ANKARA ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ YÜKSEK LİSANS TEZİ SOBOLEV UZAYLARINDA YAKLAŞIM. Sezgin SUCU MATEMATİK ANABİLİM DALI ANKARA 2009

ANKARA ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ YÜKSEK LİSANS TEİ SOBOLEV UAYLARINDA YAKLAŞIM Sezgin SUCU MATEMATİK ANABİLİM DALI ANKARA 29 Her hakkı saklıdır

ÖET Yüksek Lisans Tezi SOBOLEV UAYLARINDA YAKLAŞIM Sezgin SUCU Ankara Üniversitesi Fen Bilimleri Enstitüsü Matematik Anabilim Dal Dan şman: Doç. Dr. Ertan IB IKL I Bu tez alt bölümden oluşmaktad r. Birinci bölüm giriş k sm na ayr lm ş ve tez hakk nda genel bilgiler verilmiştir. Ikinci bölümde, ileri bölümlerde gerekli olan temel kavramlar ifade edilmiştir. Üçüncü bölümde, düzgünleştirici kavram ve bir f fonksiyonunun A f düzgünleşmesi tan t lm şt r. Ayr ca A oeratörünün özellikleri incelenmiştir. Dördüncü bölümde, zay f türevin tan m verilmiş ve zay f türev kavram n n genel özellikleri üzerinde ayr nt l olarak durulmuştur. Beşinci bölümde, W k () Sobolev uzaylar tan t lm ş, W k () Sobolev uzaylar n n matematiksel ya s incelenmiş ve W2 k () uzaylar için alternatif karakterizasyon verilmiştir. Ayr ca bu uzaylarda standart norma denk olan normlar elde edilmiştir. Son bölümde ise, Friedrichs yaklaş m teoremi verilmiş ve bu teoremin baz önemli uygulamalar ifade edilmiştir. Ayr ca W k () Sobolev uzaylar n n yo¼gun alt uzaylar araşt r lm ş ve W k () uzaylar nda olinomsal yaklaş m elde edilmiştir. Son olarakta, W2 r ([ ; ]) Sobolev uzaylar nda trigonometrik yaklaş m incelenmiştir. Ocak 29, 38 sayfa Anahtar Kelimeler : Fonksiyonun düzgünleşmesi, ay f türev, Sobolev uzaylar, Fourier dönüşümü, Yaklaş m. i

ABSTRACT Master Thesis APPROXIMATION IN SOBOLEV SPACES Sezgin SUCU Ankara University Graduate School of Natural And Alied Sciences Deartment of Mathematics Suervisor: Assoc. Prof. Dr. Ertan IB IKL I This thesis consists of six chaters. The rst chater is devoted to the introduction and general information about thesis is given. In the second chater, basic concets needed in the further chaters are exlained. In the third chater, molli er and A f molli cation of function f are introduced. Additionaly, general roerties of A oerator are examined. In the fourth chater, de nition of eak derivative is given and general characteristics of eak derivative concets are examined in detail. In the fth chater, W k () Sobolev saces are introduced, mathematical structure of the W k () saces is insected and alternate characterization of the saces W2 k () is given. Moreover, norms equivalent the standart norm are obtained in these saces. In the last chater, Friedrichs aroximation theorem is given and some imortant alications of this theorem are exlained. Also, dense subsaces of the W k () saces are investigated and olynomial aroximation in the W k () saces is obtained. In the end, trigonometric aroximation in W2 r ([ ; ]) saces is examined. January 29, 38 ages Key Words: Molli cation of function, Weak derivative, Sobolev saces, Fourier transform, Aroximation. ii

TEŞEKKÜR Bu çal şma konusunu bana veren ve araşt rmalar m n her aşamas nda yak n ilgi ve önerileriyle beni yönlendiren dan şman hocam Doç. Dr. Ertan IB IKL I (Ankara Üniversitesi Fen Fakültesi Matematik Bölümü) ye ve çal şmalar m s ras nda bana her zaman destek olan aileme en içten sayg ve teşekkürlerimi sunar m. Sezgin SUCU Ankara, Ocak 29 iii

IÇ INDEK ILER ÖET.................................................. i ABSTRACT............................................ ii TEŞEKKÜR............................................ iii S IMGELER D I IN I.................................... vi ŞEK ILLER D I IN I..................................... viii. G IR IŞ............................................... 2. TEMEL KAVRAMLAR............................. 4 2. Baz Semboller...................................... 4 2.2 Kümelerin Geometrik Özellikleri.................... 6 2.3 Lebesgue Integrali Için Baz Önemli Teoremler...... 2.4 Fourier Dönüşümü ve Fourier Serisi................. 5 2.5 Birimin Düzgün Parçalanmas....................... 9 2.6 Mutlak Süreklilik................................... 2 3. DÜGÜNLEŞT IR IC I ve DÜGÜNLEŞMEN IN BAI ÖELL IKLER I...................................... 22 3. Düzgünleştirici...................................... 22 3.2 Düzgünleşmenin Baz Özellikleri.................... 24 4. AYIF TÜREV ve TEMEL ÖELL IKLER I.......... 34 4. ay f Türev......................................... 34 4.2 ay f Türevin Temel Özellikleri...................... 44 5. SOBOLEV UAYLARI.............................. 66 5. Sobolev Uzaylar Tan m............................ 66 5.2 Sobolev Uzaylar n n Temel Özellikleri............... 7 5.3 Sobolev Uzaylar n n Fourier Dönüşümü Yard m yla Karakterizasyonu.................................... 84 5.4 Sobolev Uzaylar nda Denk Normlar................. 9 iv

6. SOBOLEV UAYLARINDA YAKLAŞIM............... 96 6. Friedrichs Yaklaş m Teoremi ve Uygulamalar........... 96 6.2 Düzgün Fonksiyonlar Yard m yla Yaklaş m.............. 6 6.3 W k () Sobolev Uzaylar nda Polinomsal Yaklaş m....... 6 6.4 W2 r ([ ; ]) Sobolev Uzaylar nda Trigonometrik Yaklaş m 24 KAYNAKLAR............................................. 36 ÖGEÇM IŞ............................................... 38 v

S IMGELER D I IN I N jj N n : N ::: N {z } n tane h:h:h: f g (f; g) V D f : +:::+n f x :::xn n Df : B (x; r) (n) +:::+n f x :::xn n Negatif olmayan tamsay lar kümesi Katl indeks jj + ::: + n Katl indeks kümesi Hemen hemen her yerde f fonksiyonu ile g fonksiyonu h.h.h. eşittir. V uzay nda f ile g fonksiyonlar n n iç çar m f fonksiyonunun basamaktan klasik türevi f fonksiyonunun basamaktan zay f türevi kümesinin s n r x merkezli r yar çal aç k yuvar B (; ) R n birim yuvar n n hacmi! n B (; ) R n birim yuvar n yüzey alan suf A d (x; A) (A) m (A) C () C () f fonksiyonunun deste¼gi A kümesinin kaan ş aç k, ve s n rl x noktas n n A kümesine uzakl ¼g A kümesinin ça A R n ölçülebilir kümesinin Lebesgue ölçüsü üzerinde sürekli fonksiyonlar uzay üzerinde sonsuz mertebeden sürekli türeve sahi fonksiyonlar uzay C () içinde komakt deste¼ge sahi C () fonksiyonlar uzay L () L () < için -inci mertebeden Lebesgue integrallenebilir fonksiyonlar uzay üzerinde h.h.h. s n rl fonksiyonlar n uzay L loc () 8K komakt kümesi için f 2 L (K) der u (x) u (x) olinomunun derecesi vi

W k () k:k W k () bf _ f f k 2 N ; için Sobolev uzay W k () Sobolev uzay nda standart norm f fonksiyonunun Fourier dönüşümü f fonksiyonunun ters Fourier dönüşümü f fonksiyonunun eşleni¼gi } k der u (x) k olacak şekilde olinomlar n kümesi : [ x2 B (x; ) kümesinin komşulu¼gu San (A) A kümesinin gerdi¼gi küme vii

ŞEK ILLER D I IN I Şekil 2: s n r düzgün olan R 2 kümesi... 7 Şekil 2:2 s n r Lischitz s n f na ait olan R 2 kümesi... 8 Şekil 2:3 S n r Lischitz s n f na ait olmayan ve 2 kümeleri... 9 Şekil 6: A s n r C s n f ndan olmayan A R 2 kümesi... Şekil 6:2 s n r C s n f ndan olan R 2 kümesi... 2 viii

. G IR IŞ Bu tezde R n aç k kümesi üzerinde tan ml bir f fonksiyonunun düzgünleşmesi, zay f türev, W k () Sobolev uzaylar ve bu uzaylarda hangi koşullar alt nda yaklaş m n olaca¼g ayr nt l olarak incelenmiştir. 8 < f (x) ; x 2 f (x) : : ; x 2 R n n olmak üzere ilk olarak! düzgünleştiricisinin tan m verilerek bir f fonksiyonunun (A f) (x) : (! f ) (x) düzgünleşmesinin tan m ya lm ş ve A araşt r lm şt r. oeratörünün özellikleri ayr nt l olarak Daha sonra, zay f türev kavram n n tan m ya larak verilen bir f 2 L loc () fonksiyonunun D f 2 L loc () zay f türevinin nas l hesalanaca¼g örneklerle aç klanm şt r. f fonksiyonunun klasik anlamda türevinin sürekli olmas halinde klasik anlamda türevin zay f türevle çak şaca¼g gösterilmiştir. Ayr ca, zay f türev için denk tan mlar verilmiş ve klasik anlamda türevin baz özelliklerinin zay f türev içinde geçerli oldu¼gu gösterilmiştir. k 2 N ; olmak üzere W k () : f:! R j f 2 L loc () ; 8 jj k için D f 2 L () Sobolev uzaylar n n tan m verilerek bu uzayda norm 8 >< kfk W k () : >: X jjk X jjk jdfj dxa ; < esssu jdfj ; x2 ile tan mlanm şt r. Bu uzaylara ait olan fonksiyonlara örnekler verilmiş ve bu uzaylar n temel özellikleri detayl olarak incelenmiştir.

