T.C. SELÇUK ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ

T.C. SELÇUK ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ BAZI ÖZEL SAYI DİZİLERİNİN RAFLAR YARDIMIYLA TEMSİLİ Fadim ÖZKAN YÜKSEK LİSANS Matmati Aabilim Dalı Tmmuz-0 KONYA Hr Haı Salıdır

Bu tzdi biitii bilgilri ti daram aadmi urallar ywsid ld dildigii tz yazlm urallaa uygu olara hazlrlaa bu yah~mada baa ait olmaya hr tiirlii ifad bilgii ayagma sisiz atlf yapidlgrm bildiririm. I hrby dclar that all iformatio i this documt has b obtaid ad prstd i accordac with acadmic ruls ad thical coduct. I also dclar that, as rquird by ths ruls ad coduct, I ha fully citd ad rfrcd rsults that ar ot origial to this wor. all matrial ad ~ (.. Fadim OZKAN

ÖZET YÜKSEK LİSANS TEZİ BAZI ÖZEL SAYI DİZİLERİNİN RAFLAR YARDIMIYLA TEMSİLİ Fadim ÖZKAN Slçu Üirsitsi F Bilimlri Estitüsü Matmati Aabilim Dalı Yrd. Doç. Dr. Ncati TAŞKARA 0, 6 Sayfa Jüri Yrd. Doç. Dr. Ncati TAŞKARA Prof. Dr. Ahmt Sia ÇEVİK Doç. Dr. Haa Kasım AKMAZ Bu tzd, graflar grafları Fiboacci sayıları il ilişisi üzri dtaylı bir çalışma suulmatadır. Bu çalışmada tml düşüc, litratürd ola bu ilişilri l almatır. Bazı graflarda bağımsız üm sayısı Fiboacci sayılarıı rmtdir. Bu bağlamda, Fiboacci sayısıı hsaplamasıda tili bir yötm ola öş ar idirgm formüllri rilmiştir. Daha sora da, adı gç bu yötm ullaılara uicyclic, dicyclic grafları ağaçları ut graflarıı Fiboacci sayılarıı hsaplamasıa ilişi çalışmalar iclmiştir. Aahtar Klimlr: Bağımsız üm sayısı, Fiboacci sayıları, graflar i

ABSTRACT MS THESIS THE REPRESENTATION OF SOME KINDS OF SPECIAL NUMBER SEQUENCES VIA RAPHS Fadim ÖZKAN THE RADUATE SCHOOL OF NATURAL AND APPLIED SCIENCE OF SELÇUK UNIVERSITY DEPARTMENT OF MATHEMATICS Adisor: Asistat Prof. Dr. Ncati TAŞKARA 0, 6 Pags Jury Asst. Prof. Dr. Ncati TASKARA Prof. Dr. Ahmt Sia Ci Assoc. Prof. Dr. Haa Kasım AKMAZ I this thsis, a dtaild sury o th rlatios btw graphs ad Fiboacci umbrs is prstd. Th mai ida of our study is to riw such rlatios. Th umbr of idpdt sts i som ids of graphs gi th Fiboacci umbrs. I this ss, th rt ad dg rductio formulas, which ar fficit mthods aluatig th Fiboacci umbr of a graph, ar itroducd. Th,studis o th aluatio of th Fiboacci umbrs of uicyclic graphs, dicyclic graphs, trs, powr graphs ar istigatd by usig th aformtiod mthod. Kywords: Fiboacci umbrs, graphs, umbr of idpdt sts

ÖNSÖZ Bu çalışma Slçu Üirsitsi F Faültsi Matmati Aa Bilim Dalı Öğrtim Üysi Yrd. Doç. Dr. Ncati TAŞKARA yötimid yapılara Slçu Üirsitsi F Bilimlri Estitüsü Yüs Lisas Tzi olara suulmuştur. Bu çalışmada bi yöldir dstlrii sirgmy dğrli hocam Yrd. Doç. Dr. Ncati TAŞKARA ya dstlrid dolayı TÜBİTAK a tşürlrimi suarım. Bu gülr glmmd büyü paya sahip ola ailm il uğradığım hr hayal ırılığıda bi hoşgörü sabırla dily, csartldir trar amacıma yölt caım yol aradaşım Esma BARAN a tşürlrimi suarım. Fadim ÖZKAN KONYA-0 i

İÇİNDEKİLER ÖZET... i ABSTRACT... ÖNSÖZ... i İÇİNDEKİLER... ii SİMELER VE KISALTMALAR... iii. İRİŞ.... KAYNAK ARAŞTIRMASI.... RAFLAR TEMEL ÖZELLİKLERİ...6.. Tml Karamlar...6... raflarda İzomorfizm...8... Alt raflar...... Bir Köşi Drcsi... 9... Rgülr raflar...... İi Parçalı raflar.....6. Yol, Patia İz.....7. raflar Üzrid İşlmlr... 6.. Eulr Hamilto rafları... 0.. Yöldirilmiş raflar (Digraflar)... 6... Digraflarda İzomorfizm... 8... Alt Digraflar... 9... Eulr Hamilto Digrafları..... rafları Matrislr Yardımıyla Tmsili..... Ağaçlar.... RAFLARDA FİBONACCİ SAYI DİZİSİ... 7.. Bir ya İi Dögü İçr rafları Fiboacci Sayısı... 68.. Ağaçlarda Fiboacci Sayısı... 88.. Kut rafları... 98.. rafları Fiboacci Poliomu... 08.. rafları Bağımsız Kar Kümlri.... SONUÇLAR VE ÖNERİLER... KAYNAKLAR... ÖZEÇMİŞ... 6 ii

SİMELER VE KISALTMALAR Simglr V, E : raf N( ) d( ) : öşsii açı omşuluğu : öşsii drcsi N[ ] : d d : öşsii apalı omşuluğu graflarıı bilşsi : graflarıı birlşimi : graflarıı hala toplamı : graflarıı sişimi : graflarıı toplamı D V, E : D digrafıa ait öşsii dış drcsi : D digrafıa ait öşsii iç drcsi : Digraf (yöldirilmiş graf) d : grafıa ait öşsii drcsi : grafıda arıı aldırılması il ld dil alt graf : grafıda öşsii aldırılması il ld dil alt graf [ F ] : grafıı F E( ) arlar ümsi idirgmiş alt grafı [ U ] : grafıı U V ( ) öşlr ümsi idirgmiş alt grafı M E : grafıı bağımsız ar ümsi S L( ) f : grafıı bağımsız öş ümsi : grafıı tamamlayıcısı : grafıı çizgi grafı : grafıı Fiboacci sayısı M ( ) : grafıı icidc matrisi F : grafıı -lmalı tüm bağımsız ümlrii sayısı E( ) A : grafıı arlar ümsi : grafıı omşulu matrisi iii

V ( ) : grafıı öşlr ümsi w( ) : grafıı tüm bilşlrii sayısı f : grafıı öşsii içr tüm bağımsız ümlrii sayısı f : grafıı öşsii içrmy tüm bağımsız ümlrii sayısı K r, s : İi parçalı tam graf C K P S F : öşli dögü : öşli tam graf : öşli tam graf : öşli yıldız :. Fiboacci sayısı T : Ağaç B, d, : Süpürg graf d, : öşlri arasıdai uzalı çap : grafıı mrtbsi : grafıı boyutu : grafıı çapı L :. Lucas sayısı f : grafıı Fiboacci poliomu, : öşli grafıı. uti i

. İRİŞ raf Tori, 76 yılıda Lohard Eulr i (707-78) Köigsbrg öprü problmii l almasıyla yi bir bilim dalı olara ortaya çımıştır. Köigsbrg öprü problmi Eulr i bu problm yalaşımı aşağıda alatıldığı gibidir: 8. yy.ı başlarıda Köigsbrg şhrii ortasıda Prgl hri il çrlmiş Kiphof adası ardır. Şhir aşağıda göstrildiği gibi dört ara parçasıa (A, B, C, D) ayrılmıştır bu ara parçaları arasıdai ulaşım 7 öprü (a, b, c, d,, f, g) il sağlamatadır. C c d g Kiphof A D a b f Şil.. Köigsbrg şhri B Köigsbrg halıı şhirlri il ilgili bir oyu bulduğu söylir. Bu oyu, tüm öprülrd sadc bir z gçm şartı il başlagıç otasıa gri döc şild bir rota blirlmtdir. Ama ar i hal adar uğraşsa da böyl bir yol bulamaz. Eulr 76 yılıda Köigsbrg öprü problmii çizdiği şillr yardımıyla iclr. Bua gör ara parçalarıı otalar il, bu ara parçalarıı birbiri bağlaya öprülri d ara parçalarıı arşılı gldiği otaları birlştir çizgilrl göstrir. Bu durumda şhir aşağıdai diyagramda göstrildiği gibi olur. C c A d g D a b f B Şil..

