SELÇUK ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ

SELÇUK ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ DOĞRUSAL OLMAYAN POISSON REGRESYON M. Kazım KÖREZ YÜKSEK LİSANS İSTATİSTİK Aablm Dalı Ağustos- KONYA Her Hakkı Saklıdır

ÖZET YÜKSEK LİSANS DOĞRUSAL OLMAYAN POISSON REGRESYON M. Kazım KÖREZ Selçuk Üverstes Fe Blmler Esttüsü İSTATİSTİK Aablm Dalı Daışma: Prof. Dr. Aşır GENÇ, 73 Sayfa Jür Prof. Dr. Aşır GENÇ Doç. Dr. Coşku KUŞ Yrd. Doç. Dr. Vural ÇAĞLIYAN Bu çalışmada, sayıma dayalı elde edle verler ç kullaıla Posso Regresyo, Posso Regresyoa at uyum ylğ testler, artıklar, katsayıları alamlılık testler ayrıca Posso dağılımıa yaklaşım test ve Posso Regresyou bazı özel durumları ç kullaıla Özel Posso Regresyo Modeller ola Negatf Bom Regresyo, Brleşk Posso Regresyo, Geelleştrlmş ve Kısıtlaarak Geelleştrlmş Posso Regresyo ve Yelemş verlerde Posso Regresyo le brlkte Doğrusal Olmaya Regresyo Aalz celemştr. Ayrıca Posso Regresyo ve Doğrusal olmaya Posso Regresyoa at tahm edcler taıtılmış ve uygulama olarak doğrusal olmaya br model kullaılarak Posso regresyoa uyarlamıştır. Elde edle doğrusal olmaya regresyo model e küçük kareler ve maksmum olablrlk tahm edcler kullaılarak farklı gözlem sayılarıda elde edle değerler karşılaştırma yapılmıştır. Aahtar Kelmeler: Aşırı Yaılım, Modfye Edlmş Maksmum Olablrlk Tahm Edcs, Doğrusal Olmaya Regresyo, Posso Regresyo, Posso Regresyo Parametre Kestrm Yötemler v

ABSTRACT MS THESIS NONLINEAR POISSON REGRESSION M. Kazım KÖREZ THE GRADUATE SCHOOL OF NATURAL AND APPLIED SCIENCE OF SELÇUK UNIVERSITY THE DEGREE OF MASTER OF SCIENCE IN STATISTICS Advsor: Prof. Dr. Aşır GENÇ, 73 Pages Jury Prof. Dr. Aşır GENÇ Doç. Dr. Coşku KUŞ Yrd. Doç. Dr. Vural ÇAĞLIYAN I ths study, Posso Regresso used for cout data, goodess-of-ft tests, resduals ad coeffcets sgfcace tests belogg to Posso Regresso ad also approxmato test to Posso Dstrbuto, Specal Posso Regresso Models such as egatve bomal regresso, compoud Posso regresso, geeralzed Posso Regresso, restrcted geeralzed Posso Regresso ad also Posso Regresso repeated measuremets data desgs wth Nolear Regresso Aalyss are vestgated. Besdes of these tems, estmators belogg to Posso Regresso ad Nolear Posso Regresso are troduced ad also these are adapted to Posso Regresso by usg a olear regresso model applcato. Ordary Least Squares (OLS) ad Maxmum Lkelhood (ML) Estmators of olear regresso model are compared the codto of takg dfferet umber of observatos. Keywords: Modfed Maksmum Lkelhood Estmator, Nolear Regresso, Overdsperso, Posso Regresso, Parameter Estmatos Methods Posso Regresso v

ÖNSÖZ Çalışmalarımda baa yol gösterc ve çözüm bulucu ola saygıdeğer daışma hocam Prof. Dr. Aşır GENÇ e, blgler dama bemle paylaşa ve her aıda yardımlarıı esrgemeye sevgl hocam Doç. Dr. Coşku KUŞ a, çalışmalarım esasıda destekler esrgemeye Dr. Ayşegül İşcaoğlu ÇEKİÇ ve arkadaşlarım Arş. Gör. Yuus AKDOĞAN, Arş. Gör. Abdülkerm KARAASLAN ve Alper GENÇ e, Bu yaşıma kadar be büyütüp her aımda baa destek ola AİLEME, Yed yıldır her a yaımda olup baa zor güümde yol göstere, sevgs ve desteğ bede esrgemeye sevgl NİŞANLIM Hatce BAŞIAÇIK a teşekkür ederm. M. Kazım KÖREZ KONYA- v

İÇİNDEKİLER TEZ BİLDİRİMİ... ÖZET... v ABSTRACT... v ÖNSÖZ... v İÇİNDEKİLER... v SİMGELER VE KISALTMALAR... x. GİRİŞ.... KAYNAK ARAŞTIRMASI... 3 3. MATERYAL VE YÖNTEM... 6 3.. POISSON DAĞILIMI... 6 3.. POISSON REGRESYON... 8 3... Posso Regresyoda Aşırı Yayılım Durumu... 9 3.3. POISSON REGRESYON MODELLERİ... 3.3.. Geelleştrlmş ve Kısıtlaarak Geelleştrlmş Posso Regresyo Modeller... 3.3.. Brleşk Posso Regresyo Modeller... 3.3.3. Yelemş Verlerde Posso Regresyo Model... 4 3.3.4. Sıfır Değer Ağırlıklı Sayıma Dayalı Verlerde Posso Hurdle Model... 6 3.4. POISSON REGRESYONDA PARAMETRE KESTİRİM YÖNTEMLERİ... 8 3.4.. Maksmum Olablrlk Tahm Edcs... 8 3.4.. Modfye Edlmş Maksmum Olablrlk Tahm Edcs... 3.4.3. Pseudo Maksmum Olablrlk Tahm Edcs... 3 3.4.4. Posso Geelleştrlmş Doğrusal Modeller Tahm Edcs... 3 3.4.5. E Küçük Kareler Tahm Edcs... 4 3.5. POISSON YAYILIM TESTİ... 6 3.6. UYUM İYİLİĞİ ÖLÇÜTLERİ... 8 3.7. ARTIKLARIN İNCELENMESİ... 3 3.8. REGRESYON KATSAYILARININ ANLAMLILIK TESTİ... 33 4. DOĞRUSAL OLMAYAN REGRESYON... 34 4.. PARAMETRE TAHMİNİ... 35 4... Doğrusal Olmaya Regresyoda E Küçük Kareler Tahm Edcs... 35 4... Doğrusal Olmaya Regresyoda Maksmum Olablrlk Tahm Edcs... 37 4... Gauss-Newto terasyo yötem... 38 4..3. Yapay Sr Ağları... 39 5. ARAŞTIRMA BULGULARI VE TARTIŞMA... 43 5.. SİMÜLASYON ÇALIŞMASI-... 43 5.. SİMÜLASYON ÇALIŞMASI-... 45 v

6. SONUÇLAR VE ÖNERİLER... 5 KAYNAKLAR... 5 EKLER... 56 ÖZGEÇMİŞ... 6 v

SİMGELER VE KISALTMALAR Smgeler y p c, : Toplam gözlem sayısı : Gözlem değerler : Br deemedek başarı olasılığı : Posso dağılımıda stee br olayı gerçekleşme sayısı : Beklee değer : Blmeye parametre vektörü : İlglele olay ç rskl toplam kş sayısı f x : Regresyo hız foksyou v w z Y S j Q Q Q D : Geelleştrlmş Posso Regresyo ç yayılım parametres : Kısıtlaarak Geelleştrlmş Posso Regresyo ç yayılım parametres : Karışık Posso Regresyo ç rastgele etk değer : Karışık Posso Regresyo ç rastgele etk varyası : Yelemş Verlerde Posso Regresyo ç posso ağırlığı : Yelemş Verlerde Posso Regresyo ç ortalama değer : Yelemş Verlerde Posso Regresyo ç gözlemler : Yelemş Verlerde Posso Regresyoda ağırlıklı kareler toplamıı mmze ede foksyo : Yelemş Verlerde Posso Regresyo ç k-kare statstğ : Yelemş Verlerde Posso Regresyo ç k-kare statstğ : Yelemş Verlerde Posso Regresyo ç k-kare statstğ : Yelemş Verlerde Posso Regresyo ç serbestlk dereces D : Yelemş Verlerde Posso Regresyo ç Q e at test ç serbestlk dereces D : Yelemş Verlerde Posso Regresyo ç Q e at test ç serbestlk dereces F : Regresyo model uyum eksklğ test x : Posso Hurdle model ç kovaret değer z : Posso Hurdle model ç kovaret değer L : Olablrlk foksyou g : Gradet vektörü H : Hessa matrs : Varyas kovaryas matrs : Newto Raphso algortması ç tahm değerler r r : Newto Raphso algortması ç tahm değerler : Hata term z :. stadartlaştırılmış sıra statstğ t : z beklee değer x

