Marmara Üniversiesi İ.İ.B.F. Dergisi YIL 7, CİLT XXII, AYI 1 FİNANAL ZAMAN ERİLERİ İÇİN ORTALAMAYA DÖNME IÇRAMA DİFÜZYON MODELİ Doç. Dr. Ömer ÖNALAN * Öze Bu çalışmada, finansal menkul kıyme zaman serilerinin geirilerini modellemek için oralamaya dönme sıçrama difüzyon süreci kullanılmakadır. Fiya dalgalanmalarını modellemek için başlangıça uzun süre Brownian hareke süreci kullanılmışır. Brownian hareke sürecin en önemli özelliklerinden birisi, sürecin örneklem eğrilerinin sürekli olmasıdır. Bu sürecin bir diğer önemli özelliği de, ölçeğe göre değişmemesidir. Halbuki gerçek hayaa, fiyalar daima sürekli olmayıp sıçramalara sahipir. Eğer fiyaların davranışına daha yakından bakılacak olursa, fiyaların farklı ölçeklerde farklı davrandığı görülecekir. Brownian hareke sürecinin arımları normal dağılıma sahipir. Faka deneysel çalışmalar birçok finansal zaman serisinin normal dağılım varsayımını sağlamadığını gösermekedir. Bu nedenle, oralamaya dönme sıçrama difüzyon modeli, finansal zaman serilerinin karakerisiklerini daha gerçekçi bir şekilde yansımakadır. Anahar Kelimeler: Brownian Hareke, Geomerik Brownian Hareke, ıçramalı üreçler, Finansal Zaman erisi, imülasyon. Absrac In his sudy, he mean revering jump diffusion model is used o model he reurn of ime series of financial securiies. In he beginning long ime, Brownian moion process used o model price flucaions.the one of he mos imporan properies of Brownian moion is ha he sample pahs of his process are coninuous. Anoher imporan properies of his process is ha his process is invarian under he scaling. However in realiy, he securiy prices always has no coniuous, i has some jumps. If you look prices from near, you look differen behaviors in differen scaling. The incremens of Brownian moion have normal disribuion. Bu emprical sudies shown ha normal disribuion assumpion is no suiable for a lo of financial ime series. Fors reasons, hese meanrevering jump diffüzion model represens he charecerizaions of financial ime series. Keywords: Brownian Moion, Geomeric Brownian Moion, Jump Processes, Financial Time eries, imulaion. * Marmara Üniversiesi, İkisadi ve İdari Bilimler Fakülesi, İşleme Bölümü, ayısal Yönemler Anabilim Dalı. 1
Doç. Dr. Ömer ÖNALAN 1. Giriş Hisse senedi piyasalarında fiyaların genellikle serbes bir şekilde değişiği gözlenmekedir. Bu değişimde birçok fakör ekili olmakadır Bu nedenle de fiyalar çok oynak bir yapıya sahipir. Fiyaların zamana göre değişimini modellemek için kullanılabilecek en uygun maemaiksel araç ise sokasik süreçler eorisidir. Bu süreçler kullanılarak, geleceke oraya çıkması muhemel olaylara olasılık aaması yapılabilir. Finansal süreçlerin modellenmesi ve analizi, uygulamalı maemaiğin bir dalı olan maemaiksel finansın çok hızlı bir şekilde gelişmesine neden olmuşur. Finans alanındaki zaman serileri uzun süre Gaussian süreçler (Brownian hareke) kullanılarak modellenmişir. Faka finansal piyasalardaki gerçek zaman serileri analiz edildiğinde bunların çoğunlukla, sola veya sağa çarpık, oralama civarında normal dağılıma