İstanbul Teknik Üniversitesi Elektrik Elektronik Fakültesi Kontrol Sistem Tasarımı PROJE 3 Öğretim Üyesi: Doç. Dr. Mehmet Turan SÖYLEMEZ Hazırlayanlar TAKIM 8 Burak Beşer 45437 Elif Köksal 45442 Muharrem Ulu 464 Birol Çapa 4645 Teslim Tarihi: 5.5.29
Giriş Verilen sistem ileri yolda uygulanacak kontrolörler ile kontrol edilmek istenmektedir. Projede genel olarak pratikte karşılaşılacak integral sarması, modelleme hatası, ölü zaman ve sistemden yeterli geri besleme alınamaması gibi durumlar göz önünde bulundurularak tasarım yapmak amaçlanmış ve buna ek olarak durum uzayında kontrolör tasarımı yapılmıştır. Ayrıca genel olarak teorik alt yapı desteklenecek şekilde gerekli görülen yerlerde kullanılan kaynaklara atıfta bulunulmuştur.
. Soruda G( s) 3 s 34.25 227.25 3 2 s s s (.) şeklinde verilen sistemin Ki Kds F( s) K p s.k s d (.2) formundaki bir PID kontrolörle %25 aşım ve 2 sn yerleşme zamanı kriterlerini sağlayacak şekilde kontrolör edilmesi istenmiştir. Sisteme ait blok şeması Şekil. de verildiği gibidir. Şekil. - Sisteme ait blok şeması PID kontrolörün katsayılarını bulmak için cebrik yol kullanılmıştır. Bu amaçla soruda istenen kriterleri sağlayacak hedef polinom biçimindedir. ve P ( s) s 2 w s w 2 2 d n n w n değerleri istenen aşım ve yerleşme zamanı kriterlerine göre belirlenir. Kapalı çevrim transfer fonksiyonunun karakteristik polinomu 5. dereceden olduğundan ve s 5 li ifadenin katsayısı.k d çıktığından rezidü polinomunun ifadesi 3 2 P s as bs cs d e ( ) şeklinde 3. dereceden bir polinom olmalıdır. Bu durumda 7 bilinmeyen 6 denklem vardır. a= seçilip Mathematica yardımıyla bilinmeyenler bulunduğunda kapalı çevrim sistemin %6 aşım yaptığı ve 25 sn de yerleştiği görülür. Sisteme ait birim basamak yanıtı Şekil.2 de verilmiştir. 2
Time Response.5.5 Y t -.5-2 3 4 Time Şekil.2 - %6 aşım, 25 sn yerleşme zamanı kriterlerine sahip sistemin birim basamak yanıtı Bu durumda kapalı çevrim sistemin kutup sıfır dağılımı Şekil.3 te verildiği gibidir. Pole Zero Map 6 4 2 I m s -2-4 -6-4 -3-2 - 2 3 Re s Şekil.3 - %6 aşım, 25 sn yerleşme zamanı kriterlerine sahip sistemin kutup sıfır dağılımı Buradan görüleceği üzere kapalı çevrim sistemin aşım ve yerleşme zamanı kriterleri büyük ölçüde sanal eksene yakın eşlenik kutuplar tarafından belirlenmektedir. Aynı zamanda sağ yarı düzlemde bulunan 2 adet sıfır sistemin ters aşım yapmasına neden olmaktadır. İstenilen geçici hal kriterlerine ulaşmak için sanal eksene yakın eşlenik kutupların yerleri değiştirilmelidir. Bu amaçla kriterler % aşım ve 5 sn yerleşme zamanı olarak değiştirilip a= olmak kaydıyla yeni hedef polinomuna göre bilinmeyenler aranırsa, Ki 9.366 Kp 52.94 (.3) Kd katsayılarına ulaşılır. Bu katsayılar (.2) denkleminde yerleştirilip elde edilen PID kontrolör 3
sisteme uygulandığında %25 aşım ve 2sn yerleşme zamanı kriterlerine ulaşılır. Bu durumda elde edilen kapalı çevrim sistem birim basamak yanıtı Şekil.4 te, kontrol işareti ise Şekil.5 te verilmiştir..5.5 -.5 - -.5 5 5 2 25 3 Şekil.4 - %24 aşım, 2sn yerleşme zamanı kriterlerine sahip sistemin birim basamak yanıtı 4
