Akademik Personel ve Lisansüstü Eğitimi Giriş Sınavı ALES / Đlkbahar / Sayısal II / 1 Mayıs 01 Matematik Sorularının Çözümleri 1. 9! 8! 7! 9! + 8! + 7! 7!.(9.8 8 1) 7!.(9.8+ 8+ 1) 6 81 9 7. 4, π, π π,14 olduğuna göre, Tabanları aynı, üsleri farklı olan üslü doğal sayılarda, üssü küçük olan sayı daha küçük olduğundan, π < 4 π < 4 Tabanları farklı, üsleri aynı olan üslü doğal sayılarda, tabanı küçük olan sayı daha küçük olduğundan, < π < π Buna göre, π < π < 4 olur.
. I. Yol 5 < x < 6 ( 5)² < x ² < ( 5 < x ² < 6 6)² Seçeneklerden 7 7 49 x yazılırsa, 5< < 6 5 < < 6 9 5 < 5,444... < 6 olur. II. Yol 5 < x < 6 5 ve 6 ifadeleri hesaplanırsa, 5 5 4 4 + 9 4 + 1 11 5 5 6 6 4 4 + 9 4 + 1 olarak bulunur. 5 5 5 < x < 6 11 1 < x <,< x <, 4 5 5,0< x <, 40 7 x,... olabilir. Not : Bir x pozitif tam sayısının karekökü yaklaşık olarak aşağıdaki yöntemle bulunuyor : x sayısından küçük en büyük tam kareyle x sayısından büyük en küçük tam kare bulunuyor. Bu sayılardan ilki a, ikincisi b olarak adlandırılıyor. x a x sayısının karekökü x a + formülüyle bulunuyor. b a
4. 1 14 +? (mod 10) 1? (mod 10) 1 (mod 10) 9 (mod 10) 7 (mod 10) 4 1 (mod 10) 1 4 1 ( ). 1. (mod 10) 14? (mod 10) 1 (mod 10) 4 (mod 10) 8 (mod 10) 4 6 (mod 10) 5 (mod 10) 6 4 (mod 10) 7 8 (mod 10) 8 6 (mod 10) 14 4 ( ). 6.4 4 (mod 10) Buna göre, 1 14 + + 4 7 (mod 10) 5. k bir pozitif tam sayı olmak üzere, 5k 7k + 5k 7k 15k+ k + 614 9k 6 k 6 için 9k ifadesi en küçük değeri alacağından, sonuç 9 bulunur. 6
6. x ve y pozitif tam sayıları için x y 9 olduğuna göre, I. x bir tek sayıdır. II. y bir tek sayıdır. III. x > y dir. ifadelerinden hangileri her zaman doğrudur? x y 9 x 9+ y x 9+ y Çift sayıdır. x in tek sayı veya çift sayı olması eşitliğin çift sayı olmasını değiştirmeyeceğinden, x her zaman tek sayı değildir. x 9+ y Çift sayı Tek sayı + Tek sayı olduğundan, y bir tek sayıdır. x y 9 x 9+ y x 10, y 11 x < y x 5, y 1 x > y olduğundan, x > y her zaman doğru değildir.
7. a < b < c olmak üzere, 5 a. b. c ( ) a daima pozitif olacağından, b negatif ise b.c 5 negatif olur. 5 c pozitif olur ki c bu durumda pozitif olur. b negatif olduğundan b negatif olur. Bu durumda : b < c a daima pozitif olduğundan, a pozitifte olabilir, negatifte olabilir. Lakin a < b < c olacağından a negatif olur. a negatif ( ) b negatif ( ) c pozitif ( + ) 8. x² y² + xy³ x³ y xy³ xy.( xy xy.( x² + y²) y²) y.( x+ y) ( x y).( x+ y) y ( x y) 9. a, b ve c gerçel sayılar olmak üzere, a + b + c 0 ab + bc b.(a + c) a + c b olacağına göre, b.( b) b² b² olur.
10. ( a n ) sayı dizisi a n 1 a n 1,, n 1 ise n ise a + a a 4 a 1+ a a 1 4 1 a + a a 1 a + a a 1 1 a + 1 a 1 a 1+ a.1+.(a ) 1 + 4a 1 + 4. 1 6 11. f(x) x³ x g(x) x³ + x h(x) f(x) + g(x) h(a) f(a) + g(a) 4 f(a) + g(a) (a³ a) + (a³ + a) 4 a³ 8 a³ a
1. x ve y birer gerçel sayı olmak üzere, x + x 5 y + 6 y Eşliklerin kareleri alınırsa, bu eşitlikler daima pozitif olacağından, ( x + )² ( x 5 )² x² + 6x + 9 x² 10x + 5 16x 16 x 1 ( y + )² ( 6 y )² y² + 4y + 4 6 1y + y² 16y y Buna göre, x + y 1 + elde edilir. 1. A { a, b, c, d, e, f, g } kümesinin elemanları kullanılarak biri elemanlı, diğeri 4 elemanlı iki ayrık küme oluşturulmak isteniyor. Buna göre, a ve b elemanları aynı kümede bulunmayacak biçimde, bu iki küme kaç farklı şekilde oluşturulabilir? a ve b yi bir kenara ayıralım. Geriye kalan 5 elemandan elemanlı alt kümeleri seçilirse, C(5, ) 5! (5 )!.! 10 ve Geriye kalan 5 elemandan elemanlı alt kümeleri seçilirse, C(5, ) 5! (5 )!.! 10 Bu alt kümelere a veya b eklenirse; 10 + 10 0 farklı şekilde oluşturulabilir.
