JEODEZİDE KULLANILAN KOORDİNATLAR, BUNLARIN BİRBİRLERİNE DÖNÜŞÜMLERİ ve PROJEKSİYON Ekrem ULSOY (İstanbul) I KOORDİNATLAR. Jeodezide koordinatlar, yer yüzündeki noktaların belirlenmesinde kullanılır. Bu amaçla Jeodezide kullanılan koordinat sistemlerini üç gruba ayırabiliriz : 1)Uzay koordinat sistemleri 2)Yer yüzünde (Küre, elipsoid) alman koordinat sistemleri (tabii koordinatlar) 3) Projeksiyon koordinatları 1) Uzay koordinat sistemleri a)uzay dik koordinatları b)uzay kutupsal koordinatları c)uzay silindrik koordinatları d)uzay küresel koordinatlar olmak üzere 4 kısma ayrılabilir. la) Uzay dik koordinatlar : Bir 0 başlangıç noktasından çıkan birbirine dik OX, Oy, OZ eksenlerinin teşkil ettiği uzay dik koordinat sistemine göre tanımlanırlar. (Şekil : 1) de P noktasının uzak dik koordinatları X = OP", y = OP'", Z = PP' dir. Jeodezide 0 noktası, hesap yüzeyi olarak kullanılan Küre veya elipsoidin merkezinde veya üzerinde alınır. 31
32
Dört ayrı uzay koordinat sistemi dolayısiyie 0, 6, V ve ^ açılarını görmüş bulunuyoruz. Küresel üçgenden faydalanarak bu dört açıyı bir şekil içinde gösterebiliriz. Eksenlerin, merkezi 0 yarı çapı r olan küreyi deldiği noktalar Xo, yo, Zo olsun. Meydana gelen Xo, yo, Zo üçgeni kenarları eşit ve 90 olan bîr küresel üçgendir. Zo P H yayı da Zo köşesine ait yüksekliktir. P H Xo ve P H yo küresel dik üçgenlerinden 33
Cos A= ^P s6 Cos V = SinS-SinA (5) 5ın "S yazılabilir (5). formülleri, 1b sistemi ile 1c ve İd sistemleri arasında bağlantı kurulabileceğini göstermektedir. Üç boyutlu (*) uzay dik koordinatları iki ayrı sisteme göre düşünülür. 1)Sistemin merkezi, elipsoidin merkezinde 2)Sisteminin merkezi, ağın her noktasında P noktasının uzay dik koordinatları Xp, Yp, Zp ile coğrafi koordinatlar S, X arasında : münasebetlerinin bulunduğu ispat edilebilir. Eksenlerin merkezi P noktasında alındığı zaman şakul doğrultusu Z', kuzey doğrultusu Y' ve doğru doğrultusu X' ekseni olarak alınır. (Şekil : 5) P den diğer bir R noktasına bakılarak S mesafesi S düşey açısı ve a semti ölçülmüş olsun. X', Y', Z', sisteminde P başlangıç noktasıdır. R noktasının koordinatları X', Y', Z' ise : (*) WoM Bie Grîmdgîeicliîuıgeîi der Dreidimensionalen Geodâsie im elemen -tarer Darstelîııng zfv 1963 S. 225 34
X'= S-Sin'S Sm<X, y' = 5 SınSCosoC, Z/ = 5 CosS (7) dır. P, R noktalarının X, Y, Z sistemindeki koordinat farkları AX, AY, AZ olsun bu iki sistemin birinden ötekine transformasyon ile geçilirse : ; 'X' = - AX Sm X + AYCos A Y'= - Ax Sinf CösA - AY Sın f 5mX + AZ Cosf (8) Z'= Ax Cosf CosA + AYCos f 5mX+AZ Sin f - elde edilir. : 2) Yeryüzünde alınan koordinat sistemlerin :. :'..?-. a) Coğrafi koordinatlar ;b) Kutupsal koordinatlar c)jeodezik dik koordinatlar d)gauss'un eğrisel (Parametrik) koordinatları : şeklinde sıralanabilir. ' ' P noktasının normalin ekvator düzlemi ile yaptığı açı q> enlem, P noktasının meridyeni ile başlangıç meridyeni arasındaki açı boylamdır. Bilindiği gibi meridyenler, dünyanın ekseninden ge çen'düzlemlerin yer yüzü ile arakesitleridir. 1b deki 8 ile ş toplamının 90 dîr. Şu halde - : 35
2a) Coğrafi koordinatlar : P noktasının normalinin ekvator düzlemi ile yaptığı açı S enlem, P noktasının meridyeni ile başlangıç meridyeni arasındaki açı boylamdır. Bilindiği gibi meridyenler, dünyanın ekseninden geçer düzlemlerin yer yüzü ile arakesitleridir. 1b deki S ile <p toplam 90 dir. Şu halde : < = 90-5 dır. 1c ve id deki X ile buradaki X nın aynı olduğu görülmektedir. Jeodezide coğrafi enlemden başka şu enlemler de kullanılır : Geosantrik enlem (merkez enlemi) : ^ POP- # Bu açı <p yardımı ile hesaplanırsa : tgy =(1 -e 2 )tgf e2 - o**- b 2 (9) o* bulunur. İndirgenmiş enlem : ^C POP' = V İndirgenmiş enlem de 9 nin fonksiyonu olarak bulunabilir ve : elde edilir. tg V - \T^~~^T tg\p (10) İzometrik enlem : 36. formülü ile hesaplanır. Uzay dik koordinatlar S, X veya *F ve X ile hesaplanabilir. Bu taktirde :