Ayr ca W k () uzay W k () : C () W k () ile tan mlanm şt r. R n olmas durumunda uzay n n W k (R n ) uzay nda yo¼gun oldu¼gu gösterilmiştir. W k (R n ) W k (R n ) yani; C (R n ) 2 ve R n olmas durumunda H k (R n ) : W k 2 (R n ) uzay n n Fourier dönüşümü yard m yla tan mlanabilece¼gi gösterilmiş ve baz eşitsizliklerin isat için bu yöntem kullan lm şt r. R n s n rl, aç k kümesinin C s n f ndan olmas durumunda W k () uzaylar nda gömme teoremi isats z olarak verilmiş ve bunun yard m yla W k () Sobolev uzaylar nda denk normlar elde edilmiştir. Daha sonra Friedrichs yaklaş m teoremi ve bu teoremin uygulamalar verilmiştir. s n rl, aç k kümesi için C () \ W k () Ayr ca key R n uzay n n W k () uzay nda yo¼gun oldu¼gu gösterilmiştir. Charles J. Amick (979) taraf ndan yay mlanan makalede key R n s n rl, aç k kümesi için C uzay n n W k () uzay nda yo¼gun olmad ¼g gösterilmiştir. Ancak R n s n rl, aç k ve s n r C den olan küme olmas durumunda yo¼gunlu¼gun sa¼glanaca¼g isatlanm şt r. Ricardo G. Duran (982) yam ş oldu¼gu çal şmada B kümesine göre y ld zs küme olan R n kümesi için W k () uzay nda olinomsal yaklaş m elde etmiştir. Son olarakta Edgar A. Cohen (97) taraf ndan çal ş lan W r 2 ([ ; ]) Sobolev uzay nda trigonometrik yaklaş m üzerinde durulmuştur. ay f türev kavram analizde çok önemli yere sahitir. Çünkü; zay f türev kavram na dayal inşa edilen Sobolev tili fonksiyon uzaylar n n tam uzay olmas n garanti eden önemli bir araçt r. Bir çok matematikçi bu kavrama birbirinden ba¼g ms z olarak ulaşm şlard r. Örne¼gin; Italyan matematikçi Beo Levi nin (96) çal şmas nda zay f türev kavram üzerinde duruldu¼gu görülebilir. Ayr ca bu kavram üzerinde L. Tonelli (926), G. C. Evans (933) ve ba¼g ms z olarak ayn y lda O. M. Nikodym (933) taraf ndan çal ş lm şt r. Rus matematikçi Sergei Lvovich Sobolev ise zay f türev tan m n 935 ve 936 y l nda yay mlanan makalelerinde kendisi taraf ndan tan mlanan genelleşmiş fonksiyonlar ve diferensiyel denklemlerin genelleşmiş çözümü 2

yard m yla vermiştir. Sergei L. Sobolev 936 ve 938 y llar nda yam ş oldu¼gu çal şmalarda kendisi ve belirli mertebeden zay f türevleri L () uzay na ait olan fonksiyonlar n W k () uzay n tan tm ş ve daha sonraki y llarda da bu uzaylar n di¼ger özelliklerini inceleyen makaleler yazm şt r. S. L. Sobolev (95) haz rlad ¼g "Some Alication of Functional Analysis in Mathematical Physics" isimli kitab nda bu uzaylar n matematiksel zi¼gin çeşitli roblemlerine uygulamas n n önemine vurgu yam şt r. Son y llarda Sobolev uzaylar k smi türevli denklemlerin ve analizin standart bir arac haline gelmiştir. 3

2. TEMEL KAVRAMLAR Tezin içerisinde kullan lan önemli tan m ve teoremler bu bölümde ifade edilecektir. 2. Baz Semboller Tan m 2.. j negatif olmayan tamsay lar olmak üzere ( ; :::; n ) n -lisine katl indeks denir. Derecesi jj e¼ger D j nx j j olan x :::x n n monomu x ile gösterilmektedir. Benzer olarak ise bu durumda basama¼g jj olan diferensiyel oeratör D D :::D n n ile ifade edilmektedir. Belirtelim ki D (;:::;) f f dir. ve iki katl indeks olsun. E¼ger j n için j j sa¼glan yorsa o taktirde söylemi kullan l r. Bu durumda da bir katl indeks olu j j + jj jj gerçeklenir. Ayr ca!!::: n! gösterimi kullan l r. E¼ger ise dir.!! ( )! ::: n x noktas n n bir komşulu¼gunda jj defa sürekli diferensiyellenebilen f ve g fonksiyonlar için Leibntz formülü gerçeklenir. D (fg) X D f (x) D n g (x) 4

n reel de¼gişkenli ve derecesi en fazla k olan tüm olinomlar n lineer uzay n } k ile gösterelim. Dolay s yla bu uzay olarak yaz labilir. Sonuç olarak 8 9 < } k : : (x) : c 2 R; (x) X c x ; jjk fx : jj kg monomlar kümesi } k lineer uzay n gerer. Teorem 2.. R n üzerindeki fx : jj kg monomlar kümesi lineer ba¼g ms zd r (Cheney 2). Teorem 2..2 } k uzay n n boyutu k+n n dir (Cheney 2). Tan m 2..2 x 2 R n ve A R n olsun. x noktas n n A kümesine olan uzakl ¼g d (x; A) : inf y2a jx yj ile tan mlan r. Benzer olarak e¼ger ; 6 A, B R n ise bu durumda B kümesinin A kümesine olan uzakl ¼g d (B; A) : inf d (y; A) inf y2b jy x2a;y2b xj şeklinde tan mlan r (Adams and Fournier 23). Tan m 2..3 ; 6 A R n olsun. A kümesinin ça (A) : su jx x;y2a yj 5

ile tan ml d r (Adams and Fournier 23). 2.2 Kümelerin Geometrik Özellikleri kümesinde tan ml Sobolev uzaylar n n birçok özelli¼gi (Gömme teoremleri, denk normlar) kümesinin düzgünlük koşullar na ba¼gl d r. Bu düzgünlük koşullar n n baz lar aşa¼g da ifade edilmiştir. Tan m 2.2. R n s n rl, aç k küme olsun. R n üzerinde tan ml fonksiyonlar n bir uzay V ile gösterilsin. E¼ger her bir x 2 için 9r > ve 9g 2 V fonksiyonu mevcut öyle ki (gerekti¼ginde koordinat sisteminin dönüştürülmesiyle) \ B (x ; r) fx 2 B (x ; r) : x n > g (x ; :::; x n )g gerçekleniyorsa bu durumda s n r V s n f ndand r denir. Özel olarak; (i) E¼ger V s n f Lischitz sürekli fonksiyonlardan oluşuyorsa (veya ) Lischitz s n f ndand r denir. (ii) k 2 f; 2; :::g olmak üzere e¼ger V s n f C k (veya ) C k s n f ndand r denir. fonksiyonlar ndan oluşuyorsa (iii) E¼ger 8k ; 2; ::: için s n r C k s n f na ait ise bu durumda (veya ) C s n f ndand r denir (Atkinson and Han 25). Not 2.2. E¼ger s n r C s n f na ait ise bu durumda boyunca d şa yönlendirilmiş birim normal vektör alan ( ; :::; n ) tan ml d r. Belirtmek gerekir ki e¼ger kümesi C s n f na ait ise ayn zamanda Lischitz s n f na da aittir. Şimdi yukar da tan mlanan s n ara örnekler verelim. 6

Örnek 2.2. kümesi Şekil 2. ile verilen küme olsun. Şekil 2. s n r duzgun olan R 2 kume x noktas n göz önüne alal m. Bu durumda (y ; y 2 ) koordinat sistemi y x 2 ; y 2 x olacak şekilde seçilebilir. Dolay s yla \ B (x ; r) fy 2 B (x ; r) : y 2 > g (y )g olacak şekilde g düzgün fonksiyonu vard r. Benzer olarak s n r n n di¼ger noktalar içinde uygun bir (y ; y 2 ) koordinat sistemi ve g düzgün fonksiyonu vard r. O halde s n r C s n f na aittir (Fuµcik and Kufner 98). 7

Örnek 2.2.2 kümesi Şekil 2.2 ile verilen ABCD dikdörtgeni ise bu durumda Lischitz s n f na aittir. Şekil 2.2 s n r Lischitz s n f na ait olan R 2 kumesi Gerçekten; e¼ger x 2 noktas herhangi bir kenar üzerinde ise bu durumda uygun e¼grisi sabit fonksiyon ile tan mlan r. Ayr ca CD arças boyunca noktalar için (y ; y 2 ) koordinat sistemi y x ; y 2 x 2 ; AB arças boyunca noktalar için (y ; y 2 ) koordinat sistemi y x ; y 2 x 2 ; BC arças boyunca noktalar için (y ; y 2 ) koordinat sistemi y x 2 ; y 2 x olacak şekilde seçilir. Do¼gal olarak A; B; C; D köşe noktalar için yukar daki koordinat sistemlerinin hiçbiri uygun de¼gildir. C ve D noktalar için uygun koordinat sistemleri Şekil 2.2 de gösterilmiştir. Böylece ABCD dikdörtgeninin Lischitz s n f na ait oldu¼gu görülür (Fuµcik and Kufner 98). 8

