2 LAPLACE VE TERS LAPLACE DÖNÜŞÜMÜ... 6 LİNEER ZAMANLA DEĞİŞMEYEN SİSTEMLER (LİNEAR TİME INVARİANT SYSTEMS (LTI))...

İçerik Tablosu KONTROL SİSTEMLERİNİN TEMELLERİ... 2 TEMELLERİ...2 LAPLACE VE TERS LAPLACE DÖNÜŞÜMÜ... 6 DÖNÜŞÜMÜ...6 LİNEER ZAMANLA DEĞİŞMEYEN SİSTEMLER (LİNEAR TİME INVARİANT SYSTEMS (LTI))... 8 (LTI))...8 SÜREKLİ ZAMAN TEK GİRİŞ TEK ÇIKIŞ SİSTEMLERİ (CONTİNUOUS TİME SİNGLE INPUT SİNGLE OUTPUT SYSTEMS (CT-SISO))... 10 (CT-SISO))...10 AYRIK ZAMAN TEK GİRİŞ TEK ÇIKIŞ SİSTEMİ (DİSCREATE TİME SİNGLE INPUT SİNGLE OUTPUT SYSTEM (DT-SISO))... 11 (DT-SISO))...11 TRANSFER FONKSİYONLARINA GECİKME EKLEME (TRANSFER FUNCTİONS WİTH TİME DELAY)... 12 DELAY)...12 KONTROL SİSTEMLERİNDE DURUM EŞİTLİKLERİNİN ANALİZİ... 12 ANALİZİ...12 BASAMAK VE DARBE TEPKİLERİ... 15 TEPKİLERİ...15 ASİMPTOTİK BODE GRAFİKLERİ... 17 GRAFİKLERİ...17 MATLAB LTI OBJELERİ... 19 OBJELERİ...19 MIMO VE SISO SİSTEMLERE GİRİŞ SİNYALİ UYGULAMA... 23 UYGULAMA...23 FİLTRE DEVRELERİ VE ÖZEL KONTROLÖRLER... 27 KONTROLÖRLER...27 YER KÖK EĞRİLERİ... 39 EĞRİLERİ...39 ROUTH HOURWİTZ KARARLILIK TESTİ... 49 TESTİ...49 NYQUİST KARARLILIK TESTİ VE GRAFİKLERİ... 51 GRAFİKLERİ...51 DOĞRUSAL İKİNCİ DERECEDEN DÜZENLEYİCİ KONTROLÖR (LİNEAR QUADRATİC REGULATOR (LQR))... 55 (LQR))...55 DOĞRU AKIM MOTOR KONTROLÜ, MODELLEME VE MATLAB SİMÜLASYONU...56...56 SİMULİNK ARACILIĞIYLA DOĞRU AKIM MOTOR MODELLEME VE SİMÜLASYON...71...71 SORULAR... 77 SORULAR...77 SORU ÇÖZÜMLERİ... 80 ÇÖZÜMLERİ...80 1/115

Kontrol Sistemlerinin Temelleri Kısaca elde edilmek istenen veriyi yada verileri düzenlemek ve kumanda etmek amacıyla bir araya gelmiş elemanlar topluluğuna kontrol sistemi (plant) denilir. Kontrol sistemleri günümüzde yaygın olarak birçok alanda kullanılmaktadır. İlgili olduğumuz kontrol sistemi elektriksel, mekanik, biyolojik, vb. olabilir. Sıcaklık kontrolü, geçiş kontrolü, arabada bulunan birçok sistem (şekil3`e bakınız), ve otomatik pilot kontrolü bunlara örnek verilebilir. Günümüzde elektriksel kontrol sistemlerinin merkezinde bulunan kontrolörler mikroişlemci, mikrodenetleyici, ve PLC`lerden oluşmaktadır. Girişler Çıkışlar Sistem Kontrolör Şekil1 Donanımsal olarak kontrol sisteminde bulunan elemanlar: 1. Kontrolör: mikroişlemci, mikrodenetleyici, yada PLC 2. Sensörler: takometre, ısıl çift, ışık duyarlılıklı direnç (LDR), fiber optik sensör, vb. 3. Analog devre elemanları: amplifikatör, osilatör, potansiyometre, seramik rezonatör, 4. Görüntü modülü: LCD, yedi parçalı ekran, bilgisayar 5. Çıkış elemanları: akuatör, DC motor, vb. Kontrolör'ün elemanları: 1. Analog dijital dönüştürücü: X bit ADC 2. Zamanlayıcı: gerçek zaman saati (RTC), Y bit zamanlayıcı, bekçi köpeği zamanlayıcısı, 3. Giriş çıkış portları: Genel amaçlı giriş çıkış pinleri 4. Seri ve paralel ve kablosuz iletişim modülleri: seri iletişim modülleri UART, SPI, I 2C, CAN, LIN, USB, Capture Compare PWM, JTAG, RS232, ethernet, vb.; kablosuz RF IEEE802.11a,b,g, ve n 5. Hafıza modülü: Flash, SRAM, DRAM, DMA Kontrol sistemleri giriş çıkış sinyalleri türlerine göre açık ve kapalı çevrim kontrol sistemleri olarak ikiye ayrılır. Açık çevrim kontrol sistemlerinde giriş işareti çıkıştan bağımsızdır. Buna trafik sinyalizasyon sistemi (eğer trafik yoğunluğunu dikkate almıyorsa) örnek verilebilir. Kapalı çevrim 2/115

kontrol sistemlerinde ise giriş işareti, bir referans işaretin çıkış işaretiyle toplamından yada farkından oluşmaktadır (fark hatayı e(t) göstermektedir) ve bu sistemler geri beslemeli sistemler olarak adlandırılır (şekil2). Alternatif akım motor hız kontrolü buna örnek verilebilir. Şekil4'e bakıldığında, motorun hızı, triak iletim açısı kontrol edilerek P1 üzerinden ayarlanmaktadır. Bu devrede R2 P1 ve C3 üzerinden bir geri besleme mevcut olup, motor yüke bindiği zaman zıt elektromotor kuvvet (EMK Lenz Yasası) azalıp gerilim düşeceğinden R2, P1, ve C3 üzerindeki gerilim artıp triak iletim açısı artırılmaktadır ve bu nedenle motor hızı arttırılmaktadır. r (t ) R(s) + ± e (t ) E ( s) K G(s) V ( s) K G ( s ) = R( s) 1 K G ( s) H ( s) H(s) Şekil2 Şekil3 3/115 v (t) V (s)

Şekil4 En basit anlamda eğer iki olay birbirini etkiliyorsa, geri besleme mevcuttur ve bir süreç içerisinde olaylar birbirlerini neden-sonuç ilişkisi içerisinde etkilemesine geri besleme denir. Isıtma sistemi, osilatör, ve biyolojik döngüler geri beslemeye örnek verilebilir. Geri besleme negatif veya pozitif formdadır. Negatif besleme kendini dengeleyen (örneğin negatif direnç devresi OPAMP), pozitif beslemeyse kendini arttıran bir etkiye sahiptir. Bundan dolayı geribeslemeli sistemlerin kararlılığı ayrı bir öneme sahiptir (Nyquist kararlılık testi, ileride bu konu işlenecekdir [2]). Şekil5 deki tristörlü doğru akım motoru, negatif beslemeye bir örnek olarak verilmiştir. Kontrol mühendisleri hedeflenen kontrol sistemini ilk olarak matematiksel olarak ortaya koyarlar. Matematikte başlangıç yada sınır değerleri bilinen lineer diferansiyel denklemleri çözmede Laplace dönüşümünü kullanırız. Benzer şekilde, diferansiyel denklemlerle ortaya konan kontrol sistemlerinin çözümlenmesinde Laplace dönüşümü kullanılmaktadır. Kompleks zaman domeni işlemleri, Laplace domeninde (s=g+jw) kolaylıkla yapılabilir. Kontrol sistemlerinin modellenmesinde Laplace dönüşümü aracılığıyla transfer fonksiyonu ve buna ek olarak durum denklemleri en yaygın yöntemlerdir. Transfer fonksiyonu yöntemi sadece doğrusal sistemler için kullanılmaktadır (zamanla değişen yada değişmeyen), yani LTI sistemler için de geçerlidir. PID (partial integrator and derivative) kontrolör ve DC motorun modellenmesi buna örnek olarak verilebilir. (bu konular ileride işlenecekdir) Kontrol sistemlerinde, sistem cevabı göz önünde bulundurulduğunda, (tanımlamaları değişmekle beraber) bazı sınırlamalar mevcuttur; 1. Sıfır yada minimum kalıcı hal hatası (zero or minimum steady-state response) 2. Gecikme zamanı Td sistem cevabınnın ulaşacağı son değerin yarısına ulaşması gereken zaman olarak tanımlanır. 3. En büyük aşım (overshoot): Birim basamak tepkisine ait çıkışın en yüksek değerinin en son değerinden çıkarıldıktan sonra elde edilir, yada en son çıkış değerine göre yüzde olarak belirtilir Mp. 4/115

4. Maksimum yükselme zamanı Tr (Maximum rise time): Birim basamak tepkisine ait çıkışın son değerinin %10 dan %90 a ulaşana kadar geçen süre. 5. Maksimum yerleşme zamanı Ts (Maximum settling time): Birim basamak tepkisine ait çıkışın izin verilen tolerans aralığına ulaşması için geçen süredir. 6. Kazanç ve faz marjinleri (Gain and phase margins): Sistem kazancının 0dB olduğu nokta kazanç geçiş frekansı (gain crossover frequency) ve fazın -180 olduğu nokta faz geçiş frekansı (phase crossover frequency) olarak adlandırılmaktadır. Kazanç marjini, faz geçiş frekansında sistemi kararsız olması için ne kadar kazanç değişikliği gerekli olduğunu göstermektedir. (yada kapalı çevrim sistemin kararlılığını bozmadan, açık çevrim sistemin kazancının ne kadar arttırılabileceğini göstermektedir) Benzer şekilde faz marjini, kazanç geçiş frekansında sistemin kararsız olması için ne kadar faz değişikliği gerekli olduğunu göstermektedir. (yada kapalı çevrim sistemin kararlılığını bozmadan, açık çevrim sistemin fazının ne kadar arttırılabileceğini göstermektedir) Tüm bu işlemler için bode grafikleri kullanılmaktadır. Konuyu daha iyi anlayabilmek için Matlab komut satırında margin_gui komutu yazarak kapalı çevrim bir sisteme ait kazanç ve faz marjinleri analizi yapılabilir. Bode grafikleri kısmında bu konu daha detaylı incelenecekdir. Bu sınırlamalar birim basamak tepkisine ait, geçiş durumu (transient) ve kalıcı durum (steady-state) süreçlerine bakarak elde edilir çünkü sisteme ait basamak cevabı kolaylıkla elde edilir. Zaten bir sistemin birim basamak girişine olan cevabı biliniyorsa, diğer giriş sinyallerine olan cevabı kolaylıkla bulunabilmektedir. Dizayn esnasında tüm bu yukarıda bahsi geçen limitasyonlar dikkate alınır. Buna ek olarak kontrol sistemlerinin kararlı olması gereklidir ve bunun için Routh-Hurwitz yada Nyquist testini uygularız (ileride bu konu işlenecekdir [2]). 5/115

Şekil5 Laplace ve Ters Laplace Dönüşümü Laplace ve ters Laplace dönüşümü aşağıdaki şekilde yapılabilir. Daha fazla örneğe bu linkden http://ekremd.home.uludag.edu.tr/pdf/uygulama1.pdf [6] erişebilirsiniz. syms t s laplace(dirac(t - 3), t, s) laplace(heaviside(t - pi), t, s) ilaplace(1/s,s,t) >> laplace ans = exp(-3*s) ans = exp(-pi*s)/s ans = 1 pretty(laplace(function,t,s)) komutu sonucun MATLAB Commmand Window'da aşağıdaki formatta 6/115

gösterilmesini sağlar. syms t s a w f=dirac(t-3)+heaviside(t-pi)+a*cos(w*t) F=laplace(f) pretty(f) f= dirac(t - 3) + heaviside(t - pi) + a*cos(t*w) F= exp(-3*s) + exp(-pi*s)/s + (a*s)/(s^2 + w^2) exp(-pi s) a s exp(-3 s) + ---------- + ------s 2 2 s +w [r p k] = residue(pay,payda) bir fonksiyonun, kısmi kesirlere ait çarpanlarını, kutuplarını, ve kalanlarını bulunmasını sağlar. Bu fonksiyon için Kalan sıfırdır. pay=[10 4]; payda=[12 40 50]; [r p k]= residue(pay,payda) r= 0.4167 + 0.4478i 0.4167-0.4478i p= -1.6667 + 1.1785i -1.6667-1.1785i k= 7/115

