MAK 210 SAYISAL ANALİZ

MAK 210 SAYISAL ANALİZ BÖLÜM 4- LİNEER OLMAYAN DENKLEMLERİN ÇÖZÜMÜ Doç. Dr. Ali Rıza YILDIZ MAK 210 - Sayısal Analiz 1

LİNEER OLMAYAN DENKLEMLERİN ÇÖZÜMÜ Matematikte veya hidrolik, dinamik, mekanik, elektrik gibi mühendisliğin çeşitli alanlarında çok sık karşılaşılan denklemlerden biri de lineer olmayan denklem veya denklem sistemleridir. İki veya daha yüksek dereceden polinomlar veya trigonometrik, logaritmik, üstel gibi lineer olmayan terimler içeren denklemler lineer olmayan veya nonlineer denklemlerdir. x 3 + 2x 2 5 sinx = 0 veya x tanx = e x denklemleri tek bilinmeyenli lineer olmayan denklemlerdir. MAK 210 - Sayısal Analiz 2

TEK DEĞİŞKENLİ DENKLEMLERİN ÇÖZÜMÜ Tek değişkenli f(x)=0 denklemini çözmek için değişik yöntemler kullanılmaktadır. Bunlar iteratif yöntemler olup kökler için tahmini değerlerin alınmasını gerektirir. Bu yöntemlerin bir kısmı non-lineer denklem yerine lineer bir denklem kabul edip çözüme ulaşma esasına dayanır. Yaygın olarak kullanılan yöntemler şunlardır : Yarıya Bölme Lineer interpolasyon (Regula-Falsi) Basit iterasyon Newton-Raphson MAK 210 - Sayısal Analiz 3

Yarıya Bölme Yöntemi y = f(x) y R = f(x R ) y M = f(x M ) x L y L = f(x L ) x M x R Yarıya Bölme Yönteminin Grafik Gösterimi MAK 210 - Sayısal Analiz 4

Yarıya bölme yönteminin uygulanmasında izlenecek adımlar şunlardır: 1) Başlangıç için x L ve x R değerleri seçilir ve fonksiyonda yerine yazılır. 2) y L. y R < 0 ise bu aralıkta kök var demektir. Bu durumda aralık ikiye bölünür. x M = x L + x R 2 3) x M, fonksiyonda yazılarak y M bulunur. Eğer, a) y M TD ise aranan kök x M dir. İşlem sonlandırılır. b) y L. y M < 0 ise kök x L ve x M arasındadır. Bu durumda x R x M ve y R y M alınarak 2. adımdan itibaren işlemler tekrar edilir. MAK 210 - Sayısal Analiz 5

c) y L. y M > 0 ise kök x R ve x M arasındadır. Bu durumda x L x M ve y L y M alınarak 2. adımdan itibaren işlemler tekrar edilir. Aralığı yarıya bölme işlemini sonlandırmak için iki kriter kullanılabilir. y M TD veya x L x R TD. 3-a adımında bu kriterlerden biri veya her ikisi de kullanılabilir. Bu şartlardan birincisi ve/veya ikincisi sağlanıyorsa yarıya bölme işlemine son verilir. Aranan kök x M dir. MAK 210 - Sayısal Analiz 6

Lineer İnterpolasyon (Regula-Falsi)Yöntemi Bazı problemlerin yarıya bölme yöntemiyle çözümü çok uzun sürer. Çözümü hızlandırmak için lineer interpolasyon (Regula-Falsi) yöntemi kullanılabilir. Bu yöntemin yarıya bölme yönteminden tek farkı x M in hesaplanmasıdır. y = f(x) y R = f(x R ) x L x M y M = f(x M ) y L = f(x L ) x R Lineer İnterpolasyon Yönteminin Grafik Gösterimi MAK 210 - Sayısal Analiz 7

