T I M U R K A R A Ç AY - H AY D A R E Ş C A L C U L U S S E Ç K I N YAY I N C I L I K A N K A R A
Contents Bibliography 9 Index 13
CONTENTS 5 0.1 Doğru, Düzlem, Uzay Bu derste sık sık doğru, düzlem ve uzay terimleri ile karşılaşacağız. Bu terimler duyu organlarımızca kolayca algılanan kavramlardır. Öğrenmekte zorluk çekmeyeceğiz. 1 Orta öğretimdeki geometri derslerinden aşağıdaki belitleri anımsayacaksınız. Aksiyom 0.1. İki noktadan bir doğru geçer. Aksiyom 0.2. Üç noktadan bir düzlem geçer. Önceki kesimde sayı ekseni kurduk. Şimdi sayı ekseni ile ilgili bazı yararlı işleri yapabiliriz. 0.2 Gerçel Sayı Ekseni Gerçel sayı ekseni, önceki kesimde kurduğumuz sayı eksenidir. Ancak, sayı eksenini kurarken doğrultu, yön ve birimin keyfi oluğunu söyledik. İşin aslı öyledir. Ancak, aynı konuyu düşünen insanların benzer şekiller üzerinde düşünmelerini sağlamak için bazı gelenekler oluşmuştur. Bu derste de o geleneklere uymakta yarar vardır. Gerçel sayı eksenininin doğrultusunu, önümüzdeki masanın bizim tarafta olan kenarına paralel olacak biçimde alırız. Yönünü bizim sağımızdaki yön olarak seçeriz. Birim uzunluk seçerken, o anda kullanılacak sayıları gözümüzün rahat seçeceği aralıkları yaratmasını isteriz. Ama ardışık sayıları yerleştirirken sayıların sayı ekseninin çok çok ırak noktalarına gitmesi işimizi kolaylaştırmaz. Benzer eylemiş sınıftaki yazı tahtası için de uygularız. Tahtaya çizilen sayı ekseni, örneğin tavana paralel çizilir. Hemen belirtelim ki, bu seçimler isteğe bağlı gönüllü yapılan eylemlerdir. Matematik bizi böyle yapmaya zorlamaz. Bu istekleri karşılayacak biçimde çizilen sayı ekseninin doğrultusuına yatay doğrultu diyoruz. Burada yataylığın kişinin konumuna göre değiştiği apaçıktır. Figure 1: Doğrular 1 Aynı konuyu düşünen insanların benzer şekiller üzerinde düşünmelerini sağlamak için bazı gelenekler oluşmuştur. 0.3 Bir boyutlu uzay Figure 2: Doğrular 2 2 Gerçel sayı ekseni bir boyutlu biröklid uzayıdır. Gerçel sayı ekseni bir boyutlu bir Öklid uzayıdır. Uzayın her öğesine bir vektör denilir. Uzay (+) işlemine göre bir gruptur. Uzaydaki her x vektörü (sayısı) istenilen bir α gerçel sayısı ile çarpılabilir.
6 calculus Çarpımın sonucu gene bir gerçel sayıdır. Dolayısıyla uzayda bir vektördür. Herhangi bir x R sayısının (vektör) mutlak değeri (uzunluğu), x sayısının başlangıç noktasına olan x uzaklığıdır. Sayı ekseni üzerindeki a, b sayıları (vektörleri) arasındaki uzaklık b a mutlak değeridir. Bir uzayda, uzaya ait noktaların (vektörlerin) uzay içindeki konumlarını belirten nesneye (araç) koordinat sistemi denilir. Sayı ekseni, bir boyutlu uzaydaki her sayının (vektörün) konumunu belirttiğine göre, uzayın koordinat sistemidir. Bir boyutlu uzayda ax = b (a = 0) (1) gibi denklemleri daima çözebiliriz. (1) denkleminde a, b iki sabit gerçel sayı x ise bilinmeyendir. Bir denklemde bilinmeyen(ler)in kuvvet(ler)i 1 ise denklem doğrusal denklem adını alır. Bilinmeyenin hangi kümeden seçileceği önceden biliniyorsa, ona değişken diyoruz. Denklemi çözmek demek denklemde eşitliği sağlayan x değişken(ler)inin bulunması demektir. (1) denkleminin çözümü x = b a olur. 0.4 Düzlem 3 3 Düzlem iki boyutlu bir Öklid uzayıdır. Düzlem iki boyutlu bir Öklid uzayıdır. Düzlemde önce bir koordinat sistemi kuralım. Biraz önce söylediğimiz gibi yatay doğrultuda alacağımız bir sayı ekseni düşünelim. Buna Ox ekseni, apsisler ekseni ya da yatay eksen denilir. Başka bir sayı eksenini, başlangıç noktaları çakışacak ve aralarında dik açı oluşacak biçimde yerleştirelim. Bu eksene de Oy ekseni, ordinatlar ekseni ya da düşey eksen denilir. Yatay ve düşey eksenlere koordinat eksenleri denilir. Kesişen iki doğru bir düzlem belirtir. Bu düzlem üzerindeki bir P noktasının konumunu belirlemek için, P noktasından eksenlere birer dikme inelim. Dikmelerin ayaklarının başlangıç noktasına olan uzaklıkları, sırasıyla x ve y olsun. (x, y) nesnesine bir sıralı çift denilir. Düzlemin her noktası için bu iş yapılabilir. Böylece, düzlem ile {(x, y) x, y R} (2) sıralı sayı çiftleri arasında bire-bir eşleşim kurulur. x sayısına P noktasının apsisi, y sayısına P noktasını ordinatı denilir. Apsis ve ordinat terimleinin tarihi değeri vardır. Ancak, algıyı kolaylaştırmak için apsis yerine yatay koordinet, ordinat yerine de düşey koordinat diyeceğiz. Öte yandan, iki sayı ekseninin belirlediği düzlem ile (2) sıralı çiftlerinin kümesini aynı sayacağız. Düzlemin her noktasını bir (x, y) sıralı çifti ile belirlemek büyük kolaylık sağlar.
CONTENTS 7 Düzleme 2-boyutlu denmesinin nedeni apaçıktır. Çakışmayan ve birbirlerine paralel olmayan iki sayı ekseni, düzlemin her noktasının konumunu belirliyor. 0.5 Doğru Denklemi 4 Düzlemde bir doğru denklemi, doğruya ait (x, y) nokta çiftlerinin düzlemin nerelerinde olduğunu belirleyen bir denklemdir. Buna doğrunun grafiği diyoruz. Öyleyse doğrunun grafiği, x ile y değişkenleri arasındaki ilişkiyi veren bir bağıntıdır. Bu bağıntı 4 y = mx + n, ax + by + c = 0 y = mx + n (3) ax + by + c = 0 (4) denklemlerinden birisi ile verilir. Denklemlerde x, y değişkenlerinin üstleri 1 dir. O ndenle denklemlere doğrusal denklem diyoruz. Birinci denklemde x = 0 konulursa, doğrunun Oy eksenini kestiği (0, n) noktası bulunur. m katsayısı doğrunun eğimidir. İkinci denklem daha genelmiş gibi görünse de basit cebirsel işlemlerle birisi ötekinin biçimine dönüştürülebilir. Doğru Çizimi Doğrunun grafiğini çizmenin en kısa yolu, grafiğin koordinat eksenlerini kestiği noktaları bulmaktır. Tabii, istenirse grafik üzerindeki herhangi iki noktayı bulup onlardan geçen doğruyu çizmek her zaman mümkündür. İkinci denklemde x = 0 konulursa, doğrunun Oy eksenini kestiği (0, b c ) noktası, y = 0 konulursa, doğrunun Ox eksenini kestiği, 0) noktası bulunur. İki noktası bilinince doğruyu çizebiliriz. ( c a 0.6 Doğrusal Denklem Sistemi 5 Çok değişkenli denklemlere alışkanlık sağlamak için x, y değişknleri yerine x 1, x 2 değişkenlerini kullanacağız. Bu iş yalnızca değişkenlere farklı ad verme Düzlemde iki doğrunun denklemlerinden oluşan 5 a1 x + b 1 y = c 1 a 2 x + b 2 y = c 2 a 1 x + b 1 y = c 1 a 2 x + b 2 y = c 2 denklemlerine iki değişkenli iki doğrusal denklemden oluşan sistem denilir.
8 calculus Örnek 0.3. 3x 1 y 1 = 0 2x 1 + 3y + 14 = 0 denklem sistemini yoketme yöntemi ile çözmek isteyelim. İki denklemden y değişkenini yoketmek için, birinci denklemi 3 ile, ikinci dnklemi 1 ile çarpıp, taraf tarafa toplarsak 11x = 11 çıkar. Buradan x = 1 bulunur. Bu değer denklemlerden herhangi birisinde kulllanılırsa y = 4 çıkar. O halde, sistemin çözümü Ç = ( 1, 4) olur. Çözümü grafik üzerinde görmek için iki doğrunun grafiklerini aynı koordinat sisteminde çizerek kesişim noktalarını görmek yetecektir. Örnek 0.4. Şimdi de yerine koyma yöntemiyle bir denklem sistemini çözelim: x + 2y = 3 2x + 4y = 2 sistemini çözmek için birinci denklemden x = 2y 3 değerini bulup ikinci denklemde yerine koyalım: y = 1 çıkar. Bu değeri ilk denklemde kullanırsak x = 1 buluruz. O halde çözüm Ç = ( 1, 1) dir. Gerçekten bu iki doğrunun grafikleri aynı koordinat sisteminde çizilirse, ( 1, 1) noktasında kesiştikleri görülür.
Bibliography
bibliography 11
Index (x, y), 5 Ox ekseni, 5 Oy ekseni, 5 öklit, 5 çözüm, 5 apsis, 5 bilinmeyen, 5 bir boyutlu, 5 boyut, 5 düşey, 5 düzlem, 5 değişken, 5 denklem, 5 doğru, 5 doğrusal denklem, 5 iki boyutlu, 5 linear denklem, 5 ordinat, 5 sıralı çift, 5 uzay, 5 vektör, 5 yatay, 5