a b U c y T T w V Q ˆ ˆ D D p r p r d D T W P h w, : Parametre değer : Parametre değer : Kukla değşke : Doğrusal varyas foksyou le egatf bom dağılımı yardımıyla hesaplamış değer : Normalleştrme katsayısı : Posso yaklaşımı test ç Skor test : Posso yaklaşımı test ç Skor test : Pseudo Maksmum Olablrlk Tahm Edcs ç gözlemler koşullu varyas değer : Varyas z üstel foksyou : : a tahm : b ı tahm : Mmal modele lşk sapma değer : Kestrle modele lşk sapma değer : Pearso artık değer : Pearso artık değer : Sapma artık değer : Pearso k-kare statstğ : Sapma değer : Freema-Tukey statstğ : Artıklar da ağırlıklar matrs : Artıklar da kısm türevler matrs : Leverage değerler : Wald statstğ b S b : Regresyo katsayısı : Stadart hata değer : Alamlılık test ç k kestrlecek parametre sayısı F v : Yapay Sr Ağlarıda çıkış foksyou j v w p : Yapay Sr Ağlarıda eşk değer : Yapay Sr Ağlarıda toplama şlem : Yapay Sr Ağlarıda ağırlıklar : Gauss Newto yötemde başlagıç oktası : Gauss Newto yötemde başlagıç değer : Grup sayısı f : Gauss Newto yötemde f değerler ortalaması j x

Kısaltmalar ABD GPR KGPR PR KPR NBR PTGR EÇO EKK IEKK MLE OLS MMLE ML YOM MY PMLE PGLM YSA GP : Amerka Brleşk Devletler : Geelleştrlmş Posso Regresyo : Kısıtlaarak Geelleştrlmş Posso Regresyo : Posso Regresyo : Karışık Posso Regresyo : Negatf Bom Regresyo : Posso Ters Gaussa Regresyo : E Çok Olablrlk : E Küçük Kareler : İteratf Olarak Yede Ağırlıkladırılmış E Küçük Kareler : Maksmum Lkelhood Estmator : Ordary Least Square : Modfed Maksmum Lkelhood Estmator : Maksmum Lkelhood : Yarı Olablrlk Momet Yötem : Momet Yötem : Pseudo Maksmum Lkelhood Estmator : Posso Geelleştrlmş Leer Modeller Tahm Edcs : Yapay Sr Ağları : Geelleştrlmş Posso x

. GİRİŞ Br olayı belrl br süreç çersde meydaa gelme sayılarıı elde edlmese sayma vers adı verlr. Sayıma dayalı verler sağlık blmlerde, sosyal ve fe blmlere kadar çeştllk göstere geş br alaa yayılmış ölçüm souçlarıda meydaa gelr. Geel tbaryle sayıma dayalı verler lk olarak aktüeryal blmler, byostatstk, bometr gb alalarda kullaılmış olsa da so yıllarda demograf, ktsat, syas blmler ve ekoom alalarıda da dkkat çekmş ve sıkça kullaılmaya başlamıştır. Sayıma dayalı verler güümüzde öem arttırmasıyla, bu tür verler e alam fade ettğ, brbrler le lşkler, aalzler ve yorumlaması öem arttırmış ve araştırmacılar bu koular üzerde yoğulaşmaya başlamışlardır. Bu tür verler aalz edlp yorumlamasıda regresyo türler ö plaa çıkmış ve sayıma dayalı verler yapısıa uygu regresyo türler gelştrlmştr (Dez, 5). Bldğ üzere regresyo aalz, tepk (bağımlı) değşke dee br değşke le açıklayıcı (bağımsız) değşkeler arasıdak bağıtıı belrlemesde ve bu bağıtıı yardımıyla çıkarılacak statstksel souçları elde edlmesde kullaıla yötemlerde oluşmaktadır. Regresyo yapılamasıdak amaç tepk değşke açıklayıcı değşkeler br foksyou olarak fade etmek ve bu foksyo yardımıyla tepk değşke değerler tahm etmek, ögörmek, açıklayıcı değşkeler tepk değşke üzerdek etkler tahm etmek, tepk veya açıklayıcı değşkeler etkler le lgl öe sürüle hpotezler test etmek olablr. Ayrıca regresyo aalz, ver yapısıa e uygu model buluması ve mümkü ola e az sayıda değşke le ver e y bçmde açıklamasıdır. Klask doğrusal regresyo aalzde verler geel tbaryle sürekl olması gerekrke elde edle verlermz her zama sürekl halde bulumayablr. İşte bu gb durumlarda ya, verler keskl ve sayıma dayalı olması durumlarıda klask regresyo aalz etkl ve tutarlı souçlar vermeyecektr. Bu sebepte ötürü farklı ver gruplarıa özel regresyo aalz türler gelştrlmes ve uygulaması gerekecektr. Sayıma dayalı ver grubua uygulaablecek e uygu regresyo aalz türü Posso Regresyo ve çeştl şartlar altıda Negatf Bom Regresyo olacaktır. Bu çalışmamızda amaç sayıma dayalı elde edle verler ç kullaıla br regresyo türü ola Posso Regresyo ve Doğrusal Olmaya Posso Regresyo Aalz alatılmasıdır. Çalışmamızda, araştırmacıları hag ver türüe hag aalz yapılacağı kousuda yeterl blgye sahp olmamasıda kayaklı yaşaa

problemlere br çözüm ve yol gösterc telğde blgler verlmeye çalışılmıştır. Ayrıca Posso Regresyo ç doğrusal olmaya br model alıarak Doğrusal Olmaya Posso Regresyo Model türetlmş ve tahm souçları verlmştr. Tez akış şeması se, Sayıma dayalı verler taıtılmış, bu verler aalzde kullaılacak ola Posso Regresyo ç Posso Dağılımı olasılık foksyou verlmş, elde edle sayıma dayalı verler çeştl özel durumlarıa lşk özel Posso Regresyo türler eler olduğu ve buları asıl hesaplaacağı alatılmış, Posso Regresyo parametre tahm yötemler ve elde edlş aşamaları suulmuş, Posso Regresyoa at uyum ylğ testler verlmş, artıklar celemş, Doğrusal olmaya regresyo ve parametre tahm yötemler alatılmış ve so olarak Doğrusal olmaya br model ç tahm souçları verlerek yorumlamalar yapılmıştır.

3. KAYNAK ARAŞTIRMASI Sayıma dayalı verler aalz le lgl br uygulama verr. Daha öce böyle br çalışma yapmamıştır. Acak şmd statstk ve ekoometrde k bular zama sers ve kestsel verlerdr, sayıma dayalı verler regresyo aalz sıkça kullaılmaktadır. Öreğ; doktora gdeler sayısı, sağlık sektörü, hastalamalar, yaralamalar, ş yerdek devamsızlık sayıları, saayde grş çıkışlar gb ayı zamada syaset, blm sosyoloj ve demografde brçok kullaım alaı ve örek mevcuttur. Daha öce yapıla çalışmalar tek değşke çermekte ve regresyo aalz olmamaktadır ( Patl, 97). Sağlık ekooms araştırması, sıklıkla muayee ücret ve çalışa maaşları gb ekoomk değşkeler ve sağlık servsler kullaım arasıdak bağlatı le lgldr ve amaç sağlık sgortası olalara drm uygulamasıdır. Muayee ve doktor ücretler ölçmek amacıyla aket yapılmış ve sosyal güveces olaları daha çok muayee olduğu görülmüştür. Sağlık yerler kullaımı le lgl bu araştırma Uluslararası Sağlık Brm, Amerka Sağlık Araştırmaları ve Alma sosyo-ekoomk Paelde suulmuştur (Wager, Burkhauser, Behrger, 993). Verde Avustralya Sağlık Araştırma Brmde 977-978 yıllarıa at doktor muayeelere lşk sayılar yer almaktadır. Bu verlere Camero ve Trved (986) kest-posso regresyo model uygulamış, Camero, Trved, Mle ve Pggott (988) verlerdek aşırı yayılım durumuu celemşlerdr. Araştırma-gelştrme ve ürü yelğ arasıdak bağlatı deeysel edüstryel kuruluşta öeml br koudur. Ürü yelğ ölçmek zordur, acak patet umarası le ölçüm yapılablr ve bu br göstergedr. Bu öeml br aalz türüdür. ABD de her yıl frmalar tarafıda patetlere pael ver aalzler Hausma Hall ve Grlches (984) tarafıda uyguladı. Çevre ekooms daha çok orma ve park gb doğal alaları kullaımı le lgled. Dleme amaçlı gele zyaretçler sayıldı ve oları demografk özellklerde yararlaılarak modelleme yapıldı. Öreğ; Ozua ve Gomez (995) 98 yılıda Doğu Teksas dak Somervlle Gölü de botla gez yapalara aket düzeled ve aalz yaptı, aşırı yayılımı celed. Sgorta ve Fasçılık da br fasal kurumu hata sayısı veya kurumu başarısızlık zamaı lgl değşkelerdr. Davutya (989) 947-98 yılları arasıda ABD dek bakaları başarısızlıklarıı sayısıı Posso regresyo le modellyor. Baka başarısızlıkları le geel baka karlılığı, kurumsal karlılığı ve baka kredler

