EŞİTLİK KISITLI TÜREVLİ YÖNTEMLER LAGRANGE YÖNTEMİ Bu metodu incelemek için Amaç fonksiyonu Min.z= f(x) Kısıtı g(x)=0 olan problemde değişkenler ve kısıtlar genel olarak şeklinde gösterilir. fonksiyonlarının 2. mertebeden türevlenebilir ve sürekli oldukları kabul edilmiştir. Bu modeli daha fazla açıklayabilmek için aşağıdaki şekilde gösterilen fonksiyonu ele alalım. Bu fonksiyon kısıtına bağlı olarak minimize edilsin. Burada b sabittir. Aşağıdaki şekil incelendiğinde koyu çizgilerle görülen eğri nin üzerindeki A, B, C noktalar aynı zamanda kısıtını daima sağlarlar. Buna göre kısıtlı türevler metodu ABC eğrisi üzerindeki bir noktadaki nin Gradienti olarak tanımlanır. Kısıtlı türevleri sıfır yapan bir nokta kısıtlı problem için bir stasyoner noktayı gösterir.
Şekildeki B noktası böyle bir mimimum noktadır. Bu şekil aynı zamanda f in artan kısıtlı de değerini gösterir. türevinin Metodu şimdi matematik olarak geliştirebiliriz. Taylor teoremine göre x in olurlu (mümkün) komşuluğundaki noktaları için; ve ifadeleri yazılabilir. için bu eşitlikler şeklinde indirgenir. Olurluluk için olacağından ; olur. Bu ifadeler aynı zamanda sabit katsayılardaki değişimleri de gösterir. Bu özellikler, ifadenin eşitlik kısıtlarına sahip problemlerin çözümünde kullanılmasına neden olur. Buna göre; olsun. Buradan; dır. olduğunda hesap edilen ifadesinden stasyoner noktalar için yukardaki son eşitlik gerek şartları sağlar. Bu ifade türevler alınarak bu eşitlikler için daha uygun biçimde lere göre kısmi olarak elde edilir. g(x) = 0 kısıt eşitlikleri ile birlikte bu eşitlikler stasyoner noktalarda Gerek şartları sağlayan değerlerini verir. nın olurlu Bu metod eşitlik kısıtlarına sahip optimizasyon problemlerinin stasyoner noktalarını belirlemede Lagrange Metodu olarak adlandırılır. Bu metodun gelişimi aşağıdaki gibi gerçekleştirilebilir. Buna göre; olsun. Burada L Lagrange fonksiyonu, adlandırılır. parametreleri ise Lagrange çarpanları olarak Tanım olarak gerek şartlardan;
ve eşitlikleri Lagrange fonksiyonunun gerek şartlarını oluşturur. Verilen g(x)=0 kısıtına göre f(x) in optimizasyonu; L (x, ) Lagrange fonksiyonunun optimizasyonuna denktir. Lagrange metodu için Yeter Şartlar ise ispatsız olarak şöyle yazılabilir: olarak tanımlanır. Burada; P: satırları g(x) kısıtlarının 1. mertebe kısmi türevlerinden oluşan matrisi Q: Lagrange fonksiyonunun 2. mertebe kısmi türevlerinden oluşan matrisi göstermek üzere;, ( bütün i ve j ler için ) ( ) Tanımlanan Sınırlı Hessien Matris olarak bilinir. lagrange fonksiyonundan elde edilen noktasının değeri belirlendiğinde, o zaman yeter şartlar; 1. maksimum noktadır, eğer (2m+1) mertebeli asal majör = en büyük determinant ile başlayan ve nin sonraki toplam (n - m) adet asal minör = daha küçük determinantları den başlayarak alterne işarete (+,-,+,-) sahip ise (negatif definit özelliği) 2. minimum noktadır, eğer asal minör determinant ile başlayan ve nin sonraki (daha büyük mertebeli) (n - m) asal minör determinantları işaretine sahip ise. Bu şartlar ekstremum noktaların belirlenmesinde yeter şartları oluştururken gerekliliği sağlamazlar. Bunu gidermek için gerek ve yeter şartları yerine getiren başka şartlar vardır. Fakat bu şatların belirlenmesinde kullanılan hesaplarda olursuz durumlar da söz konusu olabilmektedir. Böyle durumlarda P ve Q matrislerinin ( oluşan ) stasyoner noktasındaki değerlerinden
matrisini tanımlayalım. Burada P ve Q yukarda tanımlanmıştır. parametredir. ise bilinmeyen yeni bir determinantını ele alalım; polinomu her bir (n-m) gerçel kökü olan ( ler) için; 1. Eğer maksimum nokta ise ler negatif ( <0 ) 2. Eğer minimum nokta ise ler pozitif ( >0 ) olmalıdır. Bu şartlar son durum için yeter şartları oluşturur. Örnek 1: Aşağıdaki problemi Lagrange metodu ile çözelim. Amaç fonksiyonu Kısıtlar olan ifadeler yardımıyla Lagrange fonksiyonu genel ifadesine göre şeklinde oluşur. Bu ifadeden aşağıdaki gerek şartlar yazılabilir.