Şhri bir parçasıa gçildiğid o parçayı farlı bir öprü il tr tm imaı arsa yuarıdai şartları sağlaya yol buluabilir. Buu içi d hrhagi ii ara parçasıı birbiri bağlaya öprü sayısı çift olmalıdır. Köigsbrg şhri is bu şartı sağlamadığıda istil özllit bir yol mcut dğildir. Bu şild slri otalarla, slr arası ilişilri d çizgilrl tmsil dildiği diyagrama graf dir. rafı oluştura otalara öş, çizgilr d ar dir. Eulr i bu çalışmasıı ardıda araştırmacılar problmlrii Eulr gibi şillr atarara iclmişlrdir. Öyl i raf Torisi, matmatiği yaı sıra Kimya, Eoloji, Aroloji, Bilgisayar, Mühdisli, Kodlama Torisi Oyu Torisi gibi birço bilim dalıda giş uygulama alaı bulmuştur. Örği, imyasalları thlili rasiyolarıı ölyc şild imyasalları dpolama biçimid, bir haritaı dört r il boyaabilcğii göstrmd, tüm yüzlri dört fralı rg boyamış üplri hr yöd baıldığıda tüm rlri görübilcği dizilişi bulmada, bir postacıı tüm mtuplarıı dağıtabilcği ısa yol güzrgahıı blirlmd çoğulula trcih dil raf Tori dir. F0 0 F olma üzr F ( ) F F şlid taımlaa sayı dizisi Fiboacci dizisi dir. Bazı Fiboacci sayıları aşağıdai tablo il rilmiştir. Tablo.. 0 6 7 F 0 8 üzr içi 0 dlmii ölri olma F dir. Bu durumda

F olup bu formül Bit Fiboacci formülü dir. L0, L olma üzr L L L ( ) şlid taımlaa sayı dizisi Lucas dizisi dir. Bazı Lucas sayıları aşağıdai tablo il rilmiştir. Tablo.. 0 6 7 L 7 8 9 Fiboacci Lucas sayıları arasıda olma üzr L F F bağıtısı mcuttur. Bu tz graflar grafları Fiboacci sayı dizilri il ilişisi üzri yapıla çalışmaları bir drlmsi olup, bölümd oluşmatadır. Birici bölüm giriş, iici bölüm aya araştırmasıa ayrılmıştır. Üçücü bölümd graflara ilişi tml aramlar tormlr rilr Eulr Hamilto grafları, Yöldirilmiş graflar, ağaçlar grafları matrislr yardımıyla tmsili apsamlı olara suulmuştur. Dördücü bölümd öclil grafları Fiboacci sayı dizilri il ilişilri iclmiştir. Bu amaçla litratürd iyi bili bir grafı Fiboacci sayısı aramı rilmiştir. Bu sayıı hsaplamasıda iyi bir yötm ola öş ar idirgm formüllri rilr bu yötml uicyclic, dicyclic grafları ağaçları ut graflarıı Fiboacci sayılarıı hsaplamaya ilişi çalışmalar iclmiştir. Daha sora bir graf içi -lmalı bağımsız üm aramı rilmiştir graflarda ld dil bu

sayılar il oluşturula Fiboacci taımı suulmuştur. So olara bağımsız ar üm taımı rilmiştir gllştirilmiş Fiboacci sayılarıı bazı özl tipti grafları matchig sayısı olara tmsil d bazı çalışmalar iclmiştir. So bölümd souç örilr suulmuştur.

. KAYNAK ARAŞTIRMASI Chism L. M. (009) Bu çalışmada izomorf olmaya, faat ayı bağımsızlı poliomua sahip graflar içi bağımsızlı dliği aramı taımlaara bu özlliği sağlaya graflar bulumuştur. Ayrıca latis, silidir Möbius laddr graflarıı bağımsızlı poliomları ld dilmiştir. Start M., Wloch A., Wloch I. (009) Bu çalışmada bazı bir ii dögü içr graflar taımlaara bu grafları Fiboacci sayıları hsaplamıştır. Ayrıca öşli ii dögü içr grafları Fiboacci sayıları içi alt üst sıır ld dilmiştir. Wigard. C. (99) Bu çalışmada bazı özl graflar graflar üzrid işlmlrl ld dil yi graflar içi grafları Fiboacci poliomlarıı hsaplamasıda ullaıla öş ar idirgm formüllri ld dilmiştir. Hopis., Stato W. (98) Bu çalışmada hrhagi bir grafı Fiboacci poliomu aramı taımlamıştır. Ayrıca patia dögü grafları Fiboacci poliomu aracılığı il bazı şitlilr ld dilmiştir. Horto L. B. M. (007) Bu çalışmada bir grafı ut grafı taımlaara patia dögü graflarıı. ut grafları içi bağımsız üm sayısıı r gl bir formül ld dilmiştir. Pdrs A. S., Vstrgaard P.D. (00) Bu çalışmada Broom grafı taımlaara bağımsız üm sayısı il ilgili bazı özllilr ld dilmiştir. Ayrıca hrhagi bir ağacı bağımsız üm sayısı içi Broom grafıı bağımsız üm sayısı cisid bir üst sıır ld dilmiştir. Prodigr H., Tichy R.F. (98) Bu çalışmada hrhagi bir grafı içi bağımsız üm taımı ullaılara patia dögü grafları içi bağımsız üm sayılarıı sırasıyla Fiboacci Lucas sayıları olduğu tspit dilmiştir. Lit V. E., Madrscu E. (00) Bu çalışmada graflara ait Fiboacci poliomlarıa ilişi çalışmaları gl bir iclmsi yapılmıştır. Holliday S., Krop E. (0) Bu çalışmada patia-tipi graflar taımlaıp bu grafları tüm bağımsız ar ümlrii sayımı soucu gllştirilmiş Fiboacci sayı dizilri ld dilmiştir. Zhao H., Li X. (006) Bu çalışmada ii tip ağaç taımlaara bu ağaçlar Fiboacci sayılarıa gör sıralamıştır. Ch., Zhu Z. (0) Bu çalışmada t dögü içr grafları bağımsız öş ar ümlrii sayıları hsaplamıştır.

6. RAFLAR TEMEL ÖZELLİKLERİ Bu bölümd graflar içi tml aramlar graf çşitlri ayrıtılı bir biçimd iclmiştir. Bu bölümd ulladığımız tml taım, torm, ör şillr Aldous Wilso (00); Wst (000); Koshy (00); Clar Holto (99), Vasud (006) ayalarıda alımıştır... Tml Karamlar Taım... Bir graf, öş ar ümlrid oluşur. Bu ümlr V ( ) şlid göstril öşlr ümsi il E( ) şlid göstril lmaları V ( ) i sırasız lma çiftlri ola arlar ümsidir. Bir grafı, ( V, E) ya ( V ( ), E( )) şlid göstrilir. Burada da alaşılacağı gibi hr bir ar ii öşyi birlştirir. Örği; u öş ar 6 w Şil.. Yuarıda göstril grafı öşlrii ümsi V ( ) { u,,, w} arlarıı ümsi d E( ) {,,,,,6} dır. arı u öşlrii, arı u w öşlrii, arı w öşlrii, arı w öşlrii arı w öşlrii birlştirir, 6 arı öşsii disi il birlştirir. raflarda bir ar gld ii öşsi blirtilr göstrilir. Örği, arı u ya u şlid,, arları w ya w şlid 6 arı şlid göstrilir.

7 Taım... ( V, E) grafı rilsi. grafıı tüm öşlrii sayısıa grafı mrtbsi dir şlid göstrilir. grafıı tüm arlarıı sayısıa da grafı boyutu dir şlid göstrilir. Örği, yuarıda Şil.. il ril grafı içi 6 dır. Taım... Bir grafta ayı öş çiftii birlştir bird fazla ar arsa bu arlara ço atlı ar (multipl dgs) ya parall ar (parall) dir. Bir grafta bir öşyi disi il birlştir ara ilm (loop) dir. Çoatlı arı ilmği olmaya grafa basit graf (simpl graph) dir. Aşağıda basit H grafı basit olmaya grafıa birr ör rilmiştir. a d a d Ço atlı ar ilm c b c H b Şil.. Ör... Köşlr ümsi V ( ) a, b, c, d E( ) ab, ad, bd, bc, cd, cc arlar ümsi ola grafı Şil.. di gibi çizilbilir. a b d c Şil.. Diat dilirs grafıı c öşsid ilmği olduğuda, basit graf dğildir. Taım... hrhagi bir grafıı bir arı olsu. O zama grafıda arıı bağlı olduğu öşlr i uç öşlri (dpoits) dir. dir. grafıda hiçbir arı uç öşsi olmaya öşy izol öş (isolatd rt) Hrhagi bir grafıda bir ar il bağlı ola öşlr omşu (adjact) öşlr dir. Komşu w öşlri w şlid göstrilir.

8 grafıda sabit bir öşsii tüm omşularıı ümsi i açı omşuluğu (ighbourhood) ya da ısaca omşuluğu dir N( ) şlid göstrilir. N[ ] N( ) { } ümsi d i apalı omşuluğu (closd ighbourhood) dir. Ör... Aşağıdai grafıı göz öü alalım. u 6 w z Şil.. grafıda z öşsi izol öş il arları parall arlardır. Ayrıca u öşsii açı apalı omşuluları sırasıyla; N( u) {, w} N[ u] {, w, u} şliddir. Taım... Köşlri isimldirilmmiş graflara titsiz (ulablld) graf dir. H Şil..... raflarda İzomorfizm raflarda izomorfizm aramıı daha iyi alaşılabilmsi içi öclil iyi bili aşağıdai basit örği rlim.

