ve çizginin açısal konumunu belirleyen θ koordinatını kullanılarak analiz edilebilir. Problemin geometrisi kullanılarak noktanın hareketi ve çizginin açısal hareketi v = ds dv dθ, a =, ω = dt dt dt dω ve α = dt diferansiyel denklemlerinin doğrudan uygulanması ile, noktanın hareketi ve çizginin açısal hareketi arasında bağıntı kurulabilir. Bu tür hareket analizi cisimlerden birinin hareketini kendisine bağlı cisimlerin hareketiyle ilişkilendirmede de kullanılır. Mutlak genel düzlemsel hareket analizinde, cismin veya cisimlerin ağırlıklı olarak geometrisiyle ilgilenildiğinden genel bir formülasyon verilememektedir. Sonuç olarak her bir problemin kendi içerisinde değerlendirilmesi gerektiği söylenebilir.

RİJİT CİSİMLERİN DÜZLEMSEL KİNEMATİĞİ BAĞIL HAREKET ANALİZİ: Katı cismin genel düzlemsel hareketi, ötelenme ve dönmenin birlikte oluştuğu hareket olarak ifade edilir. Hareketin davranışının bileşenlerine ayrılarak incelenmesi çalışmayı basitleştirir. İncelemede, sabit x, y ve hareketli x, y eksen takımları birlikte kullanılacaktır. x, y koordinat sistemi sabittir ve cisim üzerindeki A ve B noktalarının mutlak konum, hız ve ivmelerini ölçmek için kullanılır. x, y koordinat sisteminin orijini, genellikle hareketi bilinen bir A referans noktasına yerleştirilir. Bu koordinat sisteminin eksenleri cisim üzerinde olmayıp sabit eksen takımına göre ötelenmesine izin verilir. KONUM: A noktasının konumu r A vektörü ile ifade edilir. Bağıl konum vektörü r B A ise, A noktası referans alındığında, B nin A ya göre konumunu ifade eder. B noktasının konumu, bu iki pozisyon vektörünün toplamından elde edilir. Ötelenen Referans r B = r A r B A Sabit Referans Eksen

RİJİT CİSİMLERİN DÜZLEMSEL KİNEMATİĞİ YER DEĞİŞTİRME: A ve B noktalarının yer değiştirmeleri sırası ile dr A ve dr B dt zaman aralığında meydana gelir. Katı cismin bileşenlerine ayrılarak incelenmesi halinde, dr A kadar ötelenerek A noktasına, B noktası da B noktasına ve A noktasına göre dθ kadar dönerek B den B ye dr B A kadar bağıl yer değiştirme yapar. Katı cisim rijit olduğu için A ve B noktaları arasındaki mesafe sabittir. Bu durumda, r B A doğrultusundaki değişim r B A dır. A noktası etrafındaki dönme sebebiyle bağıl yer değiştirmenin büyüklüğü dr B A = r B A dθ kadardır. B noktasının yer değiştirmesi dr B = dr A + dr B A

RİJİT CİSİMLERİN DÜZLEMSEL KİNEMATİĞİ HIZ: Katı cisim üzerindeki, A ve B noktaları hızları arasındaki ilişki, pozisyon denkleminin zamana bağlı türevlerinin alınması veya basit olarak yer değiştirme denkleminin dt ye bölünmesi ile belirlenir. dr B dt = v B ve dr A dt dr B dt = dr A dt + dr B A dt = v A terimleri sabit x, y eksen takımından ölçülmüş olup B ve A noktalarının mutlak hızlarıdır. Üçüncü terimin büyüklüğü d r B A = r dt B A θ = r B A ω dır. Burada ω, katı cismin verilen anda açısal hızıdır ve mutlak büyüklüğe sahiptir. Ötelenen x, y eksen takımından ölçülen B nin A ya göre hızı v B A ya bağıl hız denir. A noktasından bakıldığında, B noktasının yarıçapı r B A olan dairesel yay üzerinde hareket ettiği görülecektir. Bu hareket, merkezi A olan ve z ekseni etrafında ω açısal hızı ile dönme hareketidir. Diğer bir ifadeyle, büyüklüğü r B A ω olan bağıl hız vektörü her zaman r B A pozisyon vektörüne dik olacaktır. Sonuç olarak v B = v A + v B A veya v A = v B + v A B θ

