T.C. SELÇUK ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ

Transkript

1 T.C. SELÇUK ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ ÇOK DEĞİŞKENLİ EŞİKSEL OTOREGRESİF MODELLER ÜZERİNE BİR ÇALIŞMA Ümran Münire KAHRAMAN DOKTORA TEZİ İsaisik Anabilim Dalı 2012 KONYA Her Hakkı Saklıdır

2 TEZ KABUL VE ONAYI Ümran Münire KAHRAMAN arafından hazırlanan Çok Değişkenli Eşiksel Ooregresif Modeller Üzerine Bir Çalışma adlı ez çalışması 04/09/2012 arihinde aşağıdaki üri arafından oy birliği ile Selçuk Üniversiesi Fen Bilimleri Ensiüsü İsaisik Anabilim Dalı nda DOKTORA TEZİ olarak kabul edilmişir. Bu ez çalışması Selçuk Üniversiesi Bilimsel Araşırma Proeleri (BAP) Koordinaörlüğü arafından 2011/ nolu proe ile deseklenmişir.

3 TEZ BİLDİRİMİ Bu ezdeki büün bilgilerin eik davranış ve akademik kurallar çerçevesinde elde edildiğini ve ez yazım kurallarına uygun olarak hazırlanan bu çalışmada bana ai olmayan her ürlü ifade ve bilginin kaynağına eksiksiz aıf yapıldığını bildiririm. DECLARATION PAGE I hereby declare ha all informaion in his documen has been obained and presened in accordance wih academic rules and ehical conduc. I also declare ha, as required by hese rules and conduc, I have fully cied and referenced all maerial and resuls ha are no original o his work. Ümran Münire KAHRAMAN Tarih: 04/09/2012

4 ÖZET DOKTORA TEZİ ÇOK DEĞİŞKENLİ EŞİKSEL OTOREGRESİF MODELLER ÜZERİNE BİR ÇALIŞMA Ümran Münire KAHRAMAN Selçuk Üniversiesi Fen Bilimleri Ensiüsü İsaisik Anabilim Dalı Danışman: Prof. Dr. Aşır GENÇ 2012, 102 Sayfa Bu çalışmada, eşiksel ooregresif (TAR) modeller sınıfından kendinden uyarımlı eşiksel ooregresif (SETAR) modelin yapısı üzerinde durulmuşur. Model paramerelerini belirlemek için Tsay (1989) in önerdiği yönem kullanılmışır. Kendinden uyarımlı eşiksel değişen varyanslı ooregresif (SETARCH) model oluşurularak, farklı reimlerde oralamanın yanı sıra varyansa da eşiksellik yapısı ele alınmış ve varyansın modellenmesine çalışılmışır. SETARCH modeli için uygulama verisi olarak dönemini kapsayan serbes piyasadaki günlük alın fiyaları serisi TL cinsinden alınarak bir model oluşurulmuşur. Daha sonra yine Tsay (1998) in önerdiği yönemle çok değişkenli SETAR model hazırlanmış ve aynı dönem için TL cinsinden günlük alın fiyaları ve Dolar (USD) kuru verisi kullanılmışır. Bu uygulama için de çok değişkenli ve üç reimli bir model oraya konmuşur. Anahar Kelimeler: Çok değişkenli SETAR model, eşiksel ARCH (SETARCH) model, kendinden uyarımlı eşiksel ooregresif (SETAR) model, lineer olmama esi iv

5 ABSTRACT Ph.D THESIS A STUDY ON MULTIVARIATE THRESHOLD AUTOREGRESSIVE MODELS Ümran Münire KAHRAMAN THE GRADUATE SCHOOL OF NATURAL AND APPLIED SCIENCE OF SELÇUK UNIVERSITY THE DEGREE OF DOCTOR OF PHILOSOPHY IN STATISTICS Advisor: Prof. Dr. Aşır GENÇ 2012, 102 Pages In his sudy, srucure of a self-exciing hreshold auoregressive model which belongs o hreshold model class and choosing is parameers are emphasized. To deermine parameers of model, mehod which was offered by Tsay (1989), was used. Besides mean in differen regime, i was considered variance has hreshold. A model which was based on daily gold prices which were aken as Turkish lira and in period were applied for numerical example was creaed. Afer ha, by Tsay (1998) s mehod, a mulivariae SETAR model was prepared and he same period of gold prices and exchange raes of USD daa was handled. For his daa, a mulivariae model wih hree regimes was produced. Keywords: Mulivariae SETAR model, nonlineariy es, self-exciing hreshold auoregressive (SETAR) model, hreshold ARCH (SETARCH) model v

6 ÖNSÖZ Dokora ez çalışmam boyunca bilgi ve yardımlarını sunan değerli hocam Prof. Dr. Aşır Genç e eşekkür ederim. Tez izleme komiemde olup deseğini esirgemeyen Prof. Dr. Nezir Köse ve Yrd. Doç. Dr. İsmail Kınacı ya da şükran borçluyum. Dokora programı boyunca verdiği maddi deseken dolayı TÜBİTAK a ve yardımlarından dolayı Fen Bilimleri Ensiüsü personeline de eşekkür ediyorum. Anlayış ve deseğiyle her zaman yanımda olan aileme ve eşime de eşekkürü bir borç bilirim. Ümran Münire KAHRAMAN KONYA-2012 vi

7 İÇİNDEKİLER TEZ KABUL VE ONAYI... v TEZ BİLDİRİMİ... vi ÖZET... iv ABSTRACT... v ÖNSÖZ... vi İÇİNDEKİLER... vii KISALTMALAR... ix 1. GİRİŞ Kaynak araşırması TEMEL KAVRAMLAR Durağanlık Ookovaryans ve Ookorelasyon Fonksiyonu Kısmi Ookorelasyon Fonksiyonu Beyaz Gürülü Serisi DOĞRUSAL ZAMAN SERİSİ MODELLERİ Genel Durağan Modeller Harekeli oralama (MA) modeli Ooregresif (AR) model Ooregresif harekeli oralama (ARMA) modeli Durağan Olmayan Doğrusal Modeller Durağanlık Analizi Birim kök esleri Doğrusal zaman serilerinde birim kök esleri Durağanlık dönüşümleri Model Seçimi: Korelogram İncelemesi Model Seçim Krierleri Model Geçerliliğinin Araşırılması Arıkların ookorelasyon fonksiyonu grafiği Breusch-Godfrey esi Whie esi Jarque-Bera normalik esi Modelleme Süreci KOŞULLU DEĞİŞEN VARYANSLI MODELLER Koşullu Değişen Varyanslı Ooregresif (ARCH) Modeller vii

8 ARCH ekisinin incelenmesi ARCH modelinin eksik yanları GARCH Modeli ARCH/ GARCH Uyarlamaları ARCH-M modeli EGARCH modeli TARCH modeli ARCH Modelleri için Arıkların İncelenmesi Lung-Box Q esi McLeod esi EŞİKSEL OTOREGRESİF (TAR) VE KENDİNDEN UYARIMLI EŞİKSEL OTOREGRESİF (SETAR) MODELLER Eşiksel Ooregresif Model Eşiksel Doğrusal Olmama Tesi Yapısal Paramerelerin Belirlenmesi Paramere Tahmini En küçük kareler ahminlerinin uarlılığı Modelleme Süreci Model Yeerliliği Öngörü DEĞİŞEN VARYANSLI KENDİNDEN UYARIMLI EŞİKSEL OTOREGRESİF MODEL (SETARCH) SETARCH Modeli ve Model Varsayımları Model Belirleme Model Yeerliliği ÇOK DEĞİŞKENLİ EŞİKSEL OTOREGRESİF MODEL Çok Değişkenli Doğrusal Olmama Tesi Model Paramerelerinin Belirlenmesi Tahmin Model Yeerliliği ARAŞTIRMA SONUÇLARI Uygulama I Uygulama II SONUÇLAR KAYNAKLAR EKLER... Haa! Yer işarei anımlanmamış. ÖZGEÇMİŞ... Haa! Yer işarei anımlanmamış. viii

9 KISALTMALAR ARMA : Ooregresif harekeli oralama a.d. : Asimpoik durağan ACF : Ookorelasyon fonksiyonu ADF : Genişleilmiş Dickey-Fuller AIC : Akaike bilgi krieri AR : Ooregresif (Auoregressive) ARCH : Koşullu değişen varyanslı ooregresif ARIMA : Büünleşik ooregresif harekeli oralama GARCH : Genelleşirilmiş koşullu değişen varyanslı ooregresif LR : Olabilirlik oranı MA : Harekeli oralama PACF : Kısmî ookorelasyon fonksiyonu PAM :Kısmî ooregresyon marisi SIC : Schwarz Bayesian krieri SETAR : Kendinden uyarımlı eşiksel ooregresif USD : Amerikan doları SETARCH : Kendinden uyarımlı eşiksel koşullu değişen varyanslı ooregresif SSE : Arık kareler oplamı TAR : Eşiksel ooregresif ix

10 1 1. GİRİŞ Eşiksel ooregresif model (TAR), doğrusal olmayan zaman serisi modellerinden biridir. Eşiksel ooregresif modeller ilk olarak Tong (1978) ve Tong ve Lim (1980) arafından ele alınmışır. Daha sonra Tong (1990), kendinden uyarımlı eşiksel ooregresif (SETAR) modeli geniş bir biçimde açıklamışır. Modelin ilk oraya çıkış kaynağı sınırlı döngüler ve döngüsel yapıdaki zaman serileri olmuşur ve model asimerik sınırlı döngüler oluşurabilmekedir (Tong, 1990). Bu ez çalışmasında, eşiksel ooregresif modeller için model belirleme sürecini kolay uygulanabilir hale geiren Tsay (1989, 1998) in yönemi kullanılarak SETAR modelin yapısal paramerelerinin seçiminin yapılması amaçlanmakadır. Yapısal paramerelerden eşik değişkenini belirlemek için öncelikle bir kısım öngörü arıklarına dayanan bir es isaisiği ile eşiksel doğrusallık esi yapılmakadır. Muhemel eşik sayısı ve değerleri için ise grafiksel araçlar kullanılmakadır. Sonuça bu isaisikler kullanılarak SETAR model kurulacakır. Çalışmanın özgün yanı, gerçek bir veri seinde SETAR modelin yapısal paramerelerinin belirlenmesi ve bunun için gerekli bilgisayar programlarının oluşurulmasıdır. Çalışmada, SETAR modelin yanı sıra kendinden uyarımlı eşiksel koşullu değişen varyanslı ooregresif (SETARCH) model ve çok değişkenli SETAR model hakkında da bilgi verilmekedir. Teorik kısmı açıklayabilmek amacıyla ekonomik verilere dayalı uygulamalar da yer almakadır. Böylece, dönemini kapsayan serbes piyasadaki günlük alın fiyalarının TL değerleri için bir SETARCH modeli ve yine aynı döneme ai TL cinsinden günlük alın fiyaları ve Dolar (USD) kuru verisi için çok değişkenli bir SETAR modeli elde edilmişir. Sayısal hesaplamalar için MATLAB 7.7.0(R2008b) programında kodlar oluşurulmuşur, hazırlanan bu kodlar çalışmanın EKLER kısmında yer almakadır. Çalışmanın ikinci bölümü doğrusal zaman serilerine ilişkin emel kavramları içermekedir. Üçüncü bölümde doğrusal zaman serisi modelleri yer almakadır. Doğrusal zaman serisi modellerinde model belirleme süreci hakkında bilgi verilmekedir. Dördüncü bölüm, doğrusal olmayan modellerden varyansa değişime izin veren koşullu değişen varyanslı ooregresif (ARCH) modeli açıklamakadır. ARCH modele uygunluğun araşırılması ve model için arık esleri bu bölümün içeriğini oluşurmakadır.

11 2 Beşinci bölüm, doğrusal olmayan zaman serisi modellerinden eşiksel ooregresif (TAR) model ve kendinden uyarımlı eşiksel ooregresif (SETAR) modeli kapsamakadır. Eşiksel modelin yapısal paramerelerinin belirlenmesi ve modelin uygunluğunun araşırılması konuları verilmekedir. Alıncı bölümde, hem oralamada hem de varyansa reim değişikliğine izin veren kendinden uyarımlı eşiksel koşullu değişen varyanslı ooregresif (SETARCH) model hakkında bilgi verilmekedir. Yedinci bölümde, çok değişkenli kendinden uyarımlı eşiksel ooregresif model için SETAR modelin çok değişkenli yapısı hazırlanmışır. Sekizinci bölümde, SETARCH ve çok değişkenli SETAR modelleri için ekonomik verilere dayalı birer uygulama verilmişir Kaynak araşırması Tong (1978) arafından gelişirilen kendinden uyarımlı eşiksel ooregresif modeller oldukça geniş bir uygulama alanına sahip olmuşur. Tong ve Yeung (1991), Peruccelli-Davies esini genişleerek Tsay (1989) in yönemi ile karşılaşırmışır. Üç farklı finansal veri üzerinde uygulama yapılmışır. Bunlar IBM günlük borsa kapanış fiyaları (birinci kısım ve ikinci kısım) ile Hang Seng endeks verisidir. Yadav ve ark. (1994), TAR modellerin kullanımı, isaisiksel ahmini ve esi Fuure piyasalarda fiya farklarının modellenmesinde kullanılmışır. Waier ve Richardson (1999), epidemiyoloik bir zaman serisinde, Tsay in yönemiyle kendinden uyarımlı eşiksel ooregresif modeli uygulamışır. Daha sonra bu modeli Thanoon ın sınırlandırılmış modeliyle karşılaşırmışlardır. Lewis ve Ray (1997), Kaliforniya da 20 yıl boyunca ölçülen günlük deniz yüzeyi sıcaklığı verisine uyarlanabilir spline eşiksel ooregresif (ASTAR) model uygulamışır. Model yüksek ooregresif derecesi ile uzun süreli bir doğrusal olmayan hafızaya sahipir ve ek değişkenli diğer modellere göre daha iyi öngörüler vermekedir. Mongomery ve ark. (1998), çalışmalarında US işsizlik oranlarının örneklem dışı ahminlerini elde emeye çalışmışır. Çeşili doğrusal ve doğrusal olmayan modeller uygulanarak performansları karşılaşırılmışır.

12 3 Clemens ve Smih (2001), borsa oranlarını kullanarak kendinden uyarımlı eşiksel ooregresif model ile çok periyodlu öngörü sonuçları elde edilmişir. Öngörü performansları doğrusal modellerle karşılaşırılmışır. Baragona ve ark. (2004) eşiksel ooregresif harekeli oralama modellerine giriş yapılmışır. Geneik algorima kullanılarak eşik paramereleri ve reim yapıları belirlenmişir. Feng ve Liu (2003), yılları arasındaki Kanada GDP verisinde SETAR model uygulayarak öngörü performansını incelemişir. Kaiani ve ark. (2005), Kanada vaşak verisi için SETAR modelde ileri beslemeli yapay sinir ağlarını (FFNN) kullanarak öngörü elde emişlerdir. Sonuça serinin doğrusal ve normal olmayan karakerisikler içermesine rağmen oldukça FFNN algorimasının iyi performans göserdiği görülmüşür. Khadaroo (2005), Hindisan, Singapur ve Güney Afrika daki Ocak 1976-Kasım dönemi için aylık enflasyon verisini kullanarak iki reimli bir kendinden uyarımlı eşiksel ooregresif model hazırlamışır. Huang ve ark. (2005), perol fiyaları verisinin ülke ekonomisi üzerindeki volailiesini incelemek için çok değişkenli bir eşiksel model oluşurmuşur. Bunun için, US, Kanada ve Japonya da yılları arasındaki aylık fiyaları kullanmışır. Huchison ve ark. (2010), zaman içinde Hindisan da sermaye konrollerinin ekinliğini araşırmak için kendinden uyarımlı eşiksel ooregresif modeli kullanmışır. Modelden işlem maliyeleri ve sermaye konrolleri ekinliği ile belirlenen arbirasız banlar elde edilmişir. Pinson ve ark. (2008), dakika ölçeğinde kıyı rüzgarı gücünün farklı olduğunu göz önüne alarak eşiksel modeli kullanmışır. Reim değişimine izin veren modellerden kendinden uyarımlı eşiksel (SETAR) model, yumuşak geçişli ooregresif (STAR) model ve Markov geçişli ooregresif (MSAR) model karşılaşırılmışır. Campenhou (2006), Tanzanya da yedi farklı mısır piyasasında hafalık fiyaları kullanarak eşiksel ooregresif modelin arbira sürecinin dinamiklerini kapsadığını gösermişir. Chen (2012), Çin de arasında uygulanan sermaye konrollerinin ekinliğini incelemek için 2007 yazında oraya çıkan finansal dalgalanma dikkae alınarak iki reimli bir eşiksel model oluşurulmuşur. Yang ve Li (2012), DNA opimizasyonu için kendinden uyarımlı eşiksel ooregresif model (DNAOTARPM) oluşurmuşur. Gelişirilmiş geneik algorima

13 4 eşiksel ooregresif öngörü modeli (IGATARPM) ve sandar geneik algorima eşiksel ooregresif öngörü modeli (SGATARPM) ile karşılaşırıldığında DNAOTARPM daha iyi sonuç verdiği görülmüşür. SETAR modelin isaisiksel özellikleri konusunda yapılan çalışmalar ise şöyledir: Tsay (1989, 1998, 2010), ek değişkenli ve çok değişkenli kendinden uyarımlı eşiksel ooregresif modelde doğrusal olmamanın espii ve yapısal paramerelerin belirlenmesi için çalışmalar yapmışır. Li ve Li (1996), kendinden uyarımlı eşiksel modelin arık erimlerinin varyansını ARCH modeller ile modelleyerek çif eşiksel SETAR (DTARCH) model oluşurmuşur. Mak ve ark. (1997), DTARCH modelin paramerelerini ahmin emek için ieraif en küçük kareler (IWLS) algoriması vermişir. Hansen (1996, 1999, 2000), eşiksel ooregresif modelde sonuç çıkarımı ve eşiksel ooregresif seri için birim kök esi sürecini açıklamışır. Kapeanios (2000), küçük örneklemler için eşiksel model uygulaması ve koşullu en küçük kareler ahmin edicisini açıklamışır. De Gooier (2001), gecikme ve eşik paramerelerinin bilinmediği durumda SETAR model için AR derecesinin seçimini gösermişir. Gonzalo ve Wolf (2005), eşiksel ooregresif modelde sonuç çıkarımı hakkında bilgi vermişir. Dufreno ve ark. (2008), iki reimli ve farklı AR derecesine sahip SETAR modelde hafıza özelliklerini ve ahmin yönemini gösermişir. Kapeanios ve Shin (2006), üç reimli bir SETAR modelde birim kök esleri hakkında bilgi vermişir. Srikholm ve Teräsvira (2006), reim sayısını belirlemek için bir yönem önermişir. Galeano ve Pena (2007), ooregresif modellerde model seçim krieri gelişirmiş ve bu krieri kendinden uyarımlı eşiksel ooregresif model için gelişirmişir.