Çizilen doğrunun oluşturduğu üçgenin benzerliğinden faydalanarak x M şu şekilde yazılabilir : x M = x Ly R x R y L y R y L Örnek 4.1: f x = x 3 3.7x 2 + 6.25x 4.69 = 0 fonksiyonunun [1.5,2] aralığında kökün varlığını araştırınız, varsa kökü hesaplayınız (TD=0.05) Çözüm: Yarıya bölme yöntemini kullanarak çözersek: x L = 1.5 ve x R = 2 alarak y L = f 1.5 = 0.265 y L. y M < 0 old. için ara kök var y R = f 2 = 1.01 MAK 210 - Sayısal Analiz 8

x M = x L + x R 2 = 1.75 y M = f 1.75 = 0.2765 > TD y L. y M < 0 x L = x M = 1.75 x M = 1.75 + 1.5 2 = 1. 625 y M = f 1.625 = 0.013 y M < TD Tolerans değer sağlandığından aranan yaklaşık kök değeri x M = 1.625 dir. Daha hassas bir sonuç için tolerans değer daha küçük tutularak yarıya bölme işlemine devam edilebilir. MAK 210 - Sayısal Analiz 9

Basit İterasyon Yöntemi Basit iterasyon yönteminin uygulanmasında izlenecek adımlar şunlardır: 1) Verilen f x = 0 fonksiyonu x = g(x) formunda yazılır. 2) İterasyon başlangıcı için tahmini bir x 0 başlangıç değeri alınır ve g(x) de yerine yazılarak x 1 değeri bulunur. x 1, g(x) de tekrar yazılarak x 2 bulunur. Bu işlem n defa tekrarlandığında n. iterasyon için genel denklem; x n+1 = g(x n ) olur. 3) İterasyona x n+1 x n < TD oluncaya kadar devam edilir. Bu şart sağlanıyorsa aranan kök x n+1 dir. MAK 210 - Sayısal Analiz 10

Örnek 4.2: Aşağıdaki denklemin en küçük pozitif kökünü bulunuz. f x = x 3 x 3 = 0 Çözüm: Verilen denklem üç değişik tarzda x = g(x) haline getirilebilir : 1) x = x 3 3 = g(x) 3 2) x = x + 3 = g x 3) x = 3 x 2 1 = g(x) Başlangıç değerini sıfır (x 0 = 1.5) alarak her üç denklemle basit iterasyon uygulandığında elde edilen sonuçlar aşağıdaki tabloda verilmiştir. MAK 210 - Sayısal Analiz 11

Başlangıç değeri aynı olmasına rağmen her zaman yakınsama olmadığı ve üç halden sadece birisinin sonuç verdiği görülmektedir. Yani verilen fonksiyon x=g(x) formunda yazılırken gelişigüzel değil, uygun bir tarzda yazılmalıdır. Aksi halde yakınsama sağlanamaz ve çözüme ulaşılamaz. Uygun x=g(x) formu yakınsama kriterini sağlayan formdur. Dolayısıyla yukarda yazılan üç değişik ifadeden sadece yakınsama kriterini sağlayan ikinci form sonuç vermektedir. MAK 210 - Sayısal Analiz 12

İter(n) x n+1 = x 3 n 3 3 x n+1 = x n + 3 x n+1 = 3 x n 2 1 0 1.5 1.5 1.5 1 0.375 1.651 2.4 2-2.947 1.669 0.63 3-28.601 1.671-4.974 4-23399.241 1.672 0.126 5 1.672-3.049 6 0.362 7-3.452 8 9 MAK 210 - Sayısal Analiz 13

Yakınsama Şartı Basit iterasyonun genel ifadesi olan x n+1 = g(x n ) denkleminde gerçek kök (x r ) yazılırsa x n+1 = g(x r ) olacaktır. Bu iki ifade taraf tarafa çıkartılırsa x n+1 x r = g(x n ) g(x r ) elde edilir. Bu ifadenin sağ tarafı (x n x r ) terimi ile çarpıp bölünürse ve ortalama değer teoremi göz önüne alınırsa x n x r x n+1 x r = g x n g x r = g x n g x r (x x n x r x n x n x r ) r = g (x s )(x n x r ) MAK 210 - Sayısal Analiz 14