9 Birbirlriyl gçimy üç omşu lri ltri, su doğalgaz tsisatı döştm istiyorlar. Bu üç omşuu aralarıda bağlatı urmaması şartıyla söz ousu ola tsisatları döşmsii tmsil d graflarda iisi doğalgaz su ltri A B C Şil.6. ya su B A ltri doğalgaz C Şil.7. şlid çizilbilir. Bir grafı çizm içi öşlrii arlarıı bilmmiz ytrlidir. Yuarıdai ört d gördüğümüz gibi bir graf bird ço yolla çizilbilir. Hr ii graf da 6 öş 9 arda oluşur. Souçta slri ilişildirilm biçimlri görsl olara farlılı göstrs d yapıla iş ayıdır. Yai, hr türlü durumda ayı lr ayı tsisatlar döşmiştir. Diğr tarafta ii diagram bzr gözübilir, farlı grafları ifad dbilirlr. Örği; g w A B C Şil.8.

0 g B Şil.9. diyagramları bzrdir, aca ayı graflar dğildirlr. Çüü birici grafta AB arı yo i iici grafta ardır. Böyl bir bzrli (ya farlılı) graflarda izomorfizm aramı il ifad dilir. A w C Taım... ( V, E) ( V, E) grafları rilsi. Eğr f : V V döüşümü -, ört u, V içi u i, E d bir ar olması içi gr ytr şart f u f i d E d bir ar olması is graflarıa izomorf graflar dir şlid göstrilir. Böyl bir f döüşümü d izomorfizm dir. Başa bir dyişl graflarıı izomorf olmaları içi aşağıdai şartlar sağlamalıdır. i) V V ii) E E iii) f : V V -, ört döüşümü omşuluları orumalıdır. Yai; u i E d bir ar olması içi gr ytr şart olmasıdır. f u f d E d bir ar Ör... Aşağıda ril graflarıı izomorf olup olmadılarıı iclylim. b c a d u w Şil.0.

i) V V ( ) ( ), ii) E( ) E( ), iii) f : V V döüşümü içi, f ( a) u, f ( b), f ( c) w, f ( d) şlid taımladığımız döüşüm i) ii) d - ört olup, şimdi d omşuluları oruyup orumadığıı iclylim. Tablo.., y E f ( ), f ( y ) ( ), ( ) f f y, E d ar mı? a, b a, c b, c b, d c, d f ( a), f ( b) u, f ( a), f ( c) u, w f ( b), f ( c), w f ( b), f ( d), f ( c), f ( d ) w, Et Et Et Et Et Et Tabloda da görüldüğü gibi f döüşümü omşuluları orur. Böylc grafları izomorftur. İi grafı izomorf olup olmadığı grafa ait tml lmaları ullaara da iclbilir. Yai, graflarda birii öşlrii yid titliyr diğrii ld dip dilmdiği araştırılır. Buu içi; i) İi grafı öş ar sayısıa baılır, ii) raflarda birii sahip olduğu bir özlliği diğr grafta da olup olmadığı iclir. (Çoatlı ar, ilm ya bir öşyi bağlaya ar sayısı gibi ) Ör... Aşağıda ril H graflarıı izomorf olup olmadılarıı iclylim.

a b 6 f 8 7 h g d H c Şil.. i) Hr ii graf da şit sayıda ar öşy sahiptir. ii) grafıda ii ar il bağlı ola öşlr ümsi {,,7,8} H grafıda ii ar il bağlı ola öşlr ümsi d { b, d, h, f } olur. Yai ii graf da şit sayıda ii ar il bağlı ola öşy sahiptir. Aca; grafıda ii ar il bağlı öşlrd il 7 il 8 omşu öşlr i H grafıda ii ar il bağlı ola { b, d, h, f } öşlrid hiçbirisi omşu dğildir. Bu yüzd V ( ) il V ( H) arasıda omşuluları oruya - ört bir döüşüm taımlaamayacağıda H grafları izomorf dğildirlr. Taım... İzomorf olaca şild öşlri uygu bir titlmsi sahip ii titsiz graf izomorftur. Örği; aşağıda ril titsiz ii grafı öşlrii uygu bir titlmsi il izomorf oldularıı göstrlim. H Şil..

6 6 H Şil.. Böylc yapıla bu titldirm soucu H grafları izomorftur. Dolayısıyla titsiz ola H grafları da izomorf olur.... Alt raflar Taım... ( V ( ), E( )) grafı H ( V ( H), E( H )) grafı rilsi. Eğr V ( H) V ( ) E( H) E( ) is H grafıa grafıı alt grafı (subgraph) dir. Örği, aşağıda bir grafı bu grafa ait H S alt grafları rilmiştir. u u u w w H S Şil.. w Ör... Aşağıda ril H grafıı i alt grafı olup olmadığıı iclylim.

u u w w H Şil.. H grafıdai arı y ait olmadığıda H grafı, grafıı alt grafı dğildir. Alt graflar titsiz graflar içi gllştirilbilir. Örği, aşağıda titsiz bir grafı bu grafa ait H M alt grafları rilmiştir. H M Şil.6. Taım... H grafları rilsi. Eğr H grafı i V ( H) V ( ) ya E( H ) E( ) olaca şildi bir alt grafı is bu durumda H grafıa i düzgü (propr) alt grafı dir. Örği, aşağıda Şil.7. il göstril graflarıda grafı, grafıı alt grafıdır. Ayrıca V ( ) V ( ) olduğuda grafı grafıı düzgü alt grafıdır. A B a b a b d c D C c d Şil.7.

Taım... H grafları rilsi. Eğr H grafı i V ( H) V ( ) olaca şild bir alt grafı is H grafıa i apsayıcı alt grafı (spaig subgraph) dir. Ör... Aşağıda ril graflarıı iclylim. a b a b d c d Şil.8. c grafı grafıı alt grafıdır. Ayrıca V ( ) V ( ) oluğuda grafı grafıı apsayıcı alt grafıdır. Diğr tarafta E( ) E( ) olduğuda grafı ayrıca grafıı düzgü alt grafıdır. Taım... ( V, E) grafı az ii öşli bir graf olma üzr i hrhagi bir V öşsii bu öşsii uç öş abul d tüm arları silimsiyl ld dil i alt grafı şlid göstrilir. Örği, aşağıda grafı alt grafı göstrilmiştir. 6 6 6 6 9 7 8 0 0 Şil.9. Taım... ( V, E) grafı rilsi. grafı il ayı V öş ümsi E içi E ar ümsi sahip i alt grafı şlid göstrilir. Örği aşağıda grafı alt grafı çizilmiştir.

6 6 6 6 6 9 7 8 0 9 7 8 0 Şil.0. Yuarıdai taımları birço öşi arları silimsi şlid gllştirbiliriz. Taım...6. ( V, E) grafı U V alt ümsi rilsi. grafıda U u lmaı ola öşlri (dolayısıyla bu öşlr il uç öşlrid az biri U da ola arlar da silictir.)silimsi il ld dil alt graf U şlid göstrilir. Ör... Aşağıda grafı V,,,,,, U, grafı göstrilmiştir. 6 içi U alt 6 6 6 9 7 8 0 9 7 8 0 Şil.. U Taım...7. ( V, E) grafı F E alt ümsi rilsi. grafıda F i lmaı ola arları silimsi il ld dil alt graf Aşağıdai ört d görülcği gibi, sahiptir. F şlid göstrilir. F alt grafı grafı il ayı V öş ümsi

7 Ör... Aşağıda grafı E,,,,,,,,,, 6 F,,,, içi F alt grafı göstrilmiştir., 6 7 8 9 0 6 6 6 9 7 8 0 9 7 8 0 F Şil.. Taım...8. grafıda tüm ilmlri aldırılması parall arlarda sadc biri alaca şild diğrlrii silimsi il ld dil alt grafa i apsadığı basit alt graf (udrlyig simpl graph) dir. Örği, aşağıda grafı bu grafı apsadığı basit H alt grafı göstrilmiştir. 6 6 H Şil. Taım...9. ( V, E) grafı U V alt ümsi rilsi. Köşlri U u lmalarıda, arları da i hr ii uç öşsi d U da ola arlarıda oluşa alt grafa i U ya idirgmiş alt grafı (iducd subgraph) dir. i U ya idirgmiş alt grafı U şlid göstrilir.

8 Bzr şild F E alt ümsi içi d arları F i lmaları öşlri d F di arları uç öşlri ola alt grafa i F y idirgmiş alt grafı dir. i F y idirgmiş alt grafı F şlid göstrilir. Ör... Aşağıda bir grafı bu grafıı U,, F,,,, 7 9 arlar ümsi idirgmiş alt grafları rilmiştir. öşlr ümsi 6 6 6 9 7 8 0 7 8 9 7 U F Şil.. Taım...0. ( V, E) grafı i ( V, E), ( V, E) alt grafları rilsi. Eğr alt grafları orta öş içrmiyorsa yai; V V is graflarıa ayrı (disjoit); orta ar içrmiyorsa da yai; E E is graflarıa ar ayrı (dg disjoit) graflar dir. Örği; aşağıda Şil.. il ril graflarda grafları ayrı, grafları da ar ayrı graflardır. 9 6 6 7 8 0 6 6 Şil..