8 6 4 2-2 -4-6 -8-5 5 2 25 3 Şekil.5 - %24 aşım, 2sn yerleşme zamanı kriterlerine sahip sistemde kontrol işareti Bu haliyle sistemin kutup-sıfır dağılımı Şekil.5 te verilmiştir. Pole Zero Map 6 4 2 I m s -2-4 -6-4 -3-2 - 2 3 Re s Şekil.6 - %24 aşım, 2sn yerleşme zamanı kriterlerine sahip sistemin kutup-sıfır dağılımı Şekil.6 ile Şekil.3 karşılaştırıldığında ilk göze çarpan sanal eksene yakın eşlenik kutupların yerlerindeki değişimdir. Şekil.5 te bu kutupların reel bileşenlerinin genliği büyürken imajiner bileşenlerinin genliği küçülmüştür. Böylece bu kutupların reel eksenle 5
yaptıkları açı azalmış ve sonuç olarak aşım istenilen değere düşürülebilmiştir. Aynı zamanda bu kutuplar sanal eksenden uzaklaştıkları için sistem hızlanır ve yerleşme zamanında bir azalma görülür. (.3) te verilen katsayıların PID kontrolörde kullanılmasıyla istenilen kriterlere ulaşıldığı görülmüştür. Bu durumda PID kontrolör (.2) ve (.3) ten olarak yazılabilir. F( s) s( s ) 2 48.5886s 48.2754s.332 (.4) 6
2. Soruda daha önce elde edilmiş PID kontrolörün katsayılarından yola çıkarak bir PI-PD kontrolör tasarlanması istenmektedir. K I ve K D katsayıları (.3) te olduğu gibi alınmıştır. K PI ve K PD katsayılarının toplamları (.3) te verilen K P katsayısına eşit olacak şekilde seçilecektir. Bu durumda Mathematica yardımıyla farklı K PI ve K PD değerleri için birim basamak girişe karşılık düşen sistem yanıtları incelendiğinde Tablo 2. deki değerlere ulaşılır. Tablo 2. de K PI katsayısı sıfırdan başlatılmak üzere; bu katsayının değişimi ile sırasıyla, kapalı çevrim sistem birim basamak yanıtının, kontrol işaretinin birim basamak yanıtının, kapalı çevrim sistemin yerleşme zamanının, aşımın ve sürekli hal hatasının aldığı değerlerin değişimi görülmektedir. Tablo 2.- Farklı K PI ve K PD değerleri için birim basamak girişe karşılık düşen sistem yanıtları Bu değerler arasından K PI =, K PD = -63.94 seçildiğinde aşım %5.3, yerleşme zamanı.22sn olmaktadır. Bu durumda kapalı çevrim sistem birim basamak yanıtı Şekil 2. de, kontrol işareti ise Şekil 2.2 de verildiği gibi bulunmuştur. 7
.2.8.6.4.2 -.2 5 5 2 25 3 35 4 45 5 Şekil 2. - Kpi =, Kpd = -63.94 için sistemin birim basamak yanıtı 9 8 7 6 5 4 3 2 5 5 2 25 3 35 4 45 5 Şekil 2.2 - Kpi =, Kpd = -63.94 için sisteme uygulanan kontrol işareti Şekil.4 ile Şekil 2. karşılaştırıldığında ters aşımın PI-PD kontrolör kullanılan sistemde büyük ölçüde yok edildiği görülür. Benzer biçimde Şekil.5 ile Şekil 2.2 karşılaştırıldığında kontrol işaretindeki ters aşımın PI-PD kontrolör kullanılan sistemde tamamen ortadan kalktığı görülür. PI-PD kontrolör beklendiği gibi ters aşım problemini büyük oranda çözmüştür. Bunun yanında geçici hal kriterlerinde de ciddi iyileşmeler görülmektedir. 8
3. Şekil 2.2 incelendiğinde kontrolör işaretinin 5. saniyede impuls fonksiyonuna oldukça benzeyen çok hızlı bir değişim gösterdiği görülür. Bu pratikte gerçeklenemeyecek bir durumdur. Bu amaçla sorunun bu kısmında sisteme uygulanan kontrolör işaretinin türevinin ise 8 u 8 du 2 2 dt aralığında kalması istenmiştir. Simulink te bu kısıtlamaları sağlayan saturasyon blokları eklendiğinde elde edilen kapalı çevrim sistemin birim basamak yanıtı Şekil 3. de, kontrolör çıkışındaki işaret Şekil 3.2 de, sisteme uygulanan kontrol işareti ise Şekil 3.3 te verilmiştir..2.8.6.4.2 -.2 5 5 2 25 3 35 4 45 5 Şekil 3. - Saturasyon blokları eklenmiş durumda sistemin birim basamak yanıtı 9
