İsttistik I Bzı Mtemtik Kvrmlrının Gözden Geçirilmesi Hüseyin Tştn Ağustos 13, 2006 İçindekiler 1 Toplm İşlemcisi 2 2 Çrpım İşlemcisi 6 3 Türev 7 3.1 Türev Kurllrı.......................... 8 3.1.1 Sbit Fonksiyon Kurlı.................. 8 3.1.2 Üslü Fonksiyonlrın Türevi............... 8 3.1.3 Toplm Kurlı...................... 9 3.1.4 Çrpım Kurlı....................... 9 3.1.5 Orn Kurlı........................ 10 3.1.6 Zincir Kurlı....................... 11 3.2 İkinci ve Dh Yüksek Dereceden Türev............ 12 3.3 Kısmi Türev............................ 13 Yrd. Doç. Dr., Yıldız Teknik Üniversitesi, İktist Bölümü. Mil: Hüseyin Tştn İktist Bölümü Yıldız Teknik Üniversitesi Yıldız Kmpüsü, Beşiktş, İstnbul Turkey e-mil: tstn@yildiz.edu.tr Web-site: http://www.yildiz.edu.tr/ tstn/ c 2005-6, Hüseyin Tştn 1
4 İntegrl 14 4.1 Belirsiz İntegrl.......................... 14 4.1.1 İntegrl Kurllrı..................... 14 4.1.2 Kısmi İntegrl....................... 15 4.1.3 İkmeli İntegrl...................... 16 4.2 Belirli İntegrl........................... 17 4.2.1 Belirli İntegrl Kurllrı................. 17 1 Toplm İşlemcisi Uzun toplm işlemlerini kıs yoldn göstermek için toplm, (Yunn lfbesinden büyük hrf Sigm, notsyonu kullnılbilir. Örneğin x i nin i = 1 den 5 e kdr toplmını şöyle yzbiliriz: x 1 + x 2 + x 3 + x 4 + x 5 = Burd i sdece tmsyı değerler lbilen toplm indeksidir. Yukrıdki örnekte 1 den 5 e kdr değerler lmktdır. x i toplm işleminin uygulncğı kısımdır ve slınd i nin bir fonksiyonu olrk düşünülebilir. Aşğıdki örneklerde görüleceği gibi toplm indeksi için frklı hrfler kullnılbilir. Ayrıc toplm indeksinin sonu çık y d kplı olbilir. Örnek 1.1 x in 1 den n e kdr toplmı 5 x i x i = x 1 + x 2 + x 3 +... + x n Örnek 1.2 y nin 0 dn kdr toplmı y k = y 0 + y 1 + y 2 +... k=0 Özellik 1.1 herhngi bir sbit syı olmk üzere, 5 x i = x 1 + x 2 + x 3 + x 4 + x 5 = (x 1 + x 2 + x 3 + x 4 + x 5 5 = x i 2
Bu ktsyı toplm işlemiyle indekslenmiş de olbilir: 5 i x i = 1 x 1 + 2 x 2 + 3 x 3 + 4 x 4 + 5 x 5 Toplm notsyonu üslü işlemler için de kullnılbilir. j x j = 1 x 1 + 2 x 2 + 3 x 3 +... + n x n Özellik 1.2 Toplnn terimlerde sbit bir syı eklenebilir y d çıkrılbilir: 5 (x i + c = (x 1 + c + (x 2 + c + (x 3 + c + (x 4 + c + (x 5 + c = x 1 + x 2 + x 3 + x 4 + x 5 + 5c 5 = x i + 5c Yukrıdki örnekte eşitliğin sol trfındki c sbitinin toplm işleminin içinde, en sondki 5c teriminin ise toplm işleminin dışınd yer ldığın dikkt ediniz. Aşğıd bun benzer bşk bir örnek verilmektedir: Örnek 1.3 (x i µ = (x 1 µ + (x 2 µ + (x 3 µ +... + (x n µ = x 1 + x 2 + x 3 +... + x n nµ = x i nµ Yukrıdki örnekte nµ rtık toplm işleminin dışınddır. Özellik 1.3 ( ( (X t + Y t = X t + Y t t=1 t=1 Örnek 1.4 Özellik 1.1, 1.2 ve 1.3 ü kullnrk şğıdki eşitliği yzbiliriz: (x i + by i c = (x 1 + by 1 c + (x 2 + by 2 c +... + (x n + by n c t=1 = (x 1 + x 2 + x 3 +... + x n + b(y 1 + y 2 + y 3 +... + y n nc ( ( = x i + b y i nc 3
