İSTATİSTİKSEL MERKEZİ EĞİLİM ÖLÇÜLERİ DUYARLI ORTALAMALAR

SAÜ. BÖLÜM İSTATİSTİKSEL MERKEZİ EĞİLİM ÖLÇÜLERİ DUYARLI ORTALAMALAR PROF. DR. MUSTAFA AKAL İÇİNDEKİLER 1. ORTALAMANIN TANIMI VE FAYDALARI. HASSAS ORTALAMALAR.1. Aritmetik Ortalama.. Kareli Ortalama.. Geometrik Ortalama.. Harmoik ortalama.5. Tartılı Ortalamalar.6. Gruplamış Serileri Duyarlı Ortalamalarıdaki Hata HEDEFLER Ortalama Kavramıı Öğretilmesi ve Türlerii Taıtılması

1. ORTALAMALARIN TANIMI, ÇEŞİTLERİ VE FAYDALARI Öceki bölümlerde karmaşık ve düzesiz ola veriler çeşitli tasif (sııflama, gruplama) işlemleri, tablo ve grafik suumları yardımıyla düzeli ve alaşılabilir bir yapıya döüştürülmüştü. Bu sayede aakütlei bazı karakteristik özellikleri geel olarak belirlese bile aakütlei karakteristik özellikleri kesi olarak biliememektedir. Ortalama: Bir olaya ait değişkei düzelemiş verileri (seri) tüm veriyi temsil edecek şekilde tek bir rakamla temsil edilebilir. Bir değişkee ait seriyi temsil ede bu rakama ORTALAMA deir. Ortalamalar serileri karakteristik özelliklerie ait kesi bilgiler içermektedir. Ortalama Çeşitleri: Araştırmacı değişkee ait seriyle ilgili değişik ortalamalar hesaplayabilir. İstatistiki ortalamalar hassas (duyarlı) ortalamalar ve hassas olmaya (duyarlı olmaya) ortalamalar olmak üzere iki aa gruba ve çeşitli alt gruplara ayrılırlar. Bular ilerleye bölümlerde ayrıtılı olarak öreklerle açıklaacaktır. Aşağıdaki şekil yardımıyla aa hatlarıyla özetlemiştir. Şekil 1. Ortalama Çeşitleri Duyarlı ortalama olarak şekilde belirtile her bir ortalamaı tartılı ortalamaları hesap edilebilir. Duyarsız ortalamalara desiller ve yüzdeler ilave edilebilir. Ortalamaları Faydaları: 1. Bir olaya ait değişkei verileri tüm veriyi temsil edecek şekilde tek bir rakamla temsil edilir. 1

Örek: İktisat bölümü İstatistik dersi ot ortalaması 75 tir.. Ayı değişkee ait farklı seriler arasıda mukayese yapılmasıı sağlar. Örek: Maliye bölümü istatistik dersi ot ortalaması 75 ike İşletme bölümüü İstatistik dersi ot ortalaması 70 tir.. Taımlayıcı istatistiği temellerii oluşturur. Hesaplaa ortalamalar ile seriler hakkıda taımlayıcı bilgiler elde edilmiş olur. DİKKAT!! Düzelemiş veriler belirli bir değer etrafıda e kadar güçlü toplama eğilimi gösteriyorsa, ortalamaı temsil kabiliyeti o kadar artar. J, ters J ve U şeklide eğriye sahip düzelemiş verilerde belirli bir değer etrafıda toplama eğilimi göstermedikleride, hesaplaa ortalamalar düzelemiş veriyi temsil edemez. İstatistikte birçok terimde oluşa bir seriyi temsil ve ifadeye yeterli bir rakama ortalama deir. Ortalama bir seriyi temsil ede ve özetleye bir rakam olduğua göre, serii özelliklerii de belirtir. Diğer bir ifade ile müşahedeleri hagi okta etrafıda toplamış olduğuu göstermesi icap eder. Bu sebeple ortalamaya ayı zamada MERKEZİ EĞİLİM ÖLÇÜSÜ adı da verilmektedir. Merkezi bir kıymet ola ortalama, serideki miimum ve maksimum terimler arasıda yer alması şartıı gerektirir. X mi < Ortalama < X max Kolektif olaylarda terimleri birbirie eşit olması halie pek rastlamaz, yai belirli bir sayı oluşmaz. Buu içi temsili bir değer araır. Ortalamaı temsili olabilmesi içi, ou serideki terimleri çoğuluğua uyması hiç değilse değerce olara yakı olması ile mümküdür. Nispi şekilde temsili olma vasfı ortalamada seriler simetrik ve tek maksimumlu olması ile gerçekleşir. Simetrisi hafifçe bozulmuş sağa veya sola eğik serileri ortalamaları da oldukça temsili kabul edilir.. HASSAS ORTALAMALAR Bir değişkee ait serideki bütü değerleri (veriler) kullaılarak ya da işleme katılarak hesaplaa ortalamalara HASSAS ORTALAMALAR deir. İstatistikte dört çeşit hassas ortalama ağırlıksız veya ağırlıklı olarak hesaplamaktadır. Aalitik (Duyarlı) Ortalamalar, serii bütü terimlerii hesaba katıldığı ortalamalardır. Bu gruba dahil ola ortalamaları geel formülleri: Basit Serilerde : Sııfladırılmış Serilerde:

Grupladırılmış Serilerde: X i = Sııflar terim, r= Ortalamaı mertebesi, X i =terimleri toplaması N i = i. Terimi frekas sayısı, N i = Frekasları toplamı, m i = Sııf ortalamaları r, - a yaklaşması halide ortalama e küçük terime ulaşır, X mi. r, + a yaklaşması halide ortalama e büyük terime ulaşır, X max. Yai r arttıkça ortalama büyümekte, r azaldıkça ortalama küçülmektedir. Serii bütü terimleri eşit olduğu takdirde bu ortalamalar birbirie eşit olur. Acak İstatistik kolektif olaylarla ilgilediği içi böyle bir eşitliğe adire rastlaır. M -1 < M 0 < M 1 < M r=-1 ile arasıda değerleri verilerek bulua ortalamalar e çok kullaıla ortalamalardır. Bu ortalamalar aşağıdaki gibi sıralaır. H harmoik < G geometrik < X aritmetik < K kareli.1. ARİTMETİK ORTALAMA Bir veri setii bütü elemalarıı değerlerii toplaarak elema sayısıa bölümesiyle elde edile değere ARİTMETİK ORTALAMA deir. Basit seri, tasif edilmiş seri ve gruplamış serilerde aritmetik ortalamaı asıl hesapladığı örekler yardımıyla uygulamalı olarak ele alıacaktır..1.1. Basit Serilerde Aritmetik Ortalama Basit bir serii gözlem değerlerii (X i ) toplamıı gözlem sayısıa (N) bölümesi ile elde edilir. Basit serilerde aritmetik ortalamaı ( ) formülü aşağıda verilmiştir: ÖRNEK: İstatistik dersi sıavıa gire 5 öğrecii aldığı otlar aşağıdaki tabloda verilmiştir. Öğrecileri aldığı otları aritmetik ortalamasıı hesaplayıız. X i 70 80 0 90 50

.1.. Sııflamış Serilerde Aritmetik Ortalama Ayı değere sahip ya da tekrarlaa gözlem değerleride frekaslar (f i ) buluur, bulua frekaslar karşılık geldikleri değerlerle (X i ) çarpılır, bu çarpımlarda elde edile toplam değer toplam frekas sayısı ( ) ile bölüerek sııflamış serilerde aritmetik ortalama hesaplamış olur. Sııflamış serilerde aritmetik ortalamaı ( ) formülü aşağıda verilmiştir: ÖRNEK: İktisat bölümü öğrecilerii İstatistik fial sıavı otları tasif edilmiş seri olarak aşağıda verilmiştir. Bu dağılımı aritmetik ortalamasıı hesaplayıız? Öğrecileri Notları (X i ) Notları Sıklığı (Frekası) = f i fi X i 0 1 0 50 100 60 0 70 6 0 80 0 90 180 100 1 100 Toplam.1.. Gruplamış Serilerde Aritmetik Ortalama

Bir değişkee ait çok sayıda ve birbiride farklı veri mevcut ise bu verileri tasif edilmiş seri (küme) şeklide düzelemek zordur. Bu gibi durumlarda değişkeleri birbirie yakı değere sahip verileri bir arada toplaarak gruplamış seri olarak suulabilir. Gruplamış serilerde aritmetik ortalama hesaplaırke ilk olarak her bir grubu orta oktası ya da değeri (m i ) aşağıdaki formül yardımıyla bulumalıdır. Her bir gruba düşe gözlem sayısı o grubu frekasıı (f i ) verir. Her bir gruptaki frekas sayısı (f i ) o grubu orta değerleri (m i ) ile çarpılır, bu çarpımları toplamıda elde edile değer toplam frekas sayısı ( ) ile bölüürse gruplamış serilerde aritmetik ortalama hesaplamış olur. Gruplamış serilerde aritmetik ortalamaı ( ) formülü aşağıda verilmiştir: ÖRNEK: Sakarya Üiversitesi İİBF öğrecilerii İstatistik yılsou otları gruplamış seri olarak aşağıda verilmiştir. Bu dağılımı aritmetik ortalamasıı hesaplayıız. Başarı Derecesi Not Sııfları (Gruplar) Sııf Orta Değeri m i Öğreci (Frekası) Sayısı m i f i f i AA 90-100 95 50 750 BA 85-89 87 60 50 BB 80-8 8 0 80 CB 75-79 77 50 850 CC 70-7 7 100 700 DC 60-69 6,5 50 5 DD 50-59 5,5 60 70 DF 0-9,5 0 1780 FF 0-9 19,5 50 975 Toplam 5

