ÇUUROVA ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ YÜSE LİSANS TEZİ ORAY OR EN ÜÇÜ ARELER YALAŞIMI MATEMATİ ANABİLİM DALI ADANA 6
ÖZ YÜSE LİSANS TEZİ EN ÜÇÜ ARELER YALAŞIMI ORAY OR ÇUUROVA ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ MATEMATİ ANABİLİM DALI Dışm : ÖğrGörDrYusuf ruş Yıl : 6 Sf:98 Jür : ÖğrGörDrYusuf ARAUŞ DoçDrDoğ Dömez YrdDoçDrMehmet ÜÇÜASLAN Bu çlışmd Ylşım Teors çde öeml er ol E üçü re Ylşımlrı celemştr Arıc E üçü re Ylşımlrı le Grm Mtrsler ve Determtlrı rsıd lş de celemştr Ahtr elmeler: İç Çrım Uzı E üçü reler lşımı Normlu Uzlr Polomlrl lşım Fourer Serler I
ABSTRACT MSc THESIS LEAST SQUARES APPROXIMATION ORAY OR DEPARTMENT OF MATHEMATICS INSTUTE OF NATURAL AND APPLIED SCIENCES UNIVERSITY OF ÇUUROVA Suervsor : ÖğrGörDrYusuf ARAUŞ Yer : 6 Pes:99 Jur : ÖğrGörDrYusuf ruş AssocProfDoğ DÖNMEZ YrdDoçDrMehmet ÜÇÜASLAN I ths thess Lest Squre Aromto whch s ot mortt rt romto theor s studed detls I ddto the reltos etwee Lest Squre Aromto d Grm Mtrces d Determts re studed e Words : Ier Product Sce Lest Squres Aromto Normed Sces Aromto Polomls Fourer Seres II
TEŞEÜR Bu çlışmı hzırlmsı sırsıd l ve tecrüelerle e dılt çlışmı her şmsıd rdımlrıı esremee ve çlışmı tmmlmsıı sğl sıdeğer hocm Sı Öğr Gör Dr Yusuf ARAUŞ teşeürlerm surım Arıc rdımlrıd dolı tüm Mtemt Bölümü dem ersoele ve mev destelerde dolı leme teşeür ederm III
İÇİNDEİLER Sf No ÖZI ABSTRACTII TEŞEÜRIII GİRİŞ TEMEL TANIM VE TEOREMLER İç Çrım Uzlrı İç Çrım Uzlrı İç Açı Geometr8 3 Ortoorml Sstemler 4 Fourer Ortool Açılımlrı 5 Fourer Açılımlrıı Mmum Özelller4 3 EN ÜÇÜ ARELER YALAŞIMI9 3 E üçü reler Ylşımı9 3 Norml Delemler36 33 Grm Mtrs ve Determtı39 34 Grm Determtı Özelller6 35 lılı ve Souçlrı67 36 Tm İç Çrım Uzıı Geometr Özelller86 AYNALAR94 ÖZGEÇMİŞ95
GİRİŞ Or OR GİRİŞ Ylşım Teors eel htlrı le Mtemtsel Alz çde er lır Bu Teor çde öeml r er ol E üçü reler Ylşımı u tezde celemştr Tez rc ölümüde ç çrım uzlrıd e lşım E üçü reler Ylşımıı ıd e üçü reler lşımı le Grm Mtrs ve Determtı rsıd lş de celemştr Tez c ölümüde çlışmmızı ğıı oluştur temel tım ve teoremlere er verlmştr Tez üçücü ölümüde se zı uzlrd E üçü reler lşımı orml delemler Grm Mtrs ve Determtı lılı vrmı ve tm ç çrım uzı oulrı er verlmştr
TEMEL TANIM VE TEOREMLER Or OR TEMEL TANIM VE TEOREMLER İç Çrım Uzlrı E üçü reler Ylşımı ı tımlmd öce ç çrım uzlrı tımlr temel özelller verlecetr Tım : X r reel vetör uzı olsu X X ümesde R reel sılr ümese tıml ve z X ç ; c d z z z α α Leerl Smetr Homoel Poztfl özelller sğl fosou r ç çrım ve X vetör uzı d r ç çrım uzı der Bezer tım C/ omles sılr ümes olm üzere omles vetör uzlrı ç de ıllr Ac u durumd ç çrımı r omles sı olur ve eştlğ ' Hermte Smetr ' eştlğ le er değştrr Burd sğd üst çz omles eşleğ östermetedr
TEMEL TANIM VE TEOREMLER Or OR 3 Öre : X R ve w oztf sılrı olsu R de ç çrımı w şelde tımlır Öre : X C/ omles Öld uzı C/ ve w oztf sılr olm üzere C/ de ç çrımı w şelde tımlır Gerçete ; z w z w z z w z w z z z w w w c w w α α α α d w w w olur olsu Bu durumd w oztf r sı olduğud eştlğde her olury ; dır O hlde olur 4 özell sğlır ve Öld uzıı r ç çrım uzı olduğu örülür
TEMEL TANIM VE TEOREMLER Or OR Öre 3: C[ ] ç çrımı X olm üzere eğer f t f f t t dt ve t se şelde tımlır Öre 4: X L [ ] olm üzere u uz üzerde ç çrım; şelde tımlır f f d Teorem Schwrz Eştszlğ : Br ç çrım uzıd dır Eştl hl c ve c ve leer ğımlı se mümüdür İst : Eğer se olu st çıtır λ ef r omles sı olsu d de dır Bu fde şelde zılır Bu eştszl özellle sısı ç doğrudurbölece dıro zm λ λ λ λλ λ 4
TEMEL TANIM VE TEOREMLER Or OR olur Burd her trf le çrılırs ; olur Şmd ullılırs uluur Frzedelm urd eştl hl sğlsı Eğer olurs eştl çıtır O hlde llım Bu durumd λ olm üzere olur Bölece d de λ λ λ λ uluur Souç olr α se o zm; α dır Teorem : X r ç çrım uz se eştlğ X de r orm tımlr ve X u orm le r ormlu vetör uzı olur 5
TEMEL TANIM VE TEOREMLER Or OR İst : celğ orm şrtlrıı ; v α α α sler Üçe eştszlğ sğlmlıdır İl 3 şrt şrdırüçe eştszlğ sğldığıı österelm R dır ve ölece olur Teoerem 3 Prleler Teorem: Br X ç ve Teorem de tımlsıbu durumd; dır İst: 6
TEMEL TANIM VE TEOREMLER Or OR dr Bu teorem ı zmd X üzerde ormu r ç çrım trfıd üretl üretlemedğ söler 7