yazılabilir. Burada x s değeri, x n ve x r aralığında bir x değeridir. Mutlak hata e ile gösterilirse x n+1 x r = g x s. (x n x r ) e n+1 e n e n+1 = g x s. e n Sonucuna ulaşılır. Yakınsama olabilmesi için hatanın iterasyon süresince azalması gerekir. Yani n + 1. Adımdaki hatanın daha küçük olması gerekir (e n+1 < e n ). Bu ise ancak çarpanın mutlak değerce 1 den küçük olması ile sağlanır. Bu şart g (x s ) < 1 yakınsama kriteri olarak bilinir. MAK 210 - Sayısal Analiz 15

Örnek 4.3: Yukarıdaki soruda yakınsama kriterini irdeleyiniz. Çözüm: Verilen denklem üç değişik tarzda x = g(x) halinde yazılmıştı. Her durumda g(x) fonksiyonunun türevini alıp kök civarında inceleyelim. 1) x = x 3 3 g x = 3x 2 g (x s ) > 1 3 2) x = x + 3 g x = 1 3 g (x s ) < 1 3 (x+3) 2 3) x = 3 x 2 1 = g x g x = 6x x 2 1 2 g (x s) > 1 Bu türevlerden sadece ikincisi pozitif x değerleri için daima 1 den küçüktür. Dolayısıyla ikinci yazılış tarzı kesin olarak yakınsama şartını sağlamaktadır. Birincisi (x > 0.58) için daima birden büyük, sonuncusu da genelde birden büyük bazı x değerleri için ise birden büyük olmaktadır. Dolayısıyla bunlar basit iterasyonda sonuç vermeleri beklenmemelidir. MAK 210 - Sayısal Analiz 16

Yakınsama şartının yakınsamayı nasıl etkilediği geometrik bir şekil üzerinde basitçe gösterilebilir. (Basit iterasyonda yakınsama ve ıraksama olayının geometrik açıklaması) y y x 2 x 1 x 0 x Monoton yakınsama x 0 x 1 x 2 x Monoton ıraksama MAK 210 - Sayısal Analiz 17

y y 2 = g(x) y y 2 = g(x) x 0 x 2 x 1 x x 2 x 0 x 1 x Salınımlı yakınsama Salınımlı ıraksama MAK 210 - Sayısal Analiz 18

Newton-Raphson Yöntemi Yöntem, seçilen noktadaki teğetin eğiminden yararlanarak köke yakın bir başka noktanın bulunması esasına dayanır. y y = f(x) f(x 0 ) f(x 1 ) x 2 θ x 1 x 0 x Newton-Raphson yönteminin grafik gösterimi MAK 210 - Sayısal Analiz 19

Newton-Raphson yönteminin uygulanmasında izlenecek adımlar şunlardır: 1) Verilen f x = 0 fonksiyonunun türevi alınır. 2) İterasyon başlangıcı için tahmini bir x 0 başlangıç değeri alınır. Genel iterasyon denklemi : x n+1 = x n f(x n ) f (x n ) kullanılarak yeni x değerleri bulunur. 3) İterasyona x n+1 x n < TD 1 ve/veya f(x n+1 ) < TD 2 oluncaya kadar devam edilir. 4) Tolerans değeri sağlanıyorsa aranan kök x n+1 dir. MAK 210 - Sayısal Analiz 20

Burada dikkat edilmesi gereken nokta, fonksiyonun türevi ele alınan nokta için sıfır ise iterasyon formülünün tanımsız hale geleceğidir. Genelde Newton- Raphson yöntemi daha hızlı sonuç verir. Ancak bu yöntemin de yetersiz kaldığı veya sonuç vermediği bazı durumlar vardır. Örnek 4.5: Aşağıdaki denklemin en küçük pozitif kökünü bulunuz. f x = 3x + Sinx e x Çözüm: Newton-Raphson yöntemi için fonksiyonun türevi f = 3 + Cosx e x genel iterasyon denkleminde yazılırsa MAK 210 - Sayısal Analiz 21

x n+1 = x n 3x n + Sinx n e x n 3 + Cosx n e x n elde edilir. İterasyona x 0 = 0 ilk değeri ile başlanırsa ve x değerinin radyan olduğu göz önüne alınırsa elde edilecek iterasyon değerler n = 0 1 2 3 x n = 0 0.3333 0.3602 0.3604 olacaktır. Aranan kök değeri x = 0.3604 tür. MAK 210 - Sayısal Analiz 22

