Heat and Mass Transfer: Fundamentals & Applications Fourth Edition Yunus A. Cengel, Afshin J. Ghajar McGraw-Hill, 2011 Bölüm 4 Zamana Bağlı Isı İletimi Hazırlayan: Yrd.Doç.Dr. Nezaket Parlak
Bu Bölümün Amaçları: Yerel sıcaklık değişiminin ihmal edilebildiği ve zamana göre değişimi neredeyse üniform olduğunda, basitleştirilmiş yığık çözümlemenin uygulanabilirliği değerlendirilebilmelidir. Değişkenleri ayırma metodu kullanılarak kartezyen, silindirik ve küresek geometrilerde zamana bağlı tek boyutlu iletim problemlerinin analitik çözümleri elde edilebilmeli ve tek terim çözümünün genellikle uygun bir yaklaşım olduğunun sebebi araştırılabilmelidir. Benzerlik değişkenleri kullanılarak büyük ortamlarda zamana bağlı iletim problemleri çözülebilmeli, zamana ve açık yüzeye olan uzaklığa bağlı olarak sıcaklık değişimi tahmin edilebilmelidir. Çarpım çözüm yaklaşımı kullanılarak çok boyutlu zamana bağlı iletim problemlerinie çözüm getirilebilmelidir. 2
YIĞIK SİSTEM ÇÖZÜMLEMESİ Isı geçişi çözümlemelerinde, bazı cisimlerin ısı geçişi işlemi boyunca iç sıcaklığı üniform kalan bir yığın gibi davrandığı gözlenir. Bu tür cisimlerin sıcaklığının yalnız zamanın fonksiyonu T(t) olarak değiştiği kabul edilebilir. Bu idealleşmeyi kullanan ısı geçiş çözümlemesi yığık sistem çözümlemesi olarak adlandırılır. Fırına konulmuş bakır bir top, heryerinde sıcaklıkları eşit olduğundan, yığık sistem olarak görülebilir fakat bir et parçası içindeki sıcaklık üniform değildir. 3
dt süresince cisme olan ısı geçişi dt süresince cismin enerjisindeki artış İntegrali ; t = 0 da t = t da T = T i T = T(t) Yığık sistem çözümlenmesindeki geometri ve parametreler Zaman sabiti 4
Farklı zaman sabitleri (b) için sıcaklığın zamanla değişimi -Zaman ilerledikçe yığık sistemin sıcaklığı çevre sıcaklığına yaklaşır. Bu denklem herhangi bir t anında, belirli bir T(t) sıcaklığa erişebilmek için gerekli t zamanını bulma imkanı verir. Cismin sıcaklığı T çevre sıcaklığına üstel olarak yaklaşır. Cismin sıcaklığı T başlangıçta hızlıca değişir, fakat daha sonraları iyice yavaşlar. Büyük b değerleri cismin kısa zamanda çevre sıcaklığına yaklaşacağını gösterir. B üssü ne kadar büyük olursa sıcaklıktaki azalma o kadar yüksek olur. B üssü yüzey alanı ile doğru, ancak cismin kütlesi ve özgül ısısı ile ters orantılıdır. Büyük özgül ısıya sahip daha büyük bir kütleyi ısıtmak veya soğutmak uzun zaman alır. 5
Bir t anında, T(t) sıcaklığı bilindiğinde cisim ile çevresi arasındaki taşınım ısı geçiş hızı; t = 0 dan t anına kadar olan zaman aralığı üzerinden cisim ile çevre ortam arasındaki toplam ısı geçişi: Cisim ile çevresi arasındaki maksimum ısı geçiş hızı: Cisim T sıcaklığına ulaştığında ısı geçiş miktarı maksimuma ulaşır. 6
Yığık Sistem Çözümlemesinin Ölçütü Karakteristik uzunluk Biot sayısı Yığık sistem çözümlemesi uygulanabilirliği Eğer Bi 0.1, sıcaklığın cisim içinde konumunun önemsiz olduğu (Çevre sıcaklık farkları (T T ) birbirlerinin %5 içerisinde kalır) ve üniform olduğu kabul edilir. Cisim yüzeyinde taşınım Cisim içerisinde iletim Cisim içerisindeki iletim direnci Cismin yüzeyindeki taşınım direnci 7