14. Bir torbada beyaz ve 4 kırmızı top vardır. Bu torbadan aynı anda rastgele çekilen iki toptan en az birinin beyaz olma olasılığı kaçtır? (1 beyaz + 1 kırmızı) olma olasılığı 4. 1 1 7.4 7! (7 )!.! 7 4 (1 beyaz + 1 beyaz) olma olasılığı 7 7! (7 )!.! 7 1 Buna göre, istenen olasılık 4 1 5 + elde edilir. 7 7 7 15. a0 b c4 d6 e8 (a + 0) + (b + ) + (c + 4) + (d + 6) + (e + 8) 4 a + b + c + d + e 14 Onlar basamağındaki rakamların toplamı 14 olacağına göre, 8 0 4 6 olur ki, bu sayıların en küçüğü 8 olur.
16. A + B + E 550 A B + 100 B B.E E (B + 100) + B + B 550 5B 900 B 180 TL 17. Kovanın hacmi h litre olsun. A musluğu 5 dakikada a litre su akıtıyorsa 4 dakikada h 5. h 4. a h B. musluğu a dakikada 16 dakikada h 4a 5 5 litre su akıtıyorsa 80 h. a 16.5 h a h 4 a 80 a 10 5 a h 8 litre
18. Binadaki kat sayısı x olsun. Binadaki pencere sayısı x Toplam pencere sayısı 18 x. x x ² 64 x 8 Binadaki kat sayısı x.8 16 bulunur. 19. Kutudaki yumurta sayısı x olsun. 7,5 TL 750 kuruş x.0 750 + Kar 4 kutunun satışından 6 TL kar elde ederse 1 kutunun satışından a a.4 6.1 a 1,5 TL kar elde eder. 1,5 TL 150 kuruş x.0 750 + 150 x 0
0. Saatteki hızı 60 km olan bir tren, uzunluğu 40 metre olan bir tünele giriyor. Lokomotif tünele girdikten 0 saniye sonra trenin son vagonu tünelden çıkıyor. Trenin boyu x metre olsun. 1000 v tren 60 km / saat 60. metre / saniye 600 100 m / sn 6 x + 40 100.0 x 80 metre elde edilir. 6
1. Ankara da bu filmi izleyen seyirciler, toplam seyircilerin yüzde kaçıdır? Seyirci sayısı Yüzdesi Adana 1 Ankara 750 x Bursa Đstanbul Đzmir 700 18 Toplam 100 % 18 i 700 kişi ise % x i 750 kişi x.700 18.750 x 5
. Đstanbul da bu filmi izleyen seyirci sayısı, Bursa da izleyenlerin katıdır. Buna göre, Bursa da bu filmi izleyen seyirci sayısı kaçtır? Seyirci sayısı Yüzdesi Adana y 1800 1 Ankara 750 Bursa X Đstanbul X Đzmir 700 18 Toplam z 15000 100 % 18 i 700 kişi ise % 1 si y kişi y.18 1.700 y 1800 % 18 i 700 kişi ise % 100 ü z kişi z.18 100.700 z 15000 Toplam seyirci sayısı : 1800 + 750 + X + X + 700 15000 ise X 6750 X 50 kişi
. Her bir n pozitif tam sayısı için A n açık aralığı A n ( n,n) biçiminde tanımlanıyor. Bu açık aralıkta bulunan tam sayıların sayısı ise T A ) ile gösteriliyor. Örnek : A açık aralığı (, 6) ve T A ) 8 dir. ( ( n T ( A6 )? A 6 açık aralığı ( 6, 1) { 5, 4,,, 1, 0, 1,,, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11} Buna göre, T A ) 17 olur. ( 6 4. T A 5 \ A )? ( A 5 açık aralığı ( 5, 10) { 4,,, 1, 0, 1,,, 4, 5, 6, 7, 8, 9} A açık aralığı (, 4) { 1, 0, 1,, } A 5 \ A { 4,,, 4, 5, 6, 7, 8, 9} Buna göre, T A 5 \ A ) 9 bulunur. (
5. Asal çarpanlarına ayrıldığında her bir asal çarpanının kuvveti 1 olan pozitif tam sayıya karesiz sayı denir. Örnek : 0 sayısı, asal çarpanlarına 0 ¹.¹.5¹ biçiminde ayrıldığından bir karesiz sayıdır. Buna göre, A) 60 ².5¹.1¹ B) ².7¹ C) 85 5¹.7¹.11¹ karesiz sayıdır. D) 490 ¹.5¹.7² E) 55 ¹.5².7¹ 6. I. Bir basamaklı en büyük karesiz sayı 8 dir. 8 ³ 8, karesiz sayı değildir. Yanlıştır. II. Đki basamaklı en küçük karesiz sayı 10 dur. 10 ¹.5¹ 10, iki basamaklı en küçük karesiz sayıdır. Doğrudur. III. Đki basamaklı en büyük karesiz sayı 99 dur. 99 ².11 99, karesiz sayı değildir. Yanlıştır.
