LÝMÝTTE BELÝRSÝZLÝKLERÝN GÝDERÝLMESÝ Limit iþlemini yaparken deðiþkenin yerine deðerini koyduðumuzda, Örnek + 4 Belirsizliklerin Giderilmesi belirsizliklerinden herhangi biri meydana geliyorsa aþaðýda vereceðimiz yöntemlerle önce fonksiyon belirsizliklerinden kurtarýlýr daha sonra it alýnýr. ) BELÝRSÝZLÝK HALÝ a kesirli fonksiyonun pay ve paydasý çarpanlarýna ayrýlýr ve sadeleþtirme iþlemi yapýlarak it alma iþlemine devam edilir. Örnek Örnek,,,.,, f() f(a) ise g() g(a) + +. * * + + 4 44 * ( + ) ( + ) + + + + + ( )( + ) ( + ) + 4 ( ) + + + + + ( + ) ( + ) + + Örnek 4 Örnek ( + )( ) + ( + 7)( ) + 7.+ bulunur. + 7 9 + 4 + 6 6 + 4 ( ) + 4 + ( ) + ( ) belirsizliði vardýr. + 4 4+ 4 ( + 7) ( + ) ( + 9) + ( + )( ) + ( + 9) ( ) ( ) 9 (9+ 9+ 9) 7 7 dir. 4 yerine deðiþkeni koyduðumuzda % belirsizliði vardýr. Bu haliyle çarpanlarýna da ayrýlmýyor. O halde pay ve paydasýný kökten kurtaracak þekilde geniþlete y ( y)( + y) özdeþliðiden yararlanmalýyýz. 8
( ) ( + ). ( 6) ( + ) 6 ( ) 6 ( 6)( + ) 6 6 9 ( 6) ( + ) 6 + 4 + 4 Örnek 6 9 9 Örnek 8 + m 7 ise m nin deðeri kaçtýr? Verilen ifadenin iti bir reel sayýya eþit olduðuna göre, paydasý sýfýr olan kesrin payýda sýfýr olmalý ve sadeleþmelidir. Buna göre ( )( + ) ( + ) ( ) olduðu bilinmektedir. + m ( )( + ) + m + m + 7 bulunur. (9 )( + ) ( )( + ) (9 )( + ) ( ) Örnek 9 sin cos ( + ) + + 4 + 4 Örnek 7 6 4 6 6 6 4 4 6 6 ( 4) ( 4)( + ) 6 ( 4) ( + ) ( 6 + ) 7 6 sin sin cos cos sin + sin. cos + sin sin cos ( + sin) cos cos ( + sin) cos cos + sin + sin bulunur. + 9
Örnek sin( 9) sin( 9) ( + ). ( ) (+ ) sin( 9). ( + ) 9 sint.( + ) t t. 6 6 bulunur. Uyarý : A olmak üzere belirsizliklerinden biri varsa vardýr denir. belirsizliði Bu tür belirsizlikler dizilerde it konusunda incelenmiþti. Örnek A A,, A f() + ifadesinde, a g( ) + ) BELÝRSÝZLÝK HALÝ + + p() ifadesinin iti araþtýrýlýrken önce p() polinomunun derecesi belirlenir. i) p() in derecesi çift ise; + + + + ii) p() in dercesi tek ise p() +, p() + p() + + + içinde soru çözüldüðünde sonucun ayný olduðunu görürüz. Örnek Örnek ( + + 4) daha fazla açýklamak gerekirse, 4 + + 4 + +. + +.. +
+ içinde soru çözüldüðünde sonucun ayný olduðunu görürüz. Örnek 4 için soru çözüldüðünde sonucun olduðunu görürüz. Sonuç : p a +... q b +... + + + dýr. 4 + 4 + þeklinde bir it alýnýrken aþaðýdaki pratik kural test sorularýnda kullanýlabilir. Bu kural yukarýdaki üç örnek incelendiðinde ortaya çýkan bir sonuçtur. i) p>q ise it 4 + 4 + + Örnek + + + + 8 f( ) 4 + + + + + + f()?, f()? + + +. + + + + + + ( için olduðunu hatýrlayýnýz.) Örnek 6 ±için / ºeklinde bir belirsizlik vard ýr. + + 8 f( ) 4+ ii) pq ise it a dir. b iii) p<q ise it sýfýrdýr. + +. 8. 4+ dir.
Ayrýca için, için, dir. Buna göre, * f( ) * f() + +. 4 +. 8 + + 4+ 8 + + 8 + 4+ + +. 4 + 8 Örnek 4 4 4 4 4 4 + ( )( + ) ( )( + ) 4 ( )( + ) + 4 Örnek () () ( + ) + + + 8 + 4+ 6 ) BELÝRSÝZLÝK HALÝ vardýr. [ ] f() g() itinde belirsizliði i) Ýki ayrý kesirli ifade varsa paydalarý eþitlenerek tek kesir haline getirilir. 6 + ( + )( ) ( + )( ) + (+ )() (+ )() ii) Köklü ifade varsa bunu rasyonel yapacak geniþletmeler yapýlýr. + + iii) Tanjant veya kotanjant ifadeleri varsa, yerine sinüs ve kosinüs cinsinden eþitlikleri yazýlýr. i, ii, iii ifadeleri uygulandýðýnda belirsizliði veya belirsizliklerinden birine dönüþtürülerek it alma iþlemine bu belirsizlikelerde uyguladýðýmýz kurallar uygulanýr. Örnek + + Verilen ifadenin eþleniði ile payýný ve pay dasýný çarparak ifadeyi rasyonel yapalým.
+ + + + + + + + + + Örnek 4 n a m. + m m m a m. m b a + m a dýr. + + + + + + + Uyarý : a + b + c Gerçekten, b c a + b + c a + + a a b b b c a. + + + a 4a 4a a b 4ac b a. + + a 4a itini kýsa yoldan bulma b a + b + c a + dýr. a Örnek + I. Yol: için belirsizliði vardýr. + + + + + ( + ) + + + + + dir. + II. Yol: +. +. dir. b 4ac b + m, n dersek, a 4a + a + b + c a m n + m n a m. + m m için belirsizliði vardýr. +
Örnek 6 + + +.. + bulunur. Belirsizliklerin Giderilmesi 4). BELÝRSÝZLÝK HALÝ a [ ] f() g() itinde deðiþkeni fonksiyonda yerine yazdýðýmýzda. þeklinde bir belirsizlik oluþuyorsa, fonksiyonlardan uygun olaný pay ve paydaya dahil edilerek veya belirsizlik türünden birine dönüþtürülürse bilinen yoldan iti alýnýr. + 4 + + + Örnek. + itini bulunuz. + 4 + + + 4 + + +. ( + + ). + + + Örnek 7 ( ) bulunur. Örnek [ ] ( ).cotan itini bulunuz. tan sin için ºeklinde bir belirsizlikvar. cos cos sin sin sin belirsizliðine dönüþmüþ olur. (cos )(cos + ) sin.(cos + ) cos sin.(cos + ) [ ] ( ).cotan. cos ( ). sin.cos sin.cos sin( ). cos sin(n ). cos. sin sin.(cos + ) sin cos + + Örnek.sin 4
.sin. sin sin sin +. + e. + e. e Örnek O halde; için olduðundan + itini bulunuz. h dönüºümü yapalým. Buna göre; sin sin h h h Örnek + e e. + 7 + + ) BELÝRSÝZLÝK HALÝ i) Bu belirsizlik türü dizilerde it konusunda geniþ bir þekilde anlatýlmýþtýr. Aþaðýdaki özelliklerden yararlanýlarak örnekler yapalým. + e + + + + 4 4 + + + ifadesinde için belirsizliði vardýr, yukarýdaki kural gereðince + 4. 4 8 + e e + ii) ( ) + e Örnek 4 iii) p+ q a.p a + e b b + c + Örnek + +. + + + + + + için belirsizliði vardýr.. 6 + e e +
Örnek için Formül gereðince; Karýþýk Örnekler belirsizliði vardýr. a) + + + 4. e e bulunur. + + + + 4 4 + + + + + + c) 7 7 7h h 7h h 7 7 h 7 d) + + + + + + + + + + + + + + b) + + h ( + h) h h e) / + + + / h / h h + / + + + + 6
ALIÞTIRMALAR 4. + Belirsizliklerin Giderilmesi 6. + +. + 6 7. + +. + (a)a a + a 8. 7 4 a 6 4. 9. + + 7. 8 + 8. + 4 + 7
ALIÞTIRMALAR 4 Belirsizliklerin Giderilmesi. + + + 6. + 4 + 9 +. + ( ) 7. sin.cotan. 8 4 4 6 8..tan.sin 8 6 4. 6 + 9. + + e. + m + + olduðuna göre a nýn deðeri kaçtýr? +. + e 4 4 8