9 8 7 6 5 4 3 2 5 5 2 25 3 35 4 45 5 Şekil 3.2 - Saturasyon bloklarından önce görülen kontrolör işareti 9 8 7 6 5 4 3 2 5 5 2 25 3 35 4 45 5 Şekil 3.3 - Saturasyon blokları eklenmiş durumda sisteme uygulanan kontrol işareti
Şekil 3.2 ve Şekil 3.3 incelendiğinde kontrol işaretinin istenilen kısıtlamaları yerine getirdiği görülür. Anlaşılacağı üzere sistem 8 ile 27. saniyeler arasında nonlineer bölgede çalışmaktadır. Bunun bir sonucu olarak Şekil 3. de görüldüğü üzere sistem bu zaman aralığında sürekli hal hatası yapar. Sistemin sürekli hal hatası yapmadan yerleştiği durumda kontrol işaretinin değeri yaklaşık 76 olmaktadır. Nonlineer aralıkta ise sisteme sabit 8 değeri uygulanmaktadır. Bundan ötürü bu aralıkta sistem sürekli hal hatası yapar. 27. saniyeden sonra sistem tekrar lineer bölgeye girer ve 38. saniye dolaylarında cevap e oturur. Şekil 2. deki sistem cevabıyla Şekil 3. deki sistem cevabı arasındaki farkların nedeni bu nonlineerliktir. Aşağıda bu durum daha ayrıntılı olarak incelenmiştir..2.2.8.8.6.6.4.4.2.2 -.2 5 5 2 25 3 35 4 45 5 -.2 5 5 2 25 3 35 4 45 5 Şekil 2.4 - Kpi =, Kpd = -63.94 için kapalı çevrim sistem birim basamak yanıtı (2. sorunda alınan yanıt) Şekil 3. - Saturasyon blokları eklenmiş durumda kapalı çevrim sistemin birim basamak yanıtı 9 9 8 8 7 7 6 6 5 5 4 4 3 3 2 2 5 5 2 25 3 35 4 45 5 5 5 2 25 3 35 4 45 5 Şekil 2.2 - Kpi =, Kpd = -63.94 için kapalı çevrim sistem kontrol işareti (2. soruda sisteme uygulanan kontrol işareti ) Şekil 3.3 - Saturasyon blokları eklenmiş durumda sisteme uygulanan kontrol işareti
Sisteme saturasyon elemanı konduğunda ve yetişme hızı sınırlandırıldığında kontrolör Şekil 3.2 deki gibi bir kontrol işareti üretemez. Bu bloklar nedeniyle değişimi en fazla 2 olan ve maksimum genliği 8 olan bir işaret üretebilir. Şekil 3.2 de kontrol işareti dilediği gibi aşım yapabilir ve dilediği gibi değişim hızı gösterebilir. Nitekim 5. saniyede bunun bir örneği görülmektedir. Ayrıca Şekil 3. ve Şekil 3.2 den sistemin kontrol işaretini birebir takip ettiği görülebilir. Hâlbuki saturasyon bloğu eklenince kontrolör hızlı değişim veremez, aşım yapamaz. Aşım yapmak istediği anlarda saturasyona girer. Normalde kontrol işareti aşım yaptığı an sistem de aşım yapıp, kontrolör ardından 76 ya oturduğu anda sistemin de e oturduğu fark edilebilir. Ancak saturasyon olunca sisteme normalde aşım olması gereken anlarda en fazla maksimum verebileceği 8 genlikli işaret verilebilir. Bu noktada duruma sistem tarafından bakıldığında kontrol işareti 76 da e otururken, saturasyon olunca kendisine sürekli 8 verilecektir. Sistem bu süre boyunca 8 lik kontrol işaretini izlemekte ve doğal olarak in üstüne oturmaktadır. Bu nedenle sistem, bir süre sürekli hal hatası yapmıştır. Kontrol işareti aşım yapamadığından aşım süresince vereceği işareti, daha uzun bir sürede 8 değerine oturarak vermektedir. Bu durumda saturasyon bloğu eklenmiş haldeki sistemin yerleşme zamanının artması oldukça doğaldır. Tüm bu sonuçların tamamı sistemin saturasyon bloğu nedeniyle bir süre doğrusal olmayan bölgede çalışmasından kaynaklanmıştır. 2