14 5 2. TEMEL KAVRAMLAR Zaman serileri, zamana bağlı olarak gözlenen verilerden elde edilen gözlem kümeleridir. Zaman serisi verileri ile yapılan analizler gözlemlerin ai olduğu sokasik sürecin modelini belirleme ve buradan ileriye yönelik ahmin yapmadan oluşmakadır. Bu bölümde, zaman serileri ile ilgili emel kavramlar verilecekir., zamanında gözlenen reel değerli rasgele değişkeni gösersin. Gözlemler düzenli zaman aralıklarında alınmakadır. Bir zaman serisi, ile sıralanan reel değerli rasgele değişkenlerin bir dizisidir ve burada, amsayılar kümesini göserir Durağanlık Zaman serilerinde en önemli kavramlardan biri durağanlıkır. Durağanlık, süreçe hâkim olan olasılık kanunlarının zaman ile değişmemesi fikrine dayalı isaisiksel bir dengeyi ifade eder. zaman serisi, olmak üzere, ve herhangi bir için, (2.1) eşiliğini sağlıyorsa durağandır., rasgele değişkenlerin dağılım fonksiyonunu göserir. Burada ile dağılım fonksiyonunun aynı olduğu kasedilmekedir. Bu durum, güçlü (kesin) durağanlık olarak adlandırılır. Zayıf durağanlık, kovaryans durağanlık gibi isimler alan diğer durağanlık ipi ise, ve (2.2) ile ifade edilir. Burada dir. Kısaca güçlü durağanlık birinci, ikinci ve daha yüksek dereceli momenlerin zamana göre sabi olması iken, zayıf durağanlık yalnızca birinci ve ikinci momenlerin zaman içinde sabi kalmasıdır (Tong, 1990).

15 Ookovaryans ve Ookorelasyon Fonksiyonu Sonlu varyanslı durağan bir zaman serisi göz önüne alınsın. Eşilik (2.2) den, nin bir fonksiyonu olacakır. Bu fonksiyon, nin ( gecikmesindeki ookovaryans fonksiyonu olarak adlandırılır ve ile göserilir. Ookovaryans fonksiyonunun özelikleri şöyle sıralanabilir. (1) (2) (3) (4), ve için, biçiminde sıralanabilir., oranı, nin gecikmesindeki ookorelasyon fonksiyonu olarak adlandırılır ve ile göserilir. yerine yazılırsa, ookovaryans fonksiyonunun özelliklerinden (2), (3) ve (4) özellikleri sağlanır. Açıkça görüldüğü gibi, ve arasındaki lineerliğin bir ölçüsüdür (Tong, 1990, Franses ve Dik, 2000) Kısmi Ookorelasyon Fonksiyonu ve arasındaki kısmi ookorelasyon, değişkenlerinin ekisi arındırıldıkan sonra bu iki değişken arasındaki korelasyon olarak anımlanır. Yani, (2.3) regresyon modeli göz önüne alındığında k. kısmi ookorelasyon kasayısı olacakır. Kısmi ookorelasyon kasayılarını hesaplamanın kolay bir şekli ookorelasyon kasayılarını kullanarak elde emekir. marisi,

16 k k k k k k P k şeklinde yazılsın. marisinin son süun vekörü nün vekörü ile değişirilmesinden elde edilen marisi, k k k k P k * olmak üzere kısmi ookorelasyon kasayıları ) de( ) de( ) ( * k k P P k (2.4) olarak elde edilir (Akdi, 2003) Beyaz Gürülü Serisi Oralaması sıfır olan herhangi bir zaman serisinin ookovaryans fonksiyonu,.., 0 0, ) ( 2 y d k k (2.5) şeklinde ise serisine beyaz gürülü serisi denir ve ) (0, 2 WN şeklinde göserilir (Akdi, 2003).

17 8 3. DOĞRUSAL ZAMAN SERİSİ MODELLERİ Doğrusal zaman serisi modelleri, ooregresif (AR), harekeli oralama (MA) ve bu iki modelin birleşimi şeklinde ifade edilen ooregresif harekeli oralama modelleri olarak incelenebilir. Modeller durağan yapıya sahip olup olmamaları açısından da değerlendirilmekedir. Bu bölümde modeller ayrınılı biçimde anıılacakır Genel Durağan Modeller Ooregresif (AR), harekeli oralama (MA) ve ooregresif harekeli oralama (ARMA) modelleri doğrusal durağan modeller olarak adlandırılır. Bu bölümde modellere ilişkin anım ve bazı özellikler verilmekedir Harekeli oralama (MA) modeli Harekeli oralama modellerinde bir seri, başka bir serinin doğrusal birleşimi olarak ifade edilmekedir. Zaman serisi, aynı dönemin arık erimi ile belirli sayıda geçmiş dönemin arık erimlerinden oluşur. Genel olarak q. dereceden bir harekeli oralama serisi, X q 0, 0 1 (3.1) biçiminde veya gerileme operaörü yardımıyla ( L) 2 ( X ) (1 q 1L 2L ql ) q (3.2) 2 olarak ifade edilebilir ve MA (q) ile göserilir. Burada ~ WN (0, ) şeklindedir. Eşilik (3.1) ile ifade edilen bir varyansı, X zaman serisi için serinin beklenen değeri ve

18 9 q X E E 0 ) ( (3.3) q q Var Var X Var ) ( ) ( q (3.4) şeklinde elde edilmekedir. Aynı zamanda ) (q MA serisi için ookovaryans fonksiyonu, q k q q k q k Cov Cov X X Cov k ,, ), ( ) ( 0, ) (, 0,1,,, k k q k q k k q k (3.5) olarak elde edilir ve bu ookovaryans fonksiyonundan yararlanarak seri için ookorelasyon fonksiyonu, 0, ) (, 0, 1,2,, 0, 1 (0) ) ( ) ( k k q k q k k k k q k q k (3.6) biçiminde elde edilmekedir. ) (q MA serisi için ookovaryans ve ookorelasyon fonksiyonlarından, k değerinin model derecesi olan q dan daha büyük olması

19 10 durumunda ookovaryans ve ookorelasyonların sıfıra eşi olduğu anlaşılmakadır. Bu sebeple harekeli oralama serileri için model derecesinin belirlenmesinde ookorelasyon fonksiyonu bir araç olarak kullanılmakadır. Harekeli oralama serilerinin kısmi ookorelasyon kasayıları ise (2.4) eşiliği ile verildiği gibi hesaplanmakadır ve kısmi ookorelasyon kasayıları k değeri arıkça ooregresif modellerin ookorelasyon kasayılarına benzer olarak ya üsel olarak azalan ya da azalan sinüs dalgalanmaları biçiminde bir eğilim gösermekedir (Kınacı, 2005). Eşilik (3.3) ve (3.4) den görüldüğü gibi, Eşilik (3.1) de verilen MA (q) serisinin beklenen değeri sabi, varyansı sonlu ve ookovaryans (aynı zamanda ookorelasyon) fonksiyonu (k) den bağımsızdır. Bu da sonlu her q değeri için MA (q) serisinin durağan olduğu anlamına gelmekedir. Ancak q nun sonlu olmaması durumunda yani X zaman serisinin, 0 X 1 (3.7), 0 şeklinde MA () serisi olması durumunda bu serinin durağan olabilmesi için, 0 koşulunun sağlanması gerekmekedir. Eşilik (3.7) ile verilen MA() serisinde 1 olmak üzere olarak anımlandığında, olacağından bu şekilde verilen MA () serisi durağan olacakır. Ayrıca, X 0 (3.8)

20 11 ve X 1 0 (3.9) 1 olduğu dikkae alındığında, X X 1 veya X 1 (3.10) X eşiliklerine ulaşılır. Eşilik (3.10) ile ifade edilen seri birinci dereceden ooregresif süreç olarak adlandırılır ve AR (1) ile göserilir. Bu durumda Eşilik (3.10) ile verilen AR (1) serisinin durağanlığı (3.7) eşiliği ile verilen MA () serisinin durağanlığına yani 1 olmasına bağlıdır (Kınacı, 2005). Burada 1 şarı çevrilebilirlik koşulu olarak adlandırılır Ooregresif (AR) model Ooregresif zaman serilerinde, serinin şimdiki değerleri kendi geçmişindeki değerlere ve beyaz gürülüye bağlı olarak değişmekedir. Birçok ekonomik veri ooregresif zaman serisi olarak modellenebilmekedir. Genel olarak p. dereceden bir ooregresif zaman serisi, p ( X ) ( X ) (3.11) i1 i i 2 şeklinde ifade edilmeke ve kısaca AR ( p) ile göserilmekedir. Burada WN (0, ) olan beyaz gürülü serisi,, X serisinin oralaması ve i ler ise modelin bilinmeyen

21 12 paramereleridir. Burada kolaylık olması için 0 olduğu varsayılacakır ve aynı zamanda Y X dönüşümü de kullanılabilmekedir. 0 varsayımı alında Eşilik (3.11) ile verilen AR ( p) serisi, X p X i1 i i (3.12) şeklinde veya gerileme operaörü kullanılarak 2 p (1 1L 2L pl ) X (3.13) X (1 L L L ) 2 p p X L L 2 (1 1 2 ) (3.14) şeklinde MA () serisi olarak yazılabilir. Eşilik (3.12) ile verilen X zaman serisinin (3.14) şeklinde MA () serisi olarak göserimi yardımıyla i0 yakınsak olduğunda, 2 i E( X 2 ) E((1 1L 2L ) ) 0 ve Var ( X ) 2 i0 2 i sonlu olacakır ve bu Eşilik (3.14) ile verilen koşuldur (Kınacı, 2005). Eşilik (3.12) ile verilen X serisinin durağanlığı için gerekli bir X zaman serisi için ookovaryans fonksiyonu,

22 13 ( k) Cov( X Cov( X p i1, X, Cov( X ), X ( k 1) ( k 2) ( k 1 i p i1 k X i 2 ki ki ) k ) p p), k 0 olarak bulunur. Ookovaryans fonksiyonuna bağlı olarak AR ( p) serisinin ookorelasyon fonksiyonu, ( k) 1( k 1) 2( k 2) p( k p), k 0 olarak elde edilmekedir. p. dereceden bir ooregresif zaman serisi modeli AR ( p) nin durağan olabilmesi m p p i1 m i pi 0 (3.15) karakerisik denkleminin üm köklerinin mulak değerce 1 den küçük olmasına ya da buna eşdeğer olarak Eşilik (3.13) de verilen, 2 (1 1L p 2L pl ) 0 denkleminin üm köklerinin mulak değerce 1 den büyük olmasına bağlıdır. AR ( p) modeli için k inci kısmi ookorelasyon kasayısı olan (k) ise Eşilik (2.4) yardımıyla hesaplanabilir. Durağan ooregresif zaman serisi modelleri için serinin ookorelasyonları k değeri arıkça ya üsel olarak azalan ya da azalan sinüs dalgalanmaları biçiminde bir eğilim gösermekedir. Burada azalma oranının yavaş olması durumunda serinin durağanlığı konusunda şüpheye düşülmekedir. Durağan ooregresif zaman serisi modellerinin kısmi ookorelasyon kasayıları ise model derecesinden büyük k değerleri için 0 değerini almakadır. Bu yüzden ooregresif süreçler için model derecesinin

23 14 belirlenmesinde kısmi ookorelasyon kasayıları bir araç olarak kullanılmakadır (Kınacı, 2005) Ooregresif harekeli oralama (ARMA) modeli Tek başına AR ( p) veya MA (q) süreçleri arafından ifade edilemeyen serilerde bu iki sürecin birlike kullanıldığı bir model oluşurulur. Bu modellerde bir zaman serisinin herhangi bir dönemine ai gözlem, ondan önceki belirli sayıdaki gözlemin ve arık erimlerinin doğrusal bir birleşimi olan ARMA modeli şeklinde ifade edilmeye çalışılır. Genel olarak p. ve q. dereceden bir ARMA ( p, q) modeli, ( L) X ( L) p q (3.16) biçiminde veya açık olarak, p X X (3.17) i i i1 1 q biçiminde ifade edilir. Bu modelin durağan olması için ooregresif kesime ai olan ( L) 0 denkleminin üm köklerinin mulak değerce 1 den büyük olması p gerekmekedir. AR ya da MA modelini kullanarak çok sayıda paramereyi gerekiren veriler, bir ARMA modeli kullanılarak sadece birkaç paramere ile modellenebilmekedir. Genelde, modelde çok sayıda paramerenin bulunması ahminde ekinliği azalır. ARMA ( p, q) zaman serisi modelinin ookovaryansları, ( k) 1 ( k 1) p ( k p), k q 1 (3.18) şeklinde veya buna bağlı olarak ookorelasyonları, ( k) 1( k 1) p( k p), k q 1 (3.19)

24 15 şeklinde hesaplanabilmekedir. ARMA ( p, q) modelinin ookorelasyonları k q değerleri için AR ( p) modelinin ookorelasyonları ile aynı olmakadır (Akdi, 2003). ARMA ( p, q) modelinin kısmi ookorelasyon kasayıları ise (2.4) eşiliği ile verildiği gibi hesaplanmakadır (Kınacı, 2005) Durağan Olmayan Doğrusal Modeller Gerçek hayaa karşılaşılan birçok seri durağan olmayan yapıya sahipir. Böyle serilerde durağan bir model kullanabilmek için serideki durağan olmayan yapının arındırılması gerekmekedir. Eğer incelenen zaman serisi oralamaya göre durağan olmayan bir yapı sergiliyorsa o zaman serinin farkı alınarak durağanlık sağlanabilir ve bu yaklaşım ekonomeride sıklıkla kullanılmakadır. Yani Eşilik (3.16) ile verilen eşilike X yerine d X alınarak oralamasına göre durağan olmayan seri AR ve MA modelleri ile modellenebilir. Böyle bir model büünleşik model ARIMA olarak adlandırılmakadır. Buradaki d, X serisinin durağanlığının sağlanabilmesi amacıyla uygulanması gereken fark işlemi sayısını gösermekedir ve uygulamada genellikle d 1 durumu ile karşılaşılmakadır (Kızılsu, 2000). Durağan olmayan X zaman serisi için, d d W X ( 1 L) X yazılarak genel büünleşik ooregresif harekeli oralama ( ARIMA ) serisi, W W 1 1 W 2 2 pw p 1 1 q q daha kısa olarak, ( L) W ( L) p q (3.20) veya

25 16 ( L)(1 L) d X ( L) p q (3.21) olarak yazılabilir. Eşilik (3.21) ile verilen model kısaca ARIMA ( p, d, q) ile göserilmekedir. X zaman serisi için oluşurulan (3.21) modeli açık bir şekilde durağan olmayan bir modeldir. Çünkü modelin sol arafındaki ooregresif kısma ai ifadesinin d ane kökü 1 e eşi çıkacakır (Kınacı, 2005) Durağanlık Analizi Zayıf durağanlık, zaman serisi verilerinin sabi bir oralama erafında dalgalanması ve dalgalanmanın varyansının zaman boyunca sabi kalması olarak ifade edilebilir. Zaman serisinde durağanlık kavramı farklı şekillerde oraya çıkabilir. Bir zaman serisi, zamana göre grafiği içerisinde belirli bir nokada oralamayı sıkça keserek oralama erafında saçılım göseriyorsa, yani, zaman boyunca oralamada bir değişme söz konusu değilse seri, oralama durağan olarak adlandırılır. Zaman serisinin zamana göre grafiğinde varyansa bir değişme olmazsa seri, varyans durağandır (Sevükekin ve Nargeleçekenler, 2010). Bir zaman serisinin isaisiksel olarak değerlendirilmesinde isaisiksel eslerin geçerli olabilmesi için durağanlık koşulunun sağlanması gereklidir. Durağanlık araşırılırken çeşili yönemler kullanılır (Kınacı, 2005). Serinin ookorelasyon kasayılarının gecikmelere karşı çizimi oralamaya göre durağan olup olmamayı kolayca sapamaya yardımcı olmakadır. Durağan verilerin ookorelasyon kasayıları nispeen hızlı bir şekilde sıfıra yaklaşırken, durağan olmayan bir zaman serisinde ookorelasyonlar anlamlı şekilde sıfırdan farklı olacakır. Ancak grafiklerin incelenmesi her zaman doğru ve kesin bilgi vermeyebilir. Bu nedenle durağanlığı espi emek için çeşili esler kullanılır. Bu esler birim kök esleridir (Kınacı, 2005).