[] G s = 10 s 4 0.4167 0.4478i 0.4167 0.4478i = 12 s 40 s 50 s 1.6667 1.1785i s 1.6667 1.1785i 2 Diferansiyel ve integral formdaki bir fonkiyonun Laplace dönüşümü aşağıdaki şekilde bulunmaktadır. L f t =s F s f 0 L f t =s 2 F s s f 0 f 0 L f t =s 3 F s s 2 f 0 s f 0 f 0 L f t dt = F s s Lineer Zamanla Değişmeyen Sistemler (Linear Time Invariant Systems (LTI)) Bir sistemin LTI olabilmesi için lineerlik ve zamanla değişmeme özelliklerine sahip olması gereklidir. Lineerlik ve zamanla değişmeme özelliği aşağıdaki gibidir. a1 x 1 t a1 y1 t a2 x 2 t a2 y 2 t a1 x 1 t a2 x 2 t a1 y 1 t a2 y 2 t ; lineerlik x 1 t T y 1 t T ; zamanla değişmeme LTI sistemleri zaman ve frekans domeninde olmak üzere iki şekilde gösterebiliriz. Aşağıda zaman ve frekans domeni ilişkisi gösterilmektedir. Yukarıdaki işlemler her iki taraftaki ifadelerin Laplace transformu alınarak, frekans domenindede yapılabilir. h(t) sistemin darbe tepkisidir, H(s) sistemin transfer fonksiyonudur. 8/115

x 1 t * h t = y 1 t y a d a X 1 s H s =Y 1 s. * k o n v o lu syo n g ö s t e r m e k t e d ir. Örnek olarak orantısal operatör (P), türev operatörü (D), integral operatörü (I), ve RLC devresinin oluşturduğu lineer homojen diferansiyel denklem birer LTI sistemdir (soru3). Sıfır olmayan başlangıç değerleri ve DC offset bir sistemin doğrusallığını bozar ve doğrusal olmayan sistem olarak adlandırılır. Bundan dolayı ilgilendiğimiz sistemlerde başlangıç değerlerini yada DC offseti sıfır kabul ederiz. İleride göreceğimiz transfer fonksiyonu yöntemini sadece doğrusal sistemlere uygulayabilir, fakat durum eşitlikleri yöntemini başlangıç koşulları yada DC offset verildiğinde dahi uygulayabiliriz. Daha iyi kavrayabilmek açısından aşağıdaki örneklere bakalım. V out =V in V dc V dc =1V, V in1 =5V ve V in2 =3V için V out1 =V in1 1=5 1=6 3 V out1 3 V in1 1 18 16 V out1 =5 1=6 V out2=3 1=4 V out1, 2=5 3 1=9 V out1 V out2 =6 4=10 DC offset ' den dolayı Zamanla değişme ve doğrusallık özelliğini daha iyi anlayabilmek için aşağıdaki anahtarlama devresini örnek verebiliriz (RF mikser, teorik eşdeğeri şematik devresi aşağıda verilmişdir). Anahtar girişi Vin1(t) fonksiyonu tarafından sürülmektedir ve giriş sinyali Vin2(t) sinyalidir. Anahtarı süren sinyalin değeri sıfırdan büyük ise Vout(t)=Vin2(t) olur, aksi takdirde sıfırdır. V out t =V in2 t s t ; V in1 t =A 1 cos w1 t, V in2 t = A 2 cos w2 t, s t =u V in1 t Eğer ilgilendiğimiz giriş sinyali Vin1(t) yada s(t)=u(vin1(t)) ise sistem doğrusal değildir çünkü Vin1(t) genliği yada s(t)'nin genliğini değiştirmek sistem çıkışında hiçbir değişiklik yapmamakatdır ve bundan dolayı lineerlik şartının ölçekleme özelliğini taşımamaktadır. Bu sistem ayrıca zamanla değişmektedir çünkü Vin1(t) pozitif iken Vout(t)=Vin2(t), fakat Vin1(t) pozitif iken Vout(t)=0 dır yani Vout(tτ) Vin2(t-τ). (Basitçe Out(t)=t*in(t) gibi bir sistem zamanla değişmektedir.) Yani Vin1(t) yada s(t) referans alındığında sistem doğrusal değildir ve zamanla değişmektedir. Diğer tarafdan Vin2(t) dikkate alındığında, Vin2(t)'de genlik değişimi aynı şekilde çıkışa Vout(t) görülmektedir ve Vin2(t) ait iki sinyalin toplamı gene aynı şekilde çıkışda Vout(t)'da görülmektedir bundan dolayı ölçekleme ve süperpozisyon koşullarının tümünü sağlamaktadır ve sistem sistem doğrusaldır. Fakat sistem Vin2(t) dikkate alındığında da zamanla Vin1(t) etkisinden dolayı zamanla değişmektedir. Sonuç olarak aşağıdaki transfer fonksiyonu yazılabilir. Aynı durumu Vin1(t) için söylemek mümkün değildir çünkü doğrusal olmadığından dolayı transfer fonksiyonunu yazılamaz. v out t V out s =s t =S s v in2 t V in2 s Sonuç olarak transfer fonksiyonunu doğrusal sistemler için kullanmaktayız, zamanla değişip değişmemesi önemli değildir. Durum eşitlikleri yöntemi doğrusal yada doğrusal olmayan sistemlerin tümüne uygulanabilmektedir. 9/115

10/115

Sürekli ve ayrık zaman LTI sistemleri benzer özelliklere sahiptir. Ayrık zamanlı sistemler için gösterim () yerine [] şeklinde yapılmaktadır. Sürekli Zaman Tek Giriş Tek Çıkış Sistemleri (Continuous Time Single Input Single Output Systems (CT-SISO)) Matlab Polinom Formu; G s = N s s Laplacedeğişkeni, N s ve D s pay ve payda polinomu D s 11/115

s G=tf pay, payda sisteme ait transfer fonksiyonu s 2 s 1 s G s = 2 için G=tf [1 0],[1 21] ; yada s=tf ' s ' ; G=s s ^ 2 2 * s 1 ; s 2 s 1 Sıfır, Kutup, ve Kazanç Formu; G s = 2 s z 1 s z 2 s z n G s =k s Laplace değişkeni,k reel yada sanal değerli kazanç s p1 s p 2 s pn z 1 z n G s transfer fonksiyonuna ait reel yada sanal konjuge çifti olan sıfırlar, N s kökleri p1 pn G s transfer fonksiyonuna ait reel yada sanal konjuge çifti olan kutuplar, D s kökleri G=zpk sıfır, kutup, kazanç sisteme ait transfer fonksiyonu sıfır kutupkazanç formunda G s = s için G=zpk [0 ],[ 1 1],[1] ; yada s=zpk ' s ' ; G=s / s 1 2 ; 2 s 1 Ayrık Zaman Tek Giriş Tek Çıkış Sistemi (Discreate Time Single Input Single Output System (DT-SISO)) Matlab Polinom Formu; G z = N z z ayrık zaman değişkeni, N z ve D z pay ve payda polinomu D z G z = z G=tf pay, payda, örnekleme periyodu sisteme ait transfer fonksiyonu z 2 z 6 G z = z için G=tf [1 0 ],[1 2 6], 0.1 ; yada z=tf ' z ',0.1 ; G=z / z ^ 2 2 z 6 ; z 2 z 6 2 2 Sıfır, Kutup, ve Kazanç Formu örneği; z G z = için G=zpk [0 ],[ 2 3],[1], 0.1 ; yada z=zpk ' z ', 0.1 ; G=z / z 2 z 6 ; z 2 z 3 Bunlara benzer şekilde ayrık zaman MIMO (Multiple Input Multiple Output) sistemlere ait transfer fonksiyonları oluşturulabilir. Detaylı bilgi için Matlab Help kısmına bakabilirisiniz. Biz sürekli zaman kontrol sistemleriyle ilgileneceğiz. 12/115

Transfer Fonksiyonlarına Gecikme Ekleme (Transfer Functions with Time Delay) Matlab'da bir transfer fonksiyonunu herbir giriş çıkış kanalı üzerinde gecikme belirleyerek gösterebilirsiniz. SISO sisteme ait saniye cinsinden gecikme: tf yada zpk objelerine ait iodelay özelliği değiştirilir. G=tf [1 1],[1 5 3] ; G.ioDelay=2 ; MIMO sisteme ait saniye cinsinden gecikme: tf yada zpk objelerine ait iodelay özelliği değiştirilir. s = tf('s'); sys=[2/s (s+1)/(s+10); 10 (s-1)/(s+5)]; tau=[0.1 0.3; 0 0.2]; sys.iodelay=tau; Sonuç Transfer Fonksiyonu... Birinci giriş için #1: exp(-0.1*s) * 2/s #2: 10 İkinci giriş için #1: exp(-0.3*s) * (s+1)/(s+10) #2: exp(-0.2*s) * (s-1)/(s+5) Kontrol Sistemlerinde Durum Eşitliklerinin Analizi Herbir kontrol sistemi transfer fonksiyonu yada durum eşitlikleri şeklinde gösterilebilir. Tekrar hatırlamak gerekirse transfer fonksiyonu yöntemi sadece lineer sistemler için geçerlidir, LTI sistemler gibi. Durum eşitlikleriyse doğrusal yada doğrusal olmayan sistemlerin tümüne uygulanabilir. Sistem bu duruma indirgendiğinde sistem MATLAB'da ss (state space) objesi aracılığıyla kolaylıkla çözümlenebilir. x durum matrisi, u giriş matrisi ve y çıkış matrisidir. x = A x B u ; y=c x D u ; Aşağıda bu matrislerin büyüklükleri gösterilmiştir. Ayrıca Simulink den aşağıda gösterilen blok seçilerek aynı işlemler yapılabilir. 13/115

[ ] [ ][ ] [ ][ ] x 1 x u = 5 1 1 1 0 1 2 3 2 3 x 2 x2 u2 [ ] [ ][ ] y= [2 0 ] x1 u 0 0 1 x2 u2 A=[5 1;2 3]; B=[1 0;10 1]; C=[2 0]; D=[0 0]; ss(a,b,c,d) ans = a= x1 x2 x1 5 1 x2 2 3 b= u1 u2 x1 1 0 x2 10 1 c= x1 x2 y1 2 0 d= u1 u2 y1 0 0 Continuous-time model. State-space model with 1 outputs, 2 inputs, and 2 states. ss objesi herhangibir dinamik sisteme ait modeli durum eşitlikleri formuna dönüştürmektedir. Transfer fonksiyonuna ait pay ve paydadan durum eşitliklerine ait bilgiler elde edilebilir, ve bunun terside Matlab da yapılabilir. Aşağıda iki transfer fonksiyonu durum eşitlikleri kullanılarak bulunmuşdur. 14/115

A=[5 1;2 3]; B=[1 0;10 1]; C=[2 0]; D=[0 0]; [num1,den1]=ss2tf(a,b,c,d,1) [num2,den2]=ss2tf(a,b,c,d,2) num1 = 0 2.0000 14.0000 den1 = 1-8 13 num2 = 0 0 2 den2 = 1-8 13 G1 s = Y s 2 s 14 = U 1 s s 2 8 s 13 G 2 s = Y s 2 = U 2 s s 2 8 s 13 Ayrıca transfer fonksiyonu verilen bir MIMO sistemin state-space modeline ait bilgiler aşağıdaki şekilde elde edilebilir. G1 (s )= Y 1 (s) U (s) [ G2 (s )= Y 2 ( s) İki çıkış bir girişli sistem için verilmiş ise, U ( s) s+1 s +3 s 2+3 s +2 H ( s)= s 2 +3 s 2 +s +1 3 ] H = [tf([1 1],[1 3 3 2]) ; tf([1 0 3],[1 1 1])]; sys = ss(h) % Noktalı virgül olmadığına dikkat ediniz. size(sys) Çıktı aşağıdaki gibidir. Ara işlemleri görmek için noktalı virgülü kaldırmak gerektiğine dikkat ediniz. a= x1 x1 x2 x3 x4-3 -1.5-1 0 x5 0 15/115

x2 x3 x4 x5 2 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0-1 1 0 0-1 0 b= u1 1 0 0 2 0 x1 x2 x3 x4 x5 c= y1 y2 x1 x2 x3 x4 0 0.5 0.5 0 0 0 0-0.5 x5 0 1 d= u1 y1 0 y2 1 Continuous-time model. State-space model with 2 outputs, 1 inputs, and 5 states. Basamak ve Darbe Tepkileri G(s) transfer fonksiyonuna ait, basamak fonksiyonun tepkisi aşağıdaki şekilde Matlab da bulunur. Step fonksiyonu sisteme birim basamak fonksiyonunu uygulamaktadır. Zaman domeninde konvolüsyon yerine, frekans domeninde bu işlemin yapıldığını ve bulunan sonucun zaman domenine dönüştürülerek fonksiyonun bulunduğunu ve grafiğinin çizildiğini düşünebilirsiniz. Sizde sisteme ait parametrelerin sınırlamaları karşılayıp karşılamadığını bulmak için grafiğin üzerinden herhangibir andaki genlik değerini seçerek bulabilirsiniz. 5 s G s = 2 s 2 s 5 clc 16/115

num=[0 0 5]; den=[1 2 5]; step(num,den) grid title('basamak Fonksiyonu Tepkisi') Şekil6 Darbe tepkisi için impulse(g(s)) fonksiyonu kullanılmaktadır. impulse(tf) fonksiyonu darbe tepkisine ait grafiği çizer, parametresi transfer fonksiyonu, yada LTI objesidir. clc num=[0 0 5]; den=[1 2 5]; figure; grid 17/115

title('darbe Fonksiyonu Tepkisi') impulse(num,den) Sistemin darbe tepkisi şekil7 deki gibi olur. Şekil7 Asimptotik Bode Grafikleri Bir LTI sisteme ait transfer fonksiyonunun frekansla değişimi (frequency sweep) nasıldır sorusunun cevabını bu grafikler vermektedir. Düşey eksende genlik db cinsinden ve faz açısını derece olarak -180 +180 (yada 0 360) arasında gösteren, ve yatay eksende frekansı temsil eden belirli bir değerden itibaren logaritmik olarak arttırılan iki grafik vardır. Daha yüksek ve düşük genliğin elde edildiği frekans bölgesinin yanında, bu grafiklerde asimptotlar ve genlik yada fazın 1.414 arttığı yada 0.707 azaldığı, gücünde iki katı arttığı yada azaldığı kesim yada kırılma frekansı olarak adlandırılan +yada-3 db noktaları önemlidir. 18/115

H ( s), s= j w H ( j w) ang( H ( j w)) H ( j w) db=20 log 10 ( H ( j w) ) s=jw için genlik ve faz değişimi elde edildiğinden bode grafiklerinde durağan hal tepkisi elde edilir. (Sönümleme sabiti 0 alınmıştır.) G s = 100 s2 50 s 5 s 2 2 s 5 % yuksek geciren filtre clc num=[100 50 5]; den=[1 2 5]; bode(num,den); Şekil8 19/115

