OLASILIĞA GİRİŞ IDERSİ ÖDEV 5 ÇÖZÜMLERİ 1. A, B, C Ω olmak üzere A B ve A B C olaylarını ayrık olayların birleşimi olarak yazınız. A B = A (B A) =A (B A c ) A B C = A (B A) (C (A B)) = A (B A c ) (C B c A c ) 2. Ω,, 2,...,n olmak üzere à n n P = P ( ) 1 i 1 <i 2 n + +( 1) n+1 P (A 1 A 2 A n ) 1 i 1 <i 2 <i 3 n P (1 2 A(1) i3 ) olduğunu tümevarım ilkesini kullanarak gösteriniz(poincarė Teoremi veya içermedışlama prensibi olarak bilinir). n =1için A 1 = A 1 eşitliğinin doğru olduğu aşikar. n =2için de à 2 P = P (A 1 A 2 )=P (A 1 )+P (A 2 ) P (A 1 A 2 ) (1) eşitliği doğrudur. n = k için (1) eşitliğinin à k k P = P ( ) P (1 2 3 ) 1 i 1 <i 2 <i 3 k + +( 1) n P 1 2 k 1 1 i 1 <i 2 < <i n 1 k +( 1) k+1 P (A 1 A 2 A k ) şeklinde doğru olduğu varsayılsın. aşağıdaki gibi gösterilebilir: n = k + 1 için de (1) eşitliğinin doğru olduğu 1
P à k+1 Ãà k = P A k+1 à k à k = P + P (A k+1 ) P ( A k+1 ) = k P ( ) P (1 2 3 ) + +( 1) n 1 i 1 <i 2 < <i n 1 k 1 i 1 <i 2 <i 3 k P 1 2 k 1 +( 1) k+1 P (A 1 A 2 A k ) ( k +P (A k+1 ) P ( A k+1 ) P (1 2 A k+1 ) + +( 1) k+1 P (A 1 A 2 A k A k+ ) Burada birinci satırdan ikinci satıra Teorem 10(e?) den, ikinci satırdan üçüncü satıra varsayımdan geçilmiştir. Böylece yukardaki benzer toplamalar birleştirilerek à k+1 k+1 P = P ( ) P (1 2 3 ) +1 1 i 1 <i 2 <i 3 k+1 + +( 1) k P (1 2 k ) şeklinde ispat tamamlanır. 1 i 1 <i 2 < <i k k+1 +( 1) k+2 P (A 1 A 2 A k A k+1 ) 3. Ω,, 2,...,n olmak üzere 1 2 =, 1 i 1 <i 2 n ise 1 2 3 =, 1 i 1 <i 2 <i 3 n olduğu söylenebilir mi? Bu probleme şu şekilde yaklaşalım: İlk ikisi ayrık 100 tane olay(küme) nin kesişimini dikkate alalım. A 1 A 2 A 100 = A 3 A 4 A 100 = olduğundan her hangi sayıda kümeden her hangi ikisi ayrık ise bütün olayların kesişimi boş kümedir. 4. R deki Borel Cebrinin, R yi ve R deki yarı açık aralıkların sınıfını kapsadığını gösteriniz. Ödev 4 çözümlerde bu sorunun cevabını bulabilirsiniz. 2
5. (Kaynak: Prof.Dr. Fikri Öztürk Hocamızın Ders Notları) Bir torbanın içinde 5beyaz,4mavi,3kırmızı ve 2 sarı top bulunsun. a) Bir top çekilmesi ve renginin gözlenmesi Ω = {B,M,K,S} b) İadeli olarak (çekileni geri atarak) iki kez birer top çekilmesi ve renginin gözlenmesi Ω = {BB,MM,KK,SS,BM,BK,BS,MB,KB,SB,MK,MS,KM,SM,KS,SK} c) İadeli olarak üç kez birer top çekilmesi ve renginin gözlenmesi deneyinin örnek uzayını yazınız. Ω = {BBB,BBM,BBK,BBS,BMB,BMM,BMK,BMS,BKB,BKM,BKK,BKS,BSB,BSM,BSK,BSS,MBB,MBM,MBK,MBS,MMB,MMM,MMK,MMS,MKB,MKM,MKK,MKS,MSB,MSM,MSK,MSS,KBB,KBM,KBK,KBS,KMB,KMM,KMK,KMS,KKB,KKM,KKK,KKS,KSB,KSM,KSK,KSS,SBB,SBM,SBK,SBS,SMB,SMM,SMK,SMS,SKB,SKM,SKK,SKS,SSB,SSM,SSK,SSS} d) İadesiz