DİFERANSİYEL DENKLEMLER-2

DİFERANSİYEL DENKLEMLER- SINIR DEĞER ve ÖZDEĞER PROBLEMLERİ Bu bölümde adi diferansiyel denklemlerde sınır ve özdeğer problemleri ( n) ( n1) incelenecektir. F( y, y,..., y, x) 0 şeklinde verilen bir diferansiyel denklemin sabitleri x=a ve x=b gibi iki noktada verilen şartlar ile belirleniyor ise bu probleme sınır değer veya iki nokta problemi adı verilir. Örneğin y f( x, y, y) diferansiyel denkleminin sabitlerini belirlemek için y(a)= ve y(b)= gibi iki şart verildiğinde bu bir sınır değer problemidir. Sınır şartları daa genel olarak a1y( a) ay( a) b1y ( b) by( b) şeklinde verilebilir. Sınır şartları a ve b noktalarında a y( a) a y( a) a y( b) a y( b) 1 b y( a) b y( a) b y( b) b y( b) 1 şeklinde verilir ise problem karışık sınır değer problemi olarak isimlendirilir. Adi diferansiyel denklemlerde karışık sınır değer problemleri genelde bir özellik taşımaz. Sınır değer problemlerinin çözümü tek olabildiği gibi çözümü olmayabilir veya sonsuz çözümde olabilir. Örneğin y y0 diferansiyel denkleminin y(0)= ve y(/)=1 sınır şartları altındaki çözümü y=sin x+ cos x dir. Aynı diferansiyel denklemin y(0)= ve y()= sınır şartları altında çözümü yoktur ve y(0)= ve y()= sınır şartları altında y=asin x+cos x şeklinde A sabitine bağlı olarak sonsuz çözümü vardır. Adi diferansiyel denklemlerde özdeğer problemini tanımlamak için doğrusal omoen bir diferansiyel denklemin omoen sınır şartları altında çözümünü göz önüne alalım; yani diferansiyel denklem ve sınır şartlarında y ve türevlerinin bulunmadığı terimler sıfırdır. Bu problemin çözümü y=0 dır. Bu

Müendislikte Bilgisayar Uygulamaları çözüme aşikar(trival) çözüm adı verilir. Diferansiyel denklemin y=0 dan farklı çözümü ancak katsayıların özel değerleri için mevcut olabilir. Bu değerlerin bulunması problemine adi diferansiyel denklemlerin özdeğer problemi adı verilir. Örneğin y p y 0 y(0) 0, y( L) 0 sınır değer probleminin aşikar çözümü y=0 dır. Problemin y=0 dan farklı çözümü olması için p=n/l (n=1,,,...) olmalıdır. p=n/l (n=1,,,...) değerleri için problemin y=asin(nx/l) şeklinde sıfırdan faklı çözümü vardır; burada A erangi bir sabittir. Adi diferansiyel denklemlerin sınır değer problemlerinin çözümünde kullanılan yöntemlerden en önemlileri aşağıda gruplar alinde verilmiştir. Bu gruplardan bazılarında tek, bazılarında birden fazla yöntem vardır. a) Atış yöntemi (problemi başlangıç değer problemine çevirme yöntemi): Bu yöntemde problem başlangıç değer problemine çevrilir ve önce başlangıç değer problemi çözülür. Buradan elde edilen bilgiler ile sınır değer problemi çözülür. Doğrusal problemlerde birden fazla çözüm yapılarak sonuca gidilir. Doğrusal olmayan problemlerde ise sonuca bir ardışık yaklaşım ile gidilir. Bu ardışık yaklaşımda, birinci noktadaki eğim değiştirilerek fonksiyonun ikinci noktadan geçmesi sağlanır. Bu işlem atışa benzediğinden yönteme atış yöntemi adı verilir. Yöntem, bazen, problemi başlangıç değer problemine çevirme yöntemi adı ile de anılır. b) Sonlu farklar yöntemi: Bu yöntemde diferansiyel denklemde bulunan türevler yerine fark formülleri yardımı ile fonksiyon değerleri konulur. Bu işleme diferansiyel denklemin ayrıklaştırılması adı verilir. Ayrıklaştırma çeşitli noktalarda yapılarak diferansiyel denklem yerine cebrik denklem takımı elde edilir. Denklem takımı doğrusal olduğu gibi doğrusal olmayabilir. Bu yönteme ayrıklaştırma yöntemi adı da verilir. En çok kullanılan yöntemlerden biridir. c) Değişim (varyasyon) yöntemleri: Bu yöntemde sınır değer problemi bir değişim problemine indirgenir. İndirgenen değişim probleminde çözüm, fonksiyonel adı verilen bir integrali ekstremum yapan bir fonksiyondur. Bu problem yaklaşık bir yöntem ile çözülür; RayleigRitz gibi. d) Belirsiz parametreler yöntemi: Bu yöntemde sınır değer probleminin yaklaşık çözümü ki buna yaklaşım fonksiyonu adı da verilir, çeşitli parametrelere bağlı olarak y(x)u(x,c1,c,...,cn) şeklinde kabul edilir. Kabul edilen yaklaşım fonksiyonu, sınır şartlarını veya diferansiyel denklemi veya kısmen sınır şartlarını kısmen diferansiyel denklemi sağlar. Sağlamadığı şartlar üzerine çeşitli kriterler konularak, yaklaşık olarak sağlatılır. Sınır

