UĞUR DAN SİZE... Enver Yücel. Merhaba Gençler,

Transkript

1 UĞUR DAN SİZE... Merhaba Gençler, Gençliðinizin gerektirdiði olumlu etkinliklerin hiçbirinden uzak kalmadan; spordan, sanattan, kültürel etkinliklerden kendinizi mahrum etmeden çalýþýnýz. Böylece doðru bir geliþim süreci içinde olacaksýnýz. Planlý ve disiplinli bir eðitim-öðrenim çizgisini yakalayýp sürdürdüðünüzde, farklýlaþacaksýnýz. Öne çýkacaksýnýz. Seçkin ve mutlu olacaksýnýz. Baþarý, bir anlamda budur. Biz eðitimcilerin temel görevi, size doðru yöntemleri öðretmek, doðru ve yararlý araçlarý sunmak, geliþim sürecinde sizi adým adým yönlendirerek hedefinize ulaþtýrmaktýr. Bugün Türkiye nin 80 noktasýnda öðretim yapan ve üniversiteye giriþ hazýrlýðýnýn çok saygýn bir adý olan Uður Dershanesi, 968 den beri bu görevi baþarýyla sürdürmektedir. Üniversiteye Uður kapýsýndan giren gençlerin bir kýsmý bugünlerde üniversiteli olmanýn heyecaný içindeyken, bir kýsmý da halen üniversitelerde öðrenim görmektedir. Öðrencilerimizin önemli bir bölümü ise ülkemizin; hatta dünyanýn saygýn aydýnlarý, baþarýlý iþadamlarý, yöneticileri, sanatçýlarý arasýnda çoktan yerlerini aldýlar. Uður Dershanesi nin de içinde yer aldýðý Bahçeþehir Uður Eðitim Kurumlarý nda, Uður dan yetiþen çok sayýda öðretmen, yönetici ve akademisyen öðretim üyesi görev yapmaktadýr. Uður Dershaneleri, ABD ve Çin de üniversiteye giriþ hazýrlýðý alanýnda hizmet vermekte ve dünyanýn öteki ülkelerine de ayný hizmeti taþýmaya hazýrlanmaktadýr. Bu, bir dünya markasý olmaktýr. Kendi alanýmýzda çaðdaþ uygarlýðý yakalamak ve geçmek konusundaki baþarýmýzdan duyduðumuz kývancý, sizinle paylaþýyorum. Elinizdeki dergi, Bahçeþehir Uður Eðitim Kurumlarý na dahil olan Uður Eðitim Pazarlama ve Yayýncýlýðýn bir ürünüdür. Yýl boyunca derginizin size sunacaðý bilgileri titizlikle öðreneceksiniz, Üniversiteye Giriþ Sýnavý sorularýyla örtüþen sorularýný çözeceksiniz, sýnavlarýný kendinize uygulayacaksýnýz. Tek baþýna bir okul olan Uður YGS-LYS Matematik Dergisi sizlere ikinci yýlýnda da baþarýlý ve mutlu bir hazýrlýk dönemi yaþatacaktýr. Gelecek yýllarda sizin baþarýlarýnýzdan da söz edebilmeyi umuyoruz. Amacýmýz ve dileðimiz, bunu saðlamaktýr. Uður a hoþ geldiniz. Enver Yücel Bahçeþehir Uður Eðitim Kurumlarý Kurucusu ve Yönetim Kurulu Baþkaný

2 MATEMATÝK DERGÝSÝ NDEN MERHABA Sevgili Öðrenciler, Matematik ve geometri konularý birbirleri ile baðlantýlýdýr. Bu nedenle ilk konulardan baþlayarak; sýrasýyla bütün konularý çok iyi öðrenmeniz gereklidir. Bir konu iyi kavranýlmadan bu konuya dayanan baþka konularýn anlaþýlmasý zorlaþacaktýr. Örneðin, üslü sayýlar iyi bilinmeden logaritma; özel üçgenler olmadan da dörtgenler ve çemberler tam olarak öðrenilemez. Bir konunun önemini sadece o konudan üniversite sýnavlarýndan çýkan soru sayýsýyla deðerlendirme-yiniz. Örneðin, trigonometri konusundan LYS sýnavýnda soru gelecektir. Ancak limit, türev, integral ve matris gibi konularýndan sorulacak soruda da trigonometri bilgisi gerekebilir. Konularý çok iyi kavramadan test sorularýný çözmeye baþlamayýnýz. Matematik dergisinde konular bol örneklerle açýklanmýþtýr. lü örnekleri okuyup anladýktan sonra kendiniz çözmeye çalýþýnýz. Çözemezseniz, çözümünü inceleyiniz. Bu þekilde konuyu pekiþtirdikten sonra testleri daha kolay çözebileceksiniz. Bu sayýdaki konulardan YGS de matematik, geometri; LYS de ise 9 matematik, geometri olmak üzere toplam 9 soru sorulmuþtur.. sayýdaki matematik ve geometri konularýnýn tümü YGS ve LYS nin ortak konularýdýr. Sevgili gençler, yaþamýnýzda mutluluklar ve gireceðiniz sýnavlarda baþarýlar dileriz. Ýçindekiler... Matematik (YGS ve LYS) Rasyonel ve Ondalýk Sayýlar Konu Testi Kartezyen Çarpým ve Baðýntý Konu Testi... - Fonksiyonlar... - Konu Testi Ýþlem ve Modüler Aritmetik Konu Testi... - Geometri (YGS ve LYS) Üçgende Benzerlik ve Eþlik Konu Testi Açýortay ve Kenarortay Kurallarý Konu Testi Üçgende Alan Konu Testi Uðurlu Sayfa

3 Matematik (YGS ve LYS) Rasyonel ve Ondalık Sayılar Kesir ve Rasyonel Sayý a, b tamsayý ve b 0 ise ifadesine kesir denir. Burada a kesrin payý, b de kesrin paydasýdýr. kesrinin ifade ettiði deðere rasyonel sayý denir. Her tamsayý ayný zamanda bir rasyonel sayýdýr. Örneðin,, 0,, rasyonel sayýlardýr. 7 Toplama ve Çýkarma Ýþlemi Rasyonel sayýlarda toplama ve çýkarma iþlemlerini yaparken paydalar eþit deðilse paydalar eþitlenir, paylar arasýnda toplama veya çýkarma iþlemi yapýlýr. Ortak payda da payda olarak yazýlýr. Örneðin, 0 () + () (6) Basit Kesir ve Bileþik Kesir Payý paydasýndan mutlak deðerce küçük olan kesirlere basit kesir, payý paydasýndan mutlak deðerce büyük ya da eþit olan kesirlere bileþik kesir denir. a, b Z ve b 0 olmak üzere, < < ise, basit kesirdir. Çarpma Ýþlemi Çarpma iþleminde; paylarýn çarpýmý pay, paydalarýn çarpýmý payda olarak yazýlýr. Örneðin, olur Örnek + x a a veya ise, bileþik kesirdir. b b kesri pozitif basit kesir ise x yerine kaç farklý tamsayý yazýlabilir? A) B) C) 0 D) 9 E) 8 + x + x kesri pozitif basit kesir ise 0 < < olur. + x 0 < < 0 < + x < < x < 8 olduðundan x yerine farklý tamsayý yazýlabilir. YANIT: A rasyonel sayýsýnýn; toplama iþlemine göre tersi a ve çarpma iþlemine göre tersi dýr. b Bölme Ýþlemi Bölme iþleminde; bölünen kesir olduðu gibi yazýlýr, bölen kesir ters çevrilerek çarpýlýr. Örneðin, 8 8. :. olur Ýþlemlerde tamsayýlarýn paydasý kabul edilir. Çarpma ve bölme iþlemlerinde tamsayýlý kesirler bileþik kesre çevrilir. Toplama ve çýkarma iþlemleri ise tamsayýlý kesri bileþik kesre çevirmeden de yapýlabilir. Tamsayýlý Kesir a, b, c tamsayý ve c 0 ifadesine tamsayýlý kesir denir. Tamsayýlý kesirler ayný zamanda bileþik kesirdir. Örneðin, dir ve olur. Örneðin, () ( + ) + 6 : 6 7 () :

4 Matematik(YGS ve LYS) Rasyonel ve Ondalık Sayılar Örnek 8. ( 6 iþleminin sonucu kaçtýr? ) Örnek 0 olduðuna göre, x kaçtýr? x A) B) C) D) E) A) B) 8. ( C) D) E) ). ( ) bulunur. YANIT: A 6 x x x olur. YANIT: E Rasyonel Sayýlarda Sýralama Pozitif rasyonel sayýlarýn sýralamasýnda; Paydalar eþit ise, payý büyük olan sayý daha büyüktür. a ve b sýfýrdan farklý tamsayýlar olmak üzere, Paylar eþit ise, paydasý küçük olan sayý daha büyüktür. a b Buradan b a n n a b a b,, olur. b a b a n a, a, a a n olduðu görülür. a a Örnek + : iþleminin sonucu kaçtýr? 7 8 A) B) C) () + () : 6 : D) olur. 8 E) YANIT: D Pay ve paydasý arasýndaki fark ayný olan basit kesirler-de pay ve paydasý büyük olan sayý daha büyüktür. 0 < < gibi Pay ve paydasý arasýndaki fark ayný olan bileþik kesirlerde pay ve paydasý küçük olan sayý daha büyüktür. Örneðin > > gibi 0 Negatif rasyonel sayýlarýn sýralanmasýnda; önce pozitif rasyonel sayý gibi sýralar, sonra sýralamayý ters çeviririz. 9 9 < ise > olur Matematik, sonu olmayan tek insan aktivitesidir. Ýnsanoðlu birgün fizik ve biyolojiye dair her þeyi çözebilir. Ancak matematik ile ilgili her þeyi asla bilemezler. Çünkü konunun kendisi sonsuz, sayýlar sonsuz. Paul Erdörs

5 Rasyonel ve Ondalık Sayılar Matematik(YGS ve LYS) Örnek 7 a, b, c 8 9 olduðuna göre, aþaðýdaki sýralamalardan hangisi doðrudur? A) a < b < c B) c < b < a C) b < a < c D) c < a < b E) a < c < b a () 6 olduðundan;, b 7 8 () 6 ve c 9 () 6 6 Ondalýk Sayýlar Paydasý 0 sayýsýnýn pozitif kuvvetleri ya da 0 sayýsýnýn kuvvetlerine geniþletilebilir olan kesirlerin ifade ettiði sayýlara, ondalýk sayý denir. Örneðin, 6 0,6 0 0,0 00, , ,0 olur. 6 6 < 6 < 6 ve c < a < b olur. YANIT: D Ondalýk sayýlarda, sayýnýn saðýna yazýlan sýfýrlar sayýnýn deðerini deðiþtirmez. Örnek 6 olduðuna göre, aþaðýdakilerden hangisi doðrudur? A) y < x < z B) x < y < z C) x < z < y D) z < y < x E) z < x < y Pay ile paydasý arasýndaki fark eþit olan basit kesirlerden payý büyük olaný daha büyük olduðundan x < y < z dir. YANIT: B 7 0 0,7 ; ,70 ve olduðundan, 0,7 0,70 0,700 olur. Örneðin, 0,0 0, ya da pay ve payda 000 ile çarpýlýrsa; 0,0 0,7 0,0 olur. 0, ,700 Örnek 7 Sayý doðrusu üzerinde ile sayýlarýna eþit uzaklýkta bulunan rasyonel sayý aþaðýdakilerden hangisidir? A) B) 0 a b ve O halde, c d C) ye eþit uzaklýktaki sayý 6 x. ( ).( ) + () () D) 0 0. a b E) c + dir. d bulunur. YANIT: D Örnek 8,, 0, iþleminin sonucu kaçtýr?, A) 0 B) 0, C) 9,9 D) 0, E),, 0,,,,0 0,,, ,9 olur. YANIT: C

6 Matematik(YGS ve LYS) Rasyonel ve Ondalık Sayılar Örnek 9, , iþleminin sonucu kaçtýr? A) B) C) D) E) 0 Örneðin, 0, , , ,78 olur , , Örnek 0,. 0, 8.0,0 0,.0, +. 0,0 0, 0,08 0,0 0,0 0,0 + 0,0 olur. YANIT: C Eðer devreden kýsým 9 ise, 9 un solundaki rakamýn sayý deðeri artýrýlýp devirsiz olarak yazýlýr. Örneðin; 0,9, 7,9 8,,79,8 ve,9, olur. ifadesi bir tamsayý belirttiðine göre, pozitif x sayýsýnýn virgülden sonraki kýsmý aþaðýdakilerden hangisidir? A) 08 B) C) 9 D) 9 E) 999 x in virgülden sonraki kýsmý abc olsun. 0,08 ve x, abc iken 6, a b c, 9 + 0, 0 8, , 0 8, olduðundan x in virgülden sonraki kýsmý 9 dir. YANIT: D Devirli Ondalýk Sayýlar Bazý kesirler ondalýk yazýldýðýnda, ondalýk kýsýmdaki sayýlar belirli bir yerden sonra tekrar ederler. Bu tür sayýlara devirli ondalýk sayý denir ve devreden kýsmýn üzeri bir çizgi ile aþaðýdaki gibi gösterilir. 0, , 9 0, ,7 8,888...,8 gibi. Örnek a, 6, b,6 ve c,6 olduðuna göre, aþaðýdaki sýralamalardan hangisi doðrudur? A) a < b < c B) c < b < a C) a < c < b D) c < a < b E) b < a < c a, b, c, Virgülden sonraki üçüncü basamaða kadar sayýlar aynýdýr. O halde, dördüncü basamaða göre sýralama yapýlabilir. Buradan, a < c < b bulunur. YANIT: C Örnek 0 A) iþleminin sonucu kaçtýr? 0 0 B) 0 C) D) E) Devirli Ondalýk Sayýlarýn Rasyonel Sayýya Çevrilmesi abcd ab a,bcd olur ,0 + 0,00 + 0, ,0... 0, bulunur. YANIT: B 6

7 Konu Testi Matematik(YGS ve LYS). TEST.( + ).( ) işleminin sonucu kaçtır? 7. m, n, p, r birer rakamdır. r m > n > p > r olduğuna göre, büyük değeri kaçtır? m 0 A) 6 9 B) C) 6 p + toplamının en n 7 D) E) 8 A) B) C) D) E) 8. a, b ve c 6 7. : +. işleminin sonucu kaçtır? 9 A) B) C) D) 7 E) 6 olduğuna göre, aşağıdaki sıralamalardan hangisi doğrudur? A) a < b < c B) c < a < b C) a < c < b D) c < b < a E) b < c < a. ( ).( ) işleminin sonucu kaçtır? 9. x 0, y 0 ve z 0 olduğuna göre, aşağıdaki sıralamalardan hangisi doğrudur? A) x < y < z B) x < z < y C) z < y < x D) z < x < y E) y < x < z A) 9 B) 9 C) D) 9 E) a ise 7 ifadesinin a cinsinden değeri nedir? işleminin sonucu kaçtır? A) a B) a C) a D) a + E) a A) B) C) D) E). a + kesri bir basit kesir olduğuna göre, a nın en büyük doğal sayı değeri kaçtır?. ( ).( ).( )...( ) 0 işleminin sonucu kaçtır? A) B) C) 8 D) E) A) B) C) D) E) 6. m negatif bir basit kesirdir. Buna göre, aşağıdakilerden hangisi daima pozitif bir bileşik kesir olur? A) m B) C) + m D) m E) m m. 0 x 0 eşitliğini sağlayan x değeri kaçtır? A) B) C) D) E) 7

8 Matematik(YGS ve LYS) Konu Testi x kesrini tanımsız yapan x değerlerinin toplamı kaçtır? 9. x 0,0 ve y 0, 0 olduğuna göre, x + toplamı kaçtır? y A) 6 B) 60 C) D) E) A) B) C) D) 6 E) , devirli ondalık sayısı n m rasyonel sayısına eşittir.. 0, 008,, m ve n kendi aralarında asal olduğuna göre, m + n toplamı kaçtır? işleminin sonucu kaçtır? A) B) C) 0 D) 8 E) A) B) 7 C) D) E) 9. m 0,0 ve n 0,0. 7, 06,, + 0, 08, 07, işleminin sonucu kaçtır? olduğuna göre, n m ifadesinin değeri kaçtır? A) 0 B) C) D) 0 E) A), B) 7, C) 8, D) 8,8 E),. 0,,, 0 0 a b c 6. a ve b sıfırdan farklı birer rakamdır. ab ab, ab, + ab, ab 0, ab işleminin sonucu kaçtır? eşitliğinde a, b ve c birer pozitif sayı ise aşağıdaki sıralamalardan hangisi doğrudur? A) a < b < c B) c < b < a C) a < c < b D) b < c < a E) b < a < c A) B), C) D) 0, E) 0, m n 8 eşitliğinde n bir pozitif tamsayı olduğuna göre, m sayısının ondalık açılımındaki yüzde birler basamağında bulunan rakam kaçtır? işleminin sonucu aşağıdakilerden hangisine eşittir? A) 0,0 B) 0,0 C) 0,0 D) 0,0 E) 0, A) B) C) D) 7 E) 9 8. Aşağıdaki sayılardan hangisi en büyüktür? A) 0,0 B) 0,0 C) 0,0 D) 0,0 E) 0, işleminin sonucu kaçtır? A) B) C) D) 7 E) 8

9 Konu Testi Matematik(YGS ve LYS). ( ) + ( ) 0 ( ) ( ). f + p f 6 6 p işleminin sonucu kaçtır? 7 A) B) C) D) E) 9 işleminin sonucu kaçtır? A) B) C) 6 6 D) E) 6. a + 0 toplamının sonucu bir tamsayı olduğuna göre, a sayısı aşağıdakilerden hangisi olabilir? A),9 B),0 C) 7,98 D) 9,0 E), ( 06, ).(, ). (0,6) ( 0, ) işleminin sonucu kaçtır? A) 0, B), C) D) E) ,. 80, ,. 6 + işleminin sonucu aşağıdakilerden hangisidir? A) 0 B) 0 C),.0 D) 0 E).0. Yukarıdaki sayı doğrusunda ile 0 arası dört ile arası üç eş bölmeye ayrılmıştır. Buna göre, A ile B arasındaki uzaklık kaç birimdir? 8. A) 6 B) C) D) 7 E) 9 işleminin sonucu kaçtır? A) B) C) D) E) 0, 00,. 00, 0, işleminin sonucu kaçtır? A),8 B), C),08 D), E),8, 0, 9. 0, 0, işleminin sonucu kaçtır? A) 8,8 B) 8, C) 7, D) 6, E),. < < 6 olduğuna göre, yerine kaç farklı tam sayı yazılabilir? 0. f p : f p işleminin sonucu aşağıdakilerden hangisidir? A) B) C) D) E) 6 8 A) 7 B) 6 C) D) E) - C - A - E - D - C 6- E 7- D 8- B 9- A 0- C - B - D - C - A - B 6- E 7- C 8- C 9- A 0- B - B - C - C - D - A 6- C 7- D 8- E 9- A 0- A - A - D - C - A - B 9

10 Kartezyen Çarpım ve Bağıntı Matematik (YGS ve LYS) Sýralý Ýkili a ve b elemanlarýnýn (a, b) þeklinde yazýlmasýyla elde edilen elemana sýralý ikili denir. (a, b) (c, d) ise a c ve b d olmalýdýr. Örneðin; (x, x + y) (x +, y ) ise x x + x 6 ve x + y y 6 + y y y olur. Kartezyen Çarpým Kartezyen Çarpýmýn Grafiði A x B nin grafiði, A x B kümesine ait elemanlarýn (noktalarýn) analitik düzlemde iþaretlenmesiyle elde edilir. Örneðin; A {,, } ve B {, } ise A x B nin grafiðini çizelim. Önce A x B yi bulalým. A x B {(, ), (, ), (, ), (, ), (, ), (, )} A x B kümesi 6 elemanlý olduðundan; bu 6 nokta analitik düzlemde iþaretlenerek A x B nin grafiði aþaðýdaki gibi çizilir. Birinci bileþenleri A kümesinden ikinci bileþenleri B kümesinden alýnarak elde edilen tüm sýralý ikililerin kümesine A ile B nin kartezyen çarpýmý denir ve A x B þeklinde gösterilir. A x B {(x, y)i x A ve y B} olur. Örneðin; A {, } ve B {a, b, c} kümeleri için, A x B {(, a), (, b), (, c), (, a), (, b), (, c)} B x A {(a, ), (a, ), (b, ), (b, ), (c, ), (c, )} A x A {(, ), (, ), (, ), (, )} olur. A x B B x A dýr. Ancak s(a x B) s(b x A) olur. Örnek A {,, 6} ve B {y I y, y R} olduðuna göre A x B nin elemanlarýný dýþarýda býrakmayan en küçük çemberin çapý kaç birimdir? A) B) C) D) E) Kartezyen Çarpýmýn Özelikleri:. s(a x B) s(b x A) s(a). s(b). A x (B C) (A x B) (A x C). A x (B C) (A x B) (A x C). A x (B \ C) (A x B) \ (A x C) olur. Örnek B [, ] olduðundan B kümesinin sonsuz elemaný vardýr. Bundan dolayý A x B kümesi de sonsuz elemanlý olur. A x B kümesi; birinci bileþenleri, veya 6, ikinci bileþenleri [, ] aralýðýndaki herhangi bir reel sayý olan sýralý ikililerden oluþmaktadýr. Bu durumda A x B nin grafiði uç noktalarý (, ) ve (, ), (, ) ve (, ), (6, ) ve (6, ) olan doðru parçasýndan oluþmaktadýr. A {,,, 6, 7}, B {6, 7, 8, 9}, C {a, b, c, d} olduðuna göre, (A x C) (B x C) kümesinin eleman sayýsý kaçtýr? A) 6 B) 8 C) 0 D) E) 8 A B {,,, 6, 7, 8, 9} ve s(a B) 7 dir. (A x C) (B x C) (A B) x C olduðundan s[(a x C) (B x C)] s[(a B) x C] s(a B). s(c) 7. 8 bulunur. YANIT: E A x B ye ait noktalarý dýþarýda býrakmayan en küçük çemberin çapýnýn uzunluðu, grafikteki birbirinden en uzak iki nokta arasýndaki uzaklýktýr. Bu noktalar; (, ) ile (6, ) veya (, ) ile (6, ) dir. Bu durumda istenen çemberin çapý: birim bulunur. YANIT: E 0

