Aalitik Geometri Prof. Dr. Salim YÜCE
Prof. Dr. ANALİTİK GEOMETRİ ISBN 978-605-318-811-7 DOI 10.14527/9786053188117 Kitap içeriğii tüm sorumluluğu yazarlarıa aittir. 2017, PEGEM AKADEMİ Bu kitabı basım, yayım ve satış hakları Pegem Akademi Yay. Eğt. Da. Hizm. Tic. Ltd. Şti.ye aittir. Aıla kuruluşu izi alımada kitabı tümü ya da bölümleri, kapak tasarımı; mekaik, elektroik, fotokopi, mayetik, kayıt ya da başka yötemlerle çoğaltılamaz, basılamaz, dağıtılamaz. Bu kitap T.C. Kültür Bakalığı badrolü ile satılmaktadır. Okuyucularımızı badrolü olmaya kitaplar hakkıda yayıevimize bilgi vermesii ve badrolsüz yayıları satı almamasıı diliyoruz. Pegem Akademi Yayıcılık, 1998 yılıda bugüe uluslararası düzeyde düzeli faaliyet yürüte uluslararası akademik bir yayıevidir. Yayımladığı kitaplar; Yükseköğretim Kuruluca taıa yükseköğretim kurumlarıı kataloglarıda yer almaktadır. Düyadaki e büyük çevrimiçi kamu erişim kataloğu ola WorldCat ve ayrıca Türkiye de kurula Turcademy.com ve Pegemideks.et tarafıda yayıları taramaktadır, idekslemektedir. Ayı alada farklı yazarlara ait 1000 i üzeride yayıı bulumaktadır. Pegem Akademi Yayıları ile ilgili detaylı bilgilere http://pegem.et adreside ulaşılabilmektedir. 1. Baskı: Mart 2017, Akara Yayı-Proje: Özlem Sağlam Dizgi-Grafik Tasarım: Ayşe Nur Yıldırım Kapak Tasarımı: Pegem Akademi Baskı: Ay-bay Kırtasiye İşaat Gıda Pazarlama ve Ticaret Limited Şirketi Çetiemeç Bulvarı 1314.Cadde No:37A-B 0312 472 58 55 Yayıcı Sertifika No: 14749 Matbaa Sertifika No: 33365 İletişim Karafil 2 Sokak No: 45 Kızılay / ANKARA Yayıevi: 0312 430 67 50-430 67 51 Yayıevi Belgeç: 0312 435 44 60 Dağıtım: 0312 434 54 24-434 54 08 Dağıtım Belgeç: 0312 431 37 38 Hazırlık Kursları: 0312 419 05 60 İteret: www.pegem.et E-ileti: pegem@pegem.et
İçidekiler iii ÖN SÖZ Baa ola sevgi, güve ve yardımları ile her zama yaımda ola başta sevgili aem, babam, eşim, çocuklarım ve kardeşlerim bu kitabı geçek yazarlarıdır. Bu edele hepsii adıa bu kitabı aem Ayşe YÜCE ve babam Muzaffer YÜCE ye ithaf ediyorum. Ayrıca, başta 15 Temmuz şehitlerimiz olmak üzere vata uğrua calarıı feda ede, bizler huzur içide yaşayalım diye sevdiklerii yetim bıraka tüm şehitlerimize ve hale görev yapa güvelik kuvvetlerimiz persoelie selam olsu. Bu kitap, üiversiteleri Matematik, Matematik Mühedisliği, Matematik Bilgisayar, İstatistik, Matematik Öğretmeliği bölümleride ve bazı bölümleri servis dersi olarak okutula lisas düzeyide Aalitik Geometri derslerie yardımcı olması amacı ile hazırlamıştır. Bu bağlamda, kitabı birici