Matlab LTI Objeleri MATLAB'da Control System Toolbox LTI objelerini dinamik sistemlerle ilgili verileri saklamak için kullanmaktadır. Bu sistemleri göstermek için kullanılan dört ss, tf, zpk ve frd (frequency response data models, sisteme ait örneklenmiş frekans tepkilerinden oluşmaktadır) objeleri yaklaşık olarak aynı özelliklere sahipdir. Bu LTI objeleri aracılığıyla bir sisteme ait tüm veriler kolaylıkla manipüle edilebilmektedir. Bir LTI model objesine ait özelliği değiştirmek için, bir fonksiyonun parametresi gibi yazılıp virgül koyulduktan sonra değeri atanabilir yada set komutu aracılığıyla istenilen veri değiştirilir. Format aşağıdaki gibidir. 'PropertyName',PropertyValue sys = ss(a,b,c,d,'property1',value1,...,'propertyn',valuen) set(sys,'property1',value1,...,'propertyn',valuen) E x = A x B u ; y=c x D u ; ss objesinin bazı özellikleri aşağıda verilmiştir. a,b,c,d,e: Durum denklemlerine ait matrisler. E (implicit descriptor) default olarak [] dır. Daha önceden belirtildiği gibi A Nx Nx, B Nx Nu, C Ny Nx, D Ny Nu, ve E Nx Nx ölçülerde matrislerdir. sys = ss(a,b,c,d) Örneğin: A matrisine newmaris verisini atamak için; sys.a=newmaris Scaled: Nümerik doğruluğu sağlamak için sistemin ölçeklenip ölçeklenmediğini yazar, 1 yada 0 dır. StateName: Durumların isimleri atanır, string dizisidir. StateUnit: Durumların birimleri atanır, string dizisidir. InternalDelay: Sistemin iç kısımlarına ait gecikmelerin tutulduğu vektördür. Örneğin, sistemleri paralel, seri, yada kapalı döngüde bağlarken gecikme eklenmek istendiğinde kulanılır. InputDelay: Herbir giriş kanalına ait gecikmelerin tutulduğu vektördür (Nx by 1). OutputDelay: Herbir çıkış kanalına ait gecikmelerin tutulduğu vektördür (Ny by 1). Ts: Ayrık zamanlı sisemler için örnekleme periyodu, nümerik bir değerdir. Sürekli zaman için sıfırdır. sys = ss(a,b,c,d,ts) TimeUnit: Zaman değişkeninin birimini göstermektedir, stringdir. 'nanoseconds', 'hours', 'weeks', 'years' vb. InputName: Girişlere isim ataması yapılabilir, stringdir. Örnek kullanım; sys.inputname = 'controls'; InputUnit: Girişlere birim ataması yapılabilir, stringdir. InputGroup: MIMO sistemlerde girişler guruplandırılarak işlemler yapılabilir, struct dır. Örnek kullanım; 20/115

sys.inputgroup.controls = [1 2]; sys.inputgroup.noise = [3 5]; 1 ve 2 girişler control olarak, 3 ve 5 girişler noise olarak adlandırılmıştır. sys(:,'controls') sistemin controls girişlerinden tüm çıkışlarına ait alt sistemin çıkarılması. OutputName: Çıkışlara isim ataması yapılabilir, string dir. OutputUnit: Çıkışlara birim ataması yapılabilir, string dir. OutputGroup: MIMO sistemlerde Çıkışlar guruplandırılarak işlemler yapılabilir, struct dır. Örnek kıllanım; sys.outputgroup.temperature=[1]; sys.outputgroup.measurement = [3 5]; sys('measurement',:) tüm girişlerden measurement çıkışlarına ait alt sistem çıkarılması Name: Sisteme isim ataması, string dir. Notes: Sistemle ilgili her türlü notlardır. UserData: Sistemle alakalı Matlab veri yapısıdır. Aşağıdaki pencerde dcm adlı ss objesine ait örnek verilmiştir. Matlab workspaceden objelere ait tüm veri yapılarına değerleriyle ulaşabilirsiniz. Ayrıca dcm(1,1) <1x1 ss> ss üzerine tıkladığınızda ss objesine ait tüm açıklama Matlab Help ekranından görülebilir. Ss objesine ait kullanım şekli aşağıdadır. - sys = ss(a,b,c,d,ltisys) sys objesi, ltisys objesine ait özellikleri miras edinmişdir. (aynı özelliklere sahipdir) - sys_ss = ss(sys) sys adlı dinamik sistem modelini sys_ss durum eşitlikleri modeline dönüştürmektedir. - sys_ss = ss(sys,'minimal') sys adlı dinamik sistem modelini sys_ss durum eşitlikleri modeline minimum durum desğişkeni olacak şekilde dönüştürmektedir. (Aşağıda örnek verilmişdir.) - sys_ss = ss(sys,'explicit') sys adlı dinamik sistem modelini E=I (idendity matris) durumnda iken durum eşitlikleri modeline dönüştürmektedir. (Aşağıda örnek verilmişdir.) y t =G u t H e t gibi bir lineer model u t ölçülmüş measured giriş kanalları, e t gürültü noise kanallarını temsil etmektedir - sys_ss = ss(sys, 'measured') sys adlı lineer modelin ölçülmüş (measured) bileşenlerini durum eşitlikleri haline dönüştürmektedir. sys_ss y(t) ile u(t) arasındaki ilişkiyi temsil etmektedir. - sys_ss = ss(sys, 'noise') sys adlı lineer modelin gürültü (noise) bileşenlerini durum eşitlikleri haline dönüştürmektedir. sys_ss 21/115

y(t) ile e(t) arasındaki ilişkiyi temsil etmektedir. - sys_ss = ss(sys, 'augmented') sys adlı lineer modelin ölçülmüş (measured) ve gürültü (noise) bileşenlerini durum eşitlikleri haline dönüştürmektedir. sys_ss y(t) ile u(t) ve e(t) arasındaki ilişkiyi temsil etmektedir. Aşağıda iki sistemin bode grafikleri aracığıyla aynı olduğu gösterilmiştir. ex'= ax+bu ve y=cx+du a = [2-4; 4 2]; b = [-1; 0.5]; c = [-0.5, -2]; d = [-1]; e = [1 0; -3 0.5]; % Create a descriptor state-space model. sys1 = dss(a,b,c,d,e); % Compute an explicit realization. sys2 = ss(sys1,'explicit') bode(sys1,sys2) >> bode_plot sys2 = a= x1 x2 x1 2-4 x2 20-20 b= u1 x1-1 x2-5 c= x1 x2 y1-0.5-2 d= u1 y1-1 Continuous-time state-space model. State-space model with 1 outputs, 1 inputs, and 2 states. 22/115

Şekil9 G s = Y s =C s I A 1 B D x 0 =0 için X s tf, zpk, frd objeleri için MATLAb help browser'ında tf object, zpk object, frd object yazarak daha detaylı bilgi elde edebilirsiniz. ss objesi herhangibir dinamik sisteme ait modeli durum eşitlikleri formuna dönüştürdüğünü söylemiştik. 'min' parametresi kullanılarak sistemi mümkün olan en az durum değişkeniyle ortaya koyabiliriz. G1 s = Y 1 s U s [ G2 s = Y 2 s Daha önce verilen İki çıkış bir girişli sistem için U s s 1 s 3 s 2 3 s 2 H s = s 2 3 s2 s 1 3 ] H = [tf([1 1],[1 3 3 2]); tf([1 0 3],[1 1 1])]; sys = ss(h,'min') 23/115

size(sys) sys = a= x1 x2 x3 x1-1.759-0.9983 0.3109 x2-0.2439-1.281-1.018 x3-0.05064 1.077 0.03966 b= u1 x1 0.2105 x2 2.226 x3 0.03609 c= x1 x2 x3 y1-0.1494 0.009761 0.2694 y2 0.1787-0.4801 0.8588 d= u1 y1 0 y2 1 Continuous-time state-space model. State-space model with 2 outputs, 1 inputs, and 3 states. MIMO ve SISO Sistemlere Giriş Sinyali Uygulama Bir MIMO sistem'e, istenilen herhangi bir giriş sinyali uygulamak için lsimplot fonksiyonu kullanılır. Belirlenen zaman aralığında ve adımlarla giriş sinyali uygulanır. u matrisi, sistemin giriş sayısı x t matrisi sütun sayısı ölçülerindedir. ss objesi herhangi bir LTI objesidir. t matrisi istediğimiz zaman aralığını belirlenen adımlarla göstermektedir. Doğru akım motor örneğinde bu fonksiyonun daha detaylı uygulamasını göreceğiz. lsimplot() fonksiyonu default olarak durum değişkenlerini başlangıç koşulunda 0 kabul ederek grafikleri oluşturur 24/115

lsimplot(ltiobjesi, u, t); Daha önce bahsedildiği üzere transfer fonksiyonuna ait frekans cevabı (bode grafiği) belirli bir frekans aralığındaki, genlik (db) ve faz (derece) olarak elde edilir. Giriş sinyaline ait Laplace dönüşümü kolaylıkla yapılabiliyorsa, ilgili frekansda transfer fonksiyonuna ve giriş sinyaline ait Laplace dönüşümleri çarpıldıktan sonra çıkışa ait genlik db cinsinden ve faz da derece cinsinden bulunabilir. Yada Giriş sinyaline ve transfer fonksiyonuna ait db cinsinden genlikler ve derece cinsinden fazlar mevcutsa, çıkışa ait değerleri bulmak için toplamları alınarak Kalıcı durum tepkisine ait bilgiler elde edilir. Buradanda anlaşılacağı üzere bode grafikleri geçici durum cevabı hakkında bilgi vermemektedir. X (s) H ( s)=y (s ) s= j w X ( j w) H ( j w )=Y ( j w) Y ( j w)db=20 log 10 ( Y ( j w) ) ang (Y ( j w)) X s H s =Y s s= j w Y j w db=20 log 10 X j w 20 log 10 H j w ang Y j w =ang X j w ang H j w Bir sinyal için 4 önemli parametre vardır. Sinyalin türü (kare, testere, yada üçgen dalga gibi), genliği, frekansı, ve faz farkı. Eğer giriş sinyalini Laplace dönüşümüyle ortaya koymak zor ise, bu noktada Fourier dönüşümünü hatırlamak gereklidir. Bu teoreme göre, herhangi bir sinyal değişik frekanslarda sinüs sinyallerinin toplamı olarak ifade edilebilir. Sinyali oluşturan bileşenler bilindiğinde, yani herbir bileşene ait frekans ve genlik bilgileri bilindiğinde, bode grafiğine bakarak durağan haldeki çıkış sinyalini elde edebiliriz. Aslında bir sinyali oluşturmak için bir kaç tane sinüs bileşeni kullanmak yeterlidir. Şekil10'da kare dalga için bu durum ortaya konulmuş ve 4 sinüs sinyali kullanılmıştır. sin n wc 4 y= n Şekil10 25/115

MATLAB'da geçici hal ve durağan hal tepkisi arasındaki farkı kolayca görebiliriz. Durum eşitlikleriyle grafiği oluşturulan çıkış sinyali geçici durum tepkisini ortaya koymaktayken (yeşil çizgiler), bode grafiğiyle oluşturulan çıkış sinyali sadece durağan hal tepkisini ortaya koymaktadır (kırmızı noktalar). (şekil11 bakınız) clc; num=[1 5]; den=[1 2 3]; s=tf(num,den); t=[0:0.05:20]; u=5*cos(2*t+pi/6); y=lsim(num,den,u,t); [mag,phase]=bode(num,den,2) yss=5*mag*cos(2*t+(30+phase)*pi/180); plot(t,u,t,y,'--',t,yss,'.'); % t>1.8 civarinda duragan hal cevabina ulasir % ayni sonuc elde edilebilir figure(); lsimplot(s,u,t); 26/115

Şekil11 Birden fazla frekansa sahip giriş sinyali uygulandığında yukarıda anlatıldığı gibi herbir sinyal için sistem çıkışındaki sinyaller hesaplandıktan sonra net çıkış tüm sinyallerin toplamı olarak bulunur. % Alcak geciren filtre clc; num=[0.5 20]; den=[1 1]; s=tf(num,den); bode(num,den) fıgure(); t=[0:0.05:20]; u=sin(0.1*t)+cos(0.5*t+pi/4)-sin(13*t-pi/6); y=lsim(num,den,u,t); frekans=[0.1 0.5 13]; 27/115

[mag,phase]=bode(num,den,frekans) yss=mag(1,1)*sin(0.1*t+phase(1,1)*pi/180)+mag(2,1)*cos(0.5*t+pi/4+phase(2,1)*pi/180)mag(3,1)*sin(13*t-pi/6+phase(3,1)*pi/180); figure(); plot(t,u,t,y,' ',t,yss,'.'); Şekil12 Daha önce bahsedildiği gibi bode grafiklerinden sistemin kararlılığı hakkında fikir edinebiliriz. Konuyu daha iyi anlayabilmek için Matlab komut satırında margin_gui komutu yazarak kapalı çevrim bir sisteme ait kazanç ve faz marjinleri analizi yapılabilir. Bir sisteme ait kazanç ve faz marjinleri [Gm, Pm, Wgm, Wpm]=Margin(sys) fonksiyonuyla elde edilebilir. Filtre Devreleri ve Özel Kontrolörler Pasif RLC elemanlarıyla gerçeklenebilen P, I, PD, PI, PID, faz ilerlemeli, faz gerilemeli kontrolör tasarımları, alçak geçiren, yüksek geçiren, band geçiren, ve çentik filtreleri tasarımları aktif eleman Opamp aşağıda verilmişdir. Devre şekli, birinci veya ikinci dereceden denklemler ve niçin kullanıldıkları bu kontrolörleri ortaya koyabilmek açısından yeterlidir ve elektriksel analizlerin tümü s domeninde kolaylıkla yapılabilir. Pasif RLC elemanlarıyla yapılan kontrolörler ve filtreler MATLAB Command Window kısmında rlc_gui yazılarak bulunabilir. P tipi kontrolör: Sistem kazancını ayarlar. Pasif elemanlarla gerilim bölücü yada 28/115

potansiyometre ile gerçeklenebilir. R R K= 4 2 =K p R3 R1 OPAMP'la P Tipi kontrölör I tipi kontrolör: Sisteme sıfırda bir kutup ekleyerek sürekli rejim hatasını azaltmaya çalışır. kazancını ayarlar. Kondansatör yada bobin ile gerçeklenebilir. R4 1 K Ki = = R3 R 1 C2 s s s OPAMP'la I Tipi kontrölör 29/115

PD tipi kontrolör: Sisteme bir sıfır ekleyerek geçici hal tepkisini geliştirir. Kondansatör yada bobin ve dirençle gerçeklenebilir. R4 R2 R C s 1=K s 1 =K p K d s R3 R 1 1 1 OPAMP'la PD Tipi kontrölör PI tipi kontrolör: Sisteme sıfırda bir kutup ve sıfıra yakın bir sıfır ekleyerek kalıcı hal hatasını azaltmaya çalışır. Kondansatör yada bobin ve dirençle gerçeklenebilir. R 4 R 2 R2 C 2 s 1 K s 1 K = =K p i R3 R 1 R 2 C2 s s s 30/115

OPAMP'la PI Tipi kontrölör PID tipi kontrolör: Sisteme sıfırda bir kutup ve sıfıra yakın bir sıfır ekleyerek kalıcı hal hatasını azaltmaya çalışır ve iki sıfır ekleyerek geçici hal tepkisini geliştirir. Kondansatör yada bobin ve dirençle gerçeklenebilir. R 4 R 2 R1 C 1 s 1 R 2 C2 s 1 K i s 1 g s 1 K = =K p K d s i R3 R 1 R2 C 2 s s s OPAMP'la PID Tipi kontrölör Alçak Geçiren Filtre: 0 ile kesim frekansı (fh) arasında yüksek ve hemen hemen sabit bir kazanç vardır. Kesim frekansında, kazanç 3 db azalır. Birinci dereceden alçak geçiren filtrenin 31/115

transfer fonksiyonu verilmişdir. Wc kesim frekansıdır. 1 R2 C K = 1 s+w c s+ R1 C OPAMP'la Alçak Geçiren Filtre 32/115