26 Birim kök esleri Burada doğrusal zaman serilerinde birim kök esi için geleneksel yaklaşım olan Dickey-Fuller (DF) ve genişleilmiş Dickey-Fuller (ADF) esleri verilecekir. Lieraürde seride yapısal kırılmayı es eden birim kök esleri de bulunmakadır Doğrusal zaman serilerinde birim kök esleri Dickey-Fuller esinde incelenen serinin özelliğine göre seçilecek farklı üç regresyondan biri ahmin edilerek, zaman serisinin durağan olmadığını savunan emel hipoez es edilir. Bu regresyonlardan ilki, X 1 (3.22) X modelinden X ( 1) (3.23) X 1 şeklinde elde edilir. Eşilik (3.22) deki regresyon kasayısı için, H 0 :( 1) 0 hipoezi kurulur. Bu hipoezin esi için hesaplanan isaisik isaisiğinin hesaplanma şekliyle aynıdır. Karşılaşırma için ise Dickey ve Fuller (1979) ın hazırladığı ablosundan yararlanılır. Dickey-Fuller esi AR(1) modelinin durağanlığını araşırmak için kullanılır (Yılancı, 2007). Diğer regresyon modelleri ise kesme erimi ile hem kesme erimi hem de deerminisik rendin yer aldığı modellerdir ve olarak verilir. Kurulacak hipoez ve esi ilk regresyon modelinde olduğu gibidir.

27 18 Genişleilmiş Dickey-Fuller (ADF) esi ise, ARMA(p, q) modeli için durağanlığı araşırır. ARMA modelinin ooregresif kısmına nin gecikmeli değerleri eklenerek, regresyon modelleri elde edilir. ADF esinde sınanacak hipoezler ve hesaplanan es isaisiğini karşılaşırmak için kullanılan değerler DF isaisiği ile aynıdır. Ele alınan her denklem ve gecikme sayısı için hipoez kurulur. ADF esinde modele dâhil edilecek gecikme sayısını belirlemek için AIC veya SIC gibi bilgi krierleri kullanılabilir Durağanlık dönüşümleri Eldeki zaman serisi fark alma işlemleri ile durağan hale geirilemiyorsa, bu durumda varyans sabileşirme dönüşümleri (güç dönüşümleri) yapılır. Varyansı düzgünleşirmek için güç fonksiyonu Eşilik (3.24) deki gibi anımlanır. (3.24) ve Bu dönüşüme Box-Cox dönüşümü de denir. Burada,, dönüşürme parameresi () X ise dönüşürülmüş dizidir. Gereken dönüşüm uygulanarak varyansa durağanlık sağlanabilir (Kadılar, 2005). Varyansa durağanlık sağlandıkan sonra gerekiğinde oralamada durağanlık için fark alma işlemleri yapılır Model Seçimi: Korelogram İncelemesi Durağan hale geirilen zaman serisinin ookorelasyon ve kısmi ookorelasyon fonksiyonlarına bakılarak sezgisel olarak serinin AR ( p) veya MA (q) sürecinden hangisine uyduğu belirlenebilir. Eğer ookorelasyon fonksiyonu herhangi dereceden

28 19 sonra birden sıfırlanıyor ve kısmi ookorelasyon fonksiyonu azalarak sıfırlanıyorsa modelin MA (q) şeklinde bir harekeli oralama modeli olduğu söylenebilir veya kısmi ookorelasyon fonksiyonu herhangi. dereceden sonra birden sıfırlanıyor ve ookorelasyon fonksiyonu azalarak sıfırlanıyorsa modelin bir AR ( p) ipi olduğu söylenebilir. Fonksiyonlarla ilgili bilgiler Çizelge 3.1 deki gibi sınıflandırılabilir. Çizelge 3.1. Durağan modellerde ookorelasyon ve kısmi ookorelasyon fonksiyonunun bazı özellikleri Model Ookorelasyon Fonksiyonu Kısmi Ookorelasyon Fonksiyonu AR (p) Üsel olarak veya sinüs dalgaları şeklinde sürekli azalır. p gecikmesinden sonra kasayı aniden düşerek isaisiksel olarak anlamsız olur. MA (q) ARMA (p,q) q gecikmesinden sonra kasayı aniden düşerek isaisiksel olarak anlamsız olur. (q-p) gecikmesinden sonra üsel veya azalan sinüs dalgalarının bir karışımı görünümündedir. Üsel olarak veya sinüs dalgaları şeklinde sürekli azalır. (p-q) gecikmesinden sonra üsel veya azalan sinüs dalgalarının bir karışımı görünümündedir. Model belirlendiken sonra paramere ahmini yapılır ve ahminden sonra da modelin seri için uygunluğunun araşırılması gerekmekedir. Teşhis konrolü iki aşamada gerçekleşir. Bu aşamalardan ilkinde model arafından üreilen serinin ookorelasyon fonksiyonu oriinal serinin ookorelasyon fonksiyonu ile karşılaşırılır. Eğer her iki ookorelasyon fonksiyonu birbirinden oldukça farklı ise, oluşurulan modeli ekrar gözden geçirmek gerekir. Eğer ookorelasyonlar arasında önemli bir fark yok ise modelin haa erimleri analiz edilir Model Seçim Krierleri Model seçilirken gecikme değerleri p ve q, ne kadar arırılırsa arık kareleri oplamı o kadar küçük olacakır. Diğer arafan modele fazla dışsal değişkenin ilave edilmesi serbeslik derecesini azalmakadır. Bir zaman serisi verisine en uygun modelin seçimi için gelişirilen bazı krierler vardır. Bunlardan en çok kullanılanları Akaike bilgi krieri (AIC) ve Schwarz Bayesian krieri (SIC) dir. Bu iki krier, AIC n ln( SSE) 2m SIC n ln( SSE) mln( n) (3.25)

29 20 şeklinde anımlanmakadır. Burada, n, kullanılabilir gözlem sayısı, m, ahmin edilen paramere sayısı ( p q sabi erim), SSE, arık kareler oplamıdır. AIC ve SIC için isenilen ideal değer, mümkün en küçük değerleri almasıdır (Kınacı, 2005) Model Geçerliliğinin Araşırılması Tahmin edilen doğrusal zaman serisi modelinin geçerli olabilmesi için modelin arıklarının korelasyonsuz olması ve beyaz gürülü sürecine sahip olması gerekmekedir. Bu bölümde bu koşulların sağlanıp sağlanmadığını görmek amacıyla uygulanacak yönemler verilecekir Arıkların ookorelasyon fonksiyonu grafiği Arıkların örnek ardışık bağımlılık değerleri,, (3.26) olarak elde edilebilir. Burada gözlem sayısı,, gecikme sayısıdır. Buradan elde edilen ACF ( ) değerlerine bakılarak arıkların ardışık bağımlı olup olmadığına karar verilebilir. Box ve Jenkins (1976) örnek ardışık bağımlılıklarının birbirinden bağımsız ve varyansına sahip olduğunu gösermişlerdir. Dolayısıyla normallik varsayımı alında %5 anlamlılık düzeyinde (-1.96/ ; 1.96/ ) güven aralığı dışında ise arık ardışık bağımlılıkları sıfırdan farklıdır (Franses ve Dik, 2000) Breusch-Godfrey esi k değişkenli bir regresyon denklemi, Y X X k k (3.27)

30 21 ele alınsın. Burada bir AR( ) ooregresif sürece sahipir. (3.28) İlk olarak klasik en küçük kareler yönemiyle elde edilir ve, regresyonu yapılarak modelin değeri elde edilir. Tes isaisiği, yani serisel korelasyon yokur şeklinde kurulan yokluk hipoezi alında dağılımına sahipir. Burada, gözlem sayısıdır. Tes isaisiği, ablo değerinden büyükse yokluk hipoezi reddedilecekir Whie esi Whie esi, sabi varyans varsayımının geçerli olup olmamasının belirlenmesinde yaygın olarak kullanılan eslerden biridir. Tesin uygulanması için kurulan model ahmin edilerek arıklar belirlenir. Belirlenen arıkların karelerinin bağımlı değişken olduğu, bağımsız değişkenlerin ise, modelin bağımsız değişkenleri, bağımsız değişkenlerin kareleri ve bağımsız değişkenlerin birbirleri ile çarpımlarının olduğu yardımcı regresyon modeli ahmin edilir. İncelenecek model, Y 0 1X 1 2 X 2 k X k, 1,2,..., n biçiminde ise yardımcı regresyon modeli, ˆ 2 X 0 X 1 1 X X 2 2 k 1 X X 1 X k k X 1 k 2 X X X k 2 k, 1,2,..., n olacakır. Bu durumda yokluk hipoezi H 0 (sabi varyans 0 : 1 2 k varsayımı geçerlidir) şeklinde kurulur. Whie esi için es isaisiği, yardımcı regresyon modelinin belirlilik kasayısı ile 2 nr olarak hesaplanır. 2 nr, serbeslik

31 22 derecesi yardımcı regresyon modelinin bağımsız değişken sayısı olan Tes isaisiği, ablo değerinden daha büyükse H 0 hipoezi reddedilecekir dağılımlıdır Jarque-Bera normalik esi Arıklar üzerine yapılan en büyük varsayım, arıkların birbirinden bağımsız ve oralaması sıfır, varyansı σ 2 olan normal dağılıma sahip olmasıdır. Bu varsayım ile kullanılacak isaisikleri geçerli olmakadır. Tahmin edilen arıkların. momeni, (3.29) olarak anımlanırsa nin çarpıklık ve basıklığı sırasıyla, (3.30) ve (3.31) ile hesaplanır. Normal dağılımda çarpıklık 0, basıklık 3 e eşiir. lerin normal ve ookorelasyonsuz olduğu yokluk hipoezi alında sandarlaşırılmış basıklık ve çarpıklık ır. Jarque-Bera esinde yokluk hipoezi verilerin normal dağılım göserdiğini söylemekedir. Normalliği sınamak için (3.32) es isaisiği önerilmişir ve bu değer dağılımına sahipir. Normallik reddedildiğinde, arıklar sabi varyanslı değildir ve doğrusal olmayan modeller ile modellenmelidir (Yalçın, 2008).

32 Modelleme Süreci Doğrusal zaman serilerinde modelleme süreci Box ve Jenkins (1976) in önerdiği şekliyle yapılmakadır. Box-Jenkins yaklaşımına göre ilk olarak veride durağanlık analizi yapılarak veri hazırlanır, daha sonra ookorelasyon ve kısmi ookorelasyon fonksiyonları yardımıyla model seçimi yapılır. Muhemel modellerin paramere ahminleri yapılarak model seçim krierleri ile en uygun modele karar verilir ve arıkların konrolü yapılır.

33 24 4. KOŞULLU DEĞİŞEN VARYANSLI MODELLER Bu bölümde, serinin varyansının modellenmesi ile değişen varyansa izin veren koşullu değişen varyanslı ooregresif (ARCH) modelden bahsedilecekir Koşullu Değişen Varyanslı Ooregresif (ARCH) Modeller Bir oluşur. Yani, zaman serisi, öngörülebilir ve öngörülemez iki parçanın oplamından (4.1) dır. Burada,, zamanına kadar olan ilgili üm bilgiyi içeren bilgi kümesidir. Öngörülemeyen kısım nin beyaz gürülü özelliklerini sağladığı varsayımı alında, öngörülebilir kısım veya koşullu oralama üzerinde doğrusal zaman serisi modelleri bölümünde durulmuşu. Beyaz gürülü sürecinin özellikleri, E[ ] 0 E[ ] 2 2 E[ ] 0, s s (4.2) (4.3) (4.4) şeklinde verilebilir. Beyaz gürülü sürecinde değişmeyen varyanslı olduğu varsayıldı. Dolayısıyla, nin hem koşulsuz hem de koşullu olarak E[ ] E[ ] , için (4.5) olarak yazılabilir. Burada, varsayımların bu kısmı biraz gevşeilecek ve varyansının zamanla değişiği kabul edilecekir, yani nin koşullu E 2 [ 1] h (4.6) dır. Böylece, koşullu değişen varyanslı olur. Bu ifadenin alışılmış göserimi,

34 25 (4.7) şeklindedir. Burada, bağımsız ve aynı dağılıma sahip sıfır oralamalı ve birim varyanslı rasgele değişkeni gösermekedir. Kolaylık olması için, nin sandar normal dağılıma sahip olduğu varsayılacakır. Eşilik (4.7) den ve nin özelliklerinden nin koşuluna göre dağılımı sıfır oralamalı ve varyanslıdır. nin koşullu olmayan varyansının hala sabi olduğu varsayılmakadır. Beklenen değeri kullanarak, E[ ] E[ 1] E[ h ] (4.8) ile nin koşullu olmayan beklenen değerinin sabi olduğu varsayılabilir (Franses ve Dik, 2000). Engle (1982), finansal zaman serilerinin volailie kümelenmelerini içermesi için değişen varyanslı koşullu ooregresif (ARCH) modeller sınıfını oraya koymuşur. Temel ARCH modelinde, zamanında meydana gelen şokun koşullu varyansı, geçmiş şokların karelerinin doğrusal bir fonksiyonudur. Mesela, birinci sıra ARCH modelinde, 2 h 1 1 (4.9) şeklindedir. Açıkır ki, (koşullu) varyansının negaif olmaması gerekir. Bunu garani emek için, ARCH(1) modelinin Eşilik (4.9) da verilen paramereleri ve durumlarını sağlamalıdır. olması, koşullu varyansın sabi olduğunu göserir, yani, koşullu değişmeyen varyanslıdır. ARCH modelinin volailie kümelenmelerini nasıl anımladığını anlamak için Eşilik (4.7) deki model (4.9) eşiliği ile birlike incelenebilir. nin koşullu varyansı bir önceki zaman periyodunda meydana gelen şokun karesinin aran bir fonksiyonudur. Buna göre, büyükse (mulak değerce), nin de büyük olması (mulak değerce) beklenir. Başka bir ifadeyle de, büyük (küçük) şoklar, büyük (küçük) şokları izleme eğilimindedir (Kızılsu, 2000).