bölümüde; Afi ve Öklid uzayları ve koordiat sistemleri taıtılmış, ayrıca 3-4-7 boyutta vektörel ve karma çarpım ile buları geometrik yorumları verilmiş, ikici bölümde; Koordiat döüşümleri ile! 2 ve! 3 de döme verilmiş, üçücü bölümde; 3-boyutlu uzayda doğru, dördücü bölümde; uzayda düzlem icelemiş, beşici bölümde geel koikler ve altıcı ise 2 ici derecede eğriler ola kuadrikler verilmiştir. Yedici bölümde özel yüzeyler taıtılarak bazıları içi matlab çizimleri verilmiş, sekizici ve so bölümde Projektif düzlem ve uzay taıtılarak, Projektif düzlem ve uzayda Aalitik Geometri bilgileri yeide ele alımıştır. Ayrıca, Aalitik Geometrii temeli ola Lieer Cebir bilgileri EK-A bölümüde, Fe Edebiyat Fakültesi Matematik Bölümlerii dışıda okutula Aalitik Geometri dersleride verile! 2 de doğru Ek-B bölümüde ve merkezil Koikler (çember, elips, hiperbol, parabol) EK-C bölümüde temel kavramlar olarak verilmiştir. Böylece EK bölümleri, liselerde okutula Aalitik Geometri derslerie yardımcı olacaktır. Kitabı her bölümü içeriside kouları daha iyi alaşılması açısıda örekler çözülmüş ve gerekli bazı bölüm solarıda alıştırmalar verilmiştir. Ayrıca bölüm dizileri, bölümler arasıda bağlatılar kurularak hazırlamıştır. Öreği, geel koik ve geel kuadrikleri merkezil hale getirilmeside üçücü bölümde alatıla ekseleri ötelemesi ile dödürülmesi veya Ek-A kısmıda alatıla bir matrisi öz değer ve öz vektörleri kullaılmıştır. iii
iv Aalitik Geometri Kitabı yazımıı gerçeklemeside emekleri içi asistalarım Mücahit AKBIYIK, Esra ERKAN, G. Yeliz ŞENTÜRK ve doktora öğrecim G. Kemal NALBANT ezdide tüm geometri grubu asistalarıma teşekkür ederim. Ayrıca, belki de tüm akademik hayatımı başlagıcı sayabileceğim Matematik sevdamı başlamasıa vesile ola lise Matematik öğretmeim Sayı Şükrü ADIGÜZEL ile akademik hayatımı her oktasıda yaımda ola Hocam Sayı Prof. Dr. Nuri KURUOĞLU a emekleri içide teşekkür ederim.
İçidekiler v İÇİNDEKİLER Ö Söz... iii 1. Bölüm Koordiat Sistemleri ve Vektörel Çarpımı 1.1. Afi Uzay... 2 1.2. Öklid Uzayı... 8 1.2.1. Öklid Çatısı... 9 1.2.2. Öklid Koordiat Sistemi... 10 1.3. E 2 Öklid Uzayıda Özel Koordiat Sistemleri... 10 1.3.1. Dik Koordiat Sistemi... 10 1.3.2. Eğik Koordiat Sistemi... 11 1.4. E 2 Öklid Uzayıda Özel Koordiat Sistemleri... 19 1.4.1. Dik Koordiat Sistemi... 19 1.4.2. Silidirik Koordiat Sistemi... 20 1.4.3. Küresel Koordiat Sistemi... 25 1.5. R 3 Uzayıda Vektörel Çarpım ve Karma Çarpım... 29 1.5.1. Vektörel Çarpım... 29 1.5.2. Karma Çarpım... 31 1.5.3. R 3 de Üç Vektörü Vektörel Çarpımı... 32 1.5.4. Jacobi Özdeşliği... 33 1.5.5. Lagrage Özdeşliği... 33 1.5.6. Vektörel Çarpımı Geometrik Yorumu... 35 v
