ESKİŞEHİR OSMNGZİ ÜNİVERSİESİ Müendislik Mimrlık Fkültesi İnşt Müendisliği Bölümü E-Post: ogu.met.topu@gmil.om We: ttp://mmf.ogu.edu.tr/topu Bilgisyr Destekli Nümerik nliz Ders notlrı met OPÇU n>m 8 8.. 7..9 9. 8..8... 8 y y.+. 8 8 9 DENKEM SYISININ BİİNMEYEN SYISINDN ÇOK ODUĞU DENKEM SİSEMERİ: DENGEEME HESBI En küçük kreler metodu QR çrpnlr yırm metodu
9. DENGEEME HESBI: EN KÜÇÜK KREER MEODU 99 9. DENKEM SYISININ BİİNMEYEN SYISINDN ÇOK ODUĞU DENKEM SİSEMERİ: DENGEEME HESBI Denklem syısının ilinmeyen syısındn çok olmsı durumudur. Gözlem, ölçüm ve deneye dylı prolemlerde orty çıkr. Ölçümler t içerir. Mesel jeodezik ölçümlerde; okum tsı, let tsı, tmosferik koşullr(ışığın kırılmsı, v sını, sıklığı gii) gerçek değerlerin elirlenmesini imkânsız kılr. Ölçme ve deney yoluyl elirlenen veri tlrını en z indirgemek için gereğinden çok ölçüm ypılır ve ilinmeyen syısındn d çok denklem oluşturulur. Kesin çözüm yoktur, çözüm yklşıktır ve minimum t olk şekilde ulunmy(dengelenmeye) çlışılır. genel denklem sistemi n denklem ve m ilinmeyen içerir ve n>m dir:... m... m, Örnek:........ m n n n... nm..9.7.8...8..8...9 (9.) krşı trf vektörü t(ölçme tsı) içerir. kolon düzenlidir, yni rnk m dir. nk, denklemler uyumlu olmdığındn, denklemlerin epsini de tm olrk sğlyn vektörü ulmk mümkün değildir. Elden geldiğine iyi ir çözüm ulmy çlışılır. Elden geldiğine iyi ir çözüm nedir? öyle esplnmlı ki denklem sisteminde yerine konulduğund, ki denklemi sğlmyktır, oluşk frk vektörünün - (9.) elemnlrının krelerinin toplmı minimum olsun: f() min (9.) Bu koşulu sğlyk frklı çözüm yöntemleri vrdır. Bunlrdn ilki, En küçük kreler metodu, EGENDRE trfındn 8 yılınd yyınlndı. En küçük kreler metodunu GUSS un 79-79 yıllrınd geliştirdiği fkt yyınlmdığın innılır. Metot EGENDRE trfındn yyınlnmsın rğmen onun dıyl değil GUSS dı ile nılır. Bir diğer metot QR çrpnlr yırm metodudur. En küçük kreler metodu 9. koşulu 9. de yerine konrk f ( ) ( ) ( ) Bu ifde rtık nın değil in fonksiyonudur. + f ( ) + min f ( ) Minimum olm koşulu f ( ) dır. simetrik ve kre ir mtristir. drien-mrie egendre(7-8) olur. (9.) drien-mrie egendre (7-8), Frnsız Mtris ifdelerin türevinin lınmsı ile ilgili temel kurllr için k: Bölüm. met OPÇU, Bilgisyr Destekli Nümerik nliz, Eskişeir Osmngzi Üniversitesi,, ttp://mmf.ogu.edu.tr/topu/ 99
9. DENGEEME HESBI: EN KÜÇÜK KREER MEODU B ve (9.) ile kısltılırs B (9.) olur. Bu ğıntıdn esplnn minimum t içerir. 9. ve krşılığı oln 9. ğıntısın en küçük kreler metodunun norml denklemleri dı verilir. vey krşılığı B simetrik, pozitif tnımlı kre mtristir, det B dır. 9. denklem sistemi CHOESKY ile çözülerek ulunur. Bu şekilde esplnn minimum t içerir ve 9. koşulunu sğlr. nk 9. genel denklemini tm olrk sğlmz, yni elden geldiğine iyi ir çözümdür, tlr elden geldiğine dengelenmiştir. Örnek : Bir ltın külçe kez trtılıyor ve.,., 998,. grm geliyor. Mutemelen içiri doğru değil. Külçenin minimum t içeren kütlesi ne kul edilmelidir. Kütlesini ile gösterelim. Mtris notsyonund denklem sistemi.. 998. olur... ve.. y göre B.. 998. [ ] [ ] 998. Minimum t koşulu: B 998. 