TEMEL TANIM VE TEOREMLER Or OR İç Çrım Uzlrı ç Açı Geometr Reel ç çrım uzıd sıfırd frlı elem ç de olur Souç olr cos θ değer sğl te r θ [ π ] değer vrdır l θ çısı Tım : Reel r ç çrım uzıd ve elemlrı rsıd cos θ θ π şelde tımlır omles ç çrım olmsı durumud u tım cos θ Burd özellle durum dte değerdr A θ se; u durumd cos θ ve urd olur Teorem e öre ve elemlrı leer ğımlıdır: α β Burd d ve rlel oldulrıı söleelrz B θ π/ se ; ve elemlrı d ortool tr Çüü cos θ olu cos θ 8
TEMEL TANIM VE TEOREMLER Or OR olurbu d österr dır Tım : c ve c dır Tım dlı olr şulrı söleelrz: edse ortool ol te elem dır dr c se R olm üzere olur Öre osüs Teorem: ve reel r ç çrım uzıı elemlrı olm üzere cosθ dır Çözüm: cosθ olu st tmmlır λ λ Şel ve sıfırd frlı elemlr olsulr λ üzere zdüşümü olc şelde λ sler seçelm O zm 9
TEMEL TANIM VE TEOREMLER Or OR dırbuu lmı olmsıdır O hlde λ λλ λ λ λ λ ve λ dırbuu lmı olm üzere; üzere zdüşümü 3 dr Bu eştl zdüşümü ısc tımlmmız rdımcı olur elemı uzulu değere shse o zm üzere zdüşümü 4 dr
TEMEL TANIM VE TEOREMLER Or OR 3 Ortoorml Sstemler Tım 3: S X ç çrım uzıı elemlrıı r ümes olsueğer S ç S 3 se S ümese ortoormldr der Ac eğer ç se u ümee ortooldr der Öre 3: R de ç çrımı olm üzere rm vetörler r ortoorml üme oluştururlr Öre 3: C[-ππ] ve L [-ππ] uzıd çrımıl rlte f f d ç cos s π π π π cos π s fosolrı ortoorml r üme oluştururlr Öre 33: C[-] ve L [-] de ç çrımı le rlte f f d U m s[ m rccos ] m
TEMEL TANIM VE TEOREMLER Or OR fosolrı ortool r üme oluşturur Gerçete ; U m U d π m s m θ s θ dθ π m dr O hlde U π m fosolrı ortooldr Eğer Teorem 3 Psor Teorem: ler ortool se o zm 3 dr İst : ler ortool olduğud e dır Dolısıl olu 3 sğlır Souç 3 : se dr İst : Teorem 3 de ç olur Dolısıl st tmmlmış olur Teorem 33: Sıfırd frlı leer ğımsızdır ortool elemlrı ümes
TEMEL TANIM VE TEOREMLER Or OR İst : Frz edelm olsu Y ler hes sıfır olmsı O zm olur Bu se olduğuu söler Bu se hotez le çelşr Bu teorem ters öemldr Y leer ğımsız r üme ortoormlleştrlelr Teorem 34: solu ve sosuz elemlrı r dzs öle her r leer ğımsız olsu O zm ; M 3 3 3 33 3 33 ve δ 34 olc şelde stler ullrz İst: Ardışı olr 3
TEMEL TANIM VE TEOREMLER Or OR M ve ve ve 35 urlım Bu ıı terr edlmesde ve ölece r leer omsou olduğu çıtır Mdem de sıfır olmz Bu şlem verr ve dh sor sıfır olmz o hlde çrılr ormu ol r vetör elde edlr olsdı so stır { } cümles r leer omsou olduğuu österrd Dolısıl r leer omsou olurdu u durum { } leer ğımsız olmsıl çelşr Şmd de ve le östermelz Bst r hesl Frzedelm lr ormldr: dır < ç ı ortool olduğuu le olsu O zm ç 4
TEMEL TANIM VE TEOREMLER Or OR 5 dır Souç 35 : ştsılrı oztftr dır Souç 36 : M olc şelde > olm üzere stler ullrz İst: öle öle dır Tümevrıml > ç ;
TEMEL TANIM VE TEOREMLER Or OR > dır Souç 37 : dır İst : öle < olm üzere dır Eğer ve 33 trfıd ğldırılmış ve sorler ortoorml olmsı ster ve > se o zm stler te olr elrlerd Grm-Schmdt şlem ulrı elrleme ç lızc r ötemdr Dğer trft eğer α α α se o zm α stler seçmde dh özür oluruz Öre 34: 3 uvvet fosolrı C[] uzıd leer ğımsızdır Eğer se o zm dır w [] üzerde tımlmış oztf terlleelr r foso olm üzere C [ ] de ğırlılı ç çrım 6
TEMEL TANIM VE TEOREMLER Or OR f w f d şelde tımlır uvvet fosolrıı u ç çrım le ortoormlleştrlmes le P ve > ortoorml olomlrı ümes elde edlr w Pm P d δ m m Öre 35: ve w olm üzere Leedre olomlrı teorem 33 te ötem le heslır olur Burd; 3 olsu d olur ve Burd d olur Burd; ve ölece d olur 3 Bölece 3 olur 3 3 7
TEMEL TANIM VE TEOREMLER Or OR 3 3 ve 3 3 5 4 3 d olur Öre 36: ve w lr T T tür Cheschev olomlrıı hesllım 3 olsu 3 olur [ ] d π ve π T π dır Şmd de ı ullım Bu so ısımd terle I derse; π d olur Burd I d s t d costdt döüşümü ılmıştır ve π ve π sıırlrı elde edlmştr Dolısıl urd ; 8
TEMEL TANIM VE TEOREMLER Or OR 9 elde edlr π d d olur Burd e ; s t s s cos π π t t t t ve tdt d döüşümler ılmıştır Burd; T π π π elde edlr d d π π Bu eştlte l terle I ve c terle I derse ; π I dh öce österld d I uluur Çüü urd 3 te fosodur Burd;
TEMEL TANIM VE TEOREMLER Or OR π π π uluur Şmd π d Bölece; T π π π elde edlr