Örnek 2.2.3 Şekil 2.3 ile verilen ve 2 kümeleri Lischitz s n f na ait de¼gildir. Şekil 2.3 S n r Lischitz s n f na ait olmayan ve 2 kumeleri x noktas n n komşulu¼gu içinde kalan s n r n n arças bir fonksiyon yard m yla temsil edilebilir. Ancak bu fonksiyon Lischitz koşulunu sa¼glamayacakt r. Dolay s yla Lischitz s n f na ait de¼gildir. Di¼ger yandan herhangi bir daireden S arças n n ç kar lmas yla elde edilen kümeyi 2 olarak tan mlayal m. x noktas n n komşulu¼gu içinde kalan 2 s n r n n arças bir fonksiyon ile tan mlanamaz. Bundan dolay 2 kümeside Lischitz s n f na ait de¼gildir (Fuµcik and Kufner 98). Tan m 2.2.2 (Y ld zs Küme) R n s n rl, aç k küme ve B aç k yuvar olsun. (i) E¼ger 8y 2 ve 8 2 [; ] için y 2 gerçekleniyorsa kümesine noktas na göre y ld zs küme ad verilir. (ii) E¼ger 8y 2, 8x 2 B ve 8 2 [; ] için x + (y x) 2 gerçekleniyorsa bu durumda kümesine B yuvar na göre y ld zs küme ad verilir (Burenkov 998). 9

Örnek 2.2.4 Orijini içeren R 2 konveks kümesi hem s f r noktas na göre y ld zs küme hem de key B aç k yuvar na göre y ld zs kümedir. Örnek 2.2.5 R 2 kümesi x 2 3 +x 2 3 2 (Astroid) denklemi yard m yla tan mlanan e¼grinin iç k sm olsun. Bu durumda kümesi s f r noktas na göre y ld zs kümedir. Ancak key B yuvar na göre y ld zs küme de¼gildir. Teorem 2.2. B (; ) R n birim yuvar olsun. Bu durumda bu yuvar n hacmi (n) n 2 n 2 + olu ayr ca B (; ) küresinin yüzey alan! n n (n) dir (Evans 998). 2.3 Lebesgue Integrali Için Baz Önemli Teoremler Teorem 2.3. (Lebesgue Bask n Yak nsakl k Teoremi) R n ölçülebilir kümesi üzerinde f fonksiyonuna hemen hemen her yerde yak nsayan Lebesgue integrallenebilir fonksiyonlar n dizisi ff m g m olsun. E¼ger h:h:h: x 2 için jf n (x)j g (x) olacak şekilde Lebesgue integrallenebilir g fonksiyonu varsa bu durumda f Lebesgue integrallenebilirdir ve lim f n (x) dx f (x) dx gerçeklenir (Rao 987). n!

Teorem 2.3.2 2 ::: m ::: R n, : [ m2n m ve f :! R [ fg olsun. 8m 2 N için f j m k s tlama fonksiyonlar m üzerinde integrallenebilir ve lim jf (x)j dx < m! m olsun. Bu durumda f fonksiyonu üzerinde integrallenebilirdir ve f (x) dx lim m! m f (x) dx gerçeklenir (Jost 998). Teorem 2.3.3 R n aç k küme, f :! R [ fg fonksiyonu integrallenebilir ve > olsun. Bu durumda olacak şekilde aç k kümesi vard r öyle ki gerçeklenir (Jost 998). f (x) dx f (x) dx < Tan m 2.3. (Komakt Destek) R n aç k kümesi üzerinde tan ml fonksiyon f olsun. suf : fx 2 : f (x) 6 g kümesine f fonksiyonunu deste¼gi denir. E¼ger suf kümesi s n rl ise f fonksiyonu komakt deste¼ge sahitir denir.

Teorem 2.3.4 (Fubini Teoremi) R n, 2 R n 2 Lebesgue ölçülebilir kümeler ve 2 üzerinde f fonksiyonu Lebesgue integrallenebilir olsun. Bu durumda (i) H:h:h: x 2 için f (x; :) fonksiyonu 2 üzerinde Lebesgue integrallenebilir, 2 f (x; y) dy fonksiyonu üzerinde integrallenebilirdir ve f (x; y) dya dx 2 f (x; y) dxdy gerçeklenir. (ii) H:h:h: x 2 2 için f (:; y) fonksiyonu üzerinde Lebesgue integrallenebilir, f (x; y) dx fonksiyonu 2 üzerinde integrallenebilirdir ve 2 f (x; y) dxa dy f (x; y) dxdy gerçeklenir (Atkinson and Han 25). Teorem 2.3.5 (Genelleşmiş Minkoski Eşitsizli¼gi) A R n ve R n 2 ölçülebilir kümeler olsun. Ayr ca kabul edelim ki f fonksiyonu A kümesi üzerinde ölçülebilir ve h:h:h: y 2 A için f (:; y) 2 L () sa¼glans n. E¼ger aşa¼g daki eşitli¼gin sa¼g taraf sonlu ise f (:; y) dy gerçeklenir (Burenkov 998). A L () A kf (:; y)k L() dy 2

Teorem 2.3.6 ; 6 R n aç k küme ve f 2 L loc () olsun. E¼ger 8' 2 C () için f (x) ' (x) dx ise üzerinde hemen hemen her yerde f d r (Atkinson and Han 25). Teorem 2.3.7 (Green Formülü) R n s n rl, aç k ve s n r C s n f na ait olsun. E¼ger g; h 2 C ise bu durumda i n için g x i hdx g h dx + x i gh i ds (2.3.) gerçeklenir. Burada i d şa do¼gru yönlendirilmiş birim normal vektör alan n n i -inci bileşenidir (Evans 998). Not 2.3. (i) g; h 2 C 2 g 2 C fonksiyonu yaz l rsa olsun. Şimdi (2.3.) ifadesinde g fonksiyonu yerine 2 g x i hdx g h dx + x i g h i ds (2.3.2) bulunur. Şimdi (2.3.) ifadesi bir kez daha uygulan rsa g h x i dx g 2 h dx + x i g h x i j ds (2.3.3) elde edilir. (2.3.2) ifadesinin sa¼g taraf ndaki ilk integralde (2.3.3) ifadesi ve h 2 C 2 için 2 h x i 2 h x i oldu¼gunuda kullan rsak 2 g x i hdx 2 h gdx + x i g h i + g h j ds (2.3.4) x i gerçeklenir. adland r l r. (2.3.4) ifadesi ikinci basamaktan türevler için Green formülü olarak 3

Bu ti işlemler ard ş k olarak devam ettirilirse k 2 N ve g; h 2 C k için fonksiyonlar (D g) hdx ( ) jj g (D h) dx + G (h; g) ds (2.3.5) formülü sa¼glan r. Burada jj k olacak şekilde katl indeks, jj < k; jj < k ve x 2 noktas nda d şa do¼gru yönlendirilmiş birim normal vektörün i -inci bileşeni i i (x) olmak üzere G (h; g) ifadesi D h (D g) i tiindeki çar mlar n tolam d r. (ii) h 2 C k () ise x 2 için h (x) olu dolay s yla jj < k için D h (x) sa¼glan r. O halde bu ti fonksiyonlar için G (h; g) ifadesi s f ra eşittir. Bundan dolay (2.3.5) ifadesindeki yüzey integrali s f ra eşit olu aşa¼g daki önemli ifade elde edilir. g 2 C k için ve h 2 C k () ise bu durumda jj k olacak şekilde 8 katl indeksi (D g) hdx ( ) jj g (D h) dx (2.3.6) gerçeklenir. (iii) h 2 C k () ve suh K olsun. Bu durumda K ve x 2 nk için h (x) olur. Dolay s yla (2.3.6) ifadesinde üzerinden integral yerine K üzerinden integral al nabilir. Bundan dolay x 2 nk için g fonksiyonunun de¼gerleri önemsizdir. O halde (2.3.6) ifadesi g 2 C k () ve h 2 C k () fonksiyonlar için de geçerlidir. 4

Teorem 2.3.8 (Taylor Formülü) R n kümesi x 2 noktas na göre y ld zs bir bölge, k 2 N ve f 2 C k () olsun. Bu durumda 8x 2 için f (x) X jj<k D f (x )! gerçeklenir (Burenkov 998). (x x ) +k X jjk (x x )! ( t) k (D f) (x + t (x x )) dt 2.4 Fourier Dönüşümü ve Fourier Serisi Tan m 2.4. (L Uzay nda Fourier Dönüşümü) f 2 L (R n ) olmak üzere f fonksiyonunun Fourier dönüşümü ve f fonksiyonunun ters Fourier dönüşümü bf (y) : e ix:y f (x) dx; y 2 R n (2.4.) (2) n 2 R n _ f (x) : e ix:y f (y) dy; x 2 R n (2.4.2) (2) n 2 R n ile tan ml d r. je ix:y j ve f 2 L (R n ) oldu¼gundan 8x; y 2 R n için (2.4.) ve (2.4.2) ifadelerinde verilen integraller yak nsakt r. f 2 L 2 (R n ) fonksiyonu için Fourier ve ters Fourier dönüşümü tan mlar n ifade edelim. Teorem 2.4. (Plancherel Teoremi) f 2 L (R n ) \ L 2 (R n ) olsun. Bu durumda bf; _ f 2 L 2 (R n ) ve gerçeklenir (Evans 998). b f L2 (R n ) _ f kfk L2 (R n ) (2.4.3) L2 (R n ) 5