7. Bütün kutular kapalıyken sırayla, 4 ve 6 numaralı kutuların anahtarları çevrilirse hangi numaralı kutular açık olur? kapalı açık + 6 açık 4 kapalı 4 açık 6 açık 6 kapalı Buna göre, ve 4 numaralı kutular açık olur. 8. Bütün kutular açıkken sırayla 1, ve numaralı kutuların anahtarları çevrilirse hangi numaralı kutular kapalı olur? 1 açık 1 kapalı + kapalı + kapalı + 4 kapalı + 5 kapalı + 6 kapalı kapalı açık + 4 açık + 6 açık kapalı açık + 6 kapalı Buna göre, 1, 5 ve 6 numaralı kutular kapalı olur.
9. 1. kişi. kişi. kişi 1. artırma 100 + 5. artırma 105 + 5. artırma 110 + 5 4. artırma 115 + 10 5. artırma 15 + 10 6. artırma 15 + 15 Buna göre, 6. artırmada satılan vazoya en fazla 150 TL ödenmiştir. 0. 1. kişi. kişi. kişi 1. artırma 100 + 5. artırma 105 + 5. artırma 110 + 5 4. artırma 115 + 10 5. artırma 15 + 10 6. artırma 15 + 10 7. artırma 145 + 15 8. artırma 160 + 15 Buna göre, 8. artırmada satılan vazoya en az 175 TL ödenmiştir.
1. K yıkama merkezinde 10 tane makine vardır. Her bir makinenin yıkama kapasitesi 6 kg olduğuna göre, 7 7 kg çamaşırı 1 makine yıkar. 6 En az sürede çamaşır yıkamak için : Đlk seferde 10 makine tam kapasite çalıştırılmalıdır. 60 kg çamaşır 60 dakikada yıkanır. Sonra 15 dakika beklenmekte ve Son seferde kalan 1 kg çamaşır makinede 60 dakikada yıkanır. Toplam geçen süre : 60 + 15 + 60 15 dakika Buna göre, 7 kg çamaşırı K merkezinde yıkamak için en az geçen süre 15 dakikadır.. L yıkama merkezinde 1 tane makine vardır. M yıkama merkezinde 15 tane makine vardır. M yıkama merkezinde 10 dakikada m kg çamaşır yıkansın. L yıkama merkezinde 10 dakikada l kg çamaşır yıkansın. 10 60 + 15 + 60 + 15 + 60 olmak üzere, makineler kez çalışmışlardır. Bu durumda m.6.15 m 70 kg l.6.1 l 16 kg m l 70 16 54 kg bulunur.
. (10 x ) (6 4) x 8 ( ) x x 9 x 9 4. ( 9 8 7) ( x 5) 8 ( x 5) 4 ( ) ( x 5) 16 x 5 x 1 5. ( 1 x 1) ( x ) x 1 x² 6x+ 9 x ² 7x+ 10 0 ( x 5).( x ) 0 x 5 0 x 5 x 0 x Buna göre, x in alabileceği değerler toplamı 5 + 7 olur.
6. X { a, b, c, d, e} ve A kümesi X in bir alt kümesi olmak üzere, A için f A fonksiyonu ve F A sıralı beşlisi 1, f A ( x) 0, x A ise x A ise F A ( f ( a), f ( b), f ( c), f ( d), f ( e)) A biçiminde tanımlanıyor. A F A (0, 0, 1, 1, 0) A? f A (a) 0 a A f A (b) 0 b A f A (c) 1 c A f A (d) 1 d A f A (e) 0 e A Buna göre, A { c, d } olur. A A A 7. F B (1, 0, 0, 1, 1) B { a, d, e } a b c d e F C (1, 0, 1, 0, 1) C { a, c, e } Buna göre, a b c d e B C { a, e } bulunur.