TEMEL TANIM VE TEOREMLER Or OR 4 Fourer Ortool Açılımlrı Tım 4 : ortoorml elemlrı solu ve sosuz r dzs olsu ef seçlmş r elem olm üzere fdese ç r Fourer sers der Eğer dz solu se solu tolm ullılır Burd ; stler Fourer tsılrı olr dldırılır elemıı Fourer sers ~ 4 şelde österlr 4 öz öüde uludurulr 4 ; ~ üzere zdüşümü 4 şelde orumllr ve ölece r elemı Fourer sers lız ortoorml elemlrı r sstem üzerde elemlrı zdüşümler tolmıdır Eğer ortool se o zm şelde seçlelr öle 4 43 ~ 44 olur Yede 3 te
TEMEL TANIM VE TEOREMLER Or OR lmı çırıllr Öre 4 : ~ üzere zdüşümü 45 3 R te ç çrımı olm üzere 3 3 seçelm Br c R ç ; 3 olduğud ; c c c 3 tolmı Fourer çılımıdır Öre 4 : C [ π π ] ve L [ π π ] uzlrıı π f f d ç çrımıl ele llım π Ortoorml sstem : π π s π cos π s π π π f cos d ve π π π f s d olm üzere; f ~ cos s 46 dır Bu Fourer Sers der Öre 43 : [] Ortoorml sstem: C uzıd f d f olsu olm üzere ; π π π T T T
TEMEL TANIM VE TEOREMLER Or OR 3 ~ d T f T f π 47 dır Bu Cheschev-Fourer sers dı verlr Solu outlu uzlr olmsı durumud r elem le ou Fourer çılımı çışıtır Buu ç şğıd teorem verlelr Teorem 4 : leer ğımsız ve lr ler ortoormlleştrlmşler olsu Eğer w se o zm w w 48 dır İst : Souç 36 te c c c c w zlrz Şmd ç ; c c c c c c w olur Burd ; c w w w w 48 elde edlmş olur
TEMEL TANIM VE TEOREMLER Or OR 4 5 Fourer Açılımlrıı Mmum Özelller Fourer çılımlrı şğıd mmum özellğe shtr Teorem 5 : Br X ç çrım uzıd ortoorml r sstem ve ef seçlmş olsu O zm N stler her seçm ç ; N N 5 dır İst: N N N N N N N N N N N N N dır So fde l term lrd ğımsız olduğu ç ; N
TEMEL TANIM VE TEOREMLER Or OR fdes lız ve lız N 5 olduğu zm lr tsılrı olduğu zm mmum değer elde edleceğ çıtır Br ş deşle r ç çrım uzıı solu outlu r lt uzıd e e ı leer omso ç Fourer sers ısm tolmıdır Nümer lz e üçü re rolem uu r ç çrım uzıd N m termler ulm le formüle edlelr Br sor souç u tür rolemler çözümüü verr Souç 5 : N r ç çrım uzıd leer ğımsız elemlrı r ümes olsu N e mmze edlmş N leer omsouu ulm rolem N trfıd çözülür lr ler ortoormlleştrlmşlerdr ve urıd rolem çözümü tetr Bu ze her e üçü re rolem uu r Fourer sers trfıd çözüldüğüü söler N N Souç 53 : m dır 5
TEMEL TANIM VE TEOREMLER Or OR İst : Teorem 5 so eştlğde fde etmş olduğumuz eştl elde edlr zlım Bölece Souç 54 Bessel Eştszlğ : Eğer lr ortoorml se o zm N 53 dır İst : Souç 53 de ; m N N dır ve st şrdır zm Souç 55 : Eğer lr ortoorml elemlrı sosuz r dzs se o 54 dır İst : Souç 54 te solu ortoorml elemlr ç Bessel eştszlğde her N > ç ; 6
TEMEL TANIM VE TEOREMLER Or OR ser ısm tolmlr dzs sıırlıdır ve dolısıl ıstır Bölece 53 eştszlğ her trfıı ç lmt lıırs 54 elde edlr zm Souç 56 : Eğer lr ortoorml elemlrı sosuz r dzs se o lm dır Y Fourer tsılrı sıfır lşır 55 İst : 54 eştszlğ solud fde ıs olu eel term ç sıfır ısr Bölece lm olur olur Burd lm Souç 57 Ortool Elemlrı Mmum Özellğ : leer ğımsız olsu lrı Teorem 33 te tsrı öre ortoormlleştrlmşler olsu O zm stler tüm seçmler ç ; dır İst : zıllr Souç 5 de ; m 7
TEMEL TANIM VE TEOREMLER Or OR 8 rolem çözümü dır 5 de se ; olur 36 d ; olduğud ; olur Souç 34 ve 36 d ; ve olu dır Bölece st tmmlmış olur
3EN ÜÇÜ ARELER YALAŞIMI Or OR 3 EN ÜÇÜ ARELER YALAŞIMI 3 E üçü reler Ylşımı Br elemıı e üçü reler lşımı r ç çrım uzıd e e ı elemı ulumsı rolem verle leer ğımsız elemlrıı r omsou trfıd rç old fde edlelr : Verle elemlrı şelde r leer omso olr ler ortoormlleştrlmşler omsou olr şelde leer Öre 3 : Eğer f C[ π π ] o zm π lm f s d lm f cos d π π π dır Bu Rem teoremdr ve Souç 55 r soucudur Çözüm : Bu uzlrd Bessel eştszlğ π π π f cos d π π π f s d olm üzere f 9
3EN ÜÇÜ ARELER YALAŞIMI Or OR dır 55 de lm lm ve lm olur ve ölece çözüm tmmlır Öre 3 : P ler Leedre olomlrı olsulr Eğer f C[ ] se o zm dır lm f P d Çözüm : Leedre olomlrı C [] de şelde leer ğımsız elemlrı ortoormlleştrlmşlerdrler Y C [] de r ortoorml sstem elrtrler O hlde Souç 56 d ; lm f P d dır Öre 33 : Eğer f L [ ] se rolem te çözüme shtr m f d Çözüm : Souç 53 te f ve lıırs ; m N m f N d f N f dır Sğ trf oztf ve sttr Ve ortoorml elemlrı Grm-Schmdt ötemle te olr elrledğde u te çözüme shtr 3
3EN ÜÇÜ ARELER YALAŞIMI Or OR Öre 34 : e d m rolem çözelm Çözüm : Burd e olr lıoruz Y ; N N m rolem çözümü olduğud ; m e d rolem çözümü olur Dh öce llermzde e olomlr sstem ortoormleştrlmesle w olm üzere Leedre olomlrı elde edleceğde ulllrzy; lr ere Leedre olomlrıı 3 3 3 4 3 olomlrıı ulllım e Fourer tsılrı ; e e d e 3 e d e 3 3