RİJİT CİSİMLERİN DÜZLEMSEL KİNEMATİĞİ Bağıl hız denkleminin ifade ettiği mana kinematik diyagram olarak resimde verilmiştir. Katı cisim üzerindeki A noktasının hızı, B noktasının hızı ile, A noktasının B sabit noktasına göre, bağıl hızının vektörel toplamından bulunur. Yani, cismin A noktasının hızı, v A hızı ile ötelenme ve B noktası etrafında ω açısal hızı ile dönme hareketinin süper pozisyonu olarak belirlenir. Bağıl hız v A B, merkezi B de olan ötelenen eksenden gözlenen dairesel hareketin etkisini gösterdiğinden v A B = ω r A B vektörel çarpımı olarak ifade edilir. v A = v B + v A B = v B +ω r A B

RİJİT CİSİMLERİN DÜZLEMSEL KİNEMATİĞİ v A : A noktasının hızı v B : B noktasın hızı ω: Katı cismin açısal hızı r A B : B den A ya çizilen bağıl konum vektörü Katı cismin her hangi bir noktasının hızının belirlenmesinde kullanılan bu ifade, birden fazla katı cismin pimlerle bağlanmasıyla oluşturulmuş mekanizmaların ve temas halinde hareketli cisimlerin kinematiğinin incelenmesinde de kullanılabilir. Bu birleşme (temas) noktalarının hız büyüklükleri ve yönlerinin aynı olduğuna dikkat ediniz. Vektörel bir ifade olan Bağıl hız eşitliğinden iki adet skaler denklem yazılabileceğinden bu ifade içinde iki bilinmeyen olması durumunda bu bilinmeyenler hesaplanabilir.

RİJİT CİSİMLERİN DÜZLEMSEL KİNEMATİĞİ Bu denklem uygulanırken hareketleri bilinen A ve B noktaları, genellikle, pimle bağlı noktalar veya komşu cisimlerle temas eden nokta olarak seçilir. Şekilde verilen mekanizmada, A pistonu yatay kılavuz içinde hareket ederken BC krank elemanı sabit C pimi etrafında dairesel hareket etmektedir. Verilen pozisyonda, B noktasının hızının büyüklüğü v B = ω BC l olup doğrusu her zaman yörüngeye teğettir.

RİJİT CİSİMLERİN DÜZLEMSEL KİNEMATİĞİ Yüzey (zemin) hareket etmediğinden bu noktanın hızı sıfırdır. Kaymadan yuvarlanan tekerleğin zemine temas eden noktası A ise, bu noktanın hızı zeminin hızına eşit olacağından v A zemin = v A tekerlek = 0 sıfırdır. Ayrıca tekerleğin merkezi B yatay bir yörünge üzerinde v B yatay kalacak şekilde hareket eder. Tekerleğin B noktasının hızı doğrusal yatay yörünge boyunca olup büyüklüğü açısal hızı ile yarıçapının çarpımı v B = ωr B A kadardır.

Örnek Çalışma: ABC elemanı, A ve B deki kayıcılara pimlerle bağlı olup kılavuz kanal içersinde hareket etmektedir. A kayıcısının hızı düşey doğrultuda v A = 2 m s olduğuna göre, θ = 45 olduğu pozisyonda B kayıcısının hızını belirleyiniz.