4 arasıdak lşky modellemeye çalışıyor ve verler Federal Rezerv Baka sıda alıyor. Sgorta lteratürü de kaza sıklığı ve tazmat malyet lgl değşkelerdr ve bu değşkeler sgorta prmler üzerde çok etks vardır. Doe ve Vaasse (99) Ağustos 98 ve Temmuz 983 tarhler arasıda polse bldrle 5 Dolar da fazla malyete yol aça hasarlı kaza sayısıı verler kulladı. Frekası çok az olalarda vardı ve örek ortalaması,7, örek varyası,78 olarak brbre yakıdı. Çalışmasıda farklı frekas, özellk ve dolayısıyla farklı sgorta prme sahp farklı breylere lşk verler türetmek ç regresyo model oluşturdu. Nag ve Lad (993) suçluları davraışlarıı celemek ç yıl boyuca 4 erkek suçlu üzerde araştırma yaptı. Araştırmalarıda sosyal, pskolojk, ale geçmş gb değşkeler kulladılar. Zamaa karşı da celeme yapıldı ve zamala suç şleye ve şlemeye breyler kotrol edld ve breyler tekrar suç şleyp şlemems modelled ve souda parametrk olmaya br tedav yötem uyguladı. Burada suç grupları ayrılmak ve farklı suç sııflarıa göre farklı eğlm durumuda modelleme yapıldı. Log (997) 9 doktora adayıı, csyet, mede durum, çocuk sayısı, daışmamı le yaptığı makale sayısıı, bölümüü kullaarak doktoradak so üç yıl çersde yapıla yayı sayısıı modellemeye çalışmıştır. Gördü k çalıştığı kşler yayıı ola ve yayıı olmaya dye k gruba ayrıldı. Her k grupta da gerçek yayıı olmaya gördü, çükü bazılarıı yayıları şas eser yayılamıştı. Yazar bazı blm adamlarıı gerçek yayı sahb olmadıklarıı düşüüyor. Lambert (99) AT&T laboratuarıda ala başıa düşe bozuk lehm sayısıı celemştr. Çalışmasıda gem yüzeye yapılacak lehm türler takp etmştr. Modellemey sıfır değerler çokluğuda dolayı Sıfır Değer Ağırlıklı Posso Regresyo le yapmıştır. Dez (5) çalışmasıda Camero ve Trved Categorcal Data Aalyss ktabıda yararlaarak Posso regresyou taımı, tahm edcler, artıkları celemes, uyum ylğ kotrolü gb temel koulara değmş ve ktapta alatıla bu kouları Türkçeye çevrerek kouu daha y alaşılmasıa ö ayak olmuştur. Yeşlova (9) makalesde sayıma dayalı olarak elde edle verlerde çok sayıda sıfır olableceğ ve buu Hurdle model olarak adladırıldığıı söylemştr. Çalışmasıda, Va da br merkez lçesde seçle br bahçede Mayıs ve Ekm aylarıı

5 soua kadar golde elma ağaçlarıda haftalık olarak alıa yaprak örekler üzerdek zararlı akar le bu akarı avcısı ola br zararlıı sayımlarıı yapmış, zararlı akarlar ç kullaıla laçlar soucuda akar sayılarıı tespt ederek, lacı btk üzerdek zararlı sayısıı asıl etkledğ belrlemek ç modelleme yapmıştır. Sezg ve Dez (4) çalışmalarıda, sayıma dayalı verlerde aşırı yayılım durumuu celemşlerdr. Buu ç Türkye de 964 le yılları arasıda grev sayılarıı etkleye faktörler kullaarak modelleme yapmaya çalışmışlardır. Karadavut ve ark. (7) çalışmalarıda, Koya bölgesdek br tarımsal araştırma esttüsüü kullaarak 87 farklı bakla çeşd celemşlerdr. İceledkler bakla çeşde emg yapa böcek sayısıı yoğuluğuu, btk boyuu, yaprak alaıı, sıcaklık ve em mktarıı kullaarak, modellemeye çalışmışlardır.

6 3. MATERYAL VE YÖNTEM 3..POISSON DAĞILIMI Posso dağılımı, belrl br zama aralığıda meydaa gele bağımsız ve rastgele olayları sayısıı taımlamak yada modellemek amacıyla, adr olayları oluş sayılarıı da belrlemede, kullaılır. Dağılım, aslıda bom dağılımıda elde edlr ve bu elde edlş; İlk olarak bom dağılımıı olasılık yoğuluk foksyouu ele alalım, f ( y; p, ) p ( p) y Burada; y y y : Başarılı Beroull deemeler sayısıı, (3.) : Toplam deeme sayısıı, p : Deemelerdek başarı olasılığıı, gösterr. İds değerler olmada, p, p, p yazılırsa, eştlk! f ( y;, ) y!( y)! y y (3.) şeklde olacaktır. Sol taraf term, çok büyüdüğü ve p küçüldüğü durumlar ç tekrar yazılırsa, y ( )...( y ) lm f ( y;, ) y y! y (3.3) Paydalar yer değştrdğde, y ( )...( y ) y y! y (3.4) eştlğ oluşacaktır.

7 Burada elm x x x ve lm eştlklerde yararlaarak, y lm f ( y;, ) e y! y (3.5) So olarak düzerse, y e f( y; ) (3.6) y! yazılarak posso dağılımıı olasılık yoğuluk foksyou elde edlr. Ayrıca modelleme yapmak amacıyla bell br özellğe sahp Y rastlatı değşke parametres le Posso dağılımıa sahp olmak üzere dağılımı olasılık foksyou, y e, y,,,... Py ( ; ) y!, dğ. durumlarda (3.7) şeklde gösterlr. Posso rastlatı değşke kuramsal olarak egatf olmaya tamsayılı değerler almakta ve dağılım dama poztf yöe eğlm göstermektedr. Posso dağılımı tek parametrel br dağılımdır ve dağılımı parametres olup, bu parametre değer bze belrl br zama aralığı çersdek ortalama olay sayısıı göstermektedr. Dağılımı e belrg özellğ ortalama ve varyasıı brbre eşt olmasıdır. Ya E( Y), V( Y) (3.8) dr.

8 3..POISSON REGRESYON Posso Regresyo aalz sayıma dayalı verler ç gelştrlmş özel br regresyo türüdür. Posso regresyo aalz ç k ortak formulasyo görüşü vardır. Bularda lk sürec drek gözlemlerde ortaya çıkması, kcs se gzl sürekl değşkeler ayrıştırılması le ortaya çıkması le oluşa modeldr. İlk durumda, drek sayımla elde edlmş gözlemler brkaç durum ortaya çıkarır. Öreğ; br telefo merkeze gele aylık telefoları sayısı, br ş yerde çalışaları ş yere aylık gelmedğ güler sayısı, br hava alaıdak aylık hava yolu kazası sayısı, hastaeye gülük yatış yapaları sayısı gb örekler çoğaltmak mümküdür. Ayı zamada verler olayları oluşları arasıdak süre de olablr. İkc durumda se, sürekl değşkeler kategorze edlmesyle oluşa durumlar ele alıır. Öreğ; kred dereceledrme kuruluşlarıı AAA, AAB, AA, A, BBB, B gb değerler kullaması ve burada yer ala değerlerde AAA değer e büyüğü göstermes durumudur (Camero ve Trved, 998) Posso Regresyo aalz, bağımsız (açıklayıcı) değşkeler le sayımla elde edle bağımlı (yaıt) değşke arasıdak lşky açıklaya br çözümleme yötemdr. Posso regresyo aalzdek temel alıa yapı, Y yaıt değşke keskl bağımsız Posso rastlatı değşke olmasıdır. Keskllkte dolayı ormallk varsayımıı sağlamaması edeyle klask doğrusal regresyo aalze alteratf olarak gösterle yötemlerde brsdr. (Frome ve ark., 973; Frome, 983). model; Posso Regresyo model, Posso dağılımıı ortalamasıa göre belrler ve y e / p y x, y,,,... y! şeklde verlmektedr (Camero ad Trved, 986). Burada ; br (3.9) E y / x x c f x,,,..., (3.) şekldedr. Eştlk (3.9) ve (3.) de, x x x, * m,..., lşk satır vektörüü,,,..., k m boyutlu c kümeye k * boyutlu blmeye parametreler oluşturduğu sütu vektörüü göstermektedr. Posso rastlatı değşke aldığı değerler, geellkle br deemedek başarısızlık sayısıı k bu başarısızlık bazı durumlarda (öreğ; kaser) ölüm sayısı, bazı durumlarda trafk kazası sayıdır, y

