GEZGİN ALICI PROBLEMİNE YÖNELİK BİR MODEL ÖNERİSİ ÖZET Dr. Mehmet Fatih DEMİRAL1 Arş. Gör. Ahmet Kuntay DEMİRAL2 Tüketiciler gündelik yaşamlarında ihtiyaçlarını karşılamak için alışveriş yapmak zorundadırlar. Tüketiciler, günümüzde ihtiyaçlarının bir kısmını fırın, kasap, manav, market gibi küçük ölçekli alışveriş yerlerinden karşılarken, önemli bir kısmını da süpermarket, orta ve büyük alışveriş merkezlerinden karşılamaktadır. Gezgin Alıcı Problemi, temelde bir alıcının belirli sayıda ürünü değişik alışveriş yerlerinden toplam satın alma ve ulaşım maliyetlerini minimize edecek şekilde satın alması problemidir. Bu çalışmada önerilen model ise, tüketicilerin önceden belirlemiş oldukları alışveriş sepetindeki ürünlerden elde edecekleri toplam faydayı maksimum yapacak şekilde hem küçük ölçekli hem de büyük ölçekli alışveriş yerlerinden belirli bir alışveriş bütçesi, belirli bir alışveriş süresi, belirli bir ulaşım maliyeti gibi kısıtlar gözetilerek ekonomik ve optimal ölçekli alışveriş yapmalarını mümkün kılmaktadır. Çalışmada önerilen model, belirli alternatifler arasından alışveriş yapılacak yerleri, izlenecek güzergâhı, hangi ürünlerin hangi alışveriş yerlerinden alınacağını belirlemektedir. Önerilen modelin doğruluğu ve etkinliği bir sayısal örnek üzerinde incelenmiştir. Araştırma sonuçları ve bulgular verilmiştir. Gezgin Alıcı Problemi optimizasyonunda alışveriş yapılabilecek yer sayısı ve tüketicilerin almak istedikleri ürün sayısının artması uygulamada kısıt ve değişken sayısını arttıracağından problemin çözümünü zorlaştırmaktadır. Bu anlamda, daha büyük boyutlu gezgin alıcı problemlerini probleme özel, diğer anlamıyla sezgisel metotlar kullanarak çözmek problemin kısa sürede çözülmesini sağlayarak, elde edilen neticelerin optimuma daha yakın sonuçlar olmasını sağlayacaktır. Anahtar Kelimeler: Gezgin Alıcı Problemi, Tüketici, Doğrusal Programlama, Optimization. JEL Kodları: C6: Matematiksel Metotlar ve Programlama C610: Optimizasyon Teknikleri; Programlama Modelleri; Dinamik Analiz D1: Hane Halkı Davranışı ve Ev Ekonomisi A MODEL PROPOSED FOR TRAVELING PURCHASER PROBLEM ABSTRACT Consumers have to make shopping in order to satisfy their needs in daily lives. Consumers fulfill some of necessities from small-scale shopping places such as bakery, butcher, greengrocery, market and most of them from supermarkets, middle and large-scale shopping centers.traveling Purchaser Problem is a problem which a purchaser can purchase a specific number of products from various shopping places to minimize total purchasing and routing costs. The model proposed in this study offer consumers to make shopping in economical and optimal scale from both small and large scale shopping places to maximize the total benefit of products in shopping basket determined before. The proposed model determines the shopping places in specific alternatives, the optimal route and the decisions on which products should be purchased from which places. The accuracy and efficieny of the proposed model was investigated on a numerical instance. Research results and findings were given. In Traveling Purchaser Optimization Problem, as shopping place alternatives and number of products in shopping basket increase, also the constraints and variables increase and solution of the problem gets hard. In this approach, if problem specific methods, in other words heuristic methods, are used in solving large-scale Traveling Purchaser Problems, it can provide the shorter running times and near optimal results. Anahtar Kelimeler: Traveling Purchaser Problem, Consumer, Linear Programming, Optimization JEL Kodlari: C6: Mathematical Methods and Programming C610: Optimization Techniques; Programming Models; Dynamic Analysis D1: Household Behavior and Family Economics 1 Süleyman Demirel Üniversitesi, İktisadi ve İdari Bilimler Fakültesi, İşletme Bölümü, fatihdemiral@sdu. edu.tr 2 Süleyman Demirel Üniversitesi, İktisadi ve İdari Bilimler Fakültesi, İşletme Bölümü, ahmetdemiral@sdu.edu.tr 761