8. D { c, e } E D F E? E D ( : kapsama işareti ) D E ( : alt küme işareti ) D) F E (1, 0, 1, 0, 1) { a, c, e } { c, e } a b c d e 9. Bir pekmez üreticisi, kg pekmez yapmak için 10 kg dut kullanmaktadır. Bu üretici, dutun kilogramını TL ye alıp elde ettiği pekmezin kilogramını 1 TL ye, kalan dutun kilogramını da,5 TL ye satıyor. Bu üretici, aldığı 0 kg dutun tamamını pekmez yapıp satmıştır. 10 kg duttan kg pekmez yapılırsa, 0 kg duttan x 10.x 0. x 9 kg pekmez yapılır. 1 kg pekmezin fiyatı 1 TL ise 9 kg pekmezin fiyatı 9 1 108 TL olur. Dutun alış fiyatı 0 60 TL Kar Satış fiyatı Alış fiyatı olduğundan, Kar 108 60 48 TL bulunur.
40. 5 kg dut alan üretici, bu dutun bir kısmından elde ettiği 6 kg pekmezi ve kalan dutu satmıştır. Dutun alış fiyatı 5. 50 TL Pekmezin satış fiyatı 6.1 7 TL Kalan dut için 10 kg duttan kg pekmez X 6 kg pekmez.x 10.6 x 0 kg dut Kalan dut miktarı.5 0 5 kg Dutun satış fiyatı 5.,5 1,5 TL Buna göre, üreticinin bu satış sonundaki kârı (1,5 + 7) 50 4,5 TL 41. Bu üretici, aldığı dutun bir kısmından pekmez yapmış; bu pekmezi ve kalan 1 kg dutu toplam 10 TL ye satmıştır. Buna göre, üretici kaç kg dut almıştır? 1 kg dut,5 TL ye satıldığına göre, 1 kg dut 1,5 0 TL ye satılır. Toplam 10 TL satış yaptığından, 10 0 7 TL sini pekmez satışından elde etmiştir. 7 1 kg pekmez 1 TL olduğuna göre, 7 TL ye 6 kg gelir. 1 kg pekmez yapmak için 10 kg dut kullanıldığından, 6 kg pekmez için 0 kg dut kullanılır. Buna göre, üreticinin aldığı dut miktarı 0 + 1 kg
4. Sonuç olarak, 1 sayısının sembollerle gösterimi (,, ) biçimindedir. 4. (,, ) Birinci sembol olduğuna göre, aradığımız sayı 1+17 9 dan küçüktür. Đkinci sembol olduğuna göre, aradığımız sayı 1+ 9 5 den büyüktür. Üçüncü sembol olduğuna göre, aradığımız sayı 5+ 9 7 den büyüktür. Buna göre, 8 sayısının sembollerle gösterimi (,, ) biçimindedir.
44. Tanıma göre, sayı doğrusu üzerindeki 1 den 17 ye kadar olan çift sayıların bulunması isteniyor. Bunlar, 4, 6, 8, 10, 1, 14, 16 olduğuna göre, Sembol olduğunda, aranan sayı 1+17 9 dan büyük olacağından, 10, 1, 14, 16 sayıları için en az bir tane sembolü kullanılır. 6, 8 için en az bir tane sembolü kullanılır. 4 için en az bir tane sembolü kullanılır. için sembolü kullanılmaz. 45.
46. AB // DE CDE CBA k 7 ( k : benzerlik oranı) Benzer iki üçgenin alanlarının oranı, benzerlik oranının karesine eşit olduğundan, alan( CDE) alan( CBA) k² alan( CDE) alan( CBA) 7 alan( CDE) alan( CBA) 9 49 alan ( CDE) S olsun. alan ( CBA) S+ 0 olur. S S+ 0 9 49 49. S 9. S+ 180 40. S 180 9 S ede edilir.
47. m(bod) 144 derece elde edilir.
48. KLMN karesinin bir kenar uzunluğu x olsun. HAE dik üçgeninde pisagor teoremine göre, HE ² 4² + ² HE 5 Bu durumda EFGH karesinin bir kenar uzunluğu 5 olur. HN a olsun. NE 5 a olur. KEN NHM KE a x x 5 a HM KE a elde edilir. HAE NEK 4 5 a a 5 x 4a 15 a 15 a 7 5 15. x 5. 15 x 7 7 5 x bulunur. 7
49. Buna göre, (p, q) (, 4) olur.
50. Dik koordinat düzleminde, kenarlarından biri y x doğrusu, köşegenlerinden biri x 1, diğeri ise y 1 doğrusu üzerinde bulunan karenin alanı kaç birim karedir? Karenin bir kenar uzunluğu birim olacağına göre, Karenin alanı ( )² 8 birim kare bulunur. Adnan ÇAPRAZ adnancapraz@yahoo.com AMASYA