9 gösterr. ler deemedek olayı ortalama oluş sayısıı, c ler lglele olay ç rskl toplam kş sayısı yada ktle geşlğ, f, göstermektedr. x da regresyo hız foksyouu Posso Regresyo aalzde e çok kullaıla regresyo foksyou logdoğrusal model olmakla brlkte doğrusal ve doğrusal olmaya modellerde kullaılablmektedr. Log- doğrusal model kullaarak Posso Regresyo model ortalama parametres; E y / x exp x exp x... x,,..., (3.) m k şeklde olacaktır. Doğrusal ve doğrusal olmaya model ç bu deklem aşağıdak gb yazılablmektedr. Doğrusal model ç; E( y / x ) x x... x,,..., m k Doğrusal olmaya model ç;(k=3,m= olmak üzere) 3 E( y / x ) x x exp x,,..., dır(özme, 998). 3... Posso Regresyo da Aşırı Yayılım Durumu Posso regresyoda, posso dağılımıda gele e temel özellk ola dağılımı ortalama ve varyasıı brbre eşt olması özellğdr. Acak teorkte bu blg her e kadar böyle kabul edlse de pratkte ve dolayısıyla gücel hayatta elde edle sayıma dayalı verlermz geel tbaryle bu özellğ taşımamaktadır. Ya sayıma dayalı elde edle verler ortalaması ve varyası brbre eşt olmayacak buda aşırı yayılım adı verle bu durumu ortaya çıkaracaktır. Posso dağılımı bldğ üzere tek parametrel br dağılımdır ve geel alamda tek parametrel dağılımlarda varyas değer ortalamada etkler. Ortalamayı etkleye se gözlem değerlerdr. Gözlem değerler yapısıa göre Posso dağılımı aşırı yayılım gösterecektr. Aşırı yayılım durumu modelde stemeye sorulara yol açablmektedr. Bularda br taes model açıklayıcılık gücüü zayıf olmasıdır. Eğer k modelmz açıklayıcılık gücü zayıf se aşırı yayılım durumuda şüphe duyulması

gerekmektedr. Bua ede ola aşırı yayılımı oluşum sebepler k bular, verler küme küme toplaması, geel varsayımlarda bağımsızlığı sağlamaması, model ç öeml açıklayıcı değşkeler göze alımayışı veya bu öeml açıklayıcı değşkeler modelde çıkartılması olablmektedr. İstemeye sorularda br taes de bldğ üzere klask regresyodak açıklaamaya kısımı olabldğce küçük olmasıdır. Acak Posso regresyoda uyum eksklğde kayaklı aşırı yayılım durumu meydaa gelrse bu açıklaamaya kısım olabldğce küçük kalamayacaktır. Posso regresyoda aşırı yayılım durumu meydaa gelyorsa bu sıkıtıyı gdermek ç başka regresyo türler gelştrlmştr. Negatf Bom, Posso Ters Gaussa ve Geelleştrlmş Posso regresyo modeller bulara örek olarak verleblr ve çalışmamız da bu modeller geel halyle br taıtımı yapılmıştır. Ayrıca Posso regresyoda uyum eksklğ ede aşırı yayılım se parametre kestrmlere lşk varyas-kovaryas matrs p yayılım parametres le çarpılması öerlmektedr. Burada değerdr (Frome ve Checkoway, 985). y Pearso K-kare

3.3.POISSON REGRESYON MODELLERİ 3.3..Geelleştrlmş ve Kısıtlaarak Geelleştrlmş Posso Regresyo Modeller Posso Regresyou aşırı yayılım veya az yayılım ç kullaımıı uygu olmadığı, bu durumlarda Özel Posso regresyo türler gelştrldğ daha öcek bölümlerde söylemştr. İşte bu gb durumlarda kullaıla Özel Posso Regresyo türlerde ks de Geelleştrlmş Posso Regresyo (GPR) ve Kısıtlaarak Geelleştrlmş Posso Regresyo (KGPR) modellerdr. GPR model k kısımda oluşmaktadır. GPR ç lk kısım sayım soucu elde ele sıfır değerler, kc kısım se sıfırda büyük elde edle değerler çerr. GP dağılımıa lşk ortalama aşırı yayılım edeyle ( ) şeklde yazıldığıda verle x ç GPR model sıfırda büyük değerler aldığı zama, y x y x y exp x y / p y / x w, y,,... y!, dğerdurumlarda (3.) şeklde verlr (Cosul ve Famoye, 99; Sgh ve Famoye, 993). İkc kısım se sıfır değerler çermekte olup, p y / x w we x oluşa aşırı yayılım ç bağımsız değşkelerdr. Y ortalaması ve varyası, /, / olarak elde edlr. Burada, W w w w da,,,..., E Y x x Var Y x x (3.3) bçmde olup x, log-doğrusal formda verlmekte ve, yayılım parametres olarak adladırılmaktadır. Eştlk (3.) dek GPR model olması durumuda Posso Regresyo modele döüşür. olması durumuda aşırı yayılım ve, olması durumuda da az yayılım durumu söz kousudur. KGP dağılımıa lşk ortalama KGPR model; olmak üzere verle br x ç

y y x y exp x p y / x, y,,... y!, dğerdurumlarda şekldedr (Famoye,993). Y ortalaması ve varyası, x y x (3.4) /, / E Y x x Var Y x x x (3.5) Bçmde olup olması durumuda KGPR model Posso Regresyo modele döüşür. olması durumu aşırı yayılım ve olması durumu da az yayılım olduğuu gösterr. 3.3..Brleşk Posso Regresyo Modeller Posso Regresyo çözümlemes yapılırke varyası ortalamada büyük olduğu ya aşırı yayılım olduğu durumlara sıkça karşılaşılır. Bu gb durumlarda farklı Posso Regresyo türler kullaılmalıdır. Bularda br taes de Karışık Posso Regresyo dur. Karışık Posso Regresyo modeller Negatf Bom ve Posso Ters Gaussa Regresyo Model dye k kısıma ayırmak gerekr. Karışık Posso Regresyo (KPR) modellerde e çok kullaıla model se Negatf Bom Regresyo (NBR) modeldr. Aşırı yayılım durumu ç öerle br dğer KPR model se Posso Ters Gaussa Regresyo (PTGR) modeldr (Özme, 998). Modeldek tüm açıklayıcı değşkeler dkkate alıdığıda hız foksyou le fade edle f x, exp x bçmde ke hmal edle veya ölçülemeye açıklayıcı değşkeler (bu durum hata term olarak da blr) olması durumuda hız foksyou f x, exp x v göstermekte olup (Brllger, 986). le, bçmde fade edlr. Burada v rastgele etky v dağılımıa bağlı olarak KPR modeller belrlemektedr KPR modeller, verle br x açıklayıcı değşke vektörü ve v rastgele etks x v y e v x y! p y / x g v dv, y,,... (3.6)

3 bçmdedr (Dea ve ark., 989). Eştlk (3.6) da verle gv, v rastgele etkse lşk olasılık yoğuluk foksyouu göstermektedr. Ayı şeklde x se x ve ları br foksyou olup log-doğrusal formda verlmektedr. KPR modele, rastgele etkl çarpımsal Posso model de demektedr (Dea, 99). KPR modellerde Y dağılımı v ortalaması le Posso dağılımı olup v rastgele etks de E v ortalaması ve Var v ala br dağılıma sahp olduğu varsayılmaktadır. Bu durumda dağılımıa lşk ortalama ve varyas, /, / varyası le poztf değerler Y marjal E Y x x Var Y x x x (3.7) bçmde verlmektedr (Lawless, 987; Dea ve Lawless, 989). Bazı çalışmalarda v rastgele etkse lşk varyas x ye bağlı olarak Var Y / x verlmekte ve bu durumda da Y varyası, / bçmde x Var Y x x (3.8) olarak elde edlmektedr. Yapıla çalışmalarda Eştlk (3.7) dek lk varyası kullaımıı daha uygu ve etk souçlar verdğ belrtlmştr (Dea, 99; Che ve Ah, 996). Posso sayımlarıa lşk verler regresyo çözümlemesde, aşırı yayılım durumu le karşılaşıldığıda e sık kullaıla KPR model, Negatf Bom Regresyo modeldr. NBR modelde, v rastgele etks Ev ortalaması ve Var v varyası le gamma dağılımıa sahptr. yoğuluk foksyou, v ye lşk gamma dağılımıı olasılık, v g v v v e, v şekldedr. Bua göre (3.7) dek ortalama ve varyas le NBR model, y y x / y! x,,,... x p y x y, dğerdurumlarda (3.9) (3.)