1. GİRİŞ Gezgin alıcı problemi, gezgin satıcı probleminin literatürde ve uygulamada çok bilinen bir türüdür. Ancak yine de gezgin alıcı problemi gezgin satıcı problemi kadar araştırmacılar tarafından beklenen ilgiyi görmemiştir. İlk olarak gezgin alıcı problemi, iş çizelgeleme problemleri olarak ortaya atılmıştır. Literatürde her iki problem de benzerlikleri yönüyle göze çarpmaktadır. İş çizelgeleme problemi n tane işin m tane makinaya toplam hazırlık maliyetleri ve iş işleme maliyetleri (hazırlık süreleri ile iş işleme süreleri) minimum yapılmak suretiyle atanması ve sıralanması problemidir. Gezgin alıcı problemi adı ise, ilk defa 1981 yılında Ramesh tarafından ortaya konulmuş olup tanımı yapılmıştır (Teeninga ve Volgenant, 2004: 140): m adet alışveriş yerinden n adet ürünü satın alacak bir alıcı (tüketici) için, her çift alışveriş yeri arasındaki ulaşım maliyeti ve her bir alışveriş yerindeki her bir ürünün fiyatı bilinmek şartı ile, toplam ulaşım ve satın alma masraflarını minimize eden turun belirlenmesi problemidir. İş çizelgeleme probleminde n tane iş, gezgin alıcı probleminde n tane ürünü, m tane makina yine gezgin alıcıdaki m alışveriş yerini, hazırlık maliyetleri gezgin alıcı probleminde ulaşım maliyetlerini ve iş işleme maliyetleri ise gezgin alıcı probleminde ürün satın alma maliyetlerini temsil etmektedir. Aynı zamanda gezgin alıcı problemi uygulamada üretim yerlerine hammadde temini planlamasında da kullanılmaktadır. Gezgin alıcı problemi ile literatürde temelde iki şekilde karşılaşılmaktadır: Kapasitelendirilmiş ve kapasitelendirilmemiş gezgin alıcı problemi. Ramesh in tanımına göre, bir ürün bir alışveriş yerinde mevcut ise, o yerdeki arzı (miktarı), o ürünün talebini karşılamaktadır (q ki > d k ). Problemin bu türü kapasitelendirilmemiş gezgin alıcı problemidir. Eğer bir i noktasındaki arz, k ürününün talebini geçemiyorsa 0 < qki < d k ve q ^ > d k kısıtları karşılanıyorsa problem kapasitelendirilmiş gezgin alıcı problemidir. iem k Literatürde, kapasitelendirilmemiş gezgin alıcı problemi her bir ürün talebinin 1 birim (dk = l) ve her bir noktadaki ürün arzının 1 birim (q = l) olduğu kapasitelendirilmiş gezgin alıcı probleminin özel bir durumu olarak ifade edilmektedir. Bu iki problem türünden kapasitelendirilmiş gezgin alıcı problemi, literatürde ilk kez Laporte vd. (2003) tarafından incelenmiş ve araştırma bulguları verilmiştir. Gezgin alıcı probleminin her iki türünde de alıcının alışveriş yerlerini gerektiği kadar (ürün taleplerini karşılamak şartı ile) dolaşmasına izin verilebilir. Ancak yine de üçgen eşitsizliği koşulunun (yolların tur olarak birleşmesi) sağlanmasının gereği olarak her alışveriş yerinin en fazla bir kez ziyaret edilmesi söz konusu olmaktadır. Böyle bir çözüm optimal koşullara uygun bir çözüm olmaktadır. Gezgin alıcı problemi, polinom zamanlı olmayan çözülmesi zor problem (NP-hard) sınıfında yer almaktadır. Çünkü gezgin alıcı problemi, her ürün yalnızca tek bir alışveriş yerinde bulunması ve her alışveriş yerinde sadece tek bir ürün satılması durumunda gezgin satıcı problemine indirgenebilmektedir. Bu yargıya bağlı olarak, gezgin alıcı probleminin gezgin satıcı problemine göre daha zor bir problem olduğu sonucuna varılabilir. Buna bağlı olarak, literatürde gezgin alıcı probleminin çözümüne yönelik çeşitli sezgisel metotlar önerilmiştir. 2. LİTERATÜR ARAŞTIRMASI Gezgin alıcı problemi 1980 li yıllarda formüle edilmiş ve araştırılmaya başlanmıştır. Bu yıllarda ve 90 lı yılların başında çözüm yöntemleri olarak Arama Algoritması, Genelleştirilmiş Kazanç Algoritması, Tur İndirgeme Algoritması ve Ürün Ekleme Algoritması gibi algoritmalar önerilmiştir. Son yıllarda ise sezgisel metotların yaygınlaşması araştırmacıları yeni bulunan yöntemleri gezgin alıcı problemi üzerinde incelemeye yöneltmiştir. Singh ve Qudheusden (1997) gezgin alıcı problemine yönelik dal sınır algoritması önermişlerdir. Bu algoritmanın 25 şehir ve 100 ürüne kadar olan problemleri kabul edilebilir zaman diliminde çözebildiğim 762
göstermişlerdir. Ayrıca makalede gezgin alıcı probleminin iş çizelgeleme, stok yönetimi ve rotalama alanlarında uygulamalarının olduğundan da bahsedilmiştir. Peam ve Chien (1998) daha önce var olan ve yukarıda bahsedilen algoritmaların, Arama Algoritması, Genelleştirilmiş Kazanç Algoritması, Tur İndirgeme Algoritması ve Ürün Ekleme Algoritması, değişik türlerini önererek daha önce var olan algoritmaları iyileştirmişlerdir. Araştırma bulguları, iyileştirmelerin önemli düzeyde olduğunu ortaya koymaktadır. Laporte vd. (2003) önerdikleri tamsayılı doğrusal modeli yine önerdikleri dal-kesim algoritması ile çözmüşlerdir. Ayrıca çalışmada modele getirdikleri bazı eşitsizliklerle modelin gevşetilmiş formunu da birlikte incelemişlerdir. Geliştirilen bu çözüm yöntemi, 200 alışveriş yeri ve 200 ürünlü probleme kadar olan problemleri optimal olarak çözebilmektedir. Araştırma