olarak (çekileni geri atmaksızın) iki kez birer top çekilmesi ve renginin gözlenmesi Ω = {BB,MM,KK,SS,BM,BK,BS,MB,KB,SB,MK,MS,KM,SM,KS,SK} e) İadesiz olarak üç kez birer top çekilmesi ve renginin gözlenmesi deneyinin örnek uzayını yazınız. Ω = {BBB,BBM,BBK,BBS,BMB,BMM,BMK,BMS,BKB,BKM,BKK,BKS,BSB,BSM,BSK,BSS,MBB,MBM,MBK,MBS,MMB,MMM,MMK,MMS,MKB,MKM,MKK,MKS,MSB,MSM,MSK,MSS,KBB,KBM,KBK,KBS,KMB,KMM,KMK,KMS,KKB,KKM,KKK,KKS,KSB,KSM,KSK,KSS,SBB,SBM,SBK,SBS,SMB,SMM,SMK,SMS,SKB,SKM,SKK,SKS,SSB,SSM,SSK} f) Aynı anda iki top çekilmesi ve renklerinin gözlenmesi deneyinin örnek uzayını yazınız. Ω = {BB,MM,KK,SS,BM,BK,BS,MK,MS,KS} 3
g) Aynı anda üç top çekilmesi ve renklerinin gözlenmesi deneyinin örnek uzayını yazınız. Ω = {BBB,BBM,BBK,BBS,BMM,BMK,BMS,BKK,BKS,,MMM,MMK,MMS,MKM,MKK,MKS,MSM,MSK,MSS,KMM,KMK,KMS,KKM,KKK,KKS,KSM,KSK,KSS,SBS,SMM,SMK,SMS,SKM,SKK,SKS,SSM,SSK} h) Beyaz top gelinceye kadar iadesiz olarak toplar çekilmesi ve renklerinin gözlenmesi Ω = {B,MB,KB,SB,MMB,KKB,SSB,MKB,MSB,KMB,SMB,KSB,SKB,MMMB,MMKB,MMSB,MKMB,MKKB,MKSB,MSMB,MSKB,MSSB,KMMB,KMKB,KMSB,KKMB,KKKB,KKSB,KSMB,KSKB,KSSB,SMMB,SMKB,SMSB,SKMB,SKKB,SKSB,SSMB,SSKB, } ı) Beyaz top gelinceye kadar iadeli olarak toplar çekilmesi ve renklerinin gözlenmesi Ω = {B,MB,KB,SB,MMB,KKB,SSB,MKB,MSB,KMB,SMB,KSB,SKB,MMMB,MMKB,MMSB,MKMB,MKKB,MKSB,MSMB,MSKB,MSSB,KMMB,KMKB,KMSB,KKMB,KKKB,KKSB,KSMB,KSKB,KSSB,SMMB,SMKB,SMSB,SKMB,SKKB,SKSB,SSMB,SSKB,SSSB, } 6. Ω,, 2,...,n ve n A = Ã n c B = A c = = C = n\ n\ A c i olmak üzere A, B ve C sırasıyla hangi olayları temsil etmektedir. A : A 1,A 2,...,A n, olaylarından en az birinin gerçekleşmesi olayı B : A 1,A 2,...,A n, olaylarından hiçbirinin gerçekleşmemesi olayı C : A 1,A 2,...,A n, olaylarının hepsinin gerçekleşmesi olayı 7. A, B, C Ω olmak üzere D i E j eşlemelerini yapınız (Probability and Statistical Inference, Second Edition,Robert Bartoszynski and Magdalena Niewiadomska- Bugaj, sayfa:15) 4
D 1 =Bu olaylardan iki veya daha fazlasının oluşması D 2 =Sadece bir tanesinin oluşması D 3 =Sadece A olayının oluşması D 4 =Hepsinin oluşması D 5 =Hiçbirinin oluşmaması D 6 =En fazla birinin oluşması D 7 =En az birinin oluşması D 8 =Sadece ikisinin oluşması D 9 =İkiden fazla olayın oluşmaması D 10 = B olayının oluşması E 1 = A B C E 2 =(A B c C c ) (A c B C c ) (A c B c C) E 3 =(A B) c (A C) c (B C) c E 4 =(A B C) c E 5 = A c B c C c E 6 = A B C E 7 = B E 8 = A B c C c E 9 =(A B C c ) (A B c C) (A c B C) E 10 =(A B C) c E 11 =(A B) (A C) (B C) D 1 = E 11 D 2 = E 2 D 3 = E 8 D 4 = E 6 D 5 = E 5 = E 4 D 6 = D 7 = E 1 D 8 = E 9 D 9 = E 10 D 10 = E 7-5