4 bçmde verlmektedr (Lawless, 987; Xue ve Deddes, 99). Aşırı yayılım durumuda kullaıla br dğer KPR model de Posso Ters Gaussa Regresyo modeldr. PTGR modelde, ve Var v v rastgele etks Ev ortalaması varyası le Ters Gaussa dağılımıı özel br durumu ola Wald dağılımıa sahptr. Bua göre v olasılık yoğuluk foksyou, v 3 v v e, v, v g v şekldedr. PTGR model, (3.) Eştlk (3.6) da verle Karışık Posso Regresyo modelde yararlaılarak x v y v e v x 3 v y! p y / x v e dv, y,,... (3.) şeklde elde edlr. PTGR model de eştlk (3.7) dek ayı ortalama ve varyasa sahp olmakla brlkte, üçücü ve dördücü mometler farklı olup PTGR model, NBR modele alteratf olarak gösterlmektedr. Karışık Posso Regresyo modellerde rastgele etk ve yayılım durumu da dkkate alıdığıda Posso Regresyo modele göre daha doğru kestrmler verdğ görülmektedr (Özme, 998). 3.3.3.Yelemş Verlerde Posso Regresyo Model Ver kümesde g grup ve her grupta (,..., g) gözlem olmak üzere Yj Posso yaıt değerlere lşk regresyo foksyou, E Y / x f x, ;,..., g; j,..., (3.3) j şeklde taımlaır (Frome ve ark., 973). Eştlk (3.3) de verle, x yeleme sayısıı göstermektedr. f x, foksyoudak parametre kestrmler, E Çok Olablrlk (EÇOK) ve İteratf

5 Olarak Yede Ağırlıkladırılmış E Küçük Kareler (IEKK) yötemleryle elde edlmektedr. Y. Yj olmak üzere log-olablrlk foksyou, g j. (3.4) l L Y l f x, f x, şeklde olup, parametreler EÇO kestrmler, log-olablrlk foksyouu parametreye göre türevler alııp sıfıra eştledkte sora olablrlk deklemler çözümüde elde edlmektedr. IEKK yötem le parametreler kestrmler se, w f x, Posso ağırlıkları ve z Y. olmak üzere, g, (3.5) S w z f x bçmdek ağırlıklı kareler toplamıı e küçüklemes le elde edlmektedr. EÇO ve IEKK parametre kestrm yötemlerde tek adımda çözüme ulaşılamadığıda teratf şlemlere gerek duyulmaktadır. Log-olablrlk foksyouu e büyükledğ EÇO yötem le ağırlıklı kareler toplamıı e küçükledğ IEKK yötem eşdeğer olduğu gösterlmştr (Frome ve ark., 973; Frome, 983). Açıklayıcı değşkeler ç gözlemlerde br yeleme söz kousu olduğuda belrlee regresyo foksyouu uyguluğu ve yayılım durumu k-kare statstğ le test edlmektedr. ˆ, g Y ˆ j j ler EÇO kestrmler göstermek üzere k-kare statstğ, Q (3.6) ˆ şeklde verlr ( Frome ve ark., 973; Cosul ve Famoye, 99). g Q statstğ, D p serbestlk derecel k-kare dağılımıa sahptr. Q le fade edle k-kare rastlatı değşke bağımsız olarak k k-kare rastlatı değşkee ayrışablmektedr. Q Q Q g Y ˆ g g j Yj z z ˆ ˆ ˆ ˆ j j (3.7)

6 Eştlk (3.7) de verle Q statstğ D g ve Q statstğ D g p serbestlk derecel k-kare dağılımıa sahptr. Eğer Q statstğ alamlı derecede büyük buluuyorsa o zama ya varyası heterojelğde yada regresyo model uyum eksklğde şüphe duyulmaktadır. Q değer D serbestlk derecel k-kare tablo değer le karşılaştırıldığıda büyük buluuyorsa o zama bu durum ya aşırı yayılım yada az yayılımı br göstergesdr(özme, 998). Regresyo model uyum eksklğ test etmek ç, F Q D Q D (3.8) Bçmde taımlaa F oraıda yararlaılmaktadır. Eğer bu F oraı alamlı derecede büyük se o zama taımlaa regresyo modelde, uyum eksklğde söz etmek mümkü olacaktır. Eğer taımlaa model Posso Regresyo model se ve bu model reddedlemyor acak varyasları heterojelğ şüphe duyuluyorsa o zama Q kestrle kovaryas matrs D g faktörü le çarpılarak hesaplamalıdır (Frome ve ark, 973). Karışık Posso Regresyo modellerde de H : yokluk hpotez H : alteratf hpoteze karşı test etmek amacıyla Q statstğ kullaılmaktadır. Eğer ler küçük ve kullaımı uygudur. Eğer varsa, Y.. Q * g z Y j z j..,, olmak üzere, f x regresyo foksyouda belrleeblyorsa Q ler büyük ve ler belrlemes hakkıda br şüphe (3.9) Y test statstğ kullaılması öerlmektedr (Collgs ve Margol, 985). 3.3.4.Sıfır Değer Ağırlıklı Sayıma Dayalı Verlerde Posso Hurdle Model Sayıma Dayalı verlerde stemedğmz br durum olsa da bazı çalışmalarda sıfır değerler fazlasıyla elde edlr. Bu durumda Posso dağılımıı özellğ ola ortalama ve varyas eştlğ sağlaamaması demektr. Varyası ortalamada büyük olması

7 aşırı yayılım (overdsperso), küçük olması az yayılım (uderdsperso) olarak blr (Cox, 983; Breslow, 99; Böhg, 994; Camero ve Trved, 998; Stokes ve ark., ; SAS, 7). Sıfır değerler çok fazla olduğu ver kümelere, Posso Regresyo u uygulamak doğru olmaya parametre tahmler elde edlmese ede olacaktır (Yeşlova ve ark, 7). Posso Hurdle model sıfır değerler çok olduğu ver kümeler aalzde kullaıla alteratf br yötemdr (Dalrymple ve ark. 3). Hurdle model bazı durumlarda sadece sıfırda farklı değerler celerke, bazı durumlarda bary olarak adladırılıa ve sıfır le br değerlerde oluşa kl yapıyı celer. Bary cevaplar bary model kullaılarak modellemekte, poztf sayımlar se sıfır değer sıırladırılmış sayıma dayalı model kullaılarak modellemektedr (Log ve Freese, 5; Mart ve ark., 6; Hlbe, 7). Bary kısım logt,probt kullaılarak modelleeblrke, poztf sayımlar ola kc kısım Posso, Geometrk ve Negatf Bom Regresyo kullaılarak modellemektedr. Elde edle verler Posso dağılımı kullaılarak modellerse model Posso Hurdle Model olarak adladırılır (Yeşlova, 9). y,,,..., brbrde bağımsız sayıma dayalı olarak elde edle gözlem değerler olsu. olma olasılığı / P y x p x y olma olasılığı px ve y ~ sıırladırılmışposso z p x olsu. Burada x ve z kovaret matrslerdr. Posso hurdle model; z p x exp z z P y q / x, z, q,,... q! exp olarak bulumuştur (Dalrymple ve ark., 3). p x ve modellemektedr. Ya; log z q (3.3) z sırasıyla logt ve log-doğrusal foksyoları kullaılarak x (3.3) log t p z (3.3) bçmde modellemektedr (Lambert, 99). Yukarıdak eştlklerde verle ve blmeye parametrelerdr.