bulguları, önerilen çözüm yönteminin daha önceki çözüm yöntemlerine göre daha iyi sonuçlar verdiğini ortaya koymaktadır. Riera-Ledesma ve Salazar-Gonzales (2005a) yerel aramaya dayalı, yeni bir komşuluk yapısı araştıran sezgisel bir algoritma önermişlerdir. Bu çalışmadaki ana fikir, klasik 1 noktadaki değişim değil, k tane alışveriş yerinin değişmesidir. Bir çözümün komşuluğu yine bir dizi alışveriş yerinin çıkartılması ve yeni bir dizi alışveriş yerinin eklenmesiyle oluşacak yeni bir gezgin alıcı problemi çözümüdür. Bu algoritma, literatürdeki bir dizi test problemine uygulanmıştır. Araştırma sonuçları, yöntemin bulgularının diğer sezgisel metotların bulgularıyla kıyaslandığında rekabetçi olduğunu ortaya koymaktadır. Riera-Ledesma ve Salazar-Gonzales (2005b) çalışmalarında gezgin alıcı problemini iki amaçlı olarak düşünmüşler, modellemişler ve çözmüşlerdir. İlk çalışmalardaki düşünceler, amaç fonksiyonunda satın alma ve ulaşım maliyetlerinin temelde toplanmasına dayanmakta idi. Ancak, gezgin alıcı probleminin yapısı gereği satın alma maliyeti düştükçe genel olarak ulaşım maliyeti artmaktadır. Diğer ifadeyle, bu iki amaç birbiriyle ters yönlü ilişki içerisindedir. İşte bu durumda, araştırmacılar, her çözüm noktasını, iki bileşene ayırarak çözüm uzayında incelemişlerdir. Bu çözüm şeklinde ulaşım maliyetleri ile satın alma maliyetleri aynı anda düşünülmekte ve minimize edilmektedir. Bountoux ve Feillet (2008) gezgin alıcı problemine yönelik yerel arama tabanlı hibrid karınca koloni algoritması önermişlerdir. Algoritmanın adına dinamik çok yönlü anamorfik gezgin karıncalar adını vermişlerdir (DMD-ATA). Yeni geliştirilen bu algoritma, literatürdeki 48 problemin en iyi yeni çözümünü bulmuştur. Mansini ve Tochella (2009) bütçe kısıtı altında gezgin alıcı problemini modellemişler ve çözmüşlerdir. Amaç fonksiyonu olarak yalnızca ulaşım maliyetini minimize etmişlerdir. Ayrıca çözüm yöntemi olarak gelişmiş bir yerel arama yöntemi (local-search) ile değişir komşuluk arama (variable neighborhood search) yöntemi geliştirmişler ve karşılaştırmışlardır. Bu yöntemlerle bulunan sonuçlar, optimal çözüm değerleri sağlamaktadır. Goldbarg vd. (2009) gezgin alıcı problemine yönelik bir evrimsel algoritma önermişlerdir. Transgenetik algoritma adı verilen bu algoritma temelde iki prensibe dayanmaktadır: yatay gen transferi ve endosimbiosis. Araştırma sonuçları, yöntemin araştırılan problem üzerinde çok etkili olduğunu göstermektedir. Sırasıyla, kapasitelendirilmiş ve kapasitelendirilmemiş gezgin alıcı problemi üzerinde 17 ve 9 yeni çözüm sonucu sağladığını ortaya koymaktadır. Gouveia vd. (2011) ek kısıtlı gezgin satıcı problemini incelemişlerdir. Çalışmada bahsedilen bu ek kısıtlar: Gezilecek alışveriş yeri sayısında bir üst sınır olması, bir alışveriş yerinden alınacak ürün sayısının üst değerinin olması ve ürünlerin yalnız bir çeşidinin satın alınabilmesi gibi. Çalışmada problemi 100 alışveriş yerine kadar çözebilecek bir tamsayı doğrusal programlama modeli önerilmiştir. Araştırmacılar, lagrange gevşetme yöntemini subgradient optimizasyon yöntemi ile kullanarak modelin değişik varyasyonlarını çözmüşlerdir. Çalışmada önerilen gevşetilmiş model, aynı zamanda dinamik programlama ve sezgisel yöntemler kullanarak da çözülebilmektedir. Araştırma bulguları, optimal çözümlerin üst ve alt sınır değerleri arasındaki farkların oldukça küçük olduğunu göstermektedir. 763
Kang ve Ouyang (2011) stokastik satın alma ücretli gezgin alıcı problemini incelemişlerdir. Çalışmada dinamik tabanlı kesin bir algoritma ve büyük problemler için yaklaşık sonuç veren sezgisel yöntemler kullanılmıştır. Bulgular, sezgisel yöntemlerin optimuma çok yakın sonuçlar verdiğini ortaya koymaktadır. Angelelli vd. (2011) alışveriş yerlerindeki miktarın zamanla azaldığı durumu, diğer ifadeyle, dinamik gezgin alıcı problemini incelemişlerdir. Bu problemde gezgin alıcı, karar verici, mevcut durumdan ve alışveriş yerlerindeki tüketimden haberdardır. Ancak, gelecekteki olaylarla ilgili herhangi bir bilgisi yoktur. Çalışmada aç-gözlü (greedy) ve ileri-görüşlü (look-ahead) olmak üzere iki tip sezgisel metot araştırılmıştır. Birinci gruptaki sezgiseller, her iki amaçtan birini gözeterek, ziyaret edilecek noktalara karar vermektedir. İleri-görüşlü sezgiseller ise her iki amacı ve geleceğe yönelik kestirimleri de karar sürecine dâhil etmektedir. Araştırma sonuçları ve bulgular değerlendirilmiştir. Riera-Ledesma ve Salasaz-Gonzales (2012) okul servis araç rotalama problemini, çoklu araç gezgin alıcı problemi olarak modellemişler ve önerdikleri dal-kesim yöntemiyle çözmüşlerdir. Ayrıca çalışmada, modelin çeşitli kısıtlarla birlikte önerilmiş doğrusal programlama gevşetme biçimi de verilmiştir. Batista-Galvan vd. (2013) alımlı ve teslimatlı gezgin alıcı problemini incelemişlerdir. Bu problemde ürünlerin alındığı ve teslim edildiği iki tur oluşumu söz konusudur. Ürünlerin alındığı tur tüm alışveriş yerlerini içermeyebileceğinden Hamilton turu olmayabilmektedir. Ancak ürünlerin teslim edildiği tur, ürünlerin alındığı turun içerdiği bütün noktaları içeren bir Hamilton turu olmaktadır. Çalışmada, dal-kesim yöntemi uygulanarak, yöntem çeşitli problemlerle test edilmiştir. Bianchessi vd. (2014) mesafe kısıtlı çok araçlı gezgin alıcı problemini incelemişlerdir. Problemde diğer problem türlerinden farklı olarak her aracın gideceği mesafe üzerinde bir üst sınır bulunmaktadır. Çalışmada farklı bir matematiksel formülasyon kullanılmıştır. 3. MATEMATİKSEL MODEL Literatürde karşılaşılan çalışmalarda amaç fonksiyonu çoğunlukla satın alma ve ulaşım maliyetlerinin minimizasyonu olarak verilmektedir. Bu çalışmada önerilen modelde amaç fonksiyonu, gezgin alıcının alışverişten elde edeceği toplam fayda ile q, ulaştırma maliyeti ile toplam alışveriş harcamaları arasında olduğu kabul edilen oranın üst değeri toplamının maksimizasyonu şeklinde düşünülmüştür. Ayrıca literatürde çoğunlukla ulaşım ve satın alma maliyetleri amaç fonksiyonu olarak verilmekte iken, bu çalışmada bütçe kısıtına ve ulaşım maliyeti-satın alma ilişkisini belirleyen yakıt harcaması kısıtına yer verilmiştir. Burada q, ulaşım maliyeti-satın alma oranı stratejik önem göstermekte olup, optimum q değeri gezgin alıcıya alışverişi konusunda fikir vermektedir. Bu modelde gezgin alıcı aynı zamanda alışveriş zamanı parametresi ile zaman kısıtlamasına tabi olmaktadır. Model, temelde bir gezgin alıcının iki temel turdaki, yürüyüş yolu mesafesindeki yerleri kapsayan ilk tur ile araç ile gidilebilecek yerleri kapsayan ikinci tur, alışveriş davranışlarını incelemek amacıyla oluşturulmuştur. Gezilecek alışveriş yerleri, iki farklı özellikteki tur ile ikiye ayrılmaktadır. Bu anlamda da ve yukarıda belirtilen özellikler sebebiyle literatürdeki bilgiler ışığında bilinen ilk model ve çalışma özelliğini taşımaktadır. Çalışmada önerilen model için yapılan tanımlamalar (notasyon, karar değişkenleri ve parametreler) aşağıda verilmektedir: Küme Tanımlamaları: L = {l,2,... n} n : Alışveriş yapılacak yerleşim sayısı K = {l,2,...,m} m : Alışveriş sepetindeki ürün sayısı P = {l,2,...,a,...,p\ p : Yürüyüş yolu mesafesindeki alışveriş yapılabilecek yerleşim sayısı 764
a : Aracın park etme noktası, a e P R = {p +l,...,n} n - p : Araç ile gidilip alışveriş yapılabilecek yerleşim sayısı R= L \ P (L - P) Notasyon: i, j : Alışveriş yapılan yerleşim yeri k: Ürün sepetindeki ürün Karar Değişkenleri: y ik = i. yerleşim yerinde bulunan alışveriş yerinden k. ürünün alınıp alınmaması durumu, y ik e {0,l} Zy = i. yerleşim yerinden j. yerleşim yerine gidilip gidilmemesi durumu, Zy e{0,l} zi = i. yerleşim yerinde bulunan alışveriş merkezine uğranılıp uğranılmaması durumu, z t e {0,l} q = Ulaştırma maliyeti ile toplam alışveriş harcamaları arasında olduğu kabul edilen oranın üst değeri, 0 < q < l aralığında sürekli bir değişken. Parametreler: rk = Tüketicinin alışveriş sepetindeki k. üründen elde edeceği fayda cik = i. yerleşim yerindeki alışveriş merkezinden alınan k. ürünün satın alma maliyeti tj = i. yerleşim yerinde bulunan alışveriş merkezinde geçirilen süre tij = i. yerleşim yeri ile j. yerleşim yeri arasında geçen yolculuk süresi t0a = Başlangıç noktası ile a noktası (park noktası) arasında geçen süre x ij = i. yerleşim yeri ile j. yerleşim yeri arasındaki mesafe x 0 a = Başlangıç noktası ile a noktası (park noktası) arasındaki mesafe va = Aracın ortalama hızı vy = Yayanın ortalama hızı Cf = Aracın birim ulaştırma maliyeti B = Tüketicinin ortalama alışveriş bütçesi T = Tüketicinin alışverişe ayırdığı ortalama süre Yukarıda çeşitli tanımlamaları verilen alışveriş probleminin matematiksel modeli aşağıda verilmektedir: 765