vi Aalitik Geometri 1.5.7. Karma Çarpımı Geometrik Yorumu... 35 1.6. R 4 4-Uzayıda Vektörel Çarpım... 37 1.7. R 7 7-Uzayıda Vektörel Çarpım... 40 1.8. Alıştırmalar... 45 2. Bölüm Koordiat Döüşümleri 2.1. Öteleme... 48 2.1.1. Koordiat Sistemlerii Ötelemesi... 48 2.1.2. Noktaı (Vektöru ) Ötelemesi... 52 2.2. Döme... 53 2.2.1. Ekseleri Dömesi... 53 2.2.2. Dömei Kompleks İfadesi... 55 2.2.3. Noktaı Dömesi... 60 2.2.4. Hiperbolik ve Parabolik Döme... 62 2.3. Öteleme ve Dömeler... 62 2.4. Bir Noktaı Dik Koordiat Sistemi İle Eğik Koordiat Sistemideki Koordiatları Arasıdaki Bağıtılar... 64 2.5. Düzlemde Yasımalar... 68 2.5.1. Ox - Ekseie göre yasıma... 70 2.5.2. Orijide geçe ve eğimi t ola bir h doğrusua göre yasıma... 71 2.5.3. Kesişe İki Doğruya Göre Yasıma... 73 2.5.4. Orijide Geçmeye Bir k Doğrusua Göre Yasıma... 77 2.5.5. Hiperbolik ve Parabolik Yasıma... 79 2.6. Düzlemi Diğer Döüşümleri... 80 2.6.1. Hareket ve Bezerlik Döüşu mü... 80 2.6.2. Afi Döüşümler... 82
İçidekiler vii 2.6.3. İzüşümler... 84 2.6.4. Projektif Döüşümler... 88 2.6.5. Projektif Düzlemler... 90 2.6.6. Topolojik Döüşümler... 92 2.7. R 3 de Döme... 93 2.7.1. Oli-Rodrigues formu lu u bir diğer ispatı... 98 2.8. Alıştırmalar... 101 3. Bölüm Uzayda Doğru 3.1. İki Noktada Geçe Doğru Deklemi... 104 3.2. Bir Noktası ve Doğrultma Vektörü Verile Doğruu Deklemi... 106 3.3. Uzayda Bir Doğruu Koordiat Ekseleri ile Yaptığı Açılar Ciside Deklemi... 107 3.4. Bir Noktaı Bir Doğruya Ola Uzaklığı... 110 3.5. Uzayda İki Doğruu Birbirie Göre Durumları... 112 3.6. Kesişe İki Doğru Arasıdaki Açı... 114 3.7. Kesim Noktasıı ( ı) Buluması... 115 3.8. Aykırı Doğrular... 116 3.9. R 3 de Plücker Doğru Koordiatları... 120 3.10. Alıştırmalar... 124 4. Bölüm Uzayda Düzlem 4.1. Doğrudaş Olmaya Üç Noktada Geçe Du zlem Deklemi... 128 4.2. Bir Noktada Geçe ve Verile Bir Doğrultuya Dik Ola Düzlem Deklemi... 129
viii Aalitik Geometri 4.3. Bir Düzlemi Koordiat Ekseleride Ayırdığı Parçalar Ciside İfadesi... 132 4.4. Verile Bir Noktada Geçe ve İki Doğrultuya Paralel Ola Düzlem Deklemi... 135 4.5. Bir Doğru ve Dışıdaki Bir Noktada Geçe Bir Düzlemi Deklemi... 136 4.6. Kesişe İki Doğruu Belirttiği Düzlem Deklemi... 137 4.7. Bir Düzlemi Hesse Normal Formu... 138 4.8. Özel Düzlemler... 140 4.9. Bir Noktaı Bir Düzlem Üzerideki Dik İzdüşümü... 143 4.10. Bir Noktaı Bir Du zleme Uzaklığı... 146 4.11. Bir Doğru İle Bir Düzlemi Birbirie Göre Durumları... 