.1.. Ağırlıklı Aritmetik Ortalama Bazı durumlarda serideki verileri öem dereceleri (ağırlıkları) farklı olabilir. Böyle durumlarda aritmetik ortalama hesaplaırke bu ağırlıklarıda (w i ) dikkate alıarak hesaplamaya katılması daha uygu olur; daha temsili buluur. Çeşitli seriler içi ağırlıklı aritmetik ortalama ( ) aşağıdaki formüller yardımıyla hesaplaabilir: Basit Seride Ağırlıklı Aritmetik Ortalama: Tasif Edilmiş Seride Ağırlıklı Aritmetik Ortalama: Gruplamış Seride Ağırlıklı Aritmetik Ortalama: ÖRNEK: Bir öğrecii bahar döemide aldığı dersleri kredisi ve otları aşağıda verilmiştir. Öğrecii bahar döemideki ağırlıklı ot ortalamasıı buluuz? Dersi Adı Dersi Kredisi (w i ) Not (X i ) w i X i İstatistik 70 10 İktisada Giriş 80 0 İgilizce 60 180 İkılap Tarihi 95 190 6

Toplam.1.5. Aritmetik Ortalamaı Özellikleri, Avataj ve Dezavatajları Aritmetik ortalamalar stadart sapma, ortalama sapma vb. istatistiki ölçümlerde kullaılacağıda avatajlı ve dezavatajlı özelliklerii bilimeside buda soraki çalışmalar içi faydası olacaktır. Aritmetik Ortalamaı Özellikleri: 1. Aritmetik ortalamaı terim sayısı ile çarpımı seri toplamıa eşittir: = ==> N ile her iki tarafı çarparsak. Serideki değerleri aritmetik ortalamada sapmalarıı (farklarıı) toplamı sıfırdır:. Yai. Terimleri aritmetik ortalamalarda sapmalarıı kareleri toplamı miimumdur. Diğer bir ifade ile seri terimlerii aritmetik ortalamada sapmaları kareleri toplamı, diğer bir kıymette sapmalarıı (X i P) kareleri toplamıda daha küçüktür: =. özelliğe göre olduğu içi = =. Bir serii bütü terimlerie ayı sayı ekleirse (çıkarılırsa) aritmetik ortalama eklee (çıkarıla) sayı kadar artar (azalır): 7

Ayı işlem çıkarma içide geçerlidir. 5. Bir serii bütü terimlerii ayı sayı ile çarptığımızda (böldüğümüzde) aritmetik ortalama çarptığımız/ böldüğümüz sayı ile oratılı olarak büyür / küçülür. L ile çarparsak; L ile terimleri bölersek; 6. Aritmetik ortalama çok hassas ve duyarlı bir ortalamadır. Serii bütü terimleri aritmetik ortalamaya kademe kademe tesir eder. Hele seride aşırı kıymetler mevcut buluuyorsa buda aritmetik ortalama çok etkileir ve dolayısıyla temsili olma vasfıı kaybeder. 7. İki serii karşılıklı olarak bütü terimlerii toplamıı aritmetik ortalaması serileri ayrı ayrı aritmetik ortalamaları toplamıa eşittir. Ya da çıkarlılarsa farkıa eşittir. Ayi işlem çıkarma içi de geçerlidir. Aritmetik Ortalamaı Avatajları: 1. Belirli bir değer etrafıda toplama eğilimi yüksekse aritmetik ortalama seriyi e iyi temsil ede tek bir değer verir.. Aritmetik ortalamalar stadart sapma ve varyası hesaplamasıda kullaılır.. Aritmetik ortalamaı hesaplamasıda kullaıla gözlem sayısı arttıkça, aritmetik ortalamaı dağılımı ormal dağılıma yaklaşır.. Hesaplaması ve alaşılması kolaydır. Buda dolayı e yaygı kullaıla ortalama çeşididir. Aritmetik Ortalamaı Dezavatajları: 1. Aritmetik ortalama serideki uç (sapa, aşırı) değerlere karşı hassastır. Aritmetik ortalamaı hesaplamasıda serideki bütü değerler hesaplamaya dâhil edilmektedir. Seride bir veya birde fazla çok küçük veya çok büyük değer (uç değer) mevcutsa bu değerler aritmetik ortalamayı kedi yölerie doğru sürüklerler. Buda dolayı aritmetik ortalama ormal değeride çok uzaklaşarak seriyi temsil yeteeğii kaybedebilir. 8