göre daha sivri ve kalın kuyruklarla karakerize edildiği görülmekedir. Örneğin menkul kıyme piyasalarında, eğer hisse senedi fiyaları bir rassal yürüyüş süreci izliyorsa, hisse senedinin geçmişeki fiyalarının bilinmesi geleceğin kesirimi için hiçbir ek enformasyon sağlamaz. Bununla birlike rassal yürüyüş süreci fiyaları bağımsız aynı dağılıma sahip rassal değişkenler olarak ele alır ve fiyaların isaisiksel özelliklerinin anlaşılmasına yardımcı olur. Hisse senedi fiyaları kesikli zamanlı, kesikli değişkenli sokasik süreçler olmalarına rağmen, hisse senedi fiya dinamiklerini modellemek için sürekli zamanlı sürekli değişkenli modeller uygundur (Hull, J.(), s.18). Menkul kıyme piyasaları dışındaki diğer piyasalarda ise fiyalar, söz konusu malın üreim maliyei civarında olma eğilimi gösermekedir. Anormal piyasa koşulları alında, kısa vadede fiya aralıkları oluşmaka ise de uzun vadede fiyalar kendini düzelerek üreim maliyeine yakınsama eğilimi gösermekedir (chwarz, E. (1997), Clewlow, L. ve diğerleri(1)). Bu düzelme, oralamaya dönme süreci olarak adlandırılan bir sokasik süreçle modellenebilir (Eherige, A.,()). Finansal piyasalardaki yaırım uzmanları arasındaki genel kanaa ise hisse senedi geirilerinin, arihsel oralamalarına döneceği şeklindedir. Oralamaya dönme aslında, uzun vadeli hafıza nın özel bir formudur. Çalışma aşağıdaki şekilde organize edilmişir.. bölümde, ilgili menkul kıymein fiya değişimini modellemek için kullanılabilecek emel sokasik süreçler incelenmişir. Bunlar Rassal Yürüyüş süreci, Brownian hareke, Geomerik Brownian hareke ve Oralamaya Dönme sürecidir. Ayrıca bu bölümde bu süreçlerin paramere akdir işlemleri de açıklanmışır. 3. bölümde, finansal zaman serilerinin fiya gelişimini modellemek için Oralamaya Dönme ıçrama Difüzyon modeli oluşurulmuşur. Bölümün devamında ise modelin paramerelerinin gerçek verilerden nasıl akdir edileceği konusu açıklanmışır. 4. bölümde, verilerin analizi yapılmaka, 5. bölümde ise çalışmanın sonucu yer almakadır.. okasik Modeller.1 Rassal Yürüyüş Modeli Menkul kıyme fiya gelişimi için rassal yürüyüş modeli, fiya değişimlerinin birbirlerinden bağımsız olduğu varsayımına dayanır. Diğer bir ifade ile arihsel fiya eğrisi gelecek fiya ile ilişkisizdir. Yani fiyalar bir Markov süreci izler. Rassal yürüyüşen sapma ise fiya değişimlerinin bir dereceye kadar öngörülebileceğini göserir
Durum Rassal Yürüyüş üreci 6 4-1 11 1 31 41 51 61 71 81 91 11111111311411511611711811911-4 -6-8 -1 Zaman,n ŞEKİL 1: Rassal Yürüyüş üreci. Brownian Hareke (Difüzyon) üreci Mal fiyalarını modellemek için en çok kullanılan sokasik süreç Brownian hareke sürecidir. Bu süreç rassal yürüyüş sürecinin limi durumudur. Brownian hareke 19 yılında L. Bachelier arafından hisse senedi fiyaları için bir model olarak önerilmişir. Faka bu süreç negaif değerleri de alabildiğinden, makul bir model değildir. andar bir boyulu Brownian hareke süreci Weiner süreci olarak da adlandırılır. Bir Wiener süreci z (1) formunda bir süreçir. Burada sandar normal dağılımdan çekilmiş bir rassal değişkendir. Weiner süreci, Markov sürecinin özel bir halidir. Z ise normal dağılımdan çekilmiş bir rassal değişkendir. 3