148 4.12. Bir Düzlem ile Bir Doğruu Kesim Noktasıı Buluması... 150 4.13. Uzayda Bir Doğru ile Bir Düzlem Arasıdaki Açı... 153 4.14. İki Düzlemi Birbirie Göre Durumu... 154 4.15. İki Düzlem Arasıdaki Açı... 156 4.16. Kesişe İki Düzlemi Arakesit Doğrusuu Buluması... 158 4.17. İki Düzlemi Açıortay Du zlemii Deklemi... 160 4.18. Üç Düzlemi Birbirie Göre Durumu... 162 4.19. Aykırı İki Doğruu Ortak Dikmesi ve E Kısa Uzaklık... 169 4.20. Bir Doğruda Geçe Düzlem Demeti... 178 4.21. İzdüşüm... 180 4.21.1. Bir Noktaı Düzlem Üzerie Dik İzdüşümü... 180 4.21.2. Bir Doğruu Düzlem Üzerie Dik İzdüşümü... 180 4.21.3. Bir Doğruu Düzlem Üzerie Verile Bir Doğruya Paralelel Olarak İzdüşümü... 182 4.21.4. Bir Doğru Parçasıı Bir Doğru Üzerideki İzdüşümüü Uzuluğu... 183
İçidekiler ix 4.21.5. Bir Doğru Parçasıı Bir Düzlem Üzerideki İzdüşümüü Uzuluğu... 185 4.22. Uzayda Yasıma... 186 4.22.1. Uzayda Bir Noktaı Bir Düzleme Göre Yasıması... 186 4.22.2. Uzayda Bir Noktaı Bir Doğruya Göre Yasıması... 191 4.23. Alıştırmalar... 194 5. Bölüm Geel Koikler 5.1. Geel Koik Deklemi... 198 5.2. Koikleri Stadart Deklemi... 199 5.3. Geel Koik Deklemii Merkezil Hale Döüştürülmesi... 199 5.3.1. Ekseleri Ötelemesi... 200 5.3.2. Ekseleri Dödürülmesi... 204 5.4. Koikleri Sııfladırılması... 206 5.4.1. Koikleri Bir Başka Sııfladırılması... 207 5.5. Matris Formuda Geel Koik Deklemi... 208 5.5.1. Koikleri Sııfladırılması... 209 5.5.2. Merkezil Hale Döüştürme... 209 5.6. Bir Koik ile Bir Doğruu Koumu... 212 5.7. Bir Koik ile Bir Noktaı Koumu... 214 5.8. Koiklerde Teğet... 214 5.9. Koikleri Elemaları... 219 5.9.1. Koiklerde Merkez... 220 5.9.2. Koiklerde Çap (Köşege)... 227 5.9.3. Koiklerde Ekse... 236
x Aalitik Geometri 5.9.4. Koiklerde Köşe (Tepe) Noktaları... 243 5.9.5. Koiklerde Asimptot... 248 5.9.6. Koiklerde Odak ve Doğrultma... 251 5.9.7. Koiklerde Kutup Noktası ve Kutup Doğrusu... 274 5.10. Koik Aileleri... 288 5.11. Koikleri Parametrik ve Kutupsal Koordiatlarla Temsili... 300 5.11.1. Koiği Parametrik Gösterimi... 300 5.11.2. Koiği Kutupsal Koordiatlarda Gösterimi... 304 5.12. Alıştırmalar... 307 6. Bölüm Kuadrikler (2. Derecede Yüzeyler) 6.1. Küre... 312 6.2. Elipsoid... 313 6.3. Tek Kaatlı Hiperboloid... 314 6.4. Çift Kaatlı Hiperboloid... 315 6.5. Eliptik Koi... 316 6.6. Eliptik Paraboloid... 317 6.7. Hiperbolik Paraboloid... 319 6.8. Eliptik Silidir... 320 6.9. Parabolik Silidir... 321 6.10. Hiperbolik Silidir... 322 6.11. Kesişe Bir Çift Du zlem... 323 6.12. Çakışık Bir Çift Du zlem... 323 6.13. Geel Kuadrik Deklemi... 323