Örnek 4.6: Aşağıdaki verilen denklemin (0,1) aralığındaki kökünü tüm yöntemlerle hesaplayınız (TD = 10 3 ). f x = e x 3x Çözüm: a) Yarıya bölme yöntemiyle elde edilen sonuçlar aşağıdaki tabloda özetlenmiştir. Buna göre 10 defa yarıya bölme sonunda çözüm x = 0.618652 olarak bulunmuştur. MAK 210 - Sayısal Analiz 23

İterasyon x L x R x M y L y R y M 1 0 1 0.5 1-0.28172 0.14872127 2 0.5 1 0.75 0.148721-0.28172-0.133 3 0.5 0.75 0.625 0.148721-0.133-0.006745 4 0.5 0.625 0.5625 0.148721-0.00675 0.06755466 5 0.5625 0.625 0.59375 0.067555-0.00675 0.02951607 6 0.59375 0.625 0.609375 0.029516-0.00675 0.01115649 7 0.609375 0.625 0.617188 0.011156-0.00675 0.00214465 8 0.617188 0.625 0.621094 0.002145-0.00675-0.0023189 9 0.617188 0.621094 0.619141 0.002145-0.00232-9.066E-05 10 0.617188 0.619141 0.618164 0.002145-9.1E-05 0.00102611 11 0.618164 0.619141 0.618652 0.001026-9.1E-05 0.0004675 MAK 210 - Sayısal Analiz 24

b) Regula-Falsi (lineer interpolasyon) yöntemine göre elde edilen sonuçlar aşağıdaki tabloda verilmiştir. Aynı tolerans değerine 6 bölme işlemi sonunda ulaşılmış ve çözüm x = 0.619485 olarak bulunmuştur. İterasyon x L x R x M y L y R y M 1 0 1 0.780203 1-0.28172-0.1586936 2 0 0.780203 0.673347 1-0.15869-0.0592517 3 0 0.673347 0.635682 1-0.05925-0.018736 4 0 0.635682 0.623991 1-0.01874-0.0056106 5 0 0.623991 0.620509 1-0.00561-0.0016526 6 0 0.620509 0.619485 1-0.00165-0.0004844 MAK 210 - Sayısal Analiz 25

c) Basit iterasyon ile: Denklemden x aşağıdaki gibi çekilir ve sıfır başlangıç değeri ile iterasyon yapılırsa aşağıdaki tabloda görüldüğü gibi 12. iterasyon sonunda çözüm değeri x = 0.618004 olarak elde edilir. İterasyon x n x 0 0 1 0.333333 0.333333 2 0.465204 0.131871 3 0.53078 0.065576 4 0.566753 0.035973 5 0.587511 0.020759 6 0.599835 0.012323 7 0.607273 0.007438 8 0.611806 0.004534 9 0.614586 0.00278 10 0.616297 0.001711 11 0.617352 0.001055 12 0.618004 0.000652 MAK 210 - Sayısal Analiz 26

d) Newton-Raphson yöntemi ile: verilen fonksiyon ve türevi f x = e x 3x f x = e x 3 x n+1 = x n f(x n) f (x n ) iterasyon denkleminde yazılarak sıfır başlangıç değeri ile iterasyon yapılırsa aşağıdaki tablo değerleri elde edilir. Görüldüğü gibi çok kısa bir sürede verilen tolerans değer sağlanmaktadır. Burada bulunan çözüm değeri x = 0.619061 dir. MAK 210 - Sayısal Analiz 27

İterasyon x n x 0 0 1 0.5 0.5 2 0.61006 0.11006 3 0.618997 0.008937 4 0.619061 6.45E-05 MAK 210 - Sayısal Analiz 28