Diferansiyel Denklemler şartlarını sağlayıp diferansiyel denklemleri sağlamayan gruba ağırlıklı kalan yöntemi adı verilir. Ağırlıklı kalan yöntemi olarak isimlendirilmesinin nedeni: Diferansiyel denklemin kalanları üzerinde konulan şartların bir ağırlık fonksiyonu ile konulmasındır. Yaklaşım fonksiyonu, diferansiyel denklemi sağlayıp sınır şartlarının sağlamadığı allerde ise sınır şartları yaklaşık olarak sağlatılır. Bu gruptaki yöntemlere ise sınır yöntemleri adı verilir. Üçüncü grup yöntemlere karışık yöntem adı verilir. e) Sonlu elemanlar yöntemi: Son zamanlarda çok popüler olan sonlu elemanlar yöntemi konu bakımından geniştir. Bu yöntemde çözüm aralığı eleman adı verilen alt aralıklara ayrılır. Her bir elemanda geçerli olan yaklaşım fonksiyonu parametrelere bağlı olarak belirlendikten sonra parametreler eleman uçlarındaki değerlere bağlanır. Sonra bu bağıntılar bütün bölgede birleştirilir. ATIŞ YÖNTEMİ Çok kullanışlı olan bu yöntem ikinci mertebe diferansiyel denklemlerin sınır değer problemlerinin çözümünde kullanılır. Atış yönteminin genel düşüncesi basit olduğu gibi yöntemin programlanması da basittir. Yöntemin yakınsaması garanti edilemez buna karşın yöntem yakınsar ise çok kullanışlı bir yöntemdir. Atış yöntemi için y f( x, y, y) a x b y( a) y( b) şeklinde verilen ikinci mertebe diferansiyel denklemin sınır değer problemini göz önüne alalım. Verilen sınır değer problemi, atış yönteminde, y f( x, y, y) a x b y( a) y( a) C1 şeklinde başlangıç değer problemine çevrilir. Burada C1 değeri tamini olarak seçilen bir başlangıç değeridir. Bu başlangıç değer problemi çözülerek y(b) değeri esaplanır ve y(b)= olacak şekilde C1 değeri değiştirilerek çözüm bulunur. Çözüm bir deneme yanılma yöntemidir. Çözüm, şekil x de görüldüğü gibi A noktasında eğrinin eğimini değiştirerek eğrinin B noktasından geçmesini sağlamaktır. Bu nedenle atış yöntemi adı verilmektedir. Problemin sayısal çözümünde detaylar diferansiyel denklemin doğrusal olup olmamasına göre değişmektedir. En kolay çözüm elektronik tablolar kullanılarak yapılan çözümdür. Excel gibi tablolardan yararlanıldığında yukarıda anlatılan ardışık yaklaşımları tablonun Hedef ara komutu ile kolay bir şekilde yaptırmak mümkündür.