3EN ÜÇÜ ARELER YALAŞIMI Or OR 3 3 4 3 4 3 3 4 3 e e d e ve değerler heslıre ısm terso ötem ullılmıştır Bölece ; 996 4 537 4 3 4 33 3 7 4 5 3 3 4 6 9 3 3 3 e e e e e e e e e e P _8 e - _ -8 Şel 3 e e Prolle E üçü re Ylşımıd Ht
3EN ÜÇÜ ARELER YALAŞIMI Or OR 33 Öre 35 : T Cheschev olomlrı olsu O zm lrı tüm seçmler ç ; d d T π 3 dır Burd dr Çözüm : d f f ç çrımıı ele llım T T T π π π ortoorml sstem olm üzere ; π π π π T T T T T T olur Dolısıl T T d T π π elde edlr Br öce örete Souç 57 de 3 sğlır Öre 36 : Eğer T sürel r f fosouu
3EN ÜÇÜ ARELER YALAŞIMI Or OR Cheschev - Fourer serler se o zm m f d mmum ulm rolem T ısm tolmı çözer Ac u ısm tolm m m f rolem çözümüe ço ıdır Buu ç ; f T T T rtı hml ettğmz r rt zdığımızı vrslım O zm ; f T T T dır T sırlı r dzde ltere olr te eş mm ve mm sh olduğud DAVISPJ Iterolto d Aromto Dover Pulcto IcNew Yor 975 Teorem 764 ze rtez ç P de f e e düzü lşım olduğuu söler Buu ç ısm Cheschev Fourer serler ze e düzü lşımlrı tımlmt şlıç otsı olr ullılır 34
3EN ÜÇÜ ARELER YALAŞIMI Or OR Eğer f r olom se ou Cheschev- Fourer çılımlrı uvvetler Cheschev olomlrıı omsolrı olr ululr Öre 37 : [ ] rlığı üzerde 3 4 f 3 4 5 fosou ç z verle ht ı ε 5 dr Gerçete ; 5 6 f T T 6 6 3 T T 3T T 3T 4T T T 5T T 3 5 4 4 3 5 8 4 dır 49 T 76 T 9 T 3 T T3 96 3 T 4 96 rc cos cos T 5 olduğud so term slelrz ve e fzl htsıı lrız Bölece 3 3 96 < 5 49 76 3 T T T T 96 96 P dedr ve [ ] üzerde f e 5 de dh z r ht le lşır 3 35
3EN ÜÇÜ ARELER YALAŞIMI Or OR 3 Norml Delemler Teorem 3 : Br X ç çrım uzıd leer ğımsız elemlr ve ç ; ortoorml sstem olsu O zm her X elemı dır İst : olu st tmmlır Souç 3 : le ou ler trfıd oluşturul leer omsolrı e lşığıı frı her e ortooldr 36
3EN ÜÇÜ ARELER YALAŞIMI Or OR - e lşım e l Şel 3 Geometr dlde şelde tüm mümü ol leer omsolrı ümes r leer mfold olduğuu sölerz Br leer mfold orde eçe r düzlem vrmıı eelleştrlmşdr Ve u souç st r elemd r leer mfoldu r otsı e ıs uzlığı mfold d r elemıı uzuluğu olduğuu fde eder Teorem 33 : leer ğımsız olduğu frzedls leer omsolrıı çde e e lşım olsu O zm tsılrı şğıd eştl sstem çözümlerdr 3 Bu eştller orml delemler olr lrler 37
3EN ÜÇÜ ARELER YALAŞIMI Or OR 38 İst : Souç 3 de dır Bu fde çıldığıd ; elde edlr Bu se 6 sstem eştlğdr
3EN ÜÇÜ ARELER YALAŞIMI Or OR 39 33 Grm Mtrs ve Determtı Tım 33 : r ç çrım uzıd verle elemlrı r dzs olsu mtrs G 33 ler Grm mtrs olr lr Determtı ; 33 elemlrı Grm determtı olr lr Grm mtrs orml eştller tsılrı mtrs trsozudur Bu ı zmd 333 leer formu mtrsdr Burd erçete ; X X
3EN ÜÇÜ ARELER YALAŞIMI Or OR 4 Y Y ve A olm üzere üzerde leer formu f : şelde r foso olu ; T A A Y X Y X f 333 elde edlr Burd leer formu A mtrs Grm mtrstr Burd rümetler smetr fosoudur Buu ç düşüelm ve ve er değştrdğ vrslım Y olsu Bu so fde determt çılımıd ve sütulr er değştrdğ l fde ç se ve stırlrı er değştrdğ österr
3EN ÜÇÜ ARELER YALAŞIMI Or OR 4 Lemm 33 : olsu A mtrs östers ve A ~ ou oue trsozu olsu O zm ; A AG G ~ 334 ve A det 335 dır İst : M olm üzere A G ~ dır Htt ;
3EN ÜÇÜ ARELER YALAŞIMI Or OR 4 G A A G ~ dr Bu eştlğ rleştrere lemmı l özdeşlğ elde ederz İc ısım determt lmt elr ve urd A A ~ dır Özel durum olr; σ σ σ σ σ σ 336 dır
3EN ÜÇÜ ARELER YALAŞIMI Or OR Teorem 33 : olsu O zm ; 337 dır Alt sıır hl c ve c ler leer ğımlı se med elr Üst sıır c ve c u elemlr ortool se med elr Eğer elemlr ormlleştrlmşler se se o zm 338 dır İst : Frzedelm ler leer ğımlı olsu O zm e hes sıfır olm stler ullrz Frzedelm olsu ve 339 döüşümler düşüelm olduğud olur Şmd ; 43
3EN ÜÇÜ ARELER YALAŞIMI Or OR A determtı stırı mörüe öre çılırs A olur Lemm 33 de ; olur Çüü ; det A 443 dır Şmd de ler leer ğımsız olduğuu düşüelm O zm Teorem 33 de ; > olc şelde ortoorml ol olu urd stler ullrz Lemmmızd ; δ A 44
3EN ÜÇÜ ARELER YALAŞIMI Or OR A dır Bölece 33 A L > dır Bölece ler c leer ğımlı olduğu zm olur Bud sor dımd olduğuu östereceğz 35 d ; 33 dır Çüü teorem 5 de ve olmsıd olmsıd ; dır Eğer ler ortool se o zm G öşee ol ve dğer her trf sıfır ol r mtrs olur Y ; 45
3EN ÜÇÜ ARELER YALAŞIMI Or OR 46 G olur Bu ttrde ; olur Bölece elemlrı ortool olm hlde üst sıırd eştl vrdır Vrslım olsu 33 d ; L dır Şmd de olduğud ; olur Ac 35 d ve Souç 53 te ;