ÖRNEK ABC elemanı, A ve B deki kayıcılara pimlerle bağlı olup kılavuz kanal içinde hareket etmektedir. A kayıcısının hızı düşey doğrultuda v A = 2 m s olduğuna göre, θ = 45 olduğu pozisyonda B kayıcısının hızını belirleyiniz. ÇÖZÜM: Kinematik Diyagram, A ve B kayıcıları kılavuz içinde hareket etmekte olup hız vektörlerinin doğrultu ve yönleri bilinmektedir. A kayıcısı aşağı doğru hıza sahip olduğu için B kayıcısı sağa doğru hareket edecektir. Bu durumda, ABC elemanı saatin tersi yönünde dönecek veya açısal hız bu yönde olacaktır.

Bağıl Hız Denklemi. Katı cismin üzerindeki iki noktası için yazılabilen bağıl hız ifadesi v B = v A + ω r B A ; v B i = 2j + ω AB k 0. 2 sin 45i + 0. 2 cos 45j v B i = 2j + 0. 2ω AB sin 45j 0. 2ω AB cos 45i i ve j içeren ifadeler karşılıklı olarak eşitlenirse Denklem (1) ve (2) çözümünden, v B = 0. 2ω AB cos 45 (1) 0 = 2 + 0. 2ω AB sin 45 (2) ω AB = 14. 1 rad s v B = 2 m s ( )

ÖRNEK AB krank elemanı saat yönünde 10 rad/s açısal hızla dönmektedir. BC elemanının açısal hızını ve C ucunun hızını hesaplayınız. ÇÖZÜM: Kinematik Diyagram: AB elemanı bilinen açısal hızla sabit eksen etrafında dönmektedir. B nin A ya göre konum vektörü mekanizmanın geometrisinden yazılabilir. A dan geçen eksen etrafında dönmekte olan AB elemanının açısal hızı belirli olduğundan B noktasının hızı belirlenebilir. BC genel düzlemsel hareket yapmaktadır. BC elemanının C ucunun hızının doğrultusu bilinmektedir. Bağıl hız ifadesi kullanılarak BC elemanının açısal hızı ve C hızının büyüklüğü belirlenir.

Bağıl hız ifadesi kullanılarak AB elemanının B ucunun hızı belirlenir. v B = v A + v B A = v A + ω AB r B A v B = 0 + ω AB r B A v B = 10k 0. 4 i + 0. 4 j v B = 4 j + 4 i Bağıl hız ifadesi kullanılarak BC elemanının açısal hızı ve C hızının büyüklüğü belirlenir. v C = v B + v C B = v B + ω BC r C B v C i = v B + ω BC k 0. 8 i 0. 4 j v C i = 4 j + 4 i + 0. 8 ω BC j + 0. 4 ω BC i v C = 4 + 0. 4 ω BC 0 = 4 0. 8 ω BC 1 2 v C = 6 m/s ve ω BC = 5 rad/s

ÖRNEK Üç elemanın pimlerle birleştirilmesinden oluşan sistem, şekilde verilen pozisyonda AB çubuğu saat ibreleri yönünde ω AB = 30 rad s açısal hıza sahiptir. BC elemanının ve D diskinin verilen andaki açısal hızını belirleyiniz.

ÖRNEK Kinematik Diyagram. AB elemanı ve D diski, sabit eksen etrafında dönme yapan katı cisimlerdir. BC elemanı ise genel düzlemsel hareket yapmaktadır. AB elemanının A pimi, dönme ekseni olduğundan, B noktasının hız vektörü A dan B ye çizilen pozisyon vektörüne dik olmalıdır. Yine, disk D den geçen eksen etrafında dönme hareketi yaptığından C noktasının hız vektörü, D den C ye çizilen pozisyon vektörüne dik olmalıdır. BC elemanı ise, B ve C noktalarının hızlarının yönleri birbirlerinden farklı olduğundan genel düzlemsel hareket yapmaktadır. Bu durumlar kinematik diyagramda gösterilmiştir.