Örnek 1.5 Ortlmsı µ oln ve büyüklüğü N oln bir nkütlenin gözlem değerlerini x 1, x 2, x 3,..., x n ile gösterelim. k herhngi bir sbit syı olsun. Bun göre (x i k 2 = (x i µ 2 + N(k µ 2 olduğunu isptlyın. Cevp: Toplm terimlerine nkütle ortlmsını ekleyip çıkrırsk (x i k µ + µ 2 = ((x i µ + (µ k 2 olur. Prntez içindeki terimlerin binom çılımın toplm işlemcisinin kurllrı uygulnırs ((x i µ + (µ k 2 = = = ( (xi µ 2 + 2(x i µ(µ k + (µ k 2 (x i µ 2 + 2(µ k (x i µ + N(µ k 2 (x i µ 2 + N(k µ 2 bulunur. Burd µ nkütle ortlmsını gösterdiğinden ortlmdn spmlrın toplmının 0 olmsındn fydlnıldı. Yni (x i µ = x i Nµ = x i N 1 N x i = 0. Bzı durumlrd gösterimde bsitlik mcıyl toplm işlemi y d xi i x i şeklinde de yzılbilir. Böyle durumlrd genellikle toplm indeksinin nerede bşlyıp nerede bittiği kontekst içinde nlşılır. Örneğin N gözlemli bir nkütlenin ortlmsı µ = 1 x i = 1 xi N N i olrk yzılbilir. Burd toplm işleminin i = 1 den i = N ye kdr olduğu çıktır. 4
Çift toplm işlemi Örnek 1.6 2 3 x i y j = (x 1 y 1 + (x 2 y 1 + (x 1 y 2 + (x 2 y 2 + (x 1 y 3 + (x 2 y 3 Bu örnek genelleştirilebilir: m x i y j = (x 1 + x 2 +... + x n (y 1 + y 2 +... + y m ( m = (x 1 + x 2 +... + x n y j ( m ( m ( m = x 1 y j + x 2 y j +... + x n y j = m x 1 y j + m x 2 y j +... + m x n y j = Yukrıdki işlemde toplm indeksinin sırsının bir önemi yoktur: m x i y j m x i y j = m x i y j Bundn hreketle n tne x in toplmının kresi ( 2 x i = (x 1 + x 2 +... + x n 2 olrk yzılbilir. Örnek 1.7 2 = x i x j 3 (x i +y j = (x 1 +y 1 +(x 2 +y 1 +(x 1 +y 2 +(x 2 +y 2 +(x 1 +y 3 +(x 2 +y 3 5
Alıştırm 1.1 M olduğunu gösteriniz. ( ( xi N + y j M = M N x i + ( N M M y j Alıştırm 1.2 X ve Y ortlmlrı sırsıyl µ x ve µ y oln iki nkütleyi temsil etsin. Bu nkütledeki gözlem değerlerini x 1, x 2,..., x N ve y 1, y 2,..., y N ile gösterelim. Bun göre 1 N (x i µ x (y i µ y = 1 N olduğunu gösteriniz. 2 Çrpım İşlemcisi x i y i µ x µ y Çok miktrd syının birbirleriyle çrpımını kıs yold göstermek istersek çrpım notsyonunu kullnbiliriz: 5 x 1 x 2 x 3 x 4 x 5 = Dh genel olrk, x i n x i = x 1 x 2 x 3... x n Özellik 2.1 herhngi bir sbit syı olmk üzere, n x i = x 1 x 2 x 3... x 4 = n x 1 x 2 x 3... x n n = n Özellik 2.2 C herhngi bir sbit syı olmk üzere, n C x i = C x1 C x2 C x3... C x n x i = C x 1+x 2 +x 3 +...+x n = C n x i 6