LİNEER OLMAYAN DENKLEM SİSTEMLERİNİN ÇÖZÜMÜ Buraya kadar ele alınan yöntemlerle tek bir nonlineer denklemin çözümü üzerinde durulmuştur. Ancak denklem ve bilinmeyen sayısı birden fazla olabilir. Bu bölümde de n bilinmeyenli n adet nonlineer denklemden oluşan bir nonlineer denklem sisteminin çözümü ele alınacaktır. Böyle bir denklem sistemi aşağıdaki gibi kapalı formda yazılabilir. f 1 x 1, x 2, x 3,, x n = 0 f 2 x 1, x 2, x 3,, x n = 0.. f n x 1, x 2, x 3,, x n = 0 f i x i = 0 (i, j = 1,2,3,, n) MAK 210 - Sayısal Analiz 29

Böyle bir denklem sistemini çözmek, yani her denklemi sağlayan x j değerlerini bulmak için aşağıdaki metotlar izlenebilir : Grafik yöntem ile çözüm Bilinmeyenlerin yok edilerek, denklem sayısının bire indirildiği bilinen yöntemlerle çözüm Tek denklem için kullanılan yöntemlerden biri seçilerek tüm denklemlere uygulanarak elde dilen çözüm Genelleştirilmiş Newton-Raphson yöntemi ile çözüm MAK 210 - Sayısal Analiz 30

Basit İterasyon Yönteminin Kullanımı Verilen denklem sisteminde her denklemden bir değişken çekilerek x = g(x) formunda yazılır. x 1 = g 1 x j x 2 = g 1 x j x n = g n x j bilinmeyenler için uygun başlangıç değeri kabul edilir, sırayla yukarıdaki denklemlerde yazılır ve yeni x değerleri bulunur. Bu bakımdan yöntemin işleyişi Gauss-Seidel yöntemine benzer. Bütün bilinmeyenler için tolerans değeri sağlanıncaya kadar iterasyona devam edilir. MAK 210 - Sayısal Analiz 31

Yakınsama şartı: Bu yöntem basit olmasına rağmen gerçekleşmesi oldukça zor olan yakınsama şartına sahiptir. Bütün g fonksiyonlarının bütün değişkenlere göre türevlerinin kök civarındaki mutlak değerleri toplamı 1 den küçük olmalıdır. Bu şart matematiksel olarak şeklinde ifade edilir. g 1 + g 2 + + g n x 1 x 1 x 1 < 1 g 1 + g 2 + + g n x 2 x 2 x 2 < 1. g 1 + g 2 + + g n x n x n x n < 1 MAK 210 - Sayısal Analiz 32

Örnek 4.7: Aşağıdaki verilen x 2 + y 2 = 4 y + e x = 1 Eğrilerin kesim noktalarından birini basit iterasyon yöntemi ile bulunuz. Çözüm: Verilen çember ve üstel fonksiyon eğrileri çizilirse kesim noktalarının konumu yaklaşık belli olacaktır. Bundan yararlanarak ilk değerlerin seçimi yapılabilir. Basit iterasyonu uygulamak üzere verilen fonksiyonlardan bir değişkeni çekerek tekrar yazalım: x = ln (1 y) y = 4 x 2 Sağ yarı düzlemdeki kesim noktasını bulmak için y 0 = 1.7 değeri ile iterasyona başlanırsa 1. denklemden x 0 ve 2. denklemden y 1 değeri MAK 210 - Sayısal Analiz 33

x 0 = ln 1 y 0 = 0.993 2 y 1 = 4 x 02 = 1.736 2 Kesim noktaları ile başlangıç değerlerinin tahmini olarak hesaplanır. Açıktır ki sağ yarı düzlemdeki kök değeri bulunacağından ikinci denklemdeki eksi işaretli değer dikkate alınacaktır. Bulunan değerlerle iterasyona devam edilirse aşağıdaki tablo değerleri elde edilir. x = ln(1 y) 0.993 1.006 1.0038 1.0042 1.0042 y = 4 x 2-1.736-1.7286-1.7299-1.7296-1.7296 Dört ondalık hanenin değişmediği son tablo değerleri aranan çözüm değerleridir. MAK 210 - Sayısal Analiz 34

