Uludağ Üiversitesi İktisadi ve İdari Bilimler Fakültesi Dergisi Cilt XXIV, Sayı 1, 2005, s. 101-114 TAMSAYILI PROGRAMLAMADA DAL KESME YÖNTEMİ VE BİR EKMEK FABRİKASINDA OLUŞTURULAN ARAÇ ROTALAMA PROBLEMİNE UYGULANMASI Zehra BAŞKAYA * Burcu AVCI ÖZTÜRK ** Özet Güümüzde rekabeti artması ve tekolojii hızla ilerlemesi ile işletmeleri kedilerii sürekli yeilemeleri gerekmektedir. Bu durumda müşteri taleplerii zamaıda ve eksiksiz olarak miimum maliyetle karşılaması büyük öem taşımaktadır. Müşteri taleplerii zamaıda ve e az maliyetle karşılamasıı plalaması içi karmaşık bir optimizasyo problemi ola araç rotalama kullaılmaktadır. Klasik araç rotalama problemleri, bir merkez depoda müşterilere miimum maliyetle ürü taşımasıa dayamaktadır. Maliyeti miimum olması içi de, araçları kat ettikleri toplam yolu miimum olması gerekmektedir. Araç rotalama problemleri, 112 acil servis ambulaslarıı e uygu yollarıı saptamasıda, telefola çağrıla taksilerde, toplu taşıma sistemide, eve teslim hizmetleride, çöp toplama araçlarıı rotalarıı belirlemeside ve bular gibi daha bir çok alada kullaılmaktadır. Bu araştırmada, bir ekmek fabrikasıı 5 satış şubesie ekmek dağıtımı problemi, araç rotalama kullaılarak dal-kesme yötemi ile çözülmüş, araçlar içi e kısa yollar ve rotalar belirlemiştir. Aahtar Kelimeler: Tamsayılı Programlama, Dal-kesme Yötemi, Araç Rotalama Problemi. * ** Doç. Dr.,Uludağ Üiversitesi, İİBF, İşletme Bölümü. Arş. Gör., Uludağ Üiversitesi, İİBF, İşletme Bölümü.
102 U.Ü. İktisadi ve İdari Bilimler Fakültesi Dergisi Cilt XXIV, Sayı 1 Abstract With icreasig of competitio ad the rapid growth of techology ad its icreasig usage, firms eed to iovate themselves. The objective of vehicle routig is to provide a high level of customer demads while keepig the operatig ad ivestmet costs as low as possible. The Vehicle Routig is a complex combiatorial optimizatio problem which has bee used i order to pla with overall miimum route cost which service all the demads. Typical Vehicle Routig Problem depeds o least cost routes from oe depot to a set of geographically scattered poits (cities, stores, warehouses, customers). All routes eed to miimum i order to miimize customer support costs. Vehicle Routig Problem has bee used as desigig routes for 112 emergecy service ambulace ad garbage collectio, i callig taxis, mass trasportatio, home delivery ad ay other areas like these. I this study, delivery problem to five sales agecy i a bread factory has bee dissolved usig Vehicle Routig ad determied the shortest routes for vehicles with brach ad cut approach. Key Words: Iteger Programmig, Brach Ad Cut Method, Vehicle Routig Problem. 1. GİRİŞ Tamsayılı programlama çözüm metodolojisi içeriside gerçekleştirile çarpıcı gelişim edeiyle 1980 leri ortalarıda beri yöeylem araştırmasıı özellikle ilgi çekici bir dalı olmuştur. Bu gelişimi ele alabilmek içi tarihsel gelişimi göz öüde buludurmak gerekmektedir. Yötemde bir büyük atılım, 1960 larda ve 1970 leri başıda, dal-sıır yötemii geliştirilmesi ve yöteme eklemeler yapılması ile gerçekleştirilmiştir. 100 değişkei altıdaki küçük çaptaki problemleri oldukça etki bir şekilde çözülebildiği fakat problemi büyüklüğü arttıkça hesaplama süreleride kabul edilebilir limitleri üzerie çıkıldığı gözlemiştir. Öce kesme düzlemi yaklaşımı ve daha sora 1980 leri ortasıda dal-kesme yaklaşımı geliştirilmiştir. Bu iki yaklaşım kullaılarak büyük çaptaki problemleri çözümüde öemli bir yol kat edilmiştir (Hillier ve Lieberma, 2005: 521). Araç rotalama problemleri de matematiksel ve sezgisel bazı yötemler ile çözülebilmektedir. Araç rotalama problemi, kısıtlı kapasiteler ola araçlar ile toplam yolculuk maliyetii miimum yapacak şekilde her aracı hagi müşterilere hagi sırada hizmet vereceğii belirlemesi olarak taımlamaktadır. Problemi NP-zor yapıda olması ve uygulama alaıı geişliği uzu yıllardır hem araştırmacıları hem de uygulamacıları ilgisii çeke bir kou olmasıa yol açmıştır (Alabaş ve Degiz, 2004: 1).