Örnek 2.1 n e x i = e x1 e x2 e x3... e xn = e x 1+x 2 +x 3 +...+x n = e n x i Özellik 2.3 ln doğl logritm olmk üzere, ( n ln e x i = ln (e x1 e x2 e x3... e x n ( = ln = e n x i Özellik 2.4 bir sbit olmk üzere, n e x i = e x1 e x2 e x3... e xn = n e x 1+x 2 +x 3 +...+x n = n e n x i Özellik 2.5 ln doğl logritm ve bir sbit olmk üzere, ( n ln e x i = n ln + Alıştırm 2.1 Yukrıdki özelliği isptlyınız. Alıştırm 2.2, b, ve c sbit syılr olmk üzere ( n 1 ln e b(x i c = n 2 ln( b (x i c olduğunu isptlyınız. 3 Türev y = f(x olrk verilen bir fonksiyonun türevi f = = lim f(x + x f(x x 0 x olrk tnımlnır. x x teki değişim ifde etmektedir. x i 7 x i
3.1 Türev Kurllrı 3.1.1 Sbit Fonksiyon Kurlı y = f(x = k şeklinde tnımlnn bir sbit fonksiyonun türevi 0 dır: f = = 0 3.1.2 Üslü Fonksiyonlrın Türevi y = f(x = x n ise Örnek 3.1 y = x 5 in türevi dir. = nxn 1 = 5x4 Bu kurl genelleştirilebilir. c bir sbit syı olmk üzere y = cx n in türevi olur. = cnxn 1 Örnek 3.2 y = 3x 2 nin türevi dir. = 6x Örnek 3.3 y = 4x 3 ün türevi dir. = 12x 4 e tbnın göre üslü fonksiyonlrın türevi: örneğin y = e x ise y = e x ise = ex = ex 8
Örnek 3.4 y = 2e 3x in türevi dir. = 6e 3x y = x ise bunun y = e ln(x = e (ln x olrk yzılbileceğinden hreketle olur. = ln e(ln x = (ln x Örnek 3.5 y = 2 x in türevi dir. = ln 2eln 2x = 2 x ln 2 3.1.3 Toplm Kurlı u ve v x in türevleri lınbilen iki fonksiyonu olmk üzere y = u + v verilsin. Bu durumd y nin x e göre türevi olur. = d du (u + v = + dv Örnek 3.6 y = x 3 + 7x 2 5x + 4 veriliyor. i bulun. 3.1.4 Çrpım Kurlı = d (x3 + d (7x2 d (5x + d (4 = 3x 2 + 14x 5 u ve v x in türevleri lınbilen iki fonksiyonu olmk üzere y = uv şeklinde tnımlnn bir fonksiyonun türevi = d (uv = udv + v du 9
Örnek 3.7 y = (x 2 + 1(x 3 + 3 ün türevini bulun. = (x2 + 1 d (x3 + 3 + (x 3 + 3 d (x2 + 1 = (x 2 + 1(3x 2 + (x 3 + 3(2x = 5x 4 + 3x 2 + 6x Bu kurl tümevrıml genelleştirilebilir. Örneğin y = uvw nun türevi d (uvw = (uvw = u vw + v uw + w uv olur. Yine u x in türevlenebilir bir fonksiyonu olmk üzere y = u n şeklinde yzıln bir fonksiyonun türevi Örnek 3.8 y = (x 2 3x + 5 5 ise d (un n 1 du = nu olur. = 5(x2 3x + 5 4 (2x 3 Örnek 3.9 y = (x 2 + 1 3 (x 3 1 2 ise olur. = 3(x2 + 1 2 (2x(x 3 1 2 + 2(x 3 1(3x 2 (x 2 + 1 3 3.1.5 Orn Kurlı y = u nin x e göre türevi v dir. = y ( u = v du u dv v v 2 Örnek 3.10 y = x2 +1 in türevini bulun. x 2 1 = (2x(x2 1 (x 2 + 1(2x = 4x (x 2 1 2 (x 2 1 2 10