Genelleştirilmiş Newton-Raphson Yöntemi n bilinmeyenli n adet non-lineer denklem verilmiş olsun : f 1 x 1, x 2, x 3,, x n = 0 f 2 x 1, x 2, x 3,, x n = 0.. f n x 1, x 2, x 3,, x n = 0 f i x i = 0 (i, j = 1,2,3,, n) f 1 x 1 f 1 x 2 f 1 x n f 2 x 1 f 1 x 1 f 2 x n f 3 x 1 f 1 x 1 f 3 x n f n x 1 f n x 2 f n x n x x 1 x 2 x 3 x n = f 1 f 2 f 3 f n x değerleri sistemin çözümünden elde edilir. MAK 210 - Sayısal Analiz 35

Yönteminin uygulanmasında izlenecek adımlar şunlardır: 1) Verilen fonksiyonların her değişkene göre türevi alınır. 2) x j ler için ilk tahmin değerleri alınır. 3) Bu x j değerleri fonksiyonlarda ve türevlerinde yazılarak b ve A matrisi elemanlarının sayısal değerleri hesaplanır. 4) Lineer denklem sistemi çözülür ve x j ler bulunur. 5) Yeni x j ler hesaplanır: (x j ) yeni = (x j ) eski + x j (j = 1,2,, n) 6) Her j değeri için (x j ) yeni (x j ) eski < TD ise çözüm vektörü (x j ) yeni değerleridir. Değilse MAK 210 - Sayısal Analiz 36

(x j ) yeni = (x j ) eski (j = 1,2,, n) alarak 3. adımdan itibaren aynı işlemlere devam edilir. Örnek 4.8: Bir önceki örnekte verilen x 2 + y 2 = 4 y + e x = 1 eğrilerin kesim noktalarından birini genelleştirilmiş Newton-Raphson yöntemi ile bulunuz (TD=0.05). Çözüm: Genelleştirilmiş Newton-Raphson yöntemi için fonksiyonlar ve fonksiyonların gerekli türevleri yazılırsa MAK 210 - Sayısal Analiz 37

f 1 = 4 x 2 y 2 f 2 = 1 y e x f 1x = 2x f 2x = e x f 1y = 2y f 2y = 1 Başlangıç değerleri olarak x 0 = 1 ve y 0 = 1.7 seçilir ve yukarıdaki ifadelerde yerlerine konursa f 1 = 0.11 f 2 = 0.0183 f 1x = 2 f 2x = 2.7183 f 1y = 3.4 f 2y = 1 Sayısal değerler elde edilir. Bu değerlere göre Jacobien matrisi de içeren denklem sistemi çözülürse 2 3.4 2.7183 1 x y = 0.11 0.0183 x = 0.00426 y = 0.02985 MAK 210 - Sayısal Analiz 38

değerleri elde edilir. Buna göre yeni kök değerleri x 1 = x 0 + x = 1.00426 y 1 = y 0 + y = 1.72985 olarak hesaplanır. x ve y değerleri mutlak değerce verilen tolerans değerden küçük olduğu için iterasyona son verilir. Bulunan son değerler aranan kök değerleridir. Genelleştirilmiş Newton-Raphson yöntemi, iki bilinmeyenli iki denklem halinde daha basit olarak ifade edilebilir. İki bilinmeyenli lineer olmayan denklemler f 1 x, y = 0 f 2 x, y = 0 ise yöntemin birinci aşamalı olarak MAK 210 - Sayısal Analiz 39

f 1x f 1y x f 2x f 2y y = f 1 f 2 yazılabilir. Bu sitem çözülürse x = f 1y f 2 f 1 f 2y f 1x f 2y f 1y f 2x y = f 1f 2x f 2 f 1x f 1x f 2y f 1y f 2x elde edilir. Bunların ilk tahmin değerlerine ilave edilmesi ile yeni x ve y değerleri elde edilir. Yani iterasyon denklemleri aşağıdaki formda da yazılabilir x i+1 = x i + x = x i f 1y f 2 f 1 f 2y f 1x f 2y f 1y f 2x y i+1 = y i + y = y i f 1f 2x f 2 f 1x f 1x f 2y f 1y f 2x MAK 210 - Sayısal Analiz 40