11 Kartezyen Çarpım ve Bağıntı Matematik(YGS ve LYS) Örnek A {x I x < 6, x R} ve B {y I < y, y R} olduðuna göre, A x B yi kartezyen koordinat düzleminde gösterelim. A kümesini A [, 6) ve B kümesini B (, ] þeklinde yazabiliriz. A ve B kümeleri sonsuz elemanlý olduðundan A x B de sonsuz elemanlýdýr. Baðýntý A x B kümesinin her bir alt kümesine A dan B ye tanýmlý bir baðýntý denir. β A x B ise β, A dan B ye tanýmlý bir baðýntýdýr. Bu baðýntý, β : A B þeklinde gösterilir. A x A nýn herbir alt kümesine A dan A ya tanýmlý bir baðýntý veya kýsaca A kümesinde tanýmlý bir baðýntý denir. A x B nin herbir alt kümesi A dan B ye bir baðýntýdýr. s(a) n ve s(b) m ise s(a x B) n. m dir. n. m elemanlý bir kümenin n.m alt kümesi olduðundan, A dan B ye n.m tane baðýntý tanýmlanabilir. A [, 6) kümesi yatay, B (, ] kümesi düþey eksenden alýnýr. Birinci bileþeni ve ikinci bileþeni olan nokta (her ikisi de dahil köþeli parantez) olduðu için içi dolu; diðerleri ise içi boþ olarak iþaretlenir. Ýçi dolu olan noktanýn komþularý düz (sürekli) çizgi; içi boþ olan noktalarýn arasý ise kesikli çizgi olur. Sonra elde edilen dikdörtgenin içi taranarak grafik tamamlanýr. Örnek Örnek A ve B kümeleri için, s(a) ve s(b) olduðuna göre, A dan B ye kaç deðiþik baðýntý tanýmlanabilir? A) 8 B) 6 C) 6 D) 0 E) 6 s(a x B) s(a). s(b). 8 dir. A x B, 8 elemanlý bir küme olduðundan, 8 6 tane alt kümesi vardýr. A x B nin herbir alt kümesi A dan B ye tanýmlý bir baðýntý olduðu için, A dan B ye 6 tane baðýntý tanýmlanabilir. YANIT: E Örnek 6 Pozitif reel (gerçel) sayýlar kümesinde a + b 0 için baðýntýsý tanýmlanmýþtýr. Þekilde A x B nin grafiði verilmþitir. Buna göre, A B, A B, A \ B ve B \ A kümelerini bulalým. eþitliðinde m sayýsý kaçtýr? A) B) C) D) E) A x B nin grafiðinden; A (, ] ve B (, ] bulunur. Sayý doðrusunda gösterilen A ve B kümelerine göre, A B (, ] A B (, ] A \ B (, ] B \ A (, ] olur.. 8 β, ve + 0. m m m β, m + m + m + m 0 olduðundan m 0m + 9m m bulunur. + m YANIT: A

12 Matematik(YGS ve LYS) Kartezyen Çarpım ve Bağıntı Örnek 7 Yansýma Özeliði A {,,, } kümesinde tanýmlý β {(a, b)i a, b yi tam böler} baðýntýsýnýn eleman sayýsý kaçtýr? A) 6 B) 8 C) 0 D) E) β baðýntýsý, birinci bileþeni, ikinci bileþenini tam bölen sýralý ikililerden oluþmaktadýr. β {(, ), (, ), (, ), (, ), (, ), (, ), (, ), (, )} olduðundan s(β) 8 dir. β baðýntýsýnýn þema ve grafiði aþaðýdaki gibidir. YANIT: B β, A kümesinde tanýmlý bir baðýntý olsun. Her x A için (x, x) β ise β yansýyan bir baðýntýdýr. Örneðin; A {,, } kümesinde tanýmlý; β {(, ), (, ), (, ), (, ), (, )} baðýntýsý yansýyandýr. β {(, ), (, ), (, ), (, )} baðýntýsý A olduðu halde (, ) β olduðundan, yansýyan deðildir. Simetri Özeliði β, A kümesinde tanýmlý bir baðýntý olsun. Her (x, y) β için (y, x) β ise β simetrik bir baðýntýdýr. Örneðin; A {a, b, c, d} kümesinde tanýmlý; β {(a, c), (b, b), (b, d), (c, a), (d, b)} baðýntýsý simetriktir. β {(a, b), (b, c), (c, c), (b, a), (d, d)} baðýntýsý (b, c) β olduðu halde (c, b) β olduðundan simetrik deðildir. Bir Baðýntýnýn Tersi A kümesinden B kümesine tanýmlý bir β baðýntýsý verilsin. β baðýntýsýna ait tüm sýralý ikililerin birinci ve ikinci bileþenlerinin yer deðiþtirmesiyle elde edilen baðýntýya, β baðýntýsýnýn tersi denir ve β ile gösterilir. Bu durumda β, B den A ya tanýmlý bir baðýntý olur. β A x B ise β B x A olup β {(y, x) I (x, y) β} dýr. Örneðin; β {(a, b), (b, b), (b, c), (c, a)} ise β {(b, a), (b, b), (c, b), (a, c)} olur. β simetrik ise β β dir. Ters Simetri Özeliði β, A kümesinde tanýmlý bir baðýntý olsun. (x y iken) Her (x, y) β için (y, x) β ise β ters simetrik bir baðýntýdýr. Birinci bileþeniyle, ikinci bileþeni ayný olan (x, x) ikililerinin bulunmasý baðýntýnýn ters simetri özeliðini bozmaz. Örneðin; A {a, b, c, d} kümesinde tanýmlý; β {(a, b), (b, b), (b, c), (c, a)} baðýntýsý ters simetriktir. β {(a, c), (a, d), (c, b), (d, a), (d, c)} baðýntýsý (a, d) β Örnek 8 olduðu halde (d, a) β olduðundan ters simetrik deðildir. R de tanýmlý, β {(x, y) I x y } baðýntýsý veriliyor. Buna göre β β aþaðýdakilerden hangisidir? Geçiþme Özeliði β, A kümesinde tanýmlý bir baðýntý olsun. A) {(, )} B) {(, )} C) {(, )} D) {(, )} E) {(, )} β baðýntýsýnda x ile y nin yerleri deðiþtirilerek β baðýntýsý bulunur. β {(x, y) I y x } olduðundan, x y ve y x ise x y bulunur. Buna göre, β β {(, )} olur. YANIT: D Her [(x, y) β ve (y, z) β] iken (x, z) β ise β geçiþken bir baðýntýdýr. Örneðin; A {a, b, c, d} kümesinde tanýmlý; β {(a, c), (b, b), (c, d), (a, d)} baðýntýsý geçiþkendir. β {(a, b), (b, b), (c, a)} baðýntýsý (c, a) β ve (a, b) β olduðu halde (c, b) β olduðundan geçiþken deðildir.

13 Konu Testi Matematik(YGS ve LYS). x, y R olmak üzere TEST (x +, y ) (x +, y + ) eşitliğini sağlayan (x, y) sıralı ikilisi aşağıdakilerden hangisidir? A) (, ) B) (6, ) C) (, 6) D) (, 6) E) (, ) 6. A, B ve C kümeleri için, A x B {(a, ), (a, ), (a, ), (b, ), (b, ), (b, )} A x C {(a, x), (a, ), (b, x), (b, )} olduğuna göre, A x (B C) kümesinin eleman sayısı kaçtır? A) 0 B) 9 C) 8 D) 7 E) 6. A {xi IxI, x Z} B {xi < x, x Z} olduğuna göre, A x B nin eleman sayısı kaçtır? A) B) C) 8 D) 0 E) 7.. A x C {(a, ), (a, ), (b, ), (b, ), (c, ) (c, )} B {r, s} olduğuna göre, A x B kümesi aşağıdakilerden hangisidir? A) {(, r), (, s), (, r), (, s)} B) {(r, ), (s, ), (r, ), (s, )} C) {(a, r), (a, s), (b, r), (b, s), (c, r) (c, s)} D) {(r, a), (s, a), (r, b), (s, b), (r, c) (s, c)} E) {(a, r), (a, s), (r, b), (s, b), (c, r)} Şekildeki A x B grafiğine göre, aşağıdakilerden hangisi yanlıştır? A) A B (, ) B) A \ B [, 6] C) B \ A [, ] D) A (B \ A) [, 6] E) A B (, 6). s(a), s(a x B) 6 ve s(a x C) 8 olduğuna göre, s(b x C) kaçtır? A) 6 B) 9 C) D) E) 6. A {xi x, x Z} B {yi y <, y R} 8. A {,, 0,, } ve B {0,,,, } kümeleri veriliyor. Buna göre, dik koordinat düzleminde (A B) x (A B) kartezyen çarpımının elemanlarını dışarıda bırakmayan en küçük dikdörtgenin alanı kaç birimkaredir? A) B) C) 8 D) E) olduğuna göre, A x B nin grafiği aşağıdakilerden hangisidir? 9. β(x, y) x y bağlantısı veriliyor. β(x, ) β(, ) olduğuna göre, x kaçtır? A) 6 B) C) 0. A {,,,, } ve B {x, y, z} kümeleri veriliyor. D) B den A ya kaç tane bağıntı yazılabilir? E) A) B) 8 C) 0 D) E)

14 Matematik(YGS ve LYS) Konu Testi. β {(x, y) : x y, x ve y Z} 8. Doğal sayılar kümesinde tanımlı, şeklinde tanımlanıyor. Buna göre, b bağıntısının eleman sayısı kaçtır? A) B) C) D) E) β {(x, y) I x + y 8, x, y N} β {(x, y) I x + y 7, x, y N} bağıntıları için β β kümesinin eleman sayısı kaçtır? A) 0 B) 9 C) 8 D) 7 E) 6. A {,,, } kümesi veriliyor. β : A A ve β {(x, y) I x + y } olduğuna göre, b bağıntısının kaç elemanı vardır? A) B) C) 6 D) 7 E) 0 9. N de tanımlanan β {(x, y) I (a ).x + (a + 6).y } bağıntısının simetrik olması için a kaç olmalıdır? A) B) C) D) E). A {0,, 9, 0, 8} kümesinde tanımlı β açılan bağıntısı, β {(x, y) I x böler y} biçiminde tanımlanıyor. Buna göre, b bağıntısı kaç elemanlıdır? A) B) 7 C) 8 D) 0 E) 0. R de tanımlı β {(x, y):.x + ( + a).y 0} yansıyan bir bağıntı olması için a kaçtır?. A {,, {}, {, }} ve B {a, b} kümeleri veriliyor. A) 7 B) C) D) E) Buna göre, A dan B ye tanımlanabilecek en çok elemanlı bağıntı sayısı kaçtır? A) 8 B) 9 C) 6 D) 7 E) 0. A {,, } kümesinde tanımlı β bağıntısının yansıyan olup, simetrik ve ters simetrik olmaması için β bağıntısı en az kaç elemanlı olmalıdır? A) B) C) D) 6 E) 7. A {,,, } ve B {, 6} kümeleri veriliyor. A dan B ye tanımlı elemanlı bağıntıların kaç tanesinde, (, ) ikilisi eleman olarak bulunur? A) 70 B) 6 C) D) 8 E) 0. A {,, } kümesinde tanımlı β {(, ), (, ), (, ), (, ), (, ), (, )} bağıntısında yansıma, simetri, ters simetri ve geçişme özelliklerinden kaç tanesi vardır? 6. α {(x, y): x + y ve x, y R} bağıntısı veriliyor. α bağıntısının elemanlarından biri (t +, t ) olduğuna göre, t kaçtır? A) B) C) D) E) A) 0 B) C) D) E). Kartezyen koordinat düzleminde; lx.yl bağıntısı veriliyor. 7. Z de tanımlı α {(x, y) I x y 7 ve x, y Z} bağıntısı veriliyor. α α kümesi aşağıdakilerden hangisidir? A) {( 7, 7)} B) {( 7, 7)} C) {(7, 7)} D) {(7, 7)} E) {(7, 8)} Buna göre, bu bağıntıyı sağlayan kaç tane (x, y) tamsayı sıralı ikilisi vardır? A) B) 6 C) 8 D) E) 6 - C - D - C - C - E 6- C 7- E 8- D 9- E 0- E - C - C - E - D - C 6- D 7- D 8- C 9- E 0- D - D - D - D

15 Matematik (YGS ve LYS) Fonksiyonlar Fonksiyon A kümesinin herbir elemanýný B kümesinin bir ve yalnýz bir elemanýyla eþleþtiren baðýntýlara A dan B ye tanýmlý fonksiyon denir ve f : A B þeklinde gösterilir. A, fonksiyonun taným kümesi ve B deðer kümesidir. A dan B ye tanýmlý bir f baðýntýsýnýn fonksiyon olabilmesi için aþaðýda verilen iki þartý saðlamasý gerekir.. A kümesinde görüntüsü olmayan (eþleþmeyen) eleman kalmamalýdýr.. A kümesindeki herhangi bir eleman B kümesindeki birden fazla elemanla eþleþmemelidir. Örneðin; A {a, b, c} ve B {b, e, h} kümeleri verilsin. A dan B ye tanýmlanan f {(a, b), (c, h), (d, h)} baðýntýsýnýn bir fonksiyon olup olmadýðýný inceleyelim. Örnek A {a, b, c} kümesinde tanýmlý baðýntýlardan kaç tanesi fonksiyon deðildir? A) 96 B) 8 C) D) 76 E) 8 A dan A ya tanýmlý baðýntýlara A kümesinde tanýmlý baðýntý dendiðini biliyoruz. A x A kümesinin herbir alt kümesi A kümesinde tanýmlý bir baðýntýdýr. s(a x A) s(a). s(a). 9 dur. 9 elemanlý bir kümenin 9 tane alt kümesi olduðundan A kümesinde toplam tane baðýntý tanýmlanabilir. Bu baðýntýlarýn sadece 7 tanesi fonksiyon olduðundan geriye kalan baðýntýlarýn 7 8 tanesi fonksiyon olmayan baðýntýdýr. YANIT: B Örnek f (a) b f (c) h A {,,, } ve f : A R olmak üzere f fonksiyonu f(x) x x kuralý ile veriliyor. f (d) h Buna göre, f fonksiyonunun görüntü kümesinin elemanlarýnýn toplamý kaçtýr? Yukarýda verilen f baðýntýsý bir fonksiyondur. f {(a, b), (c, h), (d, h)} olur. f: A B olmak üzere Taným kümesi A {a, c, d} Deðer kümesi B {b, e, h} Görüntü kümesi f (A) {b, h} dir. Örneðin; A {,, } ve B {a, b, c, d} kümeleri verilsin. A dan B ye tanýmlanan A) 0 B) 8 C) 6 D) E) f( ) ( ).( ) 8 f(). f(). f(). f(a) {8,, } olduðundan görüntü kümesinin elemanlarýnýn toplamý 8 + ( ) + 0 dir. YANIT: A f {(, d), (, a)} ve g {(, c), (, a), (, b), (, d)} baðýntýlarýnýn birer fonksiyon olup olmadýklarýný inceleyelim. Örnek f : A R ye tanýmlý bir f fonksiyonu f(x) x kuralý ile veriliyor. A dan B ye s(b) s(a) tane fonksiyon tanýmlanabilir. Örneðin; elemanlý bir kümeden elemanlý bir kümeye 8 tane farklý fonksiyon tanýmlanabilir. f(a) (, ] olduðuna göre, A kümesi aþaðýdakilerden hangisidir? A) [, ) B) (, ) C) [, ) D) (, ] E) (, ] f fonksiyonu; x i, x ile eþleþtirdiðinden x in görüntüsü x dir. < x < x > x olduðundan A [, ) bulunur. YANIT: C

16 Matematik(YGS ve LYS) Fonksiyonlar Örnek x + f x + olduðuna göre, f() kaçtýr? x A) B) C) 8 D) E) Örnek 7 f(x + ) x.f(x) + eþitliðini saðlayan f fonksiyonu veriliyor. f(7) 6 olduðuna göre, f() kaçtýr? x + x x + ifadesi e eþitlenirse, x Verilen eþitlikte x yerine 9 yazýlýrsa f(). 9 + bulunur. x 9 olur. YANIT: A A) B) C) D) E) 6 Verilen eþitlikte, x yerine önce daha sonra da yazalým. f(7). f() + 6. f() + f() 7 f(). f() + 7. f() + f() bulunur. YANIT: A Örnek f(x x ) x 6x + olduðuna göre, f() kaçtýr? A) B) 7 C) 8 D) 0 E). yol: x x x x 6 dýr. Verilen eþitlikte x x yerine 6 yazýlýrsa f(x x ) (x x) + f(). 6 + bulunur.. yol: f(x x ) x 6x + yazýlýrsa f(x x ) (x x ) + x x yerine a yazýlýrsa f(a) a + olur. Buradan, f(). + bulunur. YANIT: A Fonksiyon Çeþitleri Bire Bir Fonksiyon Taným kümesindeki her bir elemaný deðer kümesindeki farklý bir elemanla eþleþtiren fonksiyonlara bire bir veya fonksiyon denir. f: A B fonksiyonu bire bir ise s(a) s(b) dir. Örten Fonksiyon Görüntü kümesi, deðer kümesine eþit olan fonksiyonlara örten fonksiyon denir. Buna göre, deðer kümesinde açýkta eleman kalmýyorsa fonksiyon örtendir. Örten olmayan fonksiyonlara içine fonksiyon denir. O halde, A dan B ye tanýmlý f fonksiyonu; f(a) B ise örten, f(a) B ise içine fonksiyondur. f: A B fonksiyonu örten ise s(a) s(b) dir. f: A B fonksiyonu bire bir ve örten ise s(a) s(b) dir. Örnek 6 Her x reel sayýsý için Örneðin, f(x + ) x + f(x) eþitliðini saðlayan f fonksiyonu veriliyor. f() olduðuna göre, f() kaçtýr? A) B) C) 0 D) 8 E) 6 Verilen eþitlikte, x yerine önce daha sonra da yazalým. f( + ). + f() f() f( + ). + f() f() + 0 olur. YANIT: B 6

17 Fonksiyonlar Matematik(YGS ve LYS). s(a) n, s(b) m ve n m ise A dan B ye m! (m n)! tane bire bir fonksiyon tanýmlanabilir.. s(a) s(b) n ise A dan B ye n! tane bire bir ve örten fonksiyon tanýmlanabilir. Örneðin; s(a), s(b) 7 ve s(c) ise, 7! 7! A B ye 80 tane bire bir fonksiyon, (7 )!! A C ye! tane bire bir ve örten fonksiyon tanýmlanabilir. a 0 olmak üzere, f(x) ax + b biçimindeki birinci dereceden fonksiyonlara doðrusal fonksiyon denir. f: R R, f(x) ax + b fonksiyonu bire bir ve örtendir. Sabit Fonksiyon Taným kümesinin her bir elemanýný deðer kümesindeki ayný elemana eþleyen fonksiyona sabit fonksiyon denir. f: A B fonksiyonunda A kümesindeki her x elemaný için f(x) c ise f sabit fonksiyondur. f(x) ve g(x) birer sabit fonksiyondur. Örneðin; f(x) (a + ) x + b.x x + b a fonksiyonunun sabit fonksiyon olmasý için; f(x) (a + ).x + (b ).x + b a 0 0 a + 0 a ve b 0 b olmalýdýr. f(x) fonksiyonunda a ve b alýnýrsa, f(x). ( ) 7 sabit fonksiyonu bulunur. Örnek 8 f(x) doðrusal fonksiyonu için, f() ve f() olduðuna göre, f() kaçtýr? A) B) C) D) E) 7 f(x) ax + b in sabit fonksiyon olmasý için, cx + d olmalýdýr. Bu sabit fonksiyonun deðeri de, f(x) dir. f(x) doðrusal fonksiyon olduðu için, f(x) a x + b biçimindedir. f() a + b ve f() a + b eþitliklerinden, a ve b bulunur. O halde f(x) x+ dir. Buradan f(). + 7 bulunur. YANIT: E Birim Fonksiyon Taným kümesindeki her bir elemaný yine kendisine eþleyen fonksiyona birim fonksiyon denir. f: A A, f(x) x Örnek 9 x için, f(x) 6x k 9x + 6 fonksiyonu sabit fonksiyon olduðuna göre, k kaçtýr? A) 8 B) 6 C) D) E) 6x k 6 k f(x) sabit fonksiyon ise k olur. 9x YANIT: C kuralý ile tanýmlanan f fonksiyonu birim fonksiyondur. Birim fonksiyon genellikle I ile gösterilir. I (x) x dir. Örneðin; f(x) (a + ) x + b fonksiyonunun birim fonksiyon olmasý için; Bir Fonksiyonun Tersi f: A B fonksiyonu verilsin. f fonksiyonunun tersi f ile gösterilir ve f : B A, f {(y, x) I (x, y) f} olur. f (x) (a + ).x + b 0 a + a ve b 0 b olmalýdýr. f(x) fonksiyonunda a ve b alýnýrsa, f(x) ( + ).x +. f(x) x birim fonksiyonu bulunur. Bir f fonksiyonunun tersinin de yine bir fonksiyon olmasý için, bire bir ve örten olmasý gerekir. Bire bir ve örten olmayan fonksiyonlarýn tersleri fonksiyon deðildir. f nin taným kümesi f in deðer kümesi ve f nin deðer kümesi f in taným kümesidir. (a, b) f iken (b, a) f olduðundan, f(a) b ise f (b) a olur. 7