4. Bir önceki soruda yaşanan nonlineerlik sorununu çözmek amacıyla bu adımda Şekil 4. de verilen sarmasız PID yapısından yararlanılmıştır. Şekil 4. - Sarmasız PID kontrolör yapısı Bu yapıda temel alınan prensip, kontrolör çıkışındaki işaret ile sisteme uygulanan işaret arasındaki farkın kontrolörün integral katsayısından gelen işaret ile toplanması ve böylece saturasyona girmesinin engellenmesidir. Bu durumda sistem nonlineer bölgeye girmeyecek ve daha doğru bir davranış sergileyecektir. Bu yapıda /T t katsayısı kontrolör çıkışının ne sıklıkla yeniden başlatılacağını belirler. Bu nedenle zaman sabiti olarak yorumlanabilir. Bu sabitin küçük seçilmesi integratörün hızla resetlenmesini sağlar. Fakat türev içeren sistemlerde bu sabitin çok küçük seçilmesi yapay hatalara ve bunun sonucunda integral sarmasına neden olur. Bu sorunlardan kurtulmak için T t, integral zamanı T i den büyük, türev zamanı T d den küçük seçilmelidir []. Bu amaçla K t, integral ve türev zamanlarının geometrik ya da aritmetik ortalamalarına eşit alınabilir [2]. T T T veya t i d Ti Td Tt 2 Geometrik ortalama kullanılırsa soru için T t =.4 bulunur. Soruda katsayı K t = / T t olarak verilmiştir. Buna göre K t = 9.6 sonucuna ulaşılır. Bulunan katsayılar soruda belirtilen sarmasız kontrolör bloğuna yerleştirildiğinde elde edilen kapalı çevrim sistemin birim basamak yanıtı Şekil 4.2 de, kontrolör işareti ise Şekil 4.3 te verilmiştir. 3
.2.8.6.4.2 -.2 5 5 2 25 3 35 4 Şekil 4.2 Sarmasız PI-PD kontrolör yapısının kullanıldığı sistemi basamak yanıtı 8 7 6 5 4 3 2 5 5 2 25 3 35 4 Şekil 4.3 - Sarmasız PI-PD kontrolör yapısının kullanıldığı sistemde kontrol işareti 4
Şekil 4.3 ten görüldüğü gibi kontrolör işareti çok kısa bir süre için nonlineer bölgeye girmektedir. Sistem cevabında bunun etkisi gözlemlenemeyecek kadar az olmaktadır. Şekil 3. ile Şekil 4.2 karşılaştırıldığında sarmasız PI-PD kontrolör kullanıldığında sistem yanıtının büyük ölçüde düzeltildiği ve belli aralıktaki sürekli hal hatasının yok edildiği görülür. Burada verilenden başka pek çok sarmasız kontrolör yapısı vardır. Bunlardan biri bu soruda kullanılmış yapının değiştirilmiş halidir [3]. Şekil 4.4 te bu yapıya ait blok şeması verilmiştir. Şekil 4.4 - Değiştirilmiş sarmasız PID kontrolör bloğu Soruda kullanılan sarmasız kontrolör yapısının pratikte Kt değerine çok hassas biçimde bağlı olduğu görülmüştür. Önerilen bu değiştirilmiş yapı ise bu sorunu ortadan kaldırmaktadır. Bir diğer alternatif sarmasız yapı soruda kullanılan yapı ile integral koşullu yapının kombinasyonundan oluşmaktadır [4]. Bu kombinasyonel yapı Şekil 4.5 te verilmiştir. Şekil 4.5 - Kombinasyonel sarmasız kontrolör yapısı 5
Bu yapıda koşulları sağlanarak kontrolörün sarma yapmasının önüne geçilir. 6
5. Bulunan sarmasız PI-PD kontrolör, 2sn gecikme eklenmiş sisteme uygulandığında kapalı çevrim sistem yanıtı Şekil 5. de ve kontrol işareti Şekil 5.2 de verilmiştir..6.4.2.8.6.4.2 -.2 5 5 2 25 3 35 4 Şekil 5. Kapalı çevrim sistemin birim basamak yanıtı 8 7 6 5 4 3 2 5 5 2 25 3 35 4 Şekil 5.2 - Sisteme uygulanan kontrol işareti 7