999.7 grmdır (ortlm değer olduğun dikkt ediniz). Örnek : ve nolu nirengi noktlrının yükseklikleri ilinmektedir:. m, 8.77 m. ve noktlrının yüksekliklerini elirlemek için noktlrın yükseklik frklrı şğıdki gii ölçülmüştür: noktsınd durulrk - yükseklik frkı ölçülmüş, 8. m noktsınd durulrk - yükseklik frkı ölçülmüş,. m noktsınd durulrk - yükseklik frkı ölçülmüş, -.9 m noktsınd durulrk - yükseklik frkı ölçülmüş, -8.9 m noktsınd durulrk - yükseklik frkı ölçülmüş, -. m ve noktlrının en z t içeren ve yüksekliklerini ulunuz? Denklemler: +.+8..78 m +.+. 9.77 m + 8.77-.9.8 m + 8.77-8.9 9. m + - - - -(-.). m 8. m. m -. m. m -.9 m 8.77 m -8.9 m met OPÇU, Bilgisyr Destekli Nümerik nliz, Eskişeir Osmngzi Üniversitesi,, ttp://mmf.ogu.edu.tr/topu/
9. DENGEEME HESBI: EN KÜÇÜK KREER MEODU met OPÇU, Bilgisyr Destekli Nümerik nliz, Eskişeir Osmngzi Üniversitesi,, ttp://mmf.ogu.edu.tr/topu/ Bu denklemler mtris notsyonund yzılırs..77. 9..8 9.77.78, B Minimum t koşulu: ulunur. Ht vektörünü ve tlrın krelerinin toplmını ullım: Örnek : Doğru denklemi y+ dir. En uygun ve syılrını elirlememiz gerekiyor. lodki koordintlr u denklemde yerine konrk ulnn denklem ve mtris notsyonundki krşılığı:.+.+ 7.8+.9+ 9.+ 8.+.8+.8+ +.+ Nokt no 7 8 9 i 8 8 y i.. 7..9 9. 8..8.... 9..8 9.77.78....8 8. 9..9 7... 8 8 y i ordintlrı deneysel olrk elirlenen noktnın koordintlrı şğıdki tlod verilmiştir. Bu noktlr -y düzleminde işretlendiğinde sğdki grfik oluşuyor. Noktlr neredeyse ir doğru üzerindeymiş gii görünüyor. Bu noktlrı en iyi temsil edeek ir doğru uydurmk istiyoruz. m Colesky B 9.7.8..77 8 8 y.97,.89...... 9..8 9.77.78 9.7.8
9. DENGEEME HESBI: EN KÜÇÜK KREER MEODU Norml denklem ve çözümü: 8 B, 88.9 Minimum t koşulu: 8. B Colesky 88.9.. ve. lınrk y+ doğrusunun denklemi: y.+. olur. Bu doğru sğd görülen -y düzleminde çizilmiştir. Ht vektörünü ve tlrın krelerinin toplmını. örnekteki yoll ullım: 8,.7 Htlrın krelerinin toplmı oldukç üyüktür. Noktlr ir doğru denklemi yerine, d yüksek dereeden ir eğri ile modellenirse tnın zlğı eklenir. Örnek : y i ordintlrı deneysel olrk elirlenen noktnın koordintlrı şğıdki tlod verilmiştir. Nokt no i 7 y i Bu noktlr -y düzleminde işretlendiğinde sğdki grfik oluşuyor. Noktlr ir eğri gii görünüyor. Bu noktlrı en iyi temsil edeek ir eğri uydurmk istiyoruz. Eğrinin dereesini tm olrk ilemiyoruz, m ikini deree ir polinom (prol) gii görünüyor. Bir prol uydurmy çlışlım. 8 İkini deree polinomun(prolün) genel denklemi y + + dir. En uygun,, syılrını ulmk istiyoruz. lodki koordintlr y + + fonksiyonund yerine konrk: + + + + +7 +7 + + + + + + Norml denklem ve çözümü: 7 9 9 B 9 9 9 9 887 9 887, 78 7 7 Minimum t koşulu: B 9 9 9 9 887 9 887 78 7 Colesky 7.988.79. met OPÇU, Bilgisyr Destekli Nümerik nliz, Eskişeir Osmngzi Üniversitesi,, ttp://mmf.ogu.edu.tr/topu/
9. DENGEEME HESBI: EN KÜÇÜK KREER MEODU met OPÇU, Bilgisyr Destekli Nümerik nliz, Eskişeir Osmngzi Üniversitesi,, ttp://mmf.ogu.edu.tr/topu/ -.988,.79 ve -. lınrk y + + eğrisinin denklemi: y-.988+.79-. olur. Bu eğri sğd görülen -y düzleminde çizilmiştir. Ht vektörünü ve tlrın krelerinin toplmını. örnekteki yoll ullım: Örnek : Ölçümler: m, 9 m, 8 m, 8, 7 m yrı, noktlr ir doğru üzerinde olduğundn, şu ek koşullrın d sğlnmsı gerekir: - - - - - - - Denklem sistemi ve çözümü: 7 8 8 9 7 8 8 9 B Minimum t koşulu: metre Ht vektörünü ve tlrın krelerinin toplmını. örnekteki yoll ullım: 8 Bir doğru üzerinde ulunn noktnın rlrındki mesfeler ölçülmüştür. yrı, ölçüm tlrını zltmk için, - rsı ve - rsı d ölçülmüştür. Ölçülen değerler sğdki şekilde gösterilmiştir. Ölçüm tlrını dengeleyiniz. 9.8 8. 8. 8.9.9 7 8 8 9 Colesky B..9