Bu denklem sisteminin çözümünden değerleri elde edilir. Buradaki Lagrange çarpanları problem için duyarlılık katsayıları olarak da değerlendirilir. Diğer bir açıdan bu katsayılar Jacobi metodundaki Y bağımlı vektörünün bağımsız katsayılarıdır. Şimdi yukardaki elde edilen stasyoner noktasının ekstremum nokta olup olmadığını göstermek için; Sınırlı Hessien Matrisini inceleyelim; m = 2 ve n = 3 olduğundan n m = 3-2 = 1 adet asal determinanta bakılacak demektir. Böylece minimum durumda den işareti + olmalıdır. O halde nin determinantını incelediğimizde olduğundan minimum noktadır. Gerek şartlardan ortaya çıkan çözüm eşitlikleri için bu metotta bazen λ nın sayısal değerlerini başarılı olarak seçmek ve buradan x için verilen eşitlikleri çözmek de gerekebilir. X e ait değerler tüm kısıtları sağlamak üzere λ nın bazı değerleri için bu işlem tekrar edilebilir. Örnek 2: Amaç fonksiyonu alalım: kısıtı olan problemi ele Problemin Lagrange fonksiyonu şu şekildedir: Burada aşağıdaki gerek şartlar ortaya çıkar.
Bu eşitliklerin ortak çözümünden; Çözüm değerleri elde edilir. Yeter şartlar sağlandığında ise; Hessien matrisi elde edilir. Bu matriste m = 1, n = 3 olduğundan minimum olan bir stasyoner nokta için n m = 3 1 = 2 Asal minör determinantının işareti olmalıdır. Böylece için n m = 3 1 = 2 Asal Minöre bakılırsa; için; Son olarak ; için ; olduğu belirlenir.
Böylece ve noktalarının minimum nokta olduğu görülür. noktasının ise yeter şartları sağlamadığı, bu nedenle de ekstremum nokta olmayacağı görülmektedir. Böyle durumlarda verilen şartlar yardımıyla bu şartlar yeterli olabilse her ekstremum nokta için sağlamayabilirler. Bu durumda diğer yeter şartın kullanılması gerekir. Bunu göstermek için polinomun kökleri yardımıyla diğer yeter şartı kullanmalıyız. Buna göre; matrisini ele alalım. Şimdi için Bu denklemden ve 8/9 elde edilir. Her iki olduğundan minimum noktadır. Benzer şekilde için dan aynı ve 8/9 den olduğundan da minimum noktadır. Son olarak ; Buradan, ve - 0.8 < 0 olur. Bu değerler ün bir ekstremum nokta olmayacağını gösterir. Problem: Amaç fonksiyonu ve kısıtları İfadelerinden oluşan problemin X = (1,2,3) olurlu stasyoner noktası verilmiş olsun. Bu noktanın bir minimum nokta olduğunu Lagrange yöntemini kullanarak gösteriniz. Başka stasyoner nokta var mıdır? Araştırınız. MATLAB ile Denklem Sistemi Çözümü Yukarıda verilen ilk örnekte kısmi türevler şu şekilde bulunmuştu;