9... Bir Köşi Drcsi raf Torisi d birço uygulamada bir öşi bağlı olduğu ar sayısıa ihtiyaç duyarız. Örği bir aşata birlş yolları sayısıı blirlmd, bir ltri drsii uç birimlrid birlş abloları sayısıı bulmada ya imyada icl bir atomu omşuları il yaptığı bağ sayılarıı blirtmd ullaıla hp bir öşi drcsidir. Taım... ( V, E) grafı rilsi. grafıda öşsii bağlı olduğu ar sayısıa V öşsii drcsi (dgr) dir. Drc blirlir hr bir ilm ii r sayılır. öşsii drcsi dr( ), dr ( ) ya d( ) şlid göstrilir. Hrhagi bir grafıı hr bir öşsii drclrii üçüt büyüğ grtiğid trarlaara listlmsi i drc dizisi (dgr squc) dir. Ör... Aşağıdai grafı içi u Şil.6. w y u w y dr, dr, dr, dr, dr 0 dır. Dolayısıyla grafıı drc dizisi (0,,,,) dir. Ör... Aşağıda titldirilmmiş graflar bu graflara ait drc dizilri rilmiştir. (,,,,,,,,) (,,,,) (0,,,,) Şil.7.

0 Torm... (Toalaşma Tormi) V, E grafı içi V, E olsu. Bu durumda grafıda öşlri drclrii toplamı, arları sayısıı ii atıdır. Yai; i dr ( ) i dir. İspat. Hr bir arı ii uç öşsi olduğuda öş drclri at ti dr. Toalaşma Tormi, ismii blli bir grupta toalaşa isaları tmsil d grafta alır. Örği, aşağıda öşlri bir gruptai isaları, arları da bu grupta tolaşa isa çiftlrii tmsil d grafı rilmiştir. Kaya İrm Ayş Ali Esra Şil.8. Bir grafı öşsi, drcsii t ya da çift olmasıa bağlı olara t ya da çift şlid isimldirilir. Souç... Hrhagi bir V, E grafı içi V, E olma üzr t öşlri sayısı çifttir. İspat W, grafıı t öşlrii ümsi; U da grafıı çift öşlrii ümsi olsu. Bu tadird u U içi d( u ) çift olduğuda d( u) çift olur. Torm... d uu d( u) d( w) d( ) uu ww V ww d( w) d( u) uu

olur. So şitliği sağ tarafı çift d( w) toplamıdai tüm trimlr t olduğuda ww ww d( w) dğrii çift olması içi trim sayısı çift olmalıdır.... Rgülr raflar Taım... Tüm öşlrii drcsi ayı ola graflara rgülr (rgular) graf dir. Özl olara tüm öşlrii drcsi r ola rgülr grafa r-rgülr; r dğri d grafı rgülrli drcsi dir. Örği, aşağıda farlı r dğrlri içi bazı r-rgülr graflar çizilmiştir. r 0 r r r r r Şil.9. Ör... Aşağıda r,, dğrlri içi 8 öşli rgülr graflar çizilmiştir. r r r Şil.0. Lmma..., öşli r-rgülr graf is bu tadird i ar sayısı r dir. İspat Torm... gör arları sayısı tüm öşlri drclrii toplamıı yarısı adar olduğuda i ar sayısı r olur. Taım... Hr öşsi diğr tüm öşlr il omşu ola grafa tam (complt) graf dir. öşli tam graf K il göstrilir.

ar sayısı K grafıı rgülrli drcsi dir. Dolayısıyla Torm... d d ( ) dir. Ör... Aşağıda. mrtby adar tüm K grafları göstrilmiştir. K K K K K Şil.. Taım... 0 öşli, arlı -rgülr grafa Ptrs graf dir. 0 9 6 8 7 Şil..... İi Parçalı raflar Taım... Bir grafı öşlri ii ayrı ümd oluşuyor hr bir ar farlı ümlrd ii ayrı öşyi birbiri bağlıyor is bu tür graflara ii parçalı (bipartit) graf dir. Ör... Şil..

Yuarıdai şild d görüldüğü gibi ii parçalı grafta bir arı uç öşlri farlı ümlr aittir. Şil.6. il ril grafı öşlri lr tsisatlar olara ii üm blirttiğid hr bir ar, bir il bir tsisatı bağladığıda graf ii parçalı graftır. Taım... Köşlr ümsi A B ola ii parçalı grafta A ya ait hr bir öş B i hr bir öşsiyl sadc bir arla omşu is bu tadird bu grafa ii parçalı tam graf (complt bipartit graph) dir. r lmalı A ümsi s lmalı B ümsi il ld dil ii parçalı tam graf K r, s ya K s, r şlid göstrilir. Örği, aşağıda farlı ii parçalı tam graflar çizilmiştir. K, K, K, Şil....6. Yol, Patia İz Taım..6.. Bir grafıda u, w, w,, yz şlid ta ardışı omşu arlar dizisi uzuluğudai yol ya u il z arasıda bir yol (wal) dir. Ör..6.. Aşağıda ril graf üzrid u da y, d w y, w d, d y y y d d z y taımlaa yol, ısaca uw yz şlid göstrilir. Ayrıca icldiğimiz graf yöldirilmmiş olduğuda ayı yol; zy wu olara da göstrilbilir. w z u Şil.. y

Taım..6.. Farlı arları taip dildiği yola iz (trail) dir. Hm farlı arları hm d farlı öşlri taip dildiği yola is patia (path) dir. öşli bir patia P il göstrilir. Ör..6.. Pi, i,,, grafları rilsi. P P P P Şil.6. örüldüğü gibi bu graflar patia graflardır. Ör..6.. Aşağıda ril grafıı l alalım. w u z Şil.7. y zzywy yoluda hr ar bir z ullaıldığıda bu yol izdir. Faat y z öşlri iişr z ullaıldığıda patia dğildir. yzzy yolu; uzuluğu ola öşsi il y öşsi arasıda bir izdir. Faat z öşsi ii z ullaıldığıda patia dğildir. patiadır. uyz yolu, uzuluğu ola u öşsi il z öşsi arasıda bir iz olup, ayrıca Taım..6.. V, E grafı rilsi. grafıda, y V ( ) öşlri arasıdai ısa patia yoluu uzuluğua y öşlri arasıdai uzalı dir d(, y) şlid göstrilir. Eğr böyl bir patia yolu mcut dğils d(, y) olur. Taım..6.. grafıda hrhagi ii öş il oluşturulabilc büyü uzalığa i çapı (diamtr) dir çap( ) il göstrilir. Taım..6.. Bir grafı hr öş çifti arasıda bir patia arsa bu grafa bağlatılı (coctd), asi tadird bağlatısız (ucoctd) dir.

Hr bağlatısız graf bağlatılı alt graflara ayrılabilir. Bu alt graflara bilş (compot) dir. Bir graftai tüm bilşlri sayısı w( ) il göstrilir. Ör..6.. Aşağıda ril grafta hr öş çifti arasıda bir patia yolu mcut olmadığıda bağlatılı dğildir. Faat bağlatılı dört alt grafa bölübilcğid bilş sayısı dörttür. Yai w( ) olur. Şil.8. Taım..6.6. Bağlatılı bir V, E grafıda arıı aldırılması il ld dil grafı E arı rilsi. Eğr alt grafı bağlatısız oluyorsa bu durumda arıa öprü (bridg) dir. Örği, aşağıdai grafta tz arı aldırıldığıda graf, bağlatısız olacağıda tz arı öprüdür. s w t z u Şil.9. y Taım..6.7. Bir grafta ayı öş il başlayıp ayı öş il bit u, w, w,, yz, zu ardışı omşu arlar dizisi apalı yol (closd wal) dir. Asi tadird açı yol (op wal) dir. z u y Şil.0. w

6 Taım..6.8. Tüm arları farlı ola apalı yola apalı iz (closd trail) dir. Tüm arları ortadai tüm öşlri farlı ola apalı yola is dögü (cycl) dir. öşli dögü C şlid göstrilir. Uzuluğu ola dögüy özl olara üçg (triagl) dir. C C C C C Şil.. dögüdür. Yuarıdai şillrd d alaşılacağı gibi bağlatılı -rgülr ola graflar C dögüsüd bir ar aldırılması il ld dil graf, öşli P patiasıdır. Ör..6.. w u z y Şil.. il ril grafıda; ywyz apalı yoluda taip dil hr ar birbirid farlı olduğuda ywyz yolu apalı izdir. Faat y öşsid ii z gçildiğid dögü dğildir. zz, wy wyz yolları dögü, wy wyw yolları is üçgdir...7. raflar Üzrid İşlmlr Taım..7.. grafları rilsi. graflarıı birlşim grafı

şlid göstrilir. Bu durumda V, E grafıı öş ar ümlri, 7 olup bu birlşim V V V E E E biçimid oluşturulur. Örği aşağıda graflarıı birlşimi göstrilmiştir. a b b a b c d d 6 c d 6 Şil.. Taım..7.. grafları, az bir öşlri orta ola ii graf olsu. graflarıı sişim grafı şlid göstrilir. Bu durumda ( V ( ), E( )) olup bu sişim grafıı öş ar ümlri V V V E E E biçimid oluşturulur. Örği aşağıda hrhagi grafları il bu grafları sişim grafı göstrilmiştir.