Şekil 5.3 - Zaman gecikmesinin frekans analizinde karşılığı Zaman gecikmesi Şekil 5.3 de görüldüğü üzere eksponansiyel terimin genliğinin tüm frekanslar için olması sebebi ile genlik eğrisinden bir değişiklik yapmayacak fakat faz payının azalmasına ve kapalı çevrim yanıtında osilasyona sebep olacaktır. Bunun yanında faz payının azalması ile beraber kazanç payı frekansı dolayısıyla kazanç payı da küçülecektir. Bu da kararsızlığa yakın bir sistem demektir [5].Nyquist eğrisi için düşünecek olursak polar koordinatların yatay ekseni, - in sağında fakat artan gecikmeler için - e çok yakın değerlerde kesilmeye başlayacak, bu durum ilk aşamada çıkışta osilasyona, artan gecikmelerle sistemin kararsızlığına sebep olacaktır. 8
6. Bir önceki soruda eklenen ölçme gecikmesinin etkisini gidermek için bir Smith öngörücülü sarmasız PI- PD kontrolörün kullanılması beklenmektedir. Smith öngörücüsü Şekil- 6. de görülmektedir. Şekil 6.- Smith öngörücüsü Smith öngörücüsü sistem kararsız olmadığı sürece kullanılabilir; ayrıca dayanıklı bir yapı getirir. Modelleme hatalarına karşı da bir önlemdir [6]. Daha önce tasarlanmış olan sarmasız PI- PD yapısı (Şekil 4.) Smith öngörücüsü ile birlikte kullanılarak sistemin birim basamak yanıtı (Şekil- 6.2) ve kontrol işareti (Şekil- 6.3) incelenmiştir. Şekil 6.2 de görülmektedir ki sistem ölü zamana karşı verdiği salınımlı yanıt ortadan kaldırılmıştır ve yine sarmasız PI- PD yanıtına yakın bir sonuç alınmıştır. 9
.2.8.6.4.2 -.2 5 5 2 25 3 35 4 45 5 Şekil 6. 2- Smith öngörücüsü ile sarmasız PI-PD yapısı kullanıldığında sistemin birim basamak yanıtı 8 7 6 5 4 3 2 5 5 2 25 3 35 4 45 5 Şekil 6. 3-Smith öngörücüsü ile sarmasız PI-PD yapısı kullanıldığında sistemin kontrol işareti 2
Smith öngürücüsünün modelleme hatalarına karşı dayanıklılığı araştırılabilir. Sistemin gerçek transfer fonksiyonu (6.) de verilen gibi olsaydı alınan birim basamak yanıtı Şekil 6.3 te görülebilir. Yerleşme zamanının bir miktar gecikmesi ve aşımın artmasına rağmen alınan yanıtın kararlı olduğu görülmektedir. G( s) s 3.5 34.25 227.25 3 2 s s s (6.).4.2.8.6.4.2 -.2 5 5 2 25 3 35 4 45 5 Şekil 6.4- (6.) deki gibi bir modelleme hatasına karşı alınan birim basamak yanıtı Çeşitli modelleme hataları için davranış incelenmiştir. Sistem modeli (6.2) de verilen gibiyse alınan sonuç Şekil 6.5 te görülebilir. Eğer model (6.3) denleminde verilen gibiyse sistemin birim basamak yanıtı Şekil 6.6 daki gibidir. G( s) G( s) s 3.5 3 227 3 2 s s s s 3.7 3 227 3 2 s s s (6.2) (6.3) Sonuç olarak, Smith öngürücüsünün modelleme hatalarına karşı kararlı bir davranış sergilediği açıktır. Artan aşım ve yerleşme zamanına rağmen sistemin birim basamak yanıtı kararlıdır; aynı zamanda sürekli hal hatası yapmamaktadır. 2
.4.2.8.6.4.2 -.2 5 5 2 25 3 35 4 45 5 Şekil 6.5- (6.2) deki gibi bir modelleme hatasına karşı alınan birim basamak yanıtı.4.2.8.6.4.2 -.2 5 5 2 25 3 35 4 45 5 Şekil 6.6- (6.3) deki gibi bir modelleme hatasına karşı alınan birim basamak yanıtı 22