Örnek 4.9: Aşağıdaki denklemin [1,6] arasındaki kökünü 0.01 toleransla f(x) = x 3 4x 15 a) Yarıya bölme b) Basit iterasyon c) Newton-Raphson yöntemleriyle hesaplayınız. Çözüm: a) Yarıya bölme yöntemini kullanarak çözüm: x L = 1 ve x R = 6 alarak y L = f 1 = 18 y R = f 6 = 177 y L. y R < 0 olduğundan arada kök var. MAK 210 - Sayısal Analiz 41

Yeni Yeni BURSA TECHNICAL UNIVERSITY (BTU) x M = x R + x L 2 = 3.5 y M = f 3.5 = 13.875 > TD y L. y M < 0 x R = x M = 3.5 x M = 1 + 3.5 2 = 2.25 y M = f 2.25 = 12.6 y M > TD y L. y M > 0 x L = x M = 2.25 x M = 2.25 + 3.5 2 = 2.875 y M = f 2.875 = 2.736 y M > TD y L. y M > 0 x L = x M = 2.875 MAK 210 - Sayısal Analiz 42

Yeni BURSA TECHNICAL UNIVERSITY (BTU) x M = 2.875 + 3.5 2 = 3.1875 y M = f 3.1875 = 4.635 > TD Yeni Yeni x M = x M = y L. y M < 0 x R = x M = 3.1875 2.875 + 3.1875 2 = 3. 03125 y M = f 3.03125 = 0.7275 > TD y L. y M < 0 x R = x M = 3.03125 2.875 + 3.03125 2 = 2.95312 y M = f 2.95312 = 1.058 > TD y L. y M > 0 x L = x M = 2.953125 MAK 210 - Sayısal Analiz 43

Yeni BURSA TECHNICAL UNIVERSITY (BTU) x M = 2.95312 + 3.0312 2 = 2.9921 y M = f 2.99218 = 0.179 < TD Tolerans değer sağlandığında aranan yaklaşık kök değeri x M = 2.99218 dir. Daha hassas bir sonuç için tolerans değer daha küçük tutularak yarıya bölme işlemine devam edilebilir. b) Basit iterasyonla çözümde verilen denklemden x çekilerek 3 x = 4x + 15 veya iterasyon denklemi olarak 3 x n+1 = 4x n + 15 yazılabilir. Başlangıç olarak 2 değeri ile başlayıp iterasyonla sonuca yaklaşım MAK 210 - Sayısal Analiz 44

Aşağıdaki tabloda görüldüğü gibi mümkündür. Tolerans değerini sağlayan 2.9995 değeri aranan kök değeridir. n 3 x n+1 = 4x n + 15 0 2 1 2.844 2 2.9766 3 2.9965 4 2.9995 c) Newton-Raphson yöntemi için fonksiyonun türevi alınırsa f x = 3x 2 4 MAK 210 - Sayısal Analiz 45

iterasyon denklemi x n+1 = x n f(x n) f (x n ) Başlangıç değeri 2 ile aşağıdaki sonuçları verecektir. n x n+1 0 2 1 3.875 2 3.200514 3 3.014141 4 3.000078 Bu sonuçlara göre aranan kök 3.000078 dir. MAK 210 - Sayısal Analiz 46