Tan m 2.4.2 (L 2 Uzay nda Fourier Dönüşümü) (2.4.3) ifadesi yard m yla bir f 2 L 2 (R n ) fonksiyonunun Fourier dönüşümünü aşa¼g daki gibi tan mlayabiliriz. L 2 (R n ) uzay nda m! için f m! f olacak şekilde bir ff m g m L (R n ) \ L 2 (R n ) dizisini seçelim. (2.4.3) ifadesine göre c f m b fj L2 (R n ) f \ m f j kf m f j k L2 (R n L2 (R ) n ) n o ve dolay s yla cfm m dizisi L 2 (R n ) uzay nda Cauchy dizisidir. Bundan dolay bu dizi bir limit noktas na sahitir. Bu limit noktas n b f olarak tan mlayal m. Yani; L 2 (R n ) uzay nda m! için cf m! b f n o d r. f b n n tan m cfm yaklaş m dizisinin seçiminden ba¼g ms zd r. Benzer olarak m _ f tan mlanabilir. Tan m 2.4.3 (Konvolüsyon) f; g 2 L (R n ) olsun. 8x 2 R n için h (x) : f (x R n y) g (y) dy ile tan mlanan h fonksiyonuna f ile g fonksiyonlar n n konvolüsyonu denir. h f g ile gösterilir. Teorem 2.4.2 f 2 L (R n ), g 2 L (R n ) ve g fonksiyonu komakt destekli olsun. Bu durumda su (f g) su (f) + su (g) gerçeklenir (Kesevan 989). 6

Teorem 2.4.3 (Fourier Dönüşümünün Özellikleri) f; g 2 L 2 (R n ) olsun. Bu durumda (i) fgdx R n R n b f bgdy (ii) D f 2 L 2 (R n ) olacak şekilde her katl indeksi için d D f (iy) b f _ (iii) f bf (iv) \ (f g) (2) n 2 b f bg gerçeklenir (Evans 998). Teorem 2.4.4 8f 2 L 2 (R n ) için b f L2 (R n ) kfk L2 (R n ) gerçeklenir (Atkinson and Han 25). Tan m 2.4.4 (Fourier Serisi) V bir iç çar m uzay, ffmg m ortonormal elemanlar n bir dizisi ve f 2 V key eleman olsun. X (f; fm) V fm m serisine f eleman n n Fourier serisi denir. (f; f m) V sabitlerine de f eleman n n Fourier katsay lar denir (Davis 963). 7

Tan m 2.4.5 (Kaal Dizi) V normlu uzay nda ff m g m bir dizi olsun. E¼ger her f 2 V eleman na f i elemanlar n sonlu lineer kombinasyonlar yard m yla istenilen yak nl kta yaklaş labiliyorsa bu diziye kaal dizi denir. Yani; 8f 2 V; 8 > için kf (a f + ::: + a m f m )k V < olacak şekilde a ; :::; a m 2 R sabitleri vard r (Davis 963). Tan m 2.4.6 (Tam Dizi) V iç çar m uzay nda ff m g m bir dizi olsun. E¼ger 8m 2 N için (g; f m ) V olmas g olmas n gerektiriyorsa ff m g m dizisine tam dizi denir (Davis 963). Teorem 2.4.5 (Gram-Schmidt Ortonormalizasyon Yöntemi) V iç çar m uzay nda lineer ba¼g ms z elemanlar n bir dizisi ff m g m olsun. Bu durumda V uzay nda ortonormal bir ffmg m dizisi vard r öyle ki 8m 2 N için San ff ; :::; f m g San ff ; :::; f mg eşitli¼gi gerçeklenir (Davis 963). Teorem 2.4.6 V iç çar m uzay nda ff mg m olsun. Aşa¼g daki dört önerme dikkate al ns n. ortonormal elemanlar n bir dizisi (i) ff mg m kaal dizidir. (ii) 8f 2 V için gerçeklenir. lim k! f kx (f; fm) V fm V m 8

(iii) 8f 2 V için X kfk 2 (f; f) V j(f; fm) V j 2 Parseval özdeşli¼gi sa¼glan r. m (iv) ffmg mtam dizidir. Bu durumda (i), (ii), (iii) ) (iv) sa¼glan r. Ayr ca e¼ger V uzay n n Hilbert uzay olmas durumunda (iv) ) (iii) gerçeklenir. Dolay s yla bu dört ifade denktir (Davis 963). 2.5 Birimin Düzgün Parçalanmas Teorem 2.5. (Birimin Düzgün Parçalanmas ) R n olmak üzere [ i2j G i olacak şekilde R n içindeki aç k kümelerin bir ailesi fg i g i2j olsun. Bu durumda i 2 C (R n ) fonksiyonlar vard r öyle ki (i) su i G i (ii) 8x 2 için i (x) (iii) 8x 2 için bir M J sonlu kümesi vard r öyle ki 8i 2 JnM için i (x) (iv) 8x 2 için X i2j i (x) gerçeklenir (iemer 989). 9

f i g i2j fonksiyonlar n kümesine kümesinin fg i g i2j aç k örtüsüne göre birimin düzgün arçalanmas ad verilir. Teorem 2.5.2 K R n komakt küme olsun. Bu durumda K kümesi üzerinde olacak şekilde bir 2 C (R n ) fonksiyonu vard r (Kesevan 989). Yukar da ad geçen fonksiyonuna K komakt kümesine göre kesme fonksiyonu ad verilir. 2.6 Mutlak Süreklilik Tan m 2.6. (Mutlak Süreklilik) f : [a; b] E¼ger 8" > için 9 > öyle ki ayr k aral klar n! R fonksiyonunu göz önüne alal m. (a j ; b j ) [a; b] ; j ; :::; n her bir sonlu kümesi için sa¼glan rken nx (b j a j ) < j nx jf (b j ) f (a j )j < " j gerçekleniyorsa f fonksiyonuna [a; b] aral ¼g nda mutlak süreklidir denir. R aç k küme olmak üzere e¼ger her bir [a; b] kaal aral ¼g nda f fonksiyonu mutlak sürekli ise bu durumda f fonksiyonuna R aç k kümesi üzerinde lokal mutlak sürekli fonksiyon ad verilir. Teorem 2.6. f : [a; b]! R fonksiyonunun mutlak sürekli olmas için, x f (x) f (a) + g (t) dt; x 2 [a; b] a olacak şekilde g 2 L (a; b) fonksiyonunun mevcut olmas d r (Rao 987). 2

Teorem 2.6.2 f : [a; b] x 2 (a; b) için df dx 2 L (a; b) mevcuttur (Rao 987).! R fonksiyonu mutlak sürekli ise o taktirde h:h:h: Teorem 2.6.3 f (k < a < b < ; k 2 N; m 2 N ; m < k ve ayr ca [a; b] aral ¼g nda ) mutlak sürekli olsun. Bu durumda için f (m) C L(a;b) kfk + L(a;b) f (k) L(a;b) olacak şekilde C > say s vard r (Burenkov 998). Yukar daki teorem dikkate al nd ¼g nda aşa¼g daki sonuç verilebilir. Sonuç 2.6. Q R n yüzleri koordinat düzlemlerine aralel olacak şekilde key kü olmak üzere e¼ger f 2 C k (Q) ise o taktirde m f x m j L (Q) C 2 kfk L(Q) + k f x k j L(Q) A olacak şekilde C 2 > say s vard r (Burenkov 998). 2

3.DÜGÜNLEŞT IR IC I VE DÜGÜNLEŞMEN IN BAI ÖELL IKLER I 3. Düzgünleştirici Tan m 3..! fonksiyonu! 2 C (R n ) ; su! B (; ) ; R n!dx (3..) özelliklerini gerçeklesin. > ; 8x 2 R n için! (x) n! x fonksiyonunu tan mlayal m. Bu durumda! fonksiyonuna düzgünleştirici ad verilir. Tan m 3..2 R n ölçülebilir bir küme ve > olsun. üzerinde tan ml f fonksiyonu 8B yuvar için f 2 L ( \ B) özelli¼gini gerçeklesin. A oeratörü 8x 2 R n için (A f) (x) (! f ) (x) n R n! x y f (y) dy! (z) f (x z) dz R n! (z) f (x z) dz (3..2) B(;) olarak tan mlan r. A oeratörüne f fonksiyonunun - nc basamaktan düzgünleşmesi ad verilir. Burada f fonksiyonu şeklindedir. 8 < f (x) ; x 2 f (x) : ; x 2 22