7. G(s) modelleme hatası olmama kabulu ile kontrol edilmek istenen sistem G( s ) ye eşit olup iç model kontrolörün içerisine yerleştirilecektir. G( s ) kararlı fakat sağ yarı düzlemde sıfırı olduğu için referans takip etme hatasını en aza indirmek teorem gereği referans işareti R( s ) ve G(s) yi tam geçiren ve minimum fazlı kısım olarak ikiye ayrılırsa R( s) R ( s). R ( s) M G( s) G ( s) G ( s) referans takip etme hatasını en aza indiren kontrolör teorem gereği M M ( ) Q s G M ( s). R ( s) G A ( s). R ( s) A A olarak verilir. Ancak Q ( s ) ifadesinin genelde nedensel olmaması bunun yanında gürültünün ve modelleme hatalarının etkisini göz önüne almaması sebebi ile nedenselliği de sağlayacak F(s) bir filtre yapısı olmak üzere olarak seçilir. olarak alınıp bilinenleri ile olarak bulunur. G M Q( s) Q ( s). F( s) 2s s 3 G A( s) e s 3 G ( s) ( s) ve Q( s) G M ( s) G A( s) G M ( s ) = ve Q ( s ) = F ( s ) = F ( s ) nin bir filtre olduğu bilindiğinden, giriş işaretleri üzerinde özellikle genlik açısından ne gibi etkileri olduğunu görmek için Bode diyagramına bakmak gereklidir. 2 rd/s ve üstü frekans değerlerinde gürültülerin ölçme işaretine karıştığı bilinmektedir. Eldeki iki serbest parametre ve için 4 olarak alıp =4 gibi bir değer için F ( s ) nin Bode diyagramı Şekil 7. dedir. 3 s 227.25 34.25 s s 2 s 3 s s ^3 M 23
2 l o g G s - -2-3 -4-5 -6-7 Magnitude Plot..5..5 5..5..5 5 Frequency rad sec Phase Plot..5..5 5-25 D egree o f G s -5-75 - -25-5 -75..5..5 5 Frequency rad sec Şekil 7. - F(s) Bode diyagramı F ( s ) nin genliği 2rd/s frekans için.426692 olarak bulunmuştur, yani bu freakans değerindeki bir işaretin genliğini yaklaşık /25 ine ardındaki frekans değerlerinde ise daha da küçük katlarına düşürmüştür ki bu yeterli kabul edilebilir. Birim basamak yanıtı Şekil 7.2 de,kontrolör çıkışı Şekil 7.3 de ve sisteme uygulanan kontrol işareti Şekil 7.4 de verilmiştir. 24
.2.8.6.4.2 -.2 2 4 6 8 2 4 6 8 2 Şekil 7.2 - Kapalı çevrim sistemin birim basamak yanıtı 7 6 5 4 3 2-2 4 6 8 2 4 6 8 2 Şekil 7.3 - Kontrolör çıkışındaki işaret 25
7 6 5 4 3 2-2 4 6 8 2 4 6 8 2 Şekil 7.4 - Sisteme uygulanan kontrol işareti Kontrolör çıkışı ile sisteme uygulanan kontrol işareti aynıdır; çünkü ne saturasyon elemanı sınırlarına gelindi ne de değişim sınırı aşılmıştır. 26
8. Durum uzayı denklemleri aşağıda verilen sistemin geri besleme matrisi ve sürekli hal hatasının ne olduğu istenmiştir. Tasarımın ilk adımında tasarım kriterleri belirlenmelidir. Örneğin, bu sistem için yerleşme zamanı ve aşım değerleri sırasıyla 4 sn ve % verilsin. Bu değerlere göre baskın kutup polinomu (8.) deki gibi olacaktır. Bu denklemden baskın kutupların {-.-.68288 i,-.+.68288 i} noktalarına atandığı bulunabilir. 2.46538 2s s (8.) Geri besleme matrisi K, n sütunlu ve tek satırlı bir yapıdadır. A matrisinin boyutu K matrisinin sütun sayısının 3 olması gerektiğini gösterir. x Ax Bu y Cx u r Kx (8.2) Denklemlerinden faydalanılarak kapalı çevrim sisteme ait A matrisi ve sistem cevabı aşağıdaki gibi olur. x Ax B( r Kx) x ( A BK) x Br (8.3) y Cx Bu üç denklemden anlaşılacağı üzere A-BK matrisi, diğer adı ile kapalı çevrim sistem A matrisi(a c ) de üçe üçlük bir matristir. Hedef karakteristik polinomu Pc(s), A c nin sütun sayısının mertebesindedir. Verilen A matrisine göre hedef karakteristik polinom 3. mertebeden olmalıdır. Hâlbuki baskın kutupları veren karakteristik denklem 2. mertebedendir. Bu yüzden baskın kutupları etkilemeyecek bir rezidu polinomuna ihtiyaç vardır. Bu polinomun eklediği kutbun - da olması istendiğinde yeni hedef karakteristik denklem aşağıdaki gibi olacaktır. 