X() Doç. Dr. Ömer ÖNALAN 16 15 14 13 1 11 1 9 8 7 44 66 88 11 13 154 176 198 4 ŞEKİL. Brownian Harekeinin Örneklem Eğrileri.3 Geomerik Brownian Hareke Menkul kıyme fiyalarının Weiner süreci yerine, Brownian harekein bir versiyonu olan Geomerik Brownian hareke süreci kullanılarak modellenmesi daha makul bir yaklaşımdır. Geomerik Brownian hareke geirilerin Lognormal dağılıma sahip olmasını gerekirir. Bu sayede geirilerin negaif olması önlenmiş olur (ampfli, J. ve Goodman, V. (1), Hangi, P. ve Marchessani, F., (5)). 1 9 8 7 6 5 4 3 1 5 1 15 Zaman ŞEKİL 3: Geomerik Brownian Hareke üreci 4
ürekli zamanda, hisse senedi fiyalarının değişimi; d d dz () üreci ile modellenebilir. ve sırası ile hisse senedinin yıllık beklenen geiri oranı ve geirinin oynaklığıdır. Bu modelden de görülebileceği gibi, hisse senedi değişim, iki bileşenin oplamından oluşmakadır; d dz fiyaındaki onsuz küçük bir zaman aralığında, hisse senedinin yıllık beklenen geirisi onsuz küçük bir zaman aralığında, hisse senedi geirisinin beklenen oynaklığı Kesikli zamanda, hisse senedi fiyalarının değişimi; Gerçeke hisse senedi fiya harekeleri sürekli değildir. Çünkü borsalar her akşam kapanır her sabah ekrar açılır. Üselik fiyaların %1 dan fazla değişmesine borsa arafından izin verilmez. Geomerik Brownian harekein kesikli versiyonunu aşağıdaki şekilde ifade edebiliriz: (3) Bu durumda menkul kıymein fiyaı aşağıdaki şekilde modellenebilir. : Menkul kıymein fiyaı : Malın verimi : Bir yıldaki periyo sayısı e r (4) Zaman periyolarının çok küçük olması durumunda, formülü aşağıdaki şekilde ekrar yazabiliriz : e 1 W W (5-a) e 1 (5-b) 5
Doç. Dr. Ömer ÖNALAN Burada, W ; sandar Brownian hareke süreci, ise malın başlangıçaki fiyaıdır. Geomerik Brownian hareke aşağıdaki Lognormal dağılıma sahipir : 1 Ln 1 P,,, e (6) Burada, periyodun uzunluğunu gösermekedir ( hiryaev, A.N. (1999))..3.1 Geomerik Brownian Harekein Paramerelerinin Takdiri Hisse senedi fiyalarının, aralığında kaydedilmiş olduğunu kabul edelim. Bu zaman aralığını, her birinin uzunluğu olan, n eşi aralığa bölelim. Her bir al aralığın sonunda, hisse senedinin fiyaının bilindiğini varsayalım. ri ln( i 1) ln( i ) Logarimik geiri serisini oluşuralım. r 1, r,..., rn serisi için, 1 n r r i n i1 1 n 1 r i r n i1 dir. Bu isaisikler geirinin anakile oralaması ve varyansı için eorik olarak aşağıdaki şekilde hesaplanır ( apfli, J. ve Goodman, V. (1), s.8) : Oralama = Bu denklemler ve için çözülürse, ve Varyans = r ve 6
r ˆ ve ˆ Eşilikleri elde edilir. Bir yılda 5 iş günü olduğunu kabul ediyoruz. Bir günde 8 saa olması durumunda 1 5 8, zaman dakikalarla ölçülüyorsa, 1 5 8 6 olur. Örneğin, zamanındaki hisse senedi fiyaı Zaman (T) 1, TL Beklenen geiri ( ),% Oynaklık ( ) 4,%,33 Olması durumunda, fiyalar simüle edilirse aşağıdaki grafik elde edilir: Hisse senedi fiya eğrilerinin simülasyonu 4,5 TL 4, TL 3,5 TL 3, TL,5 TL, TL 1,5 TL 1, TL,5 TL, TL,,4,6,8 1 1, Zaman ŞEKİL 4. Hisse enedi Fiyalarının imülasyonu -1 - -3-4 -5-6 7