Maks. X X rk * y Ik + q iel kek X X c,k * y,k < iel kek X i, * Zt + X X tij iel iep jep B * z tj + X X tj ieru{a} jeru{0} * Zj + t0a < T a e P (1) (2) y ik < z, V i e L A k e K (3) a < x tv = { vy V i e R u {a } V i e P A A Vj e R u {0} Vj e P (4') (4") cf * x oa + x X cf * xj * ztj > q * X X cik * yik ieru{a}jeru{0} iel kek X y ik < 1 iel X X y k = m iel kek X Z0i = 1 iep X z ai = 1 iep /{a} X zia = 1 iep /{a} X ZJj = z jep /{a} X Zji = Z jep /{a} V k e K a e P için a e P için a e P için Z0a = 1 Vi e P/{a} Vi e P/{a} (5) (6) (7) (8) (9') (9") (10') (10'') X X Z j < S i - 1 iesx jes-1 S 1 > 2 S1 < P (1 1 ) iee {oa1 1 < iee{af = 1 a e P a e P (12') (12'') X Zj = zi jer < X zji = zi { jer X X Zj < S2-1 ies2jes2 S2 > 2 Vi e R Vi e R S 2 < R u {a} (13') (13'') (14) 766
Yukarıda matematiksel programlama modeli verilen gezgin alıcı probleminde amaç fonksiyonu, satın alınan ürünlerden elde edilecek toplam fayda ile q oranını maksimum yapmaktadır. q oranının maksimum yapılması q nun üst değerini bulmaya yönelik olarak yapılmıştır. (1) numaralı kısıt bütçe kısıtıdır. Diğer bir ifadeyle satın alınan ürünlerin toplam maliyeti tüketicinin ortalama bütçesini geçmemelidir. (2) numaralı kısıt süre kısıtıdır. Bu kısıta göre, tüketicinin alışverişte geçirdiği toplam süre, tüketicinin alışverişe ayırdığı ortalama süreyi geçmemelidir. (3) numaralı kısıt, bir ürünün alınabilmesi için o alışveriş merkezine gidilmesi şartını ortaya koymaktadır. (4 ) ve (4 ) numaralı kısıtlar tüketicinin alışveriş merkezleri arasında geçirdiği ortalama yolculuk sürelerini aracın ve yayanın ortalama hızına göre hesaplamaktadır. (5) numaralı kısıt aracın ulaştırma maliyetinin toplam satın alma maliyetine göre belirli bir oranda olması gerektiğini (q) ortaya koymaktadır. (6) numaralı kısıt ürün sepetindeki her bir ürünün ancak bir alışveriş merkezinden alınabileceğini söylemektedir. (7) numaralı kısıt, q oranı kabul edilebilir olmak koşulu ile, satın alınan toplam ürün sayısının tüketicinin almak istediği ürün sayısına eşit olması durumunu belirtmektedir. (8) numaralı kısıt a noktasını (park etme noktası) belirlemektedir. Bu nokta kısıta göre P kümesinin elemanlarından biri olarak belirlenmektedir. (9 ) ve (9 ) numaralı kısıtlar 1 numaralı turun diğer ifadeyle yaya turunun a noktasından başlayacağını ve a noktasında sonlanacağını anlatmaktadır. (10 ) ve (10 ) numaralı kısıtlar, a noktası haricinde 1 numaralı yaya turunu oluşturma kısıtlandır. (11) numaralı kısıt bir numaralı turda oluşabilecek alt turları kırıcı kısıtlardır. Gerektiğinde uygulamada modele dâhil edilirler. (12 ) ve (12 ) numaralı kısıtlar iki numaralı turun başlangıç noktasının a, bitim noktasının 0 olması durumunu anlatmaktadır. (13 ) ve (13 ) numaralı kısıtlar, iki numaralı turu oluşturma kısıtlandır. (14) numaralı kısıt ise iki numaralı turda oluşabilecek alt turları kırıcı kısıtlardır. Gerektiğinde uygulamada modele dâhil edilirler. Yukarıda tanımlanan modelde (8) nolu ifadeye göre a noktası P kümesinin elemanlarından biri olarak belirlenmekte idi. Problemin modeli kurgulanır ve öncelikle çeşitli parametre değerlerine göre alternatif çözüm planları elde edilir. Bu alternatif planlara göre optimal a noktası tespit edilmeye çalışılmaktadır. Daha sonra model bu yeni belirlenen a noktasına göre tekrar kurgulanır ve çeşitli parametre değerlerine göre bulunan yeni alternatif çözüm planlarından tekrar bu noktanın optimal olup olmadığı kontrol edilmektedir. 4. UYGULAMA Çalışmada incelenen problemin matematiksel modelinin bir sayısal örnek üzerinde araştırması yapılmış ve bulguları elde edilmiştir. Sayısal örnekte, tüketicinin almayı hedeflediği 18 ürün bulunmaktadır. Ürün sepetindeki bu 18 ürün, 4 ü tüketicinin yürüyüş yolu mesafesinde, diğer 4 ü de (5, 6, 7, 8) araç ile gidilebilme noktasında olan toplam 8 alışveriş merkezinden alınabilecektir. Bölüm 3 te a noktasının nasıl belirlendiği açıklanmışken, sayısal örnekte de, a noktası çeşitli çözüm sonuçlarına göre (deneme yolu ile) 4 noktası olarak belirlenmiştir. Sayısal örnekte, başlangıç noktası, 1. ve 2. turlar, turların oluşturduğu yerleşim yerleri senaryo şeklinde aşağıda gösterilmektedir: 767