Müendislikte Bilgisayar Uygulamaları y C1 A B 1 a b x C1 C C C Şekil x Şekil x Örnek : y y yy (1 x ) y(1) 1/ ; y() 1/ sınır değer problemini atış yöntemi ile çözünüz. Problemin çözümünde elektronik tablo kullanınız. Çözüm: Verilen problemdeki ikinci mertebeden diferansiyel denklem iki tane birinci mertebeden diferansiyel denkleme indirgeyip RungeKutta yöntemi ile çözülecektir. y=y(x) eğrisinin başlangıçtaki eğimi C olsun. Problem aşağıda verilen başlangıç değer problemine indirgenir. y 1 1 y y1 (1) y y1 y1 y y(1) C Yukarıda verilen C değeri y1()=1/ şartından bulunacaktır. Bunun için C değerleri değiştirilerek y1() değeri esaplanacak ve bu değeri 1/ yapan C değeri ve bu ale ait eğri problemin çözümüdür. C=1 alınarak Runge-Kutta yöntemi ile yapılan çözümde, aşağıdaki tabloda görüldüğü gibi y1()=1,500 dır. C=0,5 alındığında y()=0,9971 bulunur. Excel programında Hedef ara komutu ile C değeri esaplanabilir. Tablo xx görüldüğü gibi y(1)=1,0000 alındıktan sonra (y(1) olarak başka değerde alınabilir) edef ara komutunda ile y1()=0, olacak şekilde y(1) değerinin bulunması istenir. Bu durumda çözüm aşağıda tablo xx de verilmiştir.

Diferansiyel Denklemler 5 Tablo xx xi k1,1 K1, k,1 k, k,1 k, k,1 k, y1 y 1,0 0,5000 1,0000 1,1 1,000-0,75 0,981-0,7 0,981-0,7 0,96-0,6 0,5981 0,968 1, 0,96-0,6 0,95-0,1 0,96-0, 0,99-0,11 0,697 0,989 1, 0,99-0,11 0,91-0,71 0,915-0,7 0,90-0,5 0,781 0,9018 1, 0,90-0,5 0,891-0,168 0,89-0,171 0,885-0,106 0,87 0,8850 1,5 0,885-0,107 0,880-0,0 0,88-0,08 0,881 0,0 0,9616 0,8815 1,6 0,881 0,0 0,88 0,19 0,888 0,1 0,89 0,0 1,050 0,89 1,7 0,89 0,19 0,905 0, 0,910 0,17 0,96 0,0 1,111 0,96 1,8 0,96 0,9 0,98 0,59 0,95 0,55 0,981 0,677 1,6 0,981 1,9 0,981 0,676 1,015 0,819 1,0 0,816 1,06 0,975 1,8 1,06,0 1,06 0,97 1,11 1,16 1,11 1,16 1,178 1, 1,500 1,178 Tablo xx xi k1,1 k1, k,1 k, k,1 k, k,1 k, y1 y 1,0 0,5000-0,500 1,1-0,50 0,50-0,8 0, -0,8 0, -0,7 0,16 0,76-0,68 1, -0,7 0,16-0,16 0,01-0,17 0,0-0,07 0,188 0,55-0,066 1, -0,07 0,188-0,197 0,175-0,198 0,176-0,189 0,16 0,8-0,1890 1, -0,189 0,16-0,181 0,15-0,181 0,15-0,17 0,15 0,167-0,176 1,5-0,17 0,15-0,166 0,16-0,167 0,16-0,160 0,18 0,000-0,1600 1,6-0,160 0,18-0,15 0,10-0,15 0,11-0,18 0,11 0,86-0,179 1,7-0,18 0,11-0,1 0,107-0,1 0,108-0,17 0,10 0,70-0,17 1,8-0,17 0,10-0,1 0,096-0,1 0,096-0,18 0,091 0,571-0,176 1,9-0,18 0,091-0,1 0,086-0,1 0,086-0,119 0,08 0,8-0,1189,0-0,119 0,08-0,115 0,078-0,115 0,078-0,111 0,07 0, -0,1111