Tam Sayılı Programlarda Dal Kesme Yötemi 103 Bu araştırmada, tamsayılı programlama çözüm yötemleride dalkesme yötemi açıklamış ve bir ekmek fabrikasıı 5 satış şubesie yaptığı ekmek dağıtımı içi miimum maliyetli rotaları belirlemesii sağlaya bir araç rotalama modelii çözümüde kullaılmıştır. 2. DAL-KESME YÖNTEMİ Dal-kesme yötemi tamsayılı programlama problemleri içi oldukça etkili bir yötemdir. Bu yötem kesme düzlemi algoritması ve dal-sıır yötemlerii bir birleşimidir. Dal-kesme yötemi de diğer tamsayılı programlama algoritmalarıyla (Dal-sıır, Kesme düzlemi) bezer olarak tamsayılı programlama problemii, doğrusal programlama ile yapılacak çözümü ile başlar. Geel bir tamsayılı programlama problemii sadece kesme düzlemi yaklaşımı ile verimli olarak çözebilmek mümkü değildir, alteratif optimum çözümleri bulmak içi dalladırma yapmak da ayrıca gereklidir. Dal-sıır yaklaşımı, kesme düzlemi algoritmasıı uygulaması ile oldukça hızladırılabilir. Dalladırma yapılmada kesme ekleebileceği gibi ağacı her düğümüü çözüm aşamasıda da kesmeler kullaılabilir (Mitchell, 1998: 1 2). 2.1. Problemi Dallara Ayrılması: Dalladırma yapılarak çözüme götürmeye bazı çözüm seçeekleri öcede elimie edilmektedir. Bu edele gerekli değerledirmeleri sayısı, geellikle, çözüm alaıı boyutlarıda oldukça küçüktür. Bu verimli arama yötemi, çözüm alaıı küçük alt problemlere böler. Bu alt problemlere dalladırma oktaları adı verilir. Her alt problem, daha fazla araştırma gerekip gerekmediği belirlemek üzere değerledirilir. Değerledirme, amaç foksiyo değerlerii alt ve üst sıırlarla karşılaştırarak gerçekleştirilir. Miimizasyo sorularıda alt problemi olurlu çözümleri içi amaç foksiyo değerlerie bir alt sıır buluur. Başlagıçta kullaılmak üzere, eğer alt sıır bir üst sıır ise tüm alt problem elimie edilir. Yötem her değerledirmede sora üst sıırı yeide düzelemesii olaaklı kılacak biçimde tasarlamıştır. Dalladırma elimie edilmemiş ve e küçük alt sıırlı alt problemlerde yapılır. Sıırlar arasıdaki fark, daha iyi çözümler buludukça azalır ve optimal çözüm buluur. Maksimizasyo sorularıda ise yötem biraz değiştirilir. Her alt problem içi amaç foksiyouu değerie üst sıırlar buluur. Her alt problem içi bu üst sıırlar, optimum amaç foksiyo değerie ilişki bir alt sıır ile karşılaştırılır. Başlagıçta sıfır değeri kullaılmak üzere, eğer üst
104 U.Ü. İktisadi ve İdari Bilimler Fakültesi Dergisi Cilt XXIV, Sayı 1 sıır alt sıır ise o alt problem elimie edilir. Buraya kadar e iyi çözüm şimdiye kadar yapıla değerledirmelerde e yüksek amaç foksiyo değerii veredir ve o adaki alt sıır bu değerdir. Dalladırma geellikle e yüksek üst sıırı ola ve elimie edilmemiş alt problemde yapılır (Tütek ve Gümüşoğlu, 1994: 260 261). Soladırılmamış alt problemlerde, e yüksek sııra sahip ola seçilir. Bu alt problemi düğümüde, bir soraki değişke kararlaştırılarak dalladırma yapılarak iki yei alt problem oluşturulur (Hiller ve Lieberma, 1990: 472). 