3EN ÜÇÜ ARELER YALAŞIMI Or OR m olur Bölece olduğud ; dır Bu se vetörler ortoollğ österr Souç 333 Hdmrd ı Determt Eştszlğ : D omles elemlı tde r mtrs olsu O zm D 33 dır Eğer elemlrı M şrtıı sğlrs o zm D M 333 olur İst : vetörüü elrts C de Hermt ç çrımıı ulllım Eğer elrtrse o zm ~ D D oue trsozuu 47
3EN ÜÇÜ ARELER YALAŞIMI Or OR 48 ~ D D D dır Şmd dır Ve D D ~ olduğud ~ D D D olur Bölece
3EN ÜÇÜ ARELER YALAŞIMI Or OR 49 D olur Bölece 33 elde edlr Eğer M se o zm ; M dır Burd ; M M M eştszller trf trf tolırs M elde edlr Şmd her trfı uvvet lıırs ; M olur d ; D olduğud
3EN ÜÇÜ ARELER YALAŞIMI Or OR D M olur Burd D M dır Eğer Teorem 334 : Br ç çrım uzıd leer ğımsız olsu δ m 334 se o zm dır δ 335 İst : Mmze edlmş elemı s olsu O zm δ s s s s s s olu 3 de s s dır Burd ; ve δ s s δ s 336 olur Norml delemler şğıd formd zr ve 336 ı çılmış hl ulr elerse 5
3EN ÜÇÜ ARELER YALAŞIMI Or OR 5 [ ] δ 337 elde edlr Bölece u sstem r ell lmee delemde oluş homoe delem sstem olur ls d frlı şr olm r çözüme sh olduğud tsılr determtı sıfır olm zoruddır As ttrde tsılrı hes sıfır olurdu δ δ
3EN ÜÇÜ ARELER YALAŞIMI Or OR 5 δ Burd ; δ ve dolısıl ; δ δ elde edlr Teorem 335 : Br ç çrım uzıd leer ğımsız olsu m rolem çözümü s s 338
3EN ÜÇÜ ARELER YALAŞIMI Or OR 53 dır s htsı s 339 le verlr İst : 3 orml delemlerde ve Crmer urlı d ; ç sütuu ere zılr ; 33
3EN ÜÇÜ ARELER YALAŞIMI Or OR 54 olur Eğer 338 determtıı so stırı mörüe öre çrs ; s elde edlr
3EN ÜÇÜ ARELER YALAŞIMI Or OR 55 33 zıllr Çüü ; 33 sütu öre çılırs ; olur Şmd 33 e 338 eleere ; s 339 elde edlr Souç 336 : leer ğımsız ve lr ler Grm-Schmdt e öre ortoormlleştrlmşler olsulr O zm ;
3EN ÜÇÜ ARELER YALAŞIMI Or OR 56 33 > dr d ştsısı > 333 şelde verlr İst : m mmum rolem düşüelm Souç 57 e uu olr u mmum rolem çözümü ; > 334 şelde verlr Y omsou fdese eşt olduğu zm u omso e r e lşıtır 36 öre ve
3EN ÜÇÜ ARELER YALAŞIMI Or OR 57 olur Burd ; 334 zıllr 339 öre 335 dır Souç 35 te ; olu 334 ü her trfı ormu ve mmumu lıır ve Souç 57 de ; m elde edlr Teorem 334 te ; δ olduğud u mmum olur Burd
3EN ÜÇÜ ARELER YALAŞIMI Or OR 58 olur ve ölece 333 elde edlr Dolısıl olur Burd ere zılır ve erel düzeleme ılırs 33 elde edlr Öre 33 : 3 olm üzere Leedre olomlrı Souç 336 d d elde edlelr P
3EN ÜÇÜ ARELER YALAŞIMI Or OR 59 P 3 3 4 3 3 3 35 3 3 4 3 3 3 3 P M şelde devm edlere Leedre olomlrı elde edlr
3EN ÜÇÜ ARELER YALAŞIMI Or OR 6 34 Grm Determtı Özelller Teorem 34 : Grm determtı şğıd özelllere shtr e d c fosoudur smetr ümetler < r σ σ σ 34 e de eştl hl c ve c olmsı durumud sğlır İst : ve durumlrı dh öce österld c 34c şııd verle eştszlğ sol trfıd determt sğ trfıd determt delm M M M M M M
3EN ÜÇÜ ARELER YALAŞIMI Or OR 6 M M M M σ σ σ σ σ σ σ Öce sütu elemlrı öreğ ; σ σ olduğud şğıd zıllr M M M σ σ σ σ σ dır stır elemlrı d σ σ olm üzere urıd sütu ç ıllr stır ç ılırs ve sğ trf ede zılırs determtı elde edlr Bölece c sğlmış olur d Burd 3 leer ğımsız olduğuu vrslrz As ttrde 34d elemlrı sıfır olur ve hem de eştszl şr olur Şmd 3 ler ortoormlleştrelm ve 3 ortoorml vetörler dıı verelm O zm Teorem 5 ve 335 de m δ
3EN ÜÇÜ ARELER YALAŞIMI Or OR 6 ve δ δ olur Dolısıl urd ; m olur Burd ; elde edlr ve ölece d sğlır e < şrtıı sğlsı O zm sol trft dh fzl term olduğud
3EN ÜÇÜ ARELER YALAŞIMI Or OR 63 m m olur Bezer şelde m c c c olur Teorem 74 te 34 ve 343 olur Özellle 8 de ç ; 3 3 344 elde edlr Bu eştszller trf trf çrrs ;
3EN ÜÇÜ ARELER YALAŞIMI Or OR ve 345 elde edlr Şmd ; 345 de eştl hl sğllr 344 de her r ğıtı sğlmlıdır Y c ve c m c c c 346 ve m m 347 olmlıdır Souç 53 te N m N fdes c se sğlırdı Dolısıl 346 c ve c se sğlır Çüü ; Teorem 53 te; m c dır Şmd de ç 347 c c 64
3EN ÜÇÜ ARELER YALAŞIMI Or OR 65 m m olur Burd ; olur Bölece ; olur 3 lır ezer souçl elde edlr ve ortooll durumlrı sğlır Grm determtı ço dt çec r eometr orum shtr R de şelde vetör verls Bu vetörler hcm V V trfıd elrlemş ol elrl outlu r rlelüzü öşelerdr V V determtıı çı değer 348 şelde österlelr
3EN ÜÇÜ ARELER YALAŞIMI Or OR 66 3 Şel 34 3 R te rlelüz 348 de determtı trsozu le çrrs ; V 349 determtıı elde ederz Bölece V 34 olur