6 Müendislikte Bilgisayar Uygulamaları SONLU FARKLAR YÖNTEMİ Sınır değer problemlerinin sayısal çözüm yöntemlerinden en fazla kullanılanlardan biri sonlu farklar yöntemidir. Bir diğer yöntem ise sonlu elemanlar yöntemidir. Sonlu farklar yöntemi teorisi ve kullanışı kolay olması nedeni ile uygun sınır şartları altında sonlu elamanlara üstünlük sağlar. Sonlu farklar yönteminin esası türev işleminin fonksiyon değerleri ile ifade edilmesinde dayanır. Fonksiyon değerleri ile ifade edilen türev işlemleri diferansiyel denklemlerde yerine konulduğunda bir cebrik denklem elde edilir. Bu denklemde bilinmeyen fonksiyonun belirli noktalarda değerleri vardır. Bu denklem çeşitli noktalarda yazılarak elde edilen cebrik denklem sistemi çözülerek bilinmeyen fonksiyon nokta nokta elde edilir. Önce türev değerlerinin fonksiyon değerlerine bağlayan formülleri verelim. İleri doğru farklar cinsinden türev ifadeleri: Bir f(x) fonksiyonu; x0, x1, x,..., xn gibi eşit aralıklı n+1 noktada verilsin. Burada referans noktası olarak x0 noktası alınacaktır. Bir f(x) fonksiyonunun x0, türevi, bu fonksiyonun x1, x,..., xn noktalarındaki değerlerine bağlı olarak aşağıda verilmiştir. f 0 ( 0) 1 f f f x 0 f 0 f1 f f0 f ( x0) 11f 0 18f1 9f f f0 f ( x0) 6 5f 0 8f1 6f 16f f f0 f ( x0) 1 Yukarıda verilen ifadelerdeki ata alınan terim sayısına bağlıdır. Dolayısıyla fazla terim alındığında daa assas esap yapılır. Geriye doğru farklar cinsinden türev ifadeleri: Bir f(x) fonksiyonu; x0, x1, x,., xn gibi eşit aralıklı n+1 noktada verilsin. Burada referans noktası olarak xn noktası alınacaktır. Bir f(x) fonksiyonunun xn noktasındaki türevi, bu fonksiyonun xn, xn-1,., x0 noktalarındaki değerlerine bağlı olarak aşağıda verilmiştir.

Diferansiyel Denklemler 7 f n fn1 fn f ( xn) f n fn 1 fn fn f ( xn) 11f n 18fn 1 9fn fn fn f ( xn) 6 5f n 8fn 1 6fn 16fn fn fn f ( xn) 1 Yukarıda verilen formüllerde fn, fn1, fn, fn, fn, fn5 yerlerine sıra ile f0, f1, f, f, f, f5 konulup terimlerin işaretleri değiştirildiğinde ileriye doğru fark formüllerinde bulunan sonuçlar elde edilir. Merkezi fark cinsinden türev ifadeleri: Bir f(x) fonksiyonu, eşit aralıklı x n, x n+1, x, x 1, x0, x1, x,.., xn gibi noktalarda verilsin. Burada x0 noktası referans noktası olarak alınacaktır. Bir f(x) fonksiyonunun x0 noktasındaki türevi, bu fonksiyonun x n, x n+1, x, x 1, x0, x1, x,.., xn noktalarındaki değerlerine bağlı olarak aşağıda verilmiştir. f 0 ( 0) 1 f f f x 1 f 8f1 8f 1 f f0 f ( x0) 1 Yukarıda verilen ilk formülde, fonksiyonun iki değeri kullanılıyor gibi gözüküyor ise de aslında fonksiyonun üç değeri kullanılıyor; f0 teriminin katsayısı sıfır olduğundan formüllerde gözükmüyor. İkinci formül içinde aynı şey geçerlidir. İleriye ve geriye doğru farklar cinsinden yüksek türevler: f İkinci Türev 0 f1 f f0 5f1 f f f 0 O( ) f 0 O( ) 5f0 10f1 11f 56f 11f f0 O( ) 1 f Üçüncü Türev 0 f1 f f f 0 O( ) 5f0 18f1 f 1f f f0 O( ) ( ıv) f Dördüncü Türev 0 f1 6f f f f 0 O( ) ( ıv) f0 1f1 6f f 11f f5 f0 O( )