Doç. Dr. Ömer ÖNALAN. 4 Oralamaya Dönme üreci Oralamaya dönme süreci basi bir örnekle kolayca açıklanabilir: Bir kişinin barda ourup sarhoş oluncaya kadar içiğini ve eve dönüş sırasında da ona asmasından umuş olduğu köpeğinin rehberlik eiğini hayal edelim. arhoş ve köpek arasındaki mesafenin değişimini araşırdığımızı kabul edelim. arhoş yolda, bir sağa bir sola sendeleyerek yürüyecekir. Onun bu sendelemelerinin büyüklüğü, köpeğin bağlı olduğu ipin uzunluğuna, köpeğin pozisyonuna ve sarhoşun adımlarının büyüklüğüne bağlı olacakır. arhoş sendeleyerek köpeken uzaklaşığında, köpek arafından geri çekilecek ve sonunda evinin yolunu izleyecekir. Oralamaya dönme süreci maemaiksel olarak aşağıdaki gibi ifade edilebilir: : Fiya degisimi 1 (7) Oralamaya dönme Rassal erim Dönülen oralama seviye veya uzun vadeli denge fiyaı : po fiya : Oralamaya dönme oranı : Oynaklık : ve +1 zamanları arasında fiyaı ekileyen rassal şoklar. Yukarıdaki denklemden de görülebileceği gibi, oralamaya dönme bileşeni, oralamaya dönme oranı kadar, dönülen oralama seviye ve spo fiya arasındaki fark arafından da belirlenir. Eğer spo fiya oralama seviyenin alında kalıyorsa, oralamaya dönme bileşeni poziif, eğer spo fiya oralama seviyenin üzerinde ise oralamaya dönme bileşeni negaif olacakır. Böylece spo fiya üzerinde düşme yönünde bir eki yaraacakır. Fiya eğrisindeki eğilim, dönülen oralama seviye, oralama dönme hızı ise oralama dönme oranı ile belirlenir.(ball, C.A. ve Torous,W.N.(1983), Meron, R.C. (1976), Blanco, C ve aranow, D.(1)). (7) denklemi ile verilen modeli, zaman a göre değişimleri de içerecek şekilde daha genel olarak ifade edebiliriz: d log d dw log (8) nın büyüyen değerleri, oralamaya daha hızlı dönüleceğini göserir. yıllıklaşırılmış bir orandır. Örneğin ise bu fiyaların, uzun vadeli oralama değere alı ayda bir döneceğini göserir. 8
.4.1 Faiz Oranları İçin Oralamaya Dönme Modelleri: Bu modeller Vasicek modeli ve CIR (Cox, Ingersol, Ross) modelidir. * Vasicek modeli: dr R rd dz (9) * CIR modeli : dr R rd r dz (1) r : Faiz oranı dr : onsuz küçük d zaman periyodunda, faiz oranındaki değişim * R : r nin oralama dönülme seviyesi : Faiz oranının oynaklığı dz : z, sokasik değişkeninin sonsuz küçük değişimi : Oralamaya dönme oranı Bu modellerin kesikli zamanlı versiyonları : Vasicek modeli : r r R * r (11) i CIR modeli : r r R * r r (1) i Burada, r ve r sırasıyla r nin ve zamanlarındaki değerleridir. i, sandar normal dağılımdan elde edilen rassal değişkeni gösermekedir. değişkenlerinin değerleri aşagıdaki fonksiyon kullanılarak belirlenir. (13) i NORMINV(RAND( )) Yoğunluğu sıfır olan Geomerik Brownian hareke süreci ise; r r (14) Şeklinde yazılabilir. Bu süreç oralamaya dönen bir süreç değildir. i i 9