18 Matematik(YGS ve LYS) Fonksiyonlar Örnek 0 Örnek A {a, b, c, d} kümesinden B {,,, } kümesine tanýmlý aþaðýdaki fonksiyonlardan hangisinin tersi de bir fonksiyondur? A) f {(a, ), (b, ), (c, ), (d, )} B) f {(a, ), (b, ), (c, ), (d, )} C) f {(a, ), (b, ), (c, ), (d, )} D) f {(a, ), (b, ), (c, ), (d, )} E) f {(a, ), (b, ), (c, ), (d, )} Bire bir ve örten olmayan fonksiyonlarýn tersi fonksiyon olmadýðýndan A, B, C ve E seçeneklerinde verilen fonksiyonlarýn tersleri fonksiyon deðildir. Sadece D seçe-neðinde verilen f fonksiyonu bire bir ve örten olduðu için f ün tersi bir fonksiyondur. YANIT: D x < ve f(x) x + 6x olduðuna göre, f (x) aþaðýdakilerden hangisidir? A) 9 x + 9 B) x + 9 C) x + D) 6 x + E) + x + f(x) x + 6x y x + 6x x y + 6y Bu eþitlikte eþitliðin sað tarafýný tamkare yapmak için eþitliðin her iki yanýna eklersek, x + y + 6y + 9 x + (y + ) olduðundan y + + x + y + x + dir. x < için f (x) x + bulunur. YANIT: C Bir Fonksiyonun Tersinin Bulunmasý y f(x) kuralý ile verilen bir f fonksiyonunun tersini bulmak için her x yerine y ve her y yerine x yazýlýp y yalnýz býrakýlýr. Örneðin, f(x) x + ise f fonksiyonunun tersini bulalým; y f(x) olduðundan önce f(x) yerine y yazarsak, y x + eþitliði elde edilir. Bu eþitlikte x yerine y ve y yerine x yazýnca, x x y + y olur. Buradan f x (x) bulunur. Örnek f(x ) x+ olduðuna göre, f () kaçtýr? A) B) 8 C) D) E) 7 f(a) b ise f (b) a olduðundan, f(x ) x+ ise f ( x+ ) x olur. x+ eþitliðinden x bulunur. x yazýlýrsa, f ( ). f () 8 olur. YANIT: B Örnek ax f: R \ {} R \ {}, f (x) fonksiyonu veriliyor. x b f fonksiyonu bire bir ve örten ise, a + b kaçtýr? A) 6 B) 7 C) 8 D) 9 E) 0 f(x) ax + b ise f (x) x b a olur. R \ {}, f(x) in taným kümesi olduðundan 8 Örneðin; f(x) x ise f (x) f(x) ise f x 8 (x) olur. f(x) ax + b ise f (x) cx + d Örneðin; f(x) x + x ise f (x) dx + b cx a x + x olur. olur. ax x deðeri f (x) nin paydasýný sýfýr yapmalýdýr. x b. b 0 b 6 olur. f bx : R \ {} R \ {}, f (x) dýr. x a R \ {}, f (x) in taným kümesi olduðundan x deðeri f (x) bx x a. a 0 a olur. Buradan a + b bulunur. nýn paydasýný sýfýr yapmalýdýr. YANIT: E

19 Fonksiyonlar Matematik(YGS ve LYS) Fonksiyonlarýn Bileþkesi f: A B ve g: B C ye tanýmlý iki fonksiyon olsun. Burada f nin deðer kümesi, g nin taným kümesidir. f fonksiyonu, A kümesinin elemanlarýný B kümesinin elemanlarýyla ve g fonksiyonu, B kümesinin elemanlarýný C kümesinin elemanlarýyla eþleþtirmektedir. Sonuçta A kümesinin elemanlarý f ve g fonksiyonlarýyla C kümesinin elemanlarýyla eþleþmiþ olur. A kümesinin elemanlarýný, C kümesinin elemanlarýna eþleþtiren yeni fonksiyona g ile f fonksiyonlarýnýn bileþkesi denir ve gof þeklinde gösterilir. g bileþke f diye okunur. Örnek f(x) mx 6 ve (fof)(x) x 8 olduðuna göre, m aþaðýdakilerden hangisidir? A) B) C) D) E) f(x) mx 6 ise (fof)(x) m.(mx 6) 6 (fof)(x) m. x 6m 6 olur. (fof)(x) x 8 olduðundan, m. x 6m 6 x 8 olur. Buradan, m ve 6m 6 8 eþitlikleri bulunur. 6m 6 8 m olur. YANIT: E (gof): A C ye tanýmlý olup, (gof)(x) g(f(x)) tir. (gof)() g(f()) g() (gof)() g(f()) g() 7 (gof)() g(f()) g(8) (gof)() g(f()) g() 7 bulunur. Örnek (fog)(x) g(x) + 7 olduðuna göre, f(x ) aþaðýdakilerden hangisidir? A) x + B) x + 6 C) 6x D) 6x + E) 6x + Burada, f ile g nin yaptýðý eþleþme ile gof nin yaptýðý eþleþmenin ayný olduðu görülmektedir. Örneðin, f(x) x ve g(x) x + fonksiyonlarý için (fog)(x) ve (gof)(x) fonksiyonlarýný bulalým. (fog)(x) f(g(x)) g(x) + 7 olduðundan g(x) yerine a yazýlýrsa, f(a) a + 7 olur. Burada, a yerine x yazýlýrsa f(x ) (x ) + 7 6x + bulunur. YANIT: D (fog)(x) f(g(x)) (gof) (x) g(f(x)) f(x + ) g(x ) (x + ) (x ) + x + x + 8 x + Genel olarak (fog)(x) (gof)(x) tir. Ancak bazý fonksiyonlar için, fog gof olabilir. Örnek 6 f(x) x + 8 ve g(x) x + olduðuna göre, (fog ) () deðeri kaçtýr? A) B) C) D) E) Bileþke Fonksiyonun Özelikleri. (fog)oh fo(goh) fogoh. foi Iof f (I: birim fonksiyon). fof f of I. (f ) f. (fog) g of g(x) x + g (x) x olduðundan g () olur. (fog )() f [g ()] f( ).( ) + 8 olarak bulunur. YANIT: B 9

20 Matematik(YGS ve LYS) Fonksiyonlar Örnek 7 (fog)(x) 6x 7 ve g(x) x+ Örnek 9 f(x) x ve g(x) x + x olduðuna göre, f(x) fonksiyonu aþaðýdakilerden hangisidir? A) x B) x C) x D) x + 6 E) x (fog)og fo(gog ) fo I f dir. g(x) x+ ise g (x) x olur. [(fog)og ] (x) (fog) (g (x)) olduðuna göre, (g of) (x) eþitliðini saðlayan x deðeri kaçtýr? A) B) C) D) E) (g of)(x) g (f(x)) eþitliðinden f(x) g() yazýlabilir. + Buradan x ve x bulunur.. YANIT: B [fo(gog x )] (x) (fog) ( ) x (f o I)(x) 6 7 f(x) x 0 bulunur. YANIT: E Permütasyon Fonksiyon A dan A ya tanýmlanan bire bir ve örten fonksiyonlarýn her birine permütasyon fonksiyon denir. A {a, b, c, d} kümesi verilsin. Örnek 8 (fog)(x) 6x 7 ve f(x) x olduðuna göre, g(x) fonksiyonu aþaðýdakilerden hangisidir? A) x B) x + C) x 6 D) x E) x (fog)(x) 6x 7 f[g(x)] 6x 7 dir. f(x) x f[g(x)].g(x) olduğundan,.g(x) 6x 7 f: A A permütasyon fonksiyonu aþaðýdaki þekilde tanýmlansýn. Yukarýda verilen f fonksiyonu f {(a, c), (b, a), (c, d), (d, b)} dir. f {(c, a), (a, b), (d, c), (b, d)} olduðundan, a b c d f olur. b d a c f fonksiyonu þeklinde yazýlýr..g(x) 6x + 6 g(x) x + olur. YANIT: B Örnek 0 Sayý Birleme Oyunu ise (fog) fonksiyonunu bulalým. Herhangi bir doðal sayý tutun. Sayý çift ise ile bölün, tek ise ile çarpýp ekleyin. Her yeni elde edilen sayýya ayný kuralý uygulayarak iþlem devam edildiðinde belirli bir yerden sonra elde edilir. Örneðin sayýmýz 7 olsun çift : 6 çift, 6 : tek,. + 0 çift 0 : 0 çift, 0 : 0 çift, 0 : tek,. + 6 çift, 6 : 8 çift, 8 : çift, : çift, : olur. bileþke yazýlýrken ikinci fonksiyondan baþlanýr. g: ve f: ise fog: g: ve f: ise fog: g: ve f: ise fog: g: ve f: ise fog: olur. 0

21 Fonksiyonlar Matematik(YGS ve LYS) Örnek Örnek a f d b a c c d b ve gof a c b d c a d b f {(, ), (, ), (, 8)} ve g {(, ), (, 7), (, ), (8, )} olduðuna göre, aþaðýdakilerden hangisi doðrudur? ise g fonksiyonunu bulalým. a b c d f olduðundan b d c a A) f g {(, ), (, 6)} B) f + g {(, 9), (, )} C) f. g {(, 0), (, ), (, 6)} D). f {(8, 0), (6, 8), (0, 8)} E) (gof) () 7 a (gof)of c b c d a a b c d g f p olur. d b a c d a o b b b d c c d a Fonksiyonlarda iþlemler f ve g nin taným kümelerinin ortak elemanlarý üzerinde yapýlabilir. Burada, f fonksiyonunun (, ), (, 8) ve g fonksiyonunun (, ), (, ) ikilileri üzerinde iþlemler yapýlabilir. Fonksiyonlarda Ýþlemler f: A R ve g: B R fonksiyonlarý verilsin.. (f + g): A B R ve (f + g) (x) f(x) + g(x). (f g): A B R ve (f g) (x) f(x) g(x). (f. g): A B R ve (f. g) (x) f(x). g(x). ( ): A B R ve ( ) (x), [g(x) 0]. (c. f): A R ve (c. f) (x) c. f (x) dir. ( c R) Örnek f(x) x + 8 ve g(x) x olduðuna göre, aþaðýdakilerden hangisi yanlýþtýr? A) (f + g) (x) x + 6 B) (g f) (x) x 0 C) (f. g) (x) 6x + 0x 6 D) (f g) () E) ( ) () 6 A) f g {(, ), (, 8 )} {(, ), (, 6)} B) f + g {(, +. ), (, 8 +. )} {(, 9), (, )} C) f.g {(,. ), (, 8. )} {(, 0), (, 6)} D). f {(,. ), (,. 8)} {(, 6), (, )} E) (gof) () g[f()] g() 7 olduðundan E seçeneði doðrudur. Örnek f(x) x, x < 6 x +, 6 x < 0 x, 0 x olduðuna göre, (fofof)() deðeri kaçtýr? YANIT: E A) 6 B) 8 C) 9 D) 0 E) < 6 f(). olduðundan (fofof) () f{f [f()]} f{f()} dir. 0 f() 8 olduðundan f{f()} f(8) dir. 6 8 < 0 f(8) bulunur. YANIT: C A) (f + g) (x) (x + 8) + (x ) x + 6 B) (g f) (x) (x ) (x + 8) x 0 C) (f. g) (x) (x + 8). (x ) 6x + 0x 6 D) (f g) (). f(). g(). (. + 8) (. ) f(). + 8 E) ( ) () olduðundan g(). E seçeneði yanlýþtýr. YANIT: E Fonksiyonun Grafiði Bir fonksiyonun elemanlarýna, analitik düzlemde karþýlýk gelen noktalarýn kümesine bu fonksiyonun grafiði denir. y f(x) fonksiyonun grafiði üzerinde P(a, b) noktasý verilsin. Bunun anlamý; f(a) b veya f (b) a dýr.

22 Matematik(YGS ve LYS) Fonksiyonlar Örnek Örnek 7 Þekilde, y f(x) fonksiyonunun grafiði verilmiþtir. (fof)(x) olduðuna göre, x kaçtýr? A) B) C) D) E) y f(x) fonksiyonunun grafiði A(, 0) ve B(0, ) noktalarýndan geçtiði için f( ) 0 ve f(0) dir. (fof)(x) f[f(x)] f(x) 0 olmalýdýr. 0 Buradan, x x bulunur. YANIT: D Þekilde, f(x) ve g(x) fonksiyonlarýnýn grafikleri verilmiþtir. Buna göre, A) deðeri kaçtýr? B) C) 0 D) E) Grafiðe göre, f(), f() 0, g() ve g() tür. g() olduðundan, (fog) () f[g()] f() 0 dýr. g() + (fog)() + 0 Buradan, bulunur. f() YANIT: B Örnek 6 Örnek 8 Þekilde, y f(x) fonksiyonunun grafiði verilmiþtir. (fof)( 7) + f(0) Buna göre, deðeri kaçtýr? f ( ) A) B) C) D) E) Þekilde, f(x) ve g(x) x fonksiyonunun grafikleri verilmiþtir. Buna göre, [f o g o f] (0) deðeri kaçtýr? A) B) C) 0 D) E) 8 A( 7, ) noktasýna göre, f( 7) olduðundan (fof) ( 7) f[f( 7)] f() dir. C(, 0) noktasýna göre, f() 0 olduðundan, (fof) ( 7) f[f( 7)] f() 0 olur. B(0, ) noktasýna göre, f(0) ve D(6, ) noktasýna göre, f ( ) 6 olduðundan, (fof)( 7) + f(0) 0 + f ( ) 6 bulunur. YANIT: B f(0) 8 olduðundan, [f o g o f] (0) f {g [f(0)]} f [g (8)] dir. g(x) x ise g (x ) x g (8) olur. Buradan, f[g (8)] f() 0 olduðu için, (f o g of)(0) 0 bulunur. YANIT: C

23 Konu Testi Matematik(YGS ve LYS) TEST. A {x I x < 7 ve x Z} dir. f: A R, f(x) x fonksiyonunun görüntü kümesi kaç elemanlıdır? 7. f(x) 6 x + x+ fonksiyonunun tanım aralığı aşağıdakilerden hangisidir? A) x B) x 6 C) x D) x E) x A) B) 6 C) 7 D) 8 E) 0. f: A B, bire bir ve örten bir fonksiyondur. f(x) x ve B {,, 0, 7} olduğuna göre, A kümesi aşağıdakilerden hangisidir? A) {,, 0, } B) { 8,, } C) {0,, } D) {, 0,, } E) {,, 0, } 8. f: R {} R {} kümesinde tanımlı mx + f(x) x+ n fonksiyonu bire bir ve örtendir. Buna göre, m + n toplamı kaçtır? A) B) C) D) E). A {,, } ve B {a, b, c} kümeleri veriliyor. Buna göre, A dan B ye (A B) tanımlanan aşağıdaki bağıntılardan hangisi bir fonksiyondur, ancak tersi bir fonksiyon değildir? A) {(, a), (, c), (, b), (, c)} B) {(, c), (, a), (, b)} C) {(, b), (, c), (, a)} D) {(, a), (, b), (, c)} E) {(, c), (, a), (, c)} 9. f(x) x + x + olduğuna göre, f( x) f(x ) fonksiyonu aşağıdakilerden hangisidir? A) x B) x C) 0 D) x E) x 0. f(x ) + f(x + ) x +. f( x) m.x + n fonksiyonu veriliyor. f(x) fonksiyonu birim fonksiyon olduğuna göre, m + n toplamı kaçtır? olduğuna göre, f() değeri kaçtır? A) B) C) D) E) 6 A) B) C) 0 D) E). f(x) (a ).x + (b + ).x + a b fonksiyonu sabit bir fonksiyon olduğuna göre, f(a + b) kaçtır? A) B) 0 C) D) E) mx fx () x sabit bir fonksiyon olduğuna göre, m + f(m) toplamı kaçtır? A) 6 B) C) D) 0 E). f(x x ) x 6x + olduğuna göre, f() değeri kaçtır? A) B) C) D) E). fx ( ) x + x x olduğuna göre, f() değeri kaçtır? A) 7 B) 9 C) D) E) 8

24 Matematik(YGS ve LYS) Konu Testi. f(x) x fonksiyonu veriliyor. 9. f(x + ) f(x) + x fonksiyonu veriliyor. Buna göre, f(x) fonksiyonunun f(x + ) cinsinden eşiti aşağıdakilerden hangisidir? A).f(x + ) + B).f(x + ) C).f(x + ) D).f(x + ) + E).f(x + ) + f() olduğuna göre, f() değeri kaçtır? A) B) C) 8 D) E) 0. f: R R, f(x + ) f(x) +. fx () x x olduğuna göre, f( x ) fonksiyonunun f(x) cinsinden ifadesi aşağıdakilerden hangisidir? olduğuna göre, f(6) f() farkı kaçtır? A) B) 8 C) D) E) 6 A) f(x) B) fx () D) f(x) E) f(x) C) fx (). x.f(x) (x ).f(x ) fonksiyonu veriliyor. f() olduğuna göre, f() değeri kaçtır?. f(x) x olduğuna göre, f(x + ) ifadesinin f(x) cinsinden eşiti aşağıdakilerden hangisidir? A).f(x) B) [f(x)] C) 9.f(x) D) f(x) E) f(x) + 9 A) B) C) D) 88 E)..( f ) + fx ( ) x x olduğuna göre, f() değeri kaçtır? A) B) C) D) E) 6. f(n) n fonksiyonu veriliyor. n! f(n + ) k. f(n) olduğuna göre, k aşağıdakilerden hangisine eşittir? A) n + D) n + B) n + E) n C) n..f(x ) f( x) + x olduğuna göre, f() değeri kaçtır? A) B) 0 C) D) E) 7. f(x) + f(x ) 6x + 7 olduğuna göre, f() değeri kaçtır? A) B) 8 C) 6 D) E) 8. f(x + ).f(x) ve f() olduğuna göre, f() değeri kaçtır? A) B) C) D) 0 E) 0 8 x. xf.( ) x+ f( ) x olduğuna göre, f() değeri kaçtır? 6 A) B) C) D) 6 E) - C - D - E - D - E 6- A 7- C 8- E 9- C 0- C - A - C - D - A - C 6- B 7- A 8- E 9- E 0- D - A - B - E - D

25 Konu Testi Matematik(YGS ve LYS). x, y R {0} olmak üzere f(x + y) f(x). f(y) TEST 7. f(x) x ve g(x) x olduğuna göre, f[g()] g[f()] kaçtır? A) B) 6 C) 0 D) 9 E) olduğuna göre, f() ise f() kaçtır? A) B) 6 C) 8 D) E) 6 8. (fof) (x) 9x + 8 olduğuna göre, f() değeri aşağıdakilerden hangisi olabilir?. x, y R {} olmak üzere, f(x. y) f(x) + f(y) A) 7 B) C) D) 7 E) 8 olduğuna göre, f() ise f(8) kaçtır? A) B) 0 C) 8 D) 7 E) 9. f(x) x ve (fog)(x) 6x olduğuna göre, g() değeri kaçtır? A) 8 B) 7 C) 6 D) E). f(x + ) x olduğuna göre, f() + f () toplamı kaçtır? A) B) 0 C) D) 7 E) 9 0. g (x) x ve (fog)(x) 0x + olduğuna göre, f() değeri kaçtır? A) B) C) D) E) x + x +. f( ) x x olduğuna göre, f () değeri kaçtır? A) B) C) D) E). (fog)(x). g(x) + olduğuna göre, f (7) değeri kaçtır? A) B) C) D) E) 6. f(x) bir doğrusal fonksiyondur. f() ve f () olduğuna göre, f() değeri kaçtır? A) 6 B) C) D) E) 8. g(x ) (gof) (x) olduğuna göre, f() + f () toplamı kaçtır? A) 8 B) 6 C) D) E) 6. f: (, ] [, ) f(x) x 6x + olduğuna göre, f (6) değeri kaçtır? A) 6 B) C) 0 D) E) x, x # 0. fx () * x, x > 0 olduğuna göre, (fofof)( ) ifadesinin değeri kaçtır? A) B) C) D) E) 6

26 Matematik(YGS ve LYS) Konu Testi. f {(, ), (, ), (, ), (, )} g {(, ), (, ), (, ), (, )} olduğuna göre, (fog) () + (f. g) () işleminin sonucu kaçtır? A) 6 B) 8 C) 9 D) E) 9.. f f p ve g f p olduğuna göre, gof aşağıdakilerden hangisidir? A) f p B) f p C) f D) f p E) f p p Şekilde grafiği verilen y f(x) fonksiyonu ile ilgili aşağıdakilerden hangisi yanlıştır? A) Tanım kümesi [, 6] dır. B) Görüntü kümesi [, ] tir. C) x < aralığında bire-birdir. D) < x 6 aralığında bire-birdir. E) < x aralığında bire-birdir. 6. A {0,,,, } kümesi üzerinde tanımlanan f f p ve g f 0 0 p permütasyon fonksiyonları için f[g ()] değeri kaçtır? Şekilde y f(x) ve y g(x) fonksiyonlarının grafikleri verilmiştir. A) 0 B) C) D) E) y f(x) doğrusal bir fonksiyon olduğuna göre, (f og)() + g () işleminin sonucu kaçtır? 7. Şekilde y f(x) ve y g(x) fonksiyonlarının grafikleri verilmiştir.. A) B) 0 C) D) E) 6 Buna göre, (fog)() (gof)() işleminin sonucu kaçtır? A) 6 B) C) 0 D) E) (fofof)(x ) olduğuna göre, x kaçtır? Şekilde y f(x) fonksiyonunun grafiği verilmiştir. A) B) C) D) E) Şekilde y f(x + ) fonksiyonunun grafiği verilmiştir. Buna göre, f() + f (0) işleminin sonucu kaçtır? A) B) C) 0 D) E) - E - A - E - C - D 6- D 7- A 8- E 9- B 0- E - A - B - B - C - E 6- C 7- A 8- B 9- D 0- E - C

27 Matematik (YGS ve LYS) İşlem ve Modüler Aritmetik Ýþlem A x A kümesinden B kümesine tanýmlý her fonksiyona, A kümesinde tanýmlý bir ikili iþlem veya kýsaca iþlem denir. Ýþlemler, fonksiyonlarý göstermek için kullanýlan f, g, h gibi harfler yerine, genellikle,,, o, gibi sembollerle gösterilir. Örneðin, f: N x N Z ye tanýmlý, f(x, y) x y + kuralý ile verilen f fonksiyonu, x y x y + biçiminde gösterilir. f(, ). + veya Örnek b a + 8b þeklinde tanýmlanmýþtýr. a Buna göre, A) a iþleminin sonucu kaçtýr? B) C) D) E) a ve b b b a + 8b iþlemine göre, a olur.. + tür. Sonuç olarak f fonksiyonu ( iþlemi) taným kümesindeki (, ) ikilisini deðer kümesindeki elemanýyla eþleþtirmektedir bulunur. Örnek YANIT: E Örnek Pozitif tamsayýlar kümesi üzerinde her a, b için; Gerçel (reel) sayýlar kümesi üzerinde iþlemi, a b a b b iþlemi tanýmlanmýþtýr. Buna göre, ( ) iþleminin sonucu kaçtýr? A) 6 B) 69 C) 76 D) 78 E) 79 þeklinde tanýmlanmýþtýr. Buna göre, ( ) ( ) iþleminin sonucu kaçtýr? A) 0 B) C) 8 D) E) 6 Önce parantez içindeki iþleminin sonucu bulunur. iþleminin tanýmýndan,. 6 tür. O halde, ( ) olur. Buradan, bulunur. YANIT: B > olduðundan + 6 dýr. < olduðundan. 6 dýr. Bu iki eþitlikten ( ) ( ) 6 6 olur. 6 6 olduðu için bulunur. YANIT: B Örnek Tamsayýlar kümesi üzerinde her x, y için, x y x + y xy iþlemi tanýmlanmýþtýr. 7 m olduðuna göre, m kaçtýr? Örnek x y x. y x. y ve x y x.y x iþlemleri veriliyor. (a ) a 6 olduðuna göre, a kaçtýr? A) B) C) D) E) iþlemine göre eþitliðin iki tarafý ayrý ayrý bulunursa. +. ve 7 m. 7 + m 7m 6m olur. Buradan, 6m m bulunur. YANIT: C A) B) C) D) E) 6 a a. a a olduðundan, (a ) a 6 (a) a 6 dýr. (a) a (a). a a. a a olduðundan, a 6 a bulunur. YANIT: A 7