R1 s R2 K s = 1 s +w c s+ R2 C Yüksek Geçiren Filtre: Kesim frekansından daha büyük frekanslardan kesim frekansı (fl) arasında yüksek ve hemen hemen sabit bir kazanç vardır. Kesim frekansında, kazanç 3 db azalır. Birinci dereceden yüksek geçiren filtrenin transfer fonksiyonu verilmişdir. Wc kesim frekansıdır. R s s 1 =K R2 1 s+w c s+ R 2 C OPAMP'la Yüksek Geçiren Filtre 33/115

Band Geçiren Filtre: Sadece belirli frekans aralığını geçirir, bu aralık kesim frekansları (fl,fh) arasıdır. Band genişliği β = fh -fl. Wc kesim frekansıdır. f0 merkez frekansdır. s R C 1 1 1 2 1 [ ]= R2 C 1 1 1 1 1 1 s s s2 R 2 C2 R 1 C1 R2 C 2 R1 C 1 R1 R2 C 1 C2 K s = 2 s s w 20 1 1 1 1 f 0= = 2 R2 C 2 R1 C 1 2 R1 R2 C 1 C2 34/115

OPAMP'la Band Geçiren Filtre Faz İlerlemeli yada Gerilemeli Kontrolör: Eğer faz gerilemeli kontrolör kullanılırsa sisteme sıfıra yakın bir kutup ve kutbun soluna bir sıfır ekleyerek kalıcı hal hatasını yok etmeye çalışır, bundan dolayı I tipi kontrolöre benzer. Eğer faz ilerlemeli kontrolör kullanılırsa sisteme bir kutup ve kutbun sağına bir sıfır ekleyerek geçici hal cevabını geliştirir, bundan dolayı D tipi kontrolöre benzer. Bu tip kontrolörlerde sıfır ve kutupların yerleri ve aralarındaki mesafe sistem 35/115

tepkisi açısından önemtaşımaktadır. Pasif elemanlarla RLC devresiyle tasarlanabilir. Basitçe transfer fonksiyonu aşağıaki gibidir. s z z p fazilerlemeli kontrolör z p faz gerilemeli kontrolör s p R f R 4 R1 C s 1 1 s 1 =K faz ilerlemeli R3 R 1 R2 C s R1 R 2 2 s 1 Faz ilerlemeli Kontrolör R 5 R2 R3 C s R 2 R3 1 s 1 =K faz gerilemeli R 1 R4 R2 C s 1 2 s 1 Faz gerilemeli Kontrolör 36/115

Faz ilerlemeli-gerileme kontrolör yukarıdaki iki tip kontrolörün seri bağlanmasıyla oluşturulmaktadır. Tüm bu kontrolörlerde sıfır ve kutupların yerleri, aralarındaki mesafe, ve sanal eksene olan uzaklığı sistem tepkisi açısından önem taşımaktadır. İleride göreceğimiz yer kök eğrileri yöntemiyle değişik kutup ve sıfır değerleri için sistem tepkisini karşılaştırabilirsiniz. Pasif RLC elemanlarıyla yapılan kontrolörler ve filtreler MATLAB Command Window kısmında rlc_gui yazılarak bulunabilir. Aşağıda grafik arayüzler gösterilmişdir. Çıkarılan Sonuçlar 1. Geçici hal tepkisini geliştirmek için, faz ilerlemeli yada PD kontrolör kullanılır. 2. Kalıcı hal hatasını azaltmak için, faz gecikmeli yada PI kontrolör kullanılır. 3. Hem geçici hal cevabı ve kalıcı hal hatası azaltılmak istenirse PID yada faz ilerletici-geriletici (iki birlikde) kontrolör kullanılmalıdır. Kont. Etkileri Geçici hal tepkisi (Tr ve Ts) Kalıcı hal tepkisi En büyük aşım Mp Sönüm (σ) Band genişliği (β) PI PD Arttırır Azaltır PID İstenilen Hatayı Arttırır değerler katsayılarla Azaltır Azaltır ayarlanır. Hem kalıcı hal Azaltır Arttırır cevabı ve Azaltır Arttırır hemde geçici hal cevabı Yüksek Az sönümlü ve iyileştirlebilir frekans kararsız gürültüleri sistemlerde süzer etkisizdir Hatayı azaltır 37/115 Faz ilerlemeli Faz gerilemeli Azaltır Arttırır Hatayı Arttırır Hatayı azaltır azaltır Azaltır Arttırır Azaltır Arttırır Azaltır Sıfır kutup değerleri ve aralıkları öenmlidir Sıfır kutup değerleri ve aralıkları öenmlidir

38/115

Yer Kök Eğrileri R ( s) K H(s) V ( s) B(s) V s K H s = R s 1 K H s Şekil13 B s =1için Kapalı çevrim sistemin kutupları 1+KH(s)=0 özyapısal denkleminden elde edilir. H s = b s a s a s K b s =0 a s b s =0 K n a(s) polinomunun en büyük derecesi ve m b(s) polinomunun en büyük derecesidir. K sıfıra doğru yaklaştıkca a(s)=0'dır kapalı çevrim sistemin kutupları H(s)'in kutuplarıdır, benzer şekilde K sonsuza doğru yaklaştıkca b(s)=0'dır kapalı çevrim sistemin kutupları H(s)'in sıfırlarıdır. Kapalı çevrim sistem n kutba sahiptir. Bundan dolayı köklerin yer eğrisi yada yer kök eğrisi n kola sahiptir. Her kol üzerinde kazanç 0'dan büyükdür, kollar dışında kazanç 0'dan küçükdür (bu kısımla ilgilenmeyiz). Her kol, gerçel eksene göre bir açıyla (çıkış açısı), H(s)'in kutuplarıyla başlar ve, gerçel eksene göre bir açıyla (varış açısı), H(s) sıfırlarına doğru gider. Eğer H(s)'in kutup sayısı sıfır sayısından fazla ise H(s) sonsuzda nm sıfıra sahipdir, bundan dolayı H(s)'in limiti sıfırdır. Bu durumda yer kök eğrisinin asimptotlarının (sonsuza giden kol) sayısı kutup sayısından sıfır sayısı çıkarılarak bulunur. Rlocus() fonksiyonuyla yer kök eğrisi MATLAB'da çizilebilir. Parametre olarak transfer fonksonuna ait pay ve payda katsayıları, durum eşitliklerine ait A,B,C,D matrisleri, LTI objesi girilebilir. Yer kök eğrisi gerçel eksene göre simetrikdir. Yer kök yer eğrilerinin gerçel eksene göre simetrik olmalarından dolayı varış ve çıkış noktaları ya gerçel eksen üzerinde yada sanal çift halinde s (konjuge) düzlemi üzerinde bulunurlar. Eğer kök yer eğrisi gerçel eksen üzerinde yer alan iki kutup arasında yer alıyorsa bu iki kutup arasında en azından 1 çıkış noktası vardır. Benzer şekilde kök yer eğrisi gerçel eksen üzerinde yer alan iki sıfır arasında yer alıyorsa bu iki kutup arasında en azından 1 varış noktası vardır. Sanal eksene yakın olan kutuplar (yada kollar) kapalı çevrim dinamik sistemin kararlılığı ve dinamik 39/115

davranışı üzerinde, en büyük aşım artacağından ve sönümleme azalacağından dolayı, daha büyük etkiye sahipdir ve baskın kol olarak adlandırılırlar. Bundan dolayı kutupların konumuna göre sistem 1. veya 2. dereceden sistem gibi davranabilir. Bu noktada n. dereceden sistemlere ait tepkileri hatırlamak gereklidir. Birinci dereceden sistemin basamak tepkisinde birinci terim zorlanmış tepki (kararlı halde) ve ikinci terim doğal tepki (geçici halde) olarak iki kısımdan oluşmaktadır. Sistem sınırlamaları c(t) üzerinde belirtilir. K C s K G s = = R s =u t için C s = c t =K 1 e t / u t R s 1 s s s 1/ İkinci dereceden sistemin transfer fonksiyonu wn doğal frekans ve ζ sönümleme parametrelerini içermektedir. Sistem üzerinde olan tasarım ölçütleri dikkate alındığında aşağıdaki denklemler elde edilir. w 2n C s 2 G s = = 2 s= wn ± j wn 1 kutuplar R s s 2 w n s w2n 1, aşırı sönümleme,iki reel ayrık kutup 1, sönümlenmemiş durum, konjuge kutuplar =1, kritik sönümleme, aynı yerde iki kutup 1 Basamak tepkisi R s = s s w n w n 1 2 2 2 wn 1 1 C s = C s = 2 2 s s s 2 wn s w n s wn 2 w2n 1 2 1 L 1 c t =1 e w t cos wn 1 2 t, =arctan / 1 2 =arccos 2 1 n 1 Basamak tepkisi R s = ve c 0 =0 başlangıç koşulları s 2 wn wn w t 1 2 s C s = L c t = e sin w n 1 t 2 2 2 2 s wn w n 1 1 T p= en büyük aşım zamanı, c t ' nin zamana göretürevi sıfıra eşitlenerek bulunur w n 1 2 n M p=1 e / 1 =1 e /tan M p en büyük aşım =arctan / 1 2 =arccos en büyük aşım zamanı T p, c t ' de yerine koyulduğunda bulunur. yani c T p 2 40/115

/ 1 %±2 hataiçin yerleşme zamanı 1.02=1 e 2 ln 0.02 1 2 k T s= T s= k=4 w n w n 2 1 0.4167 2.917 0 1 wn c t ' nin son değerinin 10 değerinden 90 değerine ulaşdığı zamandır Yükselme zamanı T r= W n 1.8 Tr ln M p 2 1 2 ln M p 2 T r yükselme zamanı, M p % olarak en büyük aşım 2 Bandgenişiği w BW =wn 1 2 2 4 4 4 2 2=w BW = 4 1 2 2 4 4 4 2 2 T s Şekil14 Örneğin verilen sistem için %5 den az aşım ve 1 s yükselme zamanı, kutuplar taralı bölgede olacak şekilde K orantısal kazanç değerini değiştirerek elde edilebilir. ζ sönümleme oranı ve wn doğal frekansdır. Şekil14'de verilen S düzlemi en büyük aşım, yerleşme ve yükselme zamanı sınırlamalarını 41/115

karşılamaktadır. clc; num=[1 5]; denum=[1 40 500 1500 0]; tf(num,denum) [z,p,k]=tf2zpk(num,denum) rlocus(num,denum); %grid on; axis('equal'); axis([-22 3-18 18]) hold on; x=-22:1:3; y1=tan(pi/3)*x+11.7*tan(pi/3); y2=-tan(pi/3)*x-11.7*tan(pi/3); plot(x,y2,x,y1) text(-10,-3,'\leftarrow asimptot2','horizontalalignment','left') text(-10,+3,'\leftarrow asimptot1','horizontalalignment','left') zeta=0.7; wn=1.8; sgrid(zeta,wn) [kd,poles]=rlocfind(num,denum) title('kok Yer Egrisi') ylabel('sanal Eksen') xlabel('gercel Eksen') grid on; [num2, den2]=cloop((kd)*num,denum); figure(); step(num2,den2) >> z= 0 0-5 p= -17.8260 + 5.2171i -17.8260-5.2171i -4.3480 + 0.0000i k= 1 42/115

Select a point in the graphics window selected_point = -3.2500 + 0.9503i kd = 593.5379 poles = -19.3048 + 0.0000i -14.4944 + 0.0000i -3.1004 + 0.9967i -3.1004-0.9967i Şekil15 43/115

Şekil16 (1 dereceden sisteme benzer cevap) Şekil17 (2 dereceden sisteme benzer cevap) 44/115

1.8 W n Tr ln M p 2 1 2 ln M p 2 T r yükselme zamanı, M p % olarak en büyük aşım 2 Yukarıdaki denklemden, %5 den az aşım ve 1 s yükselme zamanı için, ζ sönümleme oranının 0.7'den daha büyük olması ve doğal frekansın 1.8 den büyük olması gereklidir. Şekil29'daki 45 derecelik zeta=0.7 karşılık gelen kesikli iki çizginin arasında ζ>0.7 ve kesikli yarım çember wn=1.8 dışında wn>1.8. Bu iki bölgenin kesişimi dizaynla ilgili sınırlamaları karşılayan kutup değerlerini vermektedir ve MATLAB'da sgrid(zeta,wn) şeklinde bulunmaktadır. Bu bölgeden istediğiniz değeri tıklayarak seçebilirsiniz. Şekil30'da birim basamak tepkisine olan cevabın sınırlamaları karşıladığı gösterilmiştir. Verilen yer kök eğrisi için -17.8260 + 5.2171i, -17.8260 5.2171i, 0 ve -4.3480 açık çevrim kutuplarından başlayan 4 adet kol vardır. Kollardan biri -5'de olan açık çevrim sıfırında son bulur. Diğer üç kol K sonsuza giderken (3 adet sıfır burada bulunmaktadır) sonsuza gider. K=0 iken Açık çevrim kutuplarının toplamı -40 dır. Kutup sayısı sıfır sayısından daha fazla olduğundan K değişirken kutupların toplamı sabit kalır. (rlocfind() ile seçilen noktaya göre tüm kutupların toplamının -40 olarak sabit kaldığı görülmektedir). Yine aynı şekilde kutıpların sağ yarı düzleme geçdiği değerler rlocfind() komutu ile istenilen noktanın üzerine tıklanarak MATLAB'da bulunabilir. Kolların yönleri kutupların toplamının sabit kalmasını sağlayacak şekildedir. z i = r i z i açık çevrim kutupları r i öz yapısal denklemin kökleri Gerçek eksen üzerindeki kolları bulmak için açık çevrim kutup ve sıfırlarına bakılır. Gerçel eksen üzerindeki en solda yer alan sıfır yada kutup'un sağında yer alan kutup ve sıfır sayısı tek ise o bölgeden yer kök eğrisi geçmektedir, eğer çiftse o bölgeden yer kök eğrisi geçmemektedir. Bu işlem en sağdaki sıfır yada kutup'a kadar devam eder ve bu işleme sanal kutup yada sıfırlar dahil edilmez. Örneğe baktığımızda -5 deki sıfırın sağında 3 tane kutup bulunmaktadır, bundan dolayı gerçel eksen üzerindeki -5'in solundaki bu bölgeden yer kök eğrisi geçmektedir. Diğer durumlar benzer şekilde bulunabilir. 180 2 k 1 yer kök eğrisine ait asimptot açıları k=0,1,2,, n m 1 n m kutupi sıfır i asimptotların gerçel eksenden geçdiği noktalar = n m = G=[(-17.8260-17.8260-4.3480-0)-(-5)]/(4-1)=-35/3=-11.7 noktasında yer kök eğrisine ait asimptotlar 45/115