Doç. Dr. Ömer ÖNALAN.4. Oralamaya Dönme ürecinin Paramerelerinin Takdiri Oralamaya dönme oranı, lineer regresyon kullanılarak kolayca ahmin edilebilir. x log olmak üzere, Io Lemma kullanılırsa, fiyaların doğal logariması, aşağıdaki Ornsein Uhlenbeck üreci ile karakerize edilebilir. m xd dw dx (15) m (Uzun vadeli oralama ) : Oralamaya dönme oranı (hızı) Kullanılan zaman serisinin paramerelerini ahmin emek için aşağıdaki regresyon denklemi kullanılır: dx 1x 1 (16) Burada, md ve 1 d dir. Görüldüğü gibi, x değerleri, dx e karşı regresyona abi uulmakadır. oynaklığı, regresyonun sandar haası ile ahmin edilir. Bir oralamaya dönme sürecinde oynaklık, fiyalar üzerinde sınırlı bir ekiye sahipir. Bir rassal şokan sonra, fiyalar ekrar uzun vadeli oralamaya geri dönerler. Yani fiyaların uzun vadeli değişkenliği zaman ile oranılı olarak büyümez. 3. Oralamaya Dönme ıçrama Difüzyon üreci Oralamaya dönme sürecini açıklarken, köpeğinin kendisine rehberlik eiği bir sarhoşun bardan eve giderken izlediği yolu modellemek için rassal yürüyüş sürecini kullanmışık. arhoşun sendeleyerek yürümesinin yönü ve büyüklüğü genelde rassaldır. Yani bir rassal yürüyüş süreci izler. arhoşun sendelemelerinin büyüklüğü, köpeğin ipinin uzunluğu ile sınırlıdır. arhoş sendeleyerek köpeken uzaklaşığında, ip sonuna kadar gerilecek ve sarhoş köpeğe doğru geri çekilecekir (Blanco, C. ve aranow, D.(1)). Şimdi de, aniden yoldan bir arabanın geçiğini ve köpeğin arabanın peşinden koşuğunu düşünelim. Bunun sonucunda, sarhoş aniden hızlı bir şekilde araba yönünde çekilecekir. Araba uzaklaşığında ise köpek ekrar ev yönünde hareke edecek ve sarhoş normal pozisyonuna geri dönecekir. Bu durumu difüzyon bileşenine bir de sıçrama bileşeni ekleyerek modelleyebiliriz. (17) Fiya degisimi ln J q 1 : po fiya Oralamaya dönme erimi Diffüzyon erimi ııçrama erimi 1
: : : Dönülen oralama seviye Oralama seviyeye dönme hızı Oynaklık J : Rassal sıçrama büyüklüğü q : Poisson süreci q 1,, ihimalle 1 ihimalle (18) Burada, sıçrama sürecinin yoğunluğu veya sıklığı olarak adlandırılmakadır. ıçrama büyüklüğü J için aşağıdaki varsayımları kabul ediyoruz : J lognormal dağılmışır. Yani, ln J ~ N, ıçramalarla oraya çıkan risk sisemaik değildir. Bu nedenle de çeşilendirme yapılarak yok edilemez. Üselik, E J 1, olduğunu kabul ederek, üslenilen risk için fazladan bir ödülün olmadığını da garani emiş oluruz. Bu varsayımlar alında, J nin özelliklerini aşağıdaki şekilde özeleyebiliriz: J J ~ N, e, J E J 1 Eln J Var ln J J J yi ifade eden sokasik diferansiyel denklem aşağıdaki şekilde yazılabilir: * ln d dw J dq d 1 (19) j j 11
Doç. Dr. Ömer ÖNALAN dq olduğunda, oralamaya dönme difüzyon süreci elde edilir. Rassal zamanlarda, J 1 erimi, önceki değer yeni değer sıçramadan önceki ve sonraki değişimi verecekir. Yani, Modelin kesikli zamanlı versiyonu aşağıdaki gibidir: 3.1 Paramerelerin Tahmini J ye sıçrayacakır. * ln i q J olur. Oynaklık ( ) : Oynaklığın zamanla sabi olması durumunda, genellikle arihsel harekeli oynaklık, bir ahmin olarak kullanılabilir. Örneğin, aylık periyolarla hesaplanan harekeli arihsel oynaklıkların oralaması yıllık oynaklık olarak kullanılabilir. Oralamaya dönme oranı ( ) : Oralamaya dönme oranı, bir lineer regresyon kullanılarak ahmin edilir. Bu durumda x logarimik fiyalar serisine karşılık x geirileri regresyona abi uulur. ıçrama