Yukar da tan mlanan A f fonksiyonu için A f 2 C (R n ) ve katl indeks olmak üzere D A f jj (D!) f sa¼glan r. Gerçekten; i n için x 2 R n, e i (; :::; ; :::; ), x (x ; :::; x n ), y (y ; :::; y n ) ve su! B olmak üzere A f (x + e i h) h A f (x)! (x y + e i h)! (x y) f (y) dy (3..3) h şeklinde yaz labilir. Di¼ger yandan türev için Lagrange teoremini kullan rsak 2 (x i y i ; x i y i + h) ve 2 (x i y i ; ) say lar vard r öyle ki! (x y ;:::;x i +y i +h;:::;x n y n)! (x y ;:::;x i y i ;:::;x n y n) h! x i (x y)!! (x y ; :::; ; :::; x n y n ) (x y ; :::; x i y i ; :::; x n y n ) x i x i 2! (x x 2 y ; :::; ; :::; x n y n ) ( x i + y i ) i 2! (x y ; :::; ; :::; x n y n ) jhj x 2 i M jhj gerçeklenir. Burada M max 2! x2r n x 2 i (3..4) (x) say s x ve y noktalar ndan ba¼g ms zd r. Şimdi de (3::3) ifadesinin sa¼g ndaki integralde aşa¼g daki işlemler ya l rsa! (x y + e i h)! (x y) f (y) dy h! (x y + e i h)! (x y) h! (x y) f (y) dy x i! (x y) x i jf (y)j dy 23

\B! (x y + e i h)! (x y) h M jhj jf (y)j dy! (x y) x i jf (y)j dy \B M jhj jf (y)j dy (3..5) \B elde edilir. (3::5) ifadesinin sa¼g ndaki integral sonlu oldu¼gundan h! için lim h!! (x y + e i h)! (x y) f (y) dy h! x i (x y) f (y) dy bulunur. Burada (3::3) ifadesi göz önüne al n rsa elde edilir. Ayr ca! 2 C A f (x) x i! x i (x y) f (y) dy! x y n f (y) dy x i! f (x) x i (R n ) olmas ndan dolay yukar daki işlemler ard ş k olarak ya l rsa A f 2 C (R n ) ve D A f jj (D!) f oldu¼gu görülür. 3.2 Düzgünleşmenin Baz Özellikleri Teorem 3.2. sua f (suf) (3.2.) gerçeklenir. 24

Isat: Teorem 2.5.2 kullan l rsa sua f suf + su! suf + B (; ) (suf) bulunur.n Ayr ca belirtelim ki : fx 2 : d (x; ) > g kümesi üzerinde A oeratörü (A f) (x) f (x z)! (z) dz B(;) şeklinde tan mlan r. Teorem 3.2.2 R n aç k küme ve f 2 L loc () olsun. Bu durumda A f 2 C ve kümesi üzerinde hemen hemen her yerde! + için A f! f gerçeklenir. Burada ile tan mlanan kümedir. : fx 2 : d (x; ) > g 25

Isat: x 2 eleman n sabitleyelim. Bu durumda i n olmak üzere h yeterince küçük olsun ki x + e i h 2 gerçeklensin. Di¼ger yandan A f (x + e i h) h A f (x)! (x y + e i h)! (x y) f (y) dy h yaz labilir. Dolay s yla bu eşitlik ve (3::4) ifadesi göz önüne al n rsa A f (x + e i h) A f (x) h! (x y + e i h)! (x y) h! (x y + e i h)! (x y) h V! (x y + e i h)! (x y) h V M jhj jf (y)j dy! x i (x y) f (y) dy! (x y) f (y) dy x i! (x y) f (y) dy x i! (x y) x i jf (y)j dy V M jhj jf (y)j dy (3.2.2) V olacak şekilde V mevcut olu (3:2:2) ifadesi elde edilir. f 2 L loc () olmas ndan dolay (3:2:2) ifadesinin sa¼g taraf sonludur. Dolay s yla h! için A f (x) x i lim h! A f (x + e i h) A f (x) h! x i (x y) f (y) dy bulunur. Ayr ca! x i (x y)! x y n x i oldu¼gu da göz önüne al n rsa A f x i (x)! x n x i y f (y) dy! f (x) x i gerçeklenir. 26

Benzer düşünceyle i; j n için 2 A f (x) 2! x i 2 f (x) x i oldu¼gu gösterilebilir. Bu işlemler ard ş k olarak ya l rsa A f 2 C ve D A f jj (D!) f elde edilir. f 2 L loc () oldu¼gundan Lebesgue diferensiyel teoreminden h:h:h: x 2 için lim r!m (B (x; r)) B(x;r) jf (y) f (x)j dy (3.2.3) gerçeklenir. Bu şekilde sabitlenen x noktalar için ja f (x) f (x)j B(;) B(x;) B(x;) C n f (x x n! x n! B(x;) C (n) jf (y) (n) n z)! (z) dz f (x)! (x y) dy B(x;) y f (y) dy f (x)! (x y) dy B(x;) y [f (y) f (x)] dy B(x;) C (n) m (B (x; )) f (x)j dy jf (y) B(x;) f (x)j dy jf (y) f (x)j dy (3.2.4) elde edilir. (3:2:4) ifadesinde! + için limite geçersek eşitsizli¼gin sa¼g taraf ndaki ifade h:h:h: x 2 için s f ra yaklaşacakt r. Bundan dolay h:h:h: x 2 için A f! f 27

gerçeklenir. Bu da isat tamamlar.n Sonuç 3.2. f 2 C () olsun. Bu durumda üzerinde! + için A f! f gerçeklenir. Isat: f 2 C () oldu¼gundan (3:2:3) ifadesi kümesinin tamam nda sa¼glan r. Yani; 8x 2 için lim r!m (B (x; r)) B(x;r) jf (y) f (x)j dy gerçeklenir. Dolay s yla (3:2:4) ifadesinden üzerinde! + için A f! f elde edilir.n Teorem 3.2.3 f 2 C () olsun. Bu durumda 8 bölgesinde! + için A f! f düzgün yak nsar. Isat: x 2 olmak üzere (A f) (x) f (x z)! (z) dz B(;) gerçeklenir. Ayr ca oldu¼gundan > olmak üzere d ( ; ) > 2 sa¼glanmal d r. su ja f (x) f (x)j su x2 x2 B(;) C su x2 28 su z2b(;) jf (x) f (x z)j j! (z)j dz jf (x) f (x z)j (3.2.5)

elde edilir. Di¼ger taraftan B ( ) : fx 2 : d (x; ) g komakt kümesi üzerinde f fonksiyonu düzgün sürekli oldu¼gundan (3:2:5) ifadesi dikkate al nd ¼g nda bölgesi üzerinde! + için A f! f düzgün yak nsakt r. Böylece isat tamamlan r.n Teorem 3.2.4 olmak üzere 8f 2 L () fonksiyonunu göz önüne alal m. Bu durumda ka fk L(R n ) C kfk L () (3.2.6) ve gerçeklenir. Ayr ca e¼ger f fonksiyonu negatif olmayan fonksiyon ise bu durumda ka fk L (R n ) kfk L () sa¼glan r. Burada C k!k L(R n ) (negatif olmayan! çekirde¼gi için C ) dir. Isat:.Durum < < ve + olsun. Hölder eşitsizli¼gini kullan rsak ja f (x)j! (x y) f (y) dy R n [! (x y)] [! (x y)] f (y) dy R n j! (x y)j dya j! (x y)j jf (y)j dya R n R n k!k L (R n ) j! (x y)j jf (y)j dya R n elde edilir. Bu eşitsizlikte her iki taraf n -inci mertebeden üssü, R n üzerinden 29

integrali al n r vede integrallerin s ras n de¼giştirmek için Fubini teoremi kullan l rsa R n ja f (x)j dx k!k L (R n ) k!k L (R n ) k!k L (R n ) R n R n j! (x y)j jf (y)j dya dx R n jf (y)j j! (x y)j dxa dy R n jf (y)j dy bulunur. Dolay s yla < < için (3:2:6) gerçeklenir. 2.Durum olsun. ja f (x)j! (x y) f (y) dy R n j! (x y)j jf (y)j dy R n kf k L(R n ) k!k L (R n ) elde edilir.dolay s yla (3:2:6) gerçeklenir. 3.Durum olsun. Fubini teoremi kullan l rsa R n ja f (x)j dx R n R n j! (x y)j jf (y)j dya dx R n jf (y)j j! (x y)j dxa dy R n k!k L (R n ) kfk L () elde edilir. Bundan dolay (3:2:6) gerçeklenir. Ayr ca dikkat edilirse (3::) ifadesinden negatif olmayan! çekirde¼gi ve negatif olmayan f fonksiyonu için ka fk L (R n ) kfk L () 3

sa¼glan r.n Teorem 3.2.5 < ; 8 f 2 L () için L () uzay ndaki süreklilik modülü (; f) su L() kf (x + h) jhj f(x)k L() olmak üzere gerçeklenir. ka f fk L() C (; f) L () Isat:.Durum < < ve + olsun. Hölder eşitsizli¼gi kullan l rsa ja f (x) f (x)j! (x y) f (y) dy! (x y) f (x) dy R n R n j! (x y)j jf (y) f (x)j dy R n j! (x y)j j! (x y)j jf (y) f (x)j dy R n j! (x y)j dya j! (x y)j jf (y) f (x)j dya R n R n k!k L (R n ) j! (x y)j jf (y) f (x)j dya R n elde edilir. Burada her iki taraf n -inci mertebeden üssü, üzerinden integrali al n r, x y z de¼gişken de¼giştirmesi ya l r ve integrallerin s ras n de¼giştirmek için Fubini teoremi kullan l r ise ja f (x) f (x)j dx k!k L (R n ) A dx R n 3

k!k L (R n ) k!k L (R n ) elde edilir. Dolay s yla jzj B jzj j! (z)j jf (x z) f (x)j C dza dx j! (z)j jf (x z) f (x)j dxa dz ka f fk L () k!k L (R n ) su jzj k!k L (R n ) su k!k L (R n ) jzj h (; f) L() jf (x z) f(x)j dxa jf (x + z) i f(x)j dxa R n j! (z)j dz gerçeklenir. Buradan istenilen elde edilir. 2.Durum olsun. z x y de¼gişken de¼giştirmesi ya daha sonra Fubini teoremini kullan rsak ja f (x) f (x)j dx A dx R n B C j! (z)j jf (x z) f (x)j dza dx jzj j! (z)j jf (x z) f (x)j dxa dz jzj elde edilir. Bundan dolay ka f fk L () k!k L (R n ) (; f) L () sa¼glan r. Böylece istenilen elde edilmiş olur.n 32