. Açık uçlu frekas dağılımıı olduğu durumlarda aritmetik ortalama hesaplamak doğru olmaz. Aritmetik ortalamaı uygulaması; Özellikleri dolayısıyla matematiksel işlemlere çok elverişlidir. Hesabı kolay ve alamı açık olduğu içi uygulamada e çok yararlaıla ortalamadır. Aritmetik ortalamayı sakıcalı kıla edeler olduğuda diğer ortalamalara başvurulur... KARELİ ORTALAMA Gözlem değerlerii karelerii ( ) aritmetik ortalamasıı karekökü alıdığıda elde edile souca KARELİ ORTALAMA deir. Özellikle, serideki (-) ve (+) değerlerii toplamı sıfır çıktığı durumlarda aritmetik ortalama hesaplaamayacağıda kareli ortalamayı kullaabiliriz. Basit seri, sııflamış seri ve gruplamış serilerde kareli ortalamaı asıl hesapladığı örekler yardımıyla uygulamalı olarak ele alıacaktır. Kareli Ortalama formülü, geel formülde r= değeri koarak buluur. Böylece terimleri karelerii aritmetik ortalamasıı kareköküe eşit ola kareli ortalamaı formülüe ulaşılır. Basit Serilerde Sııflamış Serilerde M M Xi Xi i1 i1 ; K i i N N Ni X i Ni X i i1 i1 ; K i i N N Gruplamış Serilerde M Nimi Nimi i1 i1 ; K i i N..1. Basit Serilerde Kareli Ortalama Basit serileri kareli ortalaması hesaplaırke, terimleri kareleri hesaplaıp toplamakta ve souç terim sayısıa bölüdükte sora karekökü alımaktadır. Basit serilerde kareli ortalamaı (K) formülü aşağıda verilmiştir. N ÖRNEK: İstatistik dersi sıavıa gire 5 öğrecii aldığı otlar aşağıdaki tabloda verilmiştir. Öğrecileri aldığı otları kareli ortalamasıı hesaplayıız? 9

İstatistik Notları (X i ) 70 900 80 600 0 1600 90 8100 50 500 X i i1 500 K 700 68.55 Ni 5... Sııflamış Serilerde Kareli Ortalama Ayı değere sahip ya da tekrarlaa gözlem değerlerii frekasları (f i ) buluur, bulua frekaslar karşılık geldikleri değerleri karesiyle ( ) çarpılır, bu çarpımları toplamı toplam frekas sayısı ( ) ile bölüür ve çıka soucu karekökü alıırsa tasif edilmiş serilerde kareli ortalama hesaplamış olur. Tasif edilmiş serilerde kareli ortalamaı formülü aşağıda verilmiştir. ÖRNEK: Maliye bölümü öğrecilerii İstatistik fial sıavı otlarıı tasif edilmiş seri olarak aşağıda verilmiştir. Bu dağılımı kareli ortalamasıı hesaplayıız? Öğrecileri Notları (X i ) Notları Sıklığı (Frekası) = f i 0 1 1600 1600 50 500 5000 10

60 600 100 70 6 900 900 80 600 5600 90 8100 1600 100 1 10000 10000 Toplam... Gruplamış Serilerde Kareli Ortalama Gruplamış serilerde kareli ortalama hesaplaırke ilk olarak her bir grubu orta oktası ya da değeri (m i ) buluur. Her bir gruptaki frekas sayısı (f i ) o grubu orta değerlerii karesi ( ) ile çarpılır ve toplamı alıır, bu çarpımları toplam değeri toplam frekas sayısı ( ) ile bölüür ve karekökü alıırsa gruplamış serilerde kareli ortalama hesaplamış olur. Gruplamış serilerde kareleri ortalamaı formülü aşağıda verilmiştir. ÖRNEK: Sakarya Üiversitesi İİBF öğrecilerii İstatistik yılsou otları gruplamış seri olarak aşağıda verilmiştir. Bu dağılımı kareli ortalamasıı hesaplayıız? Not Sııfları (Gruplar) Sııf Orta Değeri m i Öğreci (Frekası) Sayısı f i 90-100 95 50 905 5150 85-89 87 60 7569 510 11

80-8 8 0 67 68960 75-79 77 50 599 9650 70-7 7 100 518 51800 60-69 6,5 50 160 0801 50-59 5,5 60 970 17815 0-9,5 0 1980 7910 0-9 19,5 50 0 1901 Toplam Kareli Ortalamaı Özellikleri 1. Seride sıfır değerli ve ya egatif işaretli terimler buluursa, bu takdirde serii ortalamasıı hesaplamak içi, kareli ortalamaya başvurmak zorulu hale gelir.. Kareli ortalama bazı istatistik işlemlerii kolaylıkla uygulamasıı mümkü kılar. Mesela, bir dağılma (değişkelik) ölçüsü ola stadart sapma hesabıda kareli ortalamada yararlaılır... GEOMETRİK ORTALAMA Geometrik serileri ortalamasıa GEOMETRİK ORTALAMA deir. Özellikle, zamaa bağlı değişme oralarıı ifade ede üfus büyüme hızı, ekoomik büyüme hızı, fiyat artışı, bileşik faiz vb. gibi geometrik artış göstere gözlem değerlerii ve ideks sayılarıı hesaplamada kullaılır. Basit seri, tasif edilmiş seri ve gruplamış serilerde geometrik ortalamaı formülleri aşağıda verilmiştir...1. Basit Seride Geometrik Ortalama Serideki değerler (X i ) birbirleriyle çarpıldıkta sora elde edile soucu serideki gözlem sayısı (N) dereceside kökü alıdığıda basit seride geometrik ortalama hesaplamış olur. Formülü aşağıdadır. 1