ÖRNEK Bağıl Hız Denklemi. AB elemanı için bağıl hız ifadesi (sabit eksen etrafında dönme) v B = v A + v B A veya v B = v A + ω r B A v B = 0 + 30k 0. 2 cos 60 i + 0. 2 sin 60 j v B = 5. 2i 3j m s BC elemanı için bağıl hız ifadesi (genel düzlemsel hareket) v C = v B + v C B veya v C = v B + ω BC r C B v C i = 5. 2i 3j + ω BC k 0. 2i v C i = 5. 2i + 0. 2ω BC j 3j v C = 5. 2 m s ( )

ÖRNEK D diski için bağıl hız ifadesi (sabit eksen etrafında dönme) v C = v D + v C D veya v C = v D + ω D r C D 5. 2i = ω D k 0. 1j 5. 2 = 0. 1ω D ω D = 52 rad s saatin tersi yönünde

ÖRNEK Üç çubuk mekanizmasında, AB elemanı saatin dönme yönünde 10 rad s açısal hızla dönmektedir. Verilen pozisyonda BC ve CD elemanlarının açısal hızlarını ω BC ve ω CD hesaplayınız. Sonsuz dişlinin hızını v R belirleyiniz. ÇÖZÜM: Sonsuz dişlinin hızını v R belirlemek için CD elemanının açısal hızının hesaplanması gerekir. AB ve CD elamanları sabit eksen etrafında dönmektedirler. BC genel düzlemsel hareket yapmaktadır. A dan geçen eksen etrafında dönmekte olan AB elemanının açısal hızı belirli olduğundan B noktasının hızı belirlenir. CD elemanı, sabit D ekseni etrafında dönmekte olduğundan C noktasının hızı, açısal hız ω CD cinsinden yazılır. BC elemanının C ucunun hızı, bağıl hız ifadesi kullanılarak açısal hız ω BC ye bağlı olarak elde edilebilir. C noktası için elde edilen iki denklem eşitlenirse açısal hızlar bulunabilir.

AB elemanı için bağıl hız denklemi yazılırsa, v B = v A + v B A = v A + ω AB r B A v B = 0 + ω AB r B A = 10k 60 i + 120 j = 600 j + 1200 i CD elemanı için bağıl hız denklemi yazılırsa, v C = v D + v C D = v D + ω CD r C D v C = 0 ω CD k 60 i + 100 j = 60ω CD j + 100ω CD i

Yönünü bilmediğimiz açısal hız ω BC = ω BC k pozitif yönde kabul ederek BC elemanı için bağıl hız denklemi yazılırsa, v C = v B + v C B = v B + ω BC r C B v C = v B + ω BC k 160 i 20 j = v B + 160ω BC j + 20ω BC i BC elemanın C ucunun hızı ile CD elemanının C hızı aynıdır. v C = v B + ω BC r C B = ω CD r C D 60ω CD j + 100ω CD i = 600 j + 1200 i + 160ω BC j + 20ω BC i Vektörel denklem iki bilinmeyeni belirli hale getireceğinden, i ve j bileşenleri karşılıklı olarak eşitlenirse, 100ω CD = 1200 + 20ω BC 60ω CD = 600 + 160ω BC 1 2 İki denklemin çözümünden ω CD = 13. 78 rad s ω BC = 8. 92 rad s

Temas noktalarında, sonsuz dişlinin düşey hızı, D dişlisinin teğetsel hızına eşit olacağı için v R = ω CD r R D = 13. 78 k 60 i = 827 j mm s v R = 827 mm s = 0. 827 m s ( )

KATI CİSİMLERİN BAĞIL HIZ ANALİZİ: ANİ DÖNME MERKEZİ. Genel düzlemsel hareket yapan katı cisim üzerinde (veya dışında) hızı sıfır olan bir noktanın bulunması her zaman mümkündür. Bu noktaya ani dönme merkezi denir. ADM veya IC ile tanımlanan bu nokta bir an için geçerli olup farklı zamanlarda yerini değiştirir. Genel düzlemsel hareket yapan katı cisim üzerinde herhangi bir A noktasının hızı, hızın sıfır olduğu B noktasına göre belirlenebilir. v B = 0 ise, hız denklemi v A = 0 + ω r A B şekline dönüşür. Bu durumda, genel düzlemsel hareket yapan katı cismin hızı sıfır olarak seçilen B noktası, ani dönme merkezi olup ani dönme ekseni üzerindedir.

