Torsion(Moment along the longitudinal axis) In this section we will be studying what happens to shafts under torsional effects. We will limit ourselves with elements having circular cross sections. How do we calculate stresses at the section under torsion, what is its distribution, and what is angle of twist? How do we analyze statically indeterminate shafts?
Torsion Torsional deformation of circular shafts Torque or torsion is the momentwhich acts along the longitudinal axis of the shaft. Torsion is the governing force in the design of vehicle shafts. We can investigate what happens to a shaft under torsional effects by studying the shaft made of highly deformable material.
Torsion Torsional deformation of circular shafts Before Deformation After Deformation
Torsion Torsional deformation of circular shafts Assumption: No local deformation occurs where the torsion acts on the shaft (Saint Venant s principle holds) If the angle of twist is small, then the length and the diameter of the shaft remain the same (unchanged).
Consider the shaft which is fixed at one end, and the torque of T is applied to the other end (free end). Notice that the dark-green longitudinal plane is deformed as follows: Torsion Torsional deformation of circular shafts Theradiallineatadistance x from the fixed end rotates about an angle ϕ(x). Theangleϕ(x)iscalledthe angle of twist, and it is a function of the distance x. ϕ(x) increases with distance x.
Torsion Torsional deformation of circular shafts In order to see what T does to the material, let s look at a small element at a radial distanceρ(rho)fromitscenter: θ γ If the back face rotates ϕ(x), then the front face rotates about ϕ(x) + Δϕ, The difference Δϕbetween the faces exerts on the element shear deformations, In order to calculate this deformation, one needs to calculate the angle change between the sides AB and AC. Before deformation, the angle between them was 90 o then the angle becomes θ : π γ = limθ 2 C A B A Torsion generated shear deformations.
Torsion Torsional deformation of circular shafts The angle γ(gama) can be related to Δx (the segment s thickness) and the angle Δϕ, At the limitδx -> dx and Δϕ-> dϕ, then we can write the following: BD= ρdφ= dxγ Therefore d γ = ρ φ dx Notice that the term in red fonts is the same for every point at the section; it can be said that it is constant. Therefore, the shear deformation is proportionalonly with the radial distance ρ. In other words, shear deformations linearly change with the radial distance.
Torsion Torsional deformation of circular shafts The following expressions can be written: dφ : constant dx dφ γ γ = = dx ρ c ρ γ = γ c max max The shear strains on a cross section increase linearly with ρ.
Torsion Torsion Formula In this section, we will develop a relationship between internal torsional moment and shear stresses. Shear strains are caused by the shear stresses. Notice that since the change in shear strains is linear therefore the shear stress change will be linear as well. If we assume that the material remains linear elastic under torsional effects, we can write the following based on the Hooke s law: τ = Gγ Byreferringtothefigureontheleftina full circular cross-section, the shear stresses would start from zero and linearly increases with the radial distance, and becomes the largest at the periphery.
Torsion Torsion Formula From the Hooke s law, also the following expression can be written: ρ τ = τ c max This expression emphasizes that also the shear stress is a function of ρ. Due to the equilibrium, internal torque must be equal to the external torque T. We can write the force on a infinitesimally small area da as df = (τ)da. The torque due to this force is dt = ρ(τda). If we integrate that ρ τmax 2 T = ρ( τda) = A ρ τ A maxda= ρ da c c A
Torsion Torsion Formula T τ max = A c 2 ρ da The integral given above is related to the geometry of the cross-section, and it is known as the polar moment of inertia of the cross-section. This value is designated as J. The formula can be rewritten as follows: Maximum shear stress at the cross-section τ = max T c J Internal torque at the cross-section Radius of the cross-section.
Torsion Torsion Formula By using the formulas given below, we can derive a general expression to find shear stress at any point on the cross-section. ρ τ = τ c max τ = max T c J τ = T J ρ This formula is known to be the torsion formula. It can be used for circular shafts and if the material is homogenous and linear elastic.
Torsion Polar moment of inertia (for full circular sections) Polar moment of inertia of a full circular cross-section can be found as follows: A c c 2 2 3 π J = ρ da= ρ 2πρdρ = 2π ρ dρ = c ( ) 2 0 0 4
Torsion Polar Moment of Inertia (Circular tube type crosssections) For circular cross-section with an hollow part (tube type) with inner and outer radius c i and c o, respectively, the polar moment of inertia can be found as follows: J π = 2 ( 4 4 c ) o ci
Shear stresses increases linearly along the radial path. Failure due to Torsion
EXAMPLE 13.1
EXAMPLE 13.1
EXAMPLE 13.1
Example 5.3 Free Body Diagram Polar moment of inertia of the hollow tube:
Shear Stresses: Example 5.3 (larger figures etc.) At the outer most radial distance (@c o ): At the inner radial distance (@c i ):
EXAMPLE 13.1 Hint: P = T ω where P: power in Watt (N.m/s) T: Torque in N.m ω: frequency in rad/sec
EXAMPLE 13.1
Burulma Burulma Açısı Bazen şaftların dizaynında burulma açısı tasarımı sınırlayan durum olabilir, bu durumda burulma açısının hesabına ihtiyaç vardır. Ayrıca burulma açısının hesabı, statikçe belirsiz problemlerin çözülebilmesi için gerekmektedir.
Burulma Burulma Açısı Bu bölümde, şaftın bir ucunun diğer bir ucuna göre yaptığı burulma açısının hesabına ilişkin bir formülü çıkaracağız. Şaftın en kesiti dairesel olduğu ve malzemenin lineer elastik davrandığı kabul edilecektir. Torkun (burulma momentinin) etkidiği noktalardaki lokal deformasyonlar ise Saint Venant prensibine uygun davrandığı kabul edilecektir. Oluşturdukları etki ise genellikle ihmal edilebilir düzeyde olacaktır.
Burulma Burulma Açısı Kesit metodu kullanılarak, şafttan dx kalınlığında bir parça çıkarılacaktır: En kesitteki bileşke burulma momenti T(x) dir. T(x) den dolayı diskin bir yüzü diğer yüzüne göre dϕkadar burulacaktır (dönecektir). Bu sebeple, ρgibi bir mesafedeki malzeme γ(gama) kesme şekil değişimine maruz kalacaktır.
Burulma Burulma Açısı Şekle referansla aşağıdaki ifadeyi yazmak mümkündür: dx dφ= γ ρ γ = T( x) Hooke yasası geçerli olduğuna göre, geçerlidir. Ayrıca, τ = ρ G J( x) olduğu bilinmektedir. Bu durumda, bu üç denklem kullanılarak, aşağıdaki ifadeyi yazmak mümkündür: τ T( x) T( x) dφ= dx φ = dx J( xg ) J( xg ) L 0
Burulma Burulma Açısı Sabit burulma momentinin ve en kesit alanının olması durumunda, yukarıdaki ifade daha basit soldaki forma dönüşür, şafta birden fazla noktada burulma momenti etkiyorsa, bu durumda burulma açısı sağdaki form kullanılarak hesaplanır: φ = TL JG φ = TL JG Bu denklemle eksenel yüke maruz çubukların şekil değişimini veren formül arasındaki benzerliğe dikkat edin! δ = PL AE δ = PL AE
Burulma Burulma Açısı TL φ= Yukarıdaki denklemi uygulamak için işaret kabulü yapmamız gerekmektedir. Bunun için sağ el kuralı kullanılacaktır. Aşağıdaki şekle referansla pozitif yönler tarif edilmiştir: JG Baş parmak dışarı doğruysa tork (burulma momenti) ve burulma açısı pozitiftir, tersi durumunda negatiftir.
Burulma Burulma Açısı Bu kuralın uygulanmasını göstermek için aşağıdaki örneği ele alalım: A ucunun D ucuna göre yaptığı burulma açısını bulmak için önce iç kuvvet diyagramı çizilir:
Burulma Burulma Açısı İç kuvvet diyagramı dikkate alınarak, formül uygulanır: φ A/ D ( 80 ) ( 70 ) ( 10 ) Nm L Nm L Nm L = + + JG JG JG AB BC CD Sonuç pozitif çıkarsa, A ucu D ucuna göre şekilde gösterilen elin parmakları yönünde burulma gerçekleştirecektir demektir. Eğer bir noktanın burulma açısı, sabitlenmiş bir noktaya göre bulunuyorsa, bu durumda burulma açısı tek bir alt-indeksle gösterilir; örn. ϕ A gibi.
Örnek -3 Şekilde gösterilen vites sistemi üç farklı yerinden burulma momentleri etkisi altındadır. Şaftın yapıldığı malzemenin kesme modülü G = 80 GPa ve çapı ise 14 mm ise, A vitesi üzerindeki P noktasının ne kadar yer değiştirdiğini bulunuz. Şaft B kılavuzu içinde serbestçe dönebilmektedir.
Örnek 3 (devam) İç kuvvetleri bulursak, AC, CD ve DE bölgelerinde farklı fakat sabit burulma momentleri olduğunu görürüz, E noktasındaki mesnette oluşan burulma momentinin de gösterildiği çizimi dikkate alırsak, bu bölgelerdeki iç kuvvetleri hesaplayabilir: İç kuvvet diyagramı çizilirse aşağıdaki grafik elde edilir:
Örnek 3 (devam) Burulma açısı: şaftın en kesitinin polar atalet momenti aşağıdaki gibi bulunur: Burulma açısı denklemini üç farklı segmente uygulayarak P nin E ye göre dönmesini bulabiliriz, Sonuç negatif çıktığına göre, P ucu aşağıdaki gibi döner: P noktasının yer değiştirmesi ise:
Örnek -4 G = 26 GPa kesme modülüne, C noktasından sabitlenmiş 80 mm çapa sahip şaft, şekilde gösterilen burulma yüklemesine maruzdur. A noktasının toplam burulma açısını bulunuz.
Örnek 4 (devam) İç kuvvetleri serbest cisim diyagramlarını kullanarak
Örnek 4 (devam) Burulma açısı: Şaftın polar atalet momenti, J π = = 2 ( 0.04) 1.28( 10) 4 6 π