ÖRNEK: Altı fiyatlarıı gülük yüzde artış değerleri aşağıda verilmiştir. Geometrik ortalamasıı hesaplayıız? Güler Altı Fiyatlarıdaki % Artışlar (X i ) Pazartesi 1 Salı Çarşamba Perşembe 8 G N X1X XX... X ; G 1***8 6.8 ÖRNEK: Bakaya yatırıla 100 TL sıa ilk yıl %10 ve ikici yıl %0 faiz ödemiştir. Yıllık faiz artış oraı (Geometrik ortalamasıı) hesaplayıız? Bu verilerde aşağıdaki souçları çıkarabiliriz. Yıllar Birici yıl Birici yılsou İkici yılsou Bakadaki Paramız 100 TL 100 TL*(1+0.10)= 110 TL 110 TL*(1+0.0)= 1 TL ya da diğer bir ifadeyle ortalama yıllık faiz artış oraı %1,9 olmuştur. eşitliğii her iki tarafıı karesii alırsak elde edilir. Bu ifade sadeleştirilerek 1. = (1+0.19) olarak yazılabilir. So eşitlik P = P 0 (1+r) olarak yazılabilir ki bu bileşik faiz formülüdür. Öreğimizde P =1., P 0 =1 ve r = 0.19 dir. r ayı zamada geometrik ortalamayı vermektedir. 1

Geel ifade olarak bileşik faiz P = P 0 (1+r) formülüde buluur.... Sııflamış Seride Geometrik Ortalama Her bir gözlem değerii (X i ) frekas sayısıa (f i ) göre kuvveti alıdıkta sora ( ) birbirleriyle çarpılırlar. Çıka soucu toplam frekas sayısı (N) dereceside kökü alıırsa tasif edilmiş seride geometrik ortalama bulumuş olur. Formülü aşağıdadır.... Gruplamış Seride Geometrik Ortalama: Her bir grubu orta değerii (m i ) frekas sayısıa (f i ) göre kuvveti alıdıkta sora ( ) birbirleriyle çarpılırlar. Çıka soucu toplam frekas sayısı (N) dereceside kökü alıırsa gruplamış seride geometrik ortalama bulumuş olur. Formülü aşağıdadır.... Logaritmik Değerler Üzeride Geometrik Ortalama Hesabı Geometrik Ortalamalar içi r = 0 dir. GO, terimleri logaritmalarıı aritmetik ortalamasıı ati logaritmasıa eşittir. log X i i1 N Basit SerilerdeG atilog(logg) atilog( ); G X 1X X... X N Ni log Xi i Ni 1 Sııflamış SerilerdeG atilog(logg) atilog( ); G i1 X X X... X Ni N 1 N N N N 1 Ni log mi i Ni 1 Gruplamış Serilerde G atilog(logg) atilog( ); G i1 m m m... m Ni...1. Basit Serileri Geometrik Ortalaması i1 1 N N N N 1 i1 N 1

Basit serileri geometrik ortalaması logaritmik değerleri kullaarak hesaplaırke, öce terimleri logaritmaları buluur, sora buları aritmetik ortalaması hesaplaır. Bu aritmetik ortalama geometrik ortalamaı logaritmik değeridir. Logaritması bulua terimleri aritmetik ortalamalarıı ati logaritması Geometrik Ortalamayı verir. İkici aşamada logaritmik değerleri aritmetik ortalamasıı ati-logaritması alıır ve geometrik ortalamaya ulaşılır. ÖRNEK: Aşağıdaki serii aritmetik ve geometrik ortalaması edir? X i 5 7 8 16 0 logx i 0,60060 0, 698970 0,85098 0,90090 1,010 logx i =,58 Toplam logaritmaları aritmetik ortalamalarıı ati logaritması geometrik ortalamayı vereceği içi G=atilog (0,850668)=7,09. Bu değer, seri içi hesaplaa aritmetik ortalama ( =8) değeride küçüktür.... Sııflamış Serileri Geometrik Ortalaması Sııflamış serileri geometrik ortalaması hesaplaırke; terimleri logaritmik değerleriyle frekasları çarpımlarıı toplamı frekaslar toplamı ile bölümekte ve soucu ati logaritması alımaktadır. X i N i logx i N i logx i 5 1 0.0100 0,7711 0,60060 0,698970 (0,0100) (0,7711) 1(0,60060) (698970) 10 N i logx i =5,557 Sııflamış serileri Geometrik Ortalamasıa terimleri logaritmik değerlerii frekaslarıyla çarpımıı toplamıı aritmetik ortalamasıı (frekas toplamıa bölümüü) ati-logaritması alıarak ulaşılır. 15