8 Müendislikte Bilgisayar Uygulamaları Geriye doğru fark formülleri için yukarıda verilen formüllerde f0, f1, f, f, f, f5 yerine sıra ile fn, fn1, fn, fn, fn, fn5 konulacak birinci (yukarıda bulunmamaktadır) ve üçüncü türevde terimlerin işaretleri değiştirilecektir. Merkezi farklar cinsinden yüksek türevler: f İkinci Türev 1 f0 f f 1 0 O( ) f 16f1 0f0 16f 1 f f 0 O( ) 1 f Üçüncü Türev f1 f 1 f f 0 O( ) f 8f 1f1 1f 1 8f f f 0 O( ) 8 ( ıv) f Dördüncü Türev f1 6f0 f 1 f f 0 O( ) ( ıv) f 1f 9f1 56f0 9f 1 1f f f 0 O( ) 6 Kısmi türevler: İki bağımsız değişkenli fonksiyon u ve bağımsız değişkenler x, y olsunlar. Bu fonksiyonun xi ve y noktasındaki değerini ui, u( xi, y) y (i-1, +1) (i, +1) (i+1, +1) (i-1, ) (i, ) (i+1, ) (i-1, -1) (i, -1) (i+1, -1) y y ile gösterelim. u(x,y) fonksiyonu, şekil xx de görüldüğü gibi, serbest değişkenleri x ve y gibi eşit aralıklarla sıralanan bir ağ üzerinde verilsin. Şekilde ağ üzerindeki noktaların indisleri görülmektedir. xi ve y noktasındaki x doğrultusundaki birinci türevler aşağıda verilen şekilde yazılır. x x x Şekil XX u ui 1, ui, O( x), x x u ui, ui 1, O( x), x x u ui 1, ui 1, O[( x) ] x x

Diferansiyel Denklemler 9 Bu türevlerden birincisi ileriye doğru, ikincisi geriye doğru ve üçüncüsü ise merkezi farklar formunda yazılmıştır. Benzer şekilde; u(x,y) fonksiyonun (xi,y) noktasında y e göre kısmi türevi, u/y, aşağıda verildiği şekilde bulunur. u ui, 1 ui, O( y) y y u ui, ui, 1 O( y) y y u ui, 1 ui, 1 O([ y] ) y y İkinci türevler aşağıda verilmiştir. u u x i1, ui, ui 1, O[( x) ( x) ] u ui, 1 ui, ui, 1 O y y ( y) [( ) ] u u u 1 u u ( ) [( ) i, 1 ( ) i, 1 ] yx y x y x x u u ui 1, 1 ui 1, 1 ui 1, 1 ui 1, 1 O[( x y) ] xy yx xy Yukarıda verilen türevler merkezi farklara göre yazılmıştır. Bu türevlerin ileriye doğru veya geriye doğru farklar şeklinde yazılımı ise aşağıda verilmiştir. İleri doğru Geriye doğru u ui, ui 1, ui, u ui, ui, 1 ui, O[ x] O[ y] x ( x) y ( y) u u ui 1, 1 ui, 1 ui 1, ui, O[ x y] xy yx xy u ui, ui 1, ui, u ui, ui, 1 ui, O[ x] O[ y] x ( x) y ( y) u u ui, ui 1, ui, 1 ui 1, 1 O[ x y] xy yx xy u fonksiyonunun x e göre üçüncü, dördüncü ve karışık türevlerinin esaplanışı ve sonuçları aşağıda verilmiştir. Üçüncü Türev u u 1 u u ( ) [ ] O[( x) ] x x x x x x i1, i1,

10 Müendislikte Bilgisayar Uygulamaları u ui, ui 1, ui 1, ui, O x x ( x) [( ) ] u ui, ui, 1 ui, 1 ui, O y y ( y) [( ) ] Karışık Türev u u u 1 u u ( ) [ ] O[( x y) ] xy y y y x x i1, i1, u u u u u u i1, 1 i1, i1, 1 i1, 1 i1, i1, 1 O x y xy ( x)( y) [( ) ] Karışık Türev u u 1 u u ( ) [ ] O[( x y) ] yx x x x y y i, 1 i, 1 u u u u u u u i1, 1 i, 1 i1, 1 i1, 1 i, 1 i1, 1 O x y yx ( y)( x) [( ) ] Dördüncü Türev u u 1 u u u ( ) [ ] O[( x) ] x x x x x x x ( ) i1, i, i1, u ui, ui 1, 6ui, ui 1, ui, O x x ( x) [( ) ] u ui, ui, 1 6ui, ui, 1 ui, O y y ( y) [( ) ] Karışık Türev u 1 u u u [ ] O [( x y ) ] ( ) i, 1 i, i, 1 y x y x x x u ui 1, 1 ui, 1 ui 1, 1 ui 1, ui, ui 1, ui 1, 1 ui, 1 ui 1, 1 y x ( x) ( y) Yukarıda verilen türevlerde fonksiyon değerlerinin katsayıları atırlamak ve bazı uygulamalarda yardımcı olması için aşağıda şekil xx verilen şablonlar kullanılır. Şablonlarda, tek dereceli türevlerde (birinci ve üçüncü türev) ilgili eksenin yönü önemli olduğundan, eksenin yönü şekilde gösterilmiştir. Eksen yönü olarak şekilde gösterilen yönün tersi alındığında, değiştirilen eksen doğrultusundaki katsayıların simetriğini almak gerekir. Buna ait örnek şekilde u/xy ve u/x türevinde gösterilmiştir.

