114
Bölüm 12 Ders 12 Karma Kısıtlamalı Doğrusal programlama problemleri 12.1 Alıştırmalar 12 Prof.Dr.Haydar Eş Prof.Dr.Timur Karaçay 1.... 1. Aşağıdaki problemlerde; (i) Aylak, artık ve yapay değişkenleri katarak hazırlık sistemini yazınız. (ii) Hazırlık simpleks tablosunu ve başlangıç simpleks tablosunu yazınız. (iii) Başlangıç simpleks tablosuna anahtar işlemleri uygulayarak en iyi çözümü bulunuz. (iv) Varsa problemin çözümünü bulunuz. 115
116 BÖLÜM 12. DERS 12 a) K (x 1, x 2 ) = 5x 1 + 2x 2 fonksiyonunu x 1 + 2x 2 12 x 1 + x 2 4 b) K (x 1, x 2 ) = 3x 1 + 5x 2 fonksiyonunu 2x 1 + x 2 8 x 1 + x 2 = 6 c) K (x 1, x 2 ) = 4x 1 + 3x 2 fonksiyonunu x 1 + 2x 2 2 x 1 + x 2 4 x 1 + 2x 2 24 ç) K (x 1, x 2 ) = 5x 1 10x 2 fonksiyonunu x 1 + x 2 3 2x 1 + 3x 2 12
12.1. ALIŞTIRMALAR 12 117 2.... Aşağıdaki problemleri BÜYÜK M yöntemi ile çözünüz. a) K (x 1, x 2 ) = 2x 1 x 2 fonksiyonunu x 1 + x 2 8 5x 1 + 3x 2 30 b) K (x 1, x 2 ) = 2x 1 + 5x 2 fonksiyonunu x 1 + 2x 2 18 2x 1 + x 2 21 X 1 + x 2 10 c) K (x 1, x 2, x 3 ) = 10x 1 + 12x 2 + 20x 3 fonksiyonunu 3x 1 + 2x 2 + 2x 3 12 x 1 x 2 + 2x 3 = 6 x 1 + 2x 2 24 ç) K (x 1, x 2 ) = 5x 1 + 7x 2 + 9x 3 fonksiyonunu x 1 x 2 + x 3 20 2x 1 + x 2 + 5x 3 = 35
118 BÖLÜM 12. DERS 12 d) K (x 1, x 2, x 3 ) = 5x 1 + 4x 2 + 3x 1 fonksiyonunu x 1 + 2x 2 + x 3 22 2x 1 + x 2 + x 3 35 x 1 + 2x 2 x 3 10 e) K (x 1, x 2 ) = x 1 + 2x 2 + 5x 3 fonksiyonunu x 1 + 3x 2 + 2x 3 60 2x 1 + 5x 2 + 2x 3 50 x 1 2x 2 + x 3 40 kısıtlamaları altında minimize ediniz. 3.... Aşağıdaki problemleri BÜYÜK M yöntemi ile çözünüz. a) K (x,, x,, x 3 ) = 5x 1 + 10x 2 + 15x 3 fonksiyonunu x 1 + 2x 2 + x 3 22 2x 1 + x 2 + x 3 35 x 1 + 2x 2 x 3 10
12.1. ALIŞTIRMALAR 12 119 4.... b) M(x 1, x 2, x 3 ) = 10x 1 + 40x 2 + 5x 3 fonksiyonunu x 1 + 3x 2 + 6 x 1 + 2x 2 + 3x 3 7 4x 2 + x 3 3 kısıtlamaları altında minimize ediniz. Bir şirket, yeni müşteriler kazanmak için 3 gazeteye en çok 10 adet reklam vererek bir kampanya başlatmak istiyor. Vatan gazetesine verilen her reklam 200 TL ye mal oluyor ve 2000 kişi tarafından okunuyor. Sabah gazetesine verilen her reklam 200 TL ye mal oluyor ve 500 kişi tarafından okunuyor. Akşam gazetesine verilen her ilan da 100 TL ye mal oluyor ve 1500 kişi tarafından okunuyor. Şirket, reklamlarının en az 16000 kişi tarafından okunmasını istiyor. Şirketin programını minimum masrafla gerçekleştirebilmesi için her bir gazeteye kaç adet reklam vermesi gerekir? Minimum gider nedir? 5.... Bundan önceki problemi Akşam gazetesinin 4 ten fazla reklam kabul etmemesi ek koşulunda çözünüz. 6.... Bir gıda şirketi, Maras, İzmir ve İstanbul daki üç fabrikasında kaymaklı ve limonlu dondurma üretiyor. Bir iş saatinde, Maraş taki fabrika, 80 kg kaymaklı, 40 kg limonlu; İzmir deki fabrika, 40 kg kaymaklı, 80 kg limonlu; İstanbul daki fabrika ise 80 kg. kaymaklı ve 80 kg limonlu dondurma üretmektedir. Bir iş saatinde, Maraş taki fabrikanın gideri 280 TL, İzmir deki fabrikanın gideri 300 TL ve İstanbul daki fabrikanın gideri 360 TL dır. Şirket, bağlantıları gereği, her gün en az 1200 kg kaymaklı ve en az 800 kg limonlu dondurma üretmek zorundadır, Depolama sorunları nedeniyle, şirketin günlük toplam üretimi 3000 kg ı geçmemelidir. Bu durumda, şirketin istenilen üretimi gerçekleştirmesi ve giderinin minimum olması için her gün her bir fabrika kaç saat çalıştırılmalıdır? Minimum gider ne olacaktır? 7....
120 BÖLÜM 12. DERS 12 Bir mücevher şirketinin değerli taş işleme atölyesinde elmas, yakut ve zümrüt işlenerek piyasaya sürülüyor. Bu atölyedeki günlük iş gücü, kesim bölümünde en az 6 saat, parlatma bölümünde ise en çok 10 saattir. Bir elmas parçası için kesim bölümünde l saat, parlatma bölümünde 2 saat; bir yakut parçası için kesim bölümünde l saat, parlatma bölümünde l saat ve bir zümrüt parçası için kesim bölümünde l saat, parlatma bölümünde 2 saat çalışma gerekiyor. Ayrıca her bir elmas parçası 300 TL, her bir yakut parçası 150 TL ve her bir zümrüt parçası da 200 TL kâr bırakmaktadır. Şirketin kârının maksimum olması için her tur mücevher parçasından günde kaç adet işlemesi uygun olur? Günlük maksimum kâr nedir? 8.... (Bu problemin sadece matematiksel modelini oluşturunuz.) Köy Okul1 e Okul2 ye A 4 TL 8 TL B 6 TL 4 TL C 3 TL 9 TL Tablo 12.1: Soru:12-8 Üç köyün öğrencileri için iki yatılı bölge okulu yapılıyor. Her bir okulun öğrenci kapasitesi. 200 dür. A köyünün 50, B köyünün 120, C köyünün 180 öğrencisi vardır. Her bir köyden her bir okula bir öğrencinin haftalık taşıma masrafı yandaki tabloda gösterilmiştir. Öğrencilerin okullara dengeli biçimde dağılmasını sağlamak için, ilgililer her bir köyden aynı okula gönderilen öğrenci sayısının o köydeki öğrenci sayısının %40 ından az olmamasını ve %60 mı geçmemesini kararlaştırıyorlar, Bu koşulların sağlanması ve taşıma masrafının minimum olması için her bir köyden her bir okula kaç öğrenci gönderilmelidir? Minimum masraf ne olur?