8 3.4.POISSON REGRESYON PARAMETRE KESTİRİM YÖNTEMLERİ Posso Regresyo Modele lşk parametre kestrmler Maksmum Olablrlk Tahm Edcs (MLE), Modfye Edlmş Maksmum Olablrlk Tahm Edcs (MMLE), İteratf Olarak Yede Ağırlıkladırılmış E Küçük Kareler Tahm Edcs (IEKK), Momet Tahm Yötem (MY), Yarı Olablrlk Momet Yötem (YOM), Doğrusal ve Karesel Varyas Foksyoları, Pseudo E Çok Olablrlk Tahm Edcs (PMLE), Posso Geelleştrlmş Doğrusal Modeller Tahm Edcs (PGLM) gb modeller kullamak mümküdür. 3.4..Maksmum Olablrlk Tahm Edcs (MLE) Maksmum Olablrlk Tahm Edcs ( E Çok Olablrlk Tahm Edcs- MLE) yötemde şeklde seçlmektedr. ˆ kestrmler, log-olablrlk foksyouu e büyük yapacak x ye bağlı y ç Posso regresyo model; y e / f y x, y,,,... (3.33) y! ve ortalaması; / exp E y x x (3.34) şekldedr ve bu eştlk (3.34) foksyoua log-doğrusal foksyo veya üstel ortalama foksyou demektedr. Çükü koşullu ortalamaı logartması parametreler doğrusal olarak vermektedr. l E y / x x (3.35) Posso Regresyo ç olablrlk foksyou; (3.36) ; exp l l! L y y y Log-olablrlk foksyou; l L; y y l l y! (3.37)

9 Ayrıca yere ' x yazılırsa eştlk; l L ; y y x exp x l y! (3.38) şekle döüşür. Eştlk (3.38) de yararlaılarak ˆ ı tahm ç türevler alıır. Brc derecede türev soucu bze gradet skor vektörüü, kc türev ters se egatf Hessa matrs ters verecektr. O halde türevler alııp sıfıra () eştlerse, l L ; y y exp x x (3.39) l L ; y exp x x x ' (3.4) Burada varyas-kovaryas matrs ve egatf Hessa matrs ters; H exp x x x (3.4) elde edlr. Bağıtı foksyolarıı üstel olması sebebyle log-olablrlk foksyoları doğrusal olmadığıda MLE yötem le tek adımda çözüme ulaşmak mümkü olmayacaktır. Bu edele parametre kestrmler teratf olarak elde edlmekte ve çözüm çde Newto-Raphso algortması veya skorlama yötem kullaılmaktadır. Newto- Raphso yötemde kc derece türevler matrs kullaılırke, skorlama yötemde kc derece türevler matrs beklee değer kullaılmaktadır. İkc türevler matrs beklee değer skorlama eşdeğer yötemdr (Agrest, 99). y gözlemlere bağlı olmadığı ç Newto-Raphso ve Posso Regresyo modelde parametreler başlagıç değerler geellkle sıfır alımakla brlkte deeme değer de verleblmektedr (Frome, 983). O halde Newto-Raphso algortmasıa göre çözüm; r r H g (3.4) Burada g değer Eştlk (3.39) da yer ala değerdr ve gradet skor vektörü olarak adladırılır. Bu teratf şlemler kararlı br çözüme ulaşılıcaya dek devam etmeldr. İterasyou durdurmak ç geelde. gb br değer belrler ve her terasyo souda da daha küçük başlagıç değere ulaşılıcaya kadar devam edlr (Frome, 983; Famoye,993).

3.4..Modfye Edlmş Maksmum Olablrlk Tahm Edcs (MMLE) Modfye Edlmş Maksmum Olablrlk Tahm Edcs, Maksmum Olablrlk Tahm Edcse bezer br yötemdr. MLE her zama aaltk olarak elde edlemeyş, souçlarıı zor ulaşılablr oluşu ve teratf yötemlerle elde edlş bz souçlara daha kolay ulaşmamızı sağlaya, tek ve etk souçlar vere teratf yötemler kullamaya ve steldğde revzeler soucu tekrar MLE y elde edebldğmz br yötem ola Tku (967) tarafıda öerle MMLE yöteme yöeltmektedr. Yötem bary regresyo (Tku ve Vaugha, 997) ve Posso regresyo (Oral, 5) ç uygulamış, asmptotk olarak souçlar elde edlmş ve yorumlamıştır. t (),. stadartlaştırılmış sıra statstğ z () beklee değer olmak üzere gz () t( ) E z( ),,,..., k term alıırsa, d g z g t z t g z a b z dz zt, t cvarıda Taylor serse açılıp lk (3.43) Burada; a exp t t ve b expt (3.44) dr. g z solu ve z, beklee değere t yaklaşıyorsa, g z a bz,,,..., (3.45) fades, sosuza gderke sıfıra yaklaşır (Tku ve Akkaya, 4). U gb br kukla değşke taımlası ve olasılık ve yoğuluk foksyoları; exp, ve f u u u F u exp u, u (3.46) O halde Posso Regresyo model yede yazılırsa, / exp E Y X x x F z (3.47) olacaktır. Burada; z x exp, dr ve F u da gelr. t değer, ktle katl (quatle) değerdr ve

t t f udu,,,..., (3.48) deklemde elde edlr. O halde parametrelere göre türevler alııp modfye edlmş maksmum olablrlk eştlkler yazılırsa, * l L l L y a bz (3.49) * l L l L x y a bz (3.5) şeklde elde edlr. Burada; l L y g z ve olmak üzere maksmum olablrlk eştlklerdr ve l L x y g z (3.5) y. sıra statstğe karşı gele gözlem değerdr (Oral, 5). Eştlk (3.49) ve (3.5) de elde edle souçlara göre tahm değerler; ˆ ˆ xa ve m Burada; ˆ x x b x x bx m dr. a a (3.5), y a, m b, x a (3.53) Ayrıca MMLE tahm edcs katl tekğ yaı sıra E Küçük Kareler tekğ kullaılarak da tahm edleblr. E Küçük Kareler Tekğ (EKK-OLS) katl tekğ le ayı teorye sahptr acak parametreler elde edlşler farklıdır. EKK tekğ le parametre tahmler; ˆ y ˆ x ve ˆ şeklde elde edlr. değerler ˆ ve x x x y x ˆ tahm edcler aldığı değerler buludukta sora (3.54) a ve b

t ˆ ˆ x,,,..., (3.55) olacak şeklde tekrar hesaplaır ve bu değerlere dayalı olarak revze tahmler ˆ ve ˆ tekrar buluur. Tahmler yeterce stablze olucaya kadar bu şlem tekrar edlr. İterasyo 3-5 adımda bter (Lee ve ark., 98). Revze edlmş tahmler MLE tahm edcler yaklaşık değerler değl gerçek değerlerdr. MML tahm edcler asmptotk olarak Ml tahm edclere dek olduğuda MML tahm edcler asmptotk varyas-kovaryas matrs Fsher eformasyo (blg) matrs tersdr I, Bu matrs * * * l L l L l L E, E, E Alteratf olarak asmptotk varyas kovaryas matrs;. elemalarıda oluşur. V I, Q x Q x şekldedr. Burada; Q exp z Var Q Q x dr. Burada parametreler ç varyaslar; ˆ Qˆ ˆ ˆ ˆ Q Q x Q x (3.56) (3.57) Var ˆ Qx ˆ ˆ ˆ ˆ Q Q x Q x (3.58) şeklde elde edlr (Oral, 5). Posso Regresyo ç elde edle Modfye Edlmş Maksmum Olablrlk tahm edcs souçları tez Ekler kısmıda verlmştr.

3 3.4.3.Pseudo-Maksmum Olablrlk Tahm Edcs Bağımlı değşke y Posso dağılımıa uyguluk göstermemes durumuda ble Posso regresyo yardımıyla hesaplamış ˆ tahm değerler kullaılablr. Bu amaçla Pseudo MLE olarak adladırıla tahm edcler kullaılır. Bu termoloj de Posso modeldek Posso ML tahm edcs brc derecede koşul taımıyla elde edlmes gereke kestrc yere kullaılması alamıa gelr. Ama bu kestrc Posso ML tahm edcsdek gb Posso dağılımıa uyguluk göstermes gerekmez(dez, 5). O halde Posso Pseudo MLE değerler; ˆ ~, ˆ p N VPML p Burada; ˆ VPML p x x w x x x x ve (3.59) (3.6) w, y ç koşullu varyas değerdr (Camero ve Trved, 998). w foksyoel türler ç uygulama şekl değşeblr. w y olduğuda, y de Posso ç koşullu varyas se, varyas matrs ormal Posso Regresyo u varyas matrse döüşecektr. Böylece Klask Posso MLE değerler elde edlmş olur (Dez, 5; Camero ve Trved, 998; Agrest, ). 3.4.4.Posso Geelleştrlmş Doğrusal Modeller Tahm Edcs / exp E y x x beklee değer foksyoua sahp Posso Regresyo model ç, model kaok bağ foksyou ola Posso yoğuluk foksyou; x y exp x f y / x exp c y, şeklde taımlaır ve burada, (3.6) c y değer ormalleştrme katsayısıdır. değer doğrusal varyas foksyou le egatf bom dağılımı yardımıyla hesaplamış ola V y foksyouda elde edlr.