8
Yüksek ısıl iletkenlikli ve düşük taşınım katsayılı küçük cisimlerin yığık sistem çözümlemesi ölçütünü sağlaması gerekir. Taşınım katsayısı h yüksek ve k düşük olduğu zaman, büyük bir katı cismin iç ve dış bölgeleri arasında büyük sıcaklık farkı oluşur. Katı bir cisme olan ısı geçişi ile bir adaya yolcu trafiği arasında benzerlik bulunur. 9
Örnek: Termokupullarla ölçme 10
Örnek: Termokupullarla ölçme, devamı 11
Örnek: Ölüm saatini tahmin etme 12
BÜYÜK DÜZLEM DUVAR, UZUN SİLİNDİR VE KÜRELERDE YERE VE ZAMANA BAĞLI ISI İLETİMİ Bu bölümde düzlem levha, silindir ve küre için zamana ve konuma bağlı, tek boyutlu problemler ele alınacaktır. Yüzeylerinden taşınıma açık bir düzlem duvarda T i >T Durumu için zamana bağlı sıcaklık grafikleri İçinde ısı geçişinin tek boyutlu olduğu basit geometriler 13
Tek boyutlu zamana bağlı ısı iletimi denkleminin boyutsuzlaştırılması Diferansiyel denklem: Sınır şartları: Başlangıç şartı: Boyutsuz diferansiyel denklem: Boyutsuz sınır şartları: Boyutsuz başlangıç şartı: 14
Boyutsuz sıcaklık Merkeze olan boyutsuz uzunluk Boyutsuz ısı geçiş katsayısı, Biot sayısı Boyutsuz zaman, Fourier sayısı Boyutsuzlaştırma tek boyutlu ısı iletim probleminde bağımsız değişken sayısını 8 den 3 e indirir ve sonuçların sunumunda büyük kolaylıklar sağlar. 15
Tek boyutlu zamana bağlı ısı iletimi probleminin tam çözümü 16
Tek boyutlu zamana bağlı ısı iletimi probleminin tam çözümü Düzlem duvar, silindir ve küre için; 17
Zamana bağlı ısı iletim problemlerinin analitik çözümleri, genellikle sonsuz serileri ve dolayısıyla belirli bir konum ve anda sıcaklığı hesaplamak üzere sonsuz sayıda terim bulmayı gerektirir. Yandaki şekilde görüldüğü gibi n ve lamda sayısı arttıkça üstel olarak azalan fonksiyondan dolayı terimler giderek azalır. Bu nedenle boyutsuz sıcaklığı hesaplamak için sonsuz serinin genellikle ilk birkaç teriminin bulunması yeterlidir. 18
Yaklaşık analitik ve grafik çözümler Seri çözümlerinde yer alan terimler zaman arttıkça hızla yakınsar ve > 0,2 için serilerin ilk terimi alınıp diğerleri ihmal edildiğinde %2 nin altında bir hatayla çözüm sonuçlanır. İlk terim yaklaşımı ile çözüm; 19
20
(a) Orta düzlem sıcaklığı Zamana bağlı sıcaklık ve ısı geçişi grafikleri (Heisler ve Grober) T i başlangıç sıcaklığına sahip iki tarafında h taşınım katsayısı ile T sıcaklığına sahip 2L kalınlıklı bir düzlem duvar için zamana bağlı sıcaklık ve ısı geçişi grafikleri 21
(b) Sıcaklık dağılımı 22
(c) Isı geçişi 23
Düzlem levhada, silindirde ve kürede herhangi bir konumda boyutsuz sıcaklıklar: Sonlu taşınım katsayısı Sonsuz taşınım katsayısı Belirli yüzey sıcaklığı, sonsuz h taşınım katsayısıylat sıcaklığındaki bir çevreye olan taşınım durumuna karşılıktır. 24
Belirlenen bir zamana kadar olan toplam ısı geçiş kesri Q/Q maks Gröber grafikleri kullanılarak bulunabilir. 25