2.2. Kesmeleri Oluşturulması Eğer dallarda elde edile çözümler tamsayılı değilse, doğrusal programlama problemie ek bir doğrusal kısıtlayıcı ekleir. Bu ek kısıtlayıcı Gomory i geliştirdiği Kesim Düzlemi kuralıa göre elde edilir. Kesim düzlemi kuralıda doğrusal programlama çözümü ile elde edile optimal çözüm değerleride e büyük kesir değerli karar değişkei seçilir. Daha sora, bu değişkei satırıda bulua değişkeleri katsayıları tamsayılı ve kesirli olarak yazılır ve tamsayılı değişkeler deklemi sağ tarafıda toplaır. Sağ tarafta yer ala tamsayılı değişkeler atılır ve sadece kesirli elema bırakılır. Tamsayılı değişkeler atıldığıa göre eşitlik halideki deklem eşitsizliğe döüşecek ve sol taraftaki kesirli kısım sağ taraftaki elemaı değeride büyük veya eşit olacaktır. Böylece ek kısıtlayıcı elde edilmiştir ve bu ek kısıtlayıcı deklemi stadart hale getirmek içi yei bir değişke ekleir. Sora da bu ek kısıtlayıcıya tamsayılı olmaya optimal çözüm tablosuda yer verilerek tekrar doğrusal programlama çözüm işlemlerie geçilir (Öztürk, 2001: 168). Eğer çözümler yie tamsayılı olarak buluamazsa, tekrar kesme ekleebilir ya da problem tekrar dallara ayrılabilir. 3. ARAÇ ROTALAMA PROBLEMİ (ARP) İşletmeler, ürülerii müşterileri yerleşim yerlerie ulaşımıı sağlamak amacıyla birkaç araçta oluşa araç filoları kullaırlar. Dağıtım içi kullaılacak ola araç filolarıı etki bir şekilde yöetilmesi gerekliliği birtakım problemleri ortaya çıkarmaktadır. Araçları ziyaret etmesi gereke yerleri sırasıı içere bu problemler rotalama problemleri olarak adladırılabilir (Başkaya, 2005: 203). Bu problemlerde biri de araç rotalama problemidir (ARP). ARP, NP (determiistik olmaya poliomial) karmaşıklığıa sahip ve çözülmesi zama ala bir problemdir. Araç rotalama problemlerii NP-zor tipi problemler olması optimal souca ulaşma zamaıı çok fazla olmasıa sebep olmaktadır. (Avriel ve
Tam Sayılı Programlarda Dal Kesme Yötemi 105 Golay, 1996: 581). Araç rotalama problemleri tamsayılı programlama çözüm yötemleri ile çözülebildiği gibi sezgisel ve optimuma yakı souç vere yötemlerle de çözülebilmektedir. Bu araştırmada, klasik bir araç rotalama problemii tamsayılı programlama çözüm yötemleride dalkesme yötemi kullaılarak çözümü araacaktır. Araç rotalama problemi, mamulleri birde fazla araç ile bir veya birde fazla üretim merkezide ilgili talep yerlerie miimum mesafe veya miimum maliyetle taşımasıı hedefleye bir problem türüdür. Bu problem türüde dağıtıcı belirli kapasitelere sahip araçlarda oluşa bir filoya sahiptir (Prasaa ve Staislaw, 2006: 1). Araç rotalama problemlerii öemli ve yaygı bir uygulama alaı vardır. Bir araç filosu, tek bir depoda stoklaa malları müşterileri gülük siparişleri doğrultusuda dağıtmaktadır. İşletmeleri bazılarıda, müşteriler her güü başlagıcıda siparişlerii merkez depoya bildirmekte ve böylece merkez depo tarafıda tahsis edile araçlar içi taleplere göre bir dağıtım programı hazırlamaktadır. Taşıma yolları belirleirke toplam mesafeyi miimize edecek bir rota belirlemektedir. Tahsis edile her aracı sabit bir kapasitesi vardır ve talepler belirli olup her sipariş içi araç kapasitesii sabit bir bölümü kullaılmaktadır (Robeso ve House, 1985: 400). Klasik bir araç rotalama problemi aşağıdaki özellikleri taşımaktadır (Caccetta ve Hill, 2001: 524): 1. Bir çeşit ürü, tek bir depoda, bilie taleplerle müşterilere dağıtılmaktadır. 2. Her müşterii talebi bir araç tarafıda karşılamaktadır. 