Parameresi (J ) : ıçrama bileşeninin paramerelerini ahmin emek için önce geiri serileri süzülür. onra bu verileri kullanarak, sıçramaların sandar sapması J ve sıçramaların sıklığı (yoğunluğu) ahmin edilir., yıl içerisindeki sıçramaların oplam sayısı, gözlem sayısına bölünerek hesaplanır. Bu değer bize sıçramaların, oralama olarak ne kadar sıklıka olduğunu söyler. ıçrama oynaklığı olarak da bilinen sıçramaların sandar sapması, sıçrama büyüklüklerini anımlayan olasılık dağılımının sandar sapmasını göseren bir sayıdır. Veri mikarına bağlı olarak, 3 sandar sapmanın öesindeki olayları ıçrama olayları olarak düşünebiliriz. Modelin paramerelerinin geçmiş verilere dayanarak ahmin edilmesindeki zayıflık, arihsel kayıların gelecek sıçramalar hakkındaki beklenileri içermemesinden kaynaklanmakadır (Carea, A. ve Figueroa, M.G. (5)). 4. Verilerin Analizi Bir çok finansal zaman serisinin, normallik varsayımından sapığı deneysel olarak göserilebilir. Gerçeke gözlenen rassal dalgalanmaları daha iyi açıklayabilmek için alernaif modeller önerilebilir. Çalışmada, İMKB 1 (1995 6), WIG (1994 5) ve CAC 4 (1993-5) endekslerinin günlük geirileri analiz edilmişir. () 1
1.6.95 1.1.95 1.6.96 1.1.96 1.6.97 1.1.97 1.6.98 1.1.98 1.6.99 1.1.99 1.6. 1.1. 1.6.1 1.1.1 1.6. 1.1. 1.6.3 1.1.3 1.6.4 1.1.4 1.6.5 1.1.5 1.6.6 1.1.6 FİYAT 1995 1996 1997 1998 1999 1 3 4 5 6 Günlük sürekli bileşik geiri (%) I.M.K.B. 1 geiri serisi % 15% 1% 5% % -5% -1% -15% -% -5% Yıllar ŞEKİL 5. İMKB 1 Endeksi Geiri erisi (1995 6) imkb 1 TARİEL FİYATLAR 6 5 4 3 eri 1 1 YILLAR ŞEKİL 6. İMKB 1 Endeksi Tarihsel Fiyaları (1995 6) 13
PDF Doç. Dr. Ömer ÖNALAN İmKB günlük geirilerinin PDF ( ),16,14,1 Günlük Or:.16% Günlük sd.ap.:.9%,1,8,6,4, - % - % -18 % -16 % -14 % -1 % -1 % -8% -6% -4% -% % % 4% 6% 8% 1% 1% 14% 16% 18% % Günlük sürekli bileşik geiri (%) ŞEKİL 7. İMKB 1 Endeksi Günlük Geirilerin Frekans Dağılımı (1995 6), Normal Q-Q Plo of VAR,1, -,1 -, -,3 -, -,1 -,,1, Observed Value 6) ŞEKİL 8. İMKB 1 Endeksi Geiri erisi için (Q-Q) Grafiği (1995 14
1994 1995 1996 1997 1998 1999 1 3 4 5 Günlük bileşik giri % 1994 1995 1996 1997 1998 1999 1 3 4 5 6 Geiri 3 Polonya WIG Endeksi (15.4.1994-9.9.5) 5 15 1 5 Yıl ŞEKİL 9. Polonya WIG Endeksi Tarihsel Fiyaları (1994 5) % Polonya WIG Endeks geirisi (15.4.1994-9.9.5) 15% 1% 5% % -5% -1% -15% Yıl ŞEKİL 1. Polonya WIG Endeksi Geiri erisi (1994 5) 15
PDF Doç. Dr. Ömer ÖNALAN WIG endeksinin günlük geirilerinin PDF'i (15.4.1994-9.9.5),,18,16,14 Günlük or.:.3% Günlük sd.sap.:.3%,1,1,8,6,4, -1% -1% -8% -6% -4% -% % % 4% 6% 8% 1% 1% 14% 16% 18% Günlük sürekli bileşik geiri(%) ŞEKİL 11. Polonya WIG Endeksi Günlük Geirilerin Frekans Dağılımı (1994 5),8 Normal Q-Q Plo of VAR1,6,4,, -, -,4 -,6 -,8 -, -,1,,1, Observed Value ŞEKİL 1. Polonya WIG Endeksi Geiri erisi için (Q-Q) Grafiği (1994 5) 16
1994 1995 1996 1997 1998 1999 1 3 4 5 Günlük süreklibileşik geiri (%) 1994 1995 1996 1997 1998 1999 1 3 4 5 6 Endeks Geiri CAC 4 Endeks (1.8.1993-7..5) 8 7 6 5 4 3 1 Yıl ŞEKİL 13. Fransa CAC 4 Endeksi Tarihsel Fiyaları (1993 5) CAC 4 Endeks Geirisi(1.8.1993-7..5) 8% 6% 4% % % -% -4% -6% -8% -1% Yıl ŞEKİL 14. Fransa CAC 4 Endeksi Geiri erisi (1993 5) 17