Fourier sayısının önemi Fourier sayısı, cisim içerisinde iletilen ısının depolanan ısıya oranının bir ölçütüdür. Büyük Fourier sayısı, ısının cisim içerisinde daha hızlı yayıldığını gösterir. L 3 hacimli cismin L uzunluğu Boyunca iletilen ısının hızı L 3 hacimli cisimde ısı depolama hızı t zamanındaki Fourier sayısı o zamanda iletilen ısı miktarının depolanan ısı miktarına oranı olarak görülebilir. 26
Örnek: Yumurtanın kaynatılması 27
Örnek: Pirinç plakanın fırında ısıtılması 28
Örnek: Pirinç plakanın fırında ısıtılması, devamı 29
Örnek: Uzun silindirik paslanmaz çelik milin soğutulması 30
Örnek: Uzun silindirik paslanmaz çelik milin soğutulması, devamı 31
YARI-SONSUZ KATILARDA ZAMANA BAĞLI ISI İLETİMİ Yarı-sonsuz bir cisim Isının cisim içinde derinlere nüfuzu için yeterli zaman olmadığı için çoğu cisimler kısa zaman diliminde yarı-sonsuz katı olarak modellenir, ısı geçişi hesabına kalınlık katılmaz. Yarı-sonsuz katı: Tek bir düzlem yüzeyi olan ve diğer doğrultularda sonsuza uzanan idealleştirilmiş cisimdir. Bu idealleştirilmiş cisim, yüzeydeki ısıl şartlar sebebiyle yüzeye yakın oluşan sıcaklık değişimini göstermek için kullanılır. Yerküre, yüzeyinin yakınındaki sıcaklık değişimleri hesaplanırken yarı-sonsuz cisim olarak düşünülebilir. Kalın bir duvarda eğer yüzeylerden birinin yakınındaki bölgede sıcaklık değişimiyle ilgileniliyor ve diğer yüzey herhangi bir etkiye uzak ise, bu duvar yarı-sonsuz olarak modellenebilir. 32
Yüzeyde T s sabit sıcaklığı için analitik çözüm Diferansiyel denklem: Sınır şartları: Başlangıç şartı: Benzerlik değişkeni: Hata fonksiyonu Tamamlayıcı hata fonksiyonu Isı iletimi denkleminin türevlerindeki değişkenlerin zincir kuralıyla dönüşümü. 33
Tamamlayıcı hata fonksiyonu Hata fonksiyonu, değeri 0 ila 1 arasında değişen ve aynen sinüs ve tanjant gibi standart bir matematiksel fonksiyondur. 34
Yüzeydeki farklı sınır koşulları için analitik çözümler 35
Yüzeyi sabit T s sıcaklığında tutulan yarısonsuz bir cisimde zamana bağlı ısı iletimi için boyutsuz sıcaklık dağılımı. 36
37
38
Başlangıçta T i sıcaklığında, yüzeyinden T sıcaklığındaki çevreyle arasında h ısı geçiş katsayısıyla taşınım yapan yarı-sonsuz bir cisimde sıcaklığın koordinat ve zamanla değişimi. 39
Örnek: Su borularının donmasını önleyecek minimum gömülme derinliği 40
Örnek: Su borularının donmasını önleyecek minimum gömülme derinliği 41
İki Yarısonsuz Katının Teması Başlangıçta üniform sıcaklıkları T A,i ve T B,i olan büyük A ve B cisimleri birbirleri ile temas ettirildiği zaman, temas yüzeyinde sıcaklıkları hemen eşitlenir. Eğer iki cisim aynı sabit özellikli malzemeden ise ısıl simetri, temas yüzey sıcaklığının T s = (T A,i +T B,i )/2 aritmetik ortalama olmasını gerektirir ve bütün zamanlarda bu değer sabit kalır. Eğer cisimlerin malzemeleri farklı ise sıcaklıkları yine eşitlenir; fakat bu durumda T s yüzey sıcaklığı ortalama değerden farklı olur. Temas yüzeyinde enerji dengesi Farklı başlangıç sıcaklıklarına sahip iki yarısonsuz katının teması Temas yüzey sıcaklığı Temas ettirilen iki cismin ortak yüzey sıcaklığında, daha büyük k c p ye sahip cisim baskın olur. ÖRNEK: Deri sıcaklığı 35 C olan bir insan, alüminyum ve tahta bloklara dokunduğu zaman, temas yüzeyindeki sıcaklık alüminyum için 15.9 C ve tahta blok 30 C olmaktadır. 42