KATI CİSİMLERİN BAĞIL HIZ ANALİZİ: B noktası, IC ani dönme merkezi ile çakışıksa, A noktasının hızı v A = ω r A B dır. bu nokta etrafında bir an için dairesel hareket yapar. Diğer bir ifadeyle, katı cisim ani dönme merkezi ekseni etrafında dönüyor gibi görülür. Ani dönme merkezi ADM=IC den A noktasına pozisyon vektörü r A IC veya r A ADM olarak tanımlanırsa, A noktasının hızının büyüklüğü v A = ω r A IC dir. Burada, ω katı cismin açısal hızıdır. A noktası dairesel hareket yapmakta olduğundan hız vektörü v A nin doğrultusu daima r A IC ye dik olmalıdır.

KATI CİSİMLERİN BAĞIL HIZ ANALİZİ: Ani Dönme Merkezinin Yeri Hız vektörlerinin daima bağıl konum vektörüne dik olduğu prensibinden, katı cismin Ani Dönme Merkezinin yeri belirlenebilir. Katı cismin açısal hızı ω ve cisim üzerinde A gibi bir noktanın hızının büyüklüğü bilinmekteyse, ani dönme merkezinin yeri, A noktasından r A IC ye çizilen dik doğrunun üzerindedir. Bu nokta, A ya r A IC = v A ω mesafededir. Katı cismin A ve B gibi iki noktasının hızlarının doğrultuları bilinmekte ise, v A ve v B hız vektörlerinden dik çizgiler çizilir ve bir birleri ile kesiştirilinceye kadar uzatılır. Bu kesişme noktası ani dönme merkezinin yerini belirtir.

KATI CİSİMLERİN BAĞIL HIZ ANALİZİ: Ani Dönme Merkezinin Yeri Katı cismin A ve B gibi iki noktasının paralel hızlarının doğrultuları ve büyüklükleri bilinmekte ise, ani dönme merkezinin yeri benzer üçgenlerden belirlenir. A ve B den çizilen dikler, büyüklükleri bilinen hız vektörlerinin uçlarından çizilen çizgi ile kesiştirilinceye kadar uzatılır. Kesişme noktası ani dönme merkezinin yeridir. A ve B noktaları hızlarının yönleri ve büyüklükleri aynı ise, kesişme meydana gelmez. Bu durum, cismin dönme yapmadığını veya sadece ötelendiğini ifade eder. Yani, v A = v B ve ω = 0 dır.

KATI CİSİMLERİN BAĞIL HIZ ANALİZİ: Ani Dönme Merkezinin Yeri Kaymadan yuvarlanan tekerleğin zemine temas eden noktasının hızı sıfır olup, ani dönme merkezidir. Tekerlek üzerindeki her hangi O, B ve C noktalarının hızı, bu noktalardan IC ye çizilen konum vektörüne dik olup büyüklüğü, açısal hız ile konum vektörünün çarpımı kadardır. v B = ωr B IC, v C = ωr C IC ve v 0 = ωr 0 IC. Düzlemsel hareket yapmakta olan katı cismin ani dönme merkezi, cismin üzerinde veya dışında bir noktada bulunabilir. Hareket eden cismin konumu her an değişmekte olduğundan her an için ayrı bir ani dönme merkezi belirlenmelidir. Hareket boyunca ani dönme merkezinin üzerinde bulunduğu yörüngeye yuvarlanma eğrisi (centrode) denir. Cisim üzerinde bir nokta ani dönme merkezi ise belirtilen anda hızı sıfırdır. Katı cismin ani dönme merkezinin hızının sıfır olması, o noktanın ivmesinin sıfır olduğu anlamına gelmez.