Şekil 1. Gezgin Alıcının Uygulamada Kabul Edilen Güzergâhı Sayısal örnekteki verilerden hareketle (n=8 ve m=18), problemin uygulamada modellenebilmesi çok sayıda değişken ve kısıt gerektirmektedir. Bu nedenle şekilden görüldüğü üzere uygulamada değişken ve kısıt sayısını azaltıp, problemi çözülebilir duruma getirebilmek için birincil ve ikincil turların güzergâhlarının şekildeki gibi olduğu kabul edilmiştir. Ayrıca tüketicinin bu güzergâhtaki alışveriş merkezlerine uğraması ancak bazılarından alışveriş yapması beklenmektedir. Bununla birlikte tüketicinin hangi ürünü hangi alışveriş merkezinden alacağı bilinmemektedir. Sayısal örnekte, ortalama yaya ve araç hızı haricindeki veriler rassal olarak düzenlenmiştir. Örnekte, 1-4. Alışveriş merkezleri arasındaki uzaklıklar (100-800) metre, alışveriş merkezinde geçirilen süre (10-30) dakika, ikincil tur arasındaki uzaklıklar ise (1000-4000) metre ve alışveriş merkezinde geçirilen süre ise (30-90) dakika olduğu kabul edilmiştir. Satın alınan ürünlerin maliyetleri (1-40) TL. ve elde edilen fayda ise (1-100) birim olduğu kabul edilmiştir. Sayısal örnekte yayanın ortalama hızı 30 metre/dakika, aracın ortalama hızı ise 750 metre/dakika alınarak zaman matrisi hesaplanmıştır. Ayrıca q oranı (ulaştırma maliyetinin satın alma maliyetine oranının üst sınır değeri) nın bütçe sabit kabul edilerek satın alma maliyetine göre değişimi verilmektedir. Excel programında Solver - Çözücü menüsünde uygulamayı çözebilmek için kısıt ve değişken sayısının çok fazla olmaması gerekmektedir. Bu nedenle problemi, yukarıda bahsedilen koşullar kabul ederek çözmek yerinde olacaktır. Problemin çözümünde kullanılan veriler ekler kısmında ek olarak verilmiştir. Burada ise çözüm sonuçları yer almaktadır: 768
Çizelge 1. Uygulamanın Çözüm Değerleri q oranı Toplam Fayda Satın Alma Bütçe Karşılanan (değişken) + q değeri Maliyeti (parametre) Ürün Sayısı (parametre) 0,0100129 901,0100129 292 300 18 0,0129886 901,0129886 240 250 18 0,016426 901,016426 192 200 18 0,0228829 901,0228829 140 150 18 0,034137 901,034137 94 100 18 0,0374146 901,0374146 85 90 18 Çizelge 1 deki sonuçlardan görüldüğü üzere tüketici yaklaşık 4.30-6.30 saatte, bir hafta sonu gününde; 1. 292 TL. harcayarak almak istediği 18 ürünü alabilmektedir. Bu alışverişte çözüm sonucu gereği, 1. ve 4. ürünleri 4. alışveriş merkezinden, 8. Ürünü 5. alışveriş merkezinden, 2. ürünü 7. alışveriş merkezinden, diğer 14 ürünü de 8. Alışveriş merkezinden almalıdır. 2. 240 TL. harcayarak almak istediği 18 ürünü alabilmektedir. Bu alışverişte çözüm sonucu gereği, 4. ve 8. ürünleri 5. alışveriş merkezinden, 1. ve 10. ürünleri 6. alışveriş merkezinden, 2., 3., 14.. ve 18. ürünleri 7. alışveriş merkezinden, diğer 10 ürünü ise 8. Alışveriş merkezinden almalıdır. 3. 192 TL. harcayarak almak istediği 18 ürünü alabilmektedir. Bu alışverişte çözüm sonucu gereği, 1. ve 4. ürünleri 4. Alışveriş merkezinden ve 8. ürünü 5. alışveriş merkezinden, 5. ve 10. ürünleri 6. alışveriş merkezinden, 2., 3., 14.. ve 18. ürünleri 7. alışveriş merkezinden, diğer 9 ürünü ise 8. Alışveriş merkezinden almalıdır. 4. 140 TL. harcayarak almak istediği 18 ürünü alabilmektedir. Bu alışverişte çözüm sonucu gereği, 7. ürünü 3. alışveriş merkezinden, 1., 4. ve 6. ürünleri 4. Alışveriş merkezinden ve 8. ürünü 5. alışveriş merkezinden, 3., 5., 9. ve 10. ürünleri 6. alışveriş merkezinden, 2., 14.. ve 18. ürünleri 7. alışveriş merkezinden, diğer 6 ürünü ise 8. Alışveriş merkezinden almalıdır. 5. 94 TL. harcayarak almak istediği 18 ürünü alabilmektedir. Bu alışverişte çözüm sonucu gereği, 15. ürünü 1. alışveriş merkezinden, 11. ürünü 2. alışveriş merkezinden, 7. ve 12. ürünü 3. alışveriş merkezinden, 1., 4. ve 6. ürünleri 4. Alışveriş merkezinden ve 8. ürünü 5. alışveriş merkezinden, 3., 5., 9. ve 10. ürünleri 6. alışveriş merkezinden, 2., 14.. ve 18. ürünleri 7. alışveriş merkezinden, 13., 16. ve 17. ürünleri ise 8. Alışveriş merkezinden almalıdır. 6.. 85 TL. harcayarak almak istediği 18 ürünü alabilmektedir. Bu alışverişte çözüm sonucu gereği, 15. ürünü 1. alışveriş merkezinden, 11. ürünü 2. alışveriş merkezinden, 7., 12. ve 13. ürünleri 3. alışveriş merkezinden, 1., 4. ve 6. ürünleri 4. Alışveriş merkezinden ve 8. ürünü 5. alışveriş merkezinden, 3., 5., 9. ve 10. ürünleri 6. alışveriş merkezinden, 2., 14.. ve 18. ürünleri 7. alışveriş merkezinden, 16. ve 17. ürünleri ise 8. Alışveriş merkezinden almalıdır. 769