3.1.6 Zincir Kurlı y = g(x ve x = f(t verilsin. Burd y = g(f(t yzılbileceğine dikkt ediniz. Bu durumd y nin t ye göre türevi olur. dt = dt Örnek 3.11 y = x 3 + 5x 4, x = t 2 + t veriliyor. nin t = 1 deki dt değerini bulun. dt = (3x 2 + 5(2t + 1 t= 1 = 5. t= 1 Alıştırm 3.1 Aşğıdki fonksiyonlrın türevlerini bulun. 1 2 3 4 5 6 7 y = (x 2 + 1 5 y = 2x + 5 3x 2 y = 3 (2x 2 3 y = 2x + 1 x2 1 y = (1 x 2 1 3 y = 1 2x 1 y = x 2 (1 x 2 Alıştırm 3.2 Aşğıdki fonksiyonlrd y nin t ye göre türevlerini bulun. 1 y = x 2, x = 2t 5 11
2 y = x 4, x = 3 t 3 4 y = x 1, x = t 2 3t + 8 y = 5x 1/2, x = 2t 2 3t 1 + 1 3.2 İkinci ve Dh Yüksek Dereceden Türev y = f(x verilsin. y nin 1. türevi ikinci türevi, üçüncü türevi, f = d f = d f = ( = d2 y 2 ( d 2 y 2 = d3 y 3 olrk tnımlnır. Benzer şekilde dh yüksek dereceden türevler de tnımlnbilir. Örnek 3.12 y = x 4 2x 3 + 3x 2 + 1 Yukrıd verilen fonksiyonun 1. türevi 2. türevi, 3. türevi, ve 4. türevi olur. f = = 4x3 6x 2 + 6x f = d2 y 2 = 12x2 12x + 6 f = d3 y = 36x 12 3 f = d4 y 4 = 36 12
3.3 Kısmi Türev Aşğıdki gibi birden fzl bğımsız değişkenden oluşn bir fonksiyonu düşünelim: y = f(x 1, x 2, x 3,..., x n Bu fonksiyonun herhngi bir değişkene göre türevi, diğer değişkenler sbitken, şğıdki gibi tnımlnır: f 1 y f(x 1 + x 1, x 2,..., x n f(x 1, x 2,..., x n = lim x 1 x 1 0 x 1 Kısmi türev lırken şimdiye kdr gözden geçirdiğimiz türev kurllrı uygulnbilir. Anck dikkt edilmesi gereken nokt, bir değişkene göre türev lınırken diğer değişkenlerin sbit kbul edilmesidir. Örnek 3.13 y = f(x 1, x 2 = 2x 3 1 + 3x 1 x 2 + 4x 3 2 Yukrıd verilen fonksiyonun kısmi türevlerini bulun. Cevp: f 1 = y x 1 = 6x 2 1 + 3x 2 f 2 = y x 2 = 3x 1 + 12x 2 2 Kısmi türevlerin de ikinci y d dh yüksek dereceden türevleri tnımlnbilir. Yukrıdki örnekte verilen fonksiyonun ikinci türevlerini llım. Örnek 3.14 2. türev: f 11 = 2 y x 2 1 f 12 = f 22 = 2 y x 2 2 f 21 = = 12x 1 2 y x 1 x 2 = 3 = 24x 2 2 y x 2 x 1 = 3 13
4 İntegrl 4.1 Belirsiz İntegrl Türevi = f(x oln bir fonksiyunun belirsiz integrli y = F (x olrk tnımlnır. Belirsiz integrl f(x in primitif fonksiyonu y d ntitürevi olrk d tnımlnbilir. Herhngi bir sbit syı c için d F (x = d [F (x + c] = f(x olduğundn, f(x in belirsiz integrli f(x = F (x + c olrk yzılır. Belirsiz integrlin türevi integrli lınn fonksiyon eşittir: d f(x = f(x Benzer şekilde d F (x = F (x + c 4.1.1 İntegrl Kurllrı k sbit bir syı olmk üzere kf(x = k f(x İki fonksiyonun toplmının x e göre integrli [f(x + g(x] = f(x + g(x k 1, k 2,..., k n sbit syılr olmk üzere dh genel olrk [k 1 f 1 (x+k 2 f 2 (x+ +k n f n (x] = k 1 f 1 (x+k 2 Bzı önemli integrl lm kurllrı şunlrdır: 14 f 2 (x+ +k n f n (x