35 26 Bunu gösermenin bir diğer yolu, ARCH(1) modelini için AR(1) modeli olarak yazmakır. (4.9) eşiliğinde her iki arafa eklenir ve her iki arafan çıkarılırsa, v (4.10) elde edilir. Burada, dir. olduğuna dikka edilmelidir. Eşilik (4.10) ile verilen model ise kovaryans durağandır. Bu durumda, nin veya nin koşullu olmayan varyansı, 2 2 E[ ] 1 1 (4.11) ile verilir. Ayrıca, (4.10) eşiliği, (1 ) v (1 ) v ( ) v (4.12) şeklinde yeniden düzenlenebilir. olduğu varsayılırsa, (4.12) eşiliği, kendi koşullu olmayan beklenen değeri den büyükse (küçükse),, den büyük (küçük) olacakır (Li ve Li, 1996). ARCH modeli, finansal verilerin volailie kümelenmesini içermekle kalmaz, basıklıkaki fazlalığı da ele alır. Eşilik (4.13) den nin basıklığının her zaman nin basıklığından fazla olduğu Jensen eşisizliği ile görülebilir. (4.13) olduğunda Engle (1982) in göserdiği gibi, ARCH(1) modelinde nin basıklığı, normal dağılıma sahip

36 27 K 4 2 E[ ] 3(1 1 ) E[ ] 1 31 (4.14) şeklindedir ve ise sonludur. Buradan görülebileceği gibi,, her zaman normal değer olan 3 en büyükür (Engle, 1982). ARCH(1) modelinin bir diğer karakerisiği, şokları ile ilgili ookorelasyon fonksiyonudur. Eşilik (4.10) daki AR(1) göseriminde, nin sıra ookorelasyonu dır. ARCH(1) modelinde birinci-sıra ookorelasyon in küçük bir değer alması anlamına gelecekir. Faka bu, dönüşe ookorelasyonların oldukça hızlı bir biçimde sıfıra yaklaşmasına yol açacakır. Böylece, denilebilir ki, ARCH(1) modeli geiri serilerinin ampirik ookorelasyonlarının iki karakerisik özelliğini eşzamanlı olarak yansıamamakadır. Ampirik ookorelasyon fonksiyonunda devamlılığı sağlamak için ARCH(1) modelinin genellenmesi ele alınabilir. Bunun bir yolu, koşullu varyans fonksiyonuna daha fazla gecikmeli karesel şoklar eklemekir. Yani, h q 1 q (4.15) dır. Koşullu varyansın negaif olmamasını sağlamak için, ve olması gerekir. Ayrıca varyansın sonlu olması için koşulunun da sağlanması gerekir. ARCH( ) modeli, ler için AR( ) modeli olarak yazılabilir. Dolayısıyla, v q 1 q (4.16) olur. Böylece, nin koşullu varyansı, 2 1 q i1 i (4.17) olarak yazılır. Burada ARCH( ) modeli, gecikme polinomunun üm kökleri birim çemberin dışında olduğunda kovaryans durağandır (Franses ve Dik, 2000).

37 ARCH ekisinin incelenmesi Zaman içinde değişen varyansın modellenebilmesi için öncelikle seride koşullu değişen varyansın başka bir ifadeyle ARCH ekisinin olup olmadığının sınanması gerekmekedir. Burada sadece Engle (1982) arafından önerilen ARCH-LM esine yer verilecekir. ARCH-LM yönemine göre arıkların karesi için ooregresif model, (4.18) ele alınsın. Burada, ooregresif modelin gecikme uzunluğunu gösermekedir. Uygun gecikme uzunluğu AIC ya da SIC gibi model belirleme krierleri ile belirlenebilir. ARCH ekisinin esinde kullanılacak ARCH ekisi yokur biçimindeki yokluk hipoezi, şeklinde anımlanır. Yokluk hipoezinin doğru olduğu varsayımı alında değeri asimpoik olarak serbeslik derecesi olan ki-kare dağılımına sahipir (Engle, 1982). Burada, gözlem sayısı,, kısı sayısıdır ve ARCH ekisinin araşırıldığı gecikme sayısıdır. Elde edilen ki-kare değeri ablo değerinden büyük ise yokluk hipoezi reddedilir. Başka bir ifadeyle seride varyans zamanla değişmekedir ve bu varyansın uygun bir model ile modellenmesi gerekmekedir (Yalçın, 2008) ARCH modelinin eksik yanları ARCH modeli oynaklığın modellenmesinde kullanılan modellerin en basi halidir ve diğer oynaklık modellerinin emelini oluşurmakadır. Ancak, uygun gecikme uzunluğu nun belirlenmesinde olabilirlik oranı ve buna benzer yönemler kullanılsa da gecikme uzunluğunun belirlenmesinde hala iyi bir yönem mevcu değildir. Belirlenen gecikme uzunluğu, koşullu varyansaki bağımlılığın hepsini karşılamalıdır. Bu durumda çok büyük olabilir. Bu da çok geniş bir koşullu varyans modeline neden olacakır.

38 29 Koşullu varyans modelinde ne kadar çok paramere olursa, bir veya birden fazla negaif paramere ahmin eme şansı o kadar çok olur. ARCH modellemesinde paramere ahminlerinin negaif olmama kısılaması bozulabilir. Bu problemin de üsesinden gelebilmek için GARCH modellemesine geçilmişir. ARCH modeli özellikle finansal serilerdeki oynaklığı her zaman am anlamıyla modelleyememekedir. Gecikme uzunluğunun arması ya da gerekli kısıların sağlanamaması ARCH modelinin genişleilmesi fikrini doğurmuşur GARCH Modeli Bir ARCH( ) modelinin koşullu varyansı yeerince kapsayabilmesi için, genellikle çok büyük alınır. Böyle bir modelde paramere ahmini yapmak iyi sonuç vermeyebilir, çünkü negaif olmama ve durağanlık koşulları ekilenebilir. Sorunları azalmak için alernaif bir yönem de Bollerslev (1986) arafından önerilmişir. Buna göre, ARCH modeline koşullu varyansın gecikmeleri eklenir. Yani, Eşilik (4.9) daki ARCH(1) modeline eklenerek (1,1) sıralı genelleşirilmiş ARCH (GARCH) modeli elde edilir. (4.19) Bu modelde, durumunu garani emek için,, ve durumları sağlanmalıdır. in anımlı olması için kesinlikle poziif olmalıdır. Modele neden koşullu varyansın gecikmelerinin eklenmesinden kaçınılarak arık karelerinin daha fazla sayıda gecikmesinin eklendiğini anlamak için (4.19) eşiliği yeniden yazılsın. (4.20) Toplam sembolü kullanılarak, (4.21)

39 30 yazılır. Görüldüğü gibi GARCH(1,1) modeli özellikle nin gecikme erimlerinin paramereleri için ARCH( ) modeline karşılık gelmekedir. Ayrıca alernaif olarak, Eşilik (4.19) da her iki arafa ekleyerek ve sağ arafan yi çıkararak GARCH(1,1) modeli için ARMA(1,1) olarak yazılabilir. (4.22) Burada yine dir. Bu GARCH(1,1) modeli, ancak ve ancak olduğunda kovaryans durağandır. Böylece, nin koşullu olmayan varyansı (veya nin koşullu olmayan varyansı), (4.23) olur. Eşilik (4.22) deki ARMA(1,1) göserimi ile neden in anımlı olması için in kesinlikle poziif olması gerekiği açıklanmış olur. Eğer olursa, AR ve MA polinomlarının ikisi de ye eşi olur. ARMA(1,1) modeli için bir MA( ) modeli olarak yeniden düzenlenirse bu polinomlar birbirini göürür, (4.24) ve anımsız olur. Bollerslev (1986) in göserdiği gibi, nin dördüncü momeni yalnızca olması durumunda sonlu olur. Ayrıca nin normal dağıldığı varsayılırsa, nin basıklığı, (4.25) ile verilir. Bu da yine, normal değer 3 en büyükür. Eğer (4.14) deki haline indirgenir. nin ookorelasyonları, ise, (4.25) eşiliği

40 31 (4.26) (4.27) ile hesaplanır. Ookorelasyonlar üsel azalan olmasına rağmen, bu durumun bozulmasına yol açan fakör dir. Bu oplam 1 e yaklaşıkça, ookorelasyonlar giikçe azalacakır. nin dördüncü momeni sonlu değilse, nin ookorelasyonları zamana bağlı olarak değişir. Bu durumda, örneklem ookorelasyonları hesaplanabilir. ve olursa GARCH(1,1) modeli kovaryans durağan olur. Dördüncü momen sonlu ise, nin ookorelasyonları yaklaşık olarak, (4.28) (4.29) şeklindedir. Paramere kısıı, Eşilik (4.26) ya denk olan Eşilik (4.28) den, şeklindedir. Böylece, ve dördüncü momenin arık sağlanmadığı durumdaki değerleri aldığında davranışlarının ani değişim gösermemesi açısından nin ookorelasyonları ve in sürekli fonksiyonları olarak düşünülebilir. Genel GARCH(, ) modeli, (4.30) olarak verilir. Burada ve şeklindedir. nin üm köklerinin birim çemberin dışında olduğu varsayılırsa, model sonlu sıralı bir ARCH model olarak yazılabilir. (4.31)

41 32 Koşullu varyansın negaif olmaması için Eşilik (4.31) deki üm ler poziif olmalıdır. Alernaif olarak, GARCH(, ) verilen için bir ARMA(, ) olarak göserilebilir. (4.32) Burada, ve dir. GARCH(, ) modeli, eğer üm kökleri için birim çemberin dışındaysa, kovaryans durağandır. GARCH(, ) modelindeki uygun p ve q sıralarını belirlemek için, büyük değerli p ve q alınarak klasik süreç uygulanır ve AIC ve SIC gibi krierler kullanılarak p ve q nun değerleri belirlenebilir (Franses ve Dik, 2000) ARCH/ GARCH Uyarlamaları Bu bölümde ARCH ve GARCH modellerinin uyarlamalarından olan ARCH-M, EGARCH ve TARCH modelleri hakkında bilgi verilecekir ARCH-M modeli ARCH modelinde oralama varyansan ekilenmemekedir. Ancak beklenen geiri (oralama) ile beklenen varyans arasında bir ilişki vardır. Bu durumu gösermek için Engle ve ark. (1987) oralama denklemine oralamanın kendi koşullu varyansını da eklemişlerdir. Buna göre ARCH-M modeli, (4.33) şeklinde verilir. Burada risk primini gösermekedir ve ise geiriler poziifir ve geçmiş oynaklıkan ekilenmekedir. Eşilik (4.33) deki model ARCH(q) olarak verilmişir. Eğer,

42 33 olarak verilirse o zaman model GARCH-M haline gelir. Eşilik (4.33) deki oralama denklemi de iki farklı biçimde ele alınabilmekedir. Bunların ilkinde oralama denklemine koşullu varyans yerine koşullu sandar sapma diğerinde ise koşullu varyansın logariması açıklayıcı değişken olarak eklenmekedir EGARCH modeli Finansal piyasalarda beklenen geiri koşullu varyans ile ilişkilidir. Beklenen geiri ile koşullu varyans arasındaki ilişki bazen poziif bazen de negaif olduğundan aralarında asimerik bir ilişki söz konusudur. Finansal serilerde kalın kuyruk ve oynaklık kümelenmesi özelliği GARCH model arafından başarılı bir şekilde modellenmekedir. Ancak, koşullu varyans yapısı haa erimlerinin işarelerini dikkae almayıp yalnızca büyüklüğünden ekilenmekedir. Bu nedenle GARCH süreci finansal serilerin asimerik yapısını modellemede yeersiz kalmakadır. Nelson (1991), bu asimeriyi hesaba kaacak şekilde koşullu varyansı modelleyen üssel GARCH (EGARCH) modelini oraya amışır. Model, haa erimlerinin hem işareini hem büyüklüğünü dikkae almakadır. Birinci derece EGARCH modelinde koşullu varyans denklemi, (4.34) şeklindedir TARCH modeli Asimerik ekileri dikkae alan bir başka model de eşik ARCH (TARCH) modelidir. Bu modelde birinci dereceden koşullu varyans denklemi, (4.35)

43 34 şeklinde kurulmakadır (Nargeleçekenler, 2004). Burada olarak verilir. TARCH modelinde iyi ve köü haberler koşullu varyans üzerinde farklı ekilere sahipir ARCH Modelleri için Arıkların İncelenmesi Tahmin edilen paramereler hakkında isaisiksel çıkarımların yapılabilmesi için modelden elde edilen arıkların beyaz gürülü sürecine uyması gerekir. Başka bir ifadeyle arıkların sıfır oralama ve sabi varyanslı birbirinden bağımsız aynı dağılıma sahip olması gerekir. Arıkların bu özellikleri sağlayıp sağlamadığının araşırılmasında kullanılan esler lieraürde güçlülük esleri olarak geçmekedir. Arıklar ve sandarlaşırılmış arıklar için kullanılan bazı esler Kesim 3.6 da verilmişi. Burada ise ARCH modellerde arıkların ardışık bağımlılığını es emede kullanılan Lung-Box esi ve değişen varyanslılığı es eden McLeod esi verilecekir Lung-Box Q esi Arıkların ardışık bağımlılık esinde kullanılan bir diğer yönem ilk arık ardışık bağımlılığının orak esine dayanan Lung-Box Q esidir. Lung ve Box (1978) arafından isaisiği (4.36) olarak anımlanmışır. Burada, örnek ardışık bağımlılık değeridir. ARMA( ) modelinden elde edilen arıkların 1 den ye kadarki gecikmelerinde ardışık bağımlılığın olmadığını söyleyen yokluk hipoezi alında isaisiği asimpoik olarak ( serbeslik dereceli dağılımına sahipir. Burada, ARMA modelinin AR kısmının gecikme uzunluğu, ise MA kısmının gecikme uzunluğudur (Franses ve Dik, 2000).

44 McLeod esi Varyansın sabiliği esinde kullanılan es isaisiği McLeod ve Li (1983) arafından gelişirilmişir ve emelde Lung-Box isaisiğine dayanmakadır. Bu es isaisiği arıkların karelerinin ardışık bağımlılık değerleri üzerine kurulmuşur ve (4.37) ile verilmekedir. ARMA( ) modelinden elde edilen arıklara uygulandığında ve bu arıkların kareleri birbiriyle ilişkisiz ise değeri asimpoik olarak ( ) serbeslik dereceli χ 2 dağılımına sahipir (Yalçın, 2008).

45 36 5. EŞİKSEL OTOREGRESİF (TAR) VE KENDİNDEN UYARIMLI EŞİKSEL OTOREGRESİF (SETAR) MODELLER Bu bölümde, bir zaman serisi için reim değişimine imkân veren modeller ele alınacakır. Eşiksel model serinin oralamasında veya varyansında (veya her ikisinde) farklı paramerelere izin verebilmekedir. Zaman içinde bilinen bir nokada reimini değişiren süreçler için deerminisik süreç ifadesi kullanılmakadır. Reim değişimi olan faka yeri kesirilemeyen süreçler ise sokasik reim göseren süreçlerdir. Deerminisik süreçler için önceki bölümlerde ele alınan doğrusal zaman serisi modelleri kullanılmakadır. Sokasik reim göseren süreçler için ise farklı modeller bulunmakadır. Bunlardan her reiminde doğrusal bir AR modeli ile modellenebilen zaman serilerinin dinamik davranışı bu bölümün konusunu oluşurmakadır. Yani, ooregresif paramereleri reime bağlı olarak değişen AR modelleri ile modellenebilen zaman serileri ele alınacakır Eşiksel Ooregresif Model Bir zaman serisi, (5.1) modeline sahipse eşiksel ooregresif model olarak adlandırılmakadır. Burada, ve poziif bir amsayıdır. reim değişkenidir. Eşik değerleri Yani, ve her için,, maringale farklarının bir dizisidir.,, a.d. a (5.2) a Dinamik sisemleri anımlayan diferansiyel denklem sisemlerinin çözümü için çeşili durağanlık ipleri vardır. Bunlardan en önemli olanı bir denge nokasına yaklaşmadır. Bu durağanlık ipi Lyapunov eorisi olarak bilinir. Basiçe, bir dinamik sisemin üm çözümleri bir denge nokası yakınlarındaysa ve hep orada kalıyorsa, e Lyapunov durağan denir. Daha güçlü olarak, Lyapunov durağansa ve den başlayan üm çözümler ye yaklaşıyorsa asimpoik durağandır (hp://en.wikipedia.org).