8 a b c 6 c d a b a d Şil.. Taım..7.. grafları sişimlri boş üm ola ii graf olsu. Bu durumda toplam grafı olup öş ar ümlri :, V V V E E E V V biçimid oluşturulur. Aşağıda ii grafı toplamı göstrilmiştir. a a a a b b c c c c Taım..7.. V, E, toplamı Şil.. V E grafları rilsi. graflarıı hala şlid göstrilir. Bu durumda V, E olup bu grafı öş ar ümlri, V V V E E E E E

9 biçimid oluşturulur. y a y c a z c z w b b w Şil.6. Taım..7.. V, E grafı rilsi. grafıda omşu olmaya öşlri omşu yapılması omşu öşlri d bağlı olduları arları aldırılması il ld dil basit grafıa grafıı tamamlayıcısı (complmt) dir. u w u w z y z y Şil.7. Taım..7.6. V, E V, E grafları rilsi. Bu durumda bilş grafıı öşlri arları :,, içi ya V V V E u u u u u u u biçimid oluşturulur. Örği aşağıda ii graf bu grafları bilşlri göstrilmiştir.

0 u ( u, u ) ( u, ) ( u (, ), w ) ( u, ) ( w, ) u w (, u ) (, ) (, w ) ( u, u ) (, u ) ( w, u ) Şil.8... Eulr Hamilto rafları Bu ısımda hrhagi bir yol haritasıdai yol şhirlrl ilgili ii tip problmi çözümüü iclycğiz. Bu problmlr aşağıdai gibidir: Kâşif Problmi: Bir âşif, çıacağı turda tüm yollarda sadc bir z gçip böyllil hr yolu görm turu souda tura başladığı yr gri döm istr. Bu istğ uygu bir tur düzlbilir mi? zgi Problmi: Bir turist, turuu tüm şhirlrd sadc bir z gçip hr şhri görc turuu başlagıç otasıa gri döc şild düzlybilir mi? Ör... a b g c şhir yol d f Şil.9. Bir âşif turuu, tüm yollarda bir z gçc tura başladığı şhr gri döc biçimd abcdfbgcgfa ya afgcdgbcfba olara plalayabilir. Bir turist d tüm şhirlri görc tura başladığı şhird turuu soladıraca şild abcdgfa ya afdcgba olara turuu düzlybilir.

örüldüğü gibi âşif hr yolda tam bir z gçr bazı şhirlrd bird fazla gçbilir. Öt yada turist d hr şhird tam bir z gçr bazı yollarda hiç gçmybilir. Haritadai şhirlri öşlr il, şhirlri bağlaya yolları da arlar il tmsil dildiği grafı göz öü alalım. Bu tadird âşif problmi, grafı hr arıı içr apalı bir iz bulma i, gzgi problmi d grafı hr öşsii içr bir dögü bulma problmidir. Taım... Hr arı içrc şildi bir apalı izi apsaya bağlatılı grafa Eulr graf dir. Böyl bir iz d Eulr izi dir. Hr öşyi içrc şildi bir dögüyü apsaya bağlatılı grafa is Hamilto graf dir. Böyl bir dögüy d da Hamilto dögüsü dir. Ör... Aşağıda ril grafıı Eulr graf Hamilto graf olup olmadığıı iclylim. b c a g d f Şil.0. grafıda abfgcbgdcfa şlid hr arı içr bir apalı iz olduğuda grafı Eulr graftır. abcdgfa yolu hr öşyi içr bir dögü olduğuda grafı ayrıca Hamilto graftır. Ör... Aşağıda ril grafları Eulr graf Hamilto graf olup olmadığıı iclylim.

a a a b a b f d d h g f c b d c d c c b (a) (b) (c) (d) a b a b c a d b d c f d c () (f) (g) Şil.. Tablo.. raf Eulr Eulr izi Hamilto Hamilto dögüsü (a) Hayır Yo Et abdca (b) Et abcadbcda Et abcda (c) Hayır Yo Et abcdhgfa (d) Et acdfcbfbada Et abfdca () Hayır Yo Hayır Yo (f) Hayır Yo Et cdafbc (g) Hayır Yo Et badcb Lmma... grafı rilsi. Eğr i hr öşsii drcsi az is bu durumda, bir dögü apsar.

İspat P, grafıdai bir masimal patiayı u da bu P patiaı uç öşsii göstrsi. P, masimal patia olduğuda uzatılamayacağı içi u u tüm omşu öşlri P y ait olma zorudadır. u Şil.. Ayrıca u u drcsi di diğr tüm öşlr gibi az olduğuda P patiası masimal olduğuda u öşsii yuarıda da göstrildiği gibi bir öşsi il omşu yapa az bir ar ardır. Bu tadird u arı P patiasıı u da y ola parçası il bir dögü oluşturur. Torm... Bir grafıı Eulr graf olması içi gr ytr şart i tüm öşlrii drclrii çift olmasıdır. İspat. grafı Eulr graf olsu. Bu durumda d hr arı içr apalı bir iz ardır. Bu izd hr ar sadc bir z ullaıldığıda gçtiği hr öşi drcsi i atı yai çift olacatır., tüm öşlrii drclri çift ola bir graf olsu. i Eulr grafı olduğuu m ar sayısı üzrid tümarımla göstrlim. m 0 içi, t öşli apalı iz olduğuda Eulr graftır. m d az arlı tüm grafları Eulr graf olsu. Hipotzd i tüm öşlrii drclri çift olduğuda bu drclr az dir. Bu tadird Lmma... d, bir C dögüsü apsar. grafıda bu C dögüsüü E( C) arlarıı silimsi il ld dil grafı şlid göstrlim. C dögüsüd hr öşd ii ar olduğuda i tüm öşlrii drclri çift olduğuda grafıı bütü bilşlridi tüm öş drclri çifttir. Dolayısıyla grafıı bütü bilşlri, m d az arlı hr bir bilşi tüm öşlri çift drcli olduğuda hipotz grği tüm bilşlr Eulr graf olur. i hr arıı içr apalı izii oluşturma içi is aşağıdai adımlar izlir. i) C dögüsü üzrid hrhagi bir öşsi il yola başlaır. ii) C dögüsü üzrid hr arda bir z gçc şild grafıı hrhagi bir bilşi ait dögü il arşılaşıcaya adar yola dam dilir. iii) grafıı bilşidi dögüy ait öşy glic bilş ait dögü taip dilr yolu başladığı C dögüsü ait öşy gliir.

rtiği durumlarda iii) adımı uygulaara C dögüsüü tüm arları taip dilc şild oluşturula apalı Eulr izi grafıı Eulr olduğuu göstrir i istdir. Bu tormi bir uygulaması olara aşağıdai grafı rilbilir. C Şil.. Ör... K 8 tam grafıda hr öşi drcsi 7, yai t olduğuda K 8 grafı Eulr graf dğildir. K 8,8 ii parçalı tam grafı 8. drcd rgülr olduğuda, yai tüm öş drclri çift olduğuda Eulr graftır. C 8 dögüsüü tüm öş drclri, yai çift olduğuda C 8, Eulr graftır. Taım... Eulr graf olması içi sadc yola başladığı öşd yoluu bitirm şartıı sağlamaya yai, hr arda sadc bir z gçc şild apalı dğil d açı iz sahip ola grafa yarı-eulr graf dir. Böyl bir iz d yarı-eulr izi dir. Torm... bağlatılı grafıı yarı-eulr graf olması içi gr ytr şart t drcli öşy sahip olmasıdır. Ör... Aşağıdai grafları yarı-eulr graf olup olmadıları, ğr yarı-eulr graf islr yarı-eulr izlri rilmiştir. a b a u d z w d (a) c c (b) b y (c) Şil..

(a) grafıda t drcli ola öş sayısı (a b öşlri) olduğuda (a), yarı-eulr graftır. Yarı-Eulr izlrid biri abdacb açı izidir. graf dğildir. (b) grafıda t drcli ola öş sayısı olduğuda (b) grafı yarı-eulr (c) grafıda t drcli ola öş sayısı (z w) olduğuda (c) grafı yarı-eulr graftır. wzuyzuwywz şlid yarı-eulr izi buluabilir. Hr öşsid gçc şild bir dögüy sahip ola grafları Hamilto graf olara taımlamıştı. İl baışta ril bir grafı Hamilto olup olmadığıı Eulr graflardai gibi bir ritr yardımıyla blirlbilcği düşüülbilir. Faat böyl bir ritr Hamilto graflar içi mcut dğildir. Örği; i hr dğri içi C dögüsü, içi K tam grafı Hamilto graftır. a a b b d c C K Şil.. d c Torm... (Or s Torm) olma üzr, öşli basit bağlatılı bir graf olsu. Bu tadird omşu olmaya hr u öşlri içi dr( ) dr( w) is grafı Hamilto graftır. Ör..6. Aşağıda Şil.6. il ril grafta omşu olmaya hrhagi ii öş göz öü alıırsa dr( ) dr( w) olduğuda Or Tormi grği grafı Hamilto graftır.