Diferansiyel Denklemler 11 1 u x 1-1 u y - 1 Şekil 11.

1 Müendislikte Bilgisayar Uygulamaları İkinci mertebe sınır değer problemleri: y A( x) y B( x) y g( x) a x b y( a) y( b) şeklinde verilen ikinci mertebe doğrusal sınır değer problemini göz önüne alalım. Problemin çözüleceği [a,b] aralığını n eşit parçaya ayıralım. Bu şekilde bulunan alt aralıkların uzunluğu =(ba)/n dir Alt aralıkların uç noktaları xi=a+i (i=0,1,..,n) ile belirlenir. [a,b] aralığında (0,1,...,n) olmak üzere n+1 nokta bulunmakta olup y(xi) değerleri bu noktalarda esaplanacaktır. Yukarıda verilen denklemde, türevler yerine fonksiyon değerleri merkezi fark kullanılarak yazıldığında aşağıda verilen bağıntı elde edilir. y( xi1) y( xi ) y( xi1) y( xi1) y( xi1) A( x ) ( ) ( ) ( ) i B xi y xi g xi Yukarıda verilen bağıntıda y(xi) değerleri yerine yaklaşık değerleri olan yi değerler alındığında aşağıda verilen denklem elde edilir. 1 1 (1 A i) yi 1 ( Bi ) yi (1 A ) i yi 1 gi Yukarıda verilen bağıntı i=1,,...,n1 noktalarında yazıldığında n1 denklem elde edilir. Bu denklemlerde y0, y1, y,..., yn, olmak üzere n+1 tane yi değeri vardır. Bu değerlerden y0= ve yn= olarak verildiğinden bilinmeyen sayısı n1 olup bilinmeyen sayısı kadar denklem vardır. Sınır şartları a1 y( a) ay( a) b1 y( b) b y( b) şeklinde verildiğinde artık y0 ve yn değerleri bilinmemektedir. Bu durumda bilinmeyen sayısı n+1 dir. Rekürans bağıntısı i=1,,...,n1 noktalarında yazıldığında n1 denklem elde edilir. Ek iki denklem yukarıda verilen sınır şartı bağıntısının sonlu farklar şeklinde yazılmasından elde edilir. Bu denklemler y 1 y 0 y 1 1 0 1 n n a y a b y b yn şeklindedir. Daa az ata için türev ifadesinde fazla terim alındığında aşağıda verilen sonuçlar bulunur.

Diferansiyel Denklemler 1 a 1 b a 1 1y0 ( y 0 y1 y ), b1 yn ( y n yn1 y n) Yukarıda verilen bağıntılarda türev ifadelerinde ileriye ve geriye doğru farklar kullanılmıştır. Merkezi farklar kullanıldığında y1 y 1 y 1 1 0, n y a y a b n 1yn b bağıntıları yazılır. Bu durumda bilinmeyen yi değerleri y 1, y0, y1, y,..., yn, yn+1 olmak üzere n+ tanedir. Bu alde rekürans bağıntısını i=0,1,,...,n noktalarında yazılmasından n+1 denklem elde edilir. Ek iki denklem ise yukarıda verilen sınır şartları bağıntısıdır. x Örnek : y ( x 1) y y (1 x ) e (0 x 1) y(0) 1; y(1) 0 sınır değer problemini =0,1 alarak sonlu farklar yöntemi ile çözünüz. Çözüm: Rekürans bağıntısı xi=0,1; 0,;...; 0,9 noktalarında yazıldığında dokuz denklem elde edilir. y0=1 ve y10=0 olduğunda yazılan dokuz denklem y1, y,..., y9 olmak üzere dokuz bilinmeyen bulunmaktadır. Dokuz denklem ve sağ tarafları tablo xx de verilmiştir. Tabloda görülen son sütun denklemlerin sağ tarafların göstermektedir. İlk ve son denklemlerin sağ taraflarında gi terimlerine ek olarak y0=1 ve y10=0 dan dolayı ek terimler gelmiştir(aslında y10=0 olduğundan son denkleme ek terim gelmez). Denklem takımı çözüldüğünde bulunan yi değerleri ve bu değerlere ait yüzde ataları tablo xx de verilmiştir. Problemin kesin çözümü y ( x 1) e x dir. Tablo xx x1 x X X x5 x6 x7 x8 x9 -,000 1,0550 0,950 0,900 -,000 1,0600 0,0079 0,950 -,000 1,0650 0,0067 0,900 -,000 1,0700 0,0056 0,950 -,000 1,0750 0,005 0,900 -,000 1,0800 0,005 0,9150 -,000 1,0850 0,005 0,9100 -,000 1,0900 0,0016 0,9050 -,000 0,0008 Tablo xx y1 y y y y5 y6 y7 y8 y9-0,81-0,6550-0,5186-0,0-0,0-0,195-0,190-0,0899-0,007-0,0% -0,0% -0,05% -0,07% -0,09% -0,1% -0,1% -0,17% -0,0%