PDF Doç. Dr. Ömer ÖNALAN CAC 4 Endeksi Günlük Geiri PDF (18.8.1993-7..5),1,1,8 Günlük or.:.% Günlük d.ap.:1.41%,6,4, -1% -8% -6% -4% -% % % 4% 6% 8% 1% Günlük sürekli bileşik geiri (%) ŞEKİL 15. Fransa CAC 4 Endeksi Günlük Geirilerin Frekans Dağılımı (1993 5),6 Normal Q-Q Plo of VAR1,4,, -, -,4 -,6 -,8 -,6 -,4 -,,,,4,6,8 Observed Value 5) ŞEKİL 16. Fransa CAC 4 Endeksi Geiri erisi için (Q-Q) Grafiği (1993 18
4 3,5 3,5 1,5 1,5 -,5-1 [,1] aralığında ıçrama Diffüzyon (),1,,3,4,5,6,7,8,9 1 JDM () ŞEKİL 17. ıçrama Difüzyon ürecinin,1 aralığındaki imülasyonu 18 16 14 1 1 8 6 4 [,1] aralığındaki sıçramaların kümülaif sayısı,1,,3,4,5,6,7,8,9 1 ŞEKİL 18. ıçrama Difüzyon ürecinin,1 aralığındaki ıçramalarının Kümülaif ayısı ıçrama Bileşeni ile Geomerik Brownian Hareke q 1 1 q ihimalle ihimalle 19
Doç. Dr. Ömer ÖNALAN değişkeni, küçük bir zaman aralığında hisse senedi fiyaındaki değişim Paramereler: (m) : Birim zamanda beklenen geiri oranı(genellikle yıllık) (s ) : Hisse senedinin oynaklığı (s ve m sabi kabul edilmekedir) (e): andar normal dağılımdan çekilmiş bir rassal değişken,,1 (k) :Mal fiyaındaki oransal arma olarak ölçülen oralama sıçrama büyüklüğü :Birim zamandaki (yıl) sıçrama oranı,poisson sürecinin yoğunluğu olarak da adlandırılır. ayısal örnek = zamanındaki hisse senedi fiyaı :, TL Zaman (T) : 11 Yıl (lar) Yoğunluk () : %, Oynaklık () : % 4, Poisson yoğunluk () :,5 Her bir yıldaki sıçramaların sayısı ıçrama büyüklüğü (): % -5, Önceki hisse senedi fiyaının % si olarak ıçramadan (J) sonra his.sen. Fiyaı % si : % 95 Önceki hisse senedi fiyaının % si olarak Gamma = ln(1+) : -,5193 ln(j) nin yoğunluğu J nin sd si : 5,% J (-') J (+') T,,5764 1,56685
ıçrama Bileşeni ile Hisse enedi Fiya Eğrilerinin imülasyonu, TL 18, TL 16, TL 14, TL 1, TL 1, TL 8, TL 6, TL 4, TL, TL, TL 5 1 15 Zaman sarı :Brownian hareke Mavi:ıçrama ile Brownian hareke Kırmızı: ıçrama ŞEKİL 19. ıçrama Bileşeni ile Fiya Eğrilerinin imülasyonu (ıçrama büyüklükleri değişken) 9, TL 8, TL 7, TL 6, TL 5, TL 4, TL 3, TL, TL 1, TL, TL -1, TL ıçrama Bileşeni ile Hisse enedi Fiya Eğrilerinin imülasyonu (abi sıçrama büyüklüğü) 5 1 15 Zaman sarı :Brownian hareke Mavi:ıçrama ile Brownian hareke Kırmızı: ıçrama ŞEKİL. ıçrama Bileşeni ile Fiya Eğrilerinin imülasyonu (ıçrama büyüklükleri sabi) Bağımsızlık: Bir çok model de geirilerin bağımsız dağılmış olduğu varsayımı kabul edilir. Bu hipoezin doğru olup olmadığı ookorelasyon esi ile değerlendirilebilir. Eğer veriler gerçeken bağımsız bir şekilde dağılmış ise korelasyon sabii sıfıra yakın olmalıdır. Aksi akir de verilerin bağımsız olduğu söylenemez. Bu durumda modelin paramerelerini ahmin emek için, serideki her bir erimden serinin oralamasını çıkararak yeni bir seri elde edilir. 1