46 37 ifadesini sağlar. Burada,, ile üreilmiş bir alanıdır. Böylece bir süreç, ek boyulu Öklid uzayından ane reime parçalanır ve her bir reim doğrusal AR sürecine sahip olur. süreci, farklı doğrusal modellere sahip en az iki reime sahip olduğundan doğrusal olmayan bir süreç olur (Tsay, 1989). Eşilik (5.1) ile verilen modelde reim değişkeni, nin kendi gecikmelerinden biri olarak anımlanırsa süreç kendinden uyarımlı eşiksel (SETAR) model haline gelir. Yani model, (5.3) şeklinde verilir. Burada, kümesine ai bir amsayıdır. Her bir. reimdeki AR sırasının aynı olması durumunda model SETAR( ) ile göserilir. Ancak her reimde aynı olmak zorunda değildir. Bu durumda SETAR( ) halini alır. SETAR sürecinde üç önemli durum göze çarpar. a) AR modelin derecesi, reimler arasında farklılık göserebilir. b) Reimler arasında sadece gürülü erimlerinin varyansı farklılık göseriyorsa SETAR modeli homoen olmayan doğrusal bir AR modeli haline gelir. c) Farklı ler için yalnızca sabi erim farklılık göseriyorsa bu kez de model, düzeyin rasgele değişiği bir modele indirgenir. Son iki özellik daha çok doğrusal zaman serisinde aykırı gözlemlerle model değişimi ile ilgilidir (Tsay, 1989). Doğrusal olmayan eşiksel bir durumun varlığını es emek için Tsay (1989) çalışmasında, sıralı ooregresyon sürecine dayalı bir es gelişirmişir Eşiksel Doğrusal Olmama Tesi gözlemli bir AR( ) modeli,

47 38 şeklinde bir regresyon modeli olarak yazılsın. Burada, ( boyulu kasayılar vekörü ve gürülü erimidir. vekörüne AR( ) modeli için bir durum denilirse, sıralı ooregresyon, belirli bir regresör değerine bağlı olarak durumların yeniden sıralanmasıyla oluşan ooregresyondur. Eşilik (5.3) ile verilen SETAR modeli eşik değişkenine göre yeniden sıralanarak kullanışlı olabilir. durumu göz önüne alındığında bir ane eşik değeri olacakır. (5.4) Böyle bir modelde eşik değişkeni, gözlemlerinden biri olur. Burada Model yeniden düzenlenirse, dir., 'nin inci en küçük gözlemini gösersin. (5.5) olur. Burada, durumunu sağlamakadır. Böylece ilk reimde ilk ane durum için sıralı ooregresyon belirlenmiş olur ve kalanlar da ikinci reime gönderilir. Bu yönem gözlemleri ekin bir şekilde iki gruba ayırır. Sıralanmış ooregresyon aynı doğrusal AR modeline sahip üm gözlemleri bir grupa opladığı için de faydalıdır. Ayrıca bölünme, kesin bir değerinin bilinmesine gerek duymaz, yalnızca bir grupaki gözlem sayısını bulmak e bağlıdır (Tsay, 1989). (5.4) ile verilen model göz önüne alınsın. eşik değeri bilindiğinde, paramerelerle uarlı ahminler kolayca elde edilebilmekedir. Ancak eşik değeri bilinmediğinden adım adım ilerlemek gerekir. Eşilik (5.5) de ilk reimde yeerli sayıda çok gözlem olduğunda, yani çoğu olması durumunda en küçük kareler ahminleri, uarlı olacakır. Bu durumda ahmin edilen arıklar asimpoik olarak beyaz gürülü süreci olacak ve bağımsız değişkenler ile orogonal

48 39 olacakır. Diğer arafan,, ye yaklaşığında ve onu geçiğinde gözlemine ai öngörü haası yanlı olur, çünkü zamanında model değişir. Buradan harekele denilebilir ki, öngörü haaları ile regresörler arasındaki orogonallik, yinelemeli ooregresyon gözlemleri eşik değeri i geçikçe bozulur. Dikka edilirse, burada in gerçek değerine ihiyaç yokur. Yalnızca önemli bir eşiğe ihiyaç duyulmakadır. Bu duruma göre, eşiksel doğrusal olmamayı es emenin bir yolu, (5.5) deki sıralı regresyonun öngörü haalarının regresörler üzerine regresyonu ve sonuç regresyonunun isaisiğini kullanmakır (Tsay, 1989). Eşilik (5.5) deki sıralı ooregresyon için, ilk durumun en küçük kareler ahminlerinin vekörü olsun., ilgili marisinin ers marisi,, ooregresyona dahil olacak bir sonraki gözlemin regresörlerinin vekörüdür. Bu gözlem, dir. Bu durumda yinelemeli en küçük kareler ahminleri, ile yeerli olarak ahmin edilebilir. Sonraki gözlem için, dır. Öngörü arıkları ve sandardize öngörü arıkları ise sırasıyla, (5.6) (5.7) olarak bulunur. ve değerleri bilindiğinde, sıralı ooregresyondaki ekin gözlem sayısı olmakadır. Yinelemeli ooregresyonun gözlemle başladığı

49 40 varsayılırsa, ane öngörü arığı elde edilir. başlangıç gözlem sayısı, şeklinde alınabilir. için, (5.8) en küçük kareler regresyonu yapılarak isaisiği, (5.9) hesaplanır. Burada oplamlar Eşilik (5.8) deki üm gözlemleri içermekedir., (5.8) den elde edilen en küçük kareler arıklarıdır. nin ile birlike göserimi, oranının ve ye bağlı serbesliğini gösermekedir (Tsay, 1989). Teorem 5.1. (Tsay, 1989), Eşilik (5.3) deki modele sahip olsun. O zaman, nin büyük değerleri için (5.9) ile anımlanan isaisiği, ve serbeslik dereceli bir dağılımına çok yakın bir dağılım izler. Ayrıca,, asimpoik olarak dereceli bir ki-kare rasgele değişkenidir Yapısal Paramerelerin Belirlenmesi SETAR modelde eşik değerlerinin belirlenmesi zorluk eşkil emekedir, çünkü eşik değerleri modelin doğrusal olmayan yapısında anahar rol oynamakadır. Eşik değerlerinin belirlenmesi gecikme parameresinin seçimiyle yakından ilgilidir. parameresinin seçimi, (5.9) eşiliğinde verilen isaisiği ile yapılacakır. Bunun için öncelikle AR derecesi, kısmi ookorelasyon fonksiyonu (PACF) yardımıyla belirlendiken sonra gecikme parameresi, (5.10) ile seçilir. Burada alsimge olan, nin ye bağlı ahminini göserir. şeklindedir. Kolaylık olması açısından, isaisiklerinin ümünün aynı serbeslik derecesine sahip olduğu varsayılır.

50 41 ve belirlendiken sonra eşiklerinin ahminine ihiyaç duyulur. olarak varsayıldığında, değeri ifadesini sağlar. Böylece, aralığındaki herhangi bir değer, için bir ahmin verebilir. Eşik değerlerinin yerini belirlemek için hazırlanan yönemler, çeşili isaisiklerin eşik değişkenine göre saçılım grafikleridir. Grafikler es edilemese de eşik yerlerinin belirlenmesinde faydalı bilgiler vermekedir. Kullanılacak grafikler şöyle verilebilir: - (5.7) deki sandardize öngörü arıklarının veya (5.6) daki klasik öngörü arıklarının reim değişkeni ye karşı saçılım grafiği - Modeldeki bir AR kasayısının yinelemeli oranları ahminlerinin ye karşı saçılım grafiği Sıralı ooregresyon çerçevesinde SETAR modeli, her eşik değerinde çeşili model değişiklikleri göserir. Bu nedenle, öngörü arıkları eşik değerlerinde farklılık arzeder. Böylece, sandardize öngörü arıklarının eşik değişkenine karşı saçılım grafiği SETAR modelinde eşik yerlerini belirlemeye yardımcı olur. Doğrusal bir zaman serisinde yinelemeli ooregresyonun başlangıcı dışında bu saçılım rasgeledir. Bu grafik, SETAR modelinde özellikle reimler arasında yalnızca varyansının farklılık gösermesi durumunda faydalıdır. Bir AR kasayısının eşik değişkenine karşı oranlarının saçılım grafiğini anlamak için öncelikle doğrusal bir zaman serisinden örnek verilebilir. Doğrusal zaman serisinde oranları iki fonksiyona sahipir; a) kısmî AR kasayısı için önemliliği göserir, b) kasayı anlamlı olduğunda yinelemeli ooregresyon devam ederken yumuşak geçişlerle belirli bir değere yaklaşır. Basi SETAR modeli (5.11) ele alınsın. Burada, ve birbirinden farklıdır., (5.5) eşiliğindeki gibi sıralanmış ooregresyonun bir gecikmeli AR kasayısının yinelemeli ahmini olsun. in oranları, yineleme eşiğine ulaşana kadar doğrusal bir zaman serisindeki gibi davranış göserir (Teorem 5.2). e ulaşınca, değişmeye ve oranı da değişmeye

51 42 başlar. oranlarının düzenli bir şekilde izlediği yol bozulur. Aslında, oranları eşik değerinde dönmeye ve muhemelen yön değişirmeye başlar (Tsay, 1989) Paramere Tahmini Eşilik (5.3) deki ooregresyon marisi, Eşilik (5.5) deki gibi sıralanarak değerleri belirlendiğinde k reime bölünmüş olur. Verinin inci ( ) reimi için, (5.12) doğrusal modeli elde edilir. Burada ve, sırasıyla, gözlemlerin vekörü ve sıralı ooregresyonun inci reimindeki veri marisidir. (5.13) ve (5.14) şeklindedir. En küçük kareler ahminleri ( ), 1,2,..., k için klasik en küçük kareler yönemi ile, ( ) ˆ ' 1 ' ( A A ) ( A Y ) (5.15) biçiminde elde edilebilir.

52 En küçük kareler ahminlerinin uarlılığı SETAR modeli, bölgesel olarak doğrusal bir model olduğu için süreci çalışırken klasik en küçük kareler yönemi kullanışlı olmakadır. Verilen bir SETAR modeli için,, inci reimdeki gözlemlerinin sayısını gösersin. Olasılık olarak,, üm için (5.16) varsayılsın. Burada, oplam örneklem hacmi ve, olan poziif bir bölünmedir. Daha sonra, her bir reimi için, derecesi olan klasik en küçük kareler ooregresyonu biçiminde oluşurulsun., için ve de ilgili marisi için ahmin olmak üzere, her bir reimi için iken, a.d. a.d. (5.17) burada, ve, örneklem hacmi ye bağlı olarak nin en küçük ve en büyük özdeğerleridir. Teorem 5.2. (Tsay, 1989), (5.3) eşiliği ile verilen SETAR modeline sahipken ve, ve sırasıyla Eşilik (5.2), (5.16) ve (5.17) deki koşulları sağladığında verilen, ve eşik değerleri için klasik en küçük kareler ahminleri, hemen hemen kesinlikle ye yakınsar Modelleme Süreci SETAR modeli için modelleme süreci aşağıdaki gibi verilebilir. Adım 1 Veriye uygun AR sırası belirlenir. seçilir ve muhemel eşik gecikmeleri kümesi

53 44 genellikle, PACF veya AIC ile seçilir. Ancak daha çok PACF ercih edilir. Çünkü, a) PACF uygun bir için yol gösericidir, b) Bilgi krieri, süreç gerçeke doğrusal olmayan bir yapıda olduğunda yanılıcı bilgi verebilir, c) AR sırası gerekli görüldüğünde ileride düzelilebilir (Adım 4). Ayrıca yüksek bir AR derecesine sahip model doğrusal olmayan modele daha çok yaklaşma sağlayacakır. PACF yüksek dereceli modele izin vermek konusunda daha iyidir; çünkü bilgi krieri bir zaman serisi için en iyi doğrusal modeli bulmak için asarlanmışır ve yüksek dereceli erimleri cezalandırmak eğilimindedir. Verilen bir için mümkün eşik gecikmeleri dir. Bu durum, süreçe bir mevsimsellik olması durumunda onu da kapsayacakır. Adım 2 Seçilen ve mümkün üm değerleri için sıralı ooregresyonlar oluşurularak seçilir. isaisikleri hesaplanır. Süreçe bir doğrusal olmama durumu espi edilirse Adım 3 Belirlenen ve için grafikler kullanılarak eşik değerleri belirlenir. Burada, AR kasayıları eğer anlamlıysa değilse oranları bilgi verici olmaz. oranları incelenebilir, kasayı anlamlı Adım 4 Her reimdeki AR sırası ve eşik değerleri doğrusal ooregresyon eknikleri kullanılarak güncellenir. Model iyileşirme için bilgi krierlerinden AIC kullanılabilir Model Yeerliliği Model ahmin edildiken sonra arıklara ilişkin normallik varsayımı ve ookorelasyonlar incelenerek modelin yeerliliğine karar verilebilir (Chan ve ark. 2004). Arıkların incelenmesi Kesim 3.6 da verildiği gibi yapılmakadır.

54 Öngörü Doğrusal zaman serisi modellerinin aksine elde edilen modelden öngörü yapmak için doğrusal olmayan modellerde öngörü uzunluğunun 1 den büyük olması durumunda çoğunlukla bir formül yokur (Tsay, 2010). Bu nedenle SETAR modelde öngörü yapmak için paramerik boosrap yöneminden yararlanılacakır., öngörü oriini ve ( ) de öngörü uzunluğu olsun. Buna göre,, bulunduğumuz zamanı göserir ve elde edilecek öngörü de dir. Paramerik boosrap yönemi dizisini oluşurmak için birkaç adımlı bir yönem izler. Bu adımlar şöyle verilebilir: (1) Modelden elde edilen arıkların dağılımından yeni bir dizi arık erimi elde edilir. (2) model, veri ve arık erimleri kullanılarak ahmin edilir. (3) Bu işlemler defa ekrar edilerek için ane gerçekleşme elde edilir. Böylece nin ahmini ane örneklemin oralamasından elde edilebilir.

55 46 6. DEĞİŞEN VARYANSLI KENDİNDEN UYARIMLI EŞİKSEL OTOREGRESİF MODEL (SETARCH) SETAR model, bir zaman serisinin oralamasında farklı reimlere izin vermekedir. Her bir reimdeki süreç doğrusal AR süreci olarak ifade edilmekedir. Bu bölümde her reimde değişen varyanslı bir sürece izin veren SETARCH model ele alınacakır. Böylece finansal serilerin asimerik yapısının modellenmesi amaçlanmakadır SETARCH Modeli ve Model Varsayımları, rasgele değişkenleri ile üreilmiş bir -alanı olsun. verildiğinde, her için, sıfır oralamalı ve koşullu varyanslı normal dağılıma sahip rasgele değişkendir. Bir zaman serisi, (6.1) koşullarını sağlıyorsa eşiksel koşullu değişen varyanslı ooregresif süreçir denilir. Burada, ve gecikme parameresidir. Eşik değerleri, koşulunu sağlar. Eşilik (6.1) de varyans denklemi için farklı gecikme ve eşik paramereleri yer alabilir. Ayrıca, eşiksellik ekisi oralama ve varyansa aynı anda oraya çıkmayabilir (Li ve Li, 1996). SETARCH model, Tong (1978) un eşiksel modelinin bir genişleilmesidir. SETARCH model de eşiksel modele özgü koşullu oralama yapısına sahip olduğundan aynı lineer olmama karakerisikleri geçerlidir. (6.1) modeli SETARCH ( ) ile göserilir. Burada paramereleri her bir reimdeki AR sırasını gösermekedir. ise aynı reimdeki ARCH sırasını gösermekedir. Eğer bir reimdeki ARCH sırası sıfır ise, bu reimin koşullu varyansı sabiir. Eşilik (6.1) de yerine veya ifadesi de gelebilir. ARCH modelin varsayımları Weiss (1986) arafından alı koşul halinde özelenmekedir.