2b) Kutupsal koordinatlar: N O N' bir meridyen, 0 noktası da bunun üzerinde alınmış bir nokta olsun. OP = S. <NOP = a miktarlarına kutupsal koordinatlar denir. S, O ile P arasındaki en kısa mesafedir. Küre için S, bir büyük daire yayı, elipsoid de ise (jeodezi eğrisi) dir. 2c) Jeodezik dik koordinatiar : NON meridyenine p den pp, diki indirilmiş olsun, p noktasının Jeodezik dik koordinatları : X = Opı, y = ppı dir. 2d) Gauss'in eğrisei (parametrık) koordinatları : Gauss'ın eğrisel koordinatları, herhangi bir yüzey üzerinde tanımlanabilecek en genel koordinatlardır. 37
Herhangi bir yüzeyin noktalarının uzay dik koordinatlarının u, v gibi iki parametreye bağlı olduklarını düşünelim. Bu takdirde : X-= X<u,V), y.-="y : (.u,v), Z = Z (u,v) (13) yazabiliriz, u ile v ye p noktasının eğrisel koordinatları denir, u, v den biri sabit tutulursa, yüzey üzerinde bulunan, bir uzay eğrisi meydana gelir. v = sabit ise, u eğrileri... : u = sabit ise, v eğrileri elde edilir, u eğrileri ile v eğrilerinin meydana getirdikleri ağ, eğrisel koordinatlar ağı olarak kullanılır. 2â, 2b, 2c deki koordinatlar u, v nin özel halleridir. 3) Projeksiyon koordinatları: '..., -.. " ; '. " 38 ;. Projeksiyon koordinatları, bir noktanın harita üzerindeki yerini belirtir. Harita yüzeyi, çeşitli projeksiyonlar için ya düzlemdir
veya koni, silindir gibi açınım ile düzlem haline getirilebilen bir yüzeydir. Netice itibariyle daima düzlemde bir birine dik X, y eksenlerine göre koordinatlar bahis konusudur. Projeksiyon koordinatları coğrafi koordinatlar yardımı ile hesaplanırlar bu sebeple X p y p projeksiyon koordinatları : Xp = f, (V.X), Yp = f 2 (? t X) (14) şeklinde gösterilebilir fi f 2 fonksiyon projeksiyonun özelliğine göre değişir. X p/ y p ile noktanın yer yüzündeki konumu da bilindiği için : X»X(Xp,Yp} f YcY(X p»yp), ZsZ(X Pf Ypî (15) yazılabilir. Dolayısiyle X p/ y p yi Gauss parametreleri gibi kullanabiliriz. Çok çeşitli projeksiyonlar düşünülebildiği için projeksiyon koordinatları da çeşitlidir. Türkiye için aşağıdaki üç projeksiyon önemlidir : 1)Gauss - Krüger projeksiyonu : Bu projeksiyon silindirik transversal açı koruyan bir projeksiyondur ve 1931 yılından beri ülkemizde yapılan haritalarda kullanılmaktadır. 2)Bonne projeksiyonu : Bu projeksiyon, itibarî konik normal alan koruyan bir projeksiyondur. Türkiye'nin ilk projeksiyonu olup 1931 yılma kadar kullanılmıştır. 3)Gassini - Soldner projeksiyonu : Bu projeksiyon silindrik transversal uzaklık koruyan bir projeksiyondur. II _ KOORDİNAT DÖNÜŞTÜRMELERİ Çeşitli koordinatların birbirine dönüştürülmesi jeodezinin en önemli konularından birini teşkil eder. Örneğin (1) formülleri uzay kutupsal koordinatların, uzay dik koordinatlara nasıl dönüştürüleceğini göstermektedir. (12) formülleri ise, coğrafi koordinatlardan uzay dik koordinatlara geçişi ifade etmektedir. Genel olarak, I nci kısımda 1, 2, 3 maddelerinde bahis konusu edilen bütün koordinatların birbirlerine dönüştürülmesi düşünülebilir* An- 39