Sonuç 3.2.2 < olmak üzere 8f 2 L () fonksiyonu için L () uzay nda! + iken A f! f gerçeklenir. Isat: (; f) L(), L () uzay nda f fonksiyonunun süreklilik modülü oldu¼gu için lim (; f) L()! + gerçeklenir. Dolay s yla Teorem 3.2.5 dikkate al n rsa istenilen elde edilir.n Sonuç 3.2.3 < olmak üzere 8f 2 L () fonksiyonu için! + ka fk L()! kfkl() (3.2.7) gerçeklenir. Isat: L () uzay nda normun özelli¼ginden ka fk L() kfk L() ka f fk L() yaz labilir. Dolay s yla Teorem 3.2.5 kullan l rsa istenilen elde edilir.n 33

4. AYIF TÜREV VE TEMEL ÖELL IKLER I 4. ay f Türev Ilk olarak a < b + olmak üzere bir boyutlu durumda (a; b) aç k aral ¼g n göz önüne alal m. Fonksiyonel analizden bildi¼gimiz üzere d dx : C (a; b) C (a; b)! C (a; b) diferensiyel oeratörü C (a; b) uzay nda kaal d r. Yani; 8m 2 N için f m 2 C (a; b), f; g 2 C (a; b) ve C (a; b) uzay nda m! için f m! f df m dx! g gerçeklendi¼ginde f 2 C (a; b) dir. Ayr ca (a; b) üzerinde df dx g sa¼glan r. Burada; C (a; b) uzay nda f m! f limitinin anlam, 8 [; ] (a; b) kaal aral ¼g nda kf m fk C[;] m!! olmas d r. Gerçekten; f m 2 C (a; b) oldu¼gundan dfm dx 2 C (a; b) sa¼glan x g (s) ds x lim m! df m (s) ds lim ds x m! df m (s) ds lim ds [f m (x) f m ()] f (x) f () m! gerçeklenir. E¼ger x de¼gişkenine göre türev al rsak 8x 2 (a; b) için g (x) df(x) dx edilir. Dolay s yla f 2 C (a; b) ve (a; b) üzerinde df dx g sa¼glan r. elde Şimdi < oldu¼gunu kabul edelim. Aşa¼g daki basit örnek göstermektedir ki d dx : C (a; b) L loc (a; b)! L loc (a; b) (4..) diferensiyel oeratörü L loc (a; b) uzay nda kaal de¼gildir. 34

Örnek 4.. (a; b) ( ; ) olmak üzere 8x 2 ( ; ), 8m 2 N için f (x) jxj ve f m (x) x 2 + m 2 fonksiyonlar n tan mlayal m. Bu durumda lim f m (x) lim x 2 + 2 jxj m! m! m ve df m (x) lim m! dx sgnx gerçeklenir. Hatta bu yak nsakl klar L ( ; ) uzay nda gerçeklenir. Ancak jxj 2 C ( ; ) olmas ndan dolay (4::) ile tan ml diferensiyel oeratörü kaal de¼gildir. Bu nedenle L loc (a; b) uzay nda (4::) ile tan ml diferensiyel oeratörünün kaan ş ile çal şmak do¼gald r. neden olmaktad r. Böyle bir yaklaş m diferensiyel kavram n n genelleşmesine Di¼ger taraftan; e¼ger f 2 C (a; b) ve ' 2 C (a; b) ise bu durumda k smi integrasyon yard m yla b a f (x) ' (x) dx f (x) ' (x) j b a b a f (x) ' (x) dx b a f (x) ' (x) dx yaz labilir. Bu eşitlikte diferensiyel kavram n genelleştirmek için do¼gal olarak kullan labilir. Çünkü; baz fonksiyonlar (a; b) aral ¼g nda adi türeve sahi olmay ancak bir g 2 L loc (a; b) fonksiyonu mevcut olabilir öyle ki 8' 2 C (a; b) için b a f (x) ' (x) dx b a g (x) ' (x) dx sa¼glan r. tan m verelim. Şimdi çok boyutlu durumda ve key mertebeden türev için uygun bir 35

Tan m 4.. (ay f türev) R n aç k küme, jj 6 olacak şekilde 2 N n katl indeks ve f; g 2 L loc () olsun. E¼ger 8' 2 C () için fd 'dx ( ) jj g'dx (4..2) gerçekleniyorsa g fonksiyonuna üzerinde f fonksiyonunun - nc mertebeden zay f türevi ad verilir. g D f ile gösterilir. Örnek 4.. n, (; 2) ve olarak tan mlans n. Bu durumda 8 < x ; < x f (x) : ; x < 2 8 < ; < x g (x) : ; < x < 2 fonksiyonu için (; 2) aral ¼g nda f g gerçeklenir. Çözüm: Key ' 2 C () fonksiyonunu göz önüne alal m. 2 f' dx 2 g'dx oldu¼gunu göstermeliyiz. O halde ' 2 C () oldu¼gunu kullanarak 2 f' dx 2 x' dx + ' dx x' (x) j ' (x) dx ' () 2 g'dx 36

elde edilir. Dolay s yla (; 2) aral ¼g nda f g gerçeklenir.n Örnek 4..2 n, (; 2) ve 8 < x ; < x f (x) : 2 ; < x < 2 olarak tan mlans n. Bu durumda f zay f türevi mevcut de¼gildir. Çözüm: f zay f türevinin mevcut oldu¼gunu kabul edelim. Yani; 8' 2 C () için 2 f' dx 2 g'dx olacak şekilde g 2 L loc () fonksiyonu mevcut olsun. Dolay s yla 2 2 2 g'dx f' dx x' dx + 2 ' dx 'dx ' () (4..3) gerçeklenir. Şimdi 8 < : ' m koşulunu sa¼glayan f' m g m C ' m () ve 8x 6 için lim m! ' m (x) () fonksiyonlar dizisi seçelim. (4::3) ifadesindeki ' fonksiyonu yerine ' m fonksiyonlar yaz daha sonra al n rsa lim m! ' m () lim m! 8 < : 2 g' m dx 9 ' m dx ; m! için limit elde edilir. Bu ise çelişkidir. Dolay s yla f zay f türevi mevcut de¼gildir.n 37

Örnek 4..3 n ve R olsun. jxj sgnx gerçeklenir. Çözüm: Key ' 2 C (R) fonksiyonunu alal m. jxj ' (x) dx (sgnx) ' (x) dx R R oldu¼gunu gösterelim. K smi integrasyon uygulan rsa jxj ' (x) dx x' (x) dx + x' (x) dx R ' (x) dx ' (x) dx R (sgnx) ' (x) dx elde edilir. Dolay s yla jxj sgnx gerçeklenir.n Örnek 4..4 n ve f 2 L loc (R) olsun. Bu durumda Lebesgue integral teorisinden x bildi¼gimiz gibi f (y) dy fonksiyonu R kümesinde lokal mutlak süreklidir. Ayr ca a h:h:h: x 2 R için için R üzerinde x a f (y) dya x f (x) gerçeklenir. Di¼ger yandan 8 f 2 L loc (R) f (y) dya f (x) sa¼glan r. a 38