56 47 (1) zaman serisi durağan ve ergodikir. (2) (3) Koşullu varyansın üm paramereleri sıfır veya sıfırdan büyükür ve oplamları da 1 den küçükür. (4) doğrusal olarak bağımsızdır. (5), her reimde sabise (6.1) modeli durağandır. (6) olsun. ise dir. Aynı durum için de geçerlidir. Koşullardan (1), (2), (3) ve (5) durağan bir koşullu değişen varyanslı ve eşiksel lineer olmayan zaman serisi süreci için verilen varsayımlardır (Tong, 1990). (4) koşulu paramerelerinin anımlı olmasını sağlar. (6) koşulu ise am bir SETARCH modelin anımlı olması için gereklidir Model Belirleme Doğrusal AR modeli için, ACF ve PACF model belirleme sürecinin emel araçlarıdır. Ancak SETARCH modelin seçimi söz konusu olduğunda bu araçlar kabaca AR sırasını belirlemek dışında çok işe yaramamakadır. Ookorelasyonlar modelin asimerisini belirlemede yeersiz kalmakadır. Bu nedenle önceki bölümde açıklanan Tsay (1989) in hazırladığı sıralı ooregresyon yönemi kullanılacakır. Bir AR-ARCH( ) süreci şeklinde verilir. Burada koşullu varyans şeklindedir. olsun. O zaman, (6.2) elde edilir. ve, olduğu varsayılmakadır. Böylece, koşullu varyans eşiliği de bir lineer regresyon eşiliği şeklinde yazılabilir ve Tsay in yönemi SETARCH model için genişleilebilir (Li ve Li, 1996). İlk olarak modelin koşullu oralama yapısında gecikme, eşik paramereleri ve AR sırası belirlenir. Eğer bir eşiksellik yapısı sapanırsa ikinci kısımda (6.1) eşiliği ile

57 48 verilen koşullu varyans ARCH yapısı belirlenir. Her bir reim için, en uygun SETAR süreçen elde edilen arık kareleri (6.2) deki nin yerini alır. Eşiksellik sapanamazsa, en uygun AR modelden elde edilen arık karelere Tsay in yönemi uygulanarak eşiksellik yapısı ve ARCH sırası belirlenir. Bir eşiksellik yapısı belirlenirse am bir SETARCH modeli düşünülür. Burada ikinci kısım Tsay in yönemini koşullu varyansa genişleir. Koşullu varysansın modellenmesinde koşullu varyans yapısına karar verilerek ARCH modelin yanı sıra 4. bölümde ele alınan GARCH model ve ARCH ve GARCH model uyarlamaları kullanılabilir. Modelleme süreci şöyle özelenebilir: Adım 1 Önceki bölümde ele alınan SETAR modelleme süreci uygulanarak bir koşullu oralama eşiliği oluşurulur. Adım 2 Adım 1 de oluşurulan geçici modelden arık kareleri hesaplanır. Adım 3 Arık kareleri kullanılarak her bir reimdeki koşullu varyans yapısı belirlenir. Adım 4 Eşilik (6.1) deki koşullu oralama ve koşullu varyans eşilikleri belirlendiken sonra SETARCH modelin paramereleri en çok olabilirlik yönemiyle ahmin edilir. Adım 5 Her reimdeki AR ve koşullu varyans sırası AIC ile düzenlenir. Adım 6 Adım 5 ile elde edilen en son modele model yeerliliği krierleri uygulanır ve gerekiyorsa (1)-(5) adımları yeniden uygulanır Model Yeerliliği Koşullu oralama modelinin yeerliliğini es emek için arık ookorelasyonları hesaplanır. Ardışık bağımlılık esleri, arık varyansının sabiliğine ilişkin esler ve arıkların normallik incelemesi yapılarak model yeerliliği ile ilgili karar verilir (Chan ve ark., 2004). Arık incelemesi doğrusal zaman serisi sürecinde ve ARCH modellerde olduğu gibi yapılır.

58 49 7. ÇOK DEĞİŞKENLİ EŞİKSEL OTOREGRESİF MODEL Tsay (1998), çalışmasında ek değişkenli eşiksel ooregresif süreci çok değişkenli yapı için genişlemişir. boyulu bir zaman serisi ele alınsın. bir vekör ooregresif süreç olarak düşünülmekedir. reimli çok değişkenli SETAR modeli, (7.1) olarak anımlanır. Burada,, ( )-boyulu sabi vekörleri ve, için ( ) boyulu paramere marisidir. inci reimdeki vekörleri eşiliğini sağlar. ler poziif anımlı simerik marisler ve, oralamalı ve, ( ) boyulu birim kovaryans marisli serisel ilişkisiz normal rasgele vekörlerin bir dizisidir. eşik değişkeninin durağan olduğu varsayılır ve bu değişken nin geçmiş gözlemlerine bağlıdır. Örneğin, (7.2) şeklinde bir düzenleme yapılabilir., ( ) boyulu bir vekördür. Eğer, olarak alınırsa, eşik değişkeni haline gelir. alınırsa, nin üm elemanlarının oralaması olacakır (Chan ve ark., 2004) Çok Değişkenli Doğrusal Olmama Tesi Çok değişkenli SETAR modellemesinde amaç, verilen, gözlemleri için ve değerlerinin bilindiği varsayımı alında nin eşiksel doğrusal olmama durumunu es emekir. Sıfır hipoezi nin doğrusal olduğu şeklinde kurulur. Alernaif hipoez ise nin eşiksel ve doğrusal olmadığı durumdur. Bunun için, en küçük kareler yönemi kullanılarak bir regresyon uygulaması oluşurulur. Yani,

59 50, (7.3) dır. Burada dir ve, ( ) boyulu regresörlerdir., paramere marisini göserir. Eğer sıfır hipoezi doğru ise Eşilik (7.3) deki en küçük kareler ahminleri kullanışlı olacakır. Faka alernaif hipoez geçerliyse ahminler yanlı olacakır. Bu durumda da Eşilik (7.3) ün sıralı olarak yeniden düzenlenmesiyle elde edilen arıklar bilgi verici olacakır. (7.3) için, eşik değişkeni, değerleri arasındadır. nin inci en küçük elemanı olsun., nin zaman indeksini gösermek üzere, eşik değişkeninin aran sıralı olduğu sıralı regresyon,, (7.4) olarak yazılır. (7.4) eşiliğinden görüldüğü gibi serisinin dinamik yapısı değişmemekedir. Çünkü her bir için ye karşılık gelen regresörü değişmemekedir. Değişen yalnızca regresyona giren verinin sırasıdır. Eşilik (7.4) deki model değişimini belirlemek için Tsay (1998), yinelemeli en küçük kareler yöneminin öngörü arıklarına dayalı bir yönem gelişirmişir. serisi doğrusal bir yapıya sahipse Eşilik (7.4) deki sıralı ooregresyonun yinelemeli en küçük kareler ahminleri uarlı olur ve öngörü arıkları da beyaz gürülüdür. Bu durumda, öngörü arıklarının regresörleri ile ilişkisiz olması beklenir. Ancak, serisi eşiksel bir modele sahipse, öngörü arıkları beyaz gürülü olmaz çünkü en küçük kareler ahminleri yanlıdır. Bu durumda, öngörü arıkları regresörleri ile ilişkilidir., olmak üzere Eşilik (7.4) deki nin en küçük kareler ahmini olsun. Yani, nin en küçük gözlemli veri nokası ile elde edilen sıralı regresyon ahminidir. O halde, (7.5) ve (7.6)

60 51 olsun. Burada, olmak üzere, (7.5) ve (7.6) sırasıyla (7.4) deki regresyonun öngörü arıklarını ve sandardize öngörü arıklarını gösermekedir. Bu değerler yinelemeli en küçük kareler algoriması ile elde edilebilir. Daha sonra,, (7.7) regresyonu ele alınsın. Burada, yinelemeli regresyonun başlangıç gözlem sayısını göserir. nin ile arasında olması önerilmişir (Chan ve ark., 2004). Eşilik (7.7) deki regresyonda problem : hipoezini : alernaif hipoezine karşı es emek şeklindedir. Tsay (1998) in bu hipoezi es emek için hazırladığı es isaisiği, (7.8) şeklindedir. Burada, eşik değişkeninin gecikmesini gösermekedir ve, olarak verilir., Eşilik (7.7) deki regresyondan en küçük kareler ile elde edilen arıklardır. Sıfır hipoezi alında lineerdir. ise serbeslik dereceli Kikare dağılımına sahipir (Tsay, 1998). şeklindeki sıfır hipoezi üm öngörü arıkları için sıfır sabi erimi varsaymakadır. Sıfır olmayan bir sabi erim yinelemeli regresyon ahminlerinde sisemaik yanlılık bulunduğunu göserir ve muhemel bir model değişimine işare eder. Sonlu örneklemlerdeki yanlılıkan kurulmak için Eşilik (7.8) deki doğrusal olmama esindeki sabi erim çıkarılabilir. Bu durumda da bir oralama düzelmesi gerekmekedir ve es isaisiği serbeslik dereceli Ki-kare dağılımına sahip olur. doğrusal iken model,

61 52 (7.9) olarak yazılır. Burada şeklindedir. marisinin deerminanının sıfır olduğu ve dolayısıyla varsayılsın. de (7.9) daki modelin için marisi olsun. nin en küçük ve en büyük özdeğerleri sırasıyla ve dır. Bu durumda en küçük kareler ahminlerinin uarlılığı için Lai ve Wei (1982) nin çalışmasında yer alan Teorem 1 verilebilir (Tsay, 1998). Teorem 7.1. (Tsay, 1998) nin birim kök içermemesi durumunda olan (7.9) modeli ele alınsın., -alanları { } nin aran bir dizilişiyle ilgili olarak maringale farklarının bir dizisi olsun, öyle ki,, a.d. için (7.10) dir. Ayrıca, ve in ölçülebilir b olduğu varsayılır, öyle ki,, a.d. ve, a.d. dir. O halde, (7.9) un en küçük kareler ahminleri asimpoik durağan olarak ve ye yakınsar. Teorem 7.2. (Tsay, 1998) Eşilik (7.9) daki Teorem 7.1 deki koşulları sağladığı varsayılsın. Ayrıca, nin doğrusal bir modele sahip olduğu ve b ve ölçülebilir uzaylar olsun. Yani, ve sırasıyla ve sigma cebirlerine sahip kümelerdir. Bir fonksiyonu, eğer, için oluyorsa ölçülebilirdir. Ölçülebilirlik, ve sigma cebirlerine bağlıdır (hp://mahworld.wolfram.com).

62 53 a.d. (7.11) ve ile iken varsayımı yapılır. O zaman (7.8) eşiliğindeki isaisiği, belirli bir poziif amsayı için asimpoik olarak serbeslik dereceli Ki-kare dağılımına sahipir. Burada, nin boyuudur. İspa: Teorem 7.1 ve koşuluyla, sandardize arıkları asimpoik durağan olarak (7.11) varsayımının homoen olması koşulu alında maringale farklarının bir dizisine yakınsar. Helland (1982, Teo.3) ın çalışmasındaki fonksiyonel merkezi limi eoremi c ile (7.8) deki ve asimpoik olarak Wishar dağılımına uyar. Dolayısıyla bu sonuç, çok değişkenli çoklu regresyon analizine de uyar (Tsay, 1998). Eşilik (7.9) ile ilgili bir diğer önemli durum nin homoenliğinin, yinelemeli en küçük kareler öngörü arıklarının sandardize edilmesiyle ilgili olmasıdır. Eğer koşullu değişen varyanslı ise (7.6) eşiliği arık geçerli olmaz. nın inci elemanının, ile hesaplanması gerekir. Burada şeklinde nin. elemanın haa kareler oralamasıdır. ise, c Olasılık eorisinde Donsker s eoremi diye bilinen eorem, deneysel bir sürecin limii olarak kesin bir sokasik süreç anımlar. Bu da, fonksiyonel merkezi limi eoremi olarak bilinir. Deneysel bir dağılım fonksiyonu, olmak üzere, deneysel süreci ile anımlanır. dizisi, Skorokhod uzayının rasgele elemanlarıdır ve sıfır oralamalı ve kovaryansı aşağıda verilen Gaussian sürecine dağılımda yakınsar. Kovaryans, ile verilir (hp://en.wikipedia.org).

63 54 dir. Koşullu değişen varyanslı modellerde, nin elemanları ile ilişkilidir ve en küçük kareler ahminlerinin düzelilmesi gerekir (Tsay, 1998) Model Paramerelerinin Belirlenmesi Eşilik (7.8) deki isaisiğinin oluşurulabilmesi için ve değerlerinin bilinmesi gerekmekedir. nin seçimi ye bağlı olduğundan ilk olarak nin belirlenmesi problemi üzerinde durulacakır. Tek değişkenli zaman serilerinde ooregresiflik derecesini belirlemek için kısmi ookorelasyon değerlerinden yararlanılmışı. Çok değişkenli durumda da yine kısmi ooregresyon marisi (PAM) kullanılarak değeri seçilecekir. Tiao ve Box (1981), veri sıralı bir vekör ooregresif sürece uyuyorsa gecikmesindeki PAM yapısının en son kasayı marisi olduğunu söyler. Bir vekör AR( ) sürecinin kısmi ooregresyon marisi için sıfır olur. Kısmi ooregresyon marisinin elemanları ve sandar haaları ooregresif modele için klasik çok değişkenli en küçük kareler yöneminin uygulanmasıyla elde edilebilir (Tiao ve Box, 1981). Durağan bir AR( ) modelinde ahminleri asimpoik olarak orak normal dağılımlıdır. Kısmi ooregresyon marisi elemanları kullanışlı bir şekilde özelenmesi amacıyla + ve işareleriyle göserilebilir. Şöyle ki, eğer bir kasayı kendi sandar haasından 2 ka büyükse ve -2 ka küçükse + ve işareleriyle marise yer alır. Arada bir değer alanlar noka ile göserilir. Ayrıca, ooregresif modelin sırasını belirlemek için olabilirlik oran isaisiğinden de faydalanılabilir. sıfır hipoezine karşılık alernaif hipoezi (7.12) yardımıyla es edilir. AR( ) sürecinin haa kareler oplamı ve çapraz çarpımlarından oluşan maris olsun. Olabilirlik oran isaisiği, (7.13)

64 55 şeklinde anımlanır. isaisiği şeklinde anımlandığında serbeslik dereceli dağılımına uyar (Barle, 1938). Burada şeklinde modelde sabi erimin de varlığı halinde ekin gözlem sayısıdır (Tiao ve Box, 1981). sırası belirlendiken sonra olacak şekilde en büyük isaisiğini verecek şekilde gecikme parameresi de belirlenir Tahmin,, ve bilindiğinde (7.4) eşiliğindeki çok değişkenli ooregresyon reimlere ayrılabilir. Verinin. reimi için, (7.14) genel lineer modeli yazılabilir. Burada, (7.15) (7.16) (7.17) (7.18) olarak verilir. Burada, nin en büyük değeridir, öyle ki, için dir. ve olarak anımlanır. inci reimdeki gözlem sayısı dir. nin en küçük kareler ahmini klasik çok değişkenli en küçük kareler yönemiyle elde edilebilir. Yani, (7.19) dır ve arıkların varyans-kovaryans marisi. reim için,

65 56 (7.20) olarak yazılabilir. Eşilik (7.1) deki model için AIC, AIC,,, )= s (7.21) şeklinde anımlanır (Tsay, 1998). Çok değişkenli SETAR modelde, eşik değişkeninin yanı sıra reim sayısını ( ) belirlemek en önemli problemdir. ve bilindiğinde ve paramereleri AIC yi minimize emek sureiyle aranabilir. Tsay (1998) hesaplama kolaylığı açısından reim sayısını 2 veya 3 olarak seçmeyi uygun görmekedir. Ayrıca, nin çeşili yüzdelik dilimlerine göre veriyi al gruplara ayırmayı önermekedir. Bu al gruplara Eşilik (7.8) deki es isaisiği uygulanarak al grup içinde model değişimi olup olmadığı incelenebilir. Son olarak her bir reimdeki AR sırasını ( ) düzelmek için de AIC kullanılabilir (Chan ve ark., 2004) Model Yeerliliği Tiao ve Box (1981), çok değişkenli SETAR modelde arıkların incelenmesi için kısmi ooregresyon marislerini ve olabilirlik oran isaisiğini kullanmayı önermekedir. Buna göre, arıkların herhangi bir model içerip içermediği belirlenebilir.

66 57 8. ARAŞTIRMA SONUÇLARI Bu bölümde finansal serilerde SETARCH ve çok değişkenli SETAR modelin kurulması ve yapısal paramerelerinin belirlenmesi ile ilgili uygulamalar yapılmışır. Sayısal hesaplamalar ve grafikler MATLAB 7.7.0(R2008b) oramında hazırlanmışır. Oluşurulan algorimalara verilen isimler ve bunların açıklamaları şu şekildedir: pacf.m : serisinin ookorelasyon ve kısmi ookorelasyonlarını hesaplamakadır. pacf.ma veri dosyasında serisi yer alır. siralama.m : Gözlem değerlerinden sıralı ooregresyonu oluşurmak için kullanıldı. sira.ma veri dosyasında gözlem değerleri bulunmakadır., ooregresyonun derecesini ve de eşik değişkeninin gecikmesini gösermekedir. rls.m : Sıralı ooregresyona yinelemeli en küçük kareler uygular. Yinelemeli regresyon kasayılarını ve kasayıların oranlarını vermekedir. rls.ma veri dosyasında sıralı ooregresyon sonucu elde edilen ve bulunur. aicsecim.m : AIC değerine göre eşik değeri seçimi yapılır. aicsecim.ma veri dosyasında ve değişkenleri ile ve eşik değişkenlerinin seçildiği aralıklar yer almakadır. vares.m : Vekör ooregresif zaman serilerinde farklı model dereceleri için model kasayılarını, varyans-kovaryans marislerini ve olabilirlik oranlarını vermekedir. vares.ma veri dosyasında çok değişkenli serisi bulunur. Hazırlanan kodlar EKLER bölümünde yer almakadır Uygulama I Uygulama, alın fiyaları verisini kullanarak SETAR modelleme yönemini gösermekedir. Veri, dönemini kapsayan gözlemli serbes piyasadaki günlük alın fiyalarının TL cinsinden değeridir ve veriye ( ) işlemi uygulanmışır. Veri ( ), web üzerinden hp:// adresinden derlenmişir. Tüm isaisiksel değerlendirmelerde anlam düzeyi 0.05 olarak alınmışır.