28 Matematik(YGS ve LYS) İşlem ve Modüler Aritmetik Örnek 6 Dik koordinat düzleminin noktalarý üzerinde bir iþlemi, (a, b) (c, d) (ac bd, ad + bc) þeklinde tanýmlanýyor. Buna göre, (, ) (x, y) (7, ) eþitliðini saðlayan (x, y) ikilisi aþaðýdakilerden hangisidir? A) (, ) B) (, ) C) (, ) D) (, ) E) (, ) iþleminin deðiþme özeliði olduðundan, her a ve b gerçel sayýlarý için a b b a dýr. Verilen eþitlikte b a yerine a b yazýlýrsa, a b a + b (a b) olur. bulunur. + Bu eþitlikten, ( ) sonucu elde edilir. YANIT: A (, ) (x, y) (7, ) eþitliðinde (x y, y + x) (7, ) olduðundan x y 7 ve y + x bulunur. Bu iki denklemin ortak çözümü yapýlýrsa x ve y olur. Buna göre, (x, y) ikilisi (, ) bulunur. YANIT: A Ýþlemin Özelikleri. Kapalýlýk Özeliði, A kümesinde tanýmlý bir iþlem olsun. Her x, y A için (x y) A ise, A kümesi iþlemine göre kapalýdýr.. Birleþme Özeliði, A kümesinde tanýmlý bir iþlem olsun. Her x, y, z A için, x (y z) (x y) z ise iþleminin birleþme özeliði vardýr. Toplama ve çarpma iþlemlerinin birleþme özeliði vardýr. Çýkarma ve bölme iþlemlerinin birleþme özeliði yoktur. Ýki doðal sayýnýn toplamý daima bir doðal sayý olduðundan, doðal sayýlar kümesi toplama iþlemine göre kapalýdýr. Ýki doðal sayýnýn farký her zaman bir doðal sayý olmayacaðý için, doðal sayýlar kümesi çýkarma iþlemine göre kapalý deðildir.. Deðiþme Özeliði, A kümesinde tanýmlý bir iþlem olsun. Her x, y A için x y y x ise iþleminin deðiþme özeliði vardýr.. Birim (Etkisiz) Eleman, A kümesinde tanýmlý bir iþlem olsun. Her x A için, x e e x x eþitliðini saðlayan bir e A varsa, e elemanýna iþleminin birim (etkisiz) elemaný denir. Bir iþlemin birim elemaný varsa, bir tanedir. Toplama iþleminin birim elemaný 0 (sýfýr), çarpma iþleminin birim elemaný dir. Çýkarma ve bölme iþlemlerinin birim elemaný yoktur. Toplama ve çarpma iþlemlerinin deðiþme özeliði vardýr. Çýkarma ve bölme iþlemlerinin deðiþme özeliði yoktur. Örneðin, Örnek 8 a b a + b + a. b + 6 iþlemi veriliyor. a b a + b.a.b iþleminin deðiþme özeliði vardýr. b a b + a.b.a olduðundan, a b b a dýr. Örnek 7 Gerçel sayýlar kümesi üzerinde deðiþme özeliði olan, a b a + b (b a) iþlemi tanýmlanmýþtýr. Buna göre, ( ) iþleminin sonucu kaçtýr? A) B) C) D) E) Buna göre, iþleminin birim elemaný kaçtýr? A) B) C) D) E) iþleminin deðiþme özeliði olduðu için a e a eþitliðinden birim eleman bulunabilir. a e a a + e + a. e + 6 a e( + a) 6 a 6 a ( + a) e + a + a bulunur. YANIT: B 8

29 İşlem ve Modüler Aritmetik Matematik(YGS ve LYS) Örnek 9 a b a + b a. b iþlemi veriliyor. Bu iþleme göre, in tersi kaçtýr? A) B) C) D) E). Bir Elemanýn Tersi, A kümesinde tanýmlý bir iþlem ve e, iþleminin birim elemaný olsun. Her x A için, x x x x e eþitliðini saðlayan bir x A varsa, x elemanýna x in iþlemine göre tersi denir. x ifadesi üslü sayýlardaki gibi anlamýna gelmez. Bir iþleme göre bir elemanýn tersi varsa, bir tanedir. Bir iþleme göre, birim elemanýn tersi daima kendisidir. e e dir. Toplama iþlemine göre, x in tersi x dir. Çarpma iþlemine göre (x 0 için) x in tersi dir. Bir iþleme göre, herhangi bir elemanýn tersini bulmak için önce o iþlemin birim elemanýný bulmak gerekir. a e a a + e a.e a e( a) a e bulunur. Örnek a b a + b ab iþlemi veriliyor. iþlemine göre, tersi kendisine eþit olan elemanlarýn toplamý kaçtýr? A) B) C) D) E) Önce iþleminin birim elemanýný bulalým. a e a a + e ae a e( a) a a e bulunur. a a a e olduðunu biliyoruz. Tersi kendisine eþit olan eleman a ise a a dýr. Öyleyse a a e olmalýdýr. a + a a. a a 6a + 0 (a ) (a ) 0 a veya a olur. ve nin tersi kendisine eþit olduðundan, + tür. YANIT: D 6. Yutan Eleman, A kümesinde tanýmlý bir iþlem olsun. Her x A için x m m x m eþitliðini saðlayan bir m A varsa, m ye iþleminin yutan elemaný denir. Bir iþlemin yutan elemaný varsa, bir tanedir. Bir iþlemin yutan elemaný varsa, yutan elemanýn bu iþleme göre tersi yoktur. Çarpma iþleminin yutan elemaný sýfýrdýr. Toplama, çýkarma ve bölme iþlemlerinin yutan elemaný yoktur. in iþlemine göre tersini ile gösterelim bulunur. Örnek 0 a b a + b iþlemi veriliyor. YANIT: E Örnek x + y xy + x y iþlemi veriliyor. Buna göre, iþleminin yutan elemaný kaçtýr? Buna göre, a eþitliðinde a kaçtýr? A) B) C) D) E) iþleminin birim elemaný e olsun. iþleminin deðiþme özeliði olduðu için; x x e ve a e a dýr. a eþitliðin iki tarafý ile iþleme girdi. a e olduðundan a e a a + olur. YANIT: A A) B) C) iþleminin yutan elemaný m olsun. D) E) x + m xm+ x m m m x m xm + 0 x + m( + x) 0 (x + ). ( m) 0 m bulunur. YANIT: D 9

30 Matematik(YGS ve LYS) İşlem ve Modüler Aritmetik Ýþlem Tablosu A {0,,,, } kümesi üzerinde her a, b A için a b a. b çarpýmýnýn ile bölümünden elde edilen kalan biçiminde tanýmlanan iþleminin tablosunu yapalým. Tabloda iþleminin sonucunu bulmak için, baþlangýç sütunundan ile baþlangýç satýrýndan elemaný alýnarak kesiþtikleri eleman bulunur. Buna göre, dir. Ýþlem Tablosunun Özelikleri A kümesinde tanýmlý bir iþleminin tablosundaki tüm elemanlar A kümesine aitse, A kümesi bu iþleme göre kapalýdýr. A {0,,,, } kümesi, iþlemine göre kapalýdýr. iþleminin tablosunda bir x elemanýnýn kendisi ile n defa iþlem yapýlma durumu x n ile gösterilir. Bu tabloya göre, olduðundan Örnek olarak tanýmlanýr. ( ) olur. Birim eleman e olduðundan dir. O halde, ( ) olur. e birim eleman ise e n e dir. e olduðundan n olur A {a, b, c, d, e} kümesinde iþlemi, tablodaki gibi tanýmlanýyor. (c d ) (a x) e iþleminin tablosundaki tüm elemanlar köþegene göre simetrikse, iþleminin deðiþme özeliði vardýr. Tablo, köþegene göre simetrik olduðundan, iþleminin deðiþme özeliði vardýr. ise x aþaðýdakilerden hangisidir? A) a B) b C) c D) d E) e iþleminin tablosunda (eðer varsa) baþlangýç satýrýyla ayný olan satýrla, baþlangýç sütunuyla ayný olan sütunun kesiþtiði yerdeki eleman iþleminin birim elemanýdýr. Bu örnekte birim eleman dir. Tabloda baþlangýç satýrýyla ayný olan satýr ve baþlangýç sütunuyla ayný olan sütunun kesiþtiði yerdeki eleman b olduðundan iþleminin birim elemaný b dir. iþleminin birim elemaný e olduðundan ise ve olur. iþleminin tablosunda, tümü ayný elemanlardan oluþan bir satýr ile bir sütun varsa, bu satýr ile sütunun kesiþtiði yerdeki eleman, iþleminin yutan elemanýdýr. Bu örnekte yutan eleman 0 (sýfýr) dýr. c c c d, a c ve d d b olduðundan (c d ) (a x) e (d d ) (c x) e b (c x) e c x e x d bulunur. YANIT: D 0

31 İşlem ve Modüler Aritmetik Matematik(YGS ve LYS) Örnek Pazartesi gününden 0 gün sonraki gün hangi gündür? A) Cumartesi B) Pazar C) Salý D) Çarþamba E) Perþembe Modüler Aritmetik x, y, k, m Z ve m > olmak üzere, Ýþleminde x in m ye bölümünden kalan y ise m modülüne göre x ile y denktir. denir. Bu denklik, x y (mod m) þeklinde yazýlýr. Örneðin, 9 8 (mod ) olduðundan, 8 x (mod ) denkliðinde x + k dýr. (mod ) de veya (Z / ) de e denk sayýlarýn kümesi, x {...,, 7,,, 8,,...} olarak yazýlýr. 8 Bir hafta 7 gün olduðundan, her 7 günde bir ayný güne denk gelir. x y veya 0 (mod 7) olduðundan 0 gün hafta + gün olur. hafta sonra tekrar pazartesine gelir. gün arttýðýndan pazartesinden sonra gün sayarsak; salý, çarþamba olur. Yani pazartesinden 0 gün sonraki gün çarþambadýr. m k Örnek.x + x + (mod 7) olduðuna göre, x in en küçük doðal sayý deðeri kaçtýr? A) 6 B) C) D) E) x + x + (mod 7) x (mod 7) x + 7 (mod 7) x 6 (mod 7) x (mod 7) Örnek sayýsýnýn 7 ile bölümünden kalan kaçtýr? A) 0 B) C) D) E) sayýsýnýn 7 ile bölümünden kalan x ise x (mod 7) olur. 79 (mod 7) olduðundan, denklem 008 x (mod 7) þekline dönüþür. YANIT: E (mod 7) (mod 7) (mod 7) 6 (mod 7) (mod 7) (mod 7) (mod 7) (mod 7).. 0 (mod 7) 6 (mod 7).. (mod 7) Periyot 6 dýr. Çünkü 7 olup tekrar baþa dönüyor (mod 7) olduðundan, sayýsýnýn 7 ile bölümünden kalan dir. YANIT: C YANIT: D Örnek 7 k + x (mod 0) ve k Z + Modüler Aritmetikte Özellikler x, y, a, b, m Z ve m > olmak üzere,. x y (mod m) ve a b (mod m) ise x + a y + b (mod m) ve x. a y. b (mod m) dir.. x y (mod m) ve c Z ise x + c y + c (mod m) ve x. c y. c (mod m) dir.. x y (mod m) ve n N ise x n y n (mod m) dir. olduðuna göre, x in en küçük doðal sayý deðeri kaçtýr? A) 0 B) C) D) 6 E) 8 (mod 0) (mod 0) 8 (mod 0) Periyot olduðundan, k + 8 x (mod 0) bulunur. 6 (mod 0) (mod 0) YANIT: E

32 Matematik(YGS ve LYS) İşlem ve Modüler Aritmetik Örnek 8 6 ( mod m) denkliðinde m nin iki basamaklý kaç farklý deðeri vardýr? A) 6 B) C) D) E) 6 (mod m) 6 + m. k dýr. (k Z) 60 Buradan, m. k 60 k eþitliði bulunur. m Bu eþitlikte, m nin 0,,, 0, 0 ve 60 olmak üzere iki basamaklý 6 farklý deðeri vardýr. YANIT: A Örnek 79 sayýsýnýn birler basamaðýndaki rakam kaçtýr? A) 8 B) 7 C) 6 D) E) Bir sayýnýn birler basamaðýrndaki rakam, 0 ile bölümünden kalana eþit olduðundan sorunun cevabý; 79 x (mod 0) denkleminin çözümüdür. (mod 0) olduðundan, x (mod 0) dur. (mod 0) 9 (mod 0) 7 (mod 0) (mod 0) Periyot olduðundan, 79 7 x (mod 0) bulunur. Örnek x (mod 6) x aþaðýdakilerden hangisine denktir? A) 0 B) C) D) E) Örnek YANIT: B sayýsýnýn virgülden sonraki 0. basamaðýndaki rakam kaçtýr? (mod 6) (mod 6) (mod 6) (mod 6) (mod 6) (mod 6) (mod 6) (mod 6) olduðundan, x (mod 6). + x (mod 6) 7 x (mod 6) x (mod 6) dýr. Örnek 0 Bir asker günde bir nöbet tutmaktadýr. YANIT: E A) B) C) D) 6 E) 7 0 (mod ) olduðundan devreden kýsmýn. sýrasýndaki rakamý virgülden sonraki 0. rakamdýr. YANIT: C Örnek n 8 (mod 9) denkliðini saðlayan n nin üç basamaklý en küçük doðal sayý deðeri kaçtýr? Ýlk nöbetini salý günü tuttuðuna göre, 8. nöbetini hangi gün tutar? A) Salý B) Çarþamba C) Cuma D) Pazar E) Pazartesi Ýlk nöbetini salý günü tuttuðuna göre, geriye 8 7 nöbet kalmýþtýr. günde bir nöbet tuttuðuna göre, 8. nöbetini gün sonra tutacaktýr. 68 (mod 7) olduðundan (Çarþamba, Perþembe, Cuma, Cumartesi, Pazar) pazar günü tutacaktýr. YANIT: D A) 0 B) 0 C) 0 D) 06 E) 08 (mod 9) 7 (mod 9) 8 (mod 9) (mod 9) (mod 9) 6 (mod 9) Periyot 6 ve 8 (mod 9) olduðundan, 6k + n (mod 9) ve n 6k + olur. k 7 için n nin üç basamaklý en küçük deðeri, n bulunur. YANIT: C

33 Konu Testi Matematik(YGS ve LYS) TEST. Reel sayılarda işlemi a b a + b a.b şeklinde tanımlanıyor. Buna göre, ( )( ) işleminin sonucu kaçtır? A) B) C) D) E) 7. R {0} kümesinde işlemi 0 n m + n m şeklinde tanımlanıyor. Buna göre, 8 işleminin sonucu kaçtır? A) B) C) 7 D) 9 E). R de işlemi a b a a.b şeklinde tanımlanıyor. x olduğuna göre, x kaçtır? A) B) C) D) E) 8. Pozitif reel sayılarda işlemi x y x y şeklinde tanımlanıyor. Buna göre, 9 işleminin sonucu kaçtır? A) B) C) 0 D) E). R {0} kümesinde ve işlemleri m n + m n ve x y x y şeklinde tanımlanıyor. Buna göre, ( 6) işleminin sonucu kaçtır? A) B) C) D) E). R de işlemi Ebob(,), xy x # y x y * Ekok(,), xy x > y olarak tanımlanıyor. Buna göre, 8 ( 8) işleminin sonucu kaçtır? A) B) C) D) 6 E). Reel sayılarda ve işlemleri a b a.b + a + b m n (m ) + n şeklinde tanımlanıyor. Buna göre, ( ) işleminin sonucu kaçtır? A) B) C) 7 D) 9 E) 0 6. R {0} kümesi üzerinde işlemi x y x y olarak tanımlanmıştır. Buna göre, ( 6) işleminin sonucu kaçtır? A) B) C) D) E) 9. Dik koordinat düzleminin noktaları üzerinde bir işlemi (a, b) (c, d) (a.c b, b.d c) şeklinde tanımlanıyor. Buna göre, (, ) (, ) işleminin sonucu aşağıdaki sıralı ikililerden hangisidir? A) (6, ) B) (, ) C) (, ) D) (, ) E) (, ) 0. Reel sayılarda tanımlı ve işlemleri a b a. b + a + b m n m. n n şeklinde tanımlanıyor. (x ) ( ) 0 olduğuna göre, x kaçtır? A) B) C) D) E). Reel sayılarda işlemi m n m. n m n + şeklinde tanımlanıyor. Buna göre, işleminin birim elemanı kaçtır? A) B) C) 0 D) E). Reel sayılarda işlemi a b a + b ab şeklinde tanımlanıyor. Buna göre, işleminin yutan (tersi olmayan) elemanı kaçtır? A) B) C) 0 D) E)

34 Matematik(YGS ve LYS) Konu Testi. Reel sayılarda işlemi x y x + y xy 6 şeklinde tanımlanıyor. Buna göre, ( işlemine in tersi) kaçtır? 7 7 A) B) C) D) E) 9. a a d b e c a d b e c A {a, b, c, d, e} kümesinde tanımlı işlemi tablo ile verilmiştir. b e a b c d c a b c d e Buna göre, d e b c c d d e e a a b (a c) (b d) işleminin sonucu nedir? A) a B) b C) c D) d E) e. Reel sayılarda işlemi x y 6x + 6y xy m olarak tanımlanıyor. işleminin birim elemanı olması için m kaç olmalıdır? A) B) C) 9 D) 6 E) 0. _ a, b A olmak üzere bir işlemi Yandaki şekilde A {0,,,, } kümesinde tanımlı işlemi tablo ile verilmiştir. a b a b şeklinde tanımlanıyor.. Reel sayılarda işlemi a b a + b ab şeklinde tanımlanıyor. x 0 olduğuna göre, x kaçtır? Buna göre, işleminin birim (etkisiz) elemanı aşağıdakilerden hangisidir? A) 0 B) C) D) E) A) B) C) D) E) 6 6. Reel sayılarda işlemi a b a + b (b a) olarak tanımlanıyor. Buna göre, işleminin sonucu kaçtır? A) B) C) D) E) 6. _ Yandaki şekilde A {0,,,, } kümesi üzerinde tanımlanan işleminin tablosu verilmiştir. a, b A ve b : işlemine göre b nin tersi olmak üzere; a b a b şeklinde bir işlemi tanımlanıyor. Buna göre, işleminin sonucu kaçtır? 7. Dik koordinat düzleminin noktaları üzerinde işlemi A) 0 B) C) D) E) (a, b) (c, d) (a + c, b. d) şeklinde tanımlanıyor. Buna göre, işleminin birim (etkisiz) elemanı aşağıdakilerden hangisidir? A) (, 0) B) (, ) C) (0, ) D) (, ) E) (0, ) 8. A {,,,, } kümesinde işlemi tablo ile verilmiştir. (x) olduğuna göre, x kaçtır? A) B) C) D) E). 00 yılında 9 Ekim Cumhuriyet Bayramı cuma günüdür. Buna göre, mayısta doğan Semih 00 yılındaki doğum gününü hangi gün kutlamıştır? (Mayıs, temmuz ve ağustos gün; haziran ve eylül 0 gündür.) A) pazar B) salı C) perşembe D) cuma E) cumartesi. () x (mod 9) olduğuna göre, x sayısı aşağıdakilerden hangisidir? A) B) C) D) 7 E) 8

35 Konu Testi Matematik(YGS ve LYS). A (0) 0 olduğuna göre, A sayısının birler basamağındaki rakam kaçtır? A) B) C) 6 D) 7 E) 9. A. +. olduğuna göre, A sayısının 7 ile bölümünden kalan kaçtır? A) B) C) D) E) 6 0. Adil 6 günde bir, Mesut ise 8 günde bir saç traşı olmaktadır. Adil ve Mesut birlikte pazartesi günü traş olduklarına göre, en erken hangi gün tekrar birlikte traş olurlar? A) Salı B) Çarşamba C) Perşembe D) Cuma E) Cumartesi. ab iki basamaklı doğal sayı olmak üzere, ab 0 (mod ) ab (mod 6) denkliklerini sağlayan kaç farklı ab sayısı vardır? 6. x + (mod 7) denkliğini sağlayan x in en küçük iki doğal sayı değerinin toplamı kaçtır? A) B) C) D) 6 E) işleminden elde edilen sayının birler basamağındaki rakam kaçtır? A) 0 B) C) D) 6 E) 8 8. k + 6 x (mod ) denkliğini sağlayan x değeri kaçtır? A) 0 B) C) D) E) Şekildeki dişli çarklardan büyük olanı beş eş dilime ayrılmış ve her dilim beyaz, yeşil, mavi, sarı ve mor renklerden biri ile boyanmıştır. Küçük çark saat yönünde defa döndüğünde, büyük çark saatin tersi yönünde dönüş yapmaktadır. Buna göre, küçük çark tam bulunduğu yerden harekete başlayıp saat yönünde 7 defa dönerse, büyük çarkın hangi renkteki bölgesine değiyor olur? A) Beyaz B) Yeşil C) Mavi D) Sarı E) Mor A) B) C) 6 D) 7 E) 8. abc üç basamaklı doğal sayı olmak üzere, abc (mod 8) abc (mod 6) denkliğini sağlayan en küçük abc sayısı kaçtır? A) B) C) 7 D) E). x (mod 7) denkliğini sağlayan en büyük iki basamaklı x doğal sayısı kaçtır? A) 9 B) 9 C) 96 D) 97 E) 99. (mod n) denkliğini sağlayan kaç farklı n doğal sayısı vardır? A) 6 B) 9 C) D) 6 E) 9. Şekilde H harfinin olduğu karede bulunan hareketli boyalı kare, her adımda ok yönünde bir kare ilerleyerek tur atmaktadır. Buna göre hareketli kare, ok yönünde 7 adım ilerlerse hangi harfin bulunduğu kareye gelir? A) B B) C C) D D) E E) G - D - B - D - E - E 6- E 7- C 8- B 9- C 0- C - A - D - E - A - E 6- B 7- D 8- D 9- E 0- D - B - C - D - D - E 6- C 7- B 8- E 9- D 0- D - D - D - B - E - D