3. Her aracı kapasitesi ayıdır ve her araç tek bir tur yapmaktadır. 4. Gidile toplam uzaklıkta bir aracı kapasitesi aşılamamaktadır. 5. Her müşteriye belirli bir zama aralığıda hizmet suulmaktadır. 6. Araç rotalama problemide amaç, tüm araçlar tarafıda kat edilecek ola toplam uzaklığı miimize etmektir. Araç rotalama problemlerii souçları bir maliyet değerleme aracı olarak stratejik amaçlarla kullaılabilmektedir. Böyle bir çalışma içi ilk öce müşteri talepleri ile ilgili öcede plalamış bilgiler, maliyet bilgileri ve dağıtım işlemleri ile ilgili bilgiler elde edilmekte, sora bu bilgilere dayaılarak uygu dağıtım programıı belirlemesi sağlamaktadır (Varij, 1988: 42-43). 3.1. Araç Rotalama Problemii Matematiksel Modeli Araç rotalama problemlerii tamsayılı programlama çözüm yötemleri ile çözüme ulaştırılabilmesi içi öcelikle doğrusal programlama
106 U.Ü. İktisadi ve İdari Bilimler Fakültesi Dergisi Cilt XXIV, Sayı 1 modeli olarak ifade edilmesi gerekmektedir. Tüm tamsayılı programlama problemleride olduğu gibi algoritmaları uygulaabilmesi içi problemi doğrusal programlama çözümüe ihtiyaç duyulmaktadır. Problemi çözümüde uzaklık matrisi c = (c ij ) şehirler arasıdaki uzaklıkları vermektedir. Simetrik bir problemde c ij = c ji olarak belirlemektedir (Laporte ve Nobelt, 1980:2). şehirli bir araç rotalama problemi,.( 1)/2 elemada oluşa bir uzaklık vektörüe sahiptir ve aslıda uzaklıkları vere vektörde 2 kadar elema olması gerekirke c ij = c ji ve c ii = olduğuda ayı şehirler arasıdaki uzaklıklar dikkate alımamaktadır (Datzig ve Johso, 2001:1). toplam şehir veya depo sayısıı, Q araç kapasitelerii, c ij şehirler veya depolar arasıdaki uzaklıkları, K araç sayısıı ve D talep miktarlarıı göstermek üzere araç rotalama problemii matematiksel modeli aşağıdaki şekilde kurulmaktadır (Caccetta ve Hill, 2001: 525): 1 Bir yerde diğerie geçiş varsa; X ij = 0 Bir yerde diğerie geçiş yoksa. Miimum i= 1 j= 1 c ij X ij c ii = i = 0,1,..., j = 0,1,..., j= 1 X ij = 1 i j i = 0,1,..., i= 1 X ij = 1 i j j = 0,1,..., j= 1 X 0 j = K i= 1 X i0 = K i= 1 j= 1 X ij D i Q i j i = 1,2,..., j = 1,2,..., X ij 0 ve tamsayı
Tam Sayılı Programlarda Dal Kesme Yötemi 107 3.2. Araç Rotalama Problemii Dal- Kesme Algoritması İle Çözümü Dal-kesme algoritması, araç rotalama problemii doğrusal programlama çözümü yapıldıkta sora uygulamaya başlamaktadır. Araç rotalama problemii doğasıda dolayı optimum çözümü gerçekleşebilmesi içi alt turları oluşmaması gerekmektedir. Alt tur öreği 5 şehirli bir problemde tek araç olduğu durumda X 12 = X 23 = X 31 ve X 45 = X 54 şeklide oluşabilir. Bu turları şekilsel ifadesi Şekil 3.1 de gösterilmektedir (Fischetti ve diğerleri, 1997: 379). Çözüm soucuda eğer alt tur oluşmuş ise öcelikle seçile bir alt turu oluştuğu yerler arasıdaki uzaklıklar sosuza eşitleerek başka bir deyişle alt turu oluştura değişkeler teker teker sıfıra eşitleerek problem dallara ayrılmaktadır (Wager, 1972: 471). Öreği alt tur X 45 = X 54 şeklide oluşmuş ise; problem X 45 = 0 ve X 54 = 0 olarak iki dala ayrılmaktadır. Problemi çözümüe yie ulaşılmadığı taktirde dallara alt tur egelleme kısıtları kesme olarak eklemektedir. Şekil 3.1. Alt Tur Öreği Öreği X 23 + X 32 1 2. ve 3. şehirler arasıdaki alt turu egellerke, X 23 + X 34 + X 42 2 2., 3. ve 4. şehirler arasıdaki alt turu egellemektedir (Wager, 1972: 472). Dolayısıyla alt tur egelleme kısıtları alt turu oluştura şehir sayısıı göstermek üzere;