1. k 1 e eşit olmyn sbit bir syı olmk üzere x k = 1 k + 1 xk+1 + c 2. k = 1 durumund: 1 = ln x + c x 3. e kx = 1 k ekx + c 4. k x = 1 ln k kx + c 4.1.2 Kısmi İntegrl u ve v x in türevleri lınbilen iki fonksiyonu olmk üzere y = uv şeklinde tnımlnn bir fonksiyonun türevinin = d (uv = udv + v du olduğunu biliyoruz. Bunun gibi iki fonksiyonun çrpımı şeklinde yzılbilen fonksiyonlrın d integrllerini lmk gerekebilir. Çrpımlrın türevi türevlerin çrpımın eşit olmdığı gibi, çrpımlrın integrli de integrllerinin çrpımın eşit olmybilir. Yukrıdki türevi difernsiyel formd yzrsk buluruz. Burdn Öyleyse d(uv = udv + vdu udv = d(uv vdu udv = uv vdu dir. Örnek 4.1 Bulun: xe x u = x ve dv = e x dersek du = ve v = e x olur. Burdn xe x = xe x e x = xe x e x + c = e x (x 1 + c. 15
Alıştırm 4.1 Alıştırm 4.2 Alıştırm 4.3 Alıştırm 4.4 x 2 e x =? xe x =? x ln x =? x 3 e x =? 4.1.3 İkmeli İntegrl f(u du = f(udu = F (u + c Örnek 4.2 2x(x 2 + 1 99 integrlini bullım. u = x 2 + 1 dersek du = 2x ve du = 2x olur. Burdn 2x(x 2 + 1 99 = u 99 du = 1 100 u100 + c = 1 100 (x2 + 1 100 + c. bulunur. Örnek 4.3 xe x2 integrlini bullım. u = 2x 2 olsun. 1. türevden du = 4x olur, burdn d xe x2 = 1 4 eu du = 1 4 eu + c bulunur. = 1 4 e 2x2 + c. Alıştırm 4.5 ln x =? x 16
Alıştırm 4.6 1 2 ye y2 =? Alıştırm 4.7 1 x 3 e1/x2 =? 4.2 Belirli İntegrl f(x ve F (x fonksiyonlrının [, b] rlığınd tnımlı, sürekli olduklrını ve d F (x fonksiyonunun birinci türevinin f(x olduğunu düşünelim: F (x = f(x. Bu durumd f(x in belirli integrli şöyle tnımlnır: b f(x = F (x b = F (b F ( Yukrıdki tnım integrl hesplmsının birinci temel teoremi olrk d isimlendirilir. İkinci temel teorem şöyle yzılır: Ayrıc, F (x = x d d F (x = f(x = f(tdt x f(tdt dır. Bu ilişkiler sürekli rssl değişkenlerin dğılımlrınd sıklıkl kullnılmktdır. 4.2.1 Belirli İntegrl Kurllrı 1. k bir sbit syı olmk üzere, b kf(x = k b f(x 2. b [f(x ± g(x] = b f(x ± b 3. Eğer [, b] rlığınd f(x 0 ise b f(x 0 g(x 17
4. Eğer [, b] rlığınd f(x g(x ise 5. b c olmk üzere b b f(x b f(x + c f(x = g(x c b f(x 6. b f(x = b 7. = b ise b f(x = 8. f(x f(x = 0 f(x = lim b b f(x ve b f(x = b lim f(x 9. e x2 = π Örnek 4.4 2 0 (x2 5x =? 2 0 (x 2 5x = x3 3 2 0 = 22 3. 5 2 x2 2 Örnek 4.5 1 0 2xex2 integrlini bullım. u = x 2 dersek, du = 2x olur, burdn integrl kolyc hesplnbilir. 1 0 2xe x2 = 1 0 e u du 1 = e x2 = e 1. 0 0 18
Örnek 4.6 Aşğıd tnımlnn fonksiyonun reel syılr doğrusu üzerindeki integrlinin 1 olduğunu gösterin. f(x = 1 b 2π e 1 2b 2 (x 2 İkmeli integrl yöntemini kullnrk u = (x b 2 1 b bulunur. Yerine koyrsk: 2 tnımlylım. Burdn du = buluruz (bkz. 8 nolu kurl. 1 b 1 2π e 2b 2 (x 2 = 1 e u2 du π = 1 π π = 1 Alıştırm 4.8 Alıştırm 4.9 0 xe x2 =? xe x =? 19