3EN ÜÇÜ ARELER YALAŞIMI Or OR 35 lılı ve Souçlrı Tım 35 : X ormlu r vetör uzı ve X de elemlrı solu ve sosuz r sstem olsu Her X elemı ler solu leer omsou le ef olc şelde lşlors u solu ve sosuz ssteme lıdır der Y X ve ε > ç ; ε 35 olc şelde stler ullrz Öre 35 : R ve ler leer ğımsız olduğud ; dır Eğer se o zm C de ğımsız vetörü her ümes lıdır > > dır ve urd dır Verle her sstem ler ç çözülmüştür 67
3EN ÜÇÜ ARELER YALAŞIMI Or OR Öre 35 : X C[ ] f m f ormu le tımlmış olsu sstem C [ ] de lıdır Çözüm : f sürel olduğud Weerstrss Teoremde Teorem 6 DAVISPJ Iterolto d Aromto Dover Pulcto IcNew Yor 975 ε > ç f P m f P ε olc şelde lıdır vrdır Dolısıl { } P Öre 353 : X L[ ] f f d ormul tımlmış olsu sstem X de lıdır L [ ] mutl değer derecede terlleelr fosolr uzı r vetör uzı olm üzere DAVISPJ Iterolto d Aromto Dover Pulcto IcNew Yor 975 Teorem 4 e ; Eğer olm üzere f L [ ] se o zm her ε > ç f ε d olc şelde sürel r fosou ullrz sürel olduğud ε ç olomu öle ç 68
3EN ÜÇÜ ARELER YALAŞIMI Or OR 69 ε dr So fdede her trfı terl lıırs d ε ε dır Bölece ; terller ç 77 Mows eştszlğde DAVISPJ Iterolto d Aromto Dover Pulcto IcNew Yor 975 ; ε ε ε d d f f d f olur Öre 354 : X z de ol lt fosolrı ümes olsu m z f f z olm üzere 3 z z z X de lı değldrler Eğer lı olslrdı her > ε ç ; ε z z z z m olc şelde stler ululrd Eştszlte özellle z oulurs ε
3EN ÜÇÜ ARELER YALAŞIMI Or OR olur Bu se ε seçlrse r çelşdr ışı lmı md öce zı eel toolo vrmlrı htırltm rrlı olc X X d uzlı fosou le tımlı r metr uz olsu Eğer se d < r şrtıı sğl X elemlrıı tümüü çere U ümese r çı uvr dı verlr S r metr uz ve S olsu Eğer U r S olc şelde r r > sısı vrs S e S r ç elemı der Br metr uzd ve dolısıl ormlu r vetör uzıd ıslı şu şelde tımllr olsu Eğer Tım 35 : X r metr uz ve { } X de elemlrı r dzs X ç lm d 35 se { } dzse elemı ıstır der Normlu r uzd 35 lm 35 fdese eşt olur olsu Y ; Yıs r dz lmt tetr ul edelm dzs lmt d ve lm d lm olsu Metr uz olm eştszllerde ol üçe eştszlğde ; d d d dır ç d elde ederz ve ölece 7
3EN ÜÇÜ ARELER YALAŞIMI Or OR olur Souç olr lm şelde österlr se { } dzs lmt dr der ve lm 353 35 ormd ıslı olr dldırılır Eğer orm r terl le tımlmış se ıslı ortlm ıslı olr dldırılır Fosolrı ormlu vetör uzlrı olmsı hlde ıslı türler otsldüzü dğer ıslı türlerde frlıdır Normlu uzd fosolrı r dzs otsl ıs olmd ıs ollr Bu edele u ırım her zm ılmlıdır X r metr uz ve S X olsu S le S ışıı österme üzere S S ıs dzler ütü lmtler ümes olr tımlır S S olduğu çıtır Çüü ; s S olm üzere s s st lm s S olu S S dr s Eğer lırs S S se S e lıdır der S X se S ümese X de oğudur der X sıllr oğu r lt ümee sh se X e rıllrdr der Eğer lm se o zm olduğud ütü m > N ε ç d d d m m ε d m zlrz Ac rsoel sılrı metr uzı olr lıdığı ttrde d le uu ters doğru değldr Öeml ol uu doğru olduğu uzlrd trtışmtır 7
3EN ÜÇÜ ARELER YALAŞIMI Or OR Tım 353 : X r metr uz ve { } X elemlrıı r dzs olsu Her ε > ve tüm m N ε ç ε d m olc şelde r ε N sısı vrs { } e r Cuch dzs der Eğer her Cuch dzs X de r lmte shse X uzı tmdır der Eğer X tm ormlu r vetör uzı se ve her ε > ç m ε m N ε 354 olc şelde N ε sısı ululors o zm lm 355 olc şelde r X vrdır Tm ormlu r vetör uzı Bch uzı olr dldırılır Öre 355 : C[ ] X uzı f f d ormu le versls olsu O zm f 4 Arc t f d d Arc t 4 7
3EN ÜÇÜ ARELER YALAŞIMI Or OR dır Çüü R ç π Arc t dr Notsl ıs se [ ] ç f f dr O hlde f f olmlıdır Ac f dur uzıdır z Öre 356 : C omles Öld uzı tmdır ve ölece r Bch C de r Cuch dzs olsu R tmlığı ldğde ve z erçel sı dzler Cuch dzsdrler ve ıstırlr dr Dolısıl C tmdır z Öre 357 : C [ ] uzı üzerde f m f ormu tımlsı Bu uz tmdır Eğer ; m f m f ε m > N ε se o zm f m dzs [ ] üzerde düzü ıstır Herh r t [ ] ç de dır Bu se t f m t f t ε f m r Cuch dzs olduğuu österr Htt f t f t dzs reel terml r Cuch dzsdr R tm olduğud u dz ıstır m ç f m t f t olur Bu şelde her t [ ] otsıl r te reel f sısı eşleelrz Bu se [ ] üzerde r f fosou tımlr d ç m f f ε N ε olc şelde f fosou vrdır ve u f f e u ormd ısdığıı österr f ler sürel ve ıslığı düzü olmsı edele 73
3EN ÜÇÜ ARELER YALAŞIMI Or OR lmt fosou ol f de [ ] üzerde süreldr O hlde f C[ ] dr O hlde C [ ] tmdır Öre 358 : X C[ ] uzı f f d ormu le tımlmış se X tm değldr Bu X de r elem ıs olm r Cuch dzs ulr österlelr fosou Çözüm : ollştırm ç llım ve f sürel f olsu f f sürel olm foso olsu Şmd < f f d d 3 olur Bud dolı lm f f olur f ormd f e ıstır ve üstel 74