36 Üçgenlerde Benzerlik ve Eşlik Geometri (YGS ve LYS) Üçgenlerde Benzerlik Eþlemesi Karþýlýklý açýlarý eþ ve karþýlýklý kenarlarýn uzunluklarý orantýlý olan üçgenlere benzer üçgenler denir. ABC ve DEF üçgenlerinin benzerliði ABC DEF ile gösterilir. Benzer iki üçgenin karþýlýklý açýlarý eþittir. Eþ açýlarýn karþýsýndaki kenarlarýn uzunluklarý orantýlýdýr. Karþýlýklý kenarlarýn oranýna benzerlik oraný denir. ABC DEF ise m(a) m(d), m(b) m(e), m(c) m(f) ve Kenar Açý Kenar (K. A. K) Benzerlik Teoremi: Ýki üçgenin karþýlýklý olarak birer açýlarý eþ ve eþ açýla-rýnýn kollarýnýn uzunluklarý orantýlý ise bu üçgenler benzerdir. m(a) m(e) ve ise ABC EDF dir. Buradan, olur. (k benzerlik oranýdýr.) Örneðin, olur. (k benzerlik oranýdýr.) Örneðin, m(a) m(e) ve x 8 dir. x ABC ve DEF üçgenlerinin benzerlik oraný, dir. Örnek Örnek m(abc) m(ade) 00 m(bad) x Yukarýdaki þekilde ABC DEA ise x kaç derecedir? A) B) 60 C) 6 D) 70 E) 7 ABC DEA ise m(bac) m(ade) 00 m(b) m(aed) ve m(c) m(dae) dir. Buradan x + 00 x 7 bulunur. YANIT: E IADI 6 cm IAEI cm IDEI cm IDBI cm IECI 8 cm Yukarýdaki verilere göre, IBCI x kaç cm dir? A) 0 B) C) D) E) 8 Benzerlik oraný olduðundan, IDEI k x 0 cm bulunur. IBCI x A açýsý her iki üçgenin de ortak açýsýdýr. IADI 6 ve IACI IAEI ise IABI 8 DAE CAB dir. YANIT: A 6

37 Üçgenlerde Benzerlik ve Eşlik Geometri(YGS ve LYS) Örnek IABI 0 cm IADI 8 cm IBDI cm IDCI cm Yukarýdaki verilere göre, IACI x kaç cm dir? A) 6 B) 8 C) 0 D) E) B ortak açýdýr. IABI 0 ve IBDI IBCI IABI 0 ise ABD CBA dýr. Kenar Kenar Kenar (K. K. K) Benzerlik Teoremi Ýki üçgenin karþýlýklý üç kenarý da orantýlý ise, bu üçgenler benzerdir. Orantýlý kenarlarýn karþýsýndaki açýlar da eþtir. Örneðin, IABI IDEI 6 8, ABC EDF olur. Benzerlik oraný, IACI IEFI IBCI ve IDFI olduðundan, iki üçgen benzerdir. Dolayýsýyla, orantýlý kenarlarýn karþýsýndaki açýlar eþtir. 7 Yani, m(a) m(e), m(b) m(d) ve m(c) m(f) ve tür. Benzerlik oraný olduðundan; IACI x x 0 olur. IADI 8 YANIT: C Örnek Örnek labl lacl IBDI 9 cm IBEI 6 cm IEDI 7 cm ICFI 8 cm ICGI cm Yukarýdaki verilere göre, IFGI x kaç cm dir? ABC ve DEB birer üçgen IBEI IECI IABI.IDEI IACI.IBDI m(abd) 0 m(acb) Yukarýdaki verilere göre, m(a) x kaç derecedir? A) 6 B) 7 C) 7 D) 78 E) 80 A) 8 B) 9 6 C) 6 BDE CGF dir. Benzerlik oraný D) IEDI 7 8 k x cm dir. IFGI x 0 7 E) IABI IACI ise m(b) m(c) olur. IBDI 9 ve ICGI olduðundan YANIT : A olduðundan DBE ACB dir. Soruda verilen eþitliklerden IBEI p, IBCI p IDEI n, IABI n IBDI m, IACI m olarak yazýlabilir. Buradan m(dbe) m(c) ve m(abc) 6 olur. ABC üçgeninde x x 80 dir. YANIT : E 7

38 Geometri (YGS ve LYS) Üçgenlerde Benzerlik ve Eşlik Açý Açý Açý (A. A. A) Benzerlik Teoremi Örnek 7 Ýki üçgenin karþýlýklý açýlarý eþ ise bu üçgenler benzerdir. Benzer üçgenlerde eþ açýlarýn karþýsýndaki kenarlarýn uzunluklarý orantýlýdýr. ABCD bir dikdörtgen [DE] [EF] IBFI IFCI IADI cm ve IAEI 8 cm ise IEBI x kaç cm dir? m(a) m(d), m(b) m(e) ve m(c) m(f) olduðundan ABC DEF dir. Buradan, olur. Ýki üçgenin ikiþer açýsý eþ ise üçüncü açýlarý da eþtir. m(a) m(d) ve m(b) m(e) ise m(c) m(f) olur. A) 8 B) 9 C) 0 D) E) ABCD bir dikdörtgen olduðundan IBFI IFCI 6 cm olur. m(dea) α ve m(feb) β ise α + β 90 dir. DAE diküçgeninde m(dea) α ise m(ade) β ve EBF diküçgeninde m(feb) β ise m(efb) α olur. (A.A.A) benzerlik eþlemesinden, DAE EBF dir. Buradan, IDAI IAEI 8 x 9 cm bulunur. IEBI IBFI x 6 YANIT: B Örnek 8 Örnek 6 m(ade) m(c) lael lecl ladl cm ldbl cm ldel cm Yukarýdaki verilere göre, lbcl x kaç cm dir? A) 7, B) 0 C) D) 0 E) y m(dae) m(a) ve m(ade) m(c) ise m(aed) m(b) dir. A. A. A teoreminden ADE ACB dir. y y 6 cm ve x cm bulunur. 8 x YANIT: C [AB] [AE] [AD] [BC] [AD] [DE] IACI 8 cm IBCI 6 cm ICDI cm Yukarýdaki verilere göre, IDEI x kaç cm dir? A) 9 B) 0 C) D) E) 6 m(bad) α ve m(dae) β ise α + β 90 dir. m(abc) β ve m(aed) α olur. (A.A.A) benzerlik eþlemesinden, ABC EAD dir. Buradan, IACI IBCI 8 6 x 6 cm bulunur. IEDI IADI x YANIT: E 8

39 Üçgenlerde Benzerlik ve Eşlik Geometri(YGS ve LYS) Örnek 9 ABC bir diküçgen DEFG bir kare IAGI 6 cm ve IBDI cm ise IDGI x kaç cm dir? A) 6 B) 8 C) 0 D) E) DEFG bir kare olduðundan IDEI IGFI x olur. m(a) α ve m(b) β ise α + β 90 dir. Temel Orantý Teoremi Bir üçgenin bir kenarýna paralel olan bir doðru, üçgenin diðer kenarlarýný farklý noktalarda keserse bu kenarlar üzerinde orantýlý parçalar ayýrýr. (A.A.A) Benzerlik eþlemesinden ADE DBF dir. FCED paralelkenar olduðundan IDFI IECI t olur. ADE DBF olduðundan bulunur. Buradan, m(afg) b ve m(deb) a olur. (A.A.A) benzerlik eþlemesinden, AGF EDB dir. Buradan, IAGI IGFI 6 x x 0 cm bulunur. IEDI IDBI x YANIT: C Örneðin, ABC üçgeninde [DE] // [BC] IADI 0 cm IDBI cm IAEI cm ve IECI x olsun. Örnek 0 Buna göre, 0 x 6 cm bulunur. x (A.A.A) benzerlik eþlemesinden ABC ~ ACD bulunur. m(abc) m(acd) IADI 8 cm ve IDBI 0 cm ise IACI x kaç cm dir? A) 0 B) C) D) 6 E) 8 Buradan, ABC ve ACD üçgenlerinde m(abc) m(acd) ve A her iki üçgenin de ortak açýsý olduðundan, m(acb) m(adc) olur. IABI IACI 8 x x cm olur. IACI IADI x 8 YANIT: B Tales Teoremi Kesiþen iki doðru, paralel iki doðru tarafýndan kesildiðinde oluþan üçgenlerin karþýlýklý kenar uzunluklarý orantýlýdýr. ABC üçgeninde [DE] // [BC] ise (A.A.A) benzerlik eþlemesinden ADE ABC olduðundan olur. [AC] [BD] {E} ve [DC] // [AB] ise (A.A.A) benzerlik eþlemesinden ECD EAB olduðundan olur. 9

40 Geometri (YGS ve LYS) Üçgenlerde Benzerlik ve Eşlik Örnek Örnek [DE] // [BC] IADI cm IDBI 6 cm IAEI cm IDEI 0 cm IBCI x ve IECI y ise x y kaç cm dir? [BE] açýortay [DE] // [BC] IADI 8 cm IDEI cm Yukarýdaki verilere göre, IBCI x kaç cm dir? A) 7 B) 8 C) 9 D) 0 E) A) 8 B) 0 C) D) 7 E) 0 Temel orantýdan y 7 dir. 6 y Tales teoreminden 0 8 x [DE] // [BC] ise m(deb) m(ebc) olur. Buradan IDBI IDEI cm ve IADI 0 cm bulunur. Buradan, x y 7 8 cm bulunur. x cm olur. YANIT: B Tales teoreminden 8 0 x 0 cm bulunur. x YANIT: E Örnek Örnek [AC] [DB] {E} [DC] // [AB] IABI 0 cm IAEI 0 cm IECI cm IEDI 6 cm [BE] [CD] {F} [DE] // [BC] AD 6 cm DF cm ve FC 7 cm ise DB x kaç cm dir? A) 6 B) 8 C) 9 D) E) 0 IDCI x ve IEBI y ise x + y kaç cm dir? A) B) 6 C) 8 D) E) Tales teoreminden x y x x 8cm ve y cm olur. 0 y Buradan, x + y 8 + cm bulunur. YANIT: D (A.A.A.) benzerliðinden FED FBC dir. DE DF olduðundan BC FC 7 DE k ve BC 7k dir. Temel orantý teoreminden 6 k x x 8 cm 6 + x 7k 6 + x 7 bulunur. YANIT: B

41 Üçgenlerde Benzerlik ve Eşlik Geometri(YGS ve LYS) Örnek IABI 6 cm IAEI 8 cm IEFI 0 cm IDCI cm IDEI x ABCD dörtgeninde [AB] // [EF] // [DC] ise, x kaç cm dir? A) 6 B) C) D) E) 0 [DK] // [CB] çizilirse, IDCI ILFI IKBI cm olur. IELI 0 9 cm ve IAKI 6 cm bulunur. DEL DAK olduðundan, Örnek 7 ABC ve DBC birer üçgen [AB] // [EF] // [DC] IABI 0 cm IDCI 0 cm Yukarýdaki verilere göre, IEFI x kaç cm dir? A) B) 0 C) 9 D) 8 E) 6 ABE ~ CDE olduðundan IAEI IABI ICEI IDCI IAEI 0 ICEI 0 IAEI k ve ICEI k dir. CEF CAB olduðundan x k x cm bulunur. 0 k YANIT: A ise IDEI IDAI IELI IAKI x x x cmolur. YANIT: D Örnek 8 Örnek 6 ABC ve DCF birer üçgen [DF] // [BC] IDEI IEFI IBGI 6 cm IGEI cm IAEI x [DE] // [BC] [DF] // [BE] IAFI 8 cm IFEI cm Yukarýdaki verilere göre, IECI x kaç cm dir? Yukarýdaki verilere göre, IAEI x kaç cm dir? A) B) DGE CGB olduðundan AEF ABC olduðundan Buradan, 0 C) bulunur. D) E) 9 YANIT: D A) 6 B) 7 C) 8 D) 9 E) 0 ADE ABC olduðundan, k x 6 cm dir. k x ADF ABE olduðundan olduðundan, IADI k ve IDBI k olur. YANIT: A

42 Geometri (YGS ve LYS) Üçgenlerde Benzerlik ve Eşlik Örnek 9 Örnek [AB] [AD] IBDI.IDCI IABI cm IADI 9 cm Yukarýdaki verilere göre, IACI x kaç cm dir? ABC ve ACD birer üçgen [EF] // [BC] [GF] // [AD] BC 0 EF 8 cm FG cm A) 0 B) C) D) E) 0 IBAI IBEI IBDI IBCI IADI IECI + y IBDI.IDCI ise IDCI k ve IBDI k dýr. [CE] [BE] çizilirse BAD BEC olur. k k 9 z dir. 9 Buradan, y ve z bulunur. + y z AEC diküçgeninde Pisagor teoreminden x cm olur. Yukarýdaki þekle göre, AD x kaç cm dir? A) 8 B) 0 C) D) E) 0 CGF CDA olduðundan, x AEF ABC olduðundan AF AC 8 0 tir. AF n ise AC n ve FC n dir. n n x cm dir. YANIT: D YANIT: C Örnek 0 ABCD paralelkenar [AC] [DE] {G} IDGI cm IGFI 9 cm A, B ve E noktalarý doðrusal olduðuna göre, IFEI x kaç cm dir? A) 0 B) C) D) 6 E) 8 Üçgende Orta Taban Bir üçgenin iki kenarýnýn orta noktalarýný birleþtiren doðru parçasýna üçgenin orta tabaný denir. Orta taban, üçüncü kenara paralel ve uzunluðu üçüncü kenar uzunluðunun yarýsýdýr. DFC EFB olduðundan IDFI IFEI IFCI k x 6cm olur. IBFI x k ADG CFG IADI IFCI 9 IADI k ise IFCI k ve IBFI k olur. YANIT: D

43 Üçgenlerde Benzerlik ve Eşlik Geometri(YGS ve LYS) Örnek Örnek ABC bir diküçgen [AB] [BC] IAEI IECI IABI IDCI 8 cm IBDI cm [AD] açýortay [AD] [BD] IBEI IECI IABI 7 cm IACI cm Yukarýdaki verilere göre, IEDI kaç cm dir? A) B) C) D) E) 6 [EH] [BC] çizilirse [EH] orta taban olur. IBCI cm olduðundan IBHI IHCI cm IDHI cm dir. olduðundan EHD diküçgeninde x cm bulunur. YANIT: C Yukarýdaki verilere göre, IDEI x kaç cm dir? A) B) C) D) E) 6 ABF üçgeninde [BD] uzatýlýrsa [AD] hem açýortay hem de yükseklik olduðundan, ABF ikizkenar üçgen olur. Buradan, IBDI IDFI, IAFI 7 cm ve IFCI 6 cm bulunur. BCF üçgeninde orta tabandan IDEI olduðundan, x cm bulunur. YANIT: B Örnek ABC ve DEC birer üçgen IEBI IBCI IADI 8 cm IDCI cm IFBI 9 cm IAFI x Yukarýdaki verilere göre, IAFI x kaç cm dir? A) 9 B) 0 C) D) E) 8 [KB] // [AC] çizilirse ECD üçgeninde orta tabandan IKBI 6 cm dir. AFD BFK olduðundan, x cm bulunur. YANIT: C Örnek ABC ve ABD birer üçgen [AC] [BC] IBEI IEDI m(bac) m(cad) IABI cm ve IADI 6 cm ise IECI x kaç cm dir? A) B) C) D) E) 6 [AC] [BF] ve m(bac) m(caf) olduðundan IABI IAFI cm IDFI 8 cm ve IBCI ICFI dir. IBEI IEDI ve IBCI ICFI olduðundan BDF üçgeninde [CE] orta tabandýr. Buradan, ICEI cm bulunur. YANIT: C

44 Geometri (YGS ve LYS) Üçgenlerde Benzerlik ve Eşlik Benzer üçgenlerin çevreleri oraný ve eþ açýlarýn köþelerinden çizilen yüksekliklerin, açýortaylarýn, kenarortaylarýn oraný, benzerlik oranýna eþittir. Öklit Teoremleri [AB] [AC] ve [AH] [BC] iken h p.k b k.a c p.a dir. ABC DEF ise Burada, k benzerlik oranýdýr. Örneðin, dir. Örnek 7 A) B) 0 C) D) ABC bir dik üçgen [AB] [BC] [BD] [AC] labl cm ve lbdl cm ise ldcl x kaç cm dir? 6 E) m(a) m(e) ve m(c) m(f) ise m(b) m(d) ve ABC EDF olur. IBKI IABI 6 0 x 9 cm bulunur. IDLI IEDI x ABD dik üçgeninde ladl cm olur. Öklit baðýntýsýndan. x x 6 bulunur. YANIT: D Örnek 6 DEFG bir kare [AK] [DG] IAKI cm IEFI 6 cm IBCI x Örnek 8 [AD] [AC] IABI IACI IBDI 7 cm IDCI cm Yukarýdaki verilere göre, lbcl x kaç cm dir? A) 0 B) C) D) E) 8 DEFG kare olduðundan IDGI IDEI IKHI 6 cm IAHI 0 cm olur. ADG ABC olduðu için yükseklikler tabanlar ile orantýlýdýr. IAKI IDGI 6 x cm bulunur. IAHI IBCI 0 x YANIT: D Yukarýdaki verilere göre, IADI x kaç cm dir? A) B) C) 6 D) 8 E) 0 ABC ikizkenar üçgeninde IBCI 7 + cm olduðundan IHCI IBHI 6 cm dir. Buradan, IDHI 9 cm bulunur. ADC diküçgeninde Öklit baðýntýsýndan, x 9. x. cm bulunur. YANIT: B

45 Üçgenlerde Benzerlik ve Eşlik Geometri(YGS ve LYS) Üçgenlerde Eþlik Benzer üçgenlerin benzerlik oraný ise bu üçgenler eþ üçgenlerdir. Üçgenlerin eþ olduðu verilmiþse; karþýlýklý kenarlarý ve karþýlýklý açýlarý eþittir. ABC ve DEF üçgenlerinin eþliði; ABC DEF þeklinde gösterilir. m(a) m(dbe) 90 IABI IBCI ve IACI IBEI olduðundan K.A.K eþlik aksiyomuna göre, BAC DBE dir. Örnek 9 AED BCA [DE] [AC] [AC] [CB] ve m(dac) 6 ise m(edb) x kaç derecedir? BAC DBE olduðundan, IBCI IDEI cm ve IBEI cm dir. IACI IBEI cm ve IABI cm olduðundan Çevre(ABC) + + cm bulunur. YANIT: C A) B) 0 C) D) 0 E) AED BCA olduðundan IADI IBAI ve m(ade) m(bac) dir. m(bad) 90 ve IABI IADI olduðundan m(adb) m(abd) dir. ABD üçgeninde x + x 0 dir. Kenar Açý Kenar (K.A.K.) Eþlik Aksiyonu YANIT : B Ýki üçgen arasýnda bire bir eþleme yapýldýðýnda, karþýlýklý ikiþer kenarlarý ve bu kenarlarýn oluþturduðu açýlarý eþ ise bu üçgenler eþtir. Kenar Kenar Kenar (K.K.K.) Eþlik Teoremi Ýki üçgen arasýnda bire bir eþleme yapýldýðýnda, karþýlýklý bütün kenarlarý eþ ise bu üçgenler eþtir. Örnek ABCD bir deltoid AB AD CB CD m(b) x + 80 m(d) x Yukarýdaki verilere göre, x kaç derecedir? Örnek 0 BAC ve EBD birer diküçgen [AB] [AC] [BE] [BD] IBEI IACI IABI IBDI IDEI cm IECI cm Çevre(ABC) kaç cm dir? A) 0 B) C) D) E) A) 0 B) 0 C) 0 D) 0 E) 60 AB AD (Veriliyor.) CB CD (Veriliyor.) AC AC (Ortak) olduðundan (K.K.K) eþlik aksiyonuna göre, ABC ADC dir. m(b) m(d) olduðundan, x + 80 x x 0 olur. YANIT: C

46 Geometri (YGS ve LYS) Üçgenlerde Benzerlik ve Eşlik 6 Örnek Açý Kenar Açý (A.K.A.) Eþlik Teoremi Ýki üçgen arasýnda bire bir eþleme yapýldýðýnda, karþýlýklý ikiþer açýsý ile bu açýlarýn ortak olan kenarý eþ ise bu üçgenler eþtir. Örnek Buradan IABI IACI cm olarak bulunur. ABCD bir kare [DE] [AF] [AF] [BF] IFBI 7 cm ve IEFI cm ise IDFI x kaç cm dir? A) 8 B) 0 C) D) E) m(bad) m(cde) m(adb) m(dec) IABI IDCI cm IBDI 8 cm Yukarýdaki verilere göre, IAEI x kaç cm dir? A) B) C) D) E) 6 m(bad) m(cde) ve m(adb) m(dec) ise m(b) m(c) dir. ABD DCE olduðu için IBDI ICEI 8 cm dir. IABI IACI cm olduðundan x + 8 x cm dir. YANIT: C m(baf) α ve m(fad) β ise α + β 90 dir. Buradan m(ade) α ve m(abf) β bulunur. IADI IABI olduðundan AED BFA olur. IAEI IFBI 7 cm, IAFI cm ve IDEI IAFI cm olur. DEF diküçgeninde, x cm bulunur. YANIT: D Örnek m(d) m(cbf) IDCI ICBI a ve IDEI IBFI b ise DEC BFC olur. Bu üçgenlerin eþliðinden m(bcf) m(dce) ve ICEI ICFI bulunur. m(ecb) 90 olduðundan m(ecf) 90 dir. Örnek ABC bir eþkenar üçgen [BE] [AD] {F} IBDI IECI ise m(bfd) α kaç derecedir? A) 6 B) 8 C) D) 60 E) 7 ABC eþkenar üçgen olduðu için m(b) m(c) 60 dir. Bu eþ açýlarýn kollarý eþit uzunluktadýr. IBAI ICBI IBDI ICEI K. A. K eþlik aksiyomuna göre, ABD BCE dir. CEF bir üçgen ABCD bir kare A, B ve F noktalarý doðrusal IDEI IBFI m(dce) Yukarýdaki verilere göre, m(cge) x kaç derecedir? A) 60 B) 6 C) 70 D) 7 E) 80 ICEI ICFI olduðundan m(cef) m(cfe) olur. CFG üçgeninden, x + 80 bulunur. YANIT: E a a y y ve ise Buradan m(bad) m(cbe) β ve m(abf) 60 β olur. ABF üçgeninden α β + 60 β 60 dir. YANIT : D