Verilen denklemin söz konusu aralıktaki gerçek kökü 3 tür. Buna göre sonuca en hızlı yaklaşan Newton-Raphson yöntemi olmuştur. Örnek 4.10: Bir akışkanın boru içindeki akışında meydana gelen basınç kaybı P = 0.5fρV 2 L D (Q = V πd2 4 ) olup burada ρ: yoğunluk, V: akışkan hızı, Q: akışkan debisi, L: boru boyu, D: boru çapı olup pürüzsüz kabul edilebilecek borudaki akışa ait sürtünme katsayısı f için 1 f = 2log 10 2.51 Re f ve Reynolds sayısı Re = VD v bağıntıları verilmektedir. Burada v akışkanın viskozitesidir. v = 1. 10 6 m 2 /s MAK 210 - Sayısal Analiz 47

ρ = 1000 kg m 3, Q = 0.0015 m 3 s ve L = 1000 m olduğuna göre basınç kaybının 40000 N m 2 yi geçmemesi için boru çapı ve sürtünme katsayısı ne olmalıdır? Sonuçları 0.001 hatayla bulunuz. Çözüm: Sayısal değerler P = 0.5fρ 16Q2 π 2 D 4 L D ifadesinde yazılırsa f = 21932D 5 (1) denklemi bulunur. İki bilinmeyen içeren bu denklemin çözülebilmesi için ikinci bir denkleme ihtiyaç vardır. Gerekli ikinci denklem sürtünme katsayısı denkleminde Re sayısı ifadesi konursa MAK 210 - Sayısal Analiz 48

2.51 = 2log 1f Re f = 2log 2.51 4Q D πd 2 v f ve sayısal değerlerin kullanılmasıyla 1f = 2log 1.314x10 3 D f (2) elde edilir. (1) ve (2) nolu denklemler eşzamanlı çözülebileceği gibi tek denkleme indirgenerek de çözülebilir. (1) denklemi (2) de yazılıp düzenlenirse; MAK 210 - Sayısal Analiz 49

1f = 2log 1.7801x10 4 5 f f İterasyon x f veya f = x olmak üzere 0 0.17 1 0.152 0.023 2 0.15343 0.02354 1 x = 2log 1.7801x10 4 x 3 5 3 0.15332 0.02351 basit iterasyon yöntemi ile çözülürse elde edilecek değerler aşağıda sıralanmıştır. Yakınsama sonuçlarına göre; sürtünme katsayısı f = 0.02351, boru çapı D = 0.064 m bulunur. MAK 210 - Sayısal Analiz 50

Örnek 4.11: Şekildeki P yükü 5 m uzunluğunda bir ip ve yaya asılı olarak dengededir. Yayın uzamamış serbest uzunluğu 5 m, yay katsayısı k=10 N/m olduğuna göre bu denge durumunda θ açısını uygun bir yöntemle hesaplayınız. (P=10 N) 5 m 5 m A θ F 1 l B P k=10 N/m F 2 C MAK 210 - Sayısal Analiz 51

Çözüm: B noktasında yatay kuvvetlerin dengesinden F 1 cosθ = F 2 ve yay kuvveti F 2 = k(l 5) yazılabilir. Düşey kuvvetlerin dengesinden de F 1 sinθ = P elde edilir. Bu denklemler düzenlenirse P = k l 5 tgθ l = 10 5cosθ Yazılabilir. Bu denklemler kolayca tek denkleme indirgenebilir. Sayısal değerleri yerine koyup bu işlem yapılırsa P = 10 10 5cosθ 5 tgθ MAK 210 - Sayısal Analiz 52

veya tgθ 1 cosθ = 0.2 elde edilir. Newton- Raphson yöntemini kullanalım. Buna göre kökü bulunacak fonksiyon ve türevi f = sinθ f = cosθ 1 cosθ cosθ 1 cosθ cosθ 0.2 + sinθ sinθ cos 2 θ = 1 cos 2 θ cosθ olarak elde edilir. Newton-Raphson yöntemi iterasyon ifadesi MAK 210 - Sayısal Analiz 53

θ n+1 = θ n f f Başlangıç değeri olarak 1 radyan alındığında elde edilen iterasyon değerleri tabloda verilmiştir. Buna göre sonuç θ = 0.702035 rad = 40.22 dir. n θ n 1 1 2 0.821179 3 0.724551 4 0.702948 5 0.702036 6 0.702035 MAK 210 - Sayısal Analiz 54