108 U.Ü. İktisadi ve İdari Bilimler Fakültesi Dergisi Cilt XXIV, Sayı 1 X ij + X ji 1 X ij + X jk + X ki 2 X ij + X jk + X kl + X li 3.... X ij +..+ X i ( 1) şeklide oluşmaktadır. Problem eğer kısıtlayıcılar eklediğide de alt tur oluşmada solamazsa, tekrar dallara ayrılabilir ya da alt tur egelleme kısıtlayıcıları tekrar ekleerek alt turlar elimie edilebilir. 4. ARAŞTIRMANIN UYGULAMASI 4.1. Araştırmaı Evrei ve Öreklemi Bir ulaştırma soruuu araç rotalama problemi olarak ifade edilip çözümüü yapılabilmesi içi birde çok araç ve talep yerie sahip ola bir işletmeye ihtiyaç duyulmaktadır. Bu edele araştırma modelie uygu ola 5 şubeye ve 2 araca sahip bir ekmek fabrikasıı ulaştırma soruu öreklem olarak seçilmiştir. Araştırmada öreklem olarak seçile ekmek fabrikasıı 5 satış şubesie her şubei ihtiyacı ola ekmek sayısıı karşılayarak, iki aracıı, miimum maliyeti gerçekleştirebilmek içi hagi rotaları izlemesi gerektiği icelemeye çalışılmıştır. Bu amaçla, fabrikaı dağıtım soruu bir araç rotalama problemi olarak ifade edilmiş ve dal-kesme yötemi ile çözülmüştür. 4.2. Elde Edile Veriler Araştırma ile ilgili veriler fabrikaı merkez sorumlusuda alımıştır. Ekmek fabrikasıı elide ekmekleri taşıyabileceği iki aracı bulumaktadır, araçları kapasiteleri eşittir ve her birii 2.800 adet ekmek taşıma kapasitesi vardır. Satış şubelerii gülük ekmek ihtiyacı Tablo
Tam Sayılı Programlarda Dal Kesme Yötemi 109 4.1 de, merkez ve şubeler arasıdaki uzaklıklar da km olarak Tablo 4.2 de gösterilmektedir. Tablo 4.1. Şubeleri Gülük Ekmek İhtiyacı Şubeler Gülük Ekmek İhtiyacı (adet) 1. Şube (1) 550 2. Şube (2) 630 3. Şube (3) 750 4. Şube (4) 650 5. Şube (5) 740 Toplam 3.320 Tablo 4.2. Şubeler Arasıdaki Uzaklıklar Merkez 1. Şube 2. Şube 3. Şube 4. Şube 5. Şube Merkez (0) 0 46 51 35 60 22 1. Şube (1) 46 0 95 24 66 32 2. Şube (2) 51 95 0 86 92 67 3. Şube (3) 35 24 86 0 46 16 4. Şube (4) 60 66 92 46 0 49 5. Şube (5) 22 32 67 16 49 0 4.3. Araştırmaı Modeli Elde edile veriler ışığıda model araç rotalama problemi biçimide ifade edilecektir. Ekmek fabrikasıı şubeleri arasıdaki ekmek dağıtımıdaki rotasıı belirleyecek ola matematiksel model aşağıda gösterilmektedir. Amaç foksiyou, maliyeti dolayısıyla gidilecek mesafei miimum olarak hesaplamasıa uygu şekilde düzelemiştir, bu problemde amaç foksiyouu açılımı aşağıda yer almaktadır: Z MİN = 46X 01 + 51X 02 + 35X 03 + 60X 04 + 22X 05 + 46X 10 + 95X 12 + 24X 13 + 66X 14 + 32X 15 + 51X 20 + 95X 21 + 86X 23 + 92X 24 + 67X 25 + 35X 30 + 24X 31 + 86X 32 + 46X 34 + 16X 35 + 60X 40 + 66X 41 + 92X 42 + 46X 43 + 49X 45 + 22X 50 + 32X 51 + 67X 52 + 16X 53 + 49X 54 Fabrikaı elide 2 aracı vardır. Araçları taşıyabilecekleri maksimum kapasiteler toplam talebi karşılayabilecek durumdadır. Toplam Kapasite/Araç Kapasiteleri = 3.320/2.800 = 1,15. Bu durumda fabrikaı toplam kapasiteyi karşılayabilmek içi iki araca ihtiyacı olduğu görülmektedir. Modeli kısıtlayıcıları ise aşağıda belirtilmiştir.