Doç. Dr. Ömer ÖNALAN w r rd (1) 3 dan daha büyük ıçramalar: erideki sıçramalar, orijinal seriden mulak değeri değerler süzülerek elde edilir. İkinci ierasyonda, kalan serinin sandar sapması ekrar hesaplanır ve yeni sandar sapmanın 3 kaından 3 1 nın mulak değerinden daha büyük geiriler ekrar süzülür. Bu işlem süzülecek herhangi bir değer kalmayıncaya kadar devam eder. Bu algorima, sıçramaların birikimli sıklığının ahmin edilmesine imkan verir. sıçrama difüzyon 18 16 14 1 1 8 eri 1 6 4 1 17 33 49 65 81 97 113 19 145 161 177 193 9 5 41 57 73 89 35 31 337 353 369 385 41 417 433 449 465 481 497 Şekil 1. Eğrisi İMKB 1 Endeks Geirisi için Oralamaya Dönme ıçrama Difüzyon
5. onuç Çalışmada üç değişik ülkenin piyasa endekslerinin günlük geirileri analiz edilmişir. Her üç geiri seri için de deneysel dağılımın normal dağılıma göre daha sivri olduğu açıkça görülmekedir. Normal dağılım varsayımının gerçeği am olarak yansımadığını gösermek için kullanılan grafik araçlardan biri olan Quanile-Quanile (Q- Q) grafiği serinin her üçü için de şeklindedir. Eğer geiriler normal dağılmış olsalardı, (Q-Q) grafiğin doğrusal olması gerekirdi. (Q-Q) grafiği ayrıca geirilerin dağılımının kuyruklarda normalden iyice sapığını da gösermekedir. Ayrıca piyasalarda oynaklık kümelenmesi gözlenmekedir. Fiyalar küçük çapa ani sıçramalara sahipir. Faka çeşili ekonomik ve siyasi nedenlerden dolayı fiyalar ani yükselme ve düşmeler göserse bile uzun vadede oralama seviyesine dönme eğilimi mevcuur. Oralamaya Dönme bileşenine sahip difüzyon süreçleri ve bu süreçlere sıçramaların eklenmesinin ekileri yapılan çeşili simülasyonlarla araşırılmışır. İMKB 1 endeksi için elde edilen oralamaya dönme sıçrama difüzyon modelinden üreilen örneklem eğrisinin, İMKB 1 endeksinin gerçek verilerinin gösermiş olduğu eğriye çok yakın olduğu görülmekedir. Şu halde fiyaların gelişimini modellemek için rassal yürüyüş süreci üzerine oralamaya dönme süreci ve ayrıca bir de sıçrama süreci eklenirse, fiya değişimleri daha gerçekçi bir şekilde modellenmiş olur. 3
Doç. Dr. Ömer ÖNALAN Kaynakça BALL, C.A. ve TOROU, W.N. A implified Jump Processes for Common ock Reurns The Journal of Finance and Quaniaive Analysis,18(1):53-65, 1983. BLANCE, C. ve ARONOV, D., Jump Diffusion Processes, Energy Price Processes Used for Derivaives Pricing and Risk Managemen,Working Paper,1. CARTEA,A. ve FIGUEROA,M.G., Pricing in Elecriciy Markes: A Mean Revering Jump Diffusion Model wih easonaliy, Applied Mahemaical Finance Vol:1,ayı. 4, pp. 313-35,5. CLEWLOW, L., TRICKLAND, C. ve KAMINKI, V., Exending Mean-Revering Jump Diffusion, Energy Power Risk Managemen,Risk Waer Group, February, 1. ETHERIDGE,A, A Course in Financial Calculus,Cambridge Universiy Press, 1.basım,. MERTON, R.C., Opion Pricing When Underlying ock Reurns are Disconinuous,Journal of Financial Economics, 3, January March: 15-44. 1976. CHWARTZ, E.., The ochasic Behavior of Commodiy Prices: Implicaions for Valuaion and Hedging, The Journal of Finance,5(3): 93-973, July, 1997. HIRYAEV, A.N., Essenial of ochasic Finance : Facs, Models and Theory. World cienific, Pub.Co.1999. TAMPFLI, J. ve GOODMAN, The Mahemaics of Finance: Modelling and Hedging, Brooks/Coles eries in Advenced Mahemaics, 1. 4