G=Atilog = Atliog(5,557/10)=Atilog(0,5557)=,6 Bu değer, seri içi hesaplaa aritmetik ortalama ( =,6) değeride küçüktür.... Gruplamış Serileri Geometrik Ortalaması Grupladırılmış serilerde ise sııf ortalamalarıı (yai m i leri) logaritmaları hesaplamaya dâhil olur. Sııflar N i m i log m i N i.log m i 1- de az -5 de az 5-7 de az 6 0,0100 0,60060 0,778151. 0,0100= 0,90090. 0,60060= 1,806180 6. 0,778151=,1160 10 N.log m i =5,817, G=,8 G=ati-log(0.58187)=.8. Bu değer, seri içi hesaplaa aritmetik ortalama ( =,) değeride küçüktür...5. Geometrik Ortalamaı Özellikleri 1. Geometrik ortalamalarıı N ici kuvveti alıdığıda terimleri çarpımıı verir. Diğer geometrik ortalama formülüü her iki tarafıı N ile çarpmak suretiyle de ayı souca ulaşırız. G N =X 1.X....X N. Aritmetik ortalamaı özelliğie karşılık geometrik ortalamada 16

(X 1 / G).(X / G)..(X N / G) =1 ilişkisi mevcuttur. Diğer bir ifade ile terimleri geometrik ortalamaya oralarıı çarpımı bire eşittir. Bu eşitlik ifadesii ayısıdır. Buradaki fark işlemleri logaritmalar üzerie olmasıdır. Eşitliği her iki tarafıı logaritmasıı alalım. Burada logx i NlogG= 0 soucu elde edilir. logg=( logx i )/ N olduğua göre NlogG= logx i dir. Buu yukarıdaki so eşitlikte yerie koyarsak, N i logg - N i logg=0 olur. Terimleri logaritmaları ile logaritmik değerleri ortalamasıda farklarıı toplamı sıfıra eşittir. (logx i logg) = 0.. Seri terimlerii (k) ici kuvvetlerii geometrik ortalaması geometrik ortalamaı (k) ici kuvvetie eşittir. k= -1 kabul edilmek suretiyle kıymetleri terslerii geometrik ortalamasıı, geometrik ortalamasıı tersie eşit olduğuu ispatlamak mümküdür.. Geometrik ortalama uç değerlerde aritmetik ortalama kadar etkilemez. Geometrik ortalama terimlerdeki ai ve aormal artışlara karşı aritmetik ortalama dereceside hassas olmayıp, ispete daha istikrarlı ve gerçeği daha iyi aksettire bir ortalama mahiyetidedir. 5. Serideki kıymetler arasıda sıfır veya egatif işaretli ola bir değer varsa, geometrik ortalamaı hesabı mümkü olmaz. Çükü ilk halde kök içideki çarpma sıfıra eşit ise egatif bir souç verir. 6. Gözlem değerleride herhagi bir taesi sıfır ve/veya egatif değere sahipse geometrik ortalama hesaplaamaz. 7. Ayı seri içi hesaplaa geometrik ortalama aritmetik ortalamada küçüktür. log X.1586 G at at at at N i i1 ilog(logg) ilog( ) ilog( ) ilog(0.595905).6 Bütü bu özellikleri şu örekte iceleyelim; 17

X i 6 logx i 0,0100 0,7711 0,60060 0,778151,1586 log X.1586 G at at at at N i i1 ilog(logg) ilog( ) ilog( ) ilog(0.595905).6 Geometrik ortalamaı N.kuvvetii;. kuvvetii hesaplarsak buu terimler çarpımıa eşit olduğuu görürüz. (,6) =...6=1 Terimleri logaritmaları ile geometrik ortalamalarıı logaritması arasıdaki cebirsel sapmaları toplamıı sıfıra eşit olduğu aşağıda görülmektedir. logx i - logg 0,0100-0,595905 = -0,85605 0,7711-0,595905= -0,06695 0,60060 0,595905= +0,06695 0,778151 0,595905=+0,85605 (logx i logg)= 0 Serii terimlerii. kuvvetlerii (karelerii) geometrik ortalamasıı hesaplarsak geometrik ortalamaı karesie ulaşılır. X i 6 logx i =.logx i.(0,0100).(0,7711).(0,60060) (.0,778151),167 18