110 U.Ü. İktisadi ve İdari Bilimler Fakültesi Dergisi Cilt XXIV, Sayı 1 Depoda 2 adet araç çıkmaktadır. X 01 + X 02 + X 03 + X 04 +X 05 = 2 Depoya 2 adet araç dömektedir. X 10 + X 20 + X 30 + X 40 + X 50 = 2 Bir talep merkezide yalızca bir talep merkezie gidilebilmektedir. X 10 + X 12 + X 13 + X 14 + X 15 = 1 X 20 + X 21 + X 23 + X 24 + X 25 = 1 X 30 + X 31 + X 32 + X 34 + X 35 = 1 X 40 + X 41 + X 42 + X 43 + X 45 = 1 X 50 + X 51 + X 52 + X 53 + X 54 = 1 Bir talep merkezie yalızca bir talep merkezide geliebilmektedir. X 01 + X 21 + X 31 + X 41 + X 51 = 1 X 02 + X 12 + X 32 + X 42 + X 52 = 1 X 03 + X 13 + X 23 + X 43 + X 53 = 1 X 04 + X 14 + X 24 + X 34 + X 54 = 1 X 05 + X 15 + X 25 + X 35 + X 45 = 1 Rota üzerideki talepler toplamı, kapasiteyi aşmamalıdır. 630X 21 + 750X 31 + 650X 41 + 740X 51 2.800 550X 12 + 750X 32 + 650X 42 + 740X 52 2.800 550X 13 + 630X 23 + 650X 43 + 740X 53 2.800 550X 14 + 630X 24 + 750X 34 + 740X 54 2.800 550X 15 + 630X 25 + 750X 35 + 650X 45 2.800 X ij 0 ve tamsayı olmalıdır. 4.4. Bulgular 4.4.1. Araç Rotalama Problemii Doğrusal Programlama Çözümü Matematiksel modeli Wi QSB bilgisayar programı kullaılarak elde edile doğrusal programlama çözümü, X 02 = X 20 = 1, X 04 = X 45 = X 50 = 1, X 13 = X 31 = 1 ve Miimum Z = 281 km olarak bulumuştur. Bu çözüm, problem içi uygu çözüm değildir çükü, ekmek fabrikasıı iki aracı vardır ve optimum çözümü de iki rotada oluşması gerekmektedir. Çözümde üç rota bulumaktadır. Bir araç merkez depoda 2. şubeye gitmekte ve tekrar merkez depoya dömektedir. Bir araç, yie merkez
Tam Sayılı Programlarda Dal Kesme Yötemi 111 depoda çıkıp 4. şubeye, daha sora 5. şubeye gitmekte ve orada merkez depoya dömektedir. Diğer bir araç ta, 1. şubede çıkıp 3. şubeye gitmekte ve 1. şubeye geri dömektedir. X 13 = X 31 = 1 turu, araç rotalama problemlerii özellikleri ile çelişmektedir. Her araç, merkez depoda çıkmalı ve yie merkez depoya dömelidir. Fakat bu tur bir aracı 1. şubede, 3. şubeye gideceğii ve 3. şubede yie 1. şubeye döeceğii ifade etmektedir. Bu ifade bir alt turu göstermektedir. Bu edele problem alt turu oluştura değişkeler teker teker sıfıra eşitleerek dallara ayrılacaktır. Birici dal, X 13 = 0 ve ikici dal X 31 = 0 şeklide oluşacaktır. 4.4.2. Birici Alt Problem Modelde X 13 = 0 yazılarak birici alt problem oluşturulmuştur. Bu ifade, problemi doğrusal programlama çözümüde elde edile alt turu egelleyecektir. Model tekrar çözüldüğüde alt problemi soucu, X 02 = X 20 = 1, X 05 = X 50 = 1, X 14 = X 43 = X 31 = 1 ve Miimum Z = 282 km olarak bulumaktadır. Görüldüğü gibi 3 adet tur oluşmuştur ve 3 araca ihtiyaç duyulmaktadır. Optimum çözüme ulaşılamamıştır ve oluşa alt turu elimie edilebilmesi içi modele alt tur egelleme kısıtlayıcısı ekleecektir. Alt turu oluştura tur, X 14 = X 43 = X 31 = 1 rotasıdır. Çükü herhagi bir aracı 1. şubede çıkarak yie 1. şubeye dömesi mümkü değildir. Bu tur içi alt tur egelleme kısıtlayıcısı X 14 + X 43 + X 31 2 olmaktadır. Kısıtlayıcı modele ekledikte sora, doğrusal programlama çözümü yapılmış ve X 02 = X 20 = 1, X 04 = X 43 = X 31 = X 15 = X 50 = 1 ve Miimum Z = 286 km soucu elde edilmiştir. Burada 2 tur oluşmuştur ve 2 araca ihtiyaç duyulmaktadır. Alt tur oluşmadığıda problem bu dalda soladırılacaktır. Bir araç, merkez depoda çıkacak 2. şubeye gidecek ve yie merkez depoya geri döecektir. Diğer bir araç ise, merkez depoda 4. şubeye, orada 3. Şubeye, sora 1. şubeye, daha sora 5. şubeye gidecek ve merkez depoya geri döecektir. Toplam kat ettikleri miimum uzaklık ta 286 km olacaktır. Bu aşamada sora ikici alt problem çözülecek ve daha uygu bir çözüm araacaktır. Daha uygu bir çözüm bulumadığı taktirde, Miimum Z = 286 km optimum çözüm olarak belirleecektir. 4.4.3. İkici Alt Problem Modelde X 31 = 0 yazılarak ikici alt problem oluşturulmuştur. Model tekrar çözüldüğüde alt problemi soucu, X 02 = X 20 = 1, X 05 = X 50 = 1, X 13 = X 34 = X 41 = 1 ve Miimum Z = 282 km olarak bulumaktadır. Bu çözümde de görüldüğü gibi yie 3 adet tur oluşmuştur ve 3 araca ihtiyaç duyulmaktadır. Optimum çözüme ulaşılamamıştır ve oluşa alt turu elimie edilebilmesi içi modele alt tur egelleme kısıtlayıcısı ekleecektir. Alt turu oluştura tur, X 13 = X 34 = X 41 = 1 rotasıdır. Çükü herhagi bir aracı 1. şubede çıkarak yie 1. şubeye dömesi mümkü değildir. Bu tur içi alt tur egelleme kısıtlayıcısı X 13 + X 34 + X 41 2 olmaktadır.