kesişirler. Asimptot açıları 60(2k+1)=60,180,300(-60) derecedir. Yer kök eğrisinin gerçel eksenden ayrılma noktası 1+KH(s)=0 özyapısal denklem eşitliğinden K elde edildikten sonra, türevi sıfıra eşitlenerek s değerleri bulunur. 1 K H s =0 K = K H / H 1 = =0 =0 ' lar bulunur 2 H H % gercel ekseni kesen noktalar bulunur clc syms x g=((x+5)/(x.^4+40*x.^3+500*x.^2+x.*1500)); a=diff(g); t=double(solve(diff(g))) %g=[-3-100 -1100-5000 -7500]; %roots(g) %get(0,'format') %format short e %s0=[-50 10] %t=fzero(fun,s0) [(s+5)/(s^4+40*s^3+500*s^2+1500*s)]'=0-6.67+2.36i -2.93, -17.1, -6.67-2.36i, Gerçel ekseni ayrılma noktaları -2.93 ve -17.1 dir. Kutupların yada sıfırların (varış) çıkış açıları, yer kök eğrisi üzerinde bulunan herhangi bir s noktasına açı koşulu uygulanarak bulunabilir. Test edilen nokta için sıfırların açılarından kutupların ang s 5 ang s 17.82 5.21i ang s 17.82 5.21i ang s ang s 4.34 =180, k =0 s=0 yakınındakibir noktatest edildiğinde 0 =180 yada 180 s= 4.34 yakınındaki bir noktatest edildiğinde 4.34=180 180=0 s= 5 yakınındaki bir nokta test edildiğinde 5=180 360= 180 yada 180 s= 17.82 5.21i yakınındaki bir nokta test edildiğinde 17.82 5.21i = 74.69 s= 17.82 5.21i yakınındaki bir nokta test edildiğinde 17.82 5.21i =74.69 clc % eslenik kutuplari icin acilarin bulunmasi % diger kutup ve sifirlara ait acilar benzer sekilde bulunabilir. c=-17.82+5.21i 46/115

teta1=(angle(c+5)-angle(c+17.82+5.21i)-angle(c)-angle(c+4.34))*180/pi-180; teta1=mod(teta1,360)-360 c=-17.82-5.21i teta2=(angle(c+5)-angle(c+17.82-5.21i)-angle(c)-angle(c+4.34))*180/pi-180 % Routh-Hourwitz testinde s'e ait denklemin kokleri g=[-1 9000 27750000]; roots(g) % Routh-Hourwitz testinde s^2'e ait denklemin kokleri k=[7072 0 2285600]; roots(k) açıları çıkarılarak istenilen kutup'a yada sıfıra ait ayrılama açısı bulunabilir. Eşlenik kutupların açıları ters işaretlidir. z p = 2 k 1 180 i i 0 kutup'undan sol tarafa doğru K değeri artmaktadır ve çıkış açısı gerçel eksene göre 180 derecedir. -4.34 kutup'undan sağ tarafa doğru K değeri artmaktadır ve çıkış açısı gerçel eksene göre 0 derecedir. -5 sıfır'ından sol tarafa doğru K değeri artmaktadır ve çıkış açısı gerçel eksene göre 180 derecedir. -17.82+5.21i kutup'undan güneydoğu yönünde K değeri artmaktadır ve çıkış açısı gerçel eksene göre -74.69 derecedir. -17.82-5.21i kutup'undan kuzeydoğu yönünde K değeri artmaktadır ve çıkış açısı gerçel eksene göre -74.69 derecedir. Gene bu durumları MATLAB'da yer kök eğrisi üzerine tıklayarak ve ilgili renkli yer kök eğrisini takip ederek teyid edebilirsiniz. Kök yer eğrisinin sanal ekseni kesdiği noktaları bulmak için Routh-Hourwitz kararlılık koşulu uygulanır. 1+KH(s)=0 den kararlılık sınırındaki k değeri ve buradan s'in sanal ekseni kesdiği noktalar bulunur. s4 40 s 3 500 s 2 1500 k s 5 K =0 s4 s3 s2 s 1 1 500 5 k 40 1500 K 0 18500 K 5 K 0 40 8000 K 1500 K 0 0 18500 K 5 K 0 0 47/115

8000 K 2 1500 K s=0 0= K 9000 K 27750000 K=11428, 2428 K 0 olmalı 18500 K Örneğin tabloya ait üçüncü satır (40x500-(1500+K)x1)/40 şeklinde yazılır. 18500 K 2 2 s 5 K=0 K =11428 için 0=7072 s 2285600 s=17.9775i, 17.9775i 40 s satırına ait denklem çözüldüğünde, yer kök eğrisi sanal ekseni K=11428 iken keser, ve s^2 satırına ait denklem çözüldüğünde, yer kök eğrisi sanal ekseni +17.98i, -17.98i noktalarında keser. Farklı sayıda gerçel yada sanal kutup ve sıfır olması durumunda, benzer şekilde yer kök eğrisi bulunabilir. Sisteme bir kutup ilavesi baskın kutup'u sağ yarı düzleme doğru ve sıfır ilavesi baskın kutup'u sol yarı düzleme doğru hareket ettirir. Grafiklerden de anlaşılacağı gibi yer kök eğrileri geçici ve durağan hal tepkilerine ait bilgileri ortaya koyar. Diğer tarafda bode grafikleri sadece durağan tepkisiyle ilgilenmektedir. Bundan dolayı yer kök eğrileri daha iyi analiz sağlamaktadır. Simülasyon dosyaları eklerdedir. Sonuçlar 1. Tüm kutupların gerçel olması durumunda sistem tepkisi aşırı sönümlüdür. 2. Sistem yanıtı, s süzleminde sanal eksene yakın olan kutuplar tarafından belirlenir. 3. Baskın kutuplar s düzleminde sola doğru gittikçe geçici hal tepkisi iyileşir sönüm artar aşım azalır, sistemin band genişliği artar. 4. Yükselme zamanı ve band genişliği ters orantılıdır. 5. Bir sıfırın bir kutbun yanında bulunmasından dolayı, kutup sistem yanıtını çok az etkiler, ve bu durum sıfır-kutup silmesi olarak adlandırılır. Routh Hourwitz Kararlılık Testi Bu test karakteristik denkleme ait köklerin sağ yarı düzlemde yer alıp almadığını belirler ve sanal eksen üzerinde bulunan ve sağ yarı düzlemde bulunan köklerin sayısını verir. H(s) polinomuna ait köklerin sol yarı düzlemde bulunabilmesi için polinomdaki tüm katsayılar aynı işaretli olmalıdır ve hiçbir katsayı sıfır olmamalıdır. Bu yeterli koşul değildir ve kararlılık testi için Routh-Hourwitz testi uygulanmaktadır. 4 3 2 H s =a 4 s a3 s a2 s a1 s a0 48/115

s4 s3 a4 a2 a0 a3 a1 0 a a a a a a a 0 A= 3 2 4 1 B= 3 0 4 =a0 0 a3 a3 A a1 a 3 B C= 0 0 A C B a 4 0 D= =B 0 0 C s2 s 1 Eğer ilk sütundaki elemanların tümü aynı işaretiyse köklerin tümü sol yarı düzlemdedir. Eğer ilk sütundaki elemanların işaretleri değişiyorsa, işaret değişimi kadar sağ yarı düzlemde kök vardır. Herhangi bir satırın ilk elemanı 0 olması durumunda diğer elemanların sonsuz olaması durumu ortaya çıkmaktadır. Bu sorunu aşmak için 0 yerine e gibi sembolik bir sayı yazılır ve diğer işlemlere devam edilir. Tüm satır sıfır ise sanal eksen üzerinde kök vardır. Bu durumda teste devam edebilmek için ilgili satırın bir üst satırındaki katsayılarla yardımcı denklem oluşturulur A(s) ve A'(s)=0 işlemlerinden sonra katsayılar ilgili satıra yazılarak işleme devam edilir. P s =s5 4 s 4 8 s3 8 s2 7 s 4 İşaret değişimi yok, sistem kararlı ve sanal eksen üzerinde iki katlı kök var. 2 4 s 4=0 s=± j s5 s4 s3 s2 s1 s0 1 4 6 4 0 4 8 7 8 4 6 0 4 4 s 2 4 0 0 4 4 49/115

Nyquist Kararlılık Testi ve Grafikleri Nyquist grafiği, pozitif yada negatif herhangi bir frekansa karşılık G(jw) değeri gerçel ve sanal olarak x-y düzleminde gösterilerek oluşturulur (polar grafik olarakda düşünülebilir). Bu grafikde w 0 ve sonsuz iken G(jw) değeri ve grafiğin gerçel (Im(G(jw))=0, Re(G(jw))) ve sanal (Re(G(jw))=0, Im(G(jw))) eksenle kesişimleri önemlidir. clc; tau1=1; tau2=1/10; num=[1]; denum=conv([tau1*1 1],[tau2*1 1]); tf(num,denum) nyquist(num,denum) Şekil18 Matlab'da sağ tıklayarak grafiğin (-1,0) noktasına zoom yapabilirsiniz yada grid opsiyonunu aktif hale getirebilirsiniz. 50/115

Nyquist kararlılık testi, kapalı çevrim bir sistemin kararlılığını grafiksel olarak gerçel ve sanal eksen üzerinde, w 0 dan sonsuza artarken (yada -sonsuza) açık çevrim transfer fonksiyonunu G(jw)H(jw) (1,0) noktasına karşı inceleyerek ortaya koymaktadır, şekil19 sağdaki grafik bu durumu özetlemektedir. (Benzer şekilde açık çevrim transfer fonksiyonunun kararlılığını, G(jw)H(jw) (0,0) noktasına karşı inceleyerek ortaya koymaktadır, şekil19 soldaki grafik durumu özetlemektedir). Kararlılık testinde oluşturulan grafiklerde Nyquist kapalı çevresi sağ yarı s düzlemi G(jw)H(jw) kutuplarının üzerinden geçmeden çevresini dolaşacak şekilde kapsar. Şekil19 Basitleştirilmiş Nyquist kararlılık testi ω 0 dan a giderken, açık-döngü frekans tepkisi G(jω)H(jω) yer eğrisi, -1 noktasını kapasamayan kapalı-döngü sistemler, kararlıdır, -1 noktasını kapsayan sistemler kararsızdır ve -1 noktasından geçen sistemler marjinal kararlıdır.(şekil34) Noktayı kapsamak, noktanın soluna geçmek olarak alınabilir. Bu durum açık döngüsü kararlı sistemler için geçerlidir. (s düzleminin sağ tarafında kutup'u olmayan açık döngü sistemler için geçerlidir) 51/115

Şekil20 Açık çevrim G s H s için kararlılık N 0=Z 0 P0 P0=0 ile N 0 ; G s H s Nyquist grafiğinin 0,0 etrafındaki çevrim sayısı, saat yönünün tersiise pozitif Z 0 ; Nyquist çevrimiyle çevrelenen G s H s sıfırlarının sayısı P0 ; Nyquist çevrimiyle çevrelenen G s H s kutuplarının sayısı Kapalıçevrim G s /1 G s H s için kararlılık N 1=Z 1 P 1 Z 1=0 ile N 1 ;G s H s Nyquist grafiğinin 1,0 etrafındaki çevrim sayısı, saat yönünün tersi ise pozitif Z 1 ; Nyquist çevrimiyle çevrelenen 1 G s H s sıfırların sayısı P 1 ; Nyquist çevrimiyle çevrelenen 1 G s H s kutupların sayısı Açık ve kapalı çevrim kutupları aynıdır P 1=P0 Açık çevrim sistemin G(s)H(s) kararlı olması için, G(s)H(s) Nyquist grafiğinin (0,0) noktasını çevrim sayısı ile sağ yarı düzlemdeki G(s)H(s) sıfırların sayısına eşit olmalıdır. N 0=Z 0 olmalıdır. Kapalı çevrim sistemin G(s)H(s) kararlı olması için, G(s)H(s) Nyquist grafiğinin (-1,0) noktasını saat 52/115

yönünde çevrim sayısı ile sağ yarı düzlemdeki kapsanan G(s)H(s) kutuplarının sayısına eşit olmalıdır. N 1= P 1= P 0 Kazanç geçiş frekansı G(jWgm)H(jWgm) =1 koşulundaki Wgm frekansıdır, ve faz geçiş frekansı ang(g(jwpm)h(jwpm))=180 dereceye eşit olduğu durumdaki Wpm frekansıdır. Kazanç marjini Gm=20log(1/ G(jWgm)H(jWgm) ) db, faz marjini Pm=180+ang(G(jWpm)H(jWpm)). clc; num=[1]; denum=conv(conv([1 1],[1 1]),[1 1]) isstable(tf(num,denum)) % w={wmin,wmax} % [re,im]=nyquist(num,denum,w) % belirli bir aralik icin nyquist(num,denum) [Gm,Pm,Wgm,Wpm]=margin(num,denum) ans=1 Gm=8.0011 Pm=-180 Wgm=1.7322 Wpm=0 53/115