ÇOK BOYUTLU SİSTEMLERDE ZAMANA BAĞLI ISI İLETİMİ Zamana bağlı grafikler ve analitik çözümler, geniş düzlem duvar, silindir, küre ve yarısonsuz ortamlardaki tek boyutlu ısı iletim problemlerinde sıcaklık dağılımını ve ısı geçişinin bulmak için kullanılır. Bu grafik çözümler çarpım çözümü olarak bilinen bir yaklaşım kullanılarak, kısa silindir, uzun dörtgen çubuk veya yarısonsuz silindir veya plaka gibi geometrilerde iki boyutlu zamana bağlı ısı iletim problemlerinde ve hatta katının tüm yüzeyi aynı akışkanla taşınım yapması durumunda ve ısı üretimi olmaması kaydıyladikdörtgen prizma veya yarısonsuz dikdörtgen çubuk gibi geometrilerde üç boyutlu problemlere çözüm oluşturmak için kullanılır. Çok boyutlu geometrilerde çözüm, ara kesiti çok boyutlu geometri olan tek boyutlu geometrilerin çarpımı olarak ifade edilebilir. Bütün yüzeylerden taşınıma açık kısa bir silindirdeki sıcaklık hem radyal hemde eksenel doğrultuda değişir ve bu yüzden ısı her iki doğrultuda aktarılır. 43
Üniform başlangıç sıcaklığı T i, yüksekliği a ve yarıçapı r o olan kısa bir silindir dikkate alınsın. Silindirde ısı üretimi yoktur. t=0 anında bütün yüzeylerden, sıcaklığı T olan bir ortama h ısı taşınım katsayısı ile taşınım söz konusudur. Isı geçişi hem yanal yüzeylerden hem de alt üst yüzeylerden olur ve sıcaklık T(r,x,t) dir. Yüksekliği a ve yarıçapı r o olan kısa bir silindirde çözüm, a kalınlıklı tek boyutlu düzlem duvar ile r o yarıçaplı uzun silindir için boyutsuz çözümlerin çarpımına eşittir. Yarıçapı r o ve yüksekliği a olan kısa bir silindir, a kalınlıklı düzlem duvar ile r o yarıçaplı uzun silindirin ara kesitidir. 44
Şekildeki gibi axb kesit alanlı uzun katı bir çubuk için çözüm a ve b kalınlıklı iki sonsuz düzlem duvarın ara kesitidir. a b dikdörtgen kesitli uzun katı bir çubuk, kalınlıkları a ve b düzlem duvarların ara kesitidir. 45
Tek boyutlu iki geometrinin oluşturduğu iki boyutlu bir geometri için zamana bağlı ısı iletimi, Tek boyutlu üç cismin ara kesitlerinin oluşturduğu üç boyutlu bir cisim için zamana bağlı ısı iletimi 46
T i başlangıç sıcaklığında, bütün yüzeyleri T sıcaklıklı ortamdaki taşınıma açık cisimler için tek boyutlu çözümlerin çarpımı olarak ifade edilen çok boyutlu çözümler. 47
T i başlangıç sıcaklığında, bütün yüzeyleri T sıcaklıklı ortamdaki taşınıma açık cisimler için tek boyutlu çözümlerin çarpımı olarak ifade edilen çok boyutlu çözümler. 48
Örnek: Kısa pirinç silindirin soğutulması 49
Örnek: Kısa pirinç silindirin soğutulması 50
Örnek: Uzun bir silindirin suyla soğutulması 51
Örnek: Uzun bir silindirin suyla soğutulması 52
Özet Yığık sistem analizi Yığık sistem çözümlemesi kriteri Yığık sistemlerde ısı geçişi Geniş düzlem duvarlarda, silindir ve kürlerde zamana bağlı ısı iletimi Tek boyutlu zamana bağlı ısı iletimi denkleminin boyutsuzlaştırılması Tek boyutlu zamana bağlı ısı iletimi denkleminin tam çözümü Yaklaşık analitik ve grafik çözümler Yarısonsuz cisimlerde zamana bağlı ısı iletimi denkleminin İki yarı sonsuz cismin teması Çok boyutlu zamana bağlı ısı iletimi denklemi 53