6 a b d Şil.6. c Torm... ü trsi doğru dğildir. Yai hr Hamilto graf Or Tormi i sağlama zoruda dğildir. Ör..7. C dögüsü Hamilto graftır. Faat C d omşu olmaya hr ii öşi drclri toplamı, yai toplam öş sayısıda üçütür. Dolayısıyla C grafıı Hamilto graf olması Or Tormi i sağlamasıı grtirmz. a b d C Şil.7. c.. Yöldirilmiş raflar (Digraflar) Taım... Köşlr ümsi il lmaları sıralı öş çifti ola arlar ümsid oluşa grafa yöldirilmiş graf (dirctd graph) ya da ısaca digraf dir. Karlar, sıralı öş çifti il oluşturulduğuda yölü olurlar. Hrhagi bir digrafta yr ala yölü arlara yay (arc) dir. Yayı oluştura öş çiftlri yayı uç otaları (dpoits) olara adladırılır. Bu uç otalarda ili yayı uyruğu ya başlagıcı, iicisi is yayı başı ya bitişi adı rilir. Bir yay il bağlı ii öşy omşu öşlr (adjact rtics) dir. Örği; Şil.8. d ril graf içi w öşlri omşu öşlrdir.

7 w Şil.8. Ör... Aşağıda öşlr ümsi D digrafı rilmiştir. u,, w, yaylar ümsi,,,,,6 ola u yay 6 D w öş Şil.9 Hrhagi bir digraftai yaylar, yölri gör öş çiftlri il d göstrilbilirlr. Bua gör yuarıdai D digrafıda yayı u, yayı uw, yayları w, yayı w 6 yayı şlid göstrilir. Taım... Bir digrafta ii ya daha fazla yay, ayı ii öşy ayı yö il bağlı is bu yaylara ço atlı yay (multipl arcs) dir. Başlagıcı bitişi ayı ola yaylara is ilm(loop) dir. Örği, aşağıda hm ço atlı yay hm d ilm içr bir D digrafı göstrilmiştir. u ço atlı yay ilm 6 w D Şil.60 Taım... Ço atlı yaylara ilmğ sahip olmaya digraflara basit digraf (simpl digraph) dir. Ör... Aşağıda Şil.6. il ril digrafları basit olup olmadılarıı iclylim.

8 D D D D Şil.6. D digrafı ço atlı yay içrdiğid D digrafı da ilm içrdiğid basit digraf dğillrdir. D D digrafları ço atlı ar d ilm içrdilrid basit digraflardır.... Digraflarda İzomorfizm Taım... D D digrafları rilsi. Eğr D D aşağıdai şartları sağlıyorsa bu digraflara izomorf digraflar dir. i) V D V D ( ) ( ) ii) E( D ) E( D ) iii) f : V ( D) V ( D) döüşümü omşuluları oruyaca şild - ört bir döüşüm olmalıdır. Yai; u i D digrafıda u d bağlı bir yay olması içi gr ytr şart f ( u ) f ( u ) i d D digrafıda f ( u ) d f ( u ) y bir yay olmasıdır. Ör... Aşağıda birbiri izomorf D D digrafları rilmiştir.

9 u w D D Şil.6.... Alt Digraflar Taım... Bir digrafıı bazı öşlri bazı yayları ullaılara oluşturula digrafa i alt digrafı (subdigraph) dir. Örği; aşağıda bir D digrafı bu digrafı ii farlı alt digrafı rilmiştir. u u 6 D w 6 w u w D D Şil.6. Taım... Bir digraftai yayları olarıı aldırılması il ld dil yi grafa digrafı apsadığı graf (udrlyig graph) dir. D Şil.6.

0 Taım... D digrafı V ( D) öşsi rilsi. öşsid bağlı (yai öşsii uyru olduğu) yayları sayısıa i dış-drcsi (outdgr); y bağlı (yai öşsii baş olduğu) yayları sayısıa da i iç-drcsi (idgr) dir. öşsii dış-drcsi d ( ) il iç-drcsi is d ( ) il göstrilir. Bir digrafta hr bir ilm arşılı gldiği öş içi ta iç-drc ta dış-drc olara sayılır. Ör... Aşağıdai D digrafıda hr bir öşi iç dış drclrii bulalım. w u z y D Şil.6. d ( u) d ( ) d ( w) d ( ) 0 d ( y) d ( z) d ( u) 0 d ( ) d ( w) d ( ) 0 d ( y) 6 d ( z) şlid olur. Ayrıca D digrafı içi Dış-drc dizisi 0,,,,,, İç-drc dizisi 0,0,,,,6 olur. D digrafıı toplam yay sayısı 0, dış-drclr toplamı 0 iç-drclr toplamı 0 dur. Torm... Hrhagi bir öşli, q ta yaylı öşlr ümsi,,, digrafta dış-drclr ya iç-drclr toplamı, digrafı toplam yay sayısıa şittir. Yai; ola i i i d ( ) d ( ) q i dır.

Taım... Bir digrafta u, w, w,, yz şlid ta yayları dizisi uzuluğuda bir yol dir. Tüm yayları farlı olduğu yola iz (trail) dir. Hm tüm yayları hm d tüm öşlri farlı olduğu yola is patia (path) dir. Ör... Aşağıda ril D digrafıı göz öü alalım. w u z D Şil.66. y wywyzzu yolu, d u ya uzuluğu 9 ola bir yoldur. uwyz yoluda hr bir yay bir z ullaıldığıda bu yol izdir. wyz yoluda hr bir yay öş bir z ullaıldığıda bu yol patiadır. Taım... Bir digrafta başlagıç bitiş öşlri ayı ola yola apalı yol, tüm yayları farlı olduğu apalı yola apalı iz (closd trail), uç öşlri hariç ortadai tüm öşlri farlı olduğu apalı iz is dögü (cycl) dir. Yuarıdai Ör... il ril D digrafıda uwyzu yolu iz, uwyzu yolu da dögüdür. Ör... t u s y z H Şil.67. w H digrafıda t öşsid w öşsi tüm patialar; tsyzuw, tsyzw, tsyzuw, tsyzw

dir. w öşsid t öşsi ola tüm patialar is; wyt, wzut, wyzut şliddir. Faat t w öşlrii apsaya bir dögü yotur. Taım...6. Bir digrafı apsadığı graf bağlatılı is digrafa zayıf bağlatılı (waly coctd) ya da ısaca bağlatılı dir. Asi hald bağlatısız (ucoctd) dir. Bir digrafta hr bir öş çifti arasıda az bir patia mcut is bu digrafa utli bağlatılı (strogly coctd) dir. Ör... Aşağıdai digrafları bağlatılılığıı utli bağlatılılığıı iclylim. t u t u s y z s y z w w Şil.68. H digrafıı apsadığı graf bağlatısız olduğuda digrafı da bağlatısızdır. H digrafıı apsadığı graf bağlatılı olduğuda H, bağlatılıdır; faat utli bağlatılı dğildir. Çüü örği z d y y bir patia mcut dğildir. Öt yada Ör... il ril H digrafıı hr bir öş çifti arasıda bir patia olduğuda H, utli bağlatılıdır.... Eulr Hamilto Digrafları Taım... Bir digrafıda grafı hr bir yayıı içr apalı bir iz arsa digrafıa Eulr digraf dir. Böyl bir iz d Eulr izi dir. Bir digrafıda grafı hr öşsii içr dögü arsa digrafıa Hamilto digraf dir. Böyl bir dögüy d Hamilto dögüsü dir.

Ör... b c a g d f (a) Şil.69. (a) digrafıda abgfbcgcdfa şlid hr yayı içr apalı bir yol buluabildiğid (a) digrafı Eulr digraftır. Ayrıca (a) digrafıda abcdgfa yolu hr öşyi içr bir dögü olduğuda (a) Hamilto digraftır. Torm... bağlatılı digrafıı Eulr digraf olması içi gr ytr şart i hr öşsii iç-drcsi il dış-drcsii şit olmasıdır. Torm... Eulr digrafı, hrhagi ii yayı orta olmaya dögülr ayrılabilir... rafları Matrislr Yardımıyla Tmsili Taım..., öşlri,,,, il titldirilmiş bir graf olsu. Bu durumda i. satır j. sütu lmaı, grafıda i. öş il j. öşyi bağlaya arları sayısı olara taımlaa matris grafıı omşulu matrisi (adjaccy matri) dir bu matris A( ) şlid göstrilir. Ör... Aşağıda Şil.70. il ril grafı omşulu matrisii oluşturalım. Şil.70. öşlri bir ar il bağlı olduğuda omşulu matrisii a, a, lmaları dir.