Şekil21 Doğrusal İkinci Dereceden Düzenleyici Kontrolör (Linear Quadratic Regulator (LQR)) LQR bir dinamik sistemin optimum kontrolü konusunda karşımıza çıkan bir problemdir. Bir sistemin optimum kontrol için ikinci dereceden bir maliyet fonksiyonuyla tanımlanması ve lineer diferansiyel denklemlerle ortaya konması, LQ problem olarak adlandırılmıştır. Kontrol teorisinde temel problemlerden biri olan LQ, geribeslemeli bir sistemi durum değişkenlerini kullanarak ve sistem sınırlamalarını göz önünde bulundurarak en efektif şekilde ortaya koyan düzenleyici bir kontrol sistemidir. Maliyet fonksiyonu, durum değişkenleriyle oluşturulan fonksiyonlardan ve bunların toplamlardan oluşur. İşlem karmaşıklığını önlemek için dizaynı yapan kişi maliyeti azaltan algoritmaya ihtiyaç duyulan verileri, yani ağırlık katsayılarını atayarak sistemi oluşturmaya çalışmaktadır. Bu maliyet fonksiyonu sistemde istenilen değerlerin değişimini en aza indirmektedir (bizim örneğimizde açısal hız). Bunun yanında, dizaynı yapan kişiye düşen ağırlık katsayılarını değiştirip, bir kaç iterasyon yaparak, sisteme ait tüm sınırlamalar açısından en efektif çözümü bulmakdır. Bulduğumuz F (geribesleme) için, J maliyet fonksiyonunun minimum olması istenir. Q ve R ağırlık katsayılarını göstermektedir. Q nxn simetrik pozitif yarıtanımlı (symmetric positive semidefinite), R mxm simetrik pozitif tanımlı (symmetric positive definite) birer matrisdir. 54/115

x = A x B u ; u=f x ; F geribesleme ; J = [ x T t Q x t u T t R u t ] dt ve Q=M T M. 0 Q yukarıda belirtildiği gibi yazılabilir. M pxn p<=n matisdir. Doğal olarak LQR kontrolörün kararlı (Stabilizable) olması istenir, bunun için (A,B) çiftinin kararlı olması gereklidir. (A,M) çifti de tespit edilebilir (detectable) olmalıdır. ARE (Algebric Ricatti Equation) çözümü W simetrik pozitif yarıtanımlı (symmetric positive definite) bir matrisdir. W bulunduğunda F de bulunmuş olur. (Daha fazla ayrıntılı matmatiksel bilgi ve altyapı için başka kaynaklara bakınız.) 1 T T 1 T F= R B W ; W A A W Q W B R R W =0 ARE ; DC motor kontrolünde kullanılan maliyet fonksiyonunu incelemek burada yararlı olacakdır. Bu fonksiyon uygulanan torka karşı açısal hızdaki değişimi (disturbance rejection) minimuma indirmektedir (integral hatası olarak da düşünülebilir). Dikkat edileceği üzere akım i(t) ve açısal hız w(t) katsayıları Va(t) ait olanlardan dan daha büyükdür. Daha büyük katsayılar daha iyi sonuç verecekdir. Lqry() fonksiyonu bize optimum geribesleme kazanç değerlerini vermektedir. Sizde değişik maliyet fonksiyonlarıyla sistemler elde etmek için değişik katsayı matrisleri uygulayınız. w t J = [20 i 2 t w2 t 0.01 V 2A t ] dt V A t =K 1 w t K 2 K 3 i t s 0 [ ] [] Q= 1 0 ; R=[ 0.01 ] x = w ; u=[ V A ] ; 0 20 i Doğru Akım Motor Kontrolü, Modelleme ve Matlab Simülasyonu Doğrusal yada doğrusal olmayan dinamik sistemlerin tümü Matlab ve Simulink aracılığıyla modellenip simülasyonu yapılabilir. Bu ksımda bir doğru akım motoruna ait bir lineer model geliştirilip Matlab'da ve Simulink'de simülasyonu yapılacaktır. Uygulamanın sonunda transfer fonksiyonları, bunlara ait sıfır, kutup, ve kazanç değerlerinin bulunması, geçici hal tepkisi (transient response), durağan hal tepkisi (steady-state response), kapalı çevrim ve açık çevrim sistemler, yer kök eğrileri öğrenilecektir, ve sistem üzerindeki sınırlamalar hakkında bilgi edinilecektir. Grafiklerdeki verilerin üzerine tıklayarak değerlerini okuyabilirsiniz. Ara işlemleri Matlab da Command Window kısmında görebilmek için komutların sonundaki ";" kaldırabilirsiniz. Genel Matlab çalışma ortamı şekil22'de gözükmektedir. Sağ tarafda bulunan Workspace kısmından oluşturduğunuz değişkenlere ait datalara, objelere, ve bunlara ait maksimum minimum değerlerine ve boyutlarına ulaşabilirsiniz. Sol tarafda, bulunduğunuz konumda ihtiva edilen dosyalar, ve sağ alt kısımda Command History kullandığınız komutlara ait liste bulunmaktadır. Kodlarınızı bir script dosyasına 55/115

yazarak (*.m file) komut satırında tekrar yazmak zorunda kalmazsınız ve sekmeler kısmında bulunan kısa yollar aracılığıyla istediğiniz şekilde debug edebilirsiniz, ve çalıştırabilirsiniz. Şekil22 Komutlarınızı bir script dosyasına kaydetmek için NewScript icon'na tıklayın yada File -> new -> script tıkladığınızda şekil23'deki editör karşınıza çıkacaktır, burada komutları yazdıktan sonra save icon'a tıklayarak dosyayı kaydedebilirsiniz. Kodlarınızı yazdıktan sonra kırmızı kutu içinde bulunan kısayollar aracılığıyla çalıştırabilir (run) ve satırlara durdurma noktaları koyabilirsiniz (breakpoints). Ayrıca ihtiyaç duyacağınız fonksiyonları bulabilmek için, yada fonksiyonların kullanım bilgilerine ulaşmak için (syntax) mavi kutu içindeki fx kısayoluna tıklayınız; ek olarak bu kısımdan kodu anlaşılabilir kılmak için işaretler ekleyebilirsiniz. 56/115

Şekil23 T =K m i V emf =K b w J w K f w=t =K m i mekanik kısma ait denklem ; L i R i=v K b w elektriksel kısma ait denklem ; L i R i=v K b w ; J s K f w s =K m I s =T s ; L s R I s =V s K b w s ; G s = Km w s rad /sec = [ ] V s J s K f L s R K m K b V 57/115

[ ] K f w = J K b i L [] KM 0 J w V 1 R i L L [][ ] [] y=[1 0] w i Km T s w s 1 = = V s K b w s L s R T s J s K b Yukarıda bir doğru akım motoruna ait elektriksel ve mekanik denklemler, sisteme ait transfer fonksiyonu, elektriksel ve mekanik kısımlara ait transfer fonksiyonları, ve sisteme ait durum eşitlikleri verilmiştir. Şekil24 ve şekil25'e bakıldığında modelleme daha iyi anlaşılacaktır. Matlab kodu aşağıdadır. Simülasyon grafikleri sırasıyla verilmiştir. Veriler hakkında daha detaylı bilgi için MATLAB'da kodu çalıştırdıktan sonra oluşturulan grafikler üzerine tıklayınız. Kendi tasarladığınız sistem sınırlamaları mevcutsa bunların karşılanıp karşılanmadığı görebilirsiniz. Matlab Kodu: % % % % % % % % % % % % % Tüm dosyalar ayni klasörde olmalidir. ÖNEMLi NOKTALAR: ***Tork akimla dogru ve gerilimle ters orantilidir.*** ***Açisal hiz gerilimle dogru orantilidir.*** ***Bundan dolayida tork açisal hizla ters orantilidir.*** ***Güç (akim x gerilim) tork x açisal hizla dogru orantilidir. Transfer fonksiyonlariyla ilgili ayrintili bilgi için dokumanlara bak. Matlab Help kismindan ilgili fonksiyonun nasil kullanildigina ait bilgilere erisebilirsiniz. Sisteme ait sinirlamalar: ***sifir yada minimum durgan hal hatasi*** zero or minimum steady-state response error ***En buyuk asim*** outrise ***maximum yukselme zamani*** maximum rise t. ***maximum yerlesme zamani*** maximum settling time ***kazanc ve faz marjinleri*** Gain and phase margins % Yeni bir pencere açar figure; imshow('dcdemofigures_01.png'); figure; imshow('dcdemofigures_02.png'); 58/115

Şekil24 Şekil25 59/115

R = 2.0; % Direnç Ohm cinsinden L = 0.5; % Bobin Henry cinsinden Km = 0.1; Kb = 0.1; % Tork ve ters EMK sabitleri ayni degerdedir. Kf = 0.2; % Nms J = 0.02; % Eylemsizlik momenti kg.m^2/s^2 h1 = tf(km,[l R]); % Armatür kismi transfer fonksiyonu h2 = tf(1,[j Kf]); % Yük kismi transfer fonksiyonu % size(ss(h2)) % ss(h2) % ss() fonksiyon state-space matrislerini oluuturur ve size(ss(h2)) % boyutlarini gösterir. % ss(h2) state space matrislerini ve boyutlarini görebilirisiniz. % x'=ax+bu y=cx+du; A Nx e Nx boyutlarinda, B Nx e Nu boyutlarinda, % C Ny e Nx boyutlarinda, D Ny e Nu boyutlarinda matrislerdir. % [h1, 1] iki giris tek cikis sistem olur MIMO. Birinci giristen cikisa % transfer fonksiyonu h1, ikincisi 1 dir. [h1, 1] yazdiginizda % gorebilirsiniz. dcm = ss(h2) * [h1, 1]; % Td torkdaki degisimi gostermektedir. dcm (bu adimda) = w = h2*(h1*va + % Td) Td tork degisikligi girisi eklendi, [h1, 1] bundan dolayi dcm adli % obje 1x2 ss objesidir. dcm = feedback(dcm,kb,1,1); % size(ss(dcm)) iki giris bir cikis iki durum elemani vardir. Kapali döngü % ters EMK, geri besleme olarak Matlab default olarak negatif geribesleme % kabul eder. eger iki 1 den sonra +1 yazilirsa pozitif geribeslemenin % isareti pozitif olur. Yukarida iki transfer fonksiyonu oldugunu % soylemistik. Bunlari Td kismindan sonra paralel olan iki blok ve sonra % cikista toplam olarak dusune bilirsiniz yada iki girisli bir sistem. % Bundan dolayi dcm 2x1 giris gerektiriir. Yani bir girisi Va olan diger % girisi Td olan cikisysa w olan bir blok diyagram olusturduk. kapali dongu % fonksiyonunda paremetre olarak index degerlerini yazdik, ilk 1 iki tane % olan giristen sadece 1 si yani Va, mesela 2 yazsaydik geribesleme Td % girisine baglanirdi; ikinci 1 cikisimizi gostermektedir zaten 1 tane onun % indexini yazdik oda w dir. bu olusturlan dcm ss objesi ileride % kullanilacaktir. figure; stepplot(dcm(1)); % sistemin birim basamak tepkisiyle (step response) açisal hizin degisimi % görülür. cikisin ilk girise olan degisimi gosterilmistir % stepplot(dcm(1,1)); ile aynidir. Td icin yani 2. girise uygulanan birim % basamak fonksiyonunun tepkisi gorulmek isteniyorsa stepplot(dcm(1,2)); % kullanilir. stepplot(dcm(1,:)); her iki cikisida gostermektedir. % unutmayin Td torkdaki degisimi gosermektedir. Yani motor yuke % bineceginden negatif degerler almasi gereklidir. 60/115

Şekil26 ylabel('\fontsize{16} Acisal Hiz (rad/s)'); xlabel('\fontsize{16} Zaman (s)'); title('\fontsize{16} Acisal hizin birim basamak tepkisiyle olan degisimi'); % ileri besleme dizaynina ait simülasyon figure; imshow('dcdemofigures_03.png'); 61/115

Şekil27 % kazanç degerinin belirlenmesi icin 1/birim basamak tepkisinin sonsuzdaki % degeri alindi. bunu acik cevrim sistemin cikisinin w duragan halde 1 % olmasi icin. yaptik Kff = 1/dcgain(dcm(1)); % Kff=4.1 dcgain(dcm(1))~0.24 yani w(s)/v(s) dc gain transfer fonksiyonun % s=0 iken degeridir. eger dcgain(dcm(1,2)) bulunmak istenseydi W(s)/T(s) % s=0 iken degerini bulurduk oda 4.878 t = 0:0.1:15; % 0-15 s arasinda 0.1 adimla simülasyon icin noktalar belirledik. % Yükdeki degisiklik (tork) 5s ile 10s arasinda, -0.1 Nm tork degisikligi Td = -0.1 * (t>5 & t<10); % u giris matrisi 2x150 matrisdir. Cunku dcm 2x1 giris gerktiriyordu. Simdi % 150 tane deger icin u = [ones(size(t)) ; Td]; % w_ref=1 ve Td ne oldugunu yukarida belirttik % diag([kff,1]) diagonal matris olusturur Kff 1x1, ve 1 2x2 elamanlaridir. cl_ff = dcm * diag([kff,1]); % ileri beslemeli sistemin duragan halde (steady state) de degerinin 1 % olmasi icin Kff ile carpildi. Sistemin Td ile olan girisi eskisiyle ayni % ss objesine sahip, ve tum degerleri eskisiyle ayni. Fakat Va ile olan % girisi cl_ff ss objesine ait yeni ozellikler atandi, yeni obje eskisinin 62/115

% Kff katidir (yani amplifikator uygulanmistir). set(cl_ff,'inputname',{'w_ref','td'},'outputname','w'); % burada cl_ff ss objesine ait ozellikler atanmistir. % o ile 15 saniye arasinda 5s ile 10s arasinda -0.1Nm tork degisikligi için % sistemin tepksi gösterilir. figure; h = lsimplot(cl_ff,u,t); % cl_ff ileri besleme sistemine ait transfer fonksiyonu % lsimplot u giris matrisine ait t zaman araliginda sistemin cevabidir. % wref 1 olarak atanmistir. title('\fontsize{16} Acisal hizin acik cevrim sistemde basamak tepkisiyle olan degisimi'); legend('cl\_ff'); ylabel('\fontsize{16} Acisal Hiz (rad/s)'); % Grafikte belirtilen -0.1 Nm tork degisikliginin grafikde gösterilmesi line([5,5],[.2,.3]); line([10,10],[.2,.3]); text(7.5,.25,{'tork degisikligi','t_d = -0.1Nm'},... 'vertic','middle','horiz','center','color','r'); Şekil28 63/115

% Geri beslemeli sistemin sifir duragan hal hatasi icin, root locus yer kok % yontemi kullanarak K kazanç degerini bulma figure; h = rlocusplot(tf(1,[1 0]) * dcm(1)); setoptions(h,'frequnits','rad/s'); set(gca,'xlim',[-15 5],'Ylim',[-15 15]); % eksen limitleri Şekil29 64/115

Şekil30 % Geri beslemeli sistemle ileri beslemeli sistemin karsilastirilmasi K = 5; C = tf(k,[1 0]); % K/s kismina ait transfer fonksiyonu % append(c,1) 5/s, Sistemin Td ile olan girisi eskisiyle ayni ss objesine % sahip, ve tum degerleri eskisiyle ayni. Fakat Va ile olan girisi cl_rloc % ss objesine ait yeni ozellikler atandi, yeni obje eskisinin 5/s katidir % (yani amplifikator uygulanmistir). Bu islemler dcm * append(c,1) sonucuda % olusmustur. cl_rloc = feedback(dcm * append(c,1),1,1,1); % sisteme geribesleme için gerekli olan kisimlar eklendi. ilk bir % geribeslemenin degerinin 1 oldugunu gosterir. Birinci giris yani wref'e % geribesleme yapilmistir, ikinci 1 bunu gosterir. ucuncu 1 geribeslemein % alindigi cikis yani w gostermektedir. default olarak Matlab'da % geribesleme katsayisi negatif kabul edildiginden sistem girisi wref-w dir figure; h = lsimplot(cl_ff,cl_rloc,u,t); set(cl_rloc,'inputname',{'w_ref','td'},'outputname','w'); title('ileri besleme ve geri beslemeli sistemlerin acisal hizinin tork degisimine olan tepkisi') legend('ileribesleme','geribesleme (rlocus)','location','northwest') 65/115