Çözüm: ' 2 C x a (R) key fonksiyonunu göz önüne alal m. su' [c; d] olsun. f (y) dy fonksiyonu R üzerinde lokal mutlak sürekli oldu¼gu için k smi integrasyon yard m yla x f (y) dya ' (x) dx d x f (y) dya ' (x) dx R a c x a f (y) dya ' (x) j d c d ' (x) d x f (y) dya a d x f (y) dya ' (x) dx c a c R a f (x) ' (x) dx elde edilir. Dolay s yla R üzerinde x f (y) dya f (x) a gerçeklenir.n Örnek 4..5 n ve R olsun. R üzerinde (sgnx) de¼gildir. zay f türevi mevcut Çözüm: Kabul edelim ki g 2 L loc (R) zay f türevi mevcut olsun. Bu durumda key ' 2 C (R) fonksiyonu için (sgnx) ' (x) dx g (x) ' (x) dx R R 39

gerçeklenmelidir. Di¼ger yandan (sgnx) ' (x) dx ' (x) dx + ' (x) dx ' () ' () R olu 8' 2 C (R) için g (x) ' (x) dx 2' () R elde edilir. Key 2 C (R) fonksiyonu için ' (x) x (x) fonksiyonunu göz önüne al rsak Teorem 2.3.6 yard m yla xg (x) (x) dx ) g R elde edilir. Dolay s yla 8' 2 C (R) için 2' () gerçeklenir. Bu ise çelişkidir.n Tan m 4..2 (ay f Türev) R n aç k küme, jj 6 olacak şekilde 2 N n katl indeks ve f; g 2 L loc () olsun. E¼ger L loc () uzay nda m! için m! f D m! g olacak şekilde f m g m C () fonksiyonlar dizisi varsa g fonksiyonuna üzerinde f fonksiyonunun - nc mertebeden zay f türevi ad verilir. Teorem 4.. Tan m 4.. ve Tan m 4..2 denktir. Isat: (T an{m 4::2 ) T an{m 4::) m 2 C () ve 8' 2 C integrasyon uygularsak () için k smi md 'dx ( ) jj D m'dx 4

elde edilir. Sol taraftaki ifade m! için fd 'dx integraline yaklaş r. Gerçekten; m! için ( m f) D 'dx max x2su' jd 'j su' j m fj dx! sa¼glan r. Benzer düşünceyle sa¼g taraftaki ifade de m! için ( ) jj g'dx integraline yaklaş r. Bundan dolay 8' 2 C () için fd 'dx ( ) jj g'dx gerçeklenir. Dolay s yla Tan m 4.. anlam nda g D f sa¼glan r. (T an{m 4:: ) T an{m 4::2) B m : x 2 : jxj < m; d (x; ) > 2 m kümesi tan mlans n. Bu kümenin karakteristik fonksiyonu m olsun. 8m 2 N için m A m f m fonksiyonlar n tan mlayal m. Di¼ger yandan; f 2 L loc () oldu¼gundan f m 2 L () ve j m (x)j A m (f m ) (x) B(;) j! (z)j (f m ) x z dz < m olu m fonksiyonu kümesi üzerinde iyi tan ml d r. Teorem 3.2.2 deki işlemler benzer olarak ya l rsa m 2 C () elde edilir. Ayr ca Sonuç 3.2.2 ve ileride verece¼gimiz Teorem 4.2.6 dikkate al n rsa L loc () uzay nda m! için 4

m A (f m m )! f ve D m D A (f m m ) A (D (f m m ))! Df g elde edilir.n Tan m 4..3 (ay f Türev) R aç k küme, k 2 N ve f; g 2 L loc () olsun. E¼ger kümesi üzerinde f fonksiyonuna denk öyle ki (k türevi h (k ) -inci mertebeden adi ) lokal mutlak sürekli ve h (k) g olacak şekilde bir h fonksiyonu varsa bu durumda g fonksiyonuna üzerinde f fonksiyonunun k - nc mertebeden zay f türevi ad verilir. g D k f f (k) ile gösterilir. Teorem 4..2 Tan m 4.. ve Tan m 4..2 de n olmas durumunda Tan m 4.., Tan m 4..2 ve Tan m 4..3 denktir. Isat: (a; b) olmas durumunu inceleyelim. (T an{m 4::3 ) T an{m 4::) Key ' 2 C () fonksiyonunu göz önüne alal m. h (k ) fonksiyonu (a; b) üzerinde lokal mutlak sürekli oldu¼gundan k defa k smi integrasyonla b b f' (k) dx h' (k) dx ( ) k b h (k) 'dx ( ) k b g'dx a a a a istenilen elde edilir. (T an{m 4::2 ) T an{m 4::3) k olsun. L loc () uzay nda m! f oldu¼gundan bir fm s g alt dizisi ve m ((a; b) G) olacak şekilde bir G (a; b) alt kümesi mevcut olu 8x 2 G için ms (x) s!! f (x) gerçeklenir. z 2 G eleman n sabitleyelim 42

ve m s (x) ms (z) + x z m s (y) dy eşitli¼ginde s! için limite geçelim. Bu durumda 8x 2 G için f (x) f (z) + x z g (y) dy h (x) elde edilir. Di¼ger yandan g 2 L loc () oldu¼gundan x z g (y) dy fonksiyonu mutlak süreklidir. Dolay s yla (a; b) aral ¼g nda f fonksiyonuna denk olan lokal mutlak sürekli h fonksiyonu mevcuttur ve h g gerçeklenir. E¼ger k > ise a < < x < < b için ms fonksiyonlar na ortalama Taylor formülü uygularsak (Burenkov 998) m s (x) x y (x; y) ms (y) dy + (x y) k! (u) du (k )! (x y) k! (u) dua (k) m (k )! s (y) dy x y A (k) m s (y) dy gerçeklenir. Burada; 2 C ([a; b] [a; b]) ; 8y 2 [a; b] için (:; y) 2 } k,! 2 C (; ) ve! (u) du dir. Dolay s yla yukar daki ifadede x 2 G için s! iken limite geçersek x y f (x) (x; y) f (y) dy + (x y) k! (u) dua g (y) dy (k )! (x y) k! (u) dua g (y) dy (k )! h (x) x y 43

elde edilir. Ayr ca x 2 G için h (k ) (x) k x k (x; y) f (y) dy+ x y! (u) dua g (y) dy x y! (u) dua g (y) dy gerçeklenir. Di¼ger yandan [; ] aral ¼g nda y! (u) dua g (y) ; y! (u) dua g (y) 2 L [; ] sa¼gland ¼g ndan h (k ) fonksiyonu lokal mutlak süreklidir. Dolay s yla x 2 G için h (k) (x) x! (u) dua g (x) +! (u) dua g (x)! (u) dua g (x) g (x) x elde edilir.n 4.2 ay f Türevin Temel Özellikleri Teorem 4.2. R n aç k küme, f; g 2 L loc (), kümesi üzerinde g D f ve key alt kümesini göz önüne alal m. Bu durumda kümesi üzerinde de g D f gerçeklenir. Isat: Key ' 2 C ( ) fonksiyonunu göz önüne alal m. Bu ' fonksiyonu kümesi üzerinde s f r olarak tan mlanarak ' 2 C Bu durumda () fonksiyonuna genişletilebilir. g'dx g'dx ( ) jj fd 'dx ( ) jj fd 'dx yaz labilir. Dolay s yla g fonksiyonunun üzerinde f fonksiyonunun - nc mertebeden zay f türevi oldu¼gu isatlanm ş olur.n 44

Teorem 4.2.2 R n aç k küme, f ; f 2 2 L loc () ve kümesi üzerinde g D f 2 L loc () g 2 D f 2 2 L loc () zay f türevleri mevcut olsun. Bu durumda c ; c 2 2 R olmak üzere D (c f + c 2 f 2 ) mevcut olu D (c f + c 2 f 2 ) c Df + c 2 Df 2 gerçeklenir. Isat: Key ' 2 C () fonksiyonunu alal m. Bu durumda (c f + c 2 f 2 ) D 'dx c f D 'dx + c 2 f 2 D 'dx ( ) jj c g 'dx + ( ) jj c 2 g 2 'dx ( ) jj (c g + c 2 g 2 ) 'dx ( ) jj (c D f + c 2 D f 2 ) 'dx gerçeklenir. Buradan istenilen elde edilmiş olur. Dolay s yla D zay f türev oeratörü lineerdir.n Teorem 4.2.3 R n aç k küme, jj 6 olacak şekilde 2 N n katl indeks, kümesi üzerinde tan ml f fonksiyonu 8x 2 için (D f) (x) klasik anlamda türeve sahi ve D f 2 C () ise bu durumda kümesi üzerinde D f D f gerçeklenir. 45

Isat: 8' 2 C () ve D f 2 C () olmas kullan larak Not 2.3. yard m yla fd 'dx ( ) jj D f'dx elde edilir.n Not 4.2. (i) Teorem 4.2.3 deki D f fonksiyonunun süreklilik şart kald r lamaz. Örne¼gin; 8 < x 2 sin x ; x 6 f (x) : 2 : ; x fonksiyonunu tan mlayal m. f fonksiyonunun klasik anlamda türevi 8 < 2x sin f (x) : x 2 2 cos x x ; x 6 2 ; x olu R nin tamam nda mevcuttur. Ancak buldu¼gumuz bu klasik türev f fonksiyonunun zay f türevi de¼gildir. Çünkü; 2 x cos dx x 2 jcos yj y dy olmas ndan dolay f 2 L loc (R) gerçeklenir. Dolay s yla f fonksiyonu f fonksiyonunun zay f türevi de¼gildir. (ii) Belirtmek gerekir ki e¼ger f 2 L loc () fonksiyonu kümesi üzerinde D f zay f türevine sahi ise bu durumda D f 2 L loc () olmal d r. Teorem 4.2.4 R n aç k küme, jj 6 olacak şekilde 2 N n katl indeks, f; g; h 2 L loc () fonksiyonlar için kümesi üzerinde g D f ve h D f gerçeklensin. Bu durumda kümesi üzerinde hemen hemen her yerde g h sa¼glan r. 46