67 X 40 0 Ocak 05 Ocak 06 Ocak 07 Ocak 08 Ocak 09 Ocak 10 Ocak 11 Yıllar R Ocak 05 Ocak 06 Ocak 07 Ocak 08 Ocak 09 Ocak 10 Ocak 11 Yıllar Şekil 8.1. Alın fiyaları serisi ve geiri serisinin zamana göre değişim grafiği Bir zaman serisinde Tsay (1989) in yönemiyle eşiksel doğrusal olmama esi yapmak için ilk olarak serinin durağan zaman serilerindeki gibi AR sırası belirlenir (Hansen, 1997). serisi için birim kök araşırması yapılmış ve genişleilmiş Dickey- Fuller (ADF) es isaisiği sonuçları üç model için, Çizelge 8.1 deki gibi elde edilmişir. Modele dahil edilen gecikme sayısı SIC ile seçilmişir. Çizelge 8.1. Alın fiyaları serisi için ADF esi sonuçları Kesmeli ve rendli Kesmeli ve rendsiz Kesmesiz ve rendsiz

68 59 Çizelge 8.1 göre her üç model için de serinin birim kök içerdiği görülmekedir. Alın fiyaları verisi birim kök içerdiğinden geiri serisi hesaplanarak işlem yapılacakır. Bu dönüşüm finans ve ekonomi lieraüründe sandar bir dönüşümdür (Franses ve Dik, 2000). Alın fiyaları serisi ve geiri serisinin zamana göre değişimini göseren grafik Şekil 8.1 ile verilmişir. serisi için de ADF esi ile birim kök incelemesi yapılmış ve serinin birim kök içermediği görülmüşür (Çizelge 8.2). Çizelge 8.2. serisi için ADF esi sonuçları Kesmeli ve rendli Kesmeli ve rendsiz Kesmesiz ve rendsiz Daha sonra serisinin AR sırasını belirlemek için kısmi ookorelasyonlar incelenir. PACF değerleri ve grafikleri sırasıyla Çizelge 8.3 de ve Şekil 8.2 de verilmişir. Kısmi ookorelasyon değerleri incelendiğinde AR sırası nin 7 olarak alınmasının yeerli olduğu görülmekedir. Çizelge 8.3. serisinin kısmi ookorelasyonları* Sıra PACF Sıra PACF Sıra PACF Sıra PACF Sıra PACF *Sınırlar ve ür.

69 Sample Parial Auocorrelaions Sample Parial Auocorrelaions 60 0,2 0, , , Lag Lag Şekil 8.2. serisinin PACF grafiği Şekil 8.2 de ilk olarak kısmi ookorelasyon fonsiyonuna ai grafik görülmekedir. Bu grafik çok açıklayıcı olmadığından ilk 50 kısmi ookorelasyonun yer aldığı ikinci grafik verilmişir. İkinci grafiğe göre de AR sırası için almak uygun olacakır. Çizelge 8.4. isaisiği değerleri AR sırası belirlendiken sonra kümesi için isaisikleri Çizelge 8.4 deki gibi hesaplanmışır. ablo değeri olduğundan bir doğrusal olmama durumunun varlığından söz edilir. için en yüksek isaisiğini veren değeri eşik değeri belirlemede kullanılacakır. Öncelikle için yinelemeli regresyon arıklarının ve anlamlı çıkan kasayılar için oranlarının reim değişkenine karşı grafikleri elde edilmişir (Şekil 8.3 ve 8.4).

70 ê R(-7) Şekil 8.3. reim değişkenine karşı ê saçılım grafiği Reim değişkeni ye karşı ê arıklarının saçılım grafiği eşik değeri yeri konusunda açık bir bilgi vermemekedir (Şekil 8.3). Şekil 8.4 deki anlamlı çıkan 1, 5 ve 7. gecikmelerin AR kasayılarının oranlarının ye karşı grafikleri incelenerek eşik değeri espii yapılacakır. 1. sıra kasayısının oranları saçılımı başlangıçan iibaren 0 ile 1 arasındaki bir nokaya kadar yumuşak geçişlerle hareke emekedir. [0,1] aralığında oranları kademeli bir geçiş yerine dalgalı bir görünüm arz emekedir. Bu nedenle 1. sıra AR kasayısının [0,1] aralığında bir eşik önerdiği söylenebilir. 5. sıra AR kasayısının oranları incelendiğinde saçılımın 0 değerinden hemen önce yön değişirdiği açıkça görülmekedir. 7. sıra AR kasayısının oranları için oluşurulan grafike ise ilk olarak [-1,0] aralığında bir yön değişirmenin olduğu görülmekedir. Daha sonra oranları [0,1] aralığında iki farklı şekilde yön değişirmiş bu aralığın üs sınırından sonra kademeli geçişlere sahip olmuşur.

71 7. sıra AR kasayısı oranları 5. sıra AR kasayısı oranları 1. sıra AR kasayısı oranları R(-7) R(-7) R(-7) Şekil 8.4. Yinelemeli regresyon AR kasayıları oranlarının reim değişkenine karşı saçılım grafiği Anlamlı çıkan AR kasayılarının oranları grafikleri ışığında modelin en az iki eşik değeri ile üç reimde açıklanabileceği söylenebilir. İlk eşik değeri için [-1,0] aralığından ve ikinci eşik değeri için [0,1] aralığından modelin AIC değerini en küçük hale geirecek şekilde seçim yapılmışır. Eşik değerlerine göre AIC değerini göseren grafik Şekil 8.5 ile verilmişir. Buna göre, ve olarak belirlenmişir.

72 0,01 0,11 0,21 0,31 0,41 0,51 0,61 0,71 0,81 0,91 63 AIC 9,295 9,29 9,285 9,28 9,275 9,27 9,265 9,26 9, r1 ve r2 değerleri Şekil 8.5. Eşik değerlerine göre modelin AIC değerleri Eşik değerleri belirlendiken sonra olmak üzere SETAR(3,7,7,7) modelinin değerlendirilmesine geçilmişir. paramerelerine göre AIC değerini en küçük hale geirecek şekilde reimlerde AR sıraları güncellenmişir. Modelin arıklarına ve arık karelerine ilişkin ookorelasyon fonksiyonu değerleri Çizelge 8.5 de verilmişir. Arıkların ookorelasyon değerleri sınır değerlerin alında kalırken arık kareleri için 7. sıra ve daha üsünde bazı değerlerin ookorelasyonunun anlamlı olduğu görülmekedir. Çizelge 8.5. Arıkların ve arık karelerinin ookorelasyon fonksiyonu değerleri* Sıra ACF( ) ACF( ) Sıra ACF( ) ACF( ) * Sınırlar ve dür. Arıklar için Breusch-Godfrey serisel korelasyon esi faklı gecikmeler için hesaplanmış ve üm gecikmelerde ookorelasyon olmadığını göseren boş hipoez kabul

73 64 edilmişir (Çizelge 8.6). Daha sonra arıklardaki değişen varyans için Whie esi uygulanmışır. Tes isaisiği olarak hesaplanmışır. isaisiğinin ablo değeri ise olduğundan değişen varyanslılığın olmadığını savunan boş hipoez reddedilir. Buna göre arıklarda ardışık bağımlılık gözlenmezken güçlü bir değişen varyans durumu söz konusudur. Çizelge 8.6. Breusch-Godfrey serisel korelasyon esi sonuçları Gecikme * *, modele eklenen gecikme sayısıdır. Bir koşullu varyans durumundan söz edebilmek için arıklara ARCH-LM esi uygulanır. ARCH-LM esi için sonuçlar Çizelge 8.7 de yer almakadır. Buna göre büyük gecikmeler için bir ARCH ekisinin varlığından söz edilir. Dolayısıyla model farklı ARCH modelleri olarak ahmin edilmelidir. Çizelge 8.7. ARCH-LM esi sonuçları Sıra * *, modele eklenen gecikme sayısıdır. Farklı ARCH ve GARCH ürevleri için yapılan ahminlere ai sonuçlar Çizelge 8.8 de görüldüğü gibidir. Tahmin sonuçları incelendiğinde yalnızca GARCH(1,1) modeli için kasayıların anlamlı olduğu ve en küçük SIC değerinin de yine bu modele ai olduğu görülür.

74 65 Çizelge 8.8. Koşullu değişen varyans modelleri Model ARCH GARCH ARCH-M GARCH-M EGARCH TARCH Paramere p=1, q=0 p=1, q=1 p=1, q=1 p=1, q=1 p=1, q=1 p=1, q= * * * * * * * Log. Olabilirlik SIC *: 0.05 düzeyinde anlamlı çıkan kasayıları gösermekedir. Koşullu değişen varyans modeli belirlendiken sonra SETARCH modelinin oralama denklemi, ve koşullu varyans denklemi olarak elde edilmişir. Paranez içindeki sayılar paramere ahminlerinin sandar sapmalarını gösermekedir. Her reim için gözlem sayıları, ve dir. Modelin haa kareler oralaması dir. Modelin geçerliliğini araşırmak için uygunluk eslerinin sonuçlarına bakmak gerekmekedir. SETARCH modelin arıklarını incelerken ilk olarak arıkların anımlayıcı isaisikleri incelenebilir. Çizelge 8.9 dan görüleceği gibi arıkların çarpıklık ve basıklık değerleri normal dağılıma yakın görünmekedir. Ookorelasyon fonksiyonu ve hisogram grafikleri Şekil 8.6 ile verilmişir.

75 ACF 66 Çizelge 8.9. Arıkların anımlayıcı isaisikleri En En Sd. n Oralama Çarpıklık Basıklık küçük büyük Sapma Gecikme Şekil 8.6. SETARCH modelinin arıklara ai ookorelasyon fonksiyonu grafiği ve hisogram Tahmin edilen koşullu değişen varyanslı kendinden uyarımlı eşiksel ooregresif modelin arıklarına Lung-Box ve ARCH-LM esleri farklı gecikmeler için uygulanarak bulunan sonuçlar Çizelge 8.10 ve Çizelge 8.11 de özelenmişir. Çizelge Lung-Box esi sonuçları Arıkların ardışık bağımlılığını incelemek için ookorelasyon fonksiyonları ve Lung-Box es isaisiği kullanılmışır. Çizelge 8.10 incelendiğinde üm gecikmeler için ardışık bağımlılığın olmadığını söyleyen yokluk hipoezi kabul edilir.

76 Alın fiyaları 67 Çizelge ARCH-LM esi sonuçları Sıra * *, modele eklenen gecikme sayısıdır. Çizelge 8.11 den görüldüğü gibi çeşili uzunlukaki gecikme değerleri için ARCH ekisi oradan kalkmışır. Arıkların normalliğini sınamak için de Jarque-Bera es isaisiği kullanılmış ve olarak elde edilmişir. =5.99 ( ) olduğundan arıkların normal dağılıma uygun olduğu söylenebilir. Finansal bir veride modelleme yapmanın emel amaçlarından biri gelecek gözlemler için öngörü yapmakır. Elde edilen SETARCH modelinden paramerik boosrap yönemiyle dönemini kapsayan 21 gözlem için öngörü yapılmışır., ekrar sayısı 1000 dir. Öngörü dönemine ai gözlemler ve ahmin değerleri Şekil 8.7 de yer almakadır. Grafiğe göre birkaç gözlem dışında ahmin değerlerinin gözlem değerleri ile yakın bir seyir izlediği söylenebilir Öngörü dönemi öngörü oralama gözlenen Şekil 8.7. Öngörü dönemi alın fiyaları

77 Alın fiyaları USD/TL Uygulama II Çok değişkenli eşiksel ooregresif model uygulaması için TL cinsinden günlük Dolar (USD) kuru ( ) ve alın fiyaları ( ) verisi kullanılmışır. Alın fiyaları serisi Uygulama I de ek değişkenli SETAR modelleme sürecini gösermek için kullanılmışı. Zaman serileri arihleri arasındaki 1311 günlük gözlemden oluşmakadır. Döviz kuru hp://evds.cmb.gov.r/ adresinden alınmışır. Serilerin zamana göre değişimini göseren grafikler Şekil 8.8 de görülmekedir. 2 1,5 1 Ocak 05 Ocak 06 Ocak 07 Ocak 08 Ocak 09 Ocak 10 Ocak 11 Yıllar Ocak 05 Ocak 06 Ocak 07 Ocak 08 Ocak 09 Ocak 10 Ocak 11 Yıllar Şekil 8.8. USD ve alının TL fiyalarının zamana göre eğilimi Alın fiyaları serisinin birim kök içerdiği Uygulama II de göserilmişi. USD serisi için de birim kök araşırması yapılmış ve ADF es isaisiği için sonuçlar Çizelge 8.12 ile verilmişir. Buna göre seri birim kök içermekedir. Her iki seri için de geiri serileri hesaplanarak işlem yapılacakır.

78 69 Çizelge USD serisi için birim kök esi sonuçları Kesmeli ve rendli Kesmeli ve rendsiz Kesmesiz ve rendsiz Burada, USD serisine ai geiri değerlerini,, alın fiyaları serisinin geiri değerlerini gösermekedir. Seriler dönüşürüldüken sonra birim kök yapısı giderilmişir (Çizelge 8.13). Çizelge USD serisinden hesaplanan geiri serisi için ADF birim kök esi sonuçları Kesmeli ve rendli Kesmeli ve rendsiz Kesmesiz ve rendsiz Geiri serilerinin grafikleri de Şekil 8.9 ile verilmişir. Çalışmada serisi çok değişkenli SETAR model için eşik göserge değişkeni olarak alınmışır. Yani, dir.

79 R1() Ocak 05 Ocak 06 Ocak 07 Ocak 08 Ocak 09 Ocak 10 Ocak 11 Yıllar R2() Ocak 05 Ocak 06 Ocak 07 Ocak 08 Ocak 09 Ocak 10 Ocak 11 Yıllar Şekil 8.9. Geiri serilerinin yıllara göre değişimi İlk olarak, vekör zaman serilerinin ooregresiflik derecesini belirlemek için kısmî ooregresyon marisleri (PAM) oluşurulmuşur. PAM yapıları ve olabilirlik oran isaisikleri Çizelge 8.14 de görülmekedir. Ayrıca vekör ooregresif zaman serilerinde model derecesini belirlemek için AIC, SIC ve olabilirlik oran isaisikleri ilk 50 gecikme için hesaplanmışır. Bunlardan yalnızca olabilirlik oran isaisiği ooregresif sırasını belirleyici sonuç vermiş diğer iki krier ise herhangi bir sıra belirlememişir. AIC, SIC ve olabilirlik oran isaisiği değerleri Çizelge 8.15 de yer almakadır. Çizelge vekör ooregresif serisine ilişkin PAM yapıları ve LR isaisikleri Gecikme 1-6 Gecikme

80 71 Çizelge Vekör zaman serisinin AIC, SIC ve olabilirlik oran isaisiği değerleri Gecikme LR AIC SC Gecikme LR AIC SC Olabilirlik oran isaisiğinin karşılaşırılacağı ablo değeri dur. Çizelge 8.14 den görüldüğü gibi alınarak isaisiği hesaplanacakır. Burada nin alabileceği değerler ir. isaisiği hesaplanırken farklı değerleri ile farklı başlangıç gözlem sayısı değeri kullanılarak isaisiğin performansı karşılaşırılır. Çizelge 8.16 da isaisiğinin aldığı değerler görülmekedir. isaisiği ablo değeri ile karşılaşırılır ve en yüksek isaisiğini veren başlangıç gözlemine sahip =(5,2) değeri eşik değerinin araşırılmasında kullanılır. Reim sayısı ve eşik değerlerini belirlemek için AIC krierinden faydalanılacakır. İlk olarak olacak şekilde iki reimli ve ek eşik değerli model

81 72 için araşırma yapılmışır. Burada eşik değeri değişmekedir. AIC değerleri Şekil 8.10 daki gibi elde edilmişir. aralığında Çizelge isaisiği değerleri AIC Gözlem sayısı Şekil İki reimli durum için AIC değerinin değişimi

82 -0,61-0,55-0,50-0,48-0,41-0,37-0,33-0,28-0,25-0,21-0,16-0,13-0,10-0,08 73 İki reimli model ele alındığında AIC değerinin gözlem sayısı arıkça azaldığı Şekil 8.11 den görülmekedir. Daha sonra üç reimli ve iki eşik değişkeni için AIC değerleri hesaplanmışır. Eşik değerleri ve aralığında değişmekedir AIC ,6386 0,4639 0,3327 0,1908 r1 ve r2 değerleri Şekil İki eşik değerine göre AIC değişimi Şekil 8.11 incelendiğinde eşik değerlerine AIC değişimine göre karar verilebilir. Verinin iki reimli olması durumunda ilk reimde gözlem sayısı olarak bir yığılma olduğundan üç reime bölünmesi uygun görülmüşür. Buna göre ve olarak seçilmişir. Çok değişkenli SETAR modeli, şeklinde oluşurulur. Her bir reim içindeki en uygun gecikme sayısı AIC krierine göre belirlenerek paramerelerin en küçük kareler ahminleri Çizelge 8.17 de verilmişir. Paranez içindeki sayılar kasayıların sandar sapmalarını gösermekedir.