Şekil31 % daha iyi geribesleme performansi elde etmek için Lineer Quadratic % Regulator Modeli (LQR) Va = K1 * w + K2 * w/s + K3 * i kullanildi. Bu % modelde Va girisine uygulanacak sinyal w cikis ve i akim dan elde edilir. % bunlarin sisteme ait durum vektorunun elemanlari olduguna dikkat edin. % x=(w,i) boylece sistemdeki degisim hakkinda daha fazla veri elde edilmis % olunur. q(s)=w(s)/s dir. figure; imshow('dcdemofigures_05.png'); 66/115

Şekil32 % [1 ; tf(1,[1 0])] birinci transfer fonksiyonu 1 ikinci transfer % fonksiyonu 1/s dir. dc_aug = [1 ; tf(1,[1 0])] * dcm(1); % size(ss(dc_aug)) dc_aug iki cikisli bir girisli uc durum elemani olan bir % ss objesidir. w/s olan bir cikis daha modele, birinci girise uygulanacak % sekilde DC motor modeline eklendi. daha once bahsettigimiz gibi % w(s)/s cikisni kullanacagimizdan bu cikisa ihtiyac duyduk. lqry % lineer quadratik durum geribesleme regülatörü dizayn eder. kullanim % [K,S,e] = lqry(ss,q,r,n) seklindedir. Daha iyi tork degisikligini yok % etmek icin (disturbance rejection) cost fonksiyonu su sekilde % hesaplanmistir. cost J= integral 0->sonsuz % (20i^2(t)+w^2(t)+0.01Va^2(t))dt K_lqr = lqry(dc_aug,[1 0;0 20],0.01); % K_lqr geribeslemeye ait K, S, ve e (F geribesleme ve W bizim % notasyonumuzda) degerlerini verir. e burada kapali cevrim eigenvalue % lardir e=eign(a-b*k). K yeni bloklardaki katsayilara sahip. P = augstate(dcm); % durum vektörünü çikis vektörüne ekler x'=ax+bu y=cx+du; % y = C x+ D u tek bir esitlik haline gelir. % x = I + 0 67/115

% sistem 3 cikisli 2 durumlu 2 girisli oldu % girisler:va,td çikislar:w,x(w,i); x burada i ve w gostermektedir C = K_lqr * append(tf(1,[1 0]),1,1); % 44.72, 36.97, 15.18 K_lqr katsayilarla 1/s 1 1 carpildi C = 44.72/s, % 36.97, 15.18 oldu. OL = P * append(c,1); % Açik çevrim dizayn Va=44.72*w/s+36.97*w+15.18*i su anda geribesleme % eklenmedi OL 3 cikis 4 giris 3 durumlu bir objedir. 3 giris Va icin % yukaridaki denklemde verilmistir. diger giris Td icindir CL = feedback(ol,eye(3),1:3,1:3); % kapali çevrim dizayn. eye(3) 3x3 birim matrisdir. ilk 1:3 1 den 3 kadar % tum girisler ve ikinci 1:3 1 den 3 kadar tum cikislari temsil eder. % bunlar sirasiyla birbirine baglanir. default olarak negatif geribesleme % var. cl_lqr = CL(1,[1 4]); % Elimizde sistem 4 giris 3 cikisli, bizim ihtiyacimiz olan LQR sisteme % ait sistem (w_ref,td)->w iki giris 1 cikisli olmali 1 cikis w ve 1 ve 4 % giris wref ve Td secildi. figure; h=bodeplot(cl_ff,cl_rloc,cl_lqr); Şekil33 68/115

% Grafikle ilgili eksenleri isimlendirmede problem oldugu icin yeniden % isimlendirme yaptik. Frekans birimini Hz degistirdik, karisiklik % olmamasi acisindan. Bu LTI objeleri anlamak acisindan iyi bir uygulamadir P=getoptions(h); P.FreqUnits = 'Hz'; P.Title.String='Transfer Fonksiyonlarina Ait Bode Grafigi'; P.XLabel.String='Frekans (acisal frekans degil)'; P.YLabel.String={'Faz Farki (derece)','genlik (db)'}; setoptions(h,p); legend('ileribesleme','geribesleme (rlocus)','geribesleme (LQR)','Location','NorthEastOutside') % üç sisteme ait asimptotik bode grafigi burada frekansa (not açisal % frekans degil) göre üç sistemin degisimi gozlenmektedir. Bundan dolayi x % ekseninin birimini Hz olarak kullanacagiz ust satir genligi alt satir faz % farkini göstermektedir. Sol tarafdaki grafiklerde I/O wref to w, sag % tarafdaki grafiklerde I/O Td to w transfer fonksiyonlari bunlara gore % ayarlandi. figure; h = lsimplot(cl_ff,cl_rloc,cl_lqr,u,t); title('ileri besleme ve geri beslemeli sistemlerin acisal hizinin tork degisimine olan tepkisi') legend('ileribesleme','geribesleme (rlocus)','geribesleme (LQR)','Location','NorthWest') 69/115

Şekil34 Simulink Aracılığıyla Doğru Akım Motor Modelleme ve Simülasyon Doğru akım motorunu ait Matlab'da yapılan modelleme ve simülasyon aynı şekilde Simulink aracılığıyla da yapılabilir. Simulink Library Browser'ı açmak için Şekil22'de görünen Matlab ekranında, Simulink Library kısayoluna tıklayınız. Aynı şekilde, Matlab Command Line kısmında >>simulink komutunu yazılınca Simulink açılır. Açılan pencerede File -> New seçerek kendi modelinizi oluşturmak için boş bir çalışma sayfası açabilirsiniz. Şekil36'de görünen Simulink Library Browser aracılığıyla istediğiniz model bloğunu seçerek çalışma sayfanıza sürükleyiniz. Daha sonra seçilen modellere ait giriş çıkış pinleri birbirine bağlayınız ve bloklara ait parametreleri atayınız. Bağlantıları yaparken dikkat edilmesi gereken bir husus modellerin bazıları giriş, bazıları çıkış, ve diğer kısmıda hem giriş hem çıkış özelliğine sahip olmasıdır. Bundan sonra oluşturduğunuz çalışmanın simülasyonunu yapabilirsiniz. Oluşturduğunuz modelin üzerine tıklayarak alt modelleri görebilirsiniz. Şekil36'da bir doğru akım motoruna ait oluşturulan dizayn ve Library browser gösterilmiştir. 70/115

Simülasyonu çalıştırmak için modellere atanan değişkenlere ait değerler View-> Model Explorer -> Base Workspace den ayarlanabilir, şekil37'de değişkenlere atanan değerler gösterilmiştir. Simulation-> Configuration Parameters kısmından uzun süre beklememek için simülasyon süresi stop time 0.2s ve solver ode15 ayarlanabilir (şekil38). Simulink modeline ait denklemler aşağıda verilmiştir. Simülasyonu yapmadan önce blok diyagramın girişine step, çıkışına scope, şekil39'daki gibi bağlanır ve step için step time 0, initial value 0 ve final value 1'e ayarlanır. Run tuşuna basılarak simülasyon çalıştırılır ve scope üzerinde tıklanarak sistemin tepkisi görülebilir, daha net görüntü için autoscale tuşuna basınız. Şekil40'da sistemin tepkisi görülmektedir, bununla birlikte Simulink Profile Summary Report'da gözükmektedir. Ayrıca bağlantıların üzerine çift tıklayarak çalışmanızı anlaşılabilir kılmak açısından isimlendirme yapabilirsiniz. Şekil36 71/115

Şekil37 72/115

Şekil38 73/115

Şekil39 74/115

Şekil40 Tüm bunlara ek olarak Matlab'da kodladığınız bir fonksiyonu Simulink'e aktarıp bir model halinde ihtiyaç duyduğunuz yerlerde kullanabilirsiniz. Fonksiyon için yazılan script dosyası %#eml başında olacak şekilde derlenir. Bu kodu Simulink ortamında kullanabilmek için Embedded Matlab Function modelini çalışmanıza eklemeniz gerekmektedir. Embedded Matlab Function modeli için açılan alanda yazdığınız bu fonksiyonu kullanabilirsiniz. MATLAB üzerinde kullanılan tüm bu fonksiyonların kullanımlarına script editor üzrinde Fx ikonu üzerinden bakabilirsiniz. 75/115

Sorular 1- Şekil41'de bulunan mekanik kütle yay sisteme ait modelin (a) seçeneğini Matlab'da ve (b) seçeneğini Simulink'de simülasyonunu yapınız. a) m=1, b=0.3, k= 0.2, x(0)=0.1, x'(0)=0.05, F=0 (sönümlemede) b) m=1, b=0.7, k=1, x(0)=0, x'(0)=0, F=1 Şekil41 2- Basit bir osilatör (wien köprü, ring yada kristal osilatör gibi) devresini teorik olarak ortaya koyup, blok diyagramını çiziniz. 3- Paralel RLC devresini teorik olarak ortaya koyup, Matlab ve Simulink'de aşağıdaki değerler için simülasyonunu yapınız. R=800 ohm, C=50 uf, L=50 mh, i(t)= 50*exp(-200*t)*sin(120*pi*t), sin(1.1*t), sin(0.9*t). 4- Şekil42'deki PID geribesleme kontrolörünü doğru akım motorunun hızını kontrol etmek amacıyla dizayn ediniz ve Matlab ve Simulink'de simülasyonunu yapınız. Şekil42 5- Herhangi bir ikinci dereceden aktif geribeslemli lowpass filtrenin devresini çiziniz, transfer 76/115

fonksiyonunu bulunuz, ve simülasyonunu yapınız. 6- Matlab'da simülasyonu yapılan doğru akım motoruna ait modellemeleri ve simülasyonu, transfer fonksiyonunu ve toplayıcıyı kullanarak Simulink'de yapınız. 7- İki eksenli hareket edebilen bir robot kola ait kontrol sistemini teorik olarak ortaya koyunuz, blok diyagramında gösteriniz ve Simulink'de simülasyonunu yapınız. 8- Tek fazlı asenkron motora ait açısal hız ve giriş gerilimi arasındaki transfer fonksiyonunu bulunuz. Doğru akım motoru için yapılan modellemenin ve simülasyonun benzerini tek fazlı bir asenkron motor için yapınız. Modelin Bode grafiğini oluşturup, bu grafiği yorumlayarak motor hız kontrolüne ait alternatif yöntemler öneriniz. Ek Okuma Çalışmaları Genel olarak konuların daha iyi anlaşılabilmesi açısından, aşağıda verilen akademik yayınlardan birini yada benzerini okuyunuz. 1- SERVO SİSTEMLERİN MATLAB ÜZERİNDEN GÖMÜLÜ SİSTEMLER ile PID KONTROLÜ. Aydın GÜLLÜ*, Mustafa ARDA*, Hilmi KUŞÇU***Trakya Üniversitesi, İpsala MYO, Elektronik ve Otomasyon Bölümü, Edirne**Trakya Üniversitesi, Mühendislik-Mimarlık Fakültesi, Makina Mühendisliği Bölümü, Edirne 2- Güneş Pili Modülünün Matlab/Simulink ile Modellenmesi ve Simülasyonu Modeling and Simulation of Solar Cell Module in Matlab/Simulink.Mustafa Ergin Şahin, Halil İbrahim Okumuş Fizik Bölümü, Fen Edebiyat Fakültesi RTE Üniversitesi, RİZE mustafaerginsahin@yahoo.com Elektrik Elektronik Mühendisliği Bölümü, KTÜ Mühendislik Mimarlık Fakültesi, TRABZON Bunlara ek olarak dokümanlar içerisinde okuyabileceğiniz akademik yayınlar bulunmaktadır. MATLAB'a alternatif olarak free-share GNU Octave ve Scilab programları kullanılabilir. Ayrıca, MATLAB ortamında sistem tasarımı için embedded MATLAB dökümanı eklerde bulunmaktadır. Yararlanılan ve faydalı olabilecek linkler: [1] http://web.itu.edu.tr/~kents/matlab.pdf [2] http://web.sakarya.edu.tr/~afboz/control/bolum1.html [3] http://www.dcsc.tudelft.nl/~sc4070/transp/refresher.pdf [4] http://www.inf.fu-berlin.de/lehre/ss05/robotik/motors.pdf 77/115

[5] MATLAB ve SIMULINK'le Modelleme Kontrol I ve II, Zafer Birgül ISBN; 975-511-445-9 [6] http://ekremd.home.uludag.edu.tr/calismalar.html [7] http://www.mathworks.com/help/control/examples/dc-motor-control.html [8] http://ctms.engin.umich.edu/ctms/index.php?example=motorspeed&section=simulinkmodeling [9] http://home.hit.no/~hansha/documents/matlab/training/introduction%20to %20Simulink/Introduction%20to%20Simulink.pdf [10] http://www.inf.fu-berlin.de/lehre/ss05/robotik/motors.pdf [11] http://www.yildiz.edu.tr/~omurlu/cf/oki/6.pdf [12] http://www.emo.org.tr/ekler/a8f19b3900fcc6c_ek.pdf 78/115

Soru Çözümleri 1- Dinamik kütle yay sistemi: 1 F=m x +b x +k x x = [F b x k x ]F kuvvetiicin m m [ s2 X (s ) s x (0) x (0)]+b [s X ( s)+x (0)]+k X (s)=f (s) 2 m [ s X ( s ) s x (0) x ( 0)]+b [ s X ( s)+ x (0)]+k X (s)=0 (m s 2+b s+k ) X ( s )=m x( 0) s+m x ( 0)+b x(0) X ( s )= m x (0) s+m x (0)+b x (0) m s 2 +b s+k m=1, b=0.3, k=0.2, x 0 =0.1, ve x 0 =0.05 ve toplam kuvvetler icin X s = F s =s F s f 0 F s =s 2 F s s f 0 f 0 0.1 s 0.08 s 0.3 s 0.2 2 Yukarıdaki kütle yay sistemine ait Simulink dizaynlarını kullanarak aynı simülasyonları yapabilirsiz. X=tf([0.1 0.08 0],[1 0.3 0.2]); % 1/s ile carpanina ayrildi, cunku sadece X(s) var. assagidaki birim % basamak tepkisi konumun degisimini gostermektedir. step(x); 79/115

Konumun zamana göre değişimi 80/115

2- Kapalı Çevrim Osilatör Devresi: g (t )gürültü çıkısv A(s) B(s) Basit bir kapalı çevrim sisteme ait blok diyagramlarıyla bir osilatör devresini modelleyebiliriz. A amplifikatör, B geri besleme kısmını göstermektedir. (S=jw) Devre ilk anda gürültü g(t) aracılığıyla çalışmaya başlar. Kapalı çevrim lineer bir devrenin, çevrim kazancı A(s)B(s) 1'e eşitse ve faz farkı 0 veya 2 pi nin katları ise osilasyonu sürdürecekdir. V s A s = G s 1 A s B s 3- Paralel RLC devresi: Zaman domeni: 1. Direnç v t =i t R 2. Bobin v t = L i t t 3. Kondansatör V t i t =C C t s-domeni: 1. Direnç 81/115