İçidekiler xi 6.14. Kuadrikleri Merkezil Hale Döu ştu ru lmesi... 324 6.14.1. Öteleme... 325 6.14.2. Döme... 326 6.15. Matris Formu ile Merkezil Hale Getirilme... 327 6.15.1. Sııfladırma... 327 6.15.2. Öteleme... 328 6.15.3. Döme... 329 6.16. Kuadrik Çizimide İzleecek Yollar... 337 6.17. Alıştırmalar... 361 7. Bölüm Özel Yüzeyler 7.1. Silidir... 366 7.2. Koi... 371 7.2.1. Koii Deklemi... 372 7.2.2. Koii Vektörel Deklemi... 374 7.3. Döel Yüzeyler... 375 7.4. Tor Yüzeyi (Döme Toru)... 382 7.5. Paralel Hiperyu zeyler... 384 8. Bölüm Projektif Düzlem ve Projektif Uzay 8.1. Temel Kavramlar... 392 8.1.1. Geişletilmiş Düzlem... 394 8.1.2. Projiktif Uzay... 396
xii Aalitik Geometri 8.2. Düzlemde Homoje Koordiatlar... 398 8.2.1. Düzlemi İdeal Noktaları... 403 8.2.2. Düzlemde Bir Doğruu Homoje Deklemi... 405 8.3. Projektif Aalitik Geometri... 412 8.3.1. Projektif Düzlemde Üç Projektif Noktaı Doğrudaşlığı... 412 8.3.2. Projektif Düzlemde Üç Projektif Doğruu Noktadaşlığı... 413 8.3.3. İki Doğruu Arakesit Noktasıı Bulma... 414 8.3.4. Projektif Düzlemde İki Projektif Noktası Verile Projektif Doğruu Deklemi... 415 8.4. Projektif Düzlem Geometrileri... 417 8.4.1. Projektif Düzlemi Hareket Döüşu mleri... 423 8.4.2. Projektif Düzlemi Geometrileri... 424 8.5. Üç Boyutlu Uzayda Homoje Koordiatlar... 436 8.5.1. Geişletilmiş Düzlem Deklemi... 438 8.5.2. Geişletilmiş Doğruu İdeal Noktası... 439 Ek-A Lieer Cebir... 443 Ek-B Düzlemde Doğru... 465 Ek-C Merkezil Koikler... 489 Kayaklar... 585 Dizi... 587
1. BÖLÜM KOORDİNAT SİSTEMLERİ VE VEKTÖREL ÇARPIMI Bu bölümde, afi koordiat sistemi, Öklid koordiat sistemi başta olmak üzere kutupsal, silidirik ve küresel koordiat sistemleri taıtıldı. Ayrıca 3- boyutta, 4-boyutta ve 7-boyutta vektörel çarpım ve özellikleri ile geometrik yorumları verildi.
2 Aalitik Geometri Afi Uzay Taım 1.1 A bir küme, V de üzeride boyutlu bir vektör uzayı olsu. Eğer f : AA V,, P Q f P Q PQ foksiyou, A1. P, Q, R A içi f P, Q f Q, R f P, R içi f P, Q A2. P A, V oktası vardır. özelliklerii sağlıyorsa A ya V uzay deir. Burada A1 ve A2 boya boyv dir. olacak şekilde bir tek Q A vektör uzayı ile birleşe Vektör Uzayı ile Afi Uzayı Karşılaştırılması -boyutlu afi özelliklerie afi aksiyomları deir. Ayrıca i) V vektör uzayı vektörleri bir kümesi ike, A afi uzayı ise okta kümesidir. ii) V vektör uzayıda 0 0 olacak şekilde 0 V vektörü varke A afi uzayıda bu özelliğe sahip bir okta yoktur. Afi Aksiyomlarda Çıka Souçlar i) A1 afi aksiyomu gereğice afi uzayda herhagi iki okta bir vektör belirtir.