Farklı tutarda harcamalar yaparak 18 ürünü alabilmektedir. Ancak burada tüketici ürün alımı için farklı alışveriş merkezlerini tercih edebilmektedir. Bu seçenekler, ürünlerin alışveriş merkezlerindeki (aynı ürün için) marka, kalite ve sağlıklılık gibi durumlarda tüketici tarafından kullanılabilir alternatifler içermesi bakımından önemlidir. Örneğin tüketici aynı ürünlerin farklı marka ve pazarlama stratejilerinden dolayı, elde edeceği fayda aynı kalmak koşulu ile, pahalı veya ucuz ürünleri tercih edebilir. Bu nedenle, 18 ürünü alabilmek için aynı faydada kalmak koşulu ile, daha fazla veya düşük harcama yapabilmektedir. Bir diğer önemli sonuç ise, tüketicinin harcama yaptığı tutar düştükçe ürünlerin alımını yapacağı alışveriş merkezi sayısının ve alışveriş süresinin artmasıdır. Örneğin 292 ve 240 TL. harcayarak 4 alışveriş yerinden daha kısa sürede ürünlerini alırken, 94 ve 85 TL. harcayarak 8 alışveriş merkezinden 6.30 saatte alışverişini tamamlamaktadır. Ayrıca 240 TL. harcayarak, 1. turu yapmadan sadece 2. turu yaparak (4,5,6,7,8 e uğrayarak) alışverişini daha kısa sürede, 4.30 saatte, tamamlayabilmektedir. Çizelge 2. Harcama Tutarı-Alışveriş Merkezi Sayısı-Alışveriş Süresi İlişkisi Harcama Yapılan Tutar Alışveriş Merkezi Sayısı Alışveriş Süresi 240-292 TL. 4 Alışveriş Merkezi 4.30 Saat 140-192 TL. 5-6 Alışveriş Merkezi 4.30-5.00 Saat 85-94 TL. 8 Alışveriş Merkezi 6.30 Saat Çizelge 2 de harcama yapılan tutar ile alışveriş yapılan yer sayısı ve alışveriş süresi arasındaki ilişki değer olarak belirtilmiştir. Görüldüğü üzere tüketici ürünlerin alımında daha çok ürünlerin satış fiyatını baz aldığında daha çok alışveriş merkezi gezmek zorunda kalmaktadır. Böylelikle alışveriş süresi uzamaktadır. Ancak tüketici fiyat dışında başka kriterleri de gözetirse, harcamalarda daha esnek davranmakta ve daha kısa sürede daha az alışveriş merkezi gezerek alışveriş yapmaktadır. Bu anlamda çalışmada belirtildiği üzere ortalama tutarda harcama yapan bir tüketici için 2. Seçeneğin daha uygun olduğu görülmektedir. Böyle bir tüketici dikkate alınan veriler doğrultusunda, bir hafta sonunda 140-192 TL. harcama yaparak, 5-6 alışveriş merkezini 4.30-5.00 saatte gezerek alışverişini tamamlayabilmektedir. Bu alışveriş merkezlerinden 1-2 si eve yakın konumda olup küçük veya orta ölçeklidir. Diğer 4 ü ise ikinci turda olup büyük ölçekli alışveriş merkezleridir. Çizelge 1 ve 2 deki sonuçlara göre optimum q nun 0,016426-0,0228829 arasında olacağı tahmin edilmektedir. Buna bağlı olarak q ya bu aralıkta değerler verilip model tekrar çözdürülürse (q nun parametre olarak alınması durumu) Çizelge 3 teki değerler ve istenilen optimum planlar elde edilebilecektir. Bütçe değeri bu aralığa karşılık 200 TL. olarak alınmaktadır. 770
Çizelge 3. q değerine göre belirlenen diğer değerler q oranı Satın Alma Maliyeti Bütçe Karşılanan (parametre) (Harcama Tutarı) (parametre) Ürün Sayısı (m: parametre) 0,018 166 200 18 0,019 153 200 18 0,020 145 200 18 0,022 140 200 18 5. SONUÇ VE ÖNERİLER Çalışmada belirtildiği gibi incelenen problem biri yaya turu, diğeri araç turu olmak üzere başlangıç ve bitiş noktaları farklı iki turdan oluşan gezgin alıcı problemidir. Çalışmadaki model, gezgin alıcının alışveriş işindeki optimizasyonuna yönelik olmakla beraber, diğer türdeki gezgin alıcı problemlerinde de kullanılabilecektir. Çalışma, 3. bölümde de belirtildiği üzere bütçe, zaman ve yakıt kısıtları altında gezgin alıcının toplam faydası ile q değerini maksimize etmektedir. Gezgin alıcı probleminin literatürde incelenmiş olan değişik versiyonları olmasına karşın, bu türden bir çalışmaya literatürde rastlanılmamıştır. Gezgin alıcı problemi, zorluk derecesi başta alışveriş yeri ve ürün sayısı olmak üzere, diğer parametre, değişken ve kısıtlara bağlı olan, çözülmesi zor problem türüne girmektedir. Bu yüzden önerilen model, (m=8, n=18) gibi orta sınıf bir problemde denenmiş ve çözüm sonuçları elde edilmiştir. Problem çözülürken, gezgin alıcının güzergâhı önceden belirtilmiş ve rotalama (ulaşım) kısıtları dikkate alınmadan problem çözülmüştür. Araştırma sonuçları, çözüm sonuçlarının literatürdeki çeşitli bulgular ile uyumlu olduğunu göstermektedir. Çözüm sonucunda varılabilecek yargılar 3 ana maddede toplanabilmektedir: 1- Tüketiciler (gezgin alıcı), aynı ürünlerin farklı marka ve pazarlama stratejilerinden dolayı elde edeceği fayda aynı kalmak koşulu ile pahalı veya ucuz ürünleri tercih edebilmektedir. Bundan dolayı, halkın farklı kesimleri için farklı alışveriş planları (çözüm planları) önerilebilmektedir. 2- Tüketicilerin harcama yaptığı tutar düştükçe, ürünlerin alımını yapacağı alışveriş merkezi sayısı ve alışveriş süresi artmaktadır. Genel olarak, tüketici bütçesini azalttığında, ürün alımında daha çok seçici davranmakta ve giderek ucuz ürünlere yönelmektedir. 3- Ortalama bütçeye sahip bir tüketici için optimum q değerinin belirlenmesi veya çözüm sonuçları arasından tercih edilmesi gerekmektedir. q oranı tüketicinin alışveriş eğilimini belirlemede önemli bir değişken veya parametre olmaktadır. Bu değerin yüksek olması, tüketicinin kısıtlı bütçe ile fazla yer dolaşarak alışveriş yaptığı durumu, değerin düşük olması ise, esnek bütçe ile az yer dolaşarak alışveriş yaptığı durumu anlatmaktadır. Bu yüzden optimum q seçimi önemli olmaktadır. 771