Isat: 8' 2 C () fonksiyonlar n göz önüne alal m. Hiotezden fd 'dx ( ) jj g'dx ve fd 'dx ( ) jj h'dx yaz labilir. Bu iki ifadeyi taraf tarafa ç kart rsak key ' 2 C () fonksiyonlar için (g h) 'dx elde edilir. Teorem 2.3.6 dan kümesi üzerinde hemen hemen her yerde g h sa¼glan r.n Klasik anlamda türev kavram gibi zay f türev kavram da lokal bir kavramd r. Yani; E¼ger g 2 L loc () fonksiyonu lokal üzerinde f 2 L loc () fonksiyonunun - nc basamaktan zay f türevi (8x 2 için x eleman n n bir U x komşulu¼gu vard r öyle ki g fonksiyonu U x üzerinde f fonksiyonunun - nc basamaktan zay f türevi) ise bu durumda g fonksiyonu üzerinde f fonksiyonunun - nc basamaktan zay f türevidir. Gerçekten; Key ' 2 C () fonksiyonunu göz önüne alal m. Dolay s yla su' olacak şekilde fu xm g s m aç k örtüsü vard r. O halde 8 >< >: (i) m 2 C (U xm ) (ii) su' üzerinde sx m m s[ m U xm olacak şekilde f m g s m birimin arçalanmas n göz önüne alabiliriz. 47

sx üzerinde ' m ' sa¼gland ¼g ndan m sx fd 'dx m U xm fd (' m ) dx ( ) jj sx g' m dx m U xm ( ) jj g'dx istenilen elde edilir. Teorem 4.2.5 R n aç k küme, jj 6 olacak şekilde 2 N n katl indeksi için D oeratörünün tan m kümesini G () ile gösterelim. Yani; G () : f 2 L loc () : D f mevcut olsun. Bu durumda D zay f türev oeratörü D : G () L loc ()! L loc () kaal bir oeratördür. Isat: 8m 2 N için f m 2 G () olacak şekilde ff m g m L loc () ve L loc () uzay nda m! için fonsiyonlar dizisi, f; g 2 f m! f D f m! g gerçeklensin. Key ' 2 C () fonksiyonu için f m D 'dx ( ) jj D f m 'dx 48

sa¼glan r. m! için limite geçersek fd 'dx ( ) jj g'dx olur. Buradan D f g ve f 2 G () olu D oeratörü kaal d r.n Teorem 4.2.6 ( Integral Işareti Alt nda ay f Türev) R n aç k küme, A R m ölçülebilir küme, jj 6 olacak şekilde 2 N n katl indeks olsun. Kabul edelim ki f fonksiyonu A kümesi üzerinde tan ml, h:h:h: y 2 A için f (:; y) 2 L loc (), üzerinde D f (:; y) zay f türevi mevcut ve 8K komakt kümesi için f; D f 2 L (K A) olsun. Bu durumda üzerinde D f (x; y) dya (D f) (x; y) dy (4.2.) A A gerçeklenir. Isat: Key ' 2 C () fonksiyonlar için f (x; y) D ' (x), (D f) (x; y) ' (x) 2 L ( A) gerçeklenir. Gerçekten; A jf (x; y) D ' (x)j dxdy max x2 jd ' (x)j su'a jf (x; y)j dxdy < elde edilir. Di¼ger ifade de benzer olarak gösterilebilir. Dolay s yla Tan m 4.. ve integral s ras n de¼giştirmek için Fubini teoremi kullan l rsa (Df) (x; y) dya ' (x) dx (Df) (x; y) ' (x) dxa dy A A 49

( ) jj A ( ) jj A f (x; y) D ' (x) dxa dy f (x; y) dya D ' (x) dx eşitli¼gi gerçeklenir. Böylece (4:2:) ifadesi isatlanm ş olur.n Teorem 4.2.7 (Düzgünleşme ve ay f Türevin De¼gişme Özelli¼gi ) R n aç k küme, jj 6 olacak şekilde 2 N n katl indeks, f 2 L loc () ve üzerinde D f zay f türevi mevcut olsun. Bu durumda 8 > için üzerinde D (A f) A (D f) (4.2.2) gerçeklenir. Isat: D f 2 L loc () oldu¼gundan Teorem 3.2.2 yard m yla A (D f) 2 C dir. Ayr ca 8x 2 için A f (x) B(;)! (z) f (x z) dz gerçeklenir. Tan m 4.. den üzerinde D (f (: z)) (D f) (: z) eşitli¼gi sa¼glan r. (x; z) 2 B (; ) için F (x; z) f (x z)! (z) G (x; z) (D f) (x z)! (z) fonksiyonlar n tan mlayal m. Bu durumda 8K komakt kümesi için F ve G fonksiyonlar L (K B (; )) uzay na aittir. Gerçekten F ve G fonksiyonlar B (; ) kümesi üzerinde ölçülebilirdir. (Çünkü; e¼ger bir h fonksiyonu E R n ölçülebilir kümesinde ölçülebilir fonksiyon ise bu durumda H (x; y) h (x y) olarak tan mlanan fonksiyon f(x; y) 2 R 2n : x y 2 Eg R 2n ölçülebilir kümesi 5

üzerinde ölçülebilir fonksiyondur.) K oldu¼gundan K sa¼glan K B B(;) C j! (z) f (x z)j dz A dx max z2b(;) M B j! (z)j K B B(;) jf (x C jf (y)j dya dx C z)j dza dx K M B(x;) jf (y)j dya dx K K Mm (K) K jf (y)j dy < elde edilir. Dolay s yla F (x; z) 2 L (K B (; )) gerçeklenir. G (x; z) 2 L (K B (; )) olmas da benzer şekilde gösterilebilir. Di¼ger yandan Teorem 4.2.3 ve Teorem 4.2.6 göz önüne al n rsa 8x 2 için D (A f (x)) D B B(;) C! (z) f (x z) dza! (z) D (f (x z)) dz B(;)! (z) (D f) (x z) dz B(;) A (D f) (x) gerçeklenir. Bundan dolay istenilen elde edilir.n 5

Tan m 4.. de zay f türev do¼grudan tan mlanm şt r (Klasik anlamda türevde oldu¼gu gibi tümevar msal de¼gil). Dolay s yla şöyle bir soru ortaya ç kmaktad r: "Df zay f türev mevcut iken < olmak üzere Df zay f türevi mevcut mudur?" Aşa¼g daki örnek göstermektedir ki genelde bu sorunun cevab olumsuzdur. Örnek 4.2. (x ; x 2 ) 2 R 2 olmak üzere f (x ; x 2 ) sgnx + sgnx 2 tan mlans n. f f Bu durumda Örnek 4..5 de gördü¼gümüz üzere x ; x 2 mevcut de¼gildir. Ancak R 2 üzerinde 2 f x x 2 gerçeklenmektedir. Çözüm: Key ' 2 C (R 2 ) alal m. R 2 f (x) 2 ' x x 2 dx 2 ' sgnx dx dx 2 + x x 2 2 ' dx 2 Asgnx dx + x x 2 {z } 2 ' sgnx 2 dx dx 2 x x 2 2 ' dx Asgnx 2 dx 2 x x 2 {z } elde edilir. Dolay s yla R 2 üzerinde 2 f x x 2 gerçeklenir.n Teorem 4.2.8 R n aç k küme, k 2 N, k 2, f 2 L loc () ve baz j n için kümesi üzerinde k f zay f türevi mevcut olsun. Bu durumda s < k koşulunu x k j sa¼glayan 8s 2 N için kümesi üzerinde zay f türevi mevcuttur. s f x s j Isat: Q yüzleri koordinat düzlemlerine aralel ve Q olacak şekilde key kü olmak üzere Sonuç 2.6. yard m yla h 2 C k (Q) için s h x s j L (Q) C khk L (Q) + k h x k j L (Q) A (4.2.3) olacak şekilde h fonksiyonundan ba¼g ms z C > say s vard r. 52

f 2 L loc (), Q oldu¼gundan 8m 2 N için f m A f 2 C (Q) gerçeklenir. m Dolay s yla Sonuç 3.2.2 den L (Q) uzay nda f m m!! f sa¼glan r. Ayr ca Teorem 4.2.7 ve Sonuç 3.2.2 yard m yla L (Q) uzay nda k f m x k j A m!!! k f m!! k f x k j x k j gerçeklenir. (4:2:3) ifadesi kullan l rsa s f m x s j s f l x s j L (Q) C kf m f l k L (Q) + k f m x k j k f l x k j L (Q) A yaz labilir. ff m g m fonksiyonlar dizisi L (Q) uzay nda yak nsak oldu¼gundan Cauchy n o m;l! dizisidir. Dolay s yla kf m f l k L (Q)! olmal d r. Benzer olarak dizisi için de ayn şeyler söylenebilir. Böylece lim m;l! s f m x s j s f l x s j L (Q) gerçeklenir. L (Q) tam uzay oldu¼gundan g Q 2 L (Q) fonksiyonu vard r öyle ki L (Q) uzay nda s f m! m! g x s Q gerçeklenir. Tan m 4..2 dikkate al n rsa g Q fonksiyonu Q üzerinde f fonksiyonunun x j de¼gişkenine göre s -inci mertebeden zay f j türevidir. Belirtelim ki e¼ger Q ve Q 2 arakesiti boştan farkl ve yukar da belirtilen koşullara uygun key külerse bu durumda Q \ Q 2 üzerinde h:h:h: g Q g Q2 sa¼glan r. Çünkü; g Q ve g Q2 fonksiyonlar f fonksiyonunun Q \ Q 2 üzerinde zay f türevleridir. k f m x k j m Bundan dolay g 2 L loc () fonksiyonu vard r öyle ki uygun Q külerinin her biri üzerinde h:h:h: g g Q olu g fonksiyonu f fonksiyonunun Q üzerinde s -inci mertebeden zay f türevidir. Dolay s yla g fonksiyonu f fonksiyonunun üzerinde x j de¼gişkenine göre s -inci mertebeden zay f türevidir.n 53