9. DENGEEME HESBI: EN KÜÇÜK KREER MEODU met OPÇU, Bilgisyr Destekli Nümerik nliz, Eskişeir Osmngzi Üniversitesi,, ttp://mmf.ogu.edu.tr/topu/ Örnek : Üç kişi ynı terziyi kullnrk trtılıyorlr. Her iri öne tek tek trtılıyor, 7,, kg geliyorlr. Sonr. ve. kişi erer trtılıyor, 78 kg geliyorlr. Sonr. ve. kişi erer trtılıyor, kg geliyorlr. Sonr. ve. kişi erer trtılıyor, kg geliyorlr. Son olrk üçü irden trtılıyor ve 7 kg geliyorlr. Her irinin kütlesi nedir? Ölçülen değerler: 7 kg. kg. kg. 78 kg. kg. kg. 7 7 kg. yrı, şu ek koşullrın d sğlnmsı gerekir: - - - - - - 7 - - - Denklem sistemi ve çözümü: 7 78 7 7 78 7 7 B Minimum t koşulu: kg. kişi 7 kg,. kişi kg,. kişi kg. Ht vektörünü ve tlrın krelerinin toplmını. örnekteki yoll ullım: 7... 77... 7. 7 78 7 7 7 Colesky B.
9. DENGEEME HESBI: EN KÜÇÜK KREER MEODU Örnek 7: Bir üçgenin çılrı α, β, γ 7 olrk ölçülmüştür. Dengelenmiş çılrı ulunuz. çılr iririnden ğımsız değildir. γ çısını diğerleri insinden yzrsk γ 8 ( α + β ) 7 α + β olmlıdır. Bu durumd prolemin iki ilinmeyeni vrdır: α ve β. Denklemler ve çözüm: α β α + β α B β 9, Minimum t koşulu: B α 9 α.7 Colesky β β.7 Dengelenmiş çılr: α.7 β.7 γ 8 ( α + β ) 8.7.7. Ht vektörünü ve tlrın krelerinin toplmını ullım:..7.,..7. NO: Uygulmd genellikle mtrisinin stır syısı çok fzl (n çok üyük), un krşın kolon syısı zdır (m nm küçük). vey krşılığı oln B mtrisinin elemnlrının zılrı çok üyük, zılrı d çok küçük olilmektedir (.örneğe kınız). Bu tür mtrisler tekile ykındır, nümerik zorluk yrtır. Denklem sisteminin çözümünde yuvrlm tlrı fzl olur, tt çözüm ulunmyilir. Dolyısıyl, en küçük kreler metodunun istikrrsız(instil) olduğu söyleneilir. QR çrpnlr yırm metodu Yukrıdki nedenlerle dengeleme esınd En küçük kreler metodu yerine QR çrpnlr yırm metodu teri edilir. QR çrpnlr yırm metodu mtrisini, nm Q ortogonl mtris ve R tekil olmyn üst üçgen mtris olmk üzere QR 9 yılınd, iririnden ğımsız olrk, İngiliz Jon G. F. Frnis(9-) ve Rus V. N. Kulnovsky(9- trfındn geliştirildi.. yüzyılın en iyi lgoritmsındn iri seçildi. Bk: ttp://mt.olordo.edu/resoures/rive/topten.pdf met OPÇU, Bilgisyr Destekli Nümerik nliz, Eskişeir Osmngzi Üniversitesi,, ttp://mmf.ogu.edu.tr/topu/
9. DENGEEME HESBI: EN KÜÇÜK KREER MEODU şeklinde çpnlrın yırır. Q ortogonl mtrisi Grm-Smidt, Houseolder vey givens ortogonlleştirme metotlrındn iri ile mtrisinden esplnır. Q ortogonl, yni Q Q I, olduğundn dengeleme prolemi QR Q QR Q I R Q R Q olur. R üst üçgen mtrisinin tersi tnımlı olduğundn, ilinmeyenler vektörü geriye doğru esp ile vey teorik olrk R Q ile esplnır. İşlem syısı fzl olmsın rğmen, QR metodu istikrrlı(stil) ve progrmlnmsı çok sit ir metottur. Bu metodun teorik detylrı için k: ttp://tutoril.mt.lmr.edu/clsses/inlg/qrdeomposition.sp Bu ölümün progrmlrı için k: Bölüm met OPÇU, Bilgisyr Destekli Nümerik nliz, Eskişeir Osmngzi Üniversitesi,, ttp://mmf.ogu.edu.tr/topu/