cak Jeodezide koordinat dönüştürülmesi, en çok 2 nci madde de açıklananlar arasında ve 1. inci maddenin bazı koordinatları ile 3 ncü madde de de belirtilen bazı koordinatlar arasında yapılır. Bu dönüştürülmeleri sıralayalım : 1)Coğrafi koordinatlardan kutupsal koordinatlara, kutupsal ko ordinatlardan coğrafi koordinatlara dönüştürme. Bu dönüştürmeye (Jeo dezinin temel ödevleri) denir. 2)Coğrafi koordinatlardan Jeodezik dik koordinatlara, Jeodezik dik koordinatlardan coğrafi koordinatlara dönüştürme. 3)Jeodezik dik koordinatlardan kutupsal koordinatlara, kutupsal koordinatlardan Jeodezik dik koordinatlara dönüştürme. Bu dönüştür meye (Jeodezik dik koordinatların temel ödevleri) denir. 4)Coğrafi koordinatlardan Gauss - Krüger koordinatlarına, Gauss Krüger koordinatlarından coğrafi koordinatlara dönüştürme. Bu dönüş türme Harita Genel Müdürlüğü tarafından en çok yapılan dönüştürme dir. Bu sayede Nirengi ağının noktalarının (memleket projeksiyon koor dinatları) elde edilmiş olur. 5)Kutupsal koordinatlardan Gauss - Krüger koordinatlarına, Ga uss - Krüger koordinatlarından kutupsal koordinatlara dönüştürme. Bu dönüştürme (Gauss - Krüger koordinatlarının temel ödevleri) dir. 6)Coğrafi koordinatlardan Bonne koordinatlarına dönüştürme. Bu dönüştürme ile, 1931 yılına kadar, Bonne projeksiyon koordinatları hesaplanmıştır. 7)Hiç uygulanmamış olmakla beraber, Gauss - Krügerden Bonne koordinatlarına ve karşıtı dönüştürme de düşünülebilir. Nitekim bu ko nu Dr. Ahmet Aksoy tarafından incelenmiştir. (*) Koordinat dönüştürmesinin genel olarak incelenmesi : 2d maddesinde herhangi bir yüzeyin u, v eğrisel koordinatları ile belirtilebileceği ve coğrafi koordinatlar, kutupsal koordinatlar, Jeodezik dik koordinatlar ile projeksiyon koordinatlarının eğrisel koordinatlarının özel hali oldukları açıklanmıştı. Şu halde koordinat transformasyonunu (*) Dr. Müh. Ataıet Aksoy, Bonne projeksiyonu ve Memleket ölçüsünde uygulanmağı 1961. 40
(dönüştürme), gene! olarak, u, v gibi, İki parametrelerden u', v' gibi yeni iki parametreyi (eğrisel koordinat) geçiş olarak ifade edebiliriz. Bu işlem, iki sistem arasındaki ilişki ile sağlanır. Formül olarak : u = u (u', v'), v = v (u', v') (16) yazabiliriz. (16). formülleri u ile v nin u', v' cinsinden hesaplanabilecekleri belirtmektedir. Ancak aynı formüller ile u', v' nin de u, v cinsinden hesaplanması mümkün olmalıdır. Bu şart. Matematiksel olarak : şeklinde ifade edilir. (17) deki determinanta (fonksiyonel determinant) denir, u, v sisteminin koordinat eğrileri, genel olarak, u', v' sisteminin koordinat eğrileri ile karşılaşmazlar. Eğer (16) transformasyon formülleri basitleşir ve her parametre Öteki sistemin yalnız bir parametresinin fonksiyonu olursa bu takdirde bir sistemin koordinat eğrileri ile diğerinin koordinat eğrileri karşılaşırlar. Bu duruma göre basitleşmiş transformasyon formülleri : u = u (u'), v = v (v') u = u (v'), v = v (u') (18a) (18b) şeklinde olurlar. (18a) halinde u ile u' v ile v', (18b) halinde ise u ile v', v ile u' eğrileri karşılaşırlar. (18a) da koordinat eğrilerinin aynen kalacağı, yalnız bunlar üzerindeki koordinat birimlerinin değişeceği görülmektedir. Eğrisel koordinatlar ile hesap yapılırken Gauss'ın 1. nci mertebe büyüklükleri olan E, F, G den yararlanılır. Bilindiği gibi : 41
münasebetlerinin 1 mevcut olduğu isbat edilebilir. Projeksiyon : 1) F yüzeyi üzerindeki noktaların F' gibi başka bîr yüzey üzerin deki noktalarla karşılaştrnlmasına projeksiyon denir. Bu işlem bîr ma tematik formülü ile sağlanır. 2d de açıklandığı üzere, her yüzey iki pa rametre ile belirleneceğinden, F için U, V ve F' için İT, V parametreleri kullanılıyorsa :.. u' = f, (u,v),. y' = f 2 (u,v) (25) münasebetleri, F in F' ye iz düşürüleceğini ifade ederler. Haritacılıkta F, elipsoit yüzeyini F' ise ekseriya düzlem yüzeyini gösterir. Parametrelere gelince, u ile v coğrafi koordinatları, u', v' x p, y p yi gösterirler. Şu halde projeksiyon da bir koordinat dönüştürmesinden ibarettir. 43