47 Konu Testi Geometri (YGS ve LYS). TEST 6 m(bad) 60 m(acb) m(dac) x D D Şekilde ABC ve DAB benzer üçgenler (ABC DAB) olduğuna göre, x kaç derecedir?. ABC ve DEF birer üçgen [AB] // [DE] [AC] // [DF] IBEI IEFI IFCI IABI cm IACI 8 cm Yukarıdaki verilere göre, IDFI + IDEI kaç cm dir? A) B) C) D) E) A) 0 B) C) 0 D) E) 0. m(abc) m(aed) IADI 9 cm IAEI 8 cm IBDI 7 cm IDEI 0 cm IBCI x ve IECI y olduğuna göre, x + y toplamı kaç cm dir? 6. [DE] // [BC] IADI IBCI cm IAEI 0 cm IBDI 6 cm IBDI x IECI y Yukarıdaki verilere göre, x y farkı kaç cm dir? A) B) C) D) E) A) 6 B) 7 C) 8 D) 9 E) 0. m(bad) m(ecb) IBDI 0 cm IBEI 8 cm IDCI cm IAEI x Yukarıdaki verilere göre, x kaç cm dir? A) B) 6 C) 7 D) 8 E) 9 7. [BD] açıortay [AB] // [DE] IBEI 6 cm IECI 9 cm Yukarıdaki verilere göre, IABI x kaç cm dir? A) 0 B) C) D) 6 E) 8. m(abc) m(acd) IABI cm IACI 0 cm IBCI cm ICDI 8 cm Yukarıdaki verilere göre, IADI x kaç cm dir? A) 9 B) C) 6 D) E) 0 8. [DE] // [FG] IAFI IFCI IBDI cm IDEI 8 cm IFGI 6 cm Yukarıdaki verilere göre, IADI x kaç cm dir? A) B) C) D) E) 6 7

48 Geometri(YGS ve LYS) Konu Testi 9. [DE] // [BC] IDKI 6 cm IKEI 0 cm IBFI 9 cm IFCI x A, K, F noktaları doğrusal olduğuna göre, x kaç cm dir? A) B) C) 6 D) 8 E) 0 0. [AD] [CE] [ED] // [AC].IBDI.IDCI IDFI 8 cm. ABCD bir kare [DE] ^ [AF] ICFI IFBI IDEI 8 cm IEFI x Yukarıdaki verilere göre, IEFI x kaç cm dir? A) B) C) 6 D) 7 E) 8. ABC bir diküçgen DEFG bir kare [AB] [AC] IBDI cm IECI 8 cm Yukarıdaki verilere göre, ABCD karesinin çevresi kaç cm dir? A) B) 6 C) 0 D) E) Yukarıdaki verilere göre, IAFI x kaç cm dir? A) 0 B) C) 6 D) 8 E) 0. ABC ve DBC birer üçgen [AB] // [EF] // [DC] IABI cm IDCI 6 cm. [AE] açıortay [AE] [BD] [ED] // [AC] IACI 0 cm IEDI 6 cm Yukarıdaki verilere göre, IABI x kaç cm dir? A) 8 B) 9 C) 0 D) E) Yukarıdaki verilere göre, IEFI x kaç cm dir? A) B) 9 C) D) E) 9 6. ABC bir diküçgen [AC] [BC] [CH] [AB] IACI cm ICHI cm 8. ABC ve DEC birer üçgen [DE] // [AC] IDFI IFEI IBFI cm IAGI cm Yukarıdaki verilere göre, IFGI x kaç cm dir? A) 7 B) 6 C) D) E) Yukarıdaki verilere göre, IBCI x kaç cm dir? A) 9 B) 6 C) 0 D) 8 E) - B - E - C - E - A 6- C 7- A 8- E 9- B 0- E - D - B - C - B - A 6- C

49 Konu Testi Geometri (YGS ve LYS) TEST 7. ABC bir diküçgen [AC] ^ [BC] [DE] ^ [AB] IBDI IDCI IBEI cm IAEI 6 cm Yukarıdaki verilere göre, IDEI x kaç cm dir? A) B) C) D) E). ABC bir diküçgen [DB] ^ [BC] IAEI IECI IDAI 6 cm IBCI 8 cm m(bde) Yukarıdaki verilere göre, IABI x kaç cm dir? A) 6 B) 8 C) 0 D) E) 6. m(acb) m(bfd) IAFI IFDI 6 cm IBDI 8 cm IAEI cm IECI x A, F, D noktaları doğrusal olduğuna göre, IECI x kaç cm dir? 6. ABCD bir dörtgen [AB] // [EF] // [DC] IDCI IAEI 0 cm IEFI cm IABI 8 cm Yukarıdaki verilere göre, IDEI x kaç cm dir? A) B) C) 6 D) 7 E) 8 A) 6 B) 8 C) 9 D) 0 E). ABC bir diküçgen m(abc) m(acd) [AB] ^ [AC] IADI IDBI IACI cm 7. ABCD bir dörtgen [AC] ve [BD] köşegen [AB] // [EF] // [DC] IABI cm IDCI 6 cm ICFI cm Yukarıdaki verilere göre, IDCI x kaç cm dir? A) 6 B) C) 6 D) E) 8 Yukarıdaki verilere göre, IFBI x kaç cm dir? A) 8 B) 9 C) 0 D) E). [DC] // [AB] IABI cm IADI 0 cm IAEI cm IECI cm IDCI 8 cm Şekilde A, E, C noktaları doğrusal olduğuna göre, IEBI x kaç cm dir? A) B) C) 6 D) 8 E) 0 8. [DE] // [AB] [DF] // [AE] ICFI 9 cm IFEI 6 cm Yukarıdaki verilere göre, IEBI x kaç cm dir? A) 6 B) 8 C) 9 D) 0 E) 9

50 Geometri(YGS ve LYS) Konu Testi 9. ABCD bir dikdörtgen [AE] ^ [EF] IAEI IEFI IBFI IFCI IABI 6 cm IAFI x Yukarıdaki verilere göre, IAFI x kaç cm dir? A) 0 B) C) D) 7 E). ABCD bir dikdörtgen EAB bir üçgen [BD] köşegen IAGI cm IGFI 9 cm IFEI x Yukarıdaki verilere göre, IFEI x kaç cm dir? A) 6 B) C) D) 0 E) 9 0. [AD] ^ [AC] IDCI.IBDI IABI cm IACI 0 cm. ABC ve EDC birer üçgen IAFI IFBI IDBI IBCI IFEI 8 cm IDFI x Yukarıdaki verilere göre, IDFI x kaç cm dir? Yukarıdaki verilere göre, IADI x kaç cm dir? A) 6 B) 8 C) D) 0 E) A) B) 6 C) 6, D) 8 E) 0. [AD] ^ [DB] [AC] ^ [CB] IACI IBDI 8 cm IABI cm Yukarıdaki verilere göre AED üçgeninin çevresi kaç cm dir? A) B) C) D) 6 E) 8. ABC bir diküçgen DEHB bir kare [AB] ^ [AC] [AE] ^ [BC] IAHI IECI 0 cm Yukarıdaki verilere göre, IBCI kaç cm dir? cm A) B) C) D) 6 E) 7 6. ABC bir diküçgen [AB] ^ [BC] [EH] ^ [AC] m(acd) m(dcb) IFCI cm IEHI IABI. m(dca) m(bca) [AB] ^ [AC] IBEI IEDI IBCI cm ICDI 8 cm Yukarıdaki verilere göre, IAEI x kaç cm dir? A) B) C), D),6 E) Yukarıdaki verilere göre, IDFI x kaç cmdir? A) B) C) 6 D) 8 E) 0 - A - C - A - B - E 6- C 7- C 8- D 9- A 0- D - B - B - A - C - B 6- D 0

51 Geometri (YGS ve LYS) Açıortay ve Kenarortay Kuralları Üçgende Açýortay Kurallarý Örnek Açýortay üzerindeki bir noktanýn açýnýn kollarýna uzaklýklarý eþittir. [AD] açýortay [DB] [AB ve [DC] [AC ise IDBI IDCI IABI IACI ve ABC bir diküçgen [AD] açýortay [AC] [BC] IABI IACI + cm IDCI cm m(adb) m(adc) olur. Yukarýdaki verilere göre, IBDI x kaç cm dir? Üçgenin iç açýortaylarý bir noktada kesiþirler. Bu nokta üçgenin içteðet çemberinin merkezidir. [BO] ve [CO] açýortay ise, lodl loel lofl olur. [OE] [AC], [OF] [AB], [OD] [BC] ve lodl loel lofl olduðundan [AO] da açýortaydýr. A) 8 B) 0 C) D) E) IACI y ise IABI y + cm dir. [DE] [AB] çizilirse IDEI IDCI cm IAEI IACI y ve IEBI cm olur. BED diküçgeninde x + x cm dir. YANIT: D Örnek m(adb) m(bdc) [AB] [AD] IABI cm IADI cm ICDI cm Yukarýdaki verilere göre, IBCI x kaç cm dir? A) B) C) D) 6 E) [BH] [CD] çizilirse IBHI IABI cm IHDI IADI cm ve ICHI cm olur. BHC diküçgeninde Pisagor baðýntýsýndan IBCI x cm bulunur. YANIT: B Örnek [AD] açýortay m(b) m(c) 0 Yukarýdaki verilere göre, IDCI x kaç cm dir? cm A) 8 B) C) 6 D) E) [DE] [AB] ve [DF] [AC] çizilirse EBD,, 90 diküçgeninde IDEI cm olur. [AD] açýortay olduðundan IDFI IDEI cm dir. DFC 0, 60, 90 diküçgeninden, x 8 cm bulunur. YANIT: A

52 Geometri (YGS ve LYS) Açıortay ve Kenarortay Kuralları Örnek Örnek [BE] ve [CE] açýortay [EH] [BC] IABI cm IACI cm IBHI 6 cm [AN] açýortay IABI 6 cm IACI 9 cm IBCI 0 cm ve IANI x cm ise IANI x kaç cm dir? Yukarýdaki verilere göre, IHCI x kaç cm dir? A) B) 7 C) 0 D) E) 6 A) 6 B) 8 C) 9 D) 0 E) [EL] [AB] çizilirse IBLI IBHI 6 cm IALI 6 cm olur. [EK] [AC] çizilirse ICKI IHCI x olur. IBNI m ise INCI 0 m dir. Ýç açýortay teoreminden 6 m 9 0 m m cm ve INCI 0 m 0 m 6 cm olur. IAKI IALI cm olduðundan, x + x 8 cm bulunur. YANIT: B Buradan x cm bulunur. YANIT: C Ýç Açýortay Teoremi ABC üçgeninde [AN] iç açýortay ise Örnek 6 ya da olur. [AN] iç açýortayýnýn uzunluðu IANI b. c m. n dir. [BD] açýortay IADI 6 cm IDCI 8 cm IBCI x ABC üçgeninin çevresi cm olduðuna göre, x kaç cm dir? Örneðin, Buradan, ve ABC üçgeninde [AD] açýortay IABI cm IBDI cm ve IDCI cm olsun. y.x cm bulunur. A) 0 B) C) D) 6 E) 8 Çevre (ABC) y + y + y cm olduðundan, x y. cm olur. ise IABI y ve IBCI y olur. IACI cm dir. YANIT: B

53 Açıortay ve Kenarortay Kuralları Geometri(YGS ve LYS) Örnek 7 [AD] açýortay [AC] [BC] IBDI 6 cm IDCI cm Yukarýdaki verilere göre, IABI x kaç cm dir? A) B) 0 C) D) E) Örnek 9 Yukarýdaki verilere göre, [BD] ve [CE] açýortay IABI 8 cm IACI 0 cm IBCI cm oraný kaçtýr? ise A) B) C) D) E) ABC diküçgeninde (y) (y) + 0 olduðundan, x y IABI y ve IACI y olur. IBCI cm dir. cm olur. cm YANIT: E IADI 8 ise IDCI IADI k ve IDCI k dýr. k 0 k ve IDCI k 6 cm olur. BCD üçgeninde IBFI bulunur. IFDI 6 YANIT: E Dýþ Açýortay Teoremi Örnek 8 [AE] [BD] IABI IADI cm IDCI 6 cm ve IECI 9 cm ise IBEI x kaç cm dir? ABC üçgeninde [AN] dýþ açýortay ise ya da olur. [AN] dýþ açýortayýnýn uzunluðu IANI m. n b. c dir. A) B) C) D) E) 6 Örneðin, [AE] [BD] ve IABI IADI olduðundan [AE] açýortaydýr. IACI cm olduðundan 8 x 9 bulunur. x 6cm YANIT: E Buradan, 9 m m cm olur. 6 8 ABC üçgeninde [AN] dýþ açýortay IABI 9 cm IACI 6 cm ve ICNI 8 cm olsun. x m cm bulunur.

54 Geometri (YGS ve LYS) Açıortay ve Kenarortay Kuralları Örnek 0 Örnek m(can) m(nae) [AB] [AC] IABI cm IBCI cm ICNI n B, C, N noktalarý doðrusal ise, ICNI n kaç cm dir? A) 9 B) 0 C) D) E) ABC diküçgeninde IACI cm olur. Dýþ açý ortay teoreminden + n n n cm olur. YANIT: E B, A, E doðrusal IABI cm IACI 0 cm IADI x m(bad) m(dac) m(cae) ise, IADI x kaç cm dir? A) B) 6 C) 7, D) 8 E) 9 [AD], ABC üçgenin içaçýortayý olduðundan IBDI ise IDCI 0 IBDI k, IDCI k olarak yazýlabilir. Buradan IBCI k olur. [AC], ABD üçgeninin dýþ açýortayý olduðu için x k k x x 6 cm bulunur. YANIT: B Örnek [AD] dýþ açýortay IABI 6 cm IACI cm IBCI cm B, C, N noktalarý doðrusal olduðuna göre, IADI x kaç cm dir? A) B) 0 C) D) 6 E) 0 Dýþ açýortayýn uzunluðu formülünden x IBDI. ICDI IABI. IACI olur. Dýþ açýortay teoreminden 6 + n n n 6 cm ve IBDI 9 cm bulunur. 0 cm YANIT: B Örnek [AN] içaçýortay [AD] dýþ açýortay IBNI cm INCI 6 cm ICDI x B, N, C, D noktalarý doðrusal ise ICDI x kaç cm dir? A) 0 B) C) D) E) 6 ABC üçgeninde Ýç açýortay teoreminden c e b 6 + x eþitliðinden x cm bulunur. 6 x Dýþ açýortay teoreminden c + x olur. b x YANIT: C

55 Açıortay ve Kenarortay Kuralları Geometri(YGS ve LYS) Üçgende Kenarortay Kurallarý Üçgende kenarortaylar üçgenin içinde bir noktada kesiþirler. Bu nokta üçgenin aðýrlýk merkezidir. ABC üçgeninde [AD], [BE] ve [CF] kenarortaylar ise G noktasý aðýrlýk merkezidir. Örnek [AD] [BE] [CF] {K} IAFI IFBI IBDI IDCI IAEI 7 cm IBKI 6 cm IFKI cm Þekle göre, KCE üçgeninin çevresi kaç cm dir? A) B) 6 C) 7 D) 8 E) 0 [FE] orta taban olduðundan IBCI n ise IFEI n dir. GEF ~ GBC olduðundan IBGI. IGEI ve ICGI.IGFI olur. Ayný metodla IAGI.IGDI olduðu bulunur. [AD] ve [CF] kenarortaylar olduðundan K noktasý ABC üçgeninin aðýrlýk merkezidir. IKCI. 8 cm ve cm olur. K aðýrlýk merkezi olduðundan [BE] kenarortay olur ve IAEI IECI 7 cm bulunur. O halde, Çevre(KCE) cm dir. YANIT: D G noktasý, hem ABC hem de DEF üçgeninin aðýrlýk merkezi olduðundan IKGI x iken IDGI x IAGI x ve IAKI x olur. Örnek ABC bir diküçgen G aðýrlýk merkezi [AB] [AC] IABI 8 cm IACI cm Yukarýdaki verilere göre, IAGI x kaç cm dir? A) B) C) D) E) G, ABC üçgeninin aðýrlýk merkezi ve [DE] // [BC] ise IADI.IDBI IAEI.IECI ve olur. ABC diküçgeninde y y y cm olur. ABC diküçgeninde IADI IBDI IDCI 6 cm bulunur. G noktasý aðýrlýk merkezi olduðundan, IGDI cm ve IAGI x cm bulunur. YANIT: B

56 Geometri (YGS ve LYS) Açıortay ve Kenarortay Kuralları Örnek 6 [BD] [CE] IAEI IEBI IADI IDCI IAKI 0 cm IEKI cm IDKI x Yukarýdaki verilere göre, IDKI x kaç cm dir? A) B) C) D) E) KBC diküçgeninde Pisagor kuralýndan (x) x cm olur. K noktasý ABC üçgeninin aðýrlýk merkezi olduðundan IKCI 6 cm IKBI x ve IKLI cm olur. KBC diküçgeninden IBLI ILCI cm ve IBCI 0 cm bulunur. YANIT: D Örnek 8 ABC bir diküçgen [BD] ve [CE] kenarortay [AG] [ED] {K} [AB] [AC] IKGI cm IBCI x Yukarýdaki verilere göre, IBCI x kaç cm dir? A) B) 6 C) 8 D) 0 E) G noktasý ayný zamanda DEF üçgeninin de aðýrlýk merkezi olduðundan IGFI. cm dir. ABC diküçgeninde, G aðýrlýk merkezi olduðundan IAGI. 8 cm IAFI IBFI IFCI cm ve IBCI x cm bulunur. YANIT: E Örnek 7 ABC bir diküçgen [AD] ve [CE] kenarortay [AB] [AC] [AD] [CE] cm Yukarýdaki verilere göre, IBCI x kaç cm dir? Örnek 9 [AB] [AG] IABI 0 cm ICGI 6 cm A) B) 6 C) 8 D) 0 E) G noktasý ABC üçgeninin aðýrlýk merkezi olduðuna göre, IBCI x kaç cm dir? 6 AEC diküçgeninde Öklit baðýntýsýndan (y). 6 y cm olur. Buradan, IBCI x 6y 8 cm bulunur. ABC dik üçgeninde G aðýrlýk merkezi olduðundan, cm dir. IAGI y iken IGDI y ve IADI IBDI IDCI y olur. YANIT: C A) B) 8 C) D) 0 E) 6 AEG diküçgeninde IAGI cm olur. Buradan, IGDI 6 cm, IADI 8 cm ve IBCI x.8 6 cm bulunur. [CE] kenarortayý çizilirse IAEI IEBI cm IGEI cm olur. YANIT: E

57 Açıortay ve Kenarortay Kuralları Geometri(YGS ve LYS) Örnek 0 Örnek [AD] [CE] IAEI IEBI 7 cm ve IBDI IDCI 9 cm ise IACI x kaç cm dir? G, aðýrlýk merkezi IGBI cm IGCI 7 cm IBCI 0 cm Yukarýdaki verilere göre, IAGI x kaç cm dir? A) B) C) 6 D) 8 E) AFC diküçgeninde x (m) + (n) x m + n x. 6 x 6 cm bulunur. Kenarortay Teoremi m + (n) 9 (m) + n 7 m + n 8 m + n 9 m + n 0 m + n 6 olur. YANIT: C ABC üçgeninde IADI V a kenarortayýnýn uzunluðu. V a olur. a b + c A) B) C) D) E) 0 Örnek GBC üçgeninde [GD] kenarortay olduðundan 0 y + 7 Buna göre, cm dir. olur. YANIT: C ABC bir diküçgen [AB] [AC] IGBI cm IGCI cm G noktasý ABC üçgeninin aðýrlýk merkezi olduðuna göre, IBCI x kaç cm dir? Örneðin; A) B) C) 6 D) E) ABC üçgeninde V a kenarortay ise 8 Va 9 + Va 8+ Va 7 cm olur. ABC diküçgeninde V a, V b ve V c kenarortay uzunluklarý ise. V a V b + V c olur. IBGI IGEI V b ICGI cm ise 7 cmve 7 cmdir. cm ise IGFI cm ve V c Va Vb + Vc ( 7 ) + ( ) olduðundan, Va 8 Va cm olur. IBCI x Va. 6 cm bulunur. cmdir. YANIT: B 7

58 Geometri(YGS ve LYS) Konu Testi TEST 8. A [AD] açıortay x IBDI 6 cm IDCI 0 cm IABI x B 6 D 0 ABC üçgeninin çevresi 0 cm olduğuna göre, x kaç cm dir? C. x E A D B 8 C m(bad) m (DAE) [AB] [DC] IDBI cm IBCI 8 cm IADI x Şekilde C, A, E noktaları doğrusal olduğuna göre, x kaç cm dir? A) 0 B) C) 6 D) E) 0 A) 8 B) 9 C) D) E) 8. A ABC bir diküçgen [AD] açıortay [AC] [BC] 6. F A E x B 6 D C m(cad) m(dab) m(bae) m (EAF) IDCI cm IBDI 6 cm IEBI x B 6 D C m(abc) IDCI 6 cm Şekilde C, A, F ve E, B, D, C noktaları kendi aralarında doğrusal olduğuna göre, x kaç cmdir? A) B) C) 6 D) 8 E) 0 Yukarıdaki verilere göre, IABI IACI farkı kaç cm dir? A) B) C) D) 6 E) 6 7. A. A E [AD] ve [CE] açıortay. IAEI. IEDI IBCI cm B D K E C [BK] ve [CK] açıortay [DE] // [BC] IABI 0 cm IACI cm B D C Yukarıdaki verilere göre, ADE üçgeninin çevresi kaç cm dir? Yukarıdaki verilere göre, ABC üçgeninin çevresi kaç cm dir? A) 8 B) 0 C) D) E) A) B) 7 C) 0 D) E) 6. A [AD] açıortay 0 60 B D x C m(abc) 0 m(acb) 60 IBDI cm Yukarıdaki verilere göre, IDCI x cm dir? A) B) C) 6 D) E) 6 8. B A x E D C 8 m(abd) m (DBC) [AB] [AC] [DC] [BC] IAEI cm IDCI 8 cm Yukarıdaki verilere göre, IBCI x kaç cm dir? A) B) 8 C) 6 D) 8 E) 8