3EN ÜÇÜ ARELER YALAŞIMI Or OR f f m f f f f m f f f m f ε ε ε olduğud f r Cuch dzsdr Yısdığı f se u uzı r elemı olmdığıd X uzı tm değldr Teorem 35 : ler r X ç çrım uzıd ortoorml elemlrı r dzs olsu Bu dz lızc solu sıd elemlrd d oluşmuş ollr Aşğıd ed fde öz öüe llım A B Her lr X de lıdır X elemıı Fourer sers ormd e ısr ; lm 356 dır C Prsevl özdeşlğ sğlır Y her X ç 357 C Geşletlmş Prsevl özdeşlğ sğlır Y her X ç dır 358 D ı çere dh üü ortoorml sstem otur 75
3EN ÜÇÜ ARELER YALAŞIMI Or OR E elemlrı tmlı özellğe shtr Y X ve se dır F X r elemı ou Fourer tsılrı trfıd te olr elrler Y eğer w w dr se o zm O hlde olur Eğer X tm r ç çrım uzı se A B C C D E F 359 D C olur ve ölece tüm u ed durum detrler Y A B C C D E F 35 olur İst : A B olduğuu österelm A doğru olsu 5 de ; dır A d dolı ve 35 ereğce so fde ε şelde zıllr Bu d B 356 ı sğlmsı demetr Çüü her ε > ve ç olc şelde r N vrdır O hlde ε lm dır A B sğlır 76
3EN ÜÇÜ ARELER YALAŞIMI Or OR 77 B doğru olsu O hlde r elemı ou Fourer serlerle lşlrz Bölece B A sğlır O hlde A B dr B C olduğuu österelm B sğlsı Ortoollte ; Schwrz eştszlğde ; dır B sğldığıd sğ trft her fde de ç sıfır lşır Burd olur Bölece
3EN ÜÇÜ ARELER YALAŞIMI Or OR olur Dolısıl Her şelde zılır Bu se demetr Burd Şmd B C dr X ç sğldığıd C de seçlere so fde C C sğlır C sğlsı Souç 53 te C B olduğuu österelm olu ç her trfı lmt lıırs ; lm olur 357 de u lm lm lm olur Burd ; lm olur O hlde C B sğlır Bölece sğlmış olur A B C C Şmd de A D olduğuu österelm A B olduğuu loruz B C de 78
3EN ÜÇÜ ARELER YALAŞIMI Or OR w w w w w w olu lmt lıırs B C de olur w w ve w lıırs w w w w w w olur 98 de w w w w olur ve de w w w w olur w olduğud u r çelşdr O hlde A D sğlır Şmd D E olduğuu österelm Burd D E ere E D olduğuu östereceğz Vrslım X ve olc şelde vr olsu O hlde sstem sstemde dh eş r ortoorml sstem olmuş olur Bu se D üü verr O hlde E D olur Olm er metodud D E sğlır 79
3EN ÜÇÜ ARELER YALAŞIMI Or OR E doğru olsu Y X ve olsu O hlde ; d dh eş r ortoorml sstem olmz Çüü ; dır Dolısıl şelde r vetör ulmız O hlde E D sğlır Bölece D E sğlmış olur Şmd de E F olduğuu österelm E doğru olsu Frzedelm w olsu O zm olur E de dolı w w w dr Bölece E F sğlır Burd e olm er metoduu ullr F E ere E' F' olduğuu österceğz E lış olsu Y z olc şelde r z ullrz Her ç z 8
3EN ÜÇÜ ARELER YALAŞIMI Or OR 8 dır Çüü z olu ulde z dır Bölece ve z ı Fourer tsılı frlı elem olur Bu se ' F üü verr Dolısıl F E sğlmış olur Bölece 359 zcr tmmlmış olur Şmd F B olduğuu östereceğz ve ölece 35 d zcr urmuş olcğız Frzedelm X tm ve F doğru olsu X w olsu ve w s 35 elemlrıı düşüelm m > ç m m w s s zlrz öle m m w s s 35 dır Gerçete ; m m m m m m m w w w w w s s s s s s dır 53 Bessel eştszlğde lmt lıırs ; < lm w w w
3EN ÜÇÜ ARELER YALAŞIMI Or OR 8 olur Bu ser ısm tolmlr dzs sıırlı ve dolısıl ıs olcğıd > ε ve ε N m ç ε m m w s s olc şelde r ε N ullrz Bölece { } s r Cuch dzsdr ve X tmlığıı vrsımıd r X s elemı ısr Y lm s s 353 dır v st ve v olsu O zm v v v v v w s s s s s dır Çüü ; w s olduğud v v w w s dır Schwrz eştszlğde v v v v s s s s w s s s dır Bu fdede lmt lıır ve 353 öz öüde uludurulurs ; lm v v s s w s olu v w s v v elde edlr F de u w s olduğuu österr ve 353
3EN ÜÇÜ ARELER YALAŞIMI Or OR lm w w şelde zılır Bu se eslle B dr O hlde F B sğlır Bölece 35 zcr tmmlır Tım 354 : X r ç çrım uzı ve S X olsu Eğer S ç ; 354 e se S e tmdır der Gördüğümüz tm r ç çrım uzıd tmlı ve lılı de vrmlrdır Öre 359 : X C[ ] f f d şelde tımlmış olsu Br f C[ ] ve ε > ç f sürel olduğud Teorem 6 Weerstrss Ylşım Teorem de DAVISPJ Iterolto d Aromto Dover Pulcto IcNew Yor 975 ; olc şelde f ε stler ullrz So fdede her trfı terl lıırs ; f d ε olur Bu fde se f f f P ε 83
3EN ÜÇÜ ARELER YALAŞIMI Or OR olu urd X de lıdır elemlrıı Leedre olomlrı le değştrere tüm Teorem 35 A-F durumlrı zler Özellle eğer f C[ ] ve eğer f d f se o zm Teorem 35 E de f dır Teorem 35 Resz : X r tm ç çrım uzı ve { } dzs < oşuluu sğl r dz ve { } ortoorml sstem olsu Bu durumd 355 olc şelde r X vrdır İst : s elemlrıı öz öüe llım s s m s sm s sm m m m m dır ve sers hotezde ıs olduğud { } lm s s r Cuch dzsdr 84
