PROF.DR. MURAT DEMİR AYDIN ***Bu ders notları bir sonraki slaytta verilen kaynak kitaplardan alıntılar yapılarak hazırlanmıştır.
Ders Notları (pdf), Sınav soruları cevapları, diğer kaynaklar için Öğretim Üyesinin Web adresi: http://www.erzurum.edu.tr/personeldetay/207/8694/murat-demir-aydin Ders Değerlendirmesi: İki Ara Sınav (%30+%30), Bir Final Sınavı (%40) İÇİNDEKİLER 1. Temel Kavramlar 2. Kesit Tesirleri ve Gerilme Kavramı 3. Eksenel Yükleme 4. Burulma 5. Eğilme 6. Gerilme Dönüşümleri
1 TEMEL KAVRAMLAR KESİT TESİRLERİ VE GERİLME KAVRAMI
Mühendislik Mekaniği Katı Cisimlerin Mekaniği Akışkanlar Mekaniği Şekil Değiştirebilen Cisimler Rijid Cisimler Statik Dinamik
Mekanik: Fizik biliminin, cisimlerin dış yükler altındaki davranışlarını inceleyen dalıdır. Rijit Cisim: Kuvvet etkisi ile şeklinde bir değişiklik olmayan teorik cisimdir. Gerçekte katı haldeki tüm cisimlerde (örn: tuğla, miller, kirişler), dış kuvvetler etkisiyle az-çok şekil değişikliği olur. Ancak statik ve dinamik bilimlerinde, gerçek katı cisimler de rijit kabul edilir. Statik: Dış kuvvetlere maruz kalmasına rağmen durağan halde, yani dengede olan cisimlerin davranışlarını inceler. (Örneğin oturduğunuz sıra, koltuk vb.) Statikte genel amaç cisme etki eden dış kuvvetlerin belirlenmesidir. Dinamik: Hareket halindeki katı cisimlerin davranışlarını inceler. Mukavemet: Dış yüklerin etkisine maruz, genelde statik (durağan) halde olan, şekil değiştirebilen katı cisimlerin ve sistemlerin davranışlarını inceler. Dış yükler statikteki denklemlerden hesaplandıktan sonra, bu dış yüklere sistemin dayanıp dayanamayacağını veya dayanması için boyutlarının veya malzemesinin ne olması gerektiği sorularına cevap aranır. Mühendislik açısından bu çok önemli sorulara cevabı ise Mukavemet bilimi verir. Mukavemette temel amaç, cisimlerin yük taşıma kapasitelerinin dayanım, rijitlik ve stabilite bakımlarından araştırılmasıdır. Sözü edilen kavramlarla bir cismin sırasıyla sürekli şekil değiştirme veya kırılmaya karşı direnci, şekil değiştirme direnci ve cismin denge konumunun kararlılığı kastedilmektedir. Gerçek yapılardaki karmaşık gerilme durumunu deneysel olarak tespit edilen eksenel gerilmeye bağlayan kırılma teorilerinin vereceği gerilme düzeyi, bazen dayanım için bir ölçü olarak kullanılır. Göçme veya kırılma en genel anlamıyla yapının herhangi bir parçasının kendisinden beklenen işlevi yerine getirememesi olarak tanımlanacaktır. Mukavemette malzemeler homojen, izotropik ve elastik bir katı olarak varsayılır. Ayrıca cisim süreklidir (malzeme içerisinde herhangi bir boşluk, çatlak yoktur ve homojen bir dağılım söz konusudur). Yine tartışılacak tüm problemlerde, sistem statiktir veya sabit hızda hareket eder.