KAYNAKÇA ANGELELLI, E., R. MANSINI ve M. VINDIGNI (2011), Look-ahead Heuristics for the Dynamic Traveling Purchaser Problem, Computers & Operations Research, Volume:38, s. 1867-1876. BATISTA-GALVAN, M., J. RIERA-LEDESMA ve J.-J. SALAZAR-GONZALEZ (2013), The Traveling Purchaser Problem, with Multiple Stacks and Deliveries: A Branch-and-Cut Approach, Computers & Operations Research, Volume:40, s. 2103-2115. BIANCHESSI, N., R. MANSINI ve M. G. SPERANZA (2014), The Distance Constrained Multiple Vehicle Traveling Purchaser Problem, European Journal of Operational Research, Volume:235, s.73-77. BONTOUX, B. ve D. FEILLET (2008), Ant Colony Optimization for the Traveling Purchaser Problem, Computers & Operations Research, Volume: 35, s.628-637. GOLDBARG, M.C., L.B. BAGI ve E.F.G. GOLDBARG (2009), Transgenetic Algorithm for the Traveling Purchaser Problem, European Journal of Operational Research, Volume: 199, s.36-45. GOUVEIA, L., A. PAIAS ve S. VOSS (2011), Models for a Traveling Purchaser Problem with Additional Side- Constraints, Computers & Operations Research, Volume: 38, s.550-558. KANG, S. ve Y. OUYANG (2011), The Traveling Purchaser Problem with Stochastic Prices: Exact and Approximate Algorithms, European Journal of Operational Research, Volume:209, s.265-272. LAPORTE, G., J. RIERA-LEDESMA ve J.-J. SALAZAR-GONZALEZ (2003), A Branch-and-Cut Algorithm for the Undirected Traveling Purchaser Problem, Operations Research, Volume:51, No:6, s.940-951. MANSINI, R. ve B. TOCCHELLA (2009), The Traveling Purchaser Problem with Budget Constraint, Computers & Operations Research, Volume: 36, s.2263-2274. PEARN, W.L. ve R.C. CHIEN (1998), Improved Solutions for the Traveling Purchaser Problem, Computers & Operations Research, Volume:25, No:11, s.879-885. RIERA-LEDESMA, J. ve J.-J. SALAZAR-GONZALEZ (2012), Solving School Bus Routing Using the Multiple Vehicle Traveling Purchaser Problem: A-Branch-and-Cut Approach, Computers & Operations Research, Volume:39, s.391-404. RIERA-LEDESMA, J. ve J.-J. SALAZAR-GONZALEZ (2005a), A Heuristic Approach for the Traveling Purchaser Problem, European Journal of Operational Research, Volume:162, s.142-152. RIERA-LEDESMA, J. ve J.-J. SALAZAR-GONZALEZ (2005b), The Biobjective Traveling Purchaser Problem, European Journal of Operational Research, Volume:160, s.599-613. SINGH, K. N. ve D. L. Van OUDHEUSDEN (1997), A Branch and Bound Algorithm for the Traveling Purchaser Problem, European Journal of Operational Research, Volume:97, s.571-579. TEENINGA, A. ve A. VOLGENANT (2004), Improved Heuristics for the Traveling Purchaser Problem, Computers & Operations Research, Volume:31, s.139-150. 772
EK-1. Ürünlerin alışveriş merkezlerine göre maliyetleri (1-40 Arasında Rassal Sayı) ALIŞVERİŞ YERLERİ (ürün maliyeti TL olarak) ÜRÜN 1 2 3 4(a nok.) 5 6 7 8 1 22 39 34 1 30 25 40 17 2 22 19 36 19 27 15 3 15 3 36 32 36 35 34 8 24 30 4 36 6 29 6 18 31 19 39 5 32 30 6 21 11 6 22 18 6 19 31 38 11 31 21 38 24 7 39 25 1 32 7 23 34 14 8 3 31 9 14 1 4 40 37 9 34 13 17 8 21 4 37 14 10 35 9 23 36 36 5 24 33 11 38 11 12 21 23 39 30 31 12 6 28 1 18 26 35 34 15 13 26 20 3 28 21 11 20 12 14 30 12 27 5 2 13 2 30 15 4 30 14 35 37 16 34 16 16 14 36 28 39 40 40 7 5 17 20 24 9 34 22 17 10 6 18 15 10 9 36 40 26 7 33 773
EK-2. Tüketicinin Ürünlerden Elde Ettikleri Fayda (1-100 Arasında Rassal Sayı) ÜRÜN FAYDA 1 56 2 70 3 68 4 46 5 73 6 6 7 3 8 14 9 88 10 26 11 100 12 8 13 66 14 80 15 72 16 35 17 78 18 12 774
EK-3. Güzergâh ile ilgili Uzaklık- Zaman Matrisleri Alış. Mer. 0 1 2 3 4 (a nok.) 5 6 7 8 0 0 605 176 504 417 3656 1145 2639 1835 1 0 460 504 363 1414 2823 1278 1625 2 0 398 431 1416 2589 2015 1063 3 0 497 1296 2787 3710 2097 4 0 2641 2034 3084 2218 5 0 3547 2358 3189 6 0 1975 1640 7 0 3540 8 0 ZAMAN MATRİSİ (dakika) Alış.Mer. 0 1 2 3 4 (a) 5 6 7 8 0 0 0,8067 0,23467 0,672 0,556 4,87467 1,5267 3,51867 2,4467 1 0 15,33 16,8 12,1 1,8853 3,764 1,704 2,167 2 0 13,267 14,367 1,888 3,452 2,6867 1,4173 3 0 16,567 1,728 3,716 4,9467 2,796 4 0 3,5213 2,7212 4,112 2,9573 5 0 4,7293 3,144 4,252 6 0 2,633 2,1867 7 0 4,72 8 0 775
EK-4. Alışveriş Yerlerinde Geçirilen Süreler ALIŞVERİŞ MERKEZLERİ (dakika) 0 1 2 3 4(a nok.) 5 6 7 8 süre 0 10 27 23 26 32 81 47 63 776