3EN ÜÇÜ ARELER YALAŞIMI Or OR olc şelde r vrdır Çüü ; U ol U ısm tolmlr dzs ıstır Dolısıl r Cuch dzsdr Y m N ε ç U U < ε olc şelde r N ε ululr Burd m U U m m olduğud { s } r Cuch dzsdr s s m < ε st ve le Schwrz d ; s s s dır So fdede olur Dolısıl ç lmt lıırs lm s olu 355 sğlır 85
3EN ÜÇÜ ARELER YALAŞIMI Or OR 36 Tm İç Çrım Uzlrıı Geometr Özelller Teorem 5 de verle r elemd r leer mfold mmum r uzlığı vr olduğuu ördü Bu ısımd uu dh eel lt ümelere sıl eşleteleceğmz celeeceğz Teorem 36 uu ç üü öemde eterl r durum sğlr Teorem 36 : X tm r ç çrım uzı olsu M X lı toolo olr oves ve oş olm r lt ümes olsu şelde urlım O zm M de ; olc şelde te r vrdır d M X ve f 36 d 36 M d Şel 36 İst : 36 de M de lm d 363 86
3EN ÜÇÜ ARELER YALAŞIMI Or OR olc şelde Prleler teoremde ; elemlrıı r dzs ullrz Teorem 3 m m m m m m 4 m olur M oves olduğud m M drbölece elde edlr Çüü ; d d m f M le rsıd uzlığı e üçüğü d se herh r elem ç u uzlı d de üü ve e fzl eşt olur Dolısıl m 4d m dr 363 le m ç m dır Buu lmı { } dzs r Cuch dzs olmsıdır X tm olduğud her Cuch dzs ıstır olc şelde Şmd m X vrdır M lı olduğud M dedr 87
3EN ÜÇÜ ARELER YALAŞIMI Or OR 88 d d dır Dğer trft 36 de d dr Ölese ve de d dr Şmd de ı te olduğuu österelm Frzedelm d olc şelde ve e sh ollım M oves olduğud M dedr Bölece d d d d olur Burd d dr Prleler teoremde 4 4 d d d olur Ölese dr Teorem 36 : X tm r ç çrım uzı ve M X de frlı lı r lt vetör uzı olsu Bu durumd sıfırd frlı r M z elemı vrdır Y M ç
3EN ÜÇÜ ARELER YALAŞIMI Or OR z dır İst : w M olsu d d f M w şelde tımlsı Teorem 36 de M de olc şelde r w d M elemı vrdır w z delm z dır As ttrde w M olu ulümüzle çelşr M vetör uzı olduğud tüm M ve tüm c ler ç c M dr Bölece c w c z c d w olur O zm d z d z w ve z c d z z c z dır Bu z c z c z c z z c c z c z c z c z c olduğud ; 89
3EN ÜÇÜ ARELER YALAŞIMI Or OR c c z c z lmı elr Özel olr urd σ erçel sı olm üzere seçlrse o zm tüm σ lr ç z c σ z { σ σ } dır Ac σ > ve eterce üçüler ç σ σ etftr Bölece z etf olmcğıd Dolısıl dır z z olur Souç 363 : X tm r ç çrım uzı ve M X de frlı lı r lt vetör uzı olsu X M dışıd r elemıı M elemlrı rleştre vetörler rsıd mml uzuluğ sh ol M e dtr Teorem 364 : M [ ] üzerde oves ol dereces ol olomlrı ümes elrts f L [ ] olsu O zm rolem te r çözüme shtr m f 364 M İst : Teorem 3 DAVISPJ Iterolto d Aromto Dover Pulcto IcNew Yor 975 de ; Br olomu [ ] üzerde ovestr c ve c [ ] üzerde dır 9
3EN ÜÇÜ ARELER YALAŞIMI Or OR Eğer ve q [ ] üzerde oves seler o zm t q r t r de t ç [ ] üzerde ovestr Htt t r t q olu urd r ovestr M ölece ovestr östereceğz Şmd de M L [ ] lı r lt ümes olduğuu M f L [ ] e ıs olsu lm f d olsu q f e P de e lş elem olsu Souç 5 de O zm f q d f d ç f q d olur öle P de f q olur O hlde M P dr Şmd de ; P P P olomlrı [ ] rlığıd dereceler olc şelde ortoorml olomlr olsu O zm zı stler ç 9
3EN ÜÇÜ ARELER YALAŞIMI Or OR 9 P P f zıllr ve ölece P P P P f f d f dır Bölece ; lm olur Şmd z z z f dır Çüü ; z f R z çemerde lt olsu O zm z z f R z de düzü olr ısr Bölece verle r > ε ç u uvvet sers eterce elemlrıı llr ve R z ç ε z z f olc şelde
3EN ÜÇÜ ARELER YALAŞIMI Or OR z z olomu vrırız ef r R R erçel rlığı üzerde ε f dr Ac lt olm fosolr ç uvvet serlerde öle r eşleme söz ousu değldr Bölece omles düzlemde her sıırlı öle üzerde z f z düzü olr ısr Burd ; z f z o öle üzerde düzü olr ısr ve [ ] olduğud o öle üzerde üzerde f olur Yısdığı foso olom olduğud lmt de M çde olur O hlde M lıdır Bölece 36 teoremde M oves lı ve L [ ] oşt frlı r lt ümes olduğud m M f rolem te r çözümü vrdır 93
AYNALAR CHENEYEW 966 Itroducto to Aromto Theor McGrw-Hll Boo Com New Yor DAVISPJ 975 Iterolto d Aromto Dover Pulcto Ic New Yor HAASERNB ; SULLIVANJA 97 Rel Alss V Nostrd Rehold Com New Yor RIVLINTJ 966 A Itroducto to The Aromto of Fuctos Blsdell Pulsh ComPrted the USA 974 The Cheschev Polomls Joh Wle d Sos Ic Prted Uted Sttes of Amerc SMARZEWSIR 987 O Best Aromto Aromto Theor 49: 93-98 L Sces Jourl of UBHAYAVA 99 Best Pecewse Mootoe Uform Aromto Jourl of Aromto Theor 63:375-383 94
ÖZGEÇMİŞ 98 ılıd Mers de doğdum Öğremm sırsıl Cumhuret İloulu Mol Ortoulu Hcı Scı Lses de tmmldım 999 ılıd Sülem Demrel Üverstes Fe-Edet Fültes Mtemt Bölümüe rdm 3 ılıd mezu olu Çuurov Üverstes Fe- Edet Fültes Mtemt Bölümüde üse lss m şldım 95