Kuvvet veya Yüklerin Sınıflandırılması : olarak iki ana grupta inceleyebiliriz. Kuvvetleri bir cisme etkiyen iç ve dış kuvvetler Dışkuvvetler herhangi bir anda cismin serbest parçası üzerine etki ederler. Cisme etkiyen bütün kuvvetlerle mesnetlerde oluşan reaksiyonlar dış kuvvetler olarak düşünülür. Cisme etkiyen yükler tekil veya yayılı kuvvetlerle kuvvet çiftleri olabilir. Eğer kuvvetin etkidiği alan elemanın boyutları ile kıyaslandığında küçük kalıyorsa kuvveti tekil kuvvet olarak kabul etmek mümkündür. Kütle ve yüzey kuvvetleri olarak iki farklı şekilde ortaya çıkarlar. Kütle kuvvetleri cismin içerisinde bir hacme veya kütle elemanına yayılı veya uzaktan etki ederler. Bunlarla bir hacme veya birim kütleye etki eden kütle kuvvetleri tanımlanacaktır. Yüzey kuvvetlerine gelince, bunlar serbest cismi çevreleyen yüzeye doğrudan doğruya veya başka bir cisim aracılığıyla ve genelde yayılı olarak etkirler. Bir cisme yayılı kütle ve yüzey kuvvetlerinin dışında yayılı kütle momentleri ve yayılı yüzey momentleride etki edebilir (manyetik bir alanın etkisi atındaki mıknatıs parçasında veya elektrik alan içinde polorize olmuş cisimlerde ortaya çıkarlar). Burada yayılı ve kütle momentleri dikkate alınmayacaktır. Cisme etkiyen yükler tekil veya yayılı kuvvetlerle kuvvet çiftleri olabilir. Eğer kuvvetin etkidiği alan elemanın boyutları ile kıyaslandığında küçük kalıyorsa kuvveti tekil kuvvet olarak kabul etmek mümkündür. Cisme yavaşça etki eden durağan yüklere statik yükler, aniden etkiyen yüklere de darbe yada çarpma yükleri denir. Yükün cisme binlerce defa etki edip kaldırılması ise tekrarlı yükleme olarak isimlendirilir. SI birim sisteminde kuvvet birimi newton (N), uygulamada çoğu zaman kilonewton (kn) olarak kullanılır.
İç Kuvvetler veya Kesit Zorları : Dış kuvvetlerin etkisi altında dengedeki elastik bir cismi matematiksel bir yüzeyle rasgele bir noktadan hayali bir yüzeyle ikiye ayıracak olursak; Ayrılan her bir parçanın ayırma yüzeylerinde yayılı karakterde ve bu parçaya gerçekte yapışık olan diğer parçanın molekülleri etkisiyle bir tür yüzey kuvveti etkir. Yayılı karakterdeki bu yüklere iç kuvvet denir. İç kuvvetlerin bileşkesi olan bu iki vektör (F R, M ro ) enkesite dik ve teğet doğrultulardaki bileşenlerine ayrılabilir. Bu yüzey üzerindeki bir O noktasına bu yüzey kuvvetleri eşdeğer bir kuvvet (F R ) ve kuvvet çifti (M Ro ) olarak indirgenebilir. Eğilme momenti bileşenleri Normal Kuvvet Burulma momenti Kesme Kuvveti Bileşenleri
Herhangi bir yapı elemanı kesit zorlarından bir veya bir kaçına veya tamamına aynı anda maruz kalabilir. Tasarımda her bir kesit zoru ayrı olarak ele alınıp çözüm yapılır. Daha sonra bulunan sonuçların uygun şekilde birleştirilmesiyle nihai çözüme ulaşılır. Dolayısıyla kesit zorlarıyla kesit zorları kullanılarak bulunan gerilme ve birim şekil değiştirmelerin hesaplanmasında kesim yöntemi ilk adım olarak karşımıza çıkmaktadır. Gerilme Kavramı: Ayrılan parçanın yüzeyi çok küçük diferansiyel alan elemanlarına bölünürse (DA), bu elemanlar oluşacak iç kuvvet DF olacaktır. Tüm yüzeydeki diferansiyel elemanlar için bileşke kuvvet (P = DF) olur. Sadece bu diferansiyel alanlardan bir DA alanı ve bu yüzeye etki eden DF kuvveti dikkate alındığında gerilme kavramı tanımlanabilir. Ancak, gerilmeler noktadan noktaya değişeceğinden, gerilme tanımı sonsuz küçük bir diferansiyel alan elemanıyla ilişkilendirilmelidir. Bu durumda gerilme bir noktadan geçen bir düzlem veya bir alan üzerine etki eden iç kuvvet yoğunluğunun bir ölçüsüdür ve aşağıdaki gibi ifade edilebilir. DF lim DA D A 0 df da P df da df da ort P A
DF lim DA D A 0 ort P A P A P A F 2 A F 2A Civatalar, perçinler ve pimler bağlantı (temas) noktalarında veya yatak yüzeylerinde gerilmeler meydana getirirler. Yüzeye etki eden kuvvetlerin bileşkesi pime etki eden kuvvete eşit ve zıt yöndedir. Yüzeye etki eden ortalama kuvvetin şiddeti yatak gerilmesi olarak adlandırılır. b P A P t d
Örnek 1: Şekildeki AB ve BC silindirik çubukları B kaynak edilerek birleştirilmiştir. Ortalama gerilmenin AB çubuğunda 175 MPa ve BC çubuğunda 150 MPa aşmaması gerektiğine dikkat ederek d 1 ve d 2 çaplarının emniyetli en küçük değerini belirleyiniz. Örnek 2: İki ahşap parça bir yapıştırıcı ile girinti ara yüzeylerinden birbirlerine bağlanmışlardır. Yapıştırıcıdaki ortalama kayma gerilmesi değeri 820 kpa değerine ulaştığında bağlantının koptuğu bilindiğine göre P=7.6 kn luk bir yükün bağlantı tarafından emniyetle taşınması için d mesafesi ne olmalıdır. Ahşap parçaların genişlikleri 22 mm dir.