2 3 2 ( s)(.46538 2 s s ) s 2s 2.4654s 4.6538 Artık Matlab aracılığı ile (8.3) te görülen matrisler yazılabilir. Hedef karakteristik polinom katsayılarından Pc(A) elde edilir. Ackerman formülünde yerine konarak, K matrisi bulunabilir. Aşağıda bunu yapan kod görülmektedir. format long syms s A=[ -227.25 27
-34.25 -] B=[ ] C=[ - 3] I=[ ] pca= A^3+ 2 * A^2 + 2.4654 * A+ 4.6538 * I phi=[b A*B A*A*B] phiters=inv(phi) K=[ ]* phiters*pca Bulunan K matrisi şöyledir: K = [ 2. -32.7846 46.7498] Bu değerler Simulink ortamına aktarıldığında kapalı çevrim sistem yanıtı ile kontrol işareti yanıtı sırasıyla Şekil 8. ve Şekil 8.2 de görüldüğü gibi olmaktadır:.3.25.2.5..5 -.5 2 4 6 8 2 4 6 8 2 Şekil 8.- Kapalı çevrim sistem birim basamak yanıtı 28
6 4 2 8 6 4 2 2 4 6 8 2 4 6 8 2 Şekil 8.2- Sisteme uygulanan kontrol işareti Bu kontrolör için sistemin oturduğu değer.247 dir. Buradan sürekli hal hatası şöyle bulunur:.247 - = -.7953 Ancak bir ön kazanç kullanılarak bu hata ortadan kaldırılabilir. Bu kazanç değeri sistemin e oturmasını sağlamak için kullanıldığından aşağıdaki hesap ile kolaylıkla bulunabilir:.247*k= K= 4.88552 Bu ön kazanç değeri Simulink e eklendiğinde kapalı çevrim sistem yanıtı ile kontrol işareti sırasıyla Şekil 8.3 ve Şekil 8.4 te görüldüğü gibi olmaktadır. 29
.2.8.6.4.2 -.2 5 5 2 25 3 Şekil 8.3- Sürekli hal hatası giderilmiş kapalı çevrim sistemin birim basamak yanıtı 8 7 6 5 4 3 2 5 5 2 25 3 Şekil 8.4- Sürekli hal hatası giderildiğinde kontrol işareti 3
9. Bir önceki tasarımdan yola çıkarak, sadece sistemin çıkışının ölçülebildiği bir gözleyici tasarlamak için sistemin baskın kutuplarına bakılmalıdır. 8. kısımda bu kutuplar {-,-.-.68288 i,-.+.68288 i} noktalarında idi. Gözleyici modelleme hatalarını ve gürültülerin etkilerini gidermek amacı ile tasarlanır. Tasarımın, gerçek durumlar ile arasındaki farkı en kısa süre içerisinde sıfır yapması gerekmektedir. Bu hatanın çabuk bir biçimde sıfıra gitmesi için L matrisi büyük seçilmelidir. Genellikle A matrisinin öz değerlerine göre 5- kat daha hızlı seçilen öz değerler, gözleyicinin görevini yerine getirmesi için yeterlidir. Bu noktadan hareketle baskın kutupların 8 katı uzakta seçilen kutuplar, gözleyici kutupları için iyi bir seçim olacaktır. 8{-,-.-.68288 i,-.+.68288 i}={-8, -8. - 5.4575 i, -8. + 5.4575 i} Bu kutuplara göre oluşturulan polinom (9.) de görülmektedir. 3 2 s s s 96 373.78 752.75 (9.) Bu noktada kutup atama yöntemi ile gözleyici geri besleme matrisi belirlenebilir. Bunun için burada Ackerman formülü kullanılabilir: Buradan L ifadesi düzenlenirse: T T L [ ] Pd( A ) 2 T T T [ C A C A C] L Pd( A) (9.2) C CA 2 CA (9.) de bulunan denklemin katsayılarını kullanarak; Pd (A) yı bulan, matrisini bularak bunları (9.2) de yerine koyan ve böylece L matrisini bulan Matlab kodu aşağıdadır: A=[ -227.25-34.25 -] C=[ - 3] I=[ ] pd_a=(a)^3+96*(a)^2+373.78*(a)+752.75 *I phi=[c C*A 3