ÖRNEK: Ani Dönme Merkezi Krank biyel mekanizmasında, verilen anda, piston sağa doğru 3 m s hızla hareket etmektedir. Mekanizmanın AB ve BD elemanlarının açısal hızlarını ve B piminin hızını belirleyiniz. Kinematik Diyagram: Pistonun hızı, BD elemanının D ucunun hızı ile aynıdır. AB elemanı, A sabit pimi etrafında dönmektedir. Bu durumda, B piminin hızı, B nin yörüngesine teğet veya B den A ya çizilen pozisyon vektörüne dik olacaktır. İki noktasının hız vektörlerinin doğrultuları bilinen katı cismin Ani Dönme Merkezi belirlenebilir. v B ve v D hızlarına dik doğrultuda çizilen çizgiler birbirleri ile kesişebilecek tarzda uzatılırlar. Kesişme noktası Ani Dönme Merkezinin yerini gösterir.

ÖRNEK: Ani Dönme Merkezi Geometriden: B ve D nin Ani Dönme merkezlerine olan uzaklıkları r B IC ve r D IC basitçe sinüs teoremi kullanılarak belirlenebilir. 0. 4 m sin45 = r B IC sin45 = r D IC sin90 r B IC = 0. 4 m ve r D IC = 0. 56 m

ÖRNEK: Ani Dönme Merkezi Katı cisim, Ani Dönme Merkezi etrafında, sabit eksen etrafında dönüyor gibi davranacağı için v D ve r D IC bilindiğinden ω BD hesaplanabilir. ω BD = v D = r D IC 3 m s 0. 566 m = 5. 30 rad s v B = ω BD r B IC = 5. 3 rad s 0. 4 m = 2. 12 m s ω AB = v B = r B IC 2. 12 m s 0. 4 m = 5. 30 rad s

ÖRNEK: Ani Dönme Merkezi Şekilde verilen üç çubuk mekanizmasında AB elemanı saat ibreleri tersi dönme yönünde 10 rad s açısal hızla dönmektedir. Verilen pozisyonda, BC elemanının ani dönme merkezinin yerini belirleyiniz. BC ve CD elemanlarının açısal hızlarını hesaplayınız.

ÖRNEK: Ani Dönme Merkezi AB çubuğu, A sabit noktası etrafında dönme hareketi yapmaktadır. AB Çubuğunun açısal hızı belirli olduğundan B noktasının hızının büyüklüğü ve yönü belirlenebilir. v B = ω AB r B A ; v B = 10 rad s 2 m = 20 m s CD çubuğu, D sabit noktası etrafında dönme hareketi yaptığı için C noktasının hızının doğrultusu ve yönü belirlenir. İki noktasının hız vektörlerinin doğrultuları belirli olan BC katı cisminin v B ve v C hız vektörlerine dikler çizilir ve kesişme sağlanacak şekilde uzatılır. Kesişme noktası ani dönme merkezinin yerini verir. Cisim bu nokta etrafında dönüyor gibi davranır. BC elemanını bir noktasının hızının büyüklüğü belirli olduğun için açısal hızı bulunur. Geometriden r B ADM = 2 m

ÖRNEK: Ani Dönme Merkezi v B = ω BC r B ADM ; ω BC = 20 m s 2 m = 10 rad s saatin dönme yönünde v C = ω BC r C ADM ; v C = 10 rad s 8 m = 28. 28 m s v C = ω CD r C D ; ω CD = 10 8 m s 8 m = 10 rad s saatin tersi dönme yönünde