112 U.Ü. İktisadi ve İdari Bilimler Fakültesi Dergisi Cilt XXIV, Sayı 1 Kısıtlayıcı modele ekledikte sora, tekrar doğrusal programlama çözümü yapılmış ve X 02 = X 20 = 1, X 05 = X 51 = X 13 = X 34 = X 40 = 1 ve Miimum Z = 286 km soucu elde edilmiştir. Burada da birici alt problemi soucuda olduğu gibi yie 2 tur oluşmuştur ve 2 araca ihtiyaç duyulmaktadır. Alt tur oluşmadığıda problem bu dalda da soladırılacaktır. Bir araç, merkez depoda çıkacak 2. şubeye gidecek ve yie merkez depoya geri döecektir. Diğer bir araç ise, merkez depoda 5. şubeye, orada 1. şubeye, sora 3. şubeye, daha sora 4. şubeye gidecek ve merkez depoya geri döecektir. Toplam kat ettikleri miimum uzaklık ta yie 286 km olacaktır. Bu souca göre, daha uygu bir çözüm yoktur. Çükü, iki alt problemi soucu da 286 km olarak bulumuştur ve alteratif bir tur oluşmuştur. Her iki alt problemde bulua rotalar da optimumdur. Problemi çözümü Şekil 4.1 de özetlemiştir. X 02 = X 20 = 1 X 04 = X 45 = X 50 = 1 X 13 = X 31 = 1 ve Miimum Z = 281 km X 13 = 0 X 31 = 0 X 02 = X 20 = 1 X 05 = X 50 = 1 X 14 = X 43 = X 31 = 1 ve Miimum Z = 282 km X 02 = X 20 = 1 X 05 = X 50 = 1 X 13 = X 34 = X 41 = 1 ve Miimum Z = 282 km X 14 + X 43 + X 31? 2 X 13 + X 34 + X 41? 2 X 02 = X 20 = 1 X 04 = X 43 = X 31 = X 15 = X 50 = 1 ve Miimum Z = 286 km X 02 = X 20 = 1 X 05 = X 51 = X 13 = X 34 = X 40 = 1 ve Miimum Z = 286 km Şekil 4.1. Araç Rotalama Problemii Çözümü 5. SONUÇ Araç rotalama problemleri, öcelikle müşteri taleplerii eldeki araçlarla karşılaıp karşılaamayacağıı ölçümüü sağlamaktadır. Eğer bu talepleri e iyi şekilde karşılamak mümkü ise, bu durumu e az maliyetle asıl sağlaacağıı cevabıı da araç rotalama problemii çözümü vermektedir. Araçlar içi e uygu rotaı saptaması, hem teslim sürecii işleyişii hem de işletmei taşıma maliyetlerii kotrolüü etki bir şekilde gerçekleştirilmesii sağlamaktadır.