logg =,167/ = 1,079181 G =1 = (.6) Görüldüğü gibi seri terimlerii. kuvvelerii geometrik ortalaması geometrik ortalamaı. kuvvetie eşittir. Serii so terimii 106 olarak değiştirelim. X i 106 logx i 0,0100 0,7711 0,60060,0506 =115/ = 8,75 logg=,05517/ = 0,8517 7,10 115,05517 So terim içi 6 yerie 106 ikame edildiğide aritmetik ortalama,75 de 8,75 e fırladığı halde, geometrik ortalama buda çok az etkilemiş ve,6 da 7,10 seviyesie yükselmiştir. Alaşılıyor ki, geometrik ortalama aritmetik ortalamada daha az hassas ve daha istikrarlıdır. Geometrik ortalamaı başvuru sahaları: Özellikle ayı orada artma veya azalma eğilimi göstere olaylara ilişki serilere uygulaır. Bu olaylar arasıda öcelikle üfus olayları belirtilebilir. Diğer yada, aslıda simetrik olmadığı halde logaritmaları alıdığıda simetrik hale döüşe serilere geometrik ortalamayı uygulamak gerekir... HARMONİK ORTALAMA Bir serideki gözlem değerlerii terslerii aritmetik ortalamasıı tersi HARMONİK ORTALAMAYI verir. Harmoik ortalama (H) zama birimi başıa hız ve üretim, para birimi başıa satı alıa mal miktarı vb. orasal verileri ortalamasıı bulmakta kullaılır. Basit seri, tasif edilmiş seri ve gruplamış serilerde harmoik ortalamaı formülleri aşağıda verilmiştir. Harmoik Ortalamalar= Geel ortalama formülüe r= -1 koyar isek; terimleri (-1) ici kuvvetleri buları terslerii ifade ettiğie göre, = = 19

Harmoik ortalama, terimleri terslerii aritmetik ortalamasıı aritmetik ortalamasıdır...1. Basit Serilerde Harmoik Ortalama Basit serilerde harmoik ortalama hesabı içi öce terimleri tersleri buluur. Sora buları toplamı alıır ve ihayet terim sayısı bu toplam ile bölüür. ÖRNEK: Aşağıdaki 1 birimlik malı 5 işçi tarafıda üretilme süreleri verilmiştir. Beş işçii bir birim içi ortalama üretim süresi e olacaktır? İşçiler Süreler (X i ) A saat B saat C 5 saat D 6 saat E 8 saat Toplam = 1.5 0

H=Kişi sayısı/saat başı ortalama üretim=.05 saat. İşçiler saat başı üretimi ortalama.05 saatte üretmeteler.... Sııflamış Serilerde Harmoik Ortalama Sııfladırılmış serileri harmoik ortalaması buluurke toplam frekas, frekasları terimleri ile bölümlerii toplamıa bölümektedir. X i 6 8 N i 1 N i /X i 0.5 0.5 0,5 0,5 => H= 10/ = 5 10...Gruplamış Serilerde Harmoik Ortalama Grupladırılmış serileri harmoik ortalaması toplam frekasları, frekasları sııf ortalamalarıa (yai m lere) bölümlerii toplamıa bölümesidir.. Sııflar 1-5 de az 5-9 de az N i 1

9-1 de az 5 10 m i 7 11 N/m i 0.66 H=10/1.5= 6,5 0. 0.5 1.5... Harmoik Ortalamaı Özellikleri 1. Serideki gözlem değerleride herhagi bir taesi sıfır değerie sahipse harmoik ortalama sıfır olacağıda hesaplamasıı bir alamı yoktur. Bu durumda harmoik ortalamayı hesaplayamayız.. Harmoik ortalamaı hesaplaabilmesi içi serideki tüm değerleri pozitif ya da egatif olması gerekir. Serideki farklı işaretler harmoik ortalama soucuu alamsız kılar. Seri terimleri farklı işaretli ise, bu takdirde harmoik ortalamaları hesabı yapılabilse de souç alam taşımaz. Bu sebeple, harmoik ortalamaı hesaplaabilmesi içi serii bütü terimleri ayı işareti taşımalıdır. Aşağıdaki örekle bu iki özellik açıklaabilir. X i 1/X i X i 1/X i 0 8 16 0.5 0.5 0,15 0.065 - - 8-0.5-0.50 0.50 0.5 0.15 0.15 H= 5/ = 0. Harmoik ortalama alamsızdır. H=5/0.15=0. Bu souç bir ortalama maksimum değerde daha büyük bir değere sahip olması mümkü olmadığı içi, ortalama olarak kabul edilmez. Harmoik ortalamaları uyguladığı yerler; Harmoik ortalama sıırlı hallerde uygulaır. Yalız doğruda doğruya ifade ettiği alam yerie, tersie çevrildiğide taşıyacağı alama öem verile ora türüdeki icelikleri ortalamasıı bulmak içi kullaılır. Gerçekte; fiyat= ödee para/karşılığıda alıa mal miktarı Verimlilik= başarıla iş/ emek