1 Müendislikte Bilgisayar Uygulamaları ÖZDEĞER PROBLEMLERİ Diferansiyel denklemlerde özdeğer probleminin çözüm yöntemlerinden biri de, diferansiyel denklemi sonlu farklar ile cebirsel denklem aline getirip, cebirsel denklemin sıfırdan farklı çözümüne ait şartlardan yararlanmaktır. Yöntemi y p y 0 y(0) 0, y( L) 0 şeklinde verilen özdeğer problemine uygulayalım. Diferansiyel denklemdeki türevler sonlu farklar ile x1, x,..., xn-1 noktalarında fonksiyon değerleri cinsinden yazıldığında ( p ) y1 y y0 i1 i i1 n ( ) n1 n y ( p ) y y 0 ( i n ) y p y y elde edilir. y0=yn=0 olduğundan ilk verilen denklem takımının sıfırdan farklı çözümünün olması için katsayılar matrisinin determinantı sıfır olmalıdır. Katsayılar matrisini sıfır yapan değerler özdeğer olarak bulunur. Yukarıda verilen denklem takımı vektörel olarak aşağıda verilen şekilde yazılır. ( A I) y 0 p Burada görüldüğü gibi diferansiyel denklem problemi cebirsel bir probleme indirgendi. Burada, katsayılar matrisinin determinantını sıfır yapan değerler deneme ve yanılma yöntemi ile bulunacaktır. Bu değerler özdeğerlerdir. Deneme yanılmadaki ardışık işlemler Excel tabloları ile yapılacaktır. Örnek 5: Bir ucu ankastre diğer ucu boşta ve kendi ağırlığının etkisi altındaki kirişin burkulma yükü EI +qz=0; (0)=0, (L)=0 özdeğer probleminin çözümü ile verilmektedir. Burada; q değeri kolonun birim boy ağırlığı, değişkeni elastik eğrinin türevi olup z ise kolonun tepe noktasından itibaren ölçülmektedir. Kolonun burkulma yükünü sonlu farklar ile bulunuz.

Diferansiyel Denklemler 15 Verilen denklemi ve şartlarını, =z/l şeklinde yeni tarif edilen boyutsuz değişken kullanarak, =ql /(EI) olmak üzere, aşağıda verilen şekilde boyutsuz alde yazalım. d / d 0 (0) 0 (1) 0 Boyutsuz olarak (0,1) aralığı aline gelen çubuk boyunu n aralığa bölelim. Aralık genişliği olsun. Yukarıda verilen diferansiyel denklem, i noktasında aşağıda verilen şekilde yazılır. ( ) 0 i1 i i i1 Aralık üzerindeki noktalar, 0,1,,..,n olarak numaralansın. Son noktada n=0 olarak bilinmektedir. Yukarıda verilen sonlu fark denklemi i=0,n-1 noktalarında yazıldığında n denklem elde edilir. Bu denklemlerde -1, 0, 1, n- 1 olmak üzere n+1 bilinmeyen vardır. Sonunca denklem (0)=0 dan elde edilecektir. Bu şart sonlu fark olarak (1--1)/()=0 yazılır. Buradan 1=-1 elde edilir. Bu sonuç =0 noktasında yazılan eşitlik ile birleştirildiğinde =0 noktasında yazılan eşitlik -0+1=0 şekline gelir. Dolayısıyla denklemlerden -1 bilinmeyeni elimine edilmiş olur. Yukarıda basedilen denklemlerin katsayılar matrisi Tablo xx de görülmektedir. Burada başlangıç değeri olarak =1 alınmıştır. Bu matrisin determinantı sağ üst köşede görülmektedir. Hedef ara komutu ile determinant sıfır olacak şekilde değeri arandığında =7,85 olarak bulunur. Bu durum ikinci tabloda görülmektedir. Bessel fonksiyonları ile yapılan esaplarda =7,87 bulunmuştur. Bu durumda değeri dört diit alınarak esap yapıldığında % 0,1 olarak ata payı elde edilir.