59 Konu Testi Geometri (YGS ve LYS) 9. A ABC bir diküçgen [BD] açıortay D [AB] [AC] IADI cm x IDCI cm B Yukarıdaki verilere göre, IBDI x kaç cm dir? A) 6 B) 6 C) 8 D) E) 0 C. A [AD] [CE] {G} [AD] [BF] {K} E IEGI IGFI IFCI G IBDI IDCI K x F IAGI cm B D C Yukarıdaki verilere göre, IGKI x kaç cm dir? A) B), C) D) E) 6 0. A ABC bir diküçgen [AD] ve [BE] kenarortay x [AC] [BC] E G ICGI 8 cm IABI x 8 B D Yukarıdaki verilere göre, x kaç cm dir? A) 6 B) 8 C) D) 7 E). A [AD] [CE] IBDI IDCI E IAEI IEBI 8 G IGDI 6 cm IGEI 8 cm x 6 B D C C A. [AD] [BE] E IAFI IFDI F IBDI IDCI x IAEI cm. B D C Yukarıdaki verilere göre, IECI x kaç cm dir? A) 8 B) C) 7 D) E) 6 B A G 8 H 8 G, ağırlık merkezi [GH] [BC] IBHI IHCI 8 cm IGHI cm Yukarıdaki verilere göre, ABC üçgeninin çevresi kaç cm dir? A) B) 6 C) 0 D) E) 8 C Yukarıdaki verilere göre, IBGI x kaç cm dir? A) 0 B) C) D) 6 E) 0. A ABC bir diküçgen G, ağırlık merkezi [AB] [BC] G D [GE] [BC] IADI IDCI IBEI 8 cm B 8 E C IGEI cm IABI Yukarıdaki verilere göre, oranı kaçtır? IECI A) B) C) D) E) 6. A ABC bir diküçgen [BD] kenarortay [AE] açıortay D IADI IDCI x IABI cm 6 E IBEI 6 cm B Yukarıdaki verilere göre, IEDI x kaç cm dir? A) B) C) D) 6 E) 8 - B - D - C - D - C 6- A 7- C 8- B 9- E 0- C - E - C - D - B - B 6- B C 9

60 Geometri(YGS ve LYS) Konu Testi TEST 9. A [AD] ve [CD] açıortay E [DE] [AC] D 0 IABI cm IAEI cm IECI 0 cm B x C Yukarıdaki verilere göre, IBCI x kaç cm dir?. E A C, A, E noktaları x 6 doğrusal IACI 6 cm IADI cm IABI x B D C m(cad) m(dab) m(bae) olduğuna göre, x kaç cm dir? A) 6 B) 8 C) 9 D) 0 E) A) B) C) 6 D) 7 E) 8. C [DE] [AD] x D [CB] [AB] IAEI IECI IABI cm E IDEI cm IDCI x A m(dac) m(cab) olduğuna göre, x kaç cm dir? B 6. A B x D C m(abe) m(ebc) m(ade) m(edc) IADI IDBI IDCI 6 cm Yukarıdaki verilere göre, IBCI x kaç cm dir? A) 9 B) C) D) E) 8 E A) 6 B) C) 8 D) E) 0. A [CE] [AD] IAFI IFDI E F IAEI cm IEBI cm IBDI cm B D Yukarıdaki verilere göre, ABC üçgeninin çevresi kaç cm dir? C 7. B D A K E C [BK] ve [CK] açıortay [KD] // [AB] [KE] // [AC] IBCI 8 cm Yukarıdaki verilere göre, KDE üçgeninin çevresi kaç cm dir? A) 9 B) C) D) 8 E) A) B) C) 6 D) 7 E) 0. E A [AD] dış açıortay 0 x IABI 0 cm IBCI 9 cm ICDI 6 cm B 9 C Şekilde B, C, D noktaları doğrusal olduğuna göre, IADI x kaç cm dir? A) 6 B) C) 7 D) E) 6 D 8. a a B A a x 6 D 9 C m(abd) m(dbc) a m(bac) a IADI 6 cm IDCI 9 cm Yukarıdaki verilere göre, IBDI x kaç cm dir? A) 6 B) 0 C) 6 D) 8 E) 60

61 Konu Testi Geometri (YGS ve LYS) 9. A B a a x Yukarıdaki verilere göre, x kaç cm dir? D m(bad) a m(dac) a IABI IACI IBDI cm IDCI cm A) B) C) 6 D) E) 8 C. A 7 [AD] [CE] IAEI IEBI 7 cm E x IBDI IDCI 9 cm 7 B 9 D 9 Yukarıdaki verilere göre, IACI x kaç cm dir? A) 8 B) C) 0 D) 6 E) 8 C 0. A [AB] [AG] B x G. A G G, ağırlık merkezi [AB] [AC] IABI IACI x IBDI 9 cm IDCI cm B 9 D C IABI cm IGCI cm Şekilde G noktası ABC üçgenin ağırlık merkezi olduğuna göre, IAGI x kaç cm dir? A) B) C) D) E) C. A ABC bir diküçgen G, ağırlık merkezi 6 [AC] [BC] E G [ED] // [GC] IBDI IDCI x IAEI 6 cm B D Yukarıdaki verilere göre, IEDI x kaç cm dir? A) 6 B) 8 C) 9 D) E) 8. A ABC bir diküçgen [AD] ve [CE] kenarortay [AB] [BC] E x IADI + ICEI G B D C Yukarıdaki verilere göre, IACI x kaç cm dir? A) 6 B) 6 C) 8 D) E) 9 C Yukarıdaki verilere göre, IGDI x kaç cm dir? A) B) C) D) 6 E) 8 6. A 6 G B x C G ağırlık merkezi IABI 6 cm IAGI cm IBGI cm A. ABC bir diküçgen [AB] [BC] [BE] [AD] IAEI IECI E IBDI IDCI x K B D C Yukarıdaki verilere göre, IKEI x kaç cm dir? A) B) C) D) E) 6 Yukarıdaki verilere göre, ICGI x kaç cm dir? A) B) C) D) E) 6 - E - E - D - D - E 6- B 7- D 8- A 9- D 0- D - C - C - D - D - A 6- D 6

62 Üçgende Alan Geometri (YGS ve LYS) Kenarý ve Yüksekliði Verilen Üçgenin Alaný Bir üçgenin alaný, bir kenarýnýn uzunluðu ile o kenara ait yüksekliðin çarpýmýnýn yarýsýdýr. Bir ABC üçgeninin alaný; Alan(ABC) ya da A(ABC) þeklinde gösterilir. Eþkenar Üçgenin Alaný Eþkenar üçgende olur. ve Örneðin, Örneðin, olur A(ABC) cm A(ABC) 0 cm Bir kenarý 0 cm olan eþkenar üçgenin alanýný bulalým. I. yol: 0 Alan(ABC) II. yol: 00 cm dir. ABC eþkenar üçgeninde IBHI IHCI cm ve IAHI cm olduðundan 0. A(ABC) cm olur. Örnek Dik Üçgenin Alaný Diküçgende dik kenarlar birbirinin yüksekliði olduðu için Buradan, a. h b. c bulunur. ABC bir dik üçgen [AB] [AC] [AH] [BC] IABI 6 cm IACI 8 cm Yukarýdaki verilere göre, IAHI x kaç cm dir? A) B) 0 C) D) E) Örneðin, A(ABC) 0 cm A(ABC) 7 cm 0. x 8. 6 Alan (ABC) x x ABC dik üçgeninde Pisagor baðýntýsýndan IBCI IBCI 00 IBCI 0 cm olur. cm dir. YANIT: D 6

63 Üçgende Alan Geometri(YGS ve LYS) Örnek Örnek ABC bir dik üçgen [AB] [BC] IAEI cm IEBI 7 cm IBDI cm IDCI 8 cm [DF] [AB] [DE] [AC] IABI 8 cm IACI cm IDFI cm IDEI x Yukarýdaki verilere göre, taralý alan kaç cm dir? A) 6 B) 0 C) D) 8 E) ABC üçgeninin alaný cm olduðuna göre, IDEI x kaç cm dir? A) B), C), D) E), Taralý alan T olsun T A(ABC) A(EBD) cm bulunur. YANIT: B Alan(ABC) Alan(ABD) + Alan(ADC) 8..x + x cm dir. YANIT: A Örnek Örnek [AH] [HC] [BD] [AC] IAHI 9 cm IHBI cm IBCI 0 cm IBDI x [AH] [BC] IBCI cm IADI 6 cm Yukarýdaki verilere göre, IBDI x kaç cm dir? Yukarýdaki verilere göre, ABDC dörtgeninin alaný kaç cm dir? A) B) C) D) 6 E) 8 AHC diküçgeninde Pisagor teoreminden IACI + 9 IACI cm dir.. x 0.9 x 90 x 6 cm dir. YANIT: D A) 8 B) C) D) E) 6 Alan(ABDC). 6 a (x + y) ay Alan(ABDC) ax + ay ay ax cm dir. olduðundan YANIT: C 6

64 Geometri (YGS ve LYS) Üçgende Alan Örnek 6 Örnek 8 ABC ve DBC birer üçgen [AH] [BC], [DE] [BC] IBCI 0 cm ve IAHI IDEI cm ise ADC üçgeninin alaný kaç cm dir? ABC eþkenar üçgeninde [DE] [BC] IADI cm ve IDCI 8 cm ise taralý alan kaç cm dir? A) 0 B) C) D) 8 E) 0 IAHI x ve IDEI y ise x y cm dir. A(ADC) 0. x 0. y. x. y. (x y). cm olur. YANIT: C A) B) C) 7 D) 8 E) 0 Taralý alan Alan(ABC) Alan(DEC) ABC eþkenar üçgeninde m(acb) 60 ve m(edc) 0 dir. Buradan, IECI cm ve IDEI cm olur. 7 bulunur. cm YANIT: C Örnek 7 ABC bir diküçgen [AB] [BC] [DE] // [AB] IDEI cm IBCI 9 cm Yukarýdaki verilere göre, ACD üçgeninin alaný kaç cm dir? A) 8 B) 6 C) D) E) 9 Örnek 9 ADC ve BCE birer üçgen [AC] [BC] IAEI cm IECI 6 cm IDCI 9 cm AFE ve BDF üçgenlerinin alanlarý eþit olduðuna göre, IBDI x kaç cm dir? A) B) C), D) E) 6 [KF] // [AB] çizildiðinde IKAI IFBI x ICFI 9 x olur. x (9 x) A(ABC) + x +. (9 x) x + 8 x 8 cm dir. YANIT: A S S S + S S + S A(BCE) A(ADC) (x + 9) (x + 9). x 6 cm olur. YANIT: E 6

65 Üçgende Alan Örnek 0 Geometri(YGS ve LYS) Örnek IABI IACI IADI cm IBDI cm ve IDCI cm ise ABD üçgeninin alaný kaç cm dir? m(abc) IABI cm Alan(ABC) 6 cm Yukarýdaki verilere göre, IBCI x kaç cm dir? A) 66 B) 60 C) D) 8 E) A) IBCI + cm ve IABI IACI olduðu için IBHI IHCI 6 cm ve IHDI 6 cm dir. AHD diküçgeninde Pisagor teoreminden IAHI + C) 8 E) [AH] [HC] çizilirse m(abh) ve IAHI cm bulunur. Alan(ABC) 6cm IBDI. IAHI. 66 cm dir. Alan( ABD ) D) 9 IAHI cm olur. B) 6 x. 6 x cm dir. YANIT: A YANIT: A Örnek Örnek B noktasýnýn [AC] kenarýna en kýsa uzaklýðý kaç cm dir? A) 6 C) 6 B) 0 D) 9 E) m(abc) IADI IACI IBDI cm IDCI cm ABC üçgeninde [AH] [BC] çizilirse IBHI IHCI cm olur. Yukarýdaki verilere göre, ABD üçgeninin alaný kaç cm dir? A) 0 IABI IACI cm ve IBCI 0 cm ise B) 8 C) 6 ADC ikizkenar üçgen olduðu için [AH] [BC] çizilirse IDHI IHCI 6 cm olur. ABH diküçgeninde IBHI cm ve YANIT: E E) ABH diküçgeninde Pisagor teoreminden IAHI cm bulunur. B noktasýnýn [AC] na en kýsa uzaklýðý B köþesinden çizilen [BD] yüksekliðidir. IBDI x olmak üzere, Alan(ABC). x 0. x 0 cm olur. D) m(abh) olduðundan IAHI IBHI 0 cm olur. Buradan, Alan(ABD). 0 0 cm bulunur. YANIT: A 6

66 Geometri (YGS ve LYS) Üçgende Alan Örnek Üçgenlerde Taban, Yükseklik Alan ve Ýliþkisi ABC bir dik üçgen [AB] [AC] IADI IACI IBDI 6 cm IDCI cm Yükseklikleri eþit olan üçgenlerin alanlarý, taban uzunluklarý ile orantýlýdýr. Yukarýdaki verilere göre, ABD üçgeninin alaný kaç cm dir? A) 8 B) C) 6 D) 8 E) [AH] [BC] çizilirse IDHI IHCI cm ve IBHI cm olur. ABC dik üçgeninde Öklit baðýntýsýndan IAHI 8. 6 IAHI cm dir. 6. Buradan, Alan (ABD) cm bulunur. YANIT: B Örneðin, Alan(ABD) 0 cm IBDI 8 cm ve IDCI 6 cm iken ADC üçgeninin alanýný bulalým. 0 8 Alan(ADC) 0 cm dir. Alan(ADC) 6 Örnek 6 Örnek ABC ve BDH birer diküçgen [AB] [AC] [AD] [BC] IHDI IHCI IAHI 6 cm IAEI cm IBEI 9 cm IBDI cm IDCI cm BDE üçgeninin alaný cm olduðuna göre, ABC üçgeninin alaný kaç cm dir? A) 8 B) 7 C) 60 D) E) 8 Yukarýdaki verilere göre, BDH üçgeninin alaný kaç cm dir? A) 6 B) C) D) 8 E) ABC diküçgeninde Öklit teoreminden p. k 6 6 dýr. p. k Alan(BDH) 6 8 cm dir. YANIT: D Alan(BCE) Alan(ECA) Alan(BDE) Alan(DCE) Alan(DCE) 7 Alan(DCE) cm dir. 9 + olduðundan Alan(ECA) Alan(ECA) 8 cm dir. Buradan Alan(ABC) cm olur. YANIT: B 66

67 Üçgende Alan Geometri(YGS ve LYS) Örnek 7 ABC bir dik üçgen [AB] [BC] Bir üçgenin bir köþesi bu köþeden geçen ve karþý kenara paralel doðru üzerinde yer deðiþtirdiðinde üçgenin alaný deðiþmez. IABI 8 cm IBCI 0 cm Yukarýdaki verilere göre, BDE üçgeninin alaný kaç cm dir? A) 0 B) C) D) 6 E) 8 AD // BH ise ABC ve DBC üçgenlerinin hem tabanlarý, hem de yükseklikleri ayný olduðundan alanlarý eþittir. IEDI k iken IACI k dir. Alan(BDE) Alan(ABC) Alan(BDE) 0. 8 Örneðin, AD // BC [AB] [AC] IABI cm ve IACI 9 cm olsun olduðundan, Alan(BDE) 6 cm olur. YANIT: D Buna göre, Alan(DBC) Alan(ABC).9 8 cm dir. Örnek 8 [DF] [AB] [DE] [AC] Örnek 9 Yukarýdaki verilere göre, oraný kaçtýr? ABC bir diküçgen [AB] [AC] [DE] // [BC] IADI 8 cm IECI cm A) B) C) D) E) IABI IACI IABI x ve IACI x IBDI IDCI ise ise IBDI y ve IDCI y eþitlikleri yazýlabilir. YANIT: C Yukarýdaki verilere göre, DBE üçgeninin alaný kaç cm dir? A) B) 6 C) 8 D) 6 E) 7.8 Alan (DCE) 8 cm olduðundan Alan(DBE) 8 cm dir. [DE] // [BC] olduðundan Alan(DBE) Alan(DCE) olur. YANIT: C 67

68 Geometri (YGS ve LYS) Üçgende Alan Diküçgende, bir açýnýn karþýsýndaki dik kenar uzunluðunun Örnek 0 hipotenüs uzunluðuna oranýna, o açýnýn sinüsü denir. [ED] [DC] IABI cm IBCI cm IDEI 6 cm IEBI 7 cm Birbirini 80 ye tamamlayan açýlarýn sinüsleri eþittir. [AC] [CD ise olur. sin sin sin0 sin0 A) sin60 sin0 C) 6 B) 8 A, B, E noktalarý doðrusal olduðuna göre, ABC üçgeninin alaný kaç cm dir? D) 66 E) 98 DEB diküçgeninden 6 olur. sinα 7.. sinα Alan(ABC ) cm dir. YANIT: D 0 x 80 olmak üzere; 0 sinx dir. Açýlarýn ölçüleri 90 ye yaklaþtýkça sinüs deðerleri büyür. Sinüsü en büyük açýnýn ölçüsü 90 dir. sin90 dir. Örnek Ýki Kenar Uzunluðu ve Aradaki Açýsý Verilen Üçgenin Alaný ABH diküçgeninde ha c. sinb dir. BDE üçgeninin alaný 0 cm olduðuna göre, DCF üçgeninin alaný kaç cm dir? IABI IACI IBDI 6 cm IBEI 0 cm ICDI cm ICFI 8 cm A) 0 B) C) 0 D) E) 0 IABI IACI olduðundan 68 Ýki kenar uzunluðu verilen üçgenin alanýnýn en büyük olmasý için bu iki kenar arasýndaki açýnýn ölçüsü 90 olmalýdýr. sin90 olduðundan Max[Alan(ABC)]. b. c. sin90 m(b) m(c) α dýr sin α Alan(BDE ) Alan(DCF ). 8. sinα 0 0 Alan(DCF ) 0 cm bulunur. Alan(DCF ) 60 YANIT: E

69 Üçgende Alan Örnek Hipotenüse çizilen yüksekliði sabit olan diküçgenlerden, alaný en küçük olaný ikizkenar diküçgendir. ABD ve AEC birer üçgen IAEI 8 cm IADI 6 cm IDCI 9 cm IEBI x Geometri(YGS ve LYS) Hipotenüs uzunluðu sabit olan diküçgenlerden, alaný en büyük olaný ikizkenar diküçgendir. Dik kenarlarý toplamý sabit olan diküçgenlerden, alaný en büyük olaný ikizkenar diküçgendir. Çevresi sabit olan üçgenlerden, alaný en büyük olaný eþkenar üçgendir. EBF ve DFC üçgenlerinin alanlarý eþit ise, x kaç cm dir? A) B) 0 C) 9 D) 8 E) Örnek Alan(EBF) S Alan(DFC) S Alan(AEFD) S ise S S S + S S + S Hipotenüs uzunluðu 8 cm olan bir dik üçgenin alaný en çok kaç cm dir? A) 8 B) 6 C) Alan(ABD) Alan(AEC) Alanýn en büyük olmasý için h nin en büyük olmasý gerekir. ve p + k 8 cm olduðundan, p k için h en büyüktür sinα E). (x + 8). 6. sinα D) 0 x cm olur. YANIT: A O halde, h. cm olduðundan, Max [ Alan(ABC)] Örnek m(bad) 60 m(dac) Örnek Hipotenüsüne çizilen yüksekliði 6 cm olan bir dik üçgenin alaný en az kaç cm dir? IABI cm A) 8 Yukarýdaki verilere göre, IACI x kaç cm dir? B) 8 C) D) E) B) C) 0 IHCI k ise Öklit baðýntýsýndan dir. p. k 6 6 olur.. IADI.. sin60. IADI. x. sin. (p + k) dir. x 6 cm olur. p. k 6 iken, p k 6 olursa, p + k en küçük olur. YANIT: C bulunur. YANIT: E ve sin Alan(ABD) IBDI Alan(ADC ) IDCI x. E) 6 IBHI p ve. D) sin60 YANIT: B A) 8. 6 cm dir. 69

70 Geometri (YGS ve LYS) Üçgende Alan Kenar Uzunluklarý Verilen Üçgenin Alaný ABC üçgeninde IBCI a IACI b IABI c ve Çevresi ve Ýç Teðet Çemberinin Yarýçapý Verilen Üçgenin Alaný A lan(abc ) u(u a) (u b) (u c) olur. Örneðin, Kenar uzunluklarý 7 cm, 8 cm ve cm olan bir üçgenin alanýný bulalým u olduðundan Alan(ABC) Örnek 6.7. cm olur..( 7).( 8). ( ) IABI cm IADI 7 cm IBDI cm ve IDCI 6 cm ise Alan(ADC) kaç cm dir? A) B) 0 C) 08 D) 96 E) 7 Alan(ABD) Alan(ADC ) 6 OBC, OAC ve OAB üçgenlerinin yükseklikleri eþit olduðundan alanlarý kenarlarý ile orantýlýdýr. Örnek 7 Dik kenar uzunluklarý 8 cm ve 6 cm olan bir diküçgenin içteðet çemberinin yarýçapý kaç cm dir? A) B) C) D) E) ABC diküçgeninde IBCI 0 cm olur u u cm dir Alan (ABC) u. r. r r cm olur. Örnek 8 olmak üzere Alan(ABC) u. r dir. YANIT: C ABC bir diküçgen O, içteðet çemberin merkezi [BC] [AC] IACI cm ve IBCI 6 cm ise ABO üçgeninin alaný kaç cm dir? A) B) 0 C) 9 D) 6 E) olduðundan, Alan(ABD) P iken Alan(ADC) P olur ABD üçgeninde, u 7 olduðundan Alan (ABD) cm olur. O halde, P 90 P 0 ve P 0 cm olur. YANIT: B ABC diküçgeninde IABI 0 cm dir. 6. Alan(ABC) 96 cm 0P + 6P + P 96 P 0P 0 cm dir. YANIT: B 70