83 74 Çizelge Üç reimli model için en küçük kareler ahminleri 1. reim 2. reim 3. reim Her bir reim için varyans-kovaryans marisleri ise Çizelge 8.18 de görülmekedir. Modelin AIC değeri olarak elde edilmişir. Çizelge Reimlerin varyans-kovaryans marisleri ve gözlem sayıları Modelin arıklarını incelemek için arıkların PAM yapıları ve olabilirlik oran esi sonuçları Çizelge 8.18 ile verilmişir. Çizelge Arıklara ai PAM yapıları ve LR isaisikleri Gecikme 1-6 Gecikme Arıkların herhangi bir model yapısı gösermediği söylenebilir ( ).

84 Alın fiyaları Dolar fiyaları 75 Elde edilen çok değişkenli SETAR modelden öngörü yapmak için paramerik boosrap yönemi uygulanmışır. alınarak modelin arık erimlerinden yeni diziler oluşurulmuş ve bunlar modelde yerine konularak iki seriye ai öngörüler elde edilmişir. Daha sonra öngörülerin oralaması alınarak öngörü dönemine ai noka ahminleri yapılmışır. Sonuçlar Çizelge 8.19 da yer almakadır. 1,92 1,9 1,88 1,86 1,84 1,82 1,8 1,78 1,76 1,74 1, Öngörü dönemi gözlenen öngörü oralama Öngörü dönemi gözlenen öngörü oralama Şekil Alın ve Dolar fiyaları için öngörü Alın fiyalarının göserge değişken olarak alındığı çok değişkenli Dolar ve alın fiyaları modeline göre yapılan öngörüler serilerin gözlenen değerleri ile yakın bir seyir izlemekedir. Buna göre kurulan modelin öngörü yapmak için uygun olduğu söylenebilir. Elde edilen çok değişkenli SETAR modele göre, Türkiye piyasasında alın ve Dolar fiyalarının birbirini ekilediği ve birlike modellenebileceği sonucuna varılmışır. Alın fiyaları geirisinin geçmiş gözlemlerinin sıfıra yakın olduğu

85 76 durumlarda ( ) seriler çok değişkenli bir AR(5) sürecine abi iken, geiri sıfırdan çok küçük ya da sıfırdan çok daha büyük olduğunda farklı çok değişkenli AR süreçleri oraya çıkmakadır.

86 77 9. SONUÇLAR Parçalı doğrusal bir yapıya sahip olan eşiksel ooregresif modeller çok geniş uygulama alanları ile dikka çekmekedir. Özellikle ekonomi ve finans alanındaki verilerin geiri serilerinin döngüsel veri yapısına sahip olması nedeniyle eşiksel ooregresif model kullanışlı olmakadır. Eşiksellik yapısı nedeniyle serinin geiri serisi olmaması durumunda da faydalı bir modeldir. Bu çalışmada, kendinden uyarımlı eşiksel ooregresif (SETAR) modelin çeşili biçimlerde uygulanışını gösermek amacı ile iki farklı uygulama yapılmışır. Uygulama I de, ek değişkenli SETAR sürecinin arık erimlerinin değişen varyanslı olması durumunda bu arıkların da kolayca modellenebileceği görülmekedir. Eğer arıklarda bir değişen varyanslılık durumu varsa her reim için farklı ARCH paramereleri ile modellenebilir. Modelin reimlere izin vermesi daha esnek yapıda bir model oluşurulmasına imkan vermekedir. Uygulama olarak günlük alın fiyaları verisi TL cinsinden alınmışır. Serideki birim kök yapısını giderebilmek için geiri serisi hesaplanmış ve birim kök giderildiken sonra geiri serisinin doğrusal olmayan bir yapıda olduğu Tsay (1989) in F esi ile göserilmişir. Daha sonra eşik değişkeni ve eşik değerleri espi edilerek üç reimli bir SETARCH modeli Eşilik (9.1) de görüldüğü gibi oluşurulmuşur. (9.1) Modelde geiri serisinin oralama denklemi bir SETAR süreç olarak elde edilmişir. Modelden elde edilen arıklar için ise ek koşullu varyans denklemi yeerli olmuşur. Arıklara ilişkin değerlendirmeler incelendiğinde modelin geçerli olduğu söylenebilir. Modelden elde edilen öngörü değerleri de Şekil 8.7 den görüldüğü gibi gözlem değerleri ile yakın bir gerçekleşme oluşurmuşur. Uygulamada II de, çok değişkenli SETAR modeli oluşurulmaya çalışılmışır. Yine Tsay (1998) in çalışması göz önünde bulundurularak SETAR model için çok değişkenli doğrusal olmamayı es eden isaisik hesaplanmış ve birbiriyle ilişkili

87 78 olduğu düşünülen günlük dolar ve alın fiyaları verisi için doğrusal olmama hipoezi reddedilememişir. İki serinin de durağanlaşması için birinci dereceden farkının alınması gerekmişir. Çok değişkenli SETAR modeli için alın fiyaları baz değişken olarak alınmış ve doğrusal olmama esine göre gerçeken de bu iki serinin orak bir SETAR model ile modellenebileceği görülmüşür. Uygulamada dikkai çeken bir diğer noka, doğrusal olmama esi uygulanırken başlangıç gözlem sayısının oldukça ekili olmasıdır. Buna göre bu iki seri için özellikle ilk birkaç aylık döneme bağlı olarak doğrusal olmama yapısının kuvveli olduğu söylenebilir ( ). Çok değişkenli SETAR model Eşilik (9.2) deki gibi üç reime ayrılmışır. (9.2) Alın geirisindeki iki gün önceki değerin ( ) sıfıra yakın olması durumunda seriler için bir reim oraya çıkarken geirinin sıfırdan uzaklaşması halinde farklı reimler oraya çıkmakadır. Modelin arık erimlerine ilişkin PAM yapıları ile olabilirlik oranı değerleri incelenerek modelin yeerliliğine karar verilmişir. Şekil 8.19 dan görüldüğü gibi öngörü döneminde elde edilen değerler de gözlenen durumla yakın bir seyir izlediği söylenebilir. SETAR modelinde modelleme süreci, model yapısının belirlenmesi, ahmin ve arıkların incelenmesi olarak klasik Box-Jenkins yaklaşımıyla örüşmekedir. Sonuç olarak, SETAR modelin uygulama kolaylığı ve esnek model yapısı nedeniyle ekonomik verilerin analizinde kullanışlı olduğu görülmekedir.

88 79 KAYNAKLAR Akdi, Y., (2003), Zaman Serileri Analizi, Bıçaklar Kiabevi, Ankara. Baragona, R., Baaglia, F., (2004), Esimaing hreshold subse auoregressive moving-average models by generic algorihms, METRON- Inernaional Journal of Saisics, Vol. LXII, No:1, Barle, M.S., (1938), Furher Aspecs of he Theory of Muliple Regression, Mahemaical Proceedings of he Cambridge Philosophical Sociey, Vol.34, Bollerslev, T., (1986), Generalized Auoregressive Condiional Heeroskedasiciy, Journal of Economerics, Vol.31, Box, G.E.P, Jenkins, G.M, (1976), Time Series Analysis: Forecasing and Conrol, San Francisco: Holden-Day. Campenhou B.V., (2006), Modelling rends in food marke inegraion: Mehod and an applicaion o Tanzanian maize markes, Food Policy, Vol. 32, Issue 1. Chan, W., Wong, A., Tong H., (2004), Some Nonlinear Threshold Auoregressive Time Series Models for Acuarial Use, Norh American Acuarial Journal, Vol. 8, No:4, Chen, J., (2012), Crisis, Capial Conrols and Covered Ineres Pariy: Evidence from China in Transformaion, Paris-Jourdan Sciences Economiques, CNRS : UMR8545. Clemens, M., Smih, J., (2001), Evaluaing Forecass from SETAR Models of Exchange Raes, Journal of Inernaional Money and Finance, Vol.20, De Gooier, J.G., (2001), Cross-validaion Crieria for SETAR Model Selecion, Journal of Time Series Analysis, Vol.22,

89 80 Dickey, D.A. and W.A. Fuller (1979), Disribuion of he Esimaors for Auoregressive Time Series wih a Uni Roo, Journal of he American Saisical Associaion, 74, p Dufreno, G., Guegan, D., Peguin-Feissolle, A., (2008), Changing-regime volailiy: a fracionally inegraed SETAR model Applied Financial Economics, Taylor and Francis Journals, Vol.18, No:7, Engle, R.F., (1982), Auoregressive Condiional Heeroscedasiciy wih Esimaes of he Variance of Unied Kingdom Inflaion, Economerica, Vol. 50, No. 4, Engle, R.F., Lilien, D.M., Robins, R.P., (1987), Esimaing Time Varying Risk Premia in he Term Srucure, Economerica, Vol.55, Issue 2, p Feng, H., Liu, J., (2003), A SETAR model for Canadian GDP: non-lineariies and forecas comparisons, Applied Economics, Vol. 35, Issue 18. Franses, P. H., Dik, D., (2000), Nonlinear Time Series Models in Empirical Finance, Cambridge Universiy Press, Cambridge. Galeano, P., Pena, D., (2007), Improved model selecion crieria for SETAR ime series models, Journal of Saisical Planning and Inference, Vol.137, Issue 9, Gonzalo, J., Wolf, M., (2005), Subsampling inference in hreshold auoregressive models, Journal of Economerics, Vol. 127, Hansen, B.E., (1996), Inference When a Nuisance Parameer Is no Idenified under he Null Hypohesis Economerica, Vol.64, Hansen, B.E., (1997), Inference in TAR Models, Sudies in Nonlinear Dynamics and Economerics, Vol.2, Number 1, p

90 81 Hansen, B.E., (1999), Tesing for Lineariy, Journal of Economic Surveys, Vol.13, Hansen, B.E., (2000), Sample Spliing and Threshold Esimaion, Economerica, Vol.68, Huang, B.N., Hwang, M.J., Peng, H.P., (2005), The asymmery of he impac of oil price shocks on economic aciviies: An applicaion of he mulivariae hreshold model, Energy Economics, Vol.27, Issue 3. Huchison, M., Kendall, J., Pasricha, G., Singh, N., (2010), Indian Capial Conrol Liberalizaion: Evidence from NDF markes, Munich Personal RePEc Archive. Kadılar, C., (2005), SPSS Uygulamalı Zaman Serileri Analizine Giriş, Haceepe Üniversiesi Yayınları, Ankara. Kaiani, Y., Keih, W.H., Mcleod, A.I., (2005), Forecasing nonlinear ime series wih feed-forward meural neworks: a case sudy of Canadian lynx daa, Journal of Forecasing, Vol.24, Issue 2. Kapeanios, G., (2000), Small Sample Properies of he Condiional Leas Squares Esimaor in SETAR Models, Economics Leers, Vol.69, Kapeanios, G., Shin, Y., (2006), Uni roo ess in hree-regime SETAR models, The Economerics Journal, Vol. 9, Issue 2, Khadaroo, A.J., (2005), A hreshold in inflaion dynamics: evidence from emerging counries, Applied Economics, Vol.37, Issue 6. Kınacı, İ., (2005), Lineer Olmayan Zaman Serisi Modelleri, Selçuk Üniversiesi Fen Bilimleri Ensiüsü Dokora Tezi, Konya.

91 82 Kızılsu, S.S., (2000), Doğrusal Olmayan Zaman Dizilerinde ARCH ve GARCH Modelleri ve Uygulaması, Gazi Üniversiesi Fen Bilimleri Ensiüsü Yüksek Lisans Tezi, Ankara. Lai, T.L., Wei, C.Z., (1982), Leas Square Esimaes in Sochasic Regression Models wih Applicaions o Idenificaion and Conrol of Dynamic Sysems, The Annals of Saisics, Vol.10, Lewis, P.A.W., Ray, B., (1997), Modelling Long-Range Dependence, Non-lineariy and Periodic Phenomena in Sea Surface Temperaures Using TSMARS, Journal of he American Saisical Associaion, Vol.92, Li, C.W., Li, W.K., (1996) On a Double Threshold Auoregressive Heeroscedasic Time Series Model, Journal of applied Economerics, Vol.11, Lung, G.M., Box, G.E.P., (1978), On a Measure of a LAck of Fi in Time Series Models, Biomerika, Vol.65, Mak, T.K., Wong, H., Li, W.K., (1997), Esimaion of nonlinear ime series wih condiional heeroscedasic variances by ieraively weighed leas squares, Compuaional Saisics & Daa Analysis, Vol.24, McLeod, A.I., Li, W.K., (1983), Diagnosic Checking ARMA Time Series Models Using Squared Residual Auocorrelaions, Journal of Time Series Analysis, Vol.4, Mongomery, A., Zarnowiz, V., Tsay, R.S., Tiao, G., (1998), Forecasing he US Unemploymen Rae, Journal of he American Saisical Assosicaion, Vol.93, Nargeleçekenler, M., (2004), Euro Kuru Saış Değerindeki Volailienin ARCH ve GARCH Modelleri ile Tahmini, İsanbul Üniversiesi İkisa Fakülesi Mecmuası, Cil 54, Sayı 2, s

92 83 Nelson, D.B., (1991). "Condiional heeroskedasiciy in asse reurns: A new approach", Economerica, Vol. 59, p Pinson, P., Chrisensen, L.E.A., Madsen, H., Sørensen, P.E., Donovan, M.H., Jensen, L.E., (2008), Regime-swiching modeling of he flucuaions of offshore wind generaion, Journal of Wind Engineering and Indusrial Aerodynamics, Vol.96, Issue 12. Sevükekin, M., Nargeleçekenler, M., (2010), Ekonomerik Zaman Serileri Analizi:EViews Uygulamalı, Nobel Yayın Dağıım, Ankara. Srikholm, B., Teräsvira, T., (2006), A sequenial procedure for deermining he number of regimes in a hreshold auoregressive model, Economerics Journal, Vol.9, Tiao, G.C., Box, G.E.P., (1981), Modeling Muliple Time Series wih Applicaions, Journal of he American Saisical Assosicaion, Vol.76, Tong, H. and Lim, K.S., (1980), Threshold Auoregression, Limi Cycles and Cyclial Daa, Journal of he Royal Saisical Sociey, Ser. B, 42, Tong, H., (1978), On a hreshold model, In Paern Recogniion and Signal Processing (C. H. Chen, ed.), Sihoff and Noordhoff, Amserdam. Tong, H., (1990), Non-linear Time Series: A Dynamical Sysem Approach, Oxford Universiy Press, New York. Tong, H., Yeung, I., (1991), On ess for Self-exciing Threshold Auoregressive-Type Non-lineariy in Parially Observed Time Series, Applied Saisics Vol.40, Tsay, R., (1989), Tesing and Modelling Threshold Auogressive Processes, Journal of he American Saisical Associaion, Vol.84,

93 84 Tsay, R.S., (1998), Tesing and Modeling Mulivariae Threshold Models, Journal of he American Saisical Associaion, Vol.93, No:443, Tsay, R.S., (2010), Analysis of Financial Time Series, Johns Wiley & Sons, Inc., Publicaion, Third Ediion, Canada. Waier, L., Richardson, S., (1999), Modelling of an Epidemiological Time Series by a Threshold Auoregressive Model, The Saisician, Vol.44, No:3, Weiss, A.A., (1986), Asympoic Theory for ARCH Models: Esimaion and Tesing, Economeric Theory, Vol.2, No:1, Yadav, P.K., Pope, P.F., Paudyal, K., (1994), Threshold Auoregressive Modelling in Finance: The Price Difference of Equivalen Asses, Mahemaical Finance, Vol.4, Yalçın, Y., (2008), Türkiye deki Finansal Serilerin Oynaklık Yapısı, Gazi Üniversiesi Sosyal Bilimler Ensiüsü Dokora Tezi, Ankara. Yang, X.H., Li, Y.Q., (2012), DNA Opimizaion Threshold Auoregressive Predicion Model and Is Applicaion in Ice Condiion Time Series, Hindawi Publishing Corporaion Mahemaical Problems in Engineering, Vol.2012, Aricle ID , 10 pages, doi: /2012/ Yılancı, V., (2007), Eşik Ooregresif Modellerde Birim Kök Tesi ile Saın Alma Gücü Pariesinin Geçerliliğinin Sınanması, İsanbul Üniversiesi Sosyal Bilimler Ensiüsü Yüksek Lisans Tezi, İsanbul. hp:// hp://evds.cmb.gov.r

94 85 hp://en.wikipedia.org hp://mahworld.wolfram.com