V s =I s R 2. Bobin - V s =L [s I s i 0 ]=s L I s L I 0 I s = V s L I 0 V s I 0 = s L s L s 3. Kondansatör I s =C [ s V s v 0- ]=s C V s C V 0 V s = I s V 0 s C s Direnç için zaman domeni ve Laplace domeni Kondansatör için zaman domeni ve seri ve paralel Laplace domeni 82/115

Bobin için zaman domeni ve seri ve paralel Laplace domeni Paralel RLC Devresi Laplace domeninde, aynı zaman domeninde olduğu gibi süperpozisyon teoremi, kaynak dönüşümleri, seri ve paralel empedans dönüşümleri, göz akımları yöntemi, düğüm gerilimleri yöntemi, KVL, ve KCL geçerlidir. Giriş sinyali t=0 dan itibaren uygulandığında, aşağıdaki denklem elde edilir. s C V s V s V s I s = R s L s V s G s = = I s 1 C s 2 1 1 s R C L C Yukarıdaki denklemde pasif elemanlara ait başlangıç değerlerinin t=0 0 olduğuna dikkat ediniz. Herhangi bir elemanın, Laplace domenine ait ifadeleri yazılırken ya toplam akıma yada toplam gerilime göre uygun modeli kullanmaktayız. Aşağıda, paralel bir RLC devresine ait transfer fonksiyonu verilmiştir. Daha önceden belirttiğimiz gibi transfer fonksiyonu doğrusal sistemler için kullanılmaktadır (zamanla değişip yada değişmemesi önemli değil), LTI sistemler gibi. Blok diyagram gösterimini alıştırma olarak yapabilirsiniz. (transfer fonksiyonundan bulabilirsiniz) 83/115

R=800 ohm, C=50uF, ve L=50mH değerleri için çıkış gerilimini bulalım. Giriş sinyali t=0 anından itibaren uygulandığında yukarıdaki transfer fonksiyonu yazılırdı. Normal koşullarda aşağıdaki transfer fonksiyonu geçerlidir. V s G s = = I s s C s2 1 1 s R C L C Not; Bu devre için DC yada step fonksiyonu uygulandığında çıkış gerilimi çok kısa sürede 0 olur. (Bobin sonsuzda kısa devredir) Bundan dolayı farklı sinyaller uygulayınız. clc R=800; C=50*10^(-6); L=50*10^(-3); G=tf([1/C 0],[1 1/(R*C) 1/(L*C)]) T=ss(G) % Durum denklemleri ss objesiyle verilmektedir. diferansiyel denklemlere % buradan ulasilabilir. u(t) siz figure; bodeplot(t); % akima ait bir giris fonksiyonu olusturalim. t=0:0.01e-3:40e-3; akim=50*exp(-200*t).*sin(120*pi*t).*1; % u(t) hali hazirda eklendi % Matlab'da her islem matrisler uzerinden yapilmaktadir. Bundan dolayi. % parantezin sonuna eklenmistir t=0 giris fonksiyonu sifirdir. t=t*1000; figure; h=plot(t,akim,'b'); set(h,'linewidth',1.2); xlim([0 max(t)]); box off; xlabel('time (ms)'); ylabel('(amper)'); subplot(312), lsim(t,sin(1.1*t),t), title('w = 1.1') subplot(313), lsim(t,sin(0.9*t),t), title('w = 0.9') figure; k=lsimplot(t,akim,t); xlabel('time (ms)'); % P=getoptions(k,'InputVisible') % P.InputVisible={'off'}; % P.OutputVisible={'on'}; 84/115

% setoptions(k,p); % setoptions(k,'inputvisible','off'); % lsimplot(g,akim,t); ayni sonucu verir xlim([0 max(t)]); isstable(g) % sistemin kararli olup olmadigini gosterir. yada isstable(g*inputtf) G= 20000 s ----------------s^2 + 25 s + 4e05 Continuous-time transfer function. T= a= x1 x2 x1-25 -781.3 x2 512 0 b= u1 x1 128 x2 0 c= x1 x2 y1 156.3 0 d= u1 y1 0 Continuous-time state-space model. ans = 1 >> 85/115

Bode Grafiği Sisteme ait faz marjinleri 86/115

Verilen bir giriş fonksiyonu (zaman ekseni ms cinsinden) Verilen giriş fonksiyonu ve sistemin tepkisi (ms cinsinden x ekseni) 87/115

Sistem kazancının 0db olduğu nokta kazanç geçiş frekansı (gain crossover frequency) ve fazın -180 olduğu nokta faz geçiş frekansı (phase crossover frequency) olarak adlandırılmaktadır. Kazanç marjini, faz geçiş frekansında sistemi kararsız olması için ne kadar kazanç değişikliği gerekli olduğunu göstermektedir. (yada kapalı çevrim sistemin kararlılığını bozmadan, açık çevrim sistemin kazancının ne kadar arttırılabileceğini göstermektedir) Benzer şekilde faz marjini, kazanç geçiş frekansında sistemin kararsız olması için ne kadar faz değişikliği gerekli olduğunu göstermektedir. (yada kapalı çevrim sistemin kararlılığını bozmadan, açık çevrim sistemin fazının ne kadar arttırılabileceğini göstermektedir) Tüm bu işlemler için bode grafikleri kullanılmaktadır. Konuyu daha iyi anlayabilmek için Matlab komut satırında margin_gui komutu yazarak kapalı çevrim bir sisteme ait kazanç ve faz marjinleri analizi yapılabilir. Bode grafiği üzerinde Characteristics -> Minimum Stability Margins bu kısmından kazanç ve faz marjinlerine ulaşabilirsiniz. Sizde RLC değerlerini değiştirerek sistemin kararlılığını bozmadan istenilen frekansda ve fazda devre sinyallerini elde edebilirsiniz. Eğer sisteme ait başlangıç değerleri sıfırdan farklı olarak verilmiş olsaydı, yüksek bir ihtimalle transfer fonksiyonu yöntemini uygulayamayacakdık. Bundan dolayı devreye ait elektriksel denklemleri kullanarak durum eşitlikleri yöntemini kullanmamız gerekecekdi. Ayrıca, durum denklemleri yöntemi kullanıldığında lsimplot() fonksiyonu default olarak durum değişkenlerini başlangıç koşulunda 0 kabul ederek grafikleri oluşturur, ve bundan dolayı grafikleri oluştururken bu durumu da göz önüne almamız gerekirdi. lsimplot(sys,u,t,x0) x0 durum değişkenlerine ait başlangıç koşullarını göstermektedir, kondansatörun başlangıçdaki gerilim değeri veya bobinin başlangıçdaki akımı gibi. Paralel RLC devresinin, Simulink modeline transfer fonksiyonu yöntemiyle yapılmış dizayn ektedir. Buna ek olarak rlc_gui Matlab komut satırında yazıldığında, istenilen frekansı geçiren seri yada paralel RLC devresinin oluşturduğu sisteme ait bode diyagramı, sıfır kutup noktaları, nyquist diyagramı, basamak tepkisi elde edilebilir. Aşağıda alçak geçiren seri ve paralel RLC devresine ait grafik arayüz gösterilmişdir. Daha önceden PID kontrölör kısmında belirtildiği gibi direnç değeri statik durumu geliştirmekde, bobin değeri kalıcı hal hatasını azaltır ve kondansatör değeriyse geçici hal cevabını düzenlemektedir. RLC Değerleri değiştirilerek bu etkiler daha iyi gözlemlenebilir. Simulink'i Normal modda simülasyon yapacak şekilde çalıştırıldığında simulasyon daha kısa sürecekdir. Giriş sinyalini oluşturabilmek için çeşitli bloklardan faydalandık. Simulink'de, darbe yada kısa süreli pulse diyebiliriz (dirac delta) fonksiyonu iki basamak fonksiyonunun çok kısa bir zaman aralığında uygulanmasıyla oluşturulmaktadır. Kullanılan bloklarla ilgili parametrelere bakarak işlemler daha iyi anlaşılacakdır. Benzer şekilde seri RLC devresine ait diferansiyel denklemler, transfer fonksiyonu, ve blok diyagramları bulunabilir. 88/115

89/115

90/115

4- PID kontrolörle doğru akım motorunun modellenmesi: PID kontrolöre ait transfer fonksiyonu aşağıda verilmiştir. C(s) PID transfer fonksiyonunu, sabitler sırasıyla türev, orantı, ve integral kontrolör kazançlarını göstermektedir. (derivative, proportional, and integrator) Daha önceden 2 C s = K d s K p s K i s PID kontrolör sisteme ait sınırlamaları ayarlamaktadır. Daha önceden Root Locus yönteminde bahsedildiği gibi, açık çevrim kazancı sistemin kararlılığını ayarlamaktadır. PID kontrolörde orantı kontrolör kazancı sistemin stattik olarak geliştirmektedir. Fakat orantı kontrolör kazancıyla en yüksek aşım ve yükselme zamanı artmaktadır. Türev kontrolör kazancı en büyük aşımı ve integral kontrolör kazancı kalıcı durum hatasını azaltmaktadır. Bundan dolayı PID kontrolörü kullanırız. Modele ait parametreleri Step(ss1,ss2,ss3) şeklinde değiştirerek bu durumu teyid edebilirsiniz. Yada sisotool(sys_cl) SISO design tool açıldıktan sonra analysis plots parametrelerini atayarak yapabilirsiniz. Aynı şekilde Simulink'de aşağıdaki sisteme ait simülasyonlar yapılabilir. DC motor PID kontrolörle modellenmesi % PID controller design J=0.01; b=0.1; K=0.01; R=1; L=0.5; feedforward = tf(k,[l R])*tf(1,[J b]); Gv = feedback(feedforward,k); % s = tf('s'); % Gv = K/((L*s + R)*(J*s + b) + Kˆ2); Ga = Gv*tf([1],[1 0]); % Aciya ait transfer fonksiyonu Kp = 1; Ki = 0.8; Kd = 0.3; % Kp = 1; Ki = 0.8; Kd = 0.3; degerleriyle deneyiniz. % C = tf([kd Kp Ki],[1 0]); % PID yontemiyle C = pid(kp,ki,kd); sys_cl = feedback(c*ga,1); 91/115

step(sys_cl,[0:1:200]) % Ki ve Kd degerleri kucuk secildi title('dusuk degerli Ki Kd PID Kontrolor birim basamak tepkisi') % Root locus yontemiyle kazancin atanmasi grafik uzerine tiklayiniz. D = tf([kd Kp Ki],[1 0]); figure; rlocus(ga*d); Kp = rlocfind(ga*d); Gc = feedback(ga*d*kp,1); figure; step(gc,0:1:200) 92/115

Kazancının Kp Root Locus diyagramından seçimi Basamak tepkisi 93/115

5- Alçak geçiren OPAMP'a ait açık çevrim ve kapalı çevrim ikinci dereceden transfer fonksiyonları. filtreye ait şema kontrolörler kısmında verilmişdir. Açık çevrim OPAMP 94/115

Kapalı Çevrim OPAMP Kapalı çevrim sisteme ait blok diyagram 95/115

a0 = 1e5; w1 = 1e4; w2 = 1e6; s = tf('s'); a = a0/(1+s/w1)/(1+s/w2) % OPAMP acik cevrim transfer fonksiyonu, iki adet kutup w1 ve w2 ve a0 dc % kazanc h = bodeplot(a,'r'); setoptions(h,'frequnits','rad/s','magunits','db','phaseunits','deg',... 'YLimMode','Manual','YLim',{[0,110],[-180,0]}); a_norm = a / dcgain(a); % birim transfer fonksiyonu, birim basamak tepkisi 1 yaklasacak figure; stepplot(a_norm,'r') title('birim acik cevrim basamak tepkisi'); ylabel('birim Genlik'); A0 = 10; b = 1 / A0; % resistive geribesleme eklendi R1 ve R2 % A=V0/Vp=a/(1+ab) kapali cevrim transfer fonksiyonu, yaklasim ab>>1 A=1/b. % b=r1/(r1+r2), ve kazancin 10 (A0) olmasini istedik R1 = 10000; R2 = R1 * (1/b - 1) A = feedback(a,b); bodemag(a,'r',a,'b'); legend('acik cevrim kazanc (a)','kapali cevrim kazanc (A)') set(gca,'ylim',[0,110]) % Annotations opampdemo_annotate(1) 96/115

97/115

6- Matlab'da simülasyonu yapılan doğru akım motoruna ait modellemeleri ve simülasyonu, transfer fonksiyonunu ve toplayıcıyı kullanarak Simulink'de yapılışı 4 dosyada mevcuttur. İki kanallı scope görebilmek için scope ekranında parameters kısmına tıklayarak Number of Axeses kısmını 2 olarak değiştiriniz. (4. simülasyona ait lqr kontrolör güncellenecekdir) Simulink'de, darbe yada kısa süreli pulse diyebiliriz (dirac delta) fonksiyonu iki basamak fonksiyonunun çok kısa bir zaman aralığında uygulanmasıyla oluşturulmaktadır. Kullanılan bloklarla ilgili parametrelere bakarak işlemler daha iyi anlaşılacakdır. Doğrusal ikinci dereceden kontrölör tasarımında Control System Toolbox'ın dabulunan LTI system blokları ve State-space bloğu kullanılmışdır. 98/115

99/115

100/115

101/115

102/115

103/115

104/115

7- İki ayrı konum kontrolü sağlayan doğru akım motoruna ait sistem ortaya çıkmaktadır (sadece dc motor hız kontrolü sisteminin sonuna integral alıcı kontrolör eklenmiştir). Sisteme faklı giriş sinyalleri ekleyerek farklı koordinatlar elde edebilirsiniz. Giriş sinyalleri uygulandığı sürece konum artmaktadır. 105/115

Giriş Sinyali 106/115

Çıkış Sinyali (konum) 107/115

8- Tek fazlı asenkron motora ait açısal hız ve giriş gerilimi arasındaki transfer fonksiyonunu doğru akım motoruna benzer bir model uygulandığında aynı transfer fonksiyonu bulunur. Aynı şekilde Simülasyon benzer sonuç verecekdir. Bode grafiğine bakıldığında giriş sinyali genliği arttığında hız artmakda ve frekans arttıkça hız azalmaktadır. Bundan dolayı hız kontrolü için genlik dönüşümü (iletim açısı kontrolü, gerilim ayarı gibi) yada frekans dönüşümü (frekans invertörü gibi) yöntemleri kullanılmaktadır. 108/115