Örnek 3: Şekildeki AB ve BC silindirik çubukları A ve C noktalarında aynı malzemeden yapılmış pimlerle birleştirilmiştir. Verilen yükleme durumu için AB çubuğu ve pimlerde oluşacak ortalama gerilmenin sırasıyla 125 MPa ve 45 MPa aşmaması gerektiğine dikkat ederek AB çubuğu ve C noktasındaki pimin çapını belirleyiniz. Not: C noktasındaki pim çift kesme yüküne maruzdur.
Örnek 4: Şekildeki ABC ve çubuğu B, C, D ve E noktalarında 8 mm x36 mm boyutunda dört dikdörtgen kesitli çubuk 16 mm çapında dört pimle birleştirilmiştir. ları BD hattındaki dikdörtgen kesitli çubuklarda oluşacak maksimum ortalama gerilmeyi ve pimlerde oluşacak maksimum kayma gerilmesini belirleyiniz. F BD /2 36 mm 8 mm =(F BD /2)/A F BD /2 Pim çapı 16 mm 1625/(160x10-6 ) 101,6 MPa
Ödev: Şekildeki askı sisteminde ABC kısmının üst parçası 10 mm alt parçaları 6 mm kalınlığındadır. Üst ve alt parçaları B noktasında yapıştırmak için epoksi reçine kullanılmıştır. A daki pim 10 mm ve C deki pim 6 mm çapındadır. Buna göre; a) A ve C pimlerindeki kayma gerilmelerini, b) ABC kısmındaki en büyük normal gerilmeyi, c) B deki yapışma yüzeylerindeki ortalama kayma gerilmesini, d) ABC kısmı için C noktasındaki yatak gerilmesini bulunuz. Emniyet Katsayısı: Yapısal elemanlar veya makine elemanları dizayn edilirken; çalışma şartlarındaki gerilmelerin, malzemenin taşıyabildiği gerilme (çekme mukavemeti- ultimate strength) değerinden daha düşük olmasına dikkat edilir. Neden emniyet katsayısı kullanılmalıdır? Malzeme özelliklerindeki belirsizlikler ve değişkenlikler Yüklemelerdeki belirsizlikler ve değişkenlikler Analizlerdeki hatalar (yanılmalar) ve belirsizlikler Tekrarlı yükleme durumları Hasar tipleri Malzeme üzerindeki bozucu etkiler ve onarım gereklilikleri Can ve mal güvenliği/emniyeti Makinenin fonksiyonelliği
Örnek 5: P=10 kn yük taşıyan bir halat 8 mm kalınlığındaki çelik bir plaka ile beton bir duvara bağlanmıştır. Çelik plakanın çekme mukavemeti 250 MPa, plaka ile beton arasındaki kayma çekme mukavemeti 2 MPa ve emniyet katsayısı n=3.6 olduğuna göre; yükün emniyetle taşınabileceği a ve b değerleri ne olmalıdır. Örnek 6: Şekilde görüldüğü gibi iki kuvvetle yüklenmiş L şeklindeki brakete B noktasında bağlanmış AB çelik çubuğunun çekme dayanımı 600 MPa olduğuna göre; a) güvenlik katsayısını 3,3 alarak d AB çapını belirleyiniz, b) C deki pim çelikten yapılmış olup maksimum kayma dayanımı 350 MPa ise güvenlik katsayısını 3,3 alarak çapını belirleyiniz. c) C noktasındaki yatak çelikten yapılmış olup dayanabileceği maksimum çekme dayanımı ise 450 MPa ise güvenlik katsayısını 1,5 alarak yatak kalınlığı t yi belirleyiniz.