16 Müendislikte Bilgisayar Uygulamaları Örnek 6: Sabit kesitli, iki ucu mafsallı ve kendi ağırlığının etkisi altındaki olan bir çubuğun burkulma yükü d y d dy EI q [( L y) ] 0 y(0) y (0) y( L) y ( L) 0 dx dx dx şeklinde verilen özdeğer probleminin çözümünden elde edilmektedir. Burada: q, çubuğun birim uzunluğunun ağırlığı; y, çubuğun elastik eğrisi; L, çubuğun boyu; EI, çubuğun eğilme riitliğidir. Sonlu farklar yöntemi çubuğun qkr burkulma yükünü bulunuz. Çözüm: Verilen sınır değer probleminde diferansiyel denklemin sağ tarafı (y ve türevlerini bulundurmayan terimler) ve sınır şartlarının sağ tarafları sıfırdır. Dolayısıyla omoen bir diferansiyel denklem omoen sınır şartları altında çözülecektir. Verilen diferansiyel denklemin verilen sınır şartları altında aşikar çözümü y=0 dır. Ancak q nün belirli değerleri için y=0 dan farklı çözüm elde edilebilir. Bu değerler qkr olup iki ucu mafsallı çubuğun kendi ağırlığı altında burkulma yüküdür. Ayrıca qkr değeri tek olmayabilir ki genelde öyledir. Bunlardan en küçük qkr değeri teknik bakımdan önemlidir. Verilen diferansiyel denklemi boyutsuz ale getirmek için de =x/l, =y/l ve =ql /(EI) şeklinde yeni boyutsuz değişkenler tarif edelim. Bu değişkenler yardımı ile verilen diferansiyel denklem ve sınır şartları d d d (1 ) 0 (0) (0) (1) (1) 0 d d d

Diferansiyel Denklemler 17 şeklinde yazılır. Boyutsuz olarak [0,1] aralığı aline gelen çubuk boyunu n eşit alt aralıklara bölelim. Aralık genişliği olsun. Diferansiyel denklemin sonlu fark denklemi, ıv y ( y y 6y y y ) / i i1 i i1 i y ( y y y ) / i1 i i1 y ( y y ) /( ) i1 i1 türev bağıntıları kullanılarak aşağıda verilen şekilde yazılabilir. i [ (1 i) / ] i1 [6 (1 i)] i [ (1 i) / ] i1 i 0 Sınır şartlarına gelince: 0 n 0 olduğunda =0 ve =1 noktalarındaki ikinci türev bağıntılarından aşağıda verilen sonuçlar elde edilir. 1 0 1 n1 n n1 ( ) / 0 ( ) / 0 1 1 n1 n1 Sonlu fark denklemi, i=1,,...,n1 noktalarında yazıldığında 1, 1,...,n1, n+1 olmak üzere (0=n=0 olarak bilinmektedir) n+1 bilinmeyen ve n1 denklem bulunmaktadır. 1= 1 ve n+1=n1 olduğundan bilinmeyen sayısı denklem sayısına eşittir. Bu denklemlerin katsayılar matrisi tablo xx de verilmektedir. Katsayılar matrisinin determinantı tablonun sağ üst köşesinde verilmiştir. Hedef ara komutu ile determinant sıfır olacak şekilde değeri arandığında en küçük değeri =18,987 olarak bulunur. Başka yöntemlerle yapılan esaplarda =18,57 bulunmuştur. Bu durumda bulunan değeri 18,0 alınarak esap yapıldığında % 0,9 olarak ata payı bulunur.