C*A^2] L=pd_A*inv(phi)*[;;] Buna göre L matrisi şöyle bulunur: L =.e+2 *[ 3.8787876624 2.64973534675652.2699796425866 ] 8. soruda bulunan K matrisi ve bu kısımda bulunan L matrisi Simulink ortamına aktarıldığında; kontrol işareti, kapalı çevrim sistemin birim basamak yanıtı, gözleyici durumları ile gerçek durumlar arasındaki hata görsel olarak elde edilebilir:.2.8.6.4.2 -.2 5 5 2 25 3 Şekil 9.- Kapalı çevrim sistem birim basamak yanıtı 32
8 6 4 2-2 5 5 2 25 3 Şekil 9.2- Kontrol işareti.5.5 -.5 - -.5 5 5 2 25 3 Şekil 9.3- Gerçek durumlar ile gözleyici durumları arasındaki hata Gerçek durumlar ile gözleyici durumları arasındaki hataya bakıldığında hatanın sürekli sıfıra çekilmeye çalışıldığı rahatlıkla görülebilir. Nitekim sistemin birim basamak cevabı da hemen hemen 8. soruda elde edilen yanıta benzemektedir. Sadece çıkıştan ölçüm alınmasına ve sisteme gürültü binmesine rağmen sistem referansı takip edebilmiştir. 33
Şekil 9.4 ile şekil 9.5 üzerinden bu benzerlik rahatlıkla görülebilir:.2.2.8.8.6.6.4.4.2.2 -.2 5 5 2 25 3 -.2 5 5 2 25 3 Şekil 9.4: Geri besleme matrisi kullanarak tüm durumları ölçebilen sistemin kapalı çevrim sistem birim basamak yanıtı (8. soruda elde edilen yanıt) Şekil 9.5:Gürültü binen ve sadece çıkıştan ölçüm yapabile gözleyici tasarlanmış sisteme ait kapalı çevrim birim basamak yanıtı 34
SONUÇ Projede, pratikte sıkça karşılaşılan integral sarması, modelleme hatası, ölü zaman ve sistemden yeterli geri besleme alınamaması gibi durumlara karşı çeşitli kontrolör yapıları tasarlanmıştır, sonuçları değerlendirilmiştir. Öncelikle, verilen sisteme istenilen kriterleri sağlayacak bir PID yapısı tasarlanmıştır. Fakat görülmüştür ki bu tek dereceli kontrolör, sistem yanıtındaki ters aşımı giderememektedir. Serbestlik derecesi iki olan bir PI- PD kontrolör ile sisteme uygulandığında ise ters aşımın o büyük etkisinin oradan kaldırıldığı görülmüştür. Kontrol işaretindeki sınırlamaların yerleşme zamanı üzerindeki olumsuz tesirini ortadan kaldıran uygun yapının sarmasız bir kontrolör olduğu görülmüştür. Ölü zamanın birim basamak yanıtı üzerinde salınımlara neden olduğu görülmüştür. Bu etkiyi kaldırmak için bir çeşit iç model kontrolör olan Smith öngörücüsü yapısı kullanılmıştır ve başarılı sonuç elde edilmiştir. Sisteme etkiyen çeşitli bozucu sinyallere karşı alınan önlem ise iç model kontrolördür. İç model kontrolör yapısı sayesinde tasarlanan uygun filtre ile bozucuların olumsuz etkisi giderilebilmiştir. Projede aynı zamanda durum uzayı yöntemi kullanılarak da tasarım yapılmıştır. Durum uzayının olanak tanıdığı gözleyici yapısı sayesinde ölçme gürültüleri bastırılmıştır. Nihayetinde alınan cevap kabul edilebilir bir cevaptır. 35
KAYNAKÇA. Özkan, E. (26). Kontrol sistemlerinin modellenmesi ve PID kontrolörü. İTÜ Fen Bilimleri Enstitüsü 2. Calerga Sarl (28). PID Windup. http://www.calerga.com/contrib//pidwindup.pdf 3. Atherton, D.P., & Bohn, C. (995). An analysis package comparing PID antiwindup strategies [Elektronik versiyon]. 4.5.29 tarihinde IEEE Xplore veritabanından alınmıştır 4. Visioli, A. (26). Practical PID control. London: Prentice Hall 5. Nise, N.S. (24). Control Systems Engineering. Wiley International Edition,4. baskı 6. Goodwin, G., Graebe S., & Salgado, M. (2). Control system desing. 36