öşlri ii ar il bağlı olduğuda matrisi a, a, lmaları dir. öşlri bir ar il bağlı olduğuda matrisi a, a, lmaları dir. öşsi disi bir ar il bağlı olduğuda matrisi a, lmaı dir. öşlrii bağlaya ar olmadığıda matrisi a, a, lmaları 0 dır. öşlrii bağlaya bir ar olduğuda matrisi a, a, lmaları dir., öşlrii dilri bağlaya ar olmadığıda a,, a, a, lmaları 0 dır. Souç olara grafıı omşulu matrisi; 0 0 A( ) 0 0 0 olara ld dilir. Ör... Aşağıda H grafı H grafıa arşılı gl A( H) rilmiştir. omşulu matrisi H 0 0 0 0 0 A( H ) 0 0 0 0 0 0 0 0 Şil.7. Komşulu matrisid yararlaılara graflar oluşturulabilir. Örği,

M 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 matrisii omşulu matrisi olara abul d graflarda biri şlid rilbilir. Şil.7. Komşulu matrislri aşağıdai özllilri sağlar: i) Bir grafı omşulu matrisi sas öşg gör simtritir. ii) İlm içrmy grafa ait omşulu matrisid sas öşg lmaları sıfırdır. iii) Komşulu matrisii hrhagi bir satır (ya sütu) lmalarıı toplamı, bu satıra (ya sütua) arşılı gl öşi drcsii rir. Örği, Şil.7. il ril H grafıda öşsii drcsi A( H) omşulu matrisii. satır (ya. sütu) lmalarıı toplamı adardır. Bzr şild yöldirilmiş graflarda da omşulu matrisi taımlaabilir. Taım... D,,,,, il titldirilmiş öşli bir digraf olsu. Bu durumda i. satır j. sütu lmaı, D digrafıda i. öşd j. öşy ola tüm yayları sayısı olara taımlaa matris D digrafıı omşulu matrisi (adjaccy matri) dir. Bir digrafı omşulu matrisi A( D ) şlid göstrilir. Ör... Aşağıda D digrafı bu digrafa arşılı gl omşulu matrisi göstrilmiştir.

6 D 0 0 0 0 A( D) 0 0 0 0 0 0 Şil.7. raflardai bzr şild digraflar içi d ril hrhagi bir M matrisii omşulu matris abul d D digrafı çizilbilir. Örği, M 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 D Şil.7. olur. Digraflara ait omşulu matrislri aşağıdai özllilri sağlar: i) Hrhagi bir digrafta omşulu matrisi sas öşg gör simtri olma zoruda dğildir. ii) İlm içrmy hrhagi bir digrafı omşulu matrisid sas öşg lmaları sıfırdır. iii) Bir digrafa ait omşulu matrisid hrhagi bir satırı lmaları toplamı, bu satıra arşılı gl öşi dış-drcsi; hrhagi bir sütüu lmaları toplamı da bu sütua arşılı gl öşi iç-drcsi şittir. Yuarıdai Ör... di D digrafı içi d () =. satır lmaları, d () =. sütu lmaları

7 olara buluur. Bir grafta ya da digrafta omşulu matrisi yardımıyla yolları arlığıı uzuluğuu göstrbiliriz. Torm... D, öşlri,,,, şlid titldirilmiş bir digraf, A da D digrafıa arşılı gl omşulu matrisi olsu. Bu durumda digrafı i öşsid j öşsi uzuluğu ola tüm yolları sayısı, lmaa arşılı glir. İspat İspatı yol uzuluğu üzrid tümarımla yapalım. A matrisii i. satır j. sütuda yr ala içi digrafı i öşsid j öşsi uzuluğu ola yolları sayısı, A omşulu matrisii i. satır j. sütu lmaıa şittir. sayısı, içi digrafı i öşsid j öşsi uzuluğu ola tüm yolları A matrisii i. satır j. sütuuda yr ala lmaa şit olsu. içi tormi ifadsii doğruluğuu göstrlim. i öşsid j öşsi uzuluğu ola hrhagi bir yol alalım. Öyl i i öşsi, j öşsi omşu j i ar uzalığıdai r öşsi uzuluğu ola yol il bağlası. - br br j r i br Şil.7. Hipotzd i öşsid r öşsi uzuluğu ola yolları sayısı, A matrisii i. satır r. sütu lmaı adardır. Bu yolları sayısıı a ir şlid göstrlim. Ayrıca bzr düşüc il r öşsid j öşsi uzuluğu ola yolları sayısı a rj adar olur. Dolayısıyla r öşsid gçc şild i d j y uzuluğu ola yolları sayısı yolları sayısı; a a ir rj adar olur. Souç olara i d j y uzuluğu ola tüm

8 Toplam yol= i i öşsid gç tüm yolları sayısı a a a a a a a a i j i j ir rj i j olur. Matrislri çarpımı taımıda bu toplam A A A olur. rçt; a j a j ai ai air a i aij a rj aj olur. Ör... Aşağıdai D digrafıı iclylim. a b d D Şil.76. c D digrafıda, hr bir öş çifti arasıda uzuluğu ola yolları sayısıı bulalım. a öşsid b c öşlri uzuluğu ola yol sayısı 0 i d öşsi is dir. b öşsid a öşsi söz ousu sayı i c d öşlri 0 dır. c d b y ta uzuluğu ola yol ar diğr öşlr gid böyl bir yol yotur. So olara d öşsi içi d d b y ta, c y ta yol ar a ya gid böyl bir yol yotur. Ayrıca D digrafı ilm içrmdiğid tüm öşlr içi dilri gid söz ousu yol sayısı 0 dır. Tüm dğrlri aşağıdai gibi göstrirs;

9 a b c d a 0 0 0 b 0 0 0 c 0 0 0 d 0 0 olaca şild D digrafıa arşılı gl A omşulu matrisi ld dilir. Bzr iclm il D digrafıda bu z hr bir öş çifti arasıda uzuluğı ola yolları sayısıı bulalım. O zama a b c d a 0 0 b 0 0 0 c 0 0 0 d 0 0 olaca şild D digrafıa arşılı gl yuarıdai torm gör; A omşulu matrisi ld dilir. Burada A 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 olur. Bu durumda lmaları, uzuluğu üç ola yolları sayısıı göstr matris d; A 0 0 0 0 A A 0 0 0 0 0 şlid ld dilbilir. Hrhagi bir digrafı omşulu matrisi yardımıyla utli bağlatılı olup olmadığı blirlbilir. Torm... Köşlri,,,, şlid titldirilmiş D digrafıa arşılı gl A omşulu matrisi B A A A matrisi rilsi. Bu tadird D digrafıı

0 utli bağlatılı olması içi gr ytr şart B matrisii öşg olmaya lmalarıı pozitif (yai i j içi b 0 ) olmasıdır. ij İspat Kutli bağlatılı D digrafı rilsi. D, utli bağlatılı olduğu içi hr bir öşsid farlı hr bir öşy az bir patia ardır. Öt yada D, öşli olduğuda böyl bir patia fazla - uzuluğudadır. Ayrıca D i utli bağlatılılığı az bir uzuluğu içi farlı i j öşlri arasıda bir patia olmasıı grtirir. Bu yolları sayısı; A matrisii a ij lmaıa arşılı gldiğid aij 0 dır. Bu tadird; B A A A A matrisi içi b 0 i j ij olur i istdir. B matrisii öşg olmaya hr bir lmaı pozitif olsu. Bu tadird B A A A A olduğuda az bir içi a 0 dır. Dolayısıyla i j içi i öşsid j öşsi fazla uzuluğuda yol olduğuda D digrafı utli bağlatılıdır. Ör... Aşağıdai H digrafıı utli bağlatılı olup olmadığıı iclylim. ij a b c H Şil.77. d Digraflarda taımlaa omşulu matrisi bulma mtodua gör; ril H digrafıı A omşulu matrisi 0 0 0 0 0 0 A 0 0 0 0 0

olara buluur. Bu matris yardımıyla yardımıyla H digrafıda, uzuluğudai patiaları göstr A, A A matrislri aşağıdai gibi ld dilir. A 0 0 0 0 0 0 0 0 0 A 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 olara ld dilir. Digrafta birbirid farlı hr i,j öş çifti, matrislri öşg üzrid olmaya lmalarıa arşılı glmtdir. Matrislri az birid bu i,j öş çiftii arasıdai yol sayısıı tmsil d lma sıfırda farlı is ril digraf utli bağlatılı olur. Souç olara H digrafı bu şartı sağladığıda utli bağlatılıdır. Yai; B A A A 0 matrisii öşg üzrid olmaya hr lmaı pozitif olduğuda H digrafı utli bağlatılıdır. Ör..6. 0 0 0 0 0 0 0 A 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 matrisii omşulu matrisi abul d digrafı utli bağlatılı olup olmadığıı iclylim.

Matris tipid olduğuda digraf öşlidir. Dolayısıyla masimum uzuluğuda patia ardır. O hald lmaları digrafı farlı ii öş çifti arasıdai yolları sayısıı (uzuluğu sırasıyla, ola) tmsil d A, A A matrislri 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 A 0 0 0 0, A 0 0 0 0, A 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 olara hsaplaır. Bu tadird B A A A A matrisi d B olur. B matrisii öşg üzrid olmaya tüm lmaları sıfırda büyü olduğuda omşulu matrisii arşılı gldiği digraf utli bağlatılıdır. Bir grafı (digrafı) omşulu matrisi, öşlri omşulu ilişilrid ld dilir, icidc matrisi is öşlri arlarla (ya yaylarla) ola ilişisid ld dilir. Taım... grafı, öşlri,,, il arları is,,,,m il titldirilmiş ilm içrmy bir graf olsu. O zama bu şild taımlaa grafıa ait M mij matrisii i. satır j. sütu lmaı m ij, i. öş j. ar il bağlı is 0; asi hald şlid taımlaa M ( ) matrisi grafıı icidc matrisi dir.