Tam Sayılı Programlarda Dal Kesme Yötemi 113 Bu araştırmada, bir ekmek fabrikasıı iki aracı içi 5 şubesie yapacağı dağıtımı toplam uzaklığıı miimum yapacak araç rotalama modeli kurulmuş ve tamsayılı programlama çözüm yötemleride dalkesme yötemi ile çözülmeye çalışılmıştır. Dal-kesme yötemi uygulamada süre tasarrufu sağlamakta ve alteratif rotaları belirlemesii kolaylaştırmaktadır. Modeli çözümü soucua göre ekmek fabrikasıı 2 aracıı kat etmesi gereke optimum uzaklık 286 km dir. Bu miimum uzaklığı sağlaya iki farklı rota tespit edilmiştir. 1. Rota: 1. Aracı rotası, Merkez Depo 2. Şube Merkez Depo (X 02 = X 20 = 1) olarak belirlemiştir. Taşıa miktar ise 630 adettir. 2. Aracı rotası ise, Merkez Depo 4. Şube 3. Şube 1. Şube 5. Şube Merkez Depo (X 04 = X 43 = X 31 = X 15 = X 50 = 1) olarak belirlemiştir. Taşıa miktar ise, 2.690 adettir. 2. Rota: 1. Aracı rotası, ilk rota ile ayıdır ve Merkez Depo 2. Şube Merkez Depo (X 02 = X 20 = 1) olarak belirlemiştir. Taşıa miktar ise 630 adettir. 2. Aracı rotası ise, Merkez Depo 5. Şube 1. Şube 3. Şube 4. Şube Merkez Depo (X 05 = X 51 = X 13 = X 34 = X 40 = 1) olarak belirlemiştir. Görüldüğü gibi sadece ikici araçları rotaları farklıdır ve alteratif rota oluşmuştur. Gidilecek yol ayıdır fakat öce gidilecek ola şube değişiklik göstermektedir. Taşıa miktar ise yie, 2.690 adettir. 1. araç ile toplam 630 adet ekmek taşıacak ve toplam 102 km yol kat edilecektir. 2. araç ile toplam 2.690 adet ekmek taşıacak ve toplam 184 km yol kat edilecektir. Ekmek fabrikası araçları rotalarıı problemi optimum soucuda belirtile şekilde ayarladığıda miimum yol ola 286 km yi elde edecektir. Bu durum da miimum taşıma maliyetii gerçekleştirmesii sağlayacaktır. KAYNAKÇA Alabaş, Çiğdem Degiz, Bera, (2004), Yerel Arama Yötemleride Yöre Yapısı: Araç Rotalama Problemie Bir Uygulama, Yöeylem Araştırması/Edüstri Mühedisliği-XXIV Ulusal Kogresi, 15 18 Hazira 2004, Gaziatep-Adaa. Avriel, Mordecai Golay, Boaz, (1996), Mathematical Programmig for Idustrial Egieers, Marcel Dekker Ic., New York.
114 U.Ü. İktisadi ve İdari Bilimler Fakültesi Dergisi Cilt XXIV, Sayı 1 Başkaya, Zehra (2005), Tamsayılı Programlama Algoritmaları ve Bilgisayar Uygulamalı Problem Çözümleri, Eki Kitabevi, Bursa. Caccetta L, Hill S.P., (2001), Brach Ad Cut Methods For Network Optimizatio, Mathematical Ad Computer Modelig, 33, ss: 517-532. Datzig, Fulkerso ad Johso s Cuttig Plae Method, (05.12.2006) http://www.tsp.gatech.edu/methods/dfj/idex.html Fischetti, Matteo Gozalez, Jua Jose Salazar Toth, Paolo, (1997), A Brach-Ad-Cut Algorithm for the Symmetric Geeralized Travellig Salesma Problem, Operatios Research, Volume 45, Issue 3. Hillier, Frederick S. Hillier Gerald J. Lieberma, (1990), Itroductio To Operatios Research, Mc Graw-Hill Publishig Compay, USA. Hillier, Frederick S. Hillier Gerald J. Lieberma,(2005), Itroductio To Operatios Research, Eighth Editio, McGraw - Hill Publishig Compay, Bosto. Laporte, Gilbert Nobert, Yves, (1880), A Cuttig Plae Algorithm for the M-Salesma Problem, Operatios Research Society, Vol 31. Mitchell, Joh E., (1998), Brach-Ad-Cut Algorithms for Iteger Programmig, Mathematical Scieces, Resselaer Polytechic Istitute, USA. Öztürk, Ahmet, (2001), Yöeylem Araştırması, Eki Kitabevi, Bursa. Prasaa, Peiris Staislaw H. Zak, Solvig Vehicle Routig Problem Usig Geetic Algorithms, (07.12.2006) http://www.ece.purdue.edu/ece/research/ars/ars2000/part_i/sectio1 /1_19.whtml Robeso, James F. ROBESON House, Robert G., (1985), The Distributio Hadbook, Collier Macmilla Publishers, Lodo. Taha, Hamdy A., (1992), Operatios Research, Macmilla Publishig Compay, New York. Tütek, Hülya H. Gümüşoğlu, Şevkiaz, (1994), Sayısal Yötemler,Beta Basım Yayım, İstabul. Varij, C.F.H., (1988), Logistics:Where Eds Have To Meet, Pergamo Press, New York. Wager, Harvey M., (1972), Priciples of Operatios Research, Pretice Hall, Lodo.