Bunlar denklem sistemi ile çözülebilir. Katsayılar matrisi A aşağıdaki gibi tanımlanır. >> A=[2 0 0-1 -5; 0 2 0-1 -2; 0 0 3-3 -1; -1-1 -3 0 0; -5-2 -1 0 0] A = 2 0 0-1 -5 0 2 0-1 -2 0 0 2-3 -1-1 -1-3 0 0-5 -2-1 0 0 Sağ taraf değerleri matrisi B aşağıdaki gibi tanımlanır. Matrisin transpozesinin alındığına dikkat edilmelidir. >> B=[0 0 0-2 -5]' B = 0 0 0-2 -5 Değerleri bulmak için aşağıdaki satır yazılabilir. >> X=linsolve(A,B) X = 0.8043 0.3478 0.2826
0.0870 0.3043 Veya şu şekilde de yazılabilir. >> X=A\B X = 0.8043 0.3478 0.2826 0.0870 0.3043 Buradaki X değerleri sırasıyla X1, X2, X3, 1 ve 2 dir. MATLAB ile Determinant Bulma Verilen örnekte Hessien matris MATLAB da aşağıdaki gibi tanımlanabilir. >> H=[0 0 1 1 3; 0 0 5 2 1; 1 5 2 0 0; 1 2 0 2 0; 3 1 0 0 2] H = 0 0 1 1 3 0 0 5 2 1 1 5 2 0 0 1 2 0 2 0 3 1 0 0 2 Determinantını bulmak için ise; >> det(h) ans = 460 MATLAB da solve Komutu ile Denklem Sisteminin Çözümü Yukarıda verilen ikinci örnekte birinci kısmi türevler aşağıdaki gibi bulunmuştu:
Bu denklem sistemini MATLAB da solve komutu ile şöyle tanımlayabiliriz: >> solve('2*x1-4*l1=0', '2*x2-2*L1*x2=0', '2*x3-2*L1=0', '4*x1+x2^2+2*x3=14') ans = L1: [3x1 sym] x1: [3x1 sym] x2: [3x1 sym] x3: [3x1 sym] Buradan, önce L1 sonra sırasıyla x1, x2 ve x3 değerleri çıkacağı anlaşılır. O halde solve komutunu şu şekilde kullanabiliriz: >> [L1 x1 x2 x3]=solve('2*x1-4*l1=0', '2*x2-2*L1*x2=0', '2*x3-2*L1=0', '4*x1+x2^2+2*x3=14') L1 = 1 1 7/5 x1 = 2 2 14/5 x2 = 2-2 0
x3 = 1 1 7/5 Bu sonuca göre değişkenlerin 3 farklı noktada değer alacakları anlaşılmaktadır. O halde şu 3 çözüm noktası ortaya çıkar: (x1, x2, x3, ) 1 = (2, 2, 1, 1) (x1, x2, x3, ) 2 = (2, -2, 1, 1) (x1, x2, x3, ) 3 = (14/5, 0, 7/5, 7/5) MATLAB da syms Komutunu Kullanarak İşlem Yapma İkinci örnekte 3. nokta olarak bulunmuştu. Bu nokta için yeter şartı ikinci yönteme göre araştıralım. Bu değerler için Hessien matris aşağıdaki gibi tanımlanır: >> syms m >> h=[0 4 0 2; 4 2-m 0 0; 0 0 -.8-m 0; 2 0 0 2-m] h = [ 0, 4, 0, 2] [ 4, 2 - m, 0, 0] [ 0, 0, - m - 4/5, 0] [ 2, 0, 0, 2 - m] Matrisin determinantını alacak olursak: >> det_h=det(h) det_h = -4*(5*m + 4)*(m - 2) Bu fonksiyon = 0 olduğu için -4 ile sadeleştirebiliriz: >> det_h=det_h/-4 det_h =
(5*m + 4)*(m - 2) Fonksiyon bu haliyle de kullanılabilir. Yukarıda ders notlarındaki gibi görünsün istersek: >> det_h=expand(det_h) det_h = 5*m^2-6*m - 8 Köklerini bulacak olursak: >> solve(det_h) ans = 2-4/5 Buna göre m değerinin biri pozitif, diğeri negatiftir. Üçüncü nokta minimum noktası değildir.