Ör..7. Aşağıda öşli 6 arlı grafıı 6 Şil.78. göz öü alalım. öşsi arı il bağlı olduğuda matrisi. satır. sütu lmaı dir. öşsi arı il bağlı olmadığıda matrisi. satır. sütu lmaı 0 dır. Bzr şild tüm öş ar bağlılıları iclirs grafıı icidc matrisi, 0 0 0 0 0 0 M ( ) 0 0 0 0 0 0 olara ld dilir. Souç... i) rafta bir ar, ii öş il bağlı olduğuda icidc matrisi hr bir sütuuda ii ta ardır. ii) Icidc matrist bir satırı toplamı, o satırı arşılı gldiği öşi drcsii rir. Yöldirilmiş graflar içi icidc matrisi aşağıdai gibi taımlaır. Taım... D digrafı ilm içrmy, öşlri,,, il arları is,,,,m il titldirilmiş bir digraf olsu. O zama bu şild taımlaa digrafıa ait M mij matrisii i. satır j. sütu lmaı

, j yayı i öşsid bağlı is mij, j yayı i öşsi bağlı is 0, asi hald şlid taımlaa M ( D) matrisi D digrafıı icidc matrisi dir. Ör..7. Aşağıda ril D digrafıı göz öü alalım. 6 D Şil.79. yayı öşsid bağlı olduğuda matrisi. satır. sütu lmaı dir. yayı öşsi bağlı olduğuda matrisi. satır. sütu lmaı - dir. yayı öşsi bağlı olmadığıda. satır. sütu lmaı 0 olur. Bzr şild dam dilirs tüm öş ar bağlılıları icldiğid D digrafıı icidc matrisi; 0 0 0 0 0 0 M ( D) 0 0 0 0 0 0 olara ld dilir. Souç... İlm içrmy bir digrafa ait icidc matrisi aşağıdai özllilri sağlar: i) Hr bir sütuuda bir ta bir ta - ardır. Çüü hr bir yay bir öşd diğri bağlıdır. ii) Hrhagi bir satırıdai lri toplam sayısı, o satıra arşılı gl öşi dış-drcsii rir. iii) Hrhagi bir satırıdai - lri toplam sayısı, o satıra arşılı gl öşi iç-drcsii rir.

.. Ağaçlar Taım... Dögü içrmy graflara orma (forst) dir. Hm dögü içrmy hm d bağlatılı ola graflara is ağaç (tr) dir T il göstrilir. Aşağıda masimum öşli (birbiri izomorf olmaya) ağaçlar göstrilmiştir. Şil.80. Taım... Bir ağaçta drcsi ola öşy yapra (laf) dir. Torm... V, E bağlatılı grafı rilsi. grafıı ağaç olması içi gr ytr şart i hr arıı öprü olmasıdır. (Yai hr E bilşli olmalıdır.) öşli hr ağaç ara sahiptir. içi grafı ii Bir ağaçta hrhagi ii öş arasıda sadc ta patia ardır i bu patia omşu öşlri birbiri bağlaya ardır. Bu ar aldırılırsa öşlr arasıda patia olmaz. Şil.8. Bir V, E ağacıda hrhagi ii, w V öşlri arasıda sadc ta patia ardır. Bu ağaca w arı lirs bir dögü ld dilmiş olur.

6 w Şil.8. Taım... bağlatılı grafı rilsi. i hr öşsii içr ayrıca ağaç ola alt grafıa i apsayıcı ağacı (spaig tr) dir. Aşağıda bir grafı bu grafı üç farlı apsayıcı ağacı göstrilmiştir. w w w w z y z y z y z y Şil.8. Torm... grafı rilsi. i bağlatılı bir graf olması içi gr ytr şart apsayıcı bir ağaca sahip olmasıdır.

7. RAFLARDA FİBONACCİ SAYI DİZİSİ Bu bölümd grafları Fiboacci sayı dizilri il ilişilri iclmiştir.. Bu bölümdi taım, torm, lmma, souç şillr Prodigr Tichy (98); Wigard (99); Hopis Stato (98); Chism (009); Horto (007); Pdrs Vstrgaard (00); Ch Zhu (0); Lit Madrscu (00); Start ar. (009); Zhao Li (006); Holliday Krop (0) adlı çalışmalarda alımıştır. Taım.. V, E grafı S V ( ) alt ümsi rilsi. Eğr S ümsi ait hrhagi ii lma (yai öş) grafıda omşu olmuyorsa bu durumda S ümsi bağımsız üm (idpdt st) dir. 0 -lmalı -lmalı S ümlri bağımsız üm abul dilir. grafıda S i alt üm abul d farlı bir bağımsız üm yo is bu durumda S masimal bağımsız üm dir. Fiboacci Lucas sayı dizilri il grafları bağımsız üm sayıları arasıdai ilişi olduça ilgiçtir. Özllil patia dögü graflarıda bu sayı dizilri bağımsız üm sayıları çaışmatadır. Yai, öşli ümlri sayısı F dir. Ayrıca öşli sayısı da L dir. Ör.. P patiasıı göz öü alalım. P patiasıdai tüm bağımsız C dögüsüdi tüm bağımsız ümlri Şil.. P patiasıı bağımsız ümlrii lma sayılarıa gör düzlylim. 0-lmalı bağımsız ümlr -lmalı bağımsız ümlr Tablo..,,,, -lmalı bağımsız ümlr,,,,,,,,,,, -lmalı bağımsız ümlr,, Tabloda da görüldüğü gibi P grafıı bağımsız ümlrii sayısı F6 dır.

8 öşli P grafıda tüm bağımsız ümlri sayısıı ( ). Fiboacci sayısıı rmsi sbbiyl, bu sayım aşağıdai taımda rildiği gibi özl olara isimldirilmiştir. Taım.. grafıı tüm bağımsız ümlrii sayısıa grafıı Fiboacci sayısı dir f il göstrilir. Bzr şild öşli Ör.. C, C C dögülrii iclylim. C dögüsüü Fiboacci sayısı f C L dir. C C C Şil.. C, C C dögülrii tüm bağımsız ümlri Fiboacci sayıları aşağıdai tabloda göstrildiği gibidir. Tablo.. C grafları 0-lmalı bağımsız üm -lmalı bağımsız ümlr -lmalı bağımsız ümlr Fiboacci Sayısı C,, - L C,,,,,, 7 L C,,,,,,,,,,,,, L Lmma.. öşli K tam grafı Fiboacci sayısı; f ( K ) dir.

9 İspat. Tam grafta hr öş diğr tüm öşlr il omşu olduğuda ya daha fazla lmalı bağımsız üm oluşturulamaz. Dolayısıyla tüm bağımsız ümlr ya 0-lmalı ya da -lmalıdır. Bu durumda öşli tam grafı Fiboacci sayısı olur. Ör.. K K K K K Şil.. Yuarıda ril K, K, K, K K tam grafları Fiboacci sayıları sırasıyla,,, 6 dır. Ör.. grafı öş sayısıı göstrm üzr f K dir. Tablo.. K K K K K Ör.. R, aşağıda göstrildiği gibi öşli bir graf olsu. R Şil..

60 R grafıı Fiboacci sayısı itrasyo mtodu yardımıyla hsaplaırsa, üç adım ilrlyr ld dil rilr Tablo.. il göstrildiği gibidir. Tablo.. R grafı 0-lmalı bağımsız -lmalı bağımsız -lmalı bağımsız -lmalı bağımsız ( ) f R üm ümlr ümlr ümlr {},{} - - R R {},{}, {},{} {,},{,}, {,} - 8 6 R {},{}, {},{}, {},{6} {,},{,6}, {,},{,}, {,6},{,}, {,},{,}, {,6},{,6}, {,,6}, {,,}, {,,}, {,,6} Tabloda olayca görülbilcği gibi f ( R ) f ( R ) f ( R ) f ( R ) f ( R ) f ( R ) dir. Burada itrasyoa dam dilirs f R f R f R olur. Böylc

6 f ( R ) f ( R ) f ( R ) 0 f ( R ), f ( R ) 8 rüras bağıtısıa ulaşılır. Bu rüras bağıtısı çözülr f ( R ) 6 6 ld dilir. (Bit bzri formül) Taım.. V, E bir graf V ( ) olma üzr i öşsii içrmy bağımsız ümlrii sayısı, f ( ) il öşsii içr bağımsız ümlrii sayısı da f( ) il göstrilir. Taım.. V, E bir graf, i hrhagi bir öşsi olma üzr i tüm bağımsız ümlrii sayısı (Fiboacci sayısı), öşsii içrmy bağımsız üm sayısı il öşsii içr bağımsız üm sayısıı toplamı adardır. Yai; f f N[ ] f f f (.) dir. Bu formül i öşsi üzrid idirgm formülü dir. Ör.6. Aşağıda göstril öşli öü alalım. Q grafıı öşli H grafıı göz Q H Şil.. Q grafıı Fiboacci sayısı, öşsii içr içrmy bağımsız üm sayılarıı toplamı şlid hsaplaabilir. O zama (.) d