Verim= ürü/ ekim alaı Hız= gidile uzaklık/ zama vb. oralarda kullaılır..5. TARTILI ORTALAMALAR Tartılı Ortalamalar: Ortalama hesaplaırke seri terimleri arasıdaki fark dikkate alımak istese, her terime öemi ile oratılı bir tartı vererek tartılı ortalamayı hesaplamak zorulu olur. Tartısız ortalamalara bezer şekilde, tartılı ortalamalar arasıda şu ilişki vardır. H t < G t < X t < K t Bu formüllerde t tartıları gösterir. Öreği ot ortalamasıda haftalık ders saati tartı olarak kullaılır, dersleri öem sırası dikkate alıabilir..5.1. Basit Serileri Tartılı Ortalaması

X i t i t i X i logx i t i logx i t i / X i X i t i X i 6 0,0100 0,90090 1,50 1 1 0,60060 0,60060 0,5 16 16 5 0 0,698970,795880 0,80 5 100 6 1 0,778151 1,5560 0, 6 7 10 5,857,88 00 t= /10 =,, H t = 10/,88=,7, logg t = 5,85/10 = 0,585, G t =,85.5.. Sııflamış Serileri Tartılı Ortalaması X i N i t i t i N i t i N i X i logx i t i N i logx i t i N i /X i X i t i N i X i 1 0 0 1 1 6 0,7711 5,755 9 108 1 16 0,6006,08 1 16 6 6 1 18 0,778151,5 0,5 6 108 7 10,6815 9,5 8 t = 7/ =,, H t = /9,5=,, logg t = 10,6815/ = 0,5517 => G t =,85.5.. Gruplamış Serileri Tartılı Ortalaması Sııflar N i t i 0- de az - de az -6 da az 6-8 de az 1 1

m i t i N i t i N i m i logm i t i N i logmi t i N i /m i m i t i N i m i 1 0 0 1 1 6 0,7711 5,755 9 108 5 10 0,69897 1,979 0, 5 50 7 8 56 0,85098 6,76078 1,1 9 9 5 105 1,8818 8,5 55 t = 105/5 =,, H t = 5/8,5=,9 logg t = 1,8818 / 5 = 0,55567 => G t =,59 Tartılılar; baze objektif baze de sübjektif şekilde verilebilir. Geelde objektif ölçütlerde hareket edilmelidir. Öreği, TEFE (topta eşya fiyatları edeksi) e dahil ola maddeleri fiyatlarıdaki öem farkıı belirtmek içi, bu maddeleri satış miktarıı tartı olarak alabiliriz. Geçime edeksleride her bir mal veya hizmeti aile bütçesideki orasal payı tartı kabul edilebilir. Notları ortalaması hesabıda okutula haftalık ders saati tartı rolüü oyamak suretiyle dersleri öem derecesii ortaya koyabilir..6. Gruplamış Serileri Duyarlı Ortalamalarıdaki Hata Duyarlı ortalama hesaplarıda m i lerde yararlaırke, her sııfı birimleri tamamıı değerce o sııfı tam ortasıda toplamış olduğu varsayımıda hareket edilir. Bu yüzde gruplamış serileri duyarlı ortalamaları hatalıdır veya yaklaşıktır. Basit ve sııflamış serilerde bu hata yok olur. Bu hata sııf frekasları büyüdüğü ve seri simetriye yaklaştığı orada küçülür. Aritmetik ortalama hesabıyla duyarlı ortalamaları, hesapları sııf ortalamalarıa göre yayılmasıda asıl etkilediğii aritmetik ortalama ile açıklayalım. Perosel Sayısı Toplam Maaş Maaş m i N i m i 0 8000 0-1000 de az 500 10000 10 1000 1000-000 de az 1500 15000 7 16000 000-000 de az 500 17500 11700 000-000 de az 500 10500 N i =0 X i =7700 5000 5

Burada birici sütuda bir işyeride çalışa 0 persoeli toplam 7700 TL maaş aldığı görülür. Dolayısıyla, ortalama persoel maaşı = 7700/0= 119.5 TL dir. Eğer burada ilk sütudaki persoel maaşlarıı bilmeseydik ortalama şöyle olacaktı; Aritmetik ortalama= 5000/ 0= 15 TL. Gerçek ola maaş 119.5 TL dir. Aradaki 1.5 TL lik fark hesaplamaları sııf ortalamalarıa göre yapılmasıda kayaklamaktadır. KAYNAKLAR: 1. Yılmaz Özka, Uygulamalı İstatistik 1, Sakarya Kitapevi, 008.. Özer Serper, Uygulamalı İstatistik 1, Filiz Kitapevi, 1996.. Meriç Öztürkca, İstatistik Ders otları, YTÜ.. Adım Obe Balce ve Serdar Demir, İstatistik Ders Notları, Pamukkale Üiversitesi, 007. 5. Ayşe Caa Yazıcı, Biyoistatistik Ders Notları, Başket Üiversitesi. 6. Zehra Muluk ve Yavuz Ere Atama, Biyoistatistik ve Araştırma Tekikleri Ders Notları, Başket Üiversitesi. 6