Koordiat Sistemleri ve Vektörel Çarpım 3 ii) A2 afi aksiyomu gereğice afi uzayda bir okta tesbit edilirse bu uzaydaki bütü oktalar bir vektör belirtir. Örek 1.1 V kümesi olsu., boyutlu stadart reel vektör uzayı, A sıralı lileri f :,, P Q f P Q PQ Q P foksiyouu taımlayalım. A1. Her P, Q, RA içi f P, Q f Q, R PQ QR Q P R Q R P= PR f P, R. A2. Her,,..., 1 2 V P, QA içi f P, Q Q P olmak üzere q p, q p,..., q p,,..., 1 1 2 2 1 2 yazılabilir. Burada q1 1 p1 q2 2p 2 q p olmak üzere, ler tek olduğuda qi ler tektir ve bir tek i pi Q q1, q2,..., q vardır.
4 Aalitik Geometri Souç kümesi, vektör uzayı ile birleşe -boyutlu bir afi uzaydır. 1.1.1 Afi Çatı Taım 1.2 A,V vektör uzayı ile birleşe -boyutlu afi uzay olsu. P0, P1,..., P A oktaları içi P0 P1, P0 P,..., P 2 0P vektör sistemi uzayıı bir bazı (tabaı) ise P0, P1,..., P okta uzayıda bir afi çatı deir. P P V 0 i 1 V lisie vektör A afi Burada P 0 oktasıa afi çatıı başlagıç oktası, P0, P1,..., P oktalarıa da afi çatıı uç oktaları deir. Teorem 1.1 A, V belli bir P0 vektör uzayı ile birleşe -boyutlu afi uzay olsu. A afi uzayıda afi çatı vardır. İspat V A oktası tespit edildiğide başlagıcı P0 A oktası ola bir sistemi V i, boyutlu bir vektör uzayı olduğuda 1, 2,..., bir bazı olsu. P0 Aoktası seçildiğide A2 aksiyomu gereğice;
Koordiat Sistemleri ve Vektörel Çarpım 5 1 PP 0 1 olacak şekilde bir tek P A 1, 2 PP 0 2 olacak şekilde bir tek P2 A, PP 0 olacak şekilde bir tek P A okası vardır. 1, 2,..., sistemi V i bir bazı olduğuda P0 P1, P0 P2,..., P0 P sistemi de V P0 A i bir bazıdır. O halde P0, P1,..., P sistemi başlagıç oktası oktası ola A da bir afi çatıdır. 1.1.2 Afi Koordiat Sistemi Taım 1.3 vektör uzayı ile birleşe P0, P1,..., P, da bir afi çatı olsu. V i bir bazı P0 P1, P0 P2,..., P0 P ve P A oktası A,V - boyutlu afi uzay ve içi P0 P V vektörü olduğuda ai içi P0P ai P0P yazılabilir. Eğer 1i içi x : A i i P x P a taımlaırsa P A sıralı li karşılık gelir. i oktası içi i1 x1 P, x2 P,..., x P şeklide bir A
6 Aalitik Geometri Tersie, 1,..., a a reel sayıları verildiğide koordiatları a a a,..., 1 2 ola bir tek P oktası buluabilir: aip0 Pi V olduğuda A2 afi i1 aksiyomu gereğice P0P aip0p olacak şekilde bir tek P A oktası i1 vardır. O halde bir afi uzayda şeklide sıralı P -li karşılık getire i oktasıa x P x P x P x i 1i 1 2,,..., foksiyolarıa afi koordiat foksiyoları ve x1, x2,..., x sistemie de afi koordiat Sistemi deir. Uyarı P P p a P P 0 i 0 i i1 a1, a2..., a sıralı ifadesideki -lisie P A oktasıı başlagıç oktası p vektörüe de P A vektörü deir. P 0 ola afi çatıya göre afi koordiatları ve oktasıı P0, P1,..., P çatısıa göre koum (yer) 1.1.3 Afi Koordiat Sistemi Değişimi A, V vektör uzayı ile birleşe boyutlu bir afi uzay olsu.p0, P1,..., P ile Q0, Q1,..., Q afi çatılar olsu.
Koordiat Sistemleri ve Vektörel Çarpım 7 P0 P P A içi Q0P0 0 j ij 0 i i1 V olduğuda Q0 P0 aiq0q ve a Q Q yazılabilir. Bezer şekilde, i1 i P P 0 i V içi PQ b P P ve Q0Q b P0P yazılabilir. Burada, 0 0 i 0 i i1 j ij i i1 B b ij, A a ij matrisleri içi AB BA I buluur. Keyfi bir P A içi Q0 P Q0 P0 P0 P yazılabilir. Q0P yiq0q i ve P P x P P olmak üzere 0 j 0 j1 j y Q Q a Q Q x P P i 0 i i 0 i j 0 j i1 i1 j1 ai Q0Qi x j aijq0qi i1 j1 i1 aij x j ai Q0Qi i1 j1 i1
8 Aalitik Geometri elde edilir. Burada i ij j i j1 QQ 0 i y a x a yazılabilir. sistemi baz olduğuda O halde Y AX C matris formu elde edilir. Burada A, bazlar arasıdaki geçiş matrisi olup regülerdir ve koordiat sistemlerii dömesie, C ise ötelemeye karşılık gelir. matrisi Öklid Uzayı Taım 1.4 A, V vektör uzayı ile birleşe -boyutlu afi uzay olsu. Eğer uzayıı birleştiği V vektör uzayı bir iç-çarpım uzayı ise bu A afi uzayıa Öklid uzayı deir. Her afi uzay bir Öklid uzayı değilke her Öklid uzayı bir afi uzaydır. A afi Örek 1.2 A sıralı lileri kümesi, uzaydır. Ayrıca V üzeride, x x i V vektör uzayı ile birleşe bir afi, y y i içi,: i i1 x, y x, y x y i
Koordiat Sistemleri ve Vektörel Çarpım 9 şeklide bir iç-çarpım foksiyou taımlı olduğuu biliyoruz. Yai bir iç-çarpım uzayıdır. O halde A ile birleşe bir Öklid uzayıdır ve geellikle afi uzayı V E ile gösterilir. V iç-çarpım uzayı 1.2.1 Öklid Çatısı Taım 1.5 E, iç çarpım uzayı ile birleşe bir Öklid uzayı ve E0, E1,..., E E E E E E E E vektör sistemi olsu. Eğer 0 1, 0 2,..., 0 ortoormal bazı ise yai, E0E1, E0E2,..., E0E, E E, E E 0 i 0 j ij uzayıı bir i bir bazı ve (Kroecker deltası) ise E0, E1,..., E okta kümesie E de bir Öklid çatısı (dik çatı) deir. Uyarı Her Öklid uzayı bir afi uzayı olduğuda her Öklid çatısı da bir afi çatıdır.
10 Aalitik Geometri 1.2.2 Öklid Koordiat Sistemi Taım 1.6 Her Öklid çatısı bir afi çatı olduğuda bir afi koordiat sistemi belirler. Bu afi koordiat sistemie bir Öklid koordiat sistemi veya dik koordiat sistemi veya kartezye koordiat sistemi deir. 2 E Öklid Uzayıda Özel Koordiat Sistemleri 1.3.1 Dik Koordiat Sistemi 2 E de bir dik koordiat sistemi O; x, x ve bu koordiat sistemii belirleye bir dik çatı O de ortoormal bazdır. 1 2 P0 ; P1, P2 olsu. Bu durumda 0 1, 0 2 P0 P1 e1 i, P0 P2 e2 j içi P0 P ap0 P1 bp0 P2 yazılabilir. Burada x 1 ve 2 x : E 1 x 2 P x P a 1 2 x : E 2 P x P b şeklide Öklid koordiat foksiyolarıdır. 2 P P P P, 2