71 Üçgende Alan Üçgenlerde Benzerlik Alan Ýliþkisi Geometri(YGS ve LYS) Örnek 9 Benzer üçgenlerin alanlarý oraný benzerlik oranýnýn karesine eþittir. m(dec) m(abc) Alan(EDC) cm Alan(ABDE) 6 cm IBCI 0 cm ise IECI x kaç cm dir? A) 0 ABC ve DEF üçgenleri benzer (ABC DEF) olsun. B) 9 C) 8 m(dec) m(abc) ve C her iki üçgeninde Üçgende kenarlara paralel olan eþit aralýklý çizgiler alaný þekildeki gibi bölümlere ayýrýr. Birinci þekildeki küçük üçgenler eþ üçgenler olduðu için herbirinin alaný eþittir. Buradan ikinci þekildeki P, P, P, 7P oraný elde edilir. Alan(DCE ) k dir. Alan( ACB ) + 6 k Buradan, x x 8 cm bulunur. 0 A) B) C) IAEI IEBI IAFI IFCI [ED] [DF] IEDI cm ve IDFI 6 cm olsun. Buna göre, Alan (EDF) Alan (ABC). 60 cm bulunur. Alan( ADE ) Alan( ABC ) 7 9 k olur. k k.6 cm ve E) [DE] // [BC] olduðundan ADE ABC dir. D) Örneðin, oraný kaçtýr? [DE] // [BC] Alan(ADE) 7 cm ve Alan(BCED) 8 cm ise YANIT: C Örnek 0 Orta taban üçgenin alanýný S, S oranýnda böler. Üçüncü þekilde [DE] nin orta taban olmasý DFE üçgeninin alaný-nýn ABC üçgeninin alanýnýn dörtte biri olmasýný gerektirir. m(edc) m(a) olur. O halde, DCE ACB dir. ortak açýsý olduðundan E) D) 6 ise IAEI x, IACI x ve IECI x dir. Buradan YANIT: D 7

72 Geometri (YGS ve LYS) Örnek Üçgende Alan Örnek [DE] // [BC] Alan(BCED) cm [AC] [BD] {E} [AB] // [DC] Alan(DEC) cm Alan(BEA) 7 cm Yukarýdaki verilere göre, ADE ügeninin alaný kaç cm dir? Yukarýdaki verilere göre, Alan(AED) kaç cm dir? A) B) 7 C) D) 8 E) 6 A) 6 B) 8 C) 0 D) E) 0 I. Yol: Tabana paralel eþit aralýklý doðru parçalarý çizilirse alanlar þekildeki gibi bölünür. [DC] // [AB] olduðundan DEC BEA dir. Benzerlik oraný k ise k k 7x + 9x x cm olur. Alan(ADE) x + x + x 9x 8 7 olur. Buradan IECI x ve IAEI x yazýlabilir. cm Alan(AED) x Alan(AED) Alan(DEC ) x bulunur. Alan(AED) 0 cm dir. II. Yol: Alan(ADE ) k Alan(ABC ) k p 9 p + p 8 cm YANIT: E Alan(ADE) p ise dir. Örnek YANIT: D DECF bir paralelkenar Alan(ADF) 0 cm Alan(DBE) cm olduðuna göre, DECF paralelkenarýnýn alaný kaç cm dir? Örnek Alanlarý cm ve 7 cm olan benzer iki üçgenin çevreleri toplamý 00 cm dir. A) 60 B) 6 C) 0 DECF paralelkenar olduðundan ADF DBE dir. B) 0 C) 6 D) E) 0 7 Benzerlik oraný k ise olur. O halde, küçük üçgenin çevresi x iken büyük üçgenin çevresi x tir. Buradan x + x 00 x 0 cm ve küçük üçgenin çevresi: x 0 cm bulunur. YANIT: B E) 0 Buna göre, küçük üçgenin çevresi kaç cm dir? A) D) k Alan( ADF ) 0 Alan(DBE ) ise tür. Buradan, IDFI IECI x ve IBEI x yazýlabilir. Alan(DBE ) x olduðundan, Alan(DEC ) x Alan(DEC ) Alan(DEC) 0 cm ve Alan(DECF) 60 cm bulunur. YANIT: A

73 Geometri(YGS ve LYS) Üçgende Alan Üçgende Açýortay Alan Ýliþkisi Örnek 6 EBD bir diküçgen [DE] [EB] ABC üçgeninde [AN] açýortay iken INDI INEI olduðundan m(ead) m(dac) IABI cm IACI 8 cm IDEI 0 cm Yukarýdaki verilere göre, ABC üçgeninin alaný kaç cm dir? A) 8 ABC üçgeninde iç açýortaylarýn kesiþim noktasý içteðet çemberin merkezidir. ABO, BCO ve CAO üçgenlerinin yükseklikleri eþit olduðundan, alanlarýnýn oraný tabanlarýnýn oranýna eþittir. Alan(ABO) c.k iken Alan(BCO) a.k ve Alan(ACO) b.k olur. C) 6 D) 0 IBDI k ICDI k IBCI k olur. ABC üçgeninde dýþ açýortay kuralýndan IBDI ICDI 8 ise Alan(ABC) S ise Alan(ACD). S ve Alan(ABD). S dir.. 0 Alan(ABD) 0 cm olduðundan,. S 0 S 0 cm bulunur. YANIT: B Örneðin, Örnek 7 [BD] açýortay [DH] [BC] Alan(ABC) 6 cm IABI cm ve IBCI 6 cm ise IDHI x kaç cm dir? A) 6 B) A) C) D) E) B) C) D) 6 E) 7 [DK] [AB] çizildiðinde IDKI IDHI x olur. 6. x. x Alan( ABC ) + 6 8x + 6x x 6 x cm dir. [BD] ve [CD] açýortay [DE] [BC] Çevre(ABC) 60 cm ve Alan(ABC) 90 cm ise IDEI x kaç cm dir? Örnek E) B) 0 YANIT: B [BD] ve [CD] açýortay olduðundan [DK] [AC] ve [DL] [AB] çizilirse IDKI IDLI IDHI x olur. Çevre(ABC) 60 cm ise a + b + c 60 cm dir. Alan(ABC) Alan(DBC) + Alan(DCA) + Alan(DAB) a.x b.x c.x (a + b + c ) 90 x 90 x x cm bulunur. 90 YANIT: D 7

74 Geometri (YGS ve LYS) Üçgende Alan Üçgende Kenarortay Alan Ýliþkisi Örnek 9 ABD ve FBC birer diküçgen [AB] [BC] IAFI IFBI cm IBDI IDCI 8 cm Yukarýdaki verilere göre, EDC üçgeninin alaný kaç cm dir? Aðýrlýk merkezinden geçen herhangi bir kenara paralel doðru, alaný P, P oranýnda böler. A) 6 B) 8 C) 9 D) 0 E) Alan(EDC ) Alan(ABC) 6 E noktasý ABC üçgeninin aðýrlýk merkezi olduðundan, EDC üçgeninin alaný ABC üçgeninin alanýnýn altýda biridir cm dir. YANIT: B Örnek 0 Örnek 8 [AD] ve [BE] kenarortay [FE] // [BC] Alan(ABC) 7 cm ise Alan(BGKF) kaç cm dir? A) 0 B) C) D) 0 E) [GD] [BC] [GE] [AB] IABI 8 cm IBCI cm IGDI cm IEGI x G noktasý ABC üçgeninin aðýrlýk merkezi olduðuna göre, IEGI x kaç cm dir? A) B) C) D) E) ABC üçgeninin alaný þekilde olduðu gibi bölündüðünde Alan(ABC) 7 n 7 n cm ve Alan(BGKF) n cm olur. YANIT: C G noktasý ABC üçgeninin aðýrlýk merkezi olduðundan Alan(ABG) Alan(BCG) 8.x. x x cm dir. YANIT: C 7

75 Konu Testi Geometri (YGS ve LYS). IABI cm IACI 0 cm IADI 8 cm IDEI cm TEST 0 Şekilde ABC üçgeninide [AD] [AC] ve [DE] [AB] olduğuna göre, ABC üçgeninin alanı kaç cm dir? A) B) C) D) 6 E) 8. ABC eşkenar üçgen [DB] [DE] IBEI IECI IDEI cm ABC eşkenar üçgeninin çevresi 0 cm olduğuna göre, taralı alan kaç cm dir? A) 6 B) + C) D) 6 E). [DE] [AB] [DF] [AC] IDEI IDFI cm Şekilde IABI + IACI cm olduğuna göre, ABC alanı kaç cm dir? 6. [AD] [AC] IADI IACI IABI 0 cm IDCI cm Yukarıdaki verilere göre, ABD üçgeninin alanı kaç cm dir? A) B) 6 C) 8 D) 9 E) 0 A) B) 6 C) 8 D) E) 60. ABC bir diküçgen [AB] [AC] [AH] [BC] IABI 6 cm IACI 8 cm IADI cm Yukarıdaki verilere göre, taralı alan kaç cm dir? 7. IABI IACI m(adb) IBDI cm IDCI 6 cm Yukarıdaki verilere göre, ABD üçgeninin alanı kaç cm dir? A) B) C) 8 D) E) A) 0 B) C) D) E) 6. ABC bir diküçgen [AB] [BC] IADI IDCI 8 cm IACI cm IABI x Yukarıdaki verilere göre, IABI x kaç cm dir? A) B) 7 C) 6 D) E) 7 8. m(abc) 60 IADI IACI IBDI cm IDCI 6 cm Yukarıdaki verilere göre, ABC üçgeninin alanı kaç cm dir? A) B) C) 0 D) 6 E) 7

76 Geometri(YGS ve LYS) Konu Testi 9. ABC bir diküçgen [AB] [BC] IABI IBCI IADI IDCI 7 cm cm Yukarıdaki verilere göre, DBC üçgeninin alanı kaç cm dir?. IAEI cm IEBI 6 cm IBDI 8 cm IDCI x AEDC dörtgeninin alanı ile EBD üçgeninin alanı eşit olduğuna göre, x kaç cm dir? A) B) C) 7 D) 0 E) 6 A) 8 B) C) D) 9 E) 0. ABC bir dik üçgen [AB] [AC] IBCI.IDEI IABI 9 cm IACI 0 cm Yukarıdaki verilere göre, ADE üçgeninin alanı kaç cm dir? A) 0 B) C) 7 D) 0 E). [ED] [EF] IBEI.IAEI IADI.IDCI IFDI.IBFI IEDI 8 cm IEFI cm Yukarıdaki verilere göre, DBC üçgeninin alanı kaç cm dir? A) B) C) 6 D) 8 E). m(dae) 0 IBDI IDEI IECI IADI 7 cm IAEI 8 cm. [AE] [BD] IADI IDCI IAEI cm IBEI 9 cm Yukarıdaki verilere göre, EBC üçgeninin alanı kaç cm dir? A) B) 6 C) 8 D) E) 6 Yukarıdaki verilere göre, ABC üçgeninin alanı kaç cm dir? A) 8 B) C) D) 6 E) [DH] [BH] [DK] [AB] IADI IDCI.IDHI.IDKI IABI cm 76. [AC] [BD] {E} [BC] [CD] IAEI IECI IBCI 9 cm IDCI cm Yukarıdaki verilere göre, ABD üçgeninin alanı kaç cm dir? A) B) 6 C) 8 D) E) 7 Yukarıdaki verilere göre, IBCI x kaç cm dir? A) 8 B) 0 C) D) E) 6 - E - C - D - E - D 6- B 7- C 8- C 9- D 0- C - C - C - C - D - C 6- E

77 Konu Testi Geometri (YGS ve LYS). [CE] [BD] {F} IADI.IDCI IAEI IEBI TEST ABD üçgeninin alanı cm olduğuna göre, AEC üçgeninin alanı kaç cm dir?. [AH] [HC] IABI cm IACI cm IBCI 8 cm IAHI h Yukarıdaki verilere göre, IAHI h kaç cm dir? A) B) C) D) E) A) B) 6 C) 8 D) 0 E). m(abd) m(dbc) 0 IADI IDCI IBCI 8 cm Yukarıdaki verilere göre, IABI x kaç cm dir? A) B) C) 6 D) E) 8 6. O noktası içteğet çemberin merkezi IABI 7 cm IACI 9 cm IBCI cm Yukarıdaki verilere göre, OBC üçgeninin alanı kaç cm dir? A) 8 B) C) 8 D) 6 E) 8. [AD] kenarortay IABI c IABI b 7. IABI 8 cm IACI 0 cm IBCI cm b + c cm olduğuna göre, ABD üçgeninin alanı en çok kaç cm dir? A) B) C) 6 D) 8 E) 60 Şekle göre, ABC üçgeninin içteğet çemberinin yarıçapı kaç cm dir? A) B) C) 6 D) 7 E). [AB] [AC] IABI 6 cm IACI 8 cm IDBI cm IDCI 7 cm Yukarıdaki verilere göre, taralı alan kaç cm dir? A) B) 7 C) 7 D) 66 E) 7 8. ABC bir dörtgen [AB] [BC] [AD] // [EC] IAEI 9 cm IBCI 6 cm Yukarıdaki verilere göre, DEC üçgeninin alanı kaç cm dir? A) 8 B) C) 7 D) 0 E) 6 77

78 Geometri(YGS ve LYS) Konu Testi 9. [AH] [BC] [DH] // [AB] IAHI cm IBHI 6 cm. ABD ve EBC birer üçgen [AD] [BC] IAEI IEBI.IBDI.IDCI Yukarıdaki verilere göre, ABD üçgeninin alanı kaç cm dir? Yukarıdaki verilere göre, ABD üçgeninin alanının EBC üçgeninin alanına oranı kaçtır? A) B) 0 C) 6 D) 8 E) 7 A) B) 6 C) D) 6 E) 0. [AB] [AD] IABI IACI IBDI cm IDCI 9 cm Yukarıdaki verilere göre, ADC üçgeninin alanı kaç cm dir? A) B) 8 C) 0 D) E) 7. [AB] [BC] [DE] // [AB] IBCI 6 cm IDEI 6 cm Yukarıdaki verilere göre, AEC üçgeninin alanı kaç cm dir? A) 6 B) C) 8 D) 60 E) 7. ABC bir diküçgen [AB] [AC] IABI IADI IBDI cm IDCI 6 cm Yukarıdaki verilere göre, ADC üçgeninin alanı kaç cm dir?. [BE] [CD] {F} IADI cm IAEI 6 cm IBDI 9 cm IECI x Şekilde DBF ve EFC üçgenlerinin alanları eşit olduğuna göre, x kaç cm dir? A) 9 B) C) D) 6 E) 8 78 A) 6 B) 8 C) D) 6 E) 8. ABC bir diküçgen [AC] [BC] IAEI IEBI m(edb) IEDI cm IDCI cm Yukarıdaki verilere göre, EBD üçgeninin alanı kaç cm dir? A) 8 B) C) D) 7 E) 8 6. [DE] // [BC] [DK] [KE] IADI IDBI IDKI 6 cm IKEI cm Yukarıdaki verilere göre, ABC üçgeninin alanı kaç cm dir? A) 6 B) 8 C) 0 D) E) 60 - C - B - C - D - E 6- D 7- D 8- C 9- C 0- E - C - B - D - C - B 6- C

79 Konu Testi Geometri (YGS ve LYS). TEST m(bed) m(acb) IACI 0 cm IEDI 8 cm EBD üçgeninin alanı cm olduğuna göre, AEDC dörtgeninin alanı kaç cm dir?. ABC ve DBC birer üçgen [AB] // [DC] Alan(ABE) cm Alan(DEC) 0 cm Yukarıdaki verilere göre, EBC üçgeninin alanı kaç cm dir? A) B) 7 C) 0 D) E) 6 A) B) 0 C) 6 D) 60 E) 6. [DE] // [BC] Alan( ADE) Alan( BCED) IADI Yukarıdaki şekle göre, oranı kaçtır? IDBI A) B) C) D) E) 6. [AB] ^ [AC] [AD] ^ [BC] IBHI IHDI IAHI 6 cm Yukarıdaki verilere göre, HDC üçgeninin alanı kaç cm dir? A) B) 6 C) 8 D) E) 6. [AB] [BC] [DC] [BC] [AE] [ED] m(dae) 0 7. [AB] ^ [AC] [AD] ^ [BC] m(cda) IACI cm Şekilde ABE üçgeninin alanı 8 cm olduğuna göre, ECD üçgeninin alanı kaç cm dir? A) B) 6 C) D) E) 6 Yukarıdaki verilere göre, DCB üçgeninin alanı kaç cm dir? A) 7 B) 8 C) 96 D) 0 E). [AB] // [ED] [AC] // [FD] Alan(FBD) 0 cm Alan(EDC) 8 cm Yukarıdaki verilere göre, ABC üçgeninin alanı kaç cm dir? A) 0 B) C) 8 D) 6 E) 8. ABC bir diküçgen [BD] açıortay [AB] ^ [AC] IBEI IEDI IADI cm IBCI cm Yukarıdaki verilere göre, EBC üçgeninin alanı kaç cm dir? A) 6 B) 8 C) D) 8 E) 79

80 Geometri(YGS ve LYS) Konu Testi 9. ABC bir diküçgen [BD] ve [CD] birer açıortay [AB] ^ [AC] IAHI cm IACI 6 cm Yukarıdaki verilere göre, DBC üçgeninin alanı kaç cm dir? A) B) 0 C) 9 D) 6 E). ABC bir diküçgen G ağırlık merkezi [AB] [BC] IABI 9 cm IBCI 0 cm Yukarıdaki verilere göre, AGC üçgeninin alanı kaç cm dir? A) 9 B) 0 C) D) E) 8 0. m(eac) m(dac) [AD] ^ [BE IABI 8 cm IADI cm Yukarıdaki verilere göre, ADC üçgeninin alanı kaç cm dir? A) 6 B) C) 8 D) 6 E). ABD ve EBC birer üçgen [AD] [CE] IADI 9 cm ICEI cm Yukarıdaki verilere göre, BDFE dörtgeninin alanı kaç cm dir? A) 8 B) C) 7 D) 0 E) 6. ABC bir diküçgen [ED] ve [CD] birer açıortay [DE] ^ [BC] IDEI x Şekilde ABC üçgeninin çevresi cm ve alanı 8 cm olduğuna göre, x kaç cm dir?. ABC bir diküçgen [AB] ^ [AC] IADI IDBI cm IAEI IECI 6 cm [BE] ve [CD], ABC üçgeninin kenarortayları olduğuna göre, DFE üçgeninin alanı kaç cm dir? A) B) C) D) 6 E) 8. A) B) 9 C) D) E) 7 [AD] açıortay Alan(ABD) cm Alan(ADC) 8 cm Şekilde EBA ve ACF birer eşkenar üçgen olduğuna göre, EBA üçgeninin alanının ACF üçgeninin alanına oranı kaçtır? 9 A) B) C) D) E) [GD] [BC] [GE] [AC] [GF] [AB] IGDI cm IGFI x IGEI y Şekilde G noktası ABC üçgeninin ağırlık merkezidir. IABI 0 IACI IBCI ise x + y toplamı kaç cm dir? A) 8 B) 9 C) 0 D) E) - E - E - B - C - C 6- C 7- A 8- C 9- B 0- A - D - B - D - B - C 6- D 80

81 Uğurlu Sayfa SÝZE ÖZEL SORULAR. Bir kutuda ikisi kýrmýzý, üçü mavi renkte olan beþ þapka vardýr. Bu þapkalardan herhangi üçü yüzleri bir duvara dönük olarak arka arkaya duran gözleri kapalý üç kiþiye giydiriliyor. Ali, Veli ve Selami adýndaki bu kiþiler kutudaki þapkalarýn ikisinin kýrmýzý ve üçünün mavi olduðunu biliyorlar. Baþlarýna birer þapka konduktan sonra gözlerini açan üç kiþi kendi þapkalarýnýn rengini görmüyorlar. Ancak Ali, Veli ile Selami nin; Veli ise Selami nin þapkasýnýn rengini görüyor. (Duvar ayna gibi yansýtmýyor.) Önce Ali, Ben baþýmdaki þapkanýn rengini bilmiyorum. der. Bunun üzerine Veli: Ben de baþýmdaki þapkanýn rengini bilmiyorum. der. Selami, çok zeki olan Ali ve Veli nin bu sözlerini duyunca: Ben baþýmdaki þapkanýn rengini biliyorum. der ve doðru olarak söyler. Acaba Selami nin baþýndaki þapkanýn rengi nedir? Selami bunu hangi mantýkla bulmuþtur?. Bir manav eþit kollu terazi ile sadece çeþit demir kütle kullanarak kilogramdan 0 kilograma kadar istenen her kütlede meyve ya da sebzeyi tek tartýda verebilmektedi. Manavýn elindeki bu dört çeþit kütle kaçar kilogramlýktýr?.. DERGÝDEKÝ SÝZE ÖZEL SORULARIN ÇÖZÜMLERÝ Vezir keselere A, B, C,... gibi isimler verir. A dan, B den, C den,..., L den 0 yüzük olmak üzere toplam yüzüðü alýr ve tartar. Eðer yüzüklerin tümü 0 ar gram olsaydý toplam 0. 0 gram olacaktý. Yüzüklerin toplam kütlesi 0 gramdan kaç gram eksik ise o kadar yüzük alýnan torbadaki yüzükler 9 ar gram demektir. Örneðin, yüzüðün toplam kütlesi 7 olsun. 0 7 gram eksik olduðundan tane yüzük alýnan C torbasýndaki yüzükler 9 ar gramdýr.. Oflular O ve Rizeliler R harfiyle gösterilirse; diziliþ þekli, baþlama yeri ve yönü þekildeki gibi olur?. x y 7 (x y).(x + y) x y y 68 x + y 69 x 70 x 68 O halde, hipotenüsün uzunluðu x 68 birimdir.. Ali yi Bursa lı kabul edelim.. önermeye göre; Ali Bursalı ise Cem (Tokatlı değil) Konya lı ve Bülent Tokat lıdır. Bu önerme,. önerme olan Bülent Tokatlı ise Cem Bursalı dır. ifadesiyle çeliştiği için; Ali Bursa lı değildir. Ali yi Konya lı kabul edelim.. önermeye göre; Ali Konya lı ise Bülent Bursa lı ve Cem Tokatlı dır. Bu önerme,. önerme olan Cem Tokat lı ise Ali Konya lı değildir. ifadesiyle çeliştiği için; Ali Konya lı da değildir. O halde, Ali Tokat lıdır. Ali Tokat lı iken;. önerme olan Ali Konya lı değil ise Bülent de Bursa lı değildir. ifadesinin doğru olması için, Bülent in (Bursa lı olmaması) Konyalı olması gerekir. Buna göre; Ali Tokat lı, Bülent Konya lı ve Cem Bursa lıdır. 8

82

83

84