4 Bu model yardımıyla elde edle tahm deklem ı log-lkelhood le lşks ve lk türev değere göre ˆPGLM değer; y exp x x (3.6) şekldedr. Bu da aslıda klask log-lkelhood değer le örtüşmektedr. Tek fark sabt ölçek değerdr. Ayı şeyler varyas foksyou çde geçerldr. Var ˆ PGLM x x (3.63) le buluur. (Camero ve Trved, 998; Agrest, ; Dez, 5).(PGLM: Posso Geeralzed Lear Models) 3.4.5. E Küçük Kareler Tahm Edcs Posso regresyo model ç parametre tahm yötemlerde br taes de E Küçük Kareler Tahm edcsdr. E küçük Kareler tahm edcs uygulaırke regresyo çözümlemese at varsayımları uyguluğu kotrol edlmeldr. Aks takdrde souçlar tutarsız olacaktır. vektörler ve deklem, Y bağımlı değşkeler, X bağımsız değşkeler, da blmeye parametre gözleemeye hata termler olmak üzere klask doğrusal regresyo Y X,,,..., (3.64) şekldedr. EKK yötemde amaç ve parametreler tahm etmektr. Bu değerler öreklemde elde edle kestrmler ˆ ve ˆ olmak üzere regresyo kestrm deklem, Y ˆ ˆ X (3.65) ˆ şeklde olacaktır. Bu tahm deklemdek katsayıları bulumasıda e küçük kareler yötem kullaılır ve yötem gerçek değerler le tahm edle değerler arasıdak farkı (hatalar) kares mmze edlmes şekldedr. Bu fark, e Y Yˆ (3.66) ˆ şekldedr. O halde EKK modelmz,

5 ˆ m eˆ m Y Y (3.67) şeklde olup, Y ˆ yere Eştlk (3.65) dek karşılığı yazılır ve her br parametreye göre kısm türevler alııp, ˆ ˆ A m Y X (3.68) A ˆ (3.69) Y ˆ ˆ X A ˆ (3.7) X ˆ ˆ Y X sıfıra eştlerse, Y ˆ ˆ X (3.7) X ˆ ˆ Y X X (3.7) olur. Burada elde edle souçlar se, ˆ X X Y Y X X (3.73) ˆ Y ˆ X (3.74) şeklde olacaktır.

6 3.5.POISSON YAYILIM TESTİ Sayımla elde edle verler regresyo çözümlemes yaıt değşke Posso dağılımlı olduğu varsayımıa dayamaktadır. Acak sayımları gerçekte br yayılım ve özellkle aşırı yayılım gösterdğ durumlarla karşılaşılmaktadır. Bu edele Posso yaklaşımıı test etmek amacıyla çeştl test statstkler öerlmştr(özme, 998). Büyük öreklemler ç öerle ve kısm skor test olarak adladırıla test statstğ; T Y Y ˆ (3.75) şekldedr. Asmptotk olarak stadart ormal dağılıma yakısaya ve T statstğ stadartlaştırılması bçm olarak fade edle başka br test statstğ; T Y ˆ / ˆ Y bçmde taımlaır (Dea ve Lawless, 989). (3.76) T ve T test statstklerdek ˆ lar Posso Regresyo model altıda Maksmum Olablrlk Tahm edcler göstermektedr. T ve T test statstkler büyük poztf değerler alması aşırı yayılımı, büyük egatf değerler alması az yayılımı br göstergesdr (Wkelma ve Zmmerma, 995). Aşırı veya az yayılım durumuu test ede br dğer test statstğ Camero ve Trved (99) tarafıda öerlmştr. Yayılımı ölçmek ç; H : Var y H : Var y g şeklde hpotez kurulur. Hpotezde yer ala g yˆ değer geellkle Aşırı yada az yayılım ç test değer; y y ˆ y ˆ g y ˆ y ˆ olarak alıır. şeklde olup, olduğu durum ç az yada aşırı yayılım durumu gerçekleştrlr.

7 Br dğer yayılım test se Wooldrdge (996) tarafıda öerle test statstğdr k bu test artık değerlerde çıkartarak oluşturulmuştur. Bua göre test, y ˆ ˆ ˆ şeklde olup durumuda az yada aşırı yayılım durumu belrler.

8 3.6.UYUM İYİLİĞİ ÖLÇÜTLERİ Br modelde elde edle souçlar statstksel olarak model geçerllğe bağlıdır. Ele alıa ver kümes ç çeştl regresyo modeller mevcut olduğuda verler e y açıklaya modele karar vermek gerekmektedr. Bu edele ver kümes le model arasıdak uyguluğu test statstksel modelleme öeml br parçasıı oluşturmaktadır. Bu amaçla kullaıla regresyo modellerde ormallk varsayımıı sağlamaması edeyle, G, T (Frome, 98; Frome, 983; Özme, 998). gb uyum ylğ ölçütlerde yararlaılmaktadır Pearso K-kare statstğ e uygu olarak kullaıla uyum ylğ ölçütlerdedr. Posso Regresyo model ç Pearso k-kare statstğ; y ˆ (3.77) ˆ şeklde olup kestrle değer büyük olduğuda ˆ 3,,..., bu ölçüt sapma değere yakı souçlar vermektedr (Frome ve Checkoway, 985). Sapma Değer kestrle model le doygu modele lşk maksmze edlmş log-olablrlk değerler oraıa dayaa, klask doğrusal regresyo çözümlemesdek artık kareler toplamıa bezeye ve uyum ylğ ölçütlerde brsdr. Geel olarak G statstğe karşılık gele yapısıda br kısıt söz kousu ML kestrm tek adımda bulumaktadır. Y Posso rastlatı değşkee lşk parametres ML kestrm; l L ; y y (3.78) burada eştlğ açarsak, y ˆ y elde edlr. Sapma Değer geel hal; L ˆ, y D l l ˆ L, y l L y, y L y, y şekldedr. Burada, L ˆ, y, ˆ c f x, maksmze edlmş olablrlk foksyouu,, (3.79) olduğuda kestrle modele lşk L y y se ˆ y olduğuda doygu

9 modele lşk maksmze edlmş olablrlk foksyouu göstermektedr. O halde Posso Regresyo ç Sapma Değer; y D y l y ˆ ˆ (3.8) bçmdedr. Freema-Tukey statstğ se Posso Regresyo ç; 4 ˆ T y y (3.8) şekldedr. Posso Regresyo çözümlemesde e y model belrlemek ç kullaıla br dğer ölçüt de yapay (Pseudo) R değerdr. Doğrusal regresyo aalzdek çoklu belrtme katsayısıa R karşılık gele yapay- R değer; PseudoR D D (3.8) D şeklde buluur. Burada D : mmal modele lşk sapma değer, D : kestrle modele lşk sapma değer, göstermektedr. le arasıda değerler ala PseudoR değer e yakı olması seçle model e y modele e yakı olduğuu br göstergesdr (Frome ad Checkoway, 985; Klebaum ve ark., 988). Ayrıca ormallk varsayımı gerektrmeye Posso Regresyo modele R ölçüsü olablrlk ora yaklaşımıa dayamaktadır. Doğrusal regresyo modele lşk E Küçük Kareler tahm artık kareler toplamıı ML tahm ve sapma değer le bezer özellkler göstermes edeyle öerle PseudoR PseudoR değer; log L L y ˆ log L y şeklde taımlaır. log L y log Burada, model log-olablrlğ ve log L y :doygu model log-olablrlğ, ˆ model log-olablrlğ göstermektedr. ˆ (3.83) log L : lglele log L y : sadece sabt term buluduğu mmal y gözlee değerler, ˆ exp ˆ x c exp x ˆ tahm edle değerler ve y ˆ exp veya y ˆ cexp değerler olmak üzere log-olablrlk foksyoları, yada ortalama

3 log L y y log y y log y! (3.84) log L ˆ y log ˆ ˆ log y! (3.85) log L y y log y y log y! (3.86) bçmde elde edlmektedr. Bu log-olablrlk foksyoları düzelerse ölçüsüe ulaşılmaktadır (Özme, 3; Dez, 5). PseudoR Modeldek değşkeler öeml olup olmadığıı test etmek amacıyla ya parametre kestrm değerler stadart hatalarıa oralaarak Z değer le karşılaştırılmakta veya sapma farkları testde yararlaılmaktadır. Z teste göre daha sık kullaıla sapma farkları testde öemllğ test edle değşke de buluduğu modele lşk sapma değer le bu değşke dışıdak dğer değşkeler buluduğu model sapma değer arasıdak fark alıarak lgl fark serbestlk derecesdek kkare tablo değer le karşılaştırılır. Fark değer tablo değerde büyük se celee değşke öeml olduğua karar verlmektedr. Modelde yer ala değşkeler öemllğ test edldkte sora karar verle modele etkleşm veya karesel termler de ekleerek bu termler öemllğ de sapma farklarıda yararlaılarak test edlmektedr (Klebaum ve ark., 988; Sgh ve Famoye, 993).

3 3.7.ARTIKLARIN İNCELENMESİ Regresyo model doğru olarak tahm edleblmes ç y taıları koulması gerekmektedr. Artıklar bu bağlamda öeml ölçütlerdr. Artık değer, gerçek değer le tahm edle değer arasıdak farktır. Artık değerler uç, aykırı ve etk gözlemler belrlemede kullaılırlar. Taı yapılablmes ç artıkları y belrlemes gerekr, artıkları belrlemesde çeştl artık türler ve Cook uzaklığı öemldr. Gözlemler parametre kestrmler üzerdek etkler celemek amacıyla kullaıla belrleme ölçüsü Cook uzaklık ölçüsüdür. c gözlem etk gözlem olup olmadığıa karar vereblmek ç hesaplaa Cook uzaklık değer büyük çıkası ya artık değer büyüklüğüde yada uzaklığıda kayaklamaktadır (Cook ve Wesberg, 98). x vektörüü dğer vektör ortalamalarıa ola Sürekl verler ç yapıla modelleme akse keskl verlerde model tahm yapıldıkta sora tek souç değşke olasılıklarıı hesaplamasıa z verlr. Bary (kl) değşkeler etksde bu durum uzu br süre kabul edlmş ve gerçek değer le tahm edle değer arasıda var ola statstksel programlarda yararlaılarak karşılaştırma yapılmıştır. Tahm tabloları blg vermedğ ç eleştrlmştr (Veall ve Zmmerma, 99). Posso ç Pearso Artık Değer ; P y ˆ (3.87) Var y şekldedr. Burada ˆ, aslıda yaıt değşke varyas kestrmdr. Posso regresyoda ortalama ve varyas brbre eşt olduğu ç aşağıdak şeklde de yazılablr. Pearso Artık Değerler se; r p y ˆ (3.88) ˆ Sapma Artık Değerler; r sg y ˆ D (3.89) d Burada D, Eştlk (3.8) da elde edle sapma değer dr. Uç oktalar le yaıt değerlere lşk aykırı değerler belrlemesde kullaıla H matrs se;

3 H W P PWP PW (3.9) şeklde olup, burada W * ağırlıklar matrs, * p P kısm türevler matrsdr. P WP se ˆ parametre kestrmler varyas-kovaryas matrs olmak üzere H matrs köşege elemaları ola değerler olarak aılmaktadırlar. h değerler (leverage), p değerde büyük se uç

33 3.8.REGRESYON KATSAYILARININ ANLAMLILIK TESTİ Posso Regresyo da hesaplaa parametre değerler alamlılığıı test etmek ç Wald İstatstğ kullaılır. Wald İstatstğe göre; Kurulacak ola hpotezler: H H : :,,..., (3.9) şeklde olup buları test edlmesde kullaılacak WALD test statstğ; W b S b olarak hesaplaır. Burada: b, regresyo katsayılarıı, (3.9) S b se stadart hata değer, sayısıı karekökü le çarpımıdır. sayısı se, k kestrlecek parametre sayısı olmak üzere; y (3.93) k eştlğde hesaplaır ve b b S b değerde; S S (3.94) olarak yazılır. Bu durumda hesaplaa WALD statstk değer (br) serbestlk derecel tablo değer le karşılaştırılır. Eğer hesaplaa değer tablo değerde büyük se H yokluk hpotez red edlr ve katsayıları alamlı olduğu söyler (Dez, 5).

34 4.DOĞRUSAL OLMAYAN REGRESYON Öcek bölümlerde de açıkladığımız gb Klask Regresyo Model açıklayıcı ve br de yaıt değşkede oluşa tahm yötemdr. Klask regresyoda değşkeler arasıda doğrusal br lşkde söz etmek mümküdür. Acak bazı durumlarda modeldek değşkeler arasıda bağıtı parametreler e az br doğrusal olmaya foksyou bçmdedr ve bu modellere Doğrusal (Nolear) Olmaya Regresyo model der. Doğrusal olmaya regresyo modeller br farkı modeldek bağımsız değşkeler sayısı le regresyo parametreler sayısıı lşkl olmak zoruda olmayışıdır. Klask doğrusal regresyoda öreğ; 5 tae değşke varsa sabt term le brlkte 6 tae regresyo katsayısı olmalıdır, acak doğrusal olmaya regresyo modellerde bu durumu sağlaması gerekmez. İlerk koularda bu durumu göstere doğrusal olmaya regresyo türlerde bahsedlecektr. Doğrusal olmaya modeller teors ve metotları doğrusal modeller teors ve metotları le yakıda lşkldr. Doğrusal regresyo model le doğrusal olmaya model ayı formatta taımlamak mümküdür. Doğrusal model:, Y f X e (4.) Doğrusal olmaya model:, Y f X e (4.) Burada, Y, bağımlı değşke (yaıt değşke), X ; X, X,..., X de oluşa açıklayıcı değşkeler, e ; hata term ve ;,,..., de oluşa blmeyeler olmak üzere f (tepk foksyou) foksyou (blmeyeler) parametre vektörüü bleşelere göre doğrusal olmaya br yapıda olduğu zama Doğrusal Olmaya Regresyo adıı alır. Yukarıda (4.) de yer ala e hata term de Klask Regresyo Aalzdek (Eş. 4.) hata term özellkler taşır k bular sıfır ortalama, sabt varyas ve korelasyosuz olmaları gbdr(geç, 997).

35 4..PARAMETRE TAHMİNİ Doğrusal olmaya regresyo modellerde geel tbaryle E Küçük Kareler (EKK) veya Maksmum Olablrlk(E Çok Olablrlk=MLE=EÇOK) Tahm Edcler kullaılır. Acak doğrusal regresyou akse doğrusal olmaya regresyo modellerde aaltk çözümler bulmak zor olacağıda teratf yötemler kullaılarak souca gtmek ve buu çde blgsayar programıda yaralamak gerekmektedr. 4...Doğrusal Olmaya Regresyoda E Küçük Kareler Tahm Edcs Ele alıa doğrusal olmaya regresyo modelmz (4.) de verle; Y f X, e,,,..., model olsu. Modelmzde parametre tahm yapmada öce hataları özellklere bakarsak;,,,..., E e (4.3), j Cov e e j, j, j,,,,..., Eştlk (4.3) ve (4.4) ı vektör gösterm; (4.4) Ee (4.5), j Cov e e I (4.6) olduğu varsayılmıştır. Ayrıca hata term ormallk varsayımı altıda; e N, I (4.7) olacaktır. Hata termler celedkte sora, E küçük kareler yöteme göre; (4.8), Q Y f x x, gözlem değerlerdr. Hata kareler toplamı mmum olacak şeklde parametre değer belrlemek ç e küçük kareler yöteme göre e y tepk foksyouu bulmaktır. Eş. (4.8) ü vektörler br formu olarak yazarsak; Q Y f Y f (4.9) olacaktır. Burada,

36 Y f x, Y f x, Y., f... Y f x, şekldedr.,,... satır ve j j,,..., p sütu ds olmak üzere, (4.) F f x,... f x, p f x,... f x, p f x,. j. f x,... f x, p matrs (4.) f foksyouu Jakobye matrs olmak üzere eştlk (4.9) de verle hata kareler toplamıı blmeye parametre vektörüe göre türev; Q Y f F F Y f şekldedr(geç, 997). ı e küçük kareler tahm edcs parametre uzayı üzerde ˆ Q ı; (4.) m Q Q (4.3) mmzasyouda elde edle ˆ değerdr. Buda; Q ˆ (4.4) dır. Bu durumda eştlk (4.) de, F ˆ Y f ˆ (4.5) olacağıda hata term tahm, ˆ ê Y f şeklde olacaktır( Geç, 997).

37 4...Doğrusal Olmaya Regresyoda Maksmum Olablrlk Tahm Edcs Maksmum olablrlk yötem ç (4.) de verle, Y f X e doğrusal olmaya regresyo model ele alalım ve burada hata termler bağımsız ve her br hata term sıfır () ortalamalı ve varsayalım. O halde gözlemler;,,,,,..., varyaslı ormal dağılıma sahp olduğuu Y N f x (4.6) dağılımıa sahp olup olasılık yoğuluk foksyou, Yf x, f y;, e, y (4.7) olacaktır. Y, Y,..., Y rasgele değşkeler olablrlk foksyou, L Y f x (4.8), ;, Tahm souçlarıa ulaşablmek ç log-olablrlk foksyouu buluması gerekr. L f x log log, (4.9) Log-olablrlk tahmcs elde edlr. bu eştlğ daha açık br şeklde yazarsak, f x, Y f x, Y f x, (4.) olacaktır(geç, 997). İlk eştlğ sol tarafı (4.) dek fade ayısıdır. O halde e küçük kareler yötem le e çok olablrlk yötem soucu elde edle tahm değerler ayı olacaktır. Burada ı e çok olablrlk tahm edcs le elde edle tahm ˆ olmak üzere kc deklem soucuda elde edle tahm, ˆ olacaktır. Y f x, (4.) Eştlk (4.3) dek mmzasyo deklemde Q, ı doğrusal olmaya br foksyoudur. Doğrusal olmaya bu foksyou mmze etmek ç terasyo çere yötemlere htyaç vardır